2 METRICKÝ PROSTOR POLYNOMŮ 1 Metrické prostory - opakování přednášky M je množina a p zobrazení p : M x M —> M.q, poté (M, p) je metrický prostor pokud platí 1. p(x,y) > 0 a p(x,y) = 0 <í=> x=y 2. p(x,y) = p(y,x) 3. p(x,y) + p(y,z) > p(x,z) 2 Metrický prostor polynomů Mějme prostor polynomů nad intervalem [0,1] libovolného stupně. Pol = {a + bx + cx2 H----, x G [0,1] , a, b, c,... G R} Definujme metriku p pomoci integrálu, následujícím způsobem, nechť Aix) a B (x) jsou dva polynomy pak i p{A,B) = J \A{x) - B{x)\dx o 1. Jaká je dimenze toho prostoru? 2. Dokážte, že p je metrika na prostoru Pol 3. Je tento prostor úplný? Pokud ne ukažte, alespoň jeden příklad posloupnosti, která má limitu mimo tento prostor. 4. Mějme podmnožinu polynomů druhého řádu Pol2 = {a + bx + cx2, x G [0,1] , a, b, c, ... G [-1,1]} Je tato množina uzavřená nebo otevřená? Jaký je průměr této množiny? 5. Mějme prostor spojitých funkcí na intervalu [0,1] s integrální metrikou. Jsou tyto dva prostory izomorfní? Jak musíme prostor spojitých funkcí omezit abychom dostali izomorfismus? 6. Je množina polynomů hustou podmnožinou v prostoru funkcí? 7. Mějme dvě zobrazení / : (Pol,p) —> (Pol,p) definované takto: (a) a + faW + ...^/(a + teW + ...)d. S tím, že integrační konstantu z integrálu položíme rovnu nule. 1 3 LIMITY A PARCIÁLNI DERIVACE FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH (b) a + bx + cx2 + •••—>— / (a + bx + ex2 + • • • ) dx x J Znovu položíme integrační konstantu rovnu nule. Ukažte, že druhé zobrazení zachovává řád polynomu. Postupnou iterací najděte nějaké pevné body těchto zobrazení? Existence těchto pevných bodů je zaručena Banachovou větou, ale důkaz že tato zobrazení jsou kontrakce není trivální, přesto můžeme pevné body najít. 3 Limity a parciální derivace funkcí více proměnných 3.1 limity Dokažte že následující limity neexistují 2 2 2 x — y xy x y lim -, lim -, lim - (x,y)->(0,0) X2 + y2 (x,y)->(0,0) X2 + y2 (x,y)->(0,0) x4 + y2 Vypočtěte následující limity nebo dokažte, že neexistují x2 — y2 x^ -\- y^ x2 -\- y(y — l)2 lim -, lim —-- (dom. ukol) lim —----— (x,y)-K0,0) X - y (x,y)-K0,0) X2 + y2 (x,y)-K0,l) x2 + (y - l)2 3.2 Funkce a derivace Příklady na definiční obory a vrstevnice najdete ve sbírce. Mějme funkci dvou proměnných f(x, y) = y'x2 + y2. 1. Načrtněte graf této funkce, jaký geometrický objekt ji odpovídá? 2. Vypočítejte parciální derivace ff a |^ 3. Napište vzorec pro gradient této funkce, dokážete výsledné vektorové pole načrtnout? 4. Vypočtěte druhé derivace této funkce a dokažte, že smíšené derivace jsou záměnné (symetrické) (domácí úkol, na příští cvičení) 5. Převeďte funkci do polárních souřadnic a ověřte si, že předchozí výsledky dávají smysl. 2 R -ú Proslov ^oljih Wo^t -fcevvck, ťiW^ it ^ ^) O M-ßJ i > > / f 4 1 1 ^|A-RUx^ilH-fB-4jlclx 0 Ö ^ l |&-/4|dx^CM) ^ Vlas bio 51, e Ifta cxLi . tnoano^ i 2, e^-kfcW\ j(A,Dj^jU(c)4^(ß,cJ 0 /s O ^ j(/t,c)-*_f(ß,C) v/ i WenV •. V Gi>cldi^ foil, lna limitu JUD Ukoliflk^ hcN cvicW ie. F„M_--— #d?li*k 4 ■ 'třií IKUol áe": \z&lo hUdaVe ho-bord} £»ak Predok l&tflc^e, i e. fo>h pho XčCd/'Q aSoU V/seci*^ ^ klacfoso|uW koJuôtc^ tem fcPeW ,^1 V, . * ^ im) í J. - řooc4s clelio .a e_ h-b --> 4 -kli'?' ^ °^ v^Wek alt, e-* teh/fol^ol^-^ fallen/ iíjkhií rhM^oľ. Pölz ~£ (K^JtC^ll X&lotöi öv.t.CdC-I.^J =s> vSccU^ foUbo^ 4uke>o Pa^ü s o^e.^ - 2& tat© tokoi. ivic\ ^> Co ie. taWce/?- f 1/ X____ ^ Ml 2^ ÜfcAVpWa fhsio^^ fol^-^li CInniao iiir»c\ öksaku^e. ivo^f HkaVuci) Ovlíei-viaiívhe toužen okagufc 2 e, dof\£ik "vedením ros) ^vkw 02. • W»o"ž»'iij /haí u ke.'£c> ^oE.ke U;iu ukážeš, it^ ř/^j^ hen/ ^^v,a( l^fl^ folate VnJ^+lj^ Pko Vh&IV uvnitř ř/řol^ c\ie, küVivevgi; 55. do >< Coí ^e, OW^v P0I2. * f kui*er Kftošíhcj If ocituje, ^ako ke^vel- o t> v t / / Isolnot-fiSkuá j loi^oktv l/H/ 2obl-a-Z.cn. z'íxcVioVaW del Km -i ^V© : Stolce- \X/eíitmiíoi/íx. Vfei&s. p fevncj" IqoJ( fôkud e^ilsWe) do*>\>a^e\i»t. V\±1 ■ao X F*(/tU X Mi. *=>> KoWekgo.a^, V; O Up1 uo-o -t —--t £-J " Uvi'i ^ vo 00 = 0 7. ale kaidfe' eleu s e ^weu t Kairo k-rte^o'cK ; a+£* honosil Co ie.l«(J2e, s^afc, v12*. se nazývají dvojnásobné (popř. postupné). Potom pro L := lim[x5y]^[xo5yo] f(x,y) platí: (i) existují-li limity Lxy a Lyx takové, že Lxy = Lyx, pak limita L nemusí existovat; (ii) existuje-li limita L (i nevlastní), pak Lxy a Lyx nemusíexistovat; (iii) existuje-li L a některá z limit Lxy nebo Lyx, pak se obě rovnají; (iv) existují-li limity Lxy, Lyx a /., pak Lxy — Lyx = /_; (v) existují-li limity /_xy a /_yx takové, že /_xy ^ /_yx, pak limita /. neexistuje.