Druhý domácí úkol
P ˇRÍKLAD 1: Dokažte, že pro daný autonomní systém neexistuje cyklus
x′
= y2
− xe2x2+2y2
,
y′
= x3
− ye3x2+3y2
.
P ˇRÍKLAD 2: Pomocí Dulacovy funkce q(x, y) = (xy)−1
ukažte, že systém
x′
= αx3
y + βx2
y2
− γxy2
,
y′
= −δx2
y + ϱxy2
− σx2
y2
kde α, β, γ, δ, ϱ, σ ∈ R, β > 0, ϱ > 0, 2α > σ, nemá v prvním kvadrantu žádnou uzavřenou trajektorii.
P ˇRÍKLAD 3: Pomocí vhodné transformace dokažte existenci limitního cyklu. Jak je to se stabilitou tohoto
cyklu?
x′
= −9y(x2
+ 9y2
+ 1) + x(x2
+ 9y2
− 1),
y′
= x(x2
+ 9y2
+ 1) + y(x2
+ 9y2
− 1) .
1