Písemná zkouška M2010 (vzor) 2020 I. část max: 12 bodů Tato část obsahuje obvykle 12 testových příkladů, každý za 1 bod. 1. Najděte řešení diferenciální rovnice, které vyhovuje počáteční podmínce xy' -y = 0, 2/(1) = 2. 2. Najděte obecné řešení rovnice y" - V + 4y = 0. 3. Určete a znázorněte definiční obor funkce a) Má tato funkce parciální derivace v bodě [0,0]? Pokud ano, určete je. b) Určete absolutní extrémy této funkce na množině 4. Vypočtěte smíšené praciální derivace 2. řádu funkce 5. Nakreslete graf funkce f(x,y) = l-x-y. M :y0, y>0. 6. Vypočtěte diferenciál funkce f{x,y) = Vx2 + y2 v bodě [3; 4]. 7. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f{x,y) = x2 + y2 v bodě T = [1,1,2]. 8. V polárních souřadnicích popište oblast 9 9 x + y < 4, x > 0, y < x. 9. Pomocí transformace do polárních souřadnic vypočtěte dvojný integrál í f 1 dxdy, M : 1 < x2 + y2 < 2, x > 0, y > 0. 10. Vypočtěte ffMxydxdy, kde množina M je obdélník s vrcholy A = [0,0], 5 = [3,0], C= [3,2] a D = [0,2]. 11. Napište Fubiniovu větu pro dvojný integrál. 12. Do válcových souřadnic transformujte trojný integrál jjj (x2jry2)dx dydz, kde V je popsána nerovnicemi x2 + y2 < 1, y > 0, 0 < z < 2. Integrál nepočítejte! 13. Pomocí dvojného integrálu odvodte vzorec pro obsah kruhu o poloměru r = 2. 14. Určete objem tělesa, které je ohraničené funkcí z = 1 — x — y & rovinami x = 0, í/ = 0az = 0. 15. Vypočtěte křivkový integrál / (2x + y) ds, Jc kde křivka C je úsečka AB a A = [0, 0] a B = [1, 2]. 16. Rozhodněte, zda integrál / 3x2 cos ydx— (x3 sin y + Sy) dy Jc závisí na integrační cestě C. Pokud nezávisí, uveďte, co toto znamená. Kolik je jeho hodnota, je-li C kladně orientovaná kružnice? 17. Jaký je fyzikální význam křivkového integrálu 2. druhu / P(x,y)dx + Q(x,y)dy7 Jc II. část max: 12 bodů Tato část obsahuje 4 příklady (diferenciální rovnice, lokální nebo globální extrémy, dvojný nebo trojný integrál, křivkový integrál 1. nebo 2.druhu). Příklady jsou za 3-4 body, podle náročnosti. 1. a) Najděte obecné řešení rovnice y — xy = 2xe 2 . b) Najděte řešení počáteční úlohy y" - y + 2y = 2x + 5, y(0) = 4, y'(0) = 0. 2. Vypočtěte lokální extrémy funkce z = 2x — 6xy + Sy — 6x — 6y + 6. 3. Pomocí transformace do válcových souřadnic vypočtěte objem tělesa, které je ohraničeno částí válcové plochy x2 + y2 = 4 pro y > 0 a, rovinami z = — 1 a z = y + 4. 4. Vypočtěte křivkový integrál 2. druhu xdx + (y - 1) dy, kde C je horní část kružnice x2 + y2 = 9 pro y > 0 z bodu ^4 = [—3,0] do bodu 5 = [3,0].