Algebraická geometrie doc. Lukáš Vokľínek, PhD. 24. května 2022 Obsah Úvod iii Sylabus přednášky iii 1. Motivace 1 2. Rezultanty 2 3. Bezoutova věta 6 4. Lokalizace 8 5. Noetherovské okruhy 11 6. Afinní variety 17 7. Ireducibilita 20 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách 21 9. Polynomiální funkce 23 10. Součin afinních variet 26 11. Projektivní variety 29 12. Regulární zobrazení a funkce 32 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence 34 14. Součin projektivních variet 36 15. Veroneseho zobrazení 40 16. Lokální vlastnosti variet 40 17. Grassmannovy variety 41 18. Dimenze 44 19. Blow-up 50 20. Tečný prostor 51 21. Schemes 53 22. Primární rozklad modulů 62 23. Stupeň 64 24. Divizory na křivkách 71 n Uvod Tady bude úvod. Lukáš Vokřínek Sylabus přednášky Tady bude sylabus. 111 1. Motivace 1. Motivace Algebraická geometrie zkoumá množiny řešení algebraických (polynomiálních) rovnic, resp. soustav rovnic. Ve speciálním případě lineárních rovnic dostáváme afinní geometrii a pro kvadratické rovnice pak teorii nadkvadrik. Zabývejme se nyní o něco zajímavější množinou, tzv. Descartovým listem o rovnici f(x,y) = x2 + x3 -y2 = 0 v M2. Tuto křivku lze poměrně jednoduše parametrizovat: když si namalujeme její obrázek a uvědomíme si, že počátkem prochází dvě větve, dostaneme jako průnik s y = tx dvojnásobný počátek a zbylý průsečík pak lze jednoduše dopočítat, x2 + x3 - t2x2 = x2(l + x - t2) = 0 dává x = t2 — 1 a, dále pak y = tx = t(t2 — 1). Zúžením této parametrizace na t £ Q dostaneme právě všechna racionální řešení rovnice f(x, y) = 0. Řekneme, že křivka je racionální, jestliže existuje parametrizace pomocí racionálních lomených funkcí, 11—> (^j|y\ )) kde všechna p,q,r £ Q [i]. Jednoduchým příkladem, kde si nevystačíme s polynomy jako v případě Descartova listu, je hyperbola xy = 1 s parametrizací 11—> (t, j). Podobným způsobem lze racionálně parametrizovat všechny kuželosečky. Uvažme například bod [0, —1] na kružnici x2 + y2 — 1 = 0 a veďme jím opět přímku o směrnici t, tj. y = tx — 1. Zase bude jedním průsečíkem bod [0, —1] a druhý dopočítáme, x2 + (tx - l)2 - 1 = x((t2 + l)x - 2t) = 0 dává x = ^rp[, y = fsřjŤj- (Tento výpočet samozřejmě souvisí s popisem Pythagorejských trojúhelníků (2st, t2 - s2, t2 + s2).) Velká Fermatova věta se zabývá racionálními řešeními xn+yn — 1 = 0 (ty zjevně odpovídají celočíselným řešením x11 + yn — z11 = 0), konkrétně jejich neexistencí pro n > 2. My zde ukážeme, že výše uvedená křivka nemá racionální parametrizaci (tj. zhruba řečeno těchto řešení neexistuje moc). Předpokládejme, že (p(t) = ^jy, ip(t) = je racionální parametrizace, kde p,q,r G Q [i] a můžeme předpokládat, že gcd(p, q, r) = 1. Platí p(ť)n + q(ť)n — r(ť)n = 0 a derivací podle t dostaneme p(í)n_1p'(í) + q(ť)n~1q'(ť) — r(t)n^1r'(t) = 0. Tedy (pn_1, qn~ľ, —rn_1) je řešením soustavy lineárních rovnic nad Q[x] s maticí ŕ p q r\ \p' q' r1J Podle "Cramerova pravidla" je řešením také (qr' — rq',rp' — pr',pq' — qp'). Toto řešení je nenulové, protože z rp' — pr' = 0 plyne (2)' = 0, tj. ^ by muselo být konstantní, nutně pak i ^ a nejednalo by se o parametrizaci. Tedy prostor řešení je jednorozměrný a protože gcd(pn_1, g"-1, —rn_1) = 1, mělo by být víceméně jasné, že (qr' - rq', rp' - pr',pq' - qp') = h(pn~1,qn~1, -rn_1) 1 2. Rezultanty pro h G Q [i] (zřejmě tento vztah platí v rozkladovém tělese Q (i); pokud bychom psali h = ^ s gcd(/, g) = 1, dostali bychom 5 | pn_1, gn_1, rn_1 a z jejich nesoudělitelnosti pak 5 = 1). Porovnáním stupňů degp = a, degq = b, degr = c dostáváme 6 + c — 1 > deg(qr' — rq') > degpn_1 = a(n — 1), a anlogicky c + a — 1 > b(n—l), a + b—1 > c{n— 1); sečtením 2(a + 6 + c) — 3 > (a + b + c)(n—l), tj. (a + b + c) (3 — n) > 3 a n< 3. 2. Rezultanty Hlavním objektem našeho studia bude okruh polynomů k[a?i,..., xn] ve více proměnných nad tělesem k. Z algebry víme, že se jedná o obor integrity. Pro induktivní důkazy bývá často užitečné uvažovat tento okruh jako okruh k[a?i,..., xn_i] [xn] polynomů v jedné proměnné nad okruhem k[a?i,..., xn_i]. Při této identifikaci se však nezachovává stupeň polynomu - v prvním případě jej budeme značit degf, ve druhém deg^. /, tj. stupeň polynomu / vzhledem k proměnné xn. Platí deg(fg) = degf + degg (vedoucí člen f g je součinem vedoucích členů / a g a je nenulový, protože je k[a?i,..., xn] obor integrity). Nechť A je okruh, přičemž všechny naše okruhy budou komutativní s jedničkou. To stejné potom platí pro okruh polynomů A[x]. Věta 2.1. Pokud A je UFD, pak také A[x] je UFD. Před vlastním důkazem uvedeme důležité tvrzení, tzv. Gaussovo lemma, ke kterému potřebujeme následující pojmy. Pro polynom / G A[x] nad UFD A definujeme jeho obsah c(/) jako největší společný dělitel jeho koeficientů. Řekneme, že polynom / je primitivní, pokud je c(/) = 1. Lemma 2.2 (Gauss). Nechť A je UFD. Pak součin primitivních polynomů je primitivní. Pro obecné polynomy f, g platí c{f g) = c(/) • c{g). Důkaz. Předpokládejme, že /, g jsou primitivní. Pro každý ireducibilní prvek p G A je Aj(p) obor integrity (v GCD je ireducibilní prvek prvočíslem) a protože / je nenulový v Aj(p) (jinak by P I c(/))> stejně tak g, je nenulový i součin fg, takže nějaký koeficient f g není dělitelný p a P t C{Í9)- Protože toto platí pro libovolný ireducibilní prvek p, je c(fg) = 1. Druhé tvrzení plyne jednoduše z prvního a z vyjádření / = c(/) • g , kde g = f/c(f) je primitivní. □ Důkaz Věty 2.1. Nechť k je podílové těleso A. Víme, že k[x] je UFD. Zjevně jednotky A[x] jsou právě jednotky A, který chápeme jako podokruh konstantních polynomů. Každý ireducibilní prvek k[x] je asociovaný primitivnímu polynomu z A[x] (převedeme na společný jmenovatel a vytkneme největší společný dělitel koeficientů), přičemž tento je jednoznačný až na asociovanost v A[x]: jsou-li p, q G A[x] primitivní a asociované v k[x], tj. q = a/b ■ p pro a, b G A, pak b \ a ■ c{p) = a a symetricky také a \ b. Uvažme rozklad polynomu / v okruhu k[x], přičemž ireducibilní činitele budeme předpokládat primitivní z A[x]: f = a/b-px- --pr. Podle Gaussova lemmatu 2.2 máme b \ a ■ c(pi ■ ■ -pr) = a, takže a/b G A; protože A je UFD, má a/b jednoznačný rozklad na součin ireducibilních v A, tedy i v A[x]. 2 2. Rezultanty Zbývá dokázat jednoznačnost. Protože je rozklad v k[x] jednoznačný, plyne z druhého odstavce jednoznačnost činitelů pi až na asociovanost, tedy i jednoznačnost a/b až na asoci-ovanost. Rozklad tohoto čísla je pak jednoznačný, protože A je UFD. □ Iterací dostáváme, že také ... ,xn] = A[x±,... ,xn-i][xn] je obor s jednoznačným rozkladem. Pokud je k těleso, pak podílové těleso k[a?i,... ,xn], tj. těleso racionálních funkcí, značíme symbolem k(a?i,..., xn). Zatímco dělení obecným polynomem je nad obecným okruhem problematické, dělení normovaným polynomem funguje stejně jako nad tělesem - toho využijeme později. Zejména platí p(xq) = 0 4^ {x — xq) j p. Protože pro polynomy vyšších stupňů dělení se zbytkem nefunguje, nefunguje ani Eukleidův algoritmus a tedy ani Bezoutova rovnost, která v případě okruhu polynomů k[x] nad tělesem vyjadřuje největší společný dělitel jako kombinaci gcd(/, g) = kf+lg. Nyní popíšeme, kdy mají / a g nějaký společný dělitel, pro polynomy ve více proměnných nad tělesem, začneme však případem jedné proměnné. Pro polynomy /, g G A[x] definujme Sylvesterovu matici Syl(/,g) jako matici (r + s) x (r + s), kde r = degf, s = degg, pomocí koeficientů polynomů / a g, takto: Syl(/,fl) = a xr H-----h a0, 9 = bsxs + ••• + &o, ar 0 0 bs 0 ••• 0 \ r—1 ar 0 bs-i bs ••• 0 ar_i 0 bs-i '•• 0 a± ar bi bs a0 a± b0 h "•• bs-i 0 a0 0 b0 "•• a± bi 0 0 a0 0 0 ••• bo J s koeficienty aj v prvních s sloupcích a b j v posledních r sloupcích (akorát a$ v prvním sloupci a &o v (s + l)-ním sloupci nemusí být ve stejném řádku). Dále definujeme rezultantu f, g jako Res(/,#) = det Sy\(f,g). Protože jsme předpokládali, že r = deg /, je ar ^ 0 a analogicky bs = 0. V následujícím se nám však bude hodit i rozšíření na případ, kdy některý z těchto koeficientů může být nulový. Budeme pak determinant výše uvedené matice značit Resr)S(/, g). Věta 2.3. Nechť k je těleso. Pak nekonstantní polynomy f, g G k[x] mají společný faktor (tj. f = hfi, g = hgi pro nějaký nekonstantní polynom h), právě když Kes(f,g) = 0. Lemma 2.4. Nechť k je těleso, f, g G k[x] nekonstantní polynomy. Potom f, g mají společný faktor, právě když existují polynomy k, l G k[x] takové, že k f + lg = 0, k 7^ 0, l 7^ 0, degfc < degg, degl < degf. Důkaz. Jestliže / = hfi, g = hg±, stačí vzít k = g±, l = —fi- Předpokládejme naopak, že pro k 7^ 0, l 7^ 0 je k f + lg = 0 a přitom gcd(/, g) = 1. Potom existují k, l tak, že 1 = k f + lg. Po vynásobení k dostáváme k = kkf + klg = —klg + klg = {—kl + kl)g. Protože k 7^ 0, dostáváme degk > degg, takže k, l nesplňují podmínku na stupeň. □ 3 2. Rezultanty Důkaz věty. Podle předchozího lemmatu mají /, g společný faktor, právě když existují k s-l H-----hco, l + člq nenulové takové, že kf + Ig = 0. Rozepsáním 0. koeficientů dostáváme soustavu rovnic Syl(/,ff)(cs-i,... ,CQ,dr-i,.. .,d0)T Ta má nenulové řešení, právě když det Syl(/, g) = 0. □ Nyní vyjádříme rezultantu pomocí kořenů polynomů / a g. Pišme tedy / = ar(x -ai)---{x- ar), g = bs(x - fa) ■ ■ ■ (x - fa), kde obecně a j a fa leží v algebraickém uzávěru k. Věta 2.5. Platí Res(/, g) = a/^s Wí j{ai ~ Pj)- Důkaz. Pracujme v okruhu polynomů k[ar, ct\,..., ar, bs, fa,..., fa], případně v jeho podílovém tělese. Podle Vietových vztahů W—k -iyarak(a) kde Ok{a) značí k-tý symetrický polynom v proměnných a = {a\,..., ar). Dosazením do determinantu Sylvesterovy matice je pak zřejmé, že Res(/, g) = arsbsrp(a, /3), kde p je polynom stupně rs v proměnných aj a stupně rs v proměnných fa (každý sloupec je dělitelný ar nebo bs; v levých sloupcích jsou a k (o.), k < r, v pravých se aj nevyskytují; symetricky pro fa). Jelikož víme, že Res(/, g) = 0 v případě, že aj = fa pro nějakou dvojici i, j, platí (olí — fa) | p (a, fa a díky jednoznačnosti rozkladu také rr. ,(ai - Pj) i p(a,fa, protože všichni činitelé jsou ireducibilní a různí. Porovnáním stupňů se musí tyto polynomy rovnat až na konstantu. To, že ve skutečnosti se rovnají přesně, pak plyne například z Res(xr,(x + l)s) = 1. □ Příklad 2.6. Základním příkladem je Res(/, /') = ar disc(/) (platí totiž, že první řádek Sylvesterovy matice je dělitelný ar). Zřejmě pak / obsahuje násobný ireducibilní faktor, právě když disc(/) = 0. V případě kvadratického polynomu / = ax2 + bx + c dostáváme 'a 2a 0 Res(/, /') = det | b b 2a .c 0 b ab2 - 2a(b2 - 2ac) = a(-b2 + Aac) s tedy disc(/) = — b2 + Aac. Příklad 2.7. Spočtěte diskriminant disc(x3 + px + q). Řešeni. Protože je x3 + px + q normovaný, je diskriminant roven determinantu det n 0 3 0 o\ 0 i 0 3 0 p 0 P 0 3 q p 0 p 0 Vo q 0 0 p) 4p3 + 27 q2 4 2. Rezultanty Pro polynomy /, g G k[a?i,..., xn] definujeme rezultantu vzhledem k proměnné xn tak, že chápeme /, g jako polynomy v proměnné xn nad okruhem k[a?i,..., xn_i] a značíme Res(/, g;xn) G k[a?i,..., xn_i]. Analogicky bychom mohli definovat rezultantu vzhledem k ostatním proměnným x{. Lemma 2.8. Nekonstantnípolynomy f, g mají společný faktor s kladným stupněm v proměnné xn, právě když Res(/, g; xn) = 0. Důkaz. Podle předchozího je Res(/, g; xn) = 0 ekvivalentní tomu, že /, g mají společný faktor jako prvky k(a?i,...,xn_i)[xn]. Je tedy implikace =4> zřejmá. Nechť naopak f = g = ^^j, kde c,d,e G k[a?i,..., xn_i] a fi,gi,h G k[a?i,..., xn] a h má kladný stupeň v proměnné xn. Potom obsahuje h ireducibilní faktor h\ s kladným stupněm fec = hfi, fed = hgx musí také h\ \ fec. Protože jsou však c, e stupně 0 v proměnné xn, musí být h\ \ f, analogicky pak také h\ \ g. □ Zabývejme se nym významem kořenu Rcs(/, g\ xn). Věta 2.9. Nechi je k algebraicky uzavřené těleso. Bod (pi,... ,pn-i) £ kn_1 je kořenem rezultanty Kes(f,g;xn), právě když buď • (pi,... ,pn-i) je kořenem vedoucích koeficientů f, g G k[a?i,... ,xn_i][xn] nebo • existuje pn G k íaA;, ie /(pi,... ,pn-i,Pn) = 0 = ^(pi,.. .,pn-i,Pn)- Důkaz. Zabývejme se ResrjS(/, g). V případě, že bs = 0, platí Resr,s(/, g) = ar Resr)S_i(/, g) a v případě, že ar = 0, platí podobně ResrjS(/, g) = (— Resr_ijS(/, g). Je-li nyní (pi,... ,pn-i) libovolné a r = deg^ /, s = deg^^ 5, pak Res(f,g;xn)(p1,.. .,pn-i) = Resr)S(/(pi,... ,pn-i, ~),g(pi, ■ ■ -,Pn-i, -)) a toto je rovno buď • 0 v případě, že jsou vedoucí koeficienty obou /(pi,... ,pn-i, g(j>i, ■ ■ ■ ,Pn-i, —) nulové, nebo • nenulovému konstantnímu násobku Res(/(pi,... ,pn-i, —),g(pi, ■ ■ ■ ,Pn-i, —))', v tomto případě je tedy hodnota nulová, právě když mají tyto polynomy společný faktor, tedy společný kořen. □ Důsledek 2.10. Nechť k je algebraicky uzavřené těleso. Pokud f, g nemají společný faktor, mají rovnice f(x, y) = 0 a g(x, y) = 0 pouze konečně mnoho společných řešení. Důkaz. Předpokládejme, že rovnice ze zadání mají nekonečně mnoho společných řešení. Nechť tato společná řešení mají nekonečně mnoho různých prvních souřadnic. Potom Res(/, g; y) G k[x] má nekonečně mnoho kořenů, a proto je nulový. To ale znamená, že /, g mají společný faktor (kladného stupně v proměnné x). □ Příklad 2.11. Mají f = xy — 1, g = x2 + y2 — 4 společný faktor? 5 3. Bezoutova věta Řešení. Spočítáme Res(/, g; x) = y2{y2 — 4) + 1 7^ 0 a Res(/, g; y) = x2{x2 — 4) + 1 7^ 0, takže nemají. o Příklad 2.12. Spočtěte společná řešení rovnic x2 + y2 — 4 = 0, 16x2 + y2 — 16 = 0. Řešení. Spočítáme Res(f,g;x) = —9(5y2 — 16)2. Platí, že Res(f,g;x) je nulové v y = yo, právě když /( —, yo), g( — ,yo) mají společný kořen, tj. právě když / = 0, g = 0 mají společné řešení s y = yo- V našem případě tak dostáváme y = ±-^=. Analogicky bychom dostali Res(/,g\y) = 9(5x2 — 4), tj. x = ±^g- Obecnější metodu, fungující pro více polynomů, probereme později. o Příklad 2.13. Spočtěte diskriminant x2 + 2xy2 + y +1 £ C [y] [a;]. Interpretujte kořeny tohoto diskriminantu. Řešení. Protože je polynom normovaný, je diskriminant roven determinantu í 1 2 °\ det 2y2 2y2 2 = 4(-y4+y + l). \y + 1 0 2y2) Kořeny jsou ta yo, pro něž /(—,yo) má násobný kořen; z Bezoutovy věty bude jasné, že to jsou právě horizontální přímky y = yo, které se „dotýkají" křivky f(x,y) = 0 (další možnost by byla, že protínají křivku v jejím singulárním bodě). o ** Věta 2.14. Existují nenulové polynomy k, l G k[a?i,..., xn] takové, že Res(/, g; xn) = k f + lg a pro stupně v proměnné xn platí deg^ k < deg^ g, deg^ l < deg^ /. Důkaz. V případě, že /, g mají společný faktor kladného stupně v proměnné xn, tj. / = hfi, g = hgi, tvrzení plyne z Res(/, g; xn) = 0 = gif + (-fi)g. Nechť jsou naopak q nGsoudělnG jako prvky Ik(x^,... •)xn—\ )[xn\. Pak řešme soustavu kf + lg = Res(f,g;xn), tj. Syl(/, g)(cm-i, • • •, c0, <2n_i,..., d0)T = (0,..., 0, Res(/, g; xn))T. Podle Cramerova pravidla detí-) , detí-) přičemž každý čitatel je Res(/, g; xn)-násobkem jistého minoru Sylvesterovy matice (díky tvaru pravé strany) a všechny podíly Cj, di tedy leží v k[xi,..., xn_i]. □ 3. Bezoutova věta Budeme značit An množinu kn chápanou jako afinní prostor nad k, zatímco kn budeme používat pro stejnou množinu chápanou jako vektorový prostor. V následujícím bude hrát zásadní roli vztah mezi polynomy, tj. prvky F G k[a?i,..., xn] a polynomiálními funkcemi /: An —> k, (pi,... ,pn) 1—> f(pi,... ,pn)- Volba souřadnic na An zadává interpretaci proměnných 6 3. Bezoutova věta xí jako afinních funkcí na An (standardně je xí funkce posílající bod na jeho i-tou souřadnici) a takto dostáváme homomorfismus okruhů k[xi, ...,xn] ->• Map(An,k). Zjevně výsledná polynomiální funkce závisí na zvolených souřadnicích. Algebraicky odpovídá afinní změna souřadnic x = Ay + b tomu, že veškeré polynomy přepíšeme do nových proměnných x{ = ^aíjž/j + h (navíc jsou možné i obecnější změny souřadnic). Zobecněním známé věty pro polynomy v jedné proměnné je následující tvrzení. Tvrzení 3.1. Je-li k nekonečné těleso (zejména je-li k algebraicky uzavřené), pak každý polynom je jednoznačně určen svou polynomiální funkcí. Důkaz. Jelikož je přiřazení F i—> / zjevně homomorfismus okruhů, stačí se zabývat případem, kdy / = 0 a dokázat, že pak i F = 0. Pišme F G k[a?i,..., xn_i][xn] ve tvaru F = GrxJ + ■■■ + dxn + G0, kde Gi G kí xi,... ,xn—i\. Podle předpokladu má polynom F(pi,... ,pn-i, —) G k[xn], vzniklý dosazením za proměnné x\,..., xn-i, nulové hodnoty a je tedy nulový, tj. Gí(p\,... ,pn-i) = 0. Indukcí pak musí platit G i = 0 a tedy i F = 0. □ Důsledek 3.2. Pro každý polynom F G k[a?i,..., xn] stupně r existují souřadnice tak, že koeficient u xnr je nenulový. Důkaz. Píšeme-li F = Gr + lot, kde Gr je homogenní stupně r a "lot" značí členy nižšího stupně, pak stačí volit souřadnice tak, aby Gr{0,..., 0,1) 7^ 0; to lze, protože polynomiální funkce zadaná Gr je nenulová. □ Aplikací na součin F = F\- ■ ■ F^ lze najít souřadnice tak, že koeficient každého Fi u xnr% je nenulový, kde r i = degFj. Vhodnou volbou lineárního Fi lze navíc některé směry osy xn zakázat, konkrétně ty z kerFj. Věta 3.3 (Bezoutova věta, první verze). Nechť k je algebraicky uzavřené těleso. Pokud f, g nemají společný faktor, mají rovnice f(x,y) = 0 a g(x,y) = 0 maximálně degf ■ degg společných řešení. Důkaz. Již víme, že je těchto společných řešení pouze konečně mnoho. Zvolme souřadnou soustavu tak, aby žádné dva z těchto průsečíků neměly stejnou x-ovou souřadnici, a zároveň aby oba /, g jako polynomy v proměnné y byly stupňů r = deg/, s = degg, tj. aby obsahovaly yr, ys s nenulovým koeficientem - to lze díky předchozímu důsledku a jeho následného zobecnění. Potom tyto souřadnice musí být kořeny rezultanty Kes(f,g;y) G k[x]. Zabývejme se nyní stupněm tohoto polynomu. Zjevně na pozici (i,j) příslušné matice je polynom stupně maximálně i— j v případě j < s a stupně maximálně i—j + s v případě j > s. Protože druhá možnost nastává právě pro r voleb j, dostáváme pro každou permutaci i = a(j) stupeň odpovídajícího členu determinantu maximálně ^2(^U) ~ J) + ^{^{J) -J+s)= rs- js Zároveň je rezultanta nenulová, protože /, g nemají společný faktor, a proto může mít maximálně r s kořenů. □ 7 4. Lokalizace Přesnější tvrzení Bezoutovy věty bude naším hlavním cílem v této přednášce, konkrétně tvrzení, že v jistém smyslu je těchto průsečíků přesně deg / • deg g. Upřesnění Bezoutovy věty je ve své podstatě podobné tvrzení, že každý polynom z k[x] stupně d má právě d kořenů. Prvně je potřeba přejít k projektivnímu rozšíření, ve kterém se vyskytují některé průsečíky, které bychom jinak vynechali (například y = 0, y — 1=0 má společné řešení v nekonečnu ve směru společném těmto přímkám) - na úrovni polynomů to odpovídá případu, kdy koeficient u xd je nulový a příslušnému "kořenu x = oo". Za druhé je potřeba vzít v úvahu násobnost průsečíků (na úrovni polynomů násobnost kořenů). 4. Lokalizace Definice 4.1. Lokální okruh je okruh (komutativní s jedničkou) s jediným maximálním ideálem. Věta 4.2. Necht A je okruh a I C A vlastní ideál. Potom I je jediný maximální ideál A, právě když A\ I obsahuje pouze jednotky. Důkaz. Implikace =4> je zřejmá - každá nejednotka a G A \ / generuje ideál (a), který je obsaženi v nějakém maximálním ideálu m/í. Naopak, nechť A \ / obsahuje pouze jednotky. Potom / je zřejmě maximální (přidáním libovolného prvku dostaneme A) a také každý vlastní ideál J C A leží v I. □ Definice 4.3. Nechť A je okruh a5Ci multiplikativní podmnožina, tj. podmnožina splňující 1 G S; x, y G S => xy G S. Definujme na A x S relaci (cii, si) ~ (a2, s2) 3s e S: (ais2 - a2si)s = 0. Příslušný rozklad budeme značit S~ľA, říkáme mu lokalizace okruhu A vzhledem k podmnožině S, a jeho třídy značíme [a, s] = |. Na S~1A lze zavést strukturu okruhu a± a2 CL1S2 + S~ľA, a 1—> j je homomorŕismus okruhů. Lokalizace má následující univerzální vlastnost. Ta říká, že se jedná o univerzální okruh, kde všechny prvky s 6 S mají inverzi. Věta 4.4. Nechť p: A —?► B je homomorfismus okruhů takový, že p(s) G B je jednotka pro každé s G S. Potom existuje jediný homomorfismus okruhů p: S~1A —> B takový, že p = pX. A^^B X S^A Důkaz. Protože | = A(a)A(s)_1, jsme nuceni položit p(f) = p(a)p(s)^1. Ukážeme, že je zobrazení dobře definované; to, že se jedná o homomorfismus okruhů, se ukáže podobně. Nechť tedy = tj. existuje s 6 S takové, že (a±S2 — a2si)s = 0. Proto také {p{a1)p(s2) - p{a2)p{s1))p(s) = 0. Vzhledem k tomu, že p(s) je jednotka, je také p{ai)p{s2) — p{a,2)p{si) = 0, z čehož jednoduše plyne p(a1)p(s1y1 = p(a2)p(s2)_1- □ 8 4. Lokalizace Speciálními případy jsou • S = {1, a, a2,...}, potom S~1A vznikne z A přidáním inverze k prvku a, značíme jej Ala-1}. • S = A \ p, kde p C A je prvoideál. Potom S je vskutku multiplikativní a S~1A značíme Ap - je to lokalizace A v prvoideálu p. • Zejména, pokud je A obor integrity, pak 0 je prvoideál a Aq je podílové těleso okruhu A. DU 1. Dokažte následující izomorfismy: • Ala'1} Qí A[t]/(at-l), • (A/7)[í] = A[t]/J a popište ideál J, • A/(I + J) = (A/1)/ J' & popište ideál J' ve stylu "je to v zásadě J, jenom... ". Věta 4.5. Lokalizace v prvoideálu p je lokální okruh. Důkaz. Jednoduše se vidí, že doplněk ideálu m = {^ | a £ p, s ^ p} se skládá z jednotek. □ Definice 4.6. Nechť A je okruh. Potom A-modul je komutativní grupa M společně s operací MxA^M, (x,a)^xa splňující axiomy vektorového prostoru, tj. xl = x, {xa)b = x{ab) x{a + b) = xa + xb, (x + y)a = xa + ya. Důležitým příkladem je ideál - ten je uzavřený na sčítání a násobení prvky okruhu. Věta 4.7 (Nakayamovo lemma). Nechi A je lokální okruh s maximálním ideálem m. Nechi N je konečně generovaný A-modul takový, že Nm = N. Potom N = 0. Důkaz. Nechť x±,..., xn generují N. Pišme Xj — x~ia~Lj ~\~ ''' ~\~ xnai2j pro vhodná G m. Převedením na, levou stranu dostaneme {x\,..., xn ){E — M) = 0, kde M je matice složená z prvků a^-. Vynásobením adjungovanou maticí dostaneme (xi, ...,xn) det(E - M) = 0, tedy Xj áet{E — M) = 0. Násobení prvkem áet{E — M) tedy zadává na ./V nulové zobrazení. Přitom áet{E — M) G 1 + m a jedná se tedy o jednotku (neleží v m). Proto N = §. □ For a multiplicatively closed subset U C A and the associated localization map A: A —> U~1A we study the relationship between the ideals of A and those of U~1A. We have maps between these sets that clearly preserve the order A* : {ideals of A} ^± {ideals of U^A} : A* with A*(J) = A~V) = {a e A I f G J} 9 4. Lokalizace that clearly preserves primeness (e.g. A/X 1(J) —> B/J is clearly injective and a subring of a domain is a domain) and with A,(J) = XJ-XA ■ A(/) = G C/^A | a G /} (i.e. the ideal generated by the image A(7). Clearly A*(A*(J)) = J and in the opposite direction A*(A*(/)) = {a G A | 3u G U: ua G /} We call this the U-saturation of / and also say that I is U-saturated if it equals its saturation, i.e. if ua G A =4> a G / (division by u G U). Obviously, by restriction, we get a bijection A* : {[/-saturated ideals of A} = {ideals of U^A} : A* Further, a prime ideal P is saturated iff it is disjoint from U (if saturated then u = ul G / => 1 G /, i.e. nonsense, so that u ^ /; if disjoint, one can divide by u showing saturatedness). A*: {prime ideals of A disjoint from U} = {prime ideals of U~1A} : A* Thus, if U = R \ P the left hand side consists of prime ideals contained in P and as such contains a maximal element P, implying that U~1A = Ap has a unique maximal ideal, namely JJ-lP = {f | a G P, b <£ P} (alternatively, it consists exactly of the non-units of Ap). More generally, any ideal that is maximal among those disjoint from U is prime, since it is a maximal saturated one (saturation contains 1 iff the original ideal intersects U) and thus corresponds to a maximal ideal of U~1A and thus pulls back to a prime ideal of A. The point of the localization lies in having less ideals, in particular prime ideals, and thus, e.g. its modules are structurally simpler. We will see some examples of this. The localization of a module is defined similarly by universal property M-'^N A ~ / P XJ-XM where ./V is assumed to be an U~1A module, i.e. an A-module in which the multiplication map u • : N —> N is an isomorphism (look at the action map U~1A —> End(A^) and employ the universal property of the localization U~1A). Straight from the definition we see that if the multiplication maps are isomorphisms on M then we can take A = id, i.e. U^M = M. In general, since RomA(M, N) ^ RomA(M, Homl/-ij4(C/"1A, N)) ^ Homl/-ij4(C/"1A ®A M, N) the so called extension of scalars gives a concrete construction U^M = U~1A ®A M. It is then important that U~1A is a flat A-module (see below) and thus the localization functor is exact. We will now give a second construction XJ-XM = {f | x G M, u G U} 10 5. Noetherovské okruhy where similarly to the case of A, it is imposed that ^ = | iff wvx = wuy for some w £ U. To prove that this gives the previous localization, one has to prove that the maps U^A^aM^. C/_1M, given by a/u® x \—> {ax)/u and l/u ® x <-\ x/u, are well defined (the first is the extension of the canonical inclusion A: M —> U~1M) and inverse to each other. This implies easily that U~1A is flat since for /: M —» N injective the induced U^1 f': f7_1M —> U~1N satisfies U~1f(x/u) = f(x)/u = 0 iff vf(x) = 0, i.e. f(vx) = 0 and vx = 0 by injectivity of /; finally this gives x/1 = 0. Alternatively, one can express U~1A = {JueUu~1A = colimue;y A where the maps in the diagram are exactly of the form v ■ : A —> A from the copy of A with index u to the copy with index vu. It remains to show that the colimit indeed gives U~1A (easy) and that the diagram is filtered (very easy). Again, for U = R \ P we denote MP = XJ~XM. Theorem 4.8. For an A-module M we have: M = 0 4^ VP maximal: Mp = 0. Before starting the proof we define the annihilator of x £ M to be the ideal Ann(x) = Ann^(x) = {a £ A \ ax = 0}. Clearly x = 0 iff Ann(x) 3 1. The fraction ^ £ U^A then annihilates X(x) = f, i.e. ^ = 0 iff 3w £ U: wax = 0 (i.e. wa £ Ann(x)) iff a £ U^1 Ann(x), so that we finally get Ann(f) = U^1 Ann(x). Důkaz. The implication is clear, so assume that 0 7^ x £ M. Then Ann(x) ^ A is a proper ideal and there exists a maximal ideal P D Ann(x). Denoting U = A \ P as usual, we obtain Č7 n Ann(x) = 0 so that f7_1 Ann(x) ^ 1 is also proper. Since it equals Ann(y), we must have 0 7^ j £ Mp and this module is thus also non-zero. □ Corollary 4.9. For an A-linear map f: M —?► AT we have: f is mono/epi/iso 4^ VP maximal: i/ie localized map fp: Mp —> Np is such. Důkaz. This follows from the chain of equivalences: / mono iff ker / = 0 iff (ker/)p = 0 iff ker fp = 0 (since the localization, being exact, commutes with kernels) iff fp mono. □ 5. Noetherovské okruhy Definice 5.1. Nechť A je okruh. Řekneme, že A-modul M je Noetherovský, jestliže splňuje podmínku rostoucích řetězců pro podmoduly, tj. jestliže neexistuje ostře rostoucí posloupnost M0 c Mi c • • • c Mn c • • • podmodulů M. Speciálně řekneme, že A je Noetherovský, jesliže je Noetherovský jako A-modul, tj. jestliže je splněna podmínka rostoucích řetězců pro ideály v A. Věta 5.2. A-modul M je Noetherovský, právě když je každý jeho podmodul konečně generovaný. 11 5. Noetherovské okruhy Důkaz. Předpokládejme, že M je Noetherovský, ale L c M není konečně generovaný. Definujme induktivně posloupnost ostře rostoucí posloupnost konečně generovaných podmodulů Ln c L takto: Lq = 0; v indukčním kroku Ln 7^ L, protože jinak by byl L konečně generovaný a položíme Ln+Í = Ln + (xn+i), kde xn+í g L \ Ln. Předpokládejme nyní naopak, že každý podmodul M je konečně generovaný a Mq c Mi c • • • je posloupnost podmodulů M. Potom Mqo = UnMn je také podmodul, nechť je generovaný Moo = ..., Xk), přičemž x±,... ,Xk g Mn. Potom Mn = Mn+\ = ■ ■ ■. □ Věta 5.3. Nechí 0 —> M' —¥ M A- M" —> 0 je krátká exaktní posloupnost A-modulů. Potom M je Noetherovský, právě když jsou Noetherovské M' a M". Důkaz. Pokud je M Noetherovský, pak svazy podmodulů M' a M" = Mj M1 jsou podsvazy svazu podmodulů M a neobsahují tedy nekonečný rostoucí řetězec. Nechť naopak M', M" jsou Noetherovské a nechť Mq c M\ c • • • je posloupnost podmodulů. Potom M'n = a_1(Mn) je konstantní pro n>0a stejně tak = /3(Mn). Potom ale musí být konstantní i Mn: je-li x g Mn+i, pak /3(x) g M'r'l+1 = M" a tedy (3{x) = /3(y) pro nějaké y g Mn. Analogicky, x — y = a{z) pro nějaké z g M'n, a proto x = y + g Mn. (Alternativně: inkluze Mn —> Mn+\ je rozšířením inkluzí M'n —> M'n+1 a M" —> M"+1, které jsou pro n>0 izomorfismy, a podle 5-lemmatu je izomorfismus i inkluze Mn —> Mn+i, tj. Mn=Mn+i.) □ Důkaz. Nechť naopak M', M" jsou Noetherovské a nechť L C M je podmodul. Potom pro Ľ = a~ 1(L), L" = /3(L) dostáváme krátkou exaktní posloupnost 0 -» Ľ -» L -» L" -» 0. Protože jsou oba Ľ C M' a L" C M" konečně generované, je konečně generovaný i L. Důsledek 5.4. Je-li A Noetherovský okruh, pak každý konečně generovaný modul M je Noetherovský. Důkaz. Protože lze součet dvou modulů vyjádřit pomocí krátké exaktní posloupnosti (I > Aľ > AI' AI" > AI" -+ 0, je podle předpokladu a předchozí věty Noetherovský každý konečně generovaný volný modul An a potom i každý jeho kvocient. To jsou přesně konečně generované A-moduly. □ V následující definici je podstatný předpoklad komutativity. Definice 5.5. A-algebrou budeme rozumět homomorfismus okruhů p: A —> B, ve všech našich případech se bude jednat o inkluzi podokruhu a bude tedy B nadokruhem A. Příklad 5.6. A[x±,... ,xn] je A-algebra. Protože je B kanonickým způsobem i3-modulem, můžeme jej zúžením skalárů podél p považovat také za A-modul. Alternativně můžeme A-algebru definovat jako A-modul B společně s A-bilineárním zobrazením B x B —?► B (násobením), které, společně se sčítáním, dělá z B okruh. Definice 5.7. Řekneme, že A-algebra B je konečně generovaná, jestliže existují b\,..., bn g B, které generují B jako A-algebru, tj. pomocí sčítání, násobení a násobení skaláry z A. Budeme psát B = A[b±,... ,bn]. Řekneme, že A-algebra B je konečná, jestliže je B konečně generovaný A-modul (tj. existují b±,... ,bn g B, které generují B pomocí sčítání a násobení skaláry z B). Budeme psát B = A{h,...,bn}. 12 5. Noetherovské okruhy Podotkněme, že konečná generovanost je ekvivalentní existenci surjektivního homomor-fismus A-algeber ... ,xn] —> B (ten posílá Xj na 6j a tyto generují B; je to proto, že ..., xn] je volná A-algebra na generátorech x±,..., xn). Pro konečnou A-algebru existuje surjektivní homomorfismus A-modulů ..., xn} —> B. Věta 5.8. Nechí A je Noetherovský okruh a B konečná A-algebra. Pak B je také Noetherovský okruh. Důkaz. Podle důsledku je B Noetherovský A-modul, tedy každý A-podmodul B je konečně generovaný jako A-modul. Tím spíš je každý jeho ideál (tj. i3-podmodul =4> A-podmodul) koečně generovaný jako ideál (tj. i3-modul). □ Příklad 5.9. Okruh 7l je Noetherovský. Proto také = {a + bi \ a, b g Tj} je Noetherovský. Věta 5.10. Nechi A je Noetherovský okruh, sca multiplikativní podmnožina. Potom také lokalizace S_1A je Noetherovský okruh. Důkaz. Připomeňme kanonické zobrazení A: A —> S~1A. Nechť / c S~1A je ideál a uvažme ideál = {a g A | A(a) = f g /} c A. Nechť A_1(7) = (a±,..., a^). Potom / = (A(ai),..., A(afc)), neboť pro f g / platí a biai H-----h bkak b\ bk - =-= — A(ai) H-----1--A(afc). □ s s s s Věta 5.11 (Hilbertova věta o bázi). Je-li A Noetherovský okruh, pak také A[x] je Noetherovský okruh. Důkaz. Nechť / c A[x] je ideál. Definujme ideál J = {a g A\3p g / : p = axr + lot}, tj. ideál vedoucích koeficientů polynomů z /. Nechť J = (a±,..., ak) a zvolme polynomy pi g / s vedoucím koeficientem aj, můžeme předpokládat, že mají všechny stupeň r. Množina A 1 platí ct\ = /3i,..., olí-\ = /3j-i, a« > Vzhledem k tomu, že se jedná o lineární uspořádání, můžeme hovořit o vedoucím členu polynomu f G k[x^,... ,xn]: když / = aaxa + apx13 = aaxa + lot /3 1 se redukuje na y jen s pomocí k) a redukovaná Gróbnerova báze je (fi,k)- V dalším textu nám bude jasné, že k[x,y]/I nebo ještě lépe k[x,y]/^ souvisí s nulovou množinou k = 0) f2 = 0. Ta sestává za tří bodů [0, 0], [—1,1], [1,1] a proto dimk[x, y\j\fl = 3. Přitom dimk[x,y]/7 = 4, protože bod [0,0] je brán „dvakrát", konkrétně x{y — 1) ^ I, ale přitom (x(y — l))2 G /, tedy x(y — 1) G VI \ / (funkce x(y — 1) je nulová na výše uvedené trojici bodů, ale nikoliv do dostatečného řádu). o 16 6. Afínní variety Lemma 5.17. Jsou-li LM(/), LM(g) nesoudělné, pak lze S(f,g) redukovat pomoct f, g na nulu. Důkaz. Pro jednoduchost předpokládejme, že jsou /, g normované. Podle předpokladu platí S(f,g) = LM(g)/ — LM(/)g a v každém okamžiku budeme odečítat násobek tvaru tf, kde t je člen g, nebo přičítat násobek tvaru sg, kde s je člen / tak, že se nakonec S-polynom zredukuje na g f — f g = 0 (pointa je, že každý člen st se vyskytuje jednou se znaménkem plus a jednou minus, přičemž vedoucím členem v libovolném okamžiku může být pouze pokud s je vedoucím v / nebo t v g). □ DU 2. Pomocí Gróbnerovy báze vyřešte soustavu polynomiálních rovnic x2 + y + z = 1 x + y2 + z = 1 x + y + z2 = 1 6. Afinní variety Odteď budeme předpokládat, že k je algebraicky uzavřené těleso. Definice 6.1. Afinní varieta (přesněji afinní uzavřená množina) je množina řešení soustavy algebraických rovnic fs(x1,...,xn)=0, s G S, kde SCkí xi,..., xn] je libovolná podmnožina. Budeme ji značit V(S) ={xéA"|Vsg5: f8(x) = 0}. Jinými slovy, V(S) je množina bodů, kde se nulují všechny polynomy z S. Přímo z definice lze jednoduše odvodit, že pro ideál / = (S) generovaný množinou S platí V(I) = V(S) a lze tedy každou afinní varietu psát ve tvaru V(I), kde / je ideál. Protože je každý ideál konečně generovaný, / = (/i,..., fk), platí také V{I) = V(/i,..., ft) a každou afinní varietu lze tedy ve skutečnosti zadat konečným systémem polynomiálních rovnic. Z teorie nadkvadrik víme, že každá nadkvadrika určuje svou rovnici jednoznačně až na násobek. Pro afinní variety máme následující jednoduchý postup jak z podmnožiny X C An vyrobit ideál (není to však přímá analogie situace pro nadkvadriky): I{X) = {/ G k[xi,.. ., xn] | Vx G X: f (x) = 0}. Je jednoduché ověřit, že se jedná vskutku o ideál, konkrétně o ideál všech polynomiálních funkcí, které se nulují na X. Lemma 6.2. Zobrazení V al mají následující vlastnosti • obě V a I převrací uspořádání, tj. SCT ^ V(S) 5 V(T), X C Y I{X) D I(Y), 17 6. Afínní variety • platí následující ekvivalence X C V (S) 4$ S C • platí S C /V(S') a rovnost nastává právě když S je ideál tvaru I{X). • platí X C V/(X) a rovnost nastává právě když X je afinní varieta, Důkaz. První bod je triviální. V druhého bodě jsou obě strany ekvivalentní podmínce (V/ G S)(Vx G X)f(x) = 0. Pro třetí bod začněme s V (S) C V^S*) a podle druhého bodu tak S C /V(S'). Pokud nastává rovnost, je S zřejmě tvaru I{X) pro X = V{S). Pokud naopak S = I(X), můžeme použít druhý bod v opačném směru a dostat X C V (S) a aplikací / poté S = I{X) 13 IV(S); opačnou inkluzi jsme již dokázali. Čtvrtý bod je obdobný třetímu. □ Předchozí lemma zejména říká, že V a I jsou inverzní na ideálech tvaru I{X) a afinních varietách. Dostáváme tak: Věta 6.3. Zobrazení V zadává bijekci mezi ideály tvaru I{X) a afinními varietami. □ Tato věta bude naším hlavním nástrojem pro přechod mezi algebrou (ideály tvaru I{X)) a geometrií (afinními varietami). Naším dalším cílem bude podrobněji popsat ideály tvaru I{X). Podle předchozího to jsou právě ty ideály J, pro které platí IV(J) = J. O něco obecněji popíšeme ideál IV(J) pomocí ideálu J. Definice 6.4. Radikál yfj ideálu J C A je definován jako V/J = {/ G A | 3k: fk G J}. Ideál J se nazývá radikálový, jestliže J = \fj. Příklad 6.5. Každý prvoideál je radikálový. Cvičení 6.6. Dokažte, že se vskutku jedná o ideál. Příklad 6.7. Nechť g = g\1 • • • g\r je rozklad g G k[a?i,..., xn] na součin ireducibilních. Potom je y/Tjg) = (g± ■ ■ ■ gr)- Platí totiž 3k: fk G {g) 4> 3kVi: g* \ fk 4» Vi: 9l \ f 4$ 9l ■ ■ ■ gr \ f díky ireducibilitě g,i a tomu, že jsou navzájem různé. Zejména \J(xk) = (x), yf (x2 + 1) = (x2 + l). Poznámka. Platí, že radikál je také roven \fj = Hjcp P> průniku všech prvoideálů obsahujících J: je-li / £ \/~J, pak / £ y/p = p pro každý prvoideál p D J a tedy leží i v jejich průniku; naopak, pro / ^ \/~J, využijeme toho, že ideál, maximální mezi disjunktními s danou multiplikativní množinou S, je vždy prvoideál (to ukážeme za chvíli); stačí pak vzít multiplikativní množinu S = {1, f, f2,...} a Zornovo lemma dá ideál f 3 J, maximální disjunktní s S, který je prvoideál, a tedy / ^ p a neleží tedy v průniku. Zbývá dokázat, že pro ideál p, maximální disjunktní s S, a /, g ^ p je také fgýip. Díky maximalitě musí p + (/) i p + (9) protínat S, tedy S obsahuje prvek z p+(/) a z p + (g) a tedy i jejich součin, který patří do (p+(/))(p + (sO) Q P+(/sO; protože však p n S = 0, musí být fgýip. Věta 6.8 (Hilbertova věta o nulách). Nechi k je algebraicky uzavřené těleso. • Maximální ideály k[xi,...,xn] jsou v bijekci s body Án: bodu P = {pi, ■ ■ ■ ,pn) £ ^n odpovídá mp = {x\ — p±,..., xn — pn). • V{J) = 0, právě když 1 G J, tj. J = k[xi,... ,xn]. • Platí IV(J) = y/J. 18 6. Afínní variety Poznámka. Druhý bod lze interpretovat jako úplnost nějakého logického systému: pokud soustava {f(x) = 0 | / G S} nemá řešení, tak je to proto, že z tohoto systému lze odvodit spor 1 = 0 pomocí (jednoduchých) odvozovacích pravidel, tj. jako lineární kombinaci zadaných rovnic s polynomiálními koeficienty (1 = g±fi + • • • + grfr, kde f i G S). DU 3. Nechť k je algebraicky uzavřené těleso. Studujte vztah mezi nenulovými kvadratickými polynomy / G k[a?i,... ,xn] a příslušnými afinními varietami V{f) C An; konkrétně se zabývejte tím, nakolik je zobrazení / i—> V{f) injektivní. Dále proveďte analogickou studii pro kubické polynomy. Důkaz provedeme v Sekci 8. Nyní ukážeme, že předchozí věta neplatí pro k = M. Konkrétně uvažme ideál J = (x2 + 1) C Protože je x2 + 1 ireducibilní, je J maximální a přitom není tvaru mp. Zároveň platí V(J) = 0 a také IV(J) = ^ J = \fj. Důsledek 6.9. Zobrazení Val zadávají bijekci mezi radikálovými ideály a afinními varietami. Důkaz. Zbývá ukázat, že obraz / tvoří právě radikálové ideály. Přitom ale ideál J leží v obraze /, právě když J = IV(J) = \/~J díky Hilbertově větě. □ Pro následující lemma připomeneme definici součinu ideálů: pro ideály /, J definujeme IJ jako ideál generovaný součiny gh, kde g G /, h G J. Protože jsou zjevně takové součiny uzavřené na násobení libovolným prvkem okruhu, lze také psát IJ = {gihx H-----h grhr | gi G /, hj G J}. Lemma 6.10. Platí následující vztahy • npepV(JP) = V(ZpepJP), • v(i) u v (J) = v(i n J) = v(u). Důkaz. První bod plyne z toho, že ^2pep Jp je nejmenší ideál obsahující UpeP Jp> takže pravá strana je zároveň V(\JpeP Jp), tedy množina bodů, kde se nulují všechny polynomy ze všech Jp, což je ale zároveň levá strana. Platí I,J~3Ir\J~3IJ& aplikace V obrací uspořádání, tedy V(I), V(J) C V(I n J) C V(IJ). Stačí tedy ověřit V(IJ) C V(I) U V (J). Nechť x G V (U), ale x <£ V(I), x <£ V (J). Potom existují g G /, h G J takové polynomy, že g (x) 7^ 0, h (x) 7^ 0. Proto také gh{x) 7^ 0, ale gh G J, což je spor s x G V{IJ). □ Díky předchozímu lemmatu na An existuje topologie, jejíž uzavřené množiny jsou právě afinní variety. Nazývá se Zariského topologie. Cvičení 6.11. Popište Zariského topologii na A1 a dokažte, že je Ti, ale není T2 (za chvílí uvidíme, že žádný afinní prostor není Hausdorffův). 19 7. Ireducibilita 7. Ireducibilita Definice 7.1. Neprázdný topologický prostor V se nazývá ireducibilní, jestliže nelze psát jako sjednocení V = V\ U V2, kde Vi C V, V2 £ V jsou vlastní uzavřené podmnožiny. Ekvivalentně, průnik dvou otevřených neprázdných podmnožin je neprázdný. Ekvivalentně, každá neprázdná otevřená podmnožina je hustá (podmnožina je hustá, právě když protíná každou otevřenou neprázdnou podmnožinu - to se vidí přejitím k doplňku u charakterizace "neleží v žádné vlastní uzavřené"). Lemma 7.2. Nechť U C V je podprostor. Pokud je U otevřená neprázdná a V ireducibilnt, je i U ireducibilnt. Pokud je U hustá podmnožina a U ireducibilnt, pak je i V ireducibilnt. Zejména, pokud je U otevřená hustá, je U ireducibilnt, právě když je V ireducibilnt. Důkaz. V prvním směru, nechť W\, W2 C U jsou dvě otevřené neprázdné podmnožiny. Jelikož je V ireducibilní, mají neprázdný průnik. Ve druhém směru, pokud jsou W±,W2 C V dvě otevřené neprázdné, pak U H Wi,U H W2 C U jsou opět otevřené neprázdné (protože je U hustá), takže se protínají. □ Příklad 7.3. V{x\X2) je sjednocením osy x\ a osy X2, tj. V{x\X2) = V{x2) U V{x\) a tedy není ireducibilní (je reducibilní). Věta 7.4. Nechť V je afinní varieta. Potom V je ireducibilní, právě když I(V) je prvoideál. Důkaz. Nechť V je ireducibilní. Předpokládejme, že g±g2 G I(V), ale g±,g2 ^ I(V)- Potom Ví = V n V{gi) CV a přitom Ví U V2 = V n (V(9l) U V{g2)) = V n V(gig2) = V, neboť gig2 je nula na V, tj. V C V(gig2). Nechť naopak V = V\ U V2 je sjednocením vlastních uzavřených podmnožin a zvolme g± G I(Vi) \ /(V), která je nula na V\, ale nikoliv na V (zobrazení / je injektivní na varietách, takže I{V\) ~^ I{V)). Analogicky, nechť 52 £ -^(^2) x^(^)- Potom g\g2 je nula na V1UV2 = V, tedy 5152 G/(V), ale 51,52 Č/(V). □ Příklad 7.5. Afinní prostor An je ireducibilní, protože 7(An) = 0 je prvoideál (neboť k[a?i,..., xn] je obor integrity). Zejména není An Hausdorffův, protože se každé dvě neprázdné otevřené podmnožiny protínají. DU 4. Dokažte následující tvrzení: • Afinní varieta X je ireducibilní, právě když pro libovolné afinní variety X±, X2 platí X C X\ U X2 =^ [X C X\ VI C X2). • Ideál J je prvoideál, právě když pro libovolné ideály J\, J2 platí J D JiJ2 =^ (J 5 Ji V J 5 J2). • Pomocí předchozích dvou tvrzení dokažte, že X je ireducibilní, právě když I{X) je prvoideál (není k tomu potřeba Hilbertova věta o nulách, ale klidně ji použijte). Definice 7.6. Topologický prostor se nazývá Noetherovský, jestliže neexistuje nekonečná ostře klesající posloupnost xx d x2 2 • • • uzavřených podmnožin. 20 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách Věta 7.7. Afinní prostor Án se Zariského topologií je Noetherovský topologický prostor. Důkaz. Ostře klesající posloupnost afinních variet by aplikací / zadávala ostře rostoucí posloupnost ideálů v k[a?i,..., xn] (na afinních varietách je / injektivní). □ Cvičení 7.8. Každý Noetherovský topologický prostor je kompaktní (algebraičtí geometrové říkají kvazikompaktní, aby zdůraznili, že není Hausdorffův - někdy se kompaktním prostorem totiž rozumí kompaktní Hausdorffův). Věta 7.9. Každou afinní varietu V C An lze napsat jako konečné sjednocení (rozklad) V = Ví U • • • U Vr ireducibilních afinních variet Ví , přičemž platí Ví%Vj pro i ^ j (říkáme, že je rozklad iredun-dantní). Takový rozklad je jednoznačný až na pořadí a Ví se nazývají ireducibilní komponenty V. Důkaz. Předpokládejme sporem, že V nelze napsat jako konečné sjednocení ireducibilních. Pak zejména V nemůže být prázdná ani ireducibilní. Tedy V = V\ U V{ a opět jedna z V\, V{ musí být reducibilní. Bez újmy na obecnosti V\ = V2 U a postupně dostáváme nekonečnou ostře klesající posloupnost V\ V2 2 • • • afinních variet, což je spor s Noetherovskostí An. Existuje tedy rozklad V na konečné sjednocení ireducibilních a vynecháním těch Ví obsažených v nějakém Vj, j 7^ i, se tento stane iredundantní. Zbývá dokázat jednoznačnost. Nechť tedy Vl U • • • U Vr = V = Wx U • • • U Ws. Potom Ví = Ví D V = Uj=i VíC^Wj a díky ireducibilitě Ví musí pro nějaké j platit Ví = VíDWj, tj- Ví C Wj. Symetricky pak Wj C Vy a díky iredundantnosti musí být i = i' a následně V = Wj. □ 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách Je jednoduché ukázat, že mp je maximální ideál - je to totiž přesně jádro homomorfismu k[a?i,... ,xn] —> k, F 1—> F(pi,... ,pn). Substituce yi = x{ — pí totiž dá F = ...,pn)+ aoar H>i (jedná se o Taylorův polynom v bodě P), kde suma leží v mp. Definice 8.1. Nechť B C A je podokruh. Řekneme, že A je integrální nad B, jestliže každý prvek A je kořenem normovaného polynomu s koeficienty z B. Věta 8.2 (o Noetherovské normalizaci). Nechť A je konečně generovaná k-algebra. Existuje podalgebra B C A izomorfník[íi,... ,tr] taková, že A je integrální nad B. Větu dokážeme později, nyní budeme směřovat k donokčení důkazu Hilbertovy věty o nulách. Budeme potřebovat ještě jednu pomocnou větu. Věta 8.3. Nechť B C A je podokruh tělesa A takový, že A je integrální nad B. Potom B je také těleso. 21 8. Důkaz Hilbertovy věty o nulách Důkaz. Nechť b G B a nechť b 1 G A je kořenem xn + bn-ix^1 + ■■■ + blX + b0. Po vynásobení 6n_1 a dosazení b^1 dostáváme rovnost 0 = 6-1 + 6n_i + • • • + hbn-2 + 60&n_1 se všemi členy s výjimkou b^1 ležícími v B. Proto také b^1 G B. □ Začněme s důkazem Hilbertovy věty o nulách. Nechť J je libovolný maximální ideál. Potom A = k[a?i,... ,xn]/J je rozšíření k, které je konečně generované jako algebra, tj. A vznikne z k přidáním konečně mnoha prvků a následným uzavřením na sčítání, násobení skaláry z k a násobení (nikoliv dělení!). V důsledku předchozích dvou vět je pak k[ii,... ,tr] C A těleso, což může nastat pouze pro r = 0. Proto je A konečné rozšíření k a díky algebraické uzavřenosti k je triviální, tj. složení k C k[a?i,..., xn] —^—> k[a?i,..., xn]/J = A je izomorfismus. Proto je tv(xí) = tt{pí) pro nějaké pi G k. To ale znamená x{ — pí G ker7r = J a mp C J. Díky tomu, že je m p maximální, musí být J = mp. Druhá část je elementární: pokud je J vlastní ideál, pak je obsažen v nějakém maximálním ideálu mp a tedy {P} = V(mp) C V (J). V třetí části je inkluze \fj C IV(J) zřejmá: pokud fk G J, pak se na V(J) nuluje fk a tedy také /, tj. / G IV(J). V opačném směru nechť / G IV (J) a uvažme následující afinní varietu v An+1 se souřadnicemi x\,..., xn, t. V(J,ft-l) = {(x,t) G An x A1 | x G V (J), t = l/f(x)}. Protože je však f{x) = 0 na V(J), je tato varieta prázdná a podle druhé části Hilbertovy věty musí být 1 G (J, f t — 1) neboli 1 = gi{x)h\{x, €) + ■■■+ gr(x)hr(x, t) + (f(x)t — l)k(x, t) s 9í{x) £ J- P° dosazení t = l/f{x) a vynásobením vhodnou mocninou f (x) tak, abychom se zbavili jmenovatelů, dostaneme f{xf = + • • • + gr{x)hr{x) G J. Poznámka. Máme izomorfismy k[Xl,...,xn,t]/{JJt- 1) ^ (k[xi,...,xn,í]/(J))/(/í-l) ^(k[xi,...,xn]/J)[í]/(/í-l) ^(k[xi,...,xn]/J)[/-1] Tato lokalizace je podle Hilbertovy věty nulová, 1 = 0, což podle definice znamená fk = 0v algebře k[a?i,..., xn]/J, tj. fk G J v okruhu polynomů. Zbývá tak dokázat větu o Noetherovské normalizaci. 22 9. Polynomiální funkce Důkaz Věty 8.2. Důkaz se provede indukcí vzhledem k počtu generátorů A. Nechť a±,... ,an generují A. Tyto prvky pak zadávají surjektivní homomorfismus k[a?i,..., xn] —> A, posílající Xi i—> <2j. Pokud se jedná o izomorfismus, není co dokazovat. Nechť tedy / 7^ 0 stupně r leží v jeho jádře J. Díky Důsledku 3.2 můžeme po případné změně souřadnic předpokládat, že koeficient u xnr je nenulový, řekněme rovný jedné, tj. v okruhu k[a?i,... ,xn_i][xn] lze psát / = xrn + gr-i(xi,Xn-i)!^1 H-----h go(xi,xn-i) G J. Označíme-li B = k[ai,..., an_i] podalgebru generovanou a±,..., an_i, máme A = -B[an] a an je kořenem normovaného polynomu s koeficienty v B, je tedy A konečná i3-algebra. Protože jsou zřejmě konečné algebry uzavřené na skládání (C C B, B C A konečné algebry, pak také C C A je konečná), tvrzení se dokáže indukcí pomocí následujícího lemmatu. □ Lemma 8.4. Nechť B C A je konečně generovaná algebra. Potom A je integrální, právě když je konečná. Důkaz. Směr =4> je zřejmý, neboť pro integrální B C A je A = B[au ...,ak]= 5{< ■■■a{k\0 k je polynomiální, jestliže existuje polynom F G k[x±,..., xn] takový, že pro každý bod P = {p\,... ,pn) G V platíf(P) = F(Pl,...,Pn). Množina všech polynomiálních funkcí společně s operacemi sčítání a násobení po hodnotách tvoří tzv. souřadnicový okruh variety V; značíme jej k[V]. V dalším budeme používat F(P) = F{p\,... ,pn). Zabývejme se nyní zobrazením k[x±,..., xn] —> k[V], F i—> f. To je zřejmě surjektivní homomorfismus okruhů, jehož jádro se sestává právě z polynomů majících nulové hodnoty na V, tj. toto jádro je právě I{V). Lze tedy psát k[V) *ák[Xl,...,xn]/I(V). Příklad 9.2. Platí k[An] = k[xi,.. .,xn}/0 = k[xi,.. .,xn]. Definice 9.3. Okruh A se nazývá redukovaný, jestliže pro x G A platí x11 = 0 =4> x = 0. Lemma 9.4. Nechť I C B je ideál. Potom kvocient B/I je redukovaný, právě když I je radikálový (viz podobné charakterizace těles a oborů integrity). Důkaz. Podle definice je B/I redukovaná, právě když (6 + I)n = 0 =ř b + / = 0, tj. právě když bn G / b G /, tedy když \fl C /, tj. když / je radikálový. □ Důsledek 9.5. Souřadnicová algebra k[V] každé afinní variety V je konečně generovaná redukovaná k-algebra. Důkaz. Zjevně je k[V] generovaná souřadnicovými funkcemi x\,... ,xn. Navíc je I{V) radikálový, takže je k[V] redukovaná podle předchozího lemmatu. □ V opačném směru nechť nyní A je libovolná konečně generovaná redukovaná k-algebra. Zvolme generátory a±,..., an G A a uvažme homomorfismus algeber ip: k[xi,... ,xn] A, Xi^ai. Ten je surjektivní a jeho jádrem je nějaký ideál J = ker ip; ten je radikálový, protože A = k[x±,..., xn]/J je redukovaná. Platí k[V(J)}^k[x1,...,xn}/IV(J)=k[x1,...,xn}/VJ = k[x1,...,xn}/J^A a je tedy A izomorfní souřadnicové algebře afinní variety V{J). Naším dalším cílem bude ukázat, že existuje bijekce mezi afinními varietami a konečně generovanými redukovanými algebrami, obojí brané až na izomorfismus. Stále nám ale chybí říct, co to je izomorfismus afinních variet. Definice 9.6. Nechť V C An, W C Am jsou afinní variety a uvažme na An souřadnice Am souřadnice yi,..., ym. Řekneme, že zobrazení /: V —> W je polynomiální, jestliže existují polynomy F\,..., Fm G k[x\,..., xn] takové, že pro každý bod P G F platí f(P) = (F1(P),...,Fm(P)). Lemma 9.7. Každé polynomiální zobrazení je spojité v Zariského topologiích. 24 9. Polynomiální funkce Důkaz. Podle definice je každé polynomiální zobrazení /: V —» W zúžením polynomiálního zobrazení /: An —> Ám zadaného týmiž polynomy. Stačí tedy ověřit spojitost polynomiálního zobrazení mezi afinními prostory. Protože je každá uzavřená množina průnikem nadploch V{g), stačí ověřit, že vzor nadplochy je uzavřený: rHV(g)) = {P G An | f(P) G V {g)} = {P G An | g f {P) = 0} = V(gf), kde složení g f je polynomiální funkce zadaná polynomem G(F±,..., Fm), který získáme dosazením polynomu F j G k[a?i,..., xn] za každou proměnnou y j vyskytující se v G. □ Definice 9.8. Řekneme, že V, W jsou izomorfní, jestliže existují polynomiální zobrazení /: V —>■ W, g: W —>■ V taková, že g f = id, f g = id. Příklad 9.9. Parabola je izomorfní přímce, V{x2 — x2) = A1. Konkrétni izomorfismus je například (xi,x2) ^ Xi, {t, t2) k[V], daný předpisem f*(g)= gf, V—f-^-W \ gf N 9 například f*(gľ + g2) = {g± + g2)f = gif + 92f = f*{gi) + /*(fl2)-Tvrzení 9.10. Izomorfní variety mají izomorfní souřadnicové algebry. Důkaz. Vše plyne jednoduše z (/1/2)* = f2f*, id* = id. □ Příklad 9.11. Polynomiální zobrazení /: A1 —> C = V[x\ — x f), 11—> (t2, í3), je polynomiální bijekce, navíc homeomorfismus, ale není izomorfismus. Zjevně je / polynomiální a tedy spojité; navíc se jednoduše vidí, že to je bijekce. Jelikož jsou v A1 uzavřené pouze konečné a celá A1, je navíc / uzavřené. Podívejme se nyní na indukované zobrazení /*: k[C] —> k[í]. To posílá x\ na kompozici x\f = t2 (první složka zobrazení /) a f*(x2) = í3. Ve výsledku je tak obrazem podalgebra generovaná t2 a í3 a neobsahuje tedy t. Proto není /* izomorfismus a tedy ani / nemůže být izomorfismus. K tomu, abychom dokončili důkaz korespondence mezi afinními varietami a konečně generovanými redukovanými algebrami, budeme potřebovat následující tvrzení. Tvrzení 9.12. Nechť tp: \k[W] —> k[V] je homomorfismus k-algeber. Potom existuje jediné polynomiální zobrazení f: V —^ W takové, že tp = f*. Důkaz. Nechť V C An, W C Am se souřadnicemi Xi, y y Pokud má být p = f*, musí být jeho komponenty rovny f j = yjf = f* (yj) = p(yj). Položme tedy f j = p(yj) a f = {f\,...,fm):V^Km. Potřebujeme ukázat, že obraz / skutečně leží ve W. Nechť tedy G G I(W) a počítejme g f = Gf = G{fi, ...,fm) = G{p{yi),p(ym)), 25 10. Součin afínních variet tedy polynomiální funkce vzniklá dosazením p{yj) za proměnnou y j v polynomu G. Protože je však p homomorfismus (a G je vlastně term pro signaturu k-algeber), je toto rovno A. Již jsme ukázali, že k[V(J/i)] = A, zabývejme se nyní vztahem mezi varietami V a V(Jik[y]). Podle předchozího víme, že mají izomorfní souřadnicové algebry a podle tvrzení jsou tedy izomorfní. Dostáváme tak dva (kontravariantní) funktory {afinní variety} <—* {konečně generované redukované algebry} takové, že obě složení jsou izomorfní identitě - hovoříme o (kontravariantní) ekvivalenci kategorií. (Podle tvrzení lze každému homomorfismu algeber p: A —> B jednoznačně přiřadit polynomiální zobrazení V(JB) V(JA) tak, že indukuje k[F(Jj4)] = A B = k[V(JB)]-) V dalším budeme potřebovat Hilbertovu větu o nulách pro k[X]. Pro ideál J C k [X] definujme FX(J) ={xGX | V/G J:f(x)=0} a pro podmnožinu Y C X definujeme IX(Y) = {/ G k[X] | \/x G Y: f (x) = 0}. Věta 9.13 (Hilbertova věta o nulách v X). Platí IX(VX(J)) = VI, zejména VX(J) = 0, právě když 1 G J a maximálni ideály odpovídají přesně bodům. Důkaz. Pokud realizujeme k.[X] jako k[xi,... ,xn]/I(X), pak máme J = J/I(X), kde J C k[xi,..., xn] je ideál obsahující I(X) a platí VX{J) = V{J) a také IX{Y) = I(Y)/I(X). Tím se věta převede na klasickou Hilbertovu větu o nulách, nebot zřejmě VJ =y/j/I(X). □ 10. Součin afinních variet Věta 10.1. Nechť V C An a W C Am jsou afinní variety. Potom také V x W C An x Am = An+m je afinní varieta. Důkaz. Nechť V = V(fi,..., fr) a W = V(g±,..., gs), kde polynomy /j píšeme v proměnných Xi a polynomy g j v proměnných y ý Tímto způsobem je lze interpretovat jako fi, ■ ■ ■ ,fr,9i, ■ ■ ■ ,9s £ k[xi, ...,xn,yi,.. .,ym] a potom zjevně platí V x W = V(fi,..., fr, g±,..., gs). □ Projekce tv : V x W —> W je zřejmě polynomiální, tedy i spojitá. V dalším se nám bude hodit následující věta, která neplyne z příslušného tvrzení v topologii, neboť součin V x W nemá součinovou topologii (má víc otevřených množin). 26 10. Součin afínních variet Věta 10.2. Projekce tv: X x Y —> Y je otevřená. Důkaz. Nechť je U C X x Y bázová otevřená množina, tedy doplněk U = (X x Y) \ V (g) nulové množiny nějakého polynomu g = g(x, y) (zde x značí systém proměnných xí, podobně y). Potom x £ X neleží v tt(U) právě když g(x, —) je nulový na celém Y, tj. g(x, —) G I(Y). To je ale systém lineárních podmínek na koeficienty g(x,—) G K[y±,... ,ym], které závisí polynomiálně na x±,..., xn. □ Věta 10.3. Pokud jsou obě V, W ireducibilní, je také V x W ireducibilní. Důkaz. Nechť V x W = Zx U Z2. Potom W,t = W \ tt((V xW)\Zí) QW jsou uzavřené množiny, přičemž díky ireducibilitě V x {Q} = V leží každé V x {Q} v nějakém Zí, a proto také Q leží v příslušném W{. Protože bylo Q libovolné, máme W = W\ U W2. Díky ireducibilitě W pak W = Wí pro nějaké i a následně V x W = Z{. □ Důkaz. Nechť y x W = Z\ u Zí. Nechť Q £ a uvažujme podvarietu y x {Q} = V, která je podle předpokladu ireducibilní. Musí tedy být V x {Q} C Zí pro nějaké i. Uvažme nyní množinu Wi = {Q £ W \ V x {Q} C a dokážeme, že je uzavřená. Protože je W = Wi u W2, musí pak být W = Wi pro nějaké i a potom V x W = Zí. Platí = f| Prw(({n x w) n Zí), pev přičemž každá ({P} x W) n je uzavřená a projekce prw : {P} x —> W je izomorfismus, takže i obraz je uzavřený. Zabývejme se nyní obrazem polynomiálního zobrazení. Uvidíme, že se obecně nejedná o afinní varietu, nicméně budeme celkem snadno schopni tento obraz popsat. V první fázi problém převedeme na problém výpočtu obrazu při lineární projekci. Je-li totiž zobrazení /: V —?► W polynomiální, můžeme uvážit jeho graf Ty C an+m a obraz / je pak stejný jako obraz T f při projekci na posledních m souřadnic. Přitom graf Ty je afinní varieta, T f = V{I{V),y3-f3{x)). Příklad 10.4. Popište obraz zobrazení /: A1 ->• A2, f(t) = (í2 - l,i3 - i). Řešení. Graf T f = V (t2 — 1 — x, í3 — t — y). Přitom tyto polynomy v proměnné t mají společné řešení, právě když Res(í 1 - x, ť t — y; t) =0. Vypočtěme nyní tento rezultant det 1 0 0 1 o\ 0 1 0 0 1 1 — x 0 1 -1 0 0 — 1 — x 0 -y -1 v 0 0 — 1 — x 0 -v) Platí tedy im / = V(y2 - x2 - x3). o Stejným postupem lze ukázat, že obraz libovolného polynomiálního zobrazení /: A1 —> A2 je afinní varieta V(Res(/i(í) — x±, f2{ť) — x2;t)). Gasem toto tvrzení zobecníme na zobrazení /: A1 Am. Věta 10.5. Necht je V C an+m je afinní varieta. Potom pro její obraz při projekci tv : An+m —> am platíI(7t(V)) = I(V)nk[yi,...,ym}. 27 10. Součin afínních variet Důkaz. Tvrzení je jasné z toho, že polynom / G k[yi,..., ym] Je nulový na ttV, právě když je nulový na V. □ Nechť nyní V = V(J). Protože je I(tv(V(J))) = VJ n k[yi,..., ym] radikálem J n k[yi,..., ym], lze psát tv(V(J)) = V(Jnk[yi,..., ym])- Toho lze využít k výpočtu obrazu, resp. jeho uzávěru v kombinaci s Gróbnerovými bázemi, neboť je zřejmé, že v případě uspořádání ve kterém x{ > yj je J n k[yi,... , ym\ generován prvky Gróbnerovy ležícími v k[í/i,..., ym\ (každý vedoucí člen prvku z J D k[yi,... ,ym] je dělitelný vedoucím členem nějakého prvku Gróbnerovy báze, který ale může díky volbě uspořádání obsahovat pouze proměnné yj). Příklad 10.6. Popište uzávěr obrazu zobrazení /: A2 —> A3, f(s, t) = (s2 — t2, 2st, s2 + t2). Řešeni. Graf T f = V(s2 — t2 — x,2st — y, s2 + t2 — z). Spočítejme nyní Grôbnerovu bázi vzhledem k uspořádání s>t>x>y>z. Začneme s S — ^x — 2Zi st - ±y, ť + 2X 2Z a S-polynomy vycházejí t(s2 — \x— \z) — s (st — ^y) = —\tx — \tz + \sy t(st — \y) — s(t2 + \x — \z) = —\ty — \sx + \sz; přidáváme tedy sy — tx — tz, sx — sz + ty. V dalším kroku y(s2 — t^x— t^z) — s(sy — tx — tz) = —\xy — ^yz + stx + stz = 0 x(s2 — t^x— t^z) — s(sx — sz + ty) = —\x2 — ^xz + s2z — sty = —\x2 — ^y2 + ^z2 y (st - \y) - t(sy - tx - tz) = -\y2 + t2x + t2z = -\x2 - \y2 + \z2 x(st — Tjy) — t(sx — sz + ty) = —\xy — stz — t2y = 0 x(sy — tx — tz) — y(sx — sz + ty) = —tx2 — txz + syz — ty2 = —tx2 — ty2 + tz2 a přidáváme tedy pouze x2 + y2 — z2. To je zároveň jediný prvek Gróbnerovy báze ležící v k[x, y, z]. Proto im/ = V(x2 + y2 — z2). o Z pohledu uzávěru obrazu je o dost méně zajímavý následující příklad. V jeho řešení ale zjistíme obraz přesně, nikoliv pouze jeho uzávěr. Příklad 10.7. Popište obraz zobrazení /: A2 —> A2, f(s,t) = (st,t). Řešení. Opět T f = V (st — x,t — y) a zkoumáme, pro které body (x,y) mají tyto polynomy společný kořen. Podle Hilbertovy věty o nulách to nastane, právě když 1 G (st — x, t — y) = J C k[s,í]. Počítejme proto Grôbnerovu bázi. V prvním kroku redukujeme na J = (Sy - x, t - y) Nyní mohou nastat dva případy. Buď y ^ 0 a potom J = (s — |, t — y) je maximálni ideál odpovídající bodu (^, y) a tedy neobsahuje 1. V případě y = 0 je J = (—x, t) a opět nastávají dvě možnosti: pro i/O máme J = (1) a pro x = 0 naopak J = (t) ^ 1 (jedná se o Grôbnerovu bázi a neobsahuje 1). Výsledek tedy je im / = {(x, y) G A2 | (y / 0) V (y = 0 A x = 0)}. o 28 11. Projektivní variety Abstrakcí předchozího příkladu je následující tvrzení. Řekneme, že podmnožina X C An je zkonstruovatelná, jestliže se jedná o množinu bodů splňujících logický výrok vzniklý z polynomiálních rovnic pomocí konečného množství konjunkcí, disjunkcí a negací. Ekvivalentně se jedná o konečné sejdnocení kvaziafinních variet (otevřených podmnožin afinních variet). Tvrzení říká, že obrazem zkonstruovatelná množiny je opět zkonstruovatelná množina. Z pohledu logiky je pak obraz dán existenčním kvantifikátorem, ir(X) = {(yi,.. .,ym) G Am | ...,xn: (a?i,..., xn, yi,..., ym) G X}. Lze tedy toto tvrzení interpretovat následujícím způsobem: ke každému logickému výrazu tvořenému z polynomiálních rovnic pomocí logiky prvního řádu existuje ekvivalentní tvrzení bez kvantifikátoru. Hovoříme o „eliminaci kvantifikátorů". 11. Projektivní variety V případě průsečíku dvou kuželoseček dostáváme maximálně čtyři průsečíky. Tohoto čísla v některých nelze dosáhnout - například dvě kružnice (x — pi)2 + (y — q-i)2 — rf mají právě dva průsečíky (v případě, že se dotýkají, pouze jeden dvojnásobný). Důvodem je, že se protínají ještě ve dvou nevlastních bodech (0:1: ±i), tzv. "circular points". V případě, že počítáme i tyto nevlastní body a každý se správnou násobností, jsou průsečíky přesně 4. Toto tvrzení není zdaleka elementární, zejména pro křivky vyšších stupňů, a jeho důkaz bude vrcholem tohoto kurzu. Prvně zahrneme do hry nevlastní body - budeme tedy v dalším definovat projektivní variety. Nechť V je vektorový prostor nad k. Budeme označovat P(V) = (V \ {0})/~, u ~ v 3k G k: v = ku, projektivní prostor vektorového prostoru V. Zejména Pn = P(kn+1). Značíme {x$ : • • • : xn) G Pn třídu zadanou vektorem {xq, ... ,xn) a mluvíme o homogenních souřadnicích. Pro každé i = 0,..., n definujeme Ui = {(x0 : • • • : xn) G Pn | x,t / 0} Hi = {(x0 : • • • : xn) G Pn | x,t = 0} přičemž platí Ht ^ Pn_1 a Ut = an, (x0 : • • • : xn) ^ (f*,..., §,..., f^). Dále platí Pn = Uq U • • • U Un, mluvíme o afinním pokrytí projektivního prostoru Pn. Každý homogenní polynom / G kd[xo,..., xn] stupně d splňuje f(kxQ,..., kxn) = kdf(xQ,..., xn) a lze proto definovat V(f) = {(x0 : ••• :xn) GPn | f(x0,...,xn)=0} Definice 11.1. Projektivní varieta je podmnožina Pn tvaru V(S) = D/es ^(/)> S je nějaká množina homogenních polynomů. Příklad 11.2. Nadrovina Hi = V{xí) je projektivní varieta. Definice 11.3. Graduovaný okruh je okruh A společně s rozkladem A = ©^>o Až (vzhledem ke sčítání, tj. A^ + A^ C Ad) takový, že platí A^ ■ Ae C A^+e- Zejména 1 G Aq. Prvky sčítanců A^ se nazývají homogenní stupně d. Každý prvek a G A má jednoznačný rozklad a = ao + • • • + ar, kde G A^ se nazývají (homogenní) komponenty prvku a. Příklad 11.4. Okruh polynomů A = k[a?o,..., xn] = (J)^>o k [xq, ..., xn 1, kde kd[xo,..., xn] = {/ G k[a?o,..., xn] \ f homogenní stupně d}. 29 11. Projektivní variety Definice 11.5. Ideál / se nazývá homogenní, jestliže pro každý prvek / G / s rozkladem / = f o + • • • + f d do komponent platí také /j É I. V takovém případě platí / = (Bíž>o(^d H /). Lemma 11.6. Pro ideál I v graduovaném okruhu A platí • / je homogenní, právě když je generovaný homogenními prvky; • je-li I homogenní, pak I je prvoideál, právě když pro každé dva homogenní prvky f,g G A platí / 1 platí □ Faí(J) i (F(J))U{0} = 7T 30 11. Projektivní variety (na obou stranách bereme nulové body generujících homogenních prvků, pro které je rovnost zřejmá), jedná se o tzv. afinní kužel nad V{J). Potom V{J) = 0, právě když Vaí(J) = {0} = V(xq, ..., xn), tedy právě když (xq, ..., xn) c 7af (Faf (J)) = \fj podle afinní věty o nulách. Podle předchozího lemmatu I(V(J)) = 7af(7r"1(F(J))) = 7af(Faf(J)) = yfj (protože 0 leží v uzávěru 7r_1([x]) = kxx pro libovolné [x] g V (J) - uzávěr každé nekonečné podmnožiny přímky je celá přímka). □ Ideál (xq, ..., xn) nazveme irelevantní. Dostáváme tak bijekci mezi radikálovými ideály různými od (xq, ... ,xn) (tedy relevantními) a projektivními varietami. Věta 11.9. Vložení ji: U i —> Án, Jí(xq : • • • : xn) = ..., ^,..., ^L), je homeomorfismus. Důkaz. Nechť i = 0. Protože jsou obě topologie generovány nadplochami, počítejme kiv^U)) = {(*!,...,*„) e A" | /u0=1 = 0} = Faf(/U0=1). Naopak, h\Vaí{g)) = {(^0 : • • • : xn) g Uq | xf^g{^ ...,%)= 0} = U0n Vp*(g), kde g = XqĚS9g(^,..., ^) je homogenní polynom, tzv. homogenizace g. □ Důsledek 11.10. Zobrazení j'q : Uo —> An indukuje bijekci ŕ ireducibilní projektivní varietu] s (. , , . , . s Tr-n , TT } -> \ireducibilni afinní varietu v A \, [v IP neobsazené v Hq J posílající ireducibilní projektivní varietu l^cp" na jo(Uo d V). Důkaz. Díky předchozí větě stačí ověřit, že V *—> Uq n V zadává bijekci mezi ireducibilními projektivními varietami neobsazenými v Hq a ireducibilními uzavřenými podmnožinami Uo. Inverzní zobrazení je dáno uzávěrem, W *—> W, protože V = Uo d V - každá neprázdná otevřená podmnožina ireducibilního prostoru je hustá. □ Algebraicky je projektivní rozšíření (tj. uzávěr obrazu v pn) realizováno jako V°í{J) = VpT(J), kde J = (g \ g g J) (toto vyžaduje algebraickou uzavřenost k; protipříkladem nad M je J = {x\ + x2)): pokud se pro / g kd[xo,... ,xn] homogenní nuluje f\Xo=i na Vaí(J), pak fk\X(j=1 = g g J, a proto fk = Xq deg3 • g g J; opačná implikace je zřejmá, tedy Vaí(J) = Vpi(Ipi(Vat(J))) = Vpi(f j f g J) = VPI(J). Poznámka. Tvrzení, které platí i nad algebraicky neuzavřenými tělesy: X = VpT(I(X)). Je totiž /|a;0=i nulové na X, jestliže f\x0—i £ nutně pak / £ I(X) a zbytek je stejný. Toto je však značně nepraktické — spočítat radikál je obecně dost těžké, podstatnou výjimkou jsou hlavní ideály. DÚ 5. Označme J = (g | g g J) ideál generovaný homogenizacemi g = xQdee9g(^,..., ^). Uvažujme následující uspořádání monomů xa>gTxí3 & \a\ > \p\ V (H = |/3| f\xa > x13). Dokažte, že v případě, že J = (g±,... ,gr) je Grôbnerova báze vzhledem k >gr, je také J = (gi,..., gr) Grôbnerovou bází vzhledem k podobném uspořádání >gr, jen s xq navíc a menším než zbylé proměnné, tj. x\ > • • • > xn > x$. Příklad 11.11. Pokud Cq = Vaí{x\ — x\{x\ — l)(xi — 2)), pak projektivní rozšíření je C = V(xQxl - xi{xi - xQ){xi - 2xQ)). 31 12. Regulární zobrazení a funkce 12. Regulární zobrazení a funkce Pokusme se nyní definovat „polynomiální" zobrazení mezi projektivními varietami. Nechť f o, ■ ■ ■, f m £ H%o, ■ ■ ■, x n] jsou polynomy a uvažme f. pn ^pm^ (x0 : ••• : xn) (f0(x0,...,xn) fm(x0,.. ., xn)); k tomu, aby výsledek nezávisel na volbě homogenních souřadnic je potřeba, aby polynomy f j byly homogenní téhož stupně d - potom fj(kxo,..., kxn) = kdf(xQ,..., xn). Dvě lokální vyjádření se rovnají, (/0 : • • • : fm) = (g0 '■ ■ ■ ■ '■ gm), právě když fjgk = fkgj. Příklad 12.1. Uvažme projektivní varietu V = V(xqx3 — x±x2) a dvě zobrazení do P1 daná / = {xq : xi), g = (x2 : x3). Na V platí (x0 : xx) = (x2 : x3). Nyní popíšeme jeden problém s „polynomiálními" zobrazeními mezi projektivními varietami - nejsou definované všude. V předchozím příkladu je (x$ : x\) korektní bod P1 pouze pokud xq 0 nebo x\ ^ 0. Ve výsledku je tedy možné definovat zobrazení f: V —> P1 předpisem \{xq:xi) xq / 0 nebo xľ / 0 J{Xq : x\ : x2 : x3) = < [ (x2 : x3) x2 / 0 nebo x3 / 0 Přitom neexistuje žádné vyjádření / = (ho : h±), definované na celém V. To plyne nejrychleji z faktu, který dokážeme později, že totiž každé tři homogenní polynomy mají na P3 společný kořen, V(x0x3 - x±x2, h0, hi) / 0. Definice 12.2. Kvaziprojektivní varieta je libovolná otevřená podmnožina projektivní variety, tj. libovolný průnik uzavřené a otevřené podmnožiny. Zejména každá projektivní i každá afinní varieta je kvaziprojektivní (druhý případ plyne z toho, že sám afinní prostor An = U~o C Pn je otevřenou podmnožinou projektivního prostoru). Kvaziafiní varieta je libovolná otevřená podmnožina afinní variety; každá kvaziafinní varieta je tedy kvaziprojektivní. Definice 12.3. Zobrazení /: V —?► W mezi kvaziprojektivními varietami se nazývá regulární, jestliže pro každý bod P G V existují homogenní polynomy /o,..., fm G k.d[xQ,..., xn] téhož stupně tak, že platí / = (/o : • • • : fm) na nějakém okolí bodu P ve V; zejména musí být alespoň jedno fj{P) 7^ 0. Lemma 12.4. Každé regulární zobrazení je spojité v Zariského topologiích. Důkaz. Stačí dokázat lokálně, tedy na každé otevřené podmnožině V \ V(/o, • • •, fm), kde lze / vyjádřit jako / = (/o : • • • : fm)', důkaz je pak analogický případu polynomiálního zobrazení mezi afinními varietami. □ Regulární zobrazení ve skutečnosti nejsou ani tak polynomiální jako spíše racionální -přepsáním do afinních map Uq C Pn, Uq C Pm totiž dostaneme (r-, r,, \ ,_, (fl(l,Xi,...,xn) fm(l,Xl,...,xn)\ (xi, . . . , xn) ^ yfo{1:Xu,„:Xn) , • • • , f0(1:Xl:...:Xn) ) Naopak, každé (částečně definované) zobrazení mezi kvaziafinními varietami, jehož komponenty jsou ra vhodná d j je nenty jsou racionální funkce lze převést na společný jmenovatel í|^,...,^). Potom pro (xg°5o :*o -xqmgm) 32 12. Regulární zobrazení a funkce rozšířením původního zobrazení. Budeme tedy zobrazením jako výše říkat racionální zobrazení, pokud nejsou nutně definované všude: Definice 12.5. Racionální zobrazení f: V—■» W mezi kvaziprojektivními varietami je třída regulárních zobrazení /': V —> W, definovaných na libovolné otevřené husté podmnožině V' C V, vzhledem k relaci /' ~ /" ^ f = f" na V d V". Říkáme, že / je regulární v bodě P, jestliže existuje reprezentant /, který je na P definovaný. Definiční obor f je množina všech regulárních bodů /; značíme jej dom/. Příklad 12.6. Důležitým příkladem jsou polynomiální zobrazení mezi afinními varietami - podle předchozího je lze chápat jako racionální funkce, které jsou navíc definované všude, tedy jsou regulární. V Důsledku 12.8 ukážeme, že žádná jiná regulární zobrazení mezi afinními varietami neexistují. Obecněji, taktéž podle předchozího jsou zobrazení mezi kvaziprojektivními varietami, jejichž komponenty jsou racionální lomenné funkce, racionálními zobrazeními. Protože jsou regulární zobrazení definována lokálně, existuje reprezentant /' každého racionálního zobrazení definovaný na maximálním možném V = dom/. Na druhou stranu existuje reprezentant tvaru (/o : • • • : fm) (alespoň pro ireducibilní V); oba dva reprezentanti se hodí k různým účelům. Zabývejme se nyní případem racionálních funkcí na ireducibilní varietě V, tj. racionálních zobrazení / : 7-- +k C p1. Ta jsou tvaru /i//o, přičemž dvě taková vyjádření jsou stejná, /i//o = fli/flO) právě když platí figo = gify na nějaké otevřené husté podmnožině V a tedy i na celém V. Protože má /i//o 7^ 0 (tj. /1 ^ I(V)) inverzi /0//1, tvoří racionální funkce na V těleso, které značíme k(V). Přímo z definice plyne, že pro libovolnou otevřenou hustou podmnožinu U C V platí k(U) = k(V). Zejména tedy lze přejít k afinní podvarietě k(V) = k(Annľ). V dalším nechť tedy V C An je afinní varieta. Každá polynomiální funkce g na V je regulární, tím spíše racionální, dostaneme tak injektivní homomorfismus k[V] —> k(V). Protože /1//0 = {fi/xo)/(fo/xo)i kde obě racionální funkce fí/x^ jsou zjevně polynomiální, lze k(V) ztotožnit s podílovým tělesem k[V]. Bez důkazu poznamenejme, že pro V reducibilní by k(V) nebylo těleso a bylo by izomorfní lokalizaci k[V] v prvoideálu všech dělitelů nuly. Věta 12.7. Racionální funkce /: V — k na afinní varietě V je regulární, právě když je polynomiální. Obecněji funkce f regulární naV\ V (Ji) jsou právě prvky lokalizace k[l/][/i_1]. Důkaz. Definujeme ideál jmenovatelů Df = {h G k[V] \ fh G k [V]}. V druhém odstavci dokážeme, že platí dom / = V \ V(Df). Pak je / regulární, právě když V(Df) = 0, tj. právě když 1 G -D/ (podle Hilbertovy věty 9.13 o nulách ve V). To ale přesně znamená, že / má vyjádření ve tvaru f = g/l a f = g je polynomiální. V obecném případě dom / ]ľ \ V (Ji) & V(Df) C V (h) & h G I(V(Df)) = yfĎ] & f lze vyjádřit ve tvaru / = g/hk, tj. /GkfFp-1]. Zbývá tedy dokázat dom / = V\V(Df). Pokud P G V\V(Df), pak existuje polynomiální funkce h G D f taková, že h{P) 7^ 0. Označíme-li g = f h G k[V], pak na okolí V \ V (h) 3 P platí / = g/h a P G dom/. Nechť naopak P G dom/. Potom na nějakém okolí U 3 P platí / = /^/o, kde /o, /1 G k[V\. Nechť nyní h G I{V \ U) \ I{P). Potom ff0h = f\h na celém V a je polynomiální, tj. f$h G D f, a přitom foh(P) 7^ 0, takže P ^ V(Df). □ 33 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence Poznámka. Druhá část předchozího důkazu je jednoduchá pro V ireducibilní: je-li / = g j h, pak f h = g na celém V, takže D f obsahuje 0 a pak právě všechny jmenovatele, z čehož Důsledek 12.8. Regulární zobrazení mezi afinními varietami jsou právě polynomiální zobrazení. Definice 12.9. Řekneme, že kvaziprojektivní varieta je afinní, jestliže je izomorfní afinní varietě. Analogicky řekneme, že kvaziprojektivní varieta je projektivní, jestliže je izomorfní projektivní varietě. Cvičení 12.10. Nechť V je afinní. Dokažte, že pak také V/! = V \ V (Ji) je afinní. Cvičení 12.11. Dokažte, že každé racionální zobrazení P1 — -> Pn je regulární. Cvičení 12.12. Dokažte, že každá racionální funkce A2 —-¥ k, regulární na A2 \ {0}, je regulární. (Nápověda: protože je k[A2] UFD, existuje nejlepší vyjádření.) svíceni 12.13. Dokažte, že A2 \ {0} není afinní. Cvičení 12.14. Dokažte, že P2 \ {0} není afinní. 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence Předpokládejme, že V, W jsou ireducibilní kvaziprojektivní variety a /: V — W racionální zobrazení. Pro g £ se může jednoduše stát, že gf není definované nikde (stačí aby im / n dom g = 0) a obecně tedy nelze definovat /*: —> k(V) jako pro polynomiální zobrazení mezi afinními varietami a jejich souřadnicové okruhy. Příklad 13.1. Nelze složit A1 —> A2, t ^ (t, 0) s racionální funkcí A2 —> k, (x, y) x/y. Zabývejme se nyní podmínkou na racionální zobrazení /, aby byla kompozice gf vždy definovaná. Protože je dom g neprázdná otevřená podmnožina, musí platit, že im/ protne každou neprázdnou otevřenou podmnožinu, tj. im/ musí být hustá podmnožina. Naopak, v takovém případě je g f definováno na neprázdné otevřené podmnožině f~1(domg) C dom/. Definice 13.2. Řekneme, že racionální zobrazení /: V— -> W je dominantní, jestliže im / C W je hustá podmnožina. Podle předhozí analýzy pak každé dominantní zobrazení /: V— + W indukuje homomor-fismus algeber /* : k(W) —> k(V). Lemma 13.3. Jsou-li f: V— 4- W a g: W— ■¥ X dvě dominantní zobrazení, pak gf: V— 4 X je opět dominantní zobrazení. Důkaz. Výše jsme zdůvodnili, proč je gf definované na neprázdné otevřené podmnožině, zjevně se jedná o racionální zobrazení. Přitom a uzávěr obrazu tedy musí obsahovat obraz uzávěru im/ n domg = domg, tedy img; přitom V = V(Df) plyne okamžitě. Důkaz. Každá komponenta je regulární funkce, tedy polynomiální. □ im g f = 5 (im / n dom g) 34 13. Dominantní zobrazení a biracionální ekvivalence Dennice 13.4. Řekneme, že dominantní zobrazení /: V — 4 W je biracionální ekvivalence, jestliže existuje dominantní zobrazení g: W — + V takové, že g f = id, f g = id. Podle předchozího pak každá biracionální ekvivalence indukuje izomorfismus algeber Ik( W) = k(V). Naším dalším cílem bude ukázat i obrácené tvrzení. K tomu bude výhodné přejít k afinním varietám. To je možné proto, že pro ireducibilní kvaziprojektivní varietu V a její libovolnou neprázdnou otevřenou podmnožinu U je inkluze U c—> V biracionální ekvivalence s inverzí "id" : V — 4 U (reprezentovanou id: U —> U). Každá kvaziprojektivní varieta V je tedy biracionálné ekvivalentní projektivní varietě V a dále pak afinní varietě An n V. Zabývejme se tedy nyní případem ireducibilních afinních variet, pro které lze jednoduše spočítat k(V) jako podílové těleso souřadnicového okruhu k[V]. Takto lze určit i algebru racionálních funkcí na kvaziprojektivních varietách, např. k(Pn) = k(An) = k(xi/xQ,..., xn/xo). Lemma 13.5. Racionální zobrazení f: V — 4 W mezi afinními varietami je dominantní, právě když je f* : k[W] —> k(V) injektivní. (Stačí V afinní.) Důkaz. Dominantnost znamená, že na im/ se nulují pouze polynomy z I(W), tj. z rovnosti g f = 0 pro g G k.[W] plyne g = 0. To je ale přesně injektivita /*. □ Předchozí lemma dává algebraický popis dominantnosti. Indukované zobrazení na tělesech racionálních funkcí pak dostaneme jako jednoznačné rozšíření /* na /*: —> k(V), f*(g/h) = f*{g)/f*{h) (každý injektivní homomorfismus z oboru integrity do tělesa lze jednoznačně rozšířit na podílové těleso). Tvrzení 13.6. Ke každému homomorfismu k-algeber tp: k.(W) —> k(V) existuje jediné dominantní zobrazení f: V — ■> W takové, že tp = f*. Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pro afinní variety. Opět jsme nuceni položit / = {p{yi),•••, p{ym)) a stejně jako v polynomiálním případě platí im / C W a p = f*. Díky tomu je /* : k.[W] c—> k.{W) ^> k(V) injektivní a tedy je / dominantní. □ Věta 13.7. Existuje kontravariantní ekvivalence kategorií posílající V i—> k(V). Důkaz. Stačí opět najít ke každému konečně generovanému rozšíření K afinní varietu V takovou, že K = k(V). Nechť K = k(ai,..., an), potom K je podílové těleso podalgebry k[ai,... ,an], která je konečně generovaná a redukovaná, existuje tedy afinní varieta V taková, že k[ai,...,an}^k[V] a tedy budou izomorfní i podílová tělesa, K = k(V). Protože je k[a±,..., an] obor integrity, Důsledek 13.8. Dvě kvaziprojektivní variety V, W jsou biracionálně ekvivalentní, právě když Definice 13.9. Kvaziprojektivní varieta V se nazývá racionální, jestliže je biracionálně ekvivalentní Ad (ekvivalentně Fd). ireducibilní kvaziprojektivní variety je V ireducibilní. □ k(V)^k(W). 35 14. Součin projektivních variet Zejména je tedy V racionální, právě když je Ik(V) čistě transcendentní, tj. Ik(V) = k(a?i,..., Xd). Příklad 13.10. Hyperbola je racionální. Uvažujme ji projektivně, tj. H = V(y±y2 — y$). Potom p1 —> H, (xq : xi) i—> (xqXi : x\ : Xq) (vycházející z afinního předpisu t *—> (t, l/t)) je regulární zobrazení s inverzí H^F1, (y0 : yi : y2) ^ (y0 : Ví)- Proto máme H = p1 a díky tomu také í/q — a1 (afinní hyperbola je biracionálně ekvivalentní afinní přímce). V předchozím příkladu lze jednoduše popsat potřebná racionální zobrazení H$ —> A1 a A1 — -¥ Hq a dokázat, že indukují izomorfismus Hq = A1 \ {0}. Toto je obecný fenomén: Věta 13.11. Ireducibilní kvaziprojektivní variety V, W jsou biracionálně ekvivalentní, právě když existují otevřené husté podmnožiny V' C V, W C W takové, že V, W' jsou izomorfní. Důkaz. Dostatečnost podmínky je zřejmá, neboť V ~ V = W' ~ W. Nechť tedy naopak /: V — W je biracionální ekvivalence s inverzí g: W — V. Označme F' = dom / n f~ľ (dom 5), W7' = dom 5 n g-1 (dom /). Potom platí f (V) C domg a můžeme tedy uvažovat obraz g f (V) = id(V') C dom/; tedy f (V) C W' a symetricky také <7(W) C 1/'. Přitom f a g jsou inverzní všude, kde jsou definované, tedy zejména na V', W. □ DU 6. Ukažte, že zobrazení /: p2— ->-p2, {xq : x\ : x2) 1—> (x±X2 : X2XQ : xqXi) je biracionální ekvivalence a najděte otevřené podmnožiny p2, na nichž je / izomorfismus. (Nápověda: napíšete-li si zobrazení afinně, inverze by měla být jasná.) 14. Součin projektivních variet Uvažujme projektivní prostory pn, pm. Jejich součin lze zrealizovat jako podvarietu P^n+1 < j^m+i-j _ jpnm+n+m^ konkrétně uvážíme tzv. Segreho zobrazení Jeho obraz nazveme Segreho varietou a značíme Snm. Věta 14.1. Segreho zobrazení je bijekce a Snm je projektivní varieta. Důkaz. Souřadnice v kn+1 budeme značit x-i, souřadnice v km+1 jako y j a ir ^n+1 ^ h-m+1 potom Zíj. Potom Segreho zobrazení má vyjádření /x0y0 : ■■■ : x0ym\ v t((x0 : • • • : xn), (y0: ■■■ : ym)) yXnUo • ■ ■ ■ • xnymJ tj. homogenní souřadnice je rovna xiyj (koeficient ^x!e!®I]!/iei uej(g>ej je xiyj). Zjevně pro souřadnice obrazu platí z^z^i = z^z^j. Nechť Z je varieta zadaná těmito rovnicemi, platí 36 14. Součin projektivních variet tedy Enm C Z. Nechť naopak R = (zíj) G Z a hledejme P = (x i) G Pn, Q = (yj) G Pm tak, ze snm(P, Q) = R- Alespoň jedna ze souřadnic R je nenulová, nechť je to z\.\. Protože má být P = {xq : • • • xn) = (xQyi : xnyi) = (z0i : • • • : zni), jsme nuceni položit P = (zqi : • • • : zn;) a analogicky Q = (z/to : • • • : Zkm) (jsou dobře definovány, protože obsahují komponentu Zki 7^ 0). Potom je snm{{z$i : • • • : zni), (zko : • • • : Zkm)) rovno (• • • : Zí/Zfci :•••) = (•••: z^zu :■■■) = (■■■: z^ :■■ ■). □ Odteď budeme Pn x Pm ztotožňovat se Yjnm a chápat tedy jako projektivní varietu. Z předchozího důkazu navíc vidíme, že obě projekce -k\ : Pn x Pm —> Pn a 7t2: Pn x Pm —> Pm jsou regulární (v prvním případě zadané (• • • : z^ : • • •) 1—> (zqz : • • • : znl) a každý bod leží v definičním oboru takového zobrazení pro vhodné V). Řekneme, že polynom / G k[a?o,..., xn,yo,..., ym] je bihomogenní stupně (r, s), jestliže je homogenní stupně r v proměnných X{ a homogenní stupně s v proměnných y y Věta 14.2. Nechť V C Pn, C Pm jsou projektivní variety. Potom V x W C Pn x Pm je také projektivní varieta. Jsou-li obě V, W ireducibilní, pak V x W je také ireducibilní. Obecněji, nechť S C k[a?o,..., xn,yo,..., ym] je množina bihomogenních polynomů. Potom V(S) C Pn x Pm je projektivní varieta. Naopak, každá varieta X C Pn x Pm je tohoto tvaru. Důkaz. Platí V x W = 7r1_1(V) n tv2~1{W) (nebo lze použít obecnější druhé tvrzení na bihomogenní polynomy zadávající V a W). Ireducibilita se dokáže stejně jako u afinních variet. Je-li / bihomogenní stupně (r, r), pak jej lze psát jako homogenní polynom stupně r v proměnných x^y^ = zíj a je tedy (Pn x Pm) n V (f) projektivní varieta. Přitom platí V(f) = V(xof,... ,xnf) a takto lze změnit stupeň polynomu / z (r,s) na (r + l,s), analogicky na (r, s + 1), a lze tedy dosáhnout stejného stupně v obou skupinách proměnných. □ Důsledek 14.3. Segreho varieta je ireducibilní. Důkaz. To plyne z toho, že projektivní prostor Pn je ireducibilní (protože je Pn = An, plyne toto jednoduše z ireducibility An). □ Tvrzení 14.4. Nechť W je kvaziprojektivní varieta. Potom Ajy C W xW je uzavřená. Jsou-li f ,g: V —> W dvě regulární zobrazení mezi kvaziprojektivními varietami, pak podmnožina {P G V j f{P) = g(P)} je uzavřená ve V. Důkaz. Zjevně platí Ajy = (W x W) D Apm, takže stačí ukázat uzavřenost Apm C Pm x Pm. Přitom platí {x$ : • • • : xm) = (yo : """ : Um), právě když xiyj = Xjyi. Pro druhou část si pak stačí uvědomit, že množina ze zadání je (/, (^^(Ajy), kde (f,g): V —> W x W. □ Věta 14.5 (o projekci). Projekce tv: Pn x Pm —> ¥m je uzavřená. K důkazu věty budeme potřebovat následující úvahu. Nechť Po £ ^n Je bod, pro jednoduchost budeme předpokládat Po = (0 : • • • : 0 : 1), a X C P™ projektivní varieta. Budeme uvažovat projekci p z Po na komplementární podprostor Pn_1; geometricky je p(Q) průsečík přímky PqQ s Pn_1. V souřadnicích pak p(xq : • • • : xn_i : xn) = (x$ : • • • : xn-\). 37 14. Součin projektivních variet Uvažujme pro F, G homogenní stupňů d, e oba jako F,G G k[xo,..., xn-i] [xn] stupňů d a e, tj. může se jednoduše stát, že vedoucí koeficient F je 0. Vzhledem k tomu, že je to přesně koeficient u xrf, nastane to, právě když F(Pq) = 0. Budeme potom psát Res'(F, G; xn) = ResdtĚ(F, G; xn) pro rezultantu polynomů F, G chápaných v tomto smyslu - jedná se tedy o determinant čtvercové matice o rozměru d + e. Tvrzení 14.6. Nechť J je homogenní ideál a X = V{J). Označme Y = V(Res'(F,G;xn) \ F,G G J homogenní). Potom platí • pokud Pq £ X, je Y = p(X), • pokud P0 £ X, je Y = Pn_1. Důkaz. Pokud Po £ X, bude vedoucí člen každých i7, G G J nulový a tedy Res'(F, G; xn) = 0. V dalším budeme předpokládat Pq ^ X. Pokud je (xq : • • • : xn-i) G p(X), tj. pokud existuje xn takové, že (xq : • • • : xn-\ : xn) G X, pak mají F(xq, ..., xn-i, —) a G(xq, ..., xn-i, —) společný kořen xn a jejich rezultanta je tedy nulová. Proto p{X) C Y. Nechť nyní {x$ : ••• : xn-\) ^ p(X). Zvolme i7 G J takový, že F (Po) 7^ 0. Potom F(xq, ..., xn-i, —) má pouze konečně mnoho kořenů, označme odpovídající body P±,..., Pk. Podle předpokladu neleží v X. Ukážeme, že pak existuje polynom G G J takový, že G (Po) 7^ 0, G(P\) 7^ 0,..., G(Pk) 7^ 0. Potom F, G nebudou mít společný kořen a zároveň budou mít koeficient u xrf nenulový (protože F (Po) / 0 a G (Po) 7^ 0) a tedy rezultanta Kes'(F, G; xn) bude nenulová v (xo, • • •, xn-\). Proto (xq : • • • : xn-\) ^ Y. Zbývá najít polynom G. Předně existuje polynom G i G J nenulový na Pj. Vynásobením vhodným polynomem Hi, nulovým na ostatních bodech, ale nenulovým na P,, a vhodného stupně dostaneme sečtením hledaný G = HqGq + • • • + HkGk £ J■ d Důkaz Včty 14-5. Uvažme zobrazení p: Fn x Pm —> Pn_1 x Pm, které je v první složce projekcí z libovolného bodu Po (zWa & ve druhé složce identita, tj. ve vhodných souřadnicích p((x0 : • • • : xn_i : xn), (y0 : • • • : ym)) = ((x0 : • • • : a;n-l), (yo : • • • : ym))- Nechť X C Pn x Pm je projektivní varieta a položme / = (/ G k[x0,.. •, xn, y0, • • •, ym] I / bihomogenní, f\x = 0); platí V = V(I), protože X je zadána bihomogenními polynomy. Uvažujme nyní J = (Res'(/, g;xn) \ f,g G / bihomogenní), kde varianta rezultanty je definovaná pomocí stupňů /, g vzhledem k proměnným x{ a jedná se o bihomogenní polynom v proměnných xq, ..., xn-i,yo, ■ ■ ■, ym- Zřejmě je Res'(f,g;xn)(-,y) = Res'(f(-,y),g(-,y);xn), takže předchozí tvrzení říká, že Y = V (J) = p(X) u (P"-1 x {Q I (Po, Q) e X}), a proto tt(X) = tt(Y). Věta plyne n-násobnou iterací tohoto kroku. □ 38 14. Součin projektivních variet Důkaz. Nechť Z CWn x Pm je zadaná bihomogenními polynomy gi,..., gr. Pro bod Q £ Pm je pak v obraze tt(Z), právě když V(gi (—, Q),..., gr(—, Q)) ^ 9. Podle projektivní věty o nulách to nastane, právě když *j(gi (—, Q),..., gr(—, Q) 2 (xo,..., x„), tj. právě když (gi(—, Q),..., gr{—, Q) neobsahuje žádnou mocninu {xq, ..., x„)d. Stačí tedy ukázat, že Td = {Q e Pm | Q),..., gr(- Q)) 2 (xo,xn)d} je uzavřená, neboť tt(Z) = f]d>0 T^. Přitom definující podmínka je zjevně ekvivalentní tomu, že ideál (gi(—, Q), ■ ■ ■, 9r(—, Q)) neobsahuje všechny monomy stupně d. Uvážíme tedy kd[2:o,..., xn] n (gi(—, Q), ■ ■ ■, gr(—, což je vektorový prostor generovaný {9k(-,Q)xa \deggk(-,Q) + H=d}. To je vlastní podprostor k.d[xo,..., x„], právě když každých D — 1 polynomů ,Q)xa je lineárně závislých, kde D = dimIkd[:ro, • • • i xn]. Podmínka lineární závislosti lze ekvivalentně napsat jako nulování všech minorů řádu D — 1 v matici tvořené souřadnicemi všech 9fe(—,Q)xa. Přitom každý takový minor je polynomiální výraz v souřadnicích Q. Důsledek 14.7. Nechť X je projektivní varieta a Y kvaziprojektivní varieta. Potom projekce 7t: X x Y —> Y je uzavřená. Důkaz. Nechť Z C X x Y je uzavřená; proto je také Z uzavřená vTxľ. Potom Z = (Fn xY)r\Ž a platí 7r(Z) = Y D tt(Z) a podle předchozí věty je tato množina uzavřená v Y (protože tt(Ž) C Fm je uzavřená). □ Věta 14.8. Nechť X je projektivní varieta a f: X —?► Y libovolné regulární zobrazení. Potom obraz im/ C ľ je uzavřený. Důkaz. Uvažme graf Tf, ten tvoří uzavřenou podmnožinu součinu X x Y, neboť se skládá právě z těch ([x], [y]) G X x Y, pro které pro libovolné lokální vyjádření / = (/o : • • • : fm) platí yjfk(x) = ykfj(x) (tam, kde není lokální vyjádření definované jsou beztak obě strany nulové). Podle předchozího důsledku je im / = ir(Tf) C Y uzavřená podmnožina. □ Věta 14.9. Každá regulární funkce f: X —> k na ireducibilní projektivní varietě X je konstantní. Důkaz. Uvažme složení X 4 k C P1, P ^ (1 : f (P)). Jedná se o regulárni zobrazení a podle předchozí věty je jeho obraz uzavřený. Zároveň ale není roven P1, neboť je obsažen v A1 = k, takže tímto obrazem musí být konečná podmnožina k. Jednoduše se ukáže, že obraz ireducibilní variety při spojitém zobrazení je ireducibilní a proto musí být im / jednoprvková, tj. / je konstantní. □ Věta 14.10. Projektivní varieta je afinní, právě když je konečná. Důkaz. Ukážeme, že každá ireducibilní komponenta musí být jednoprvková. Nechť X je tedy ireducibilní projektivní varieta a /: X c—>■ An vložení. Podle předchozí věty je každá komponenta / konstantní a tedy i / je konstantní. Proto je X vskutku jednobodová. □ Příklad 14.11. Afinní prostor An je projektivní, právě když n = 0. DU 7. Dokažte, že obraz regulárního zobrazení A1 —> An je uzavřený (nápověda: použijte, že P1 ->• Pn je re gulární a zkoumejte obraz nevlastního bodu). svíceni 14.12. Dokažte, že A2 \ {0} není afinní ani projektivní. Cvičení 14.13. Dokažte, že P2 \ {0} není afinní ani projektivní. Cvičení 14.14. Dokažte, že Pn x Pm je biracionálně ekvivalentní pn+m. svíceni 14.15. Dokažte, že P1 x A1 není afinní ani projektivní. 39 15. Veroneseho zobrazení 15. Veroneseho zobrazení Označme D + 1 počet všech homogenních monomů stupně d a uvažujme zobrazení Ukážeme, že je to vložení na podvarietu, které říkáme Veroneseho varieta. Předně je jasné, že se jedná o regulární zobrazení, neboť některá ze složek xd je vždy nenulová. Podle věty o uzavřeném obraze je pak Veroneseho varieta vskutku projektivní varieta. Popíšeme nyní inverzní zobrazení. Pro xd 7^ 0 lze tuto inverzi reprezentovat jako (■■■:xa:...)^(xtd-1x0:...:xtd-1xn). Nechť / £ I [ xq,...,xn]. Potom varieta V(/) C Pn má ve Veroneseho vložení rovnici / = 0, která je lineární v souřadnicích xa. Jinak řečeno, obraz V{f) je průnik Veroneseho variety s projektivní nadrovinou v FD. Věta 15.1. Nechť X je ireducibilní projektivní varieta mající více než jeden bod. Pokud je f libovolný nekonstantní polynom, pak X n V (f) 7^ 0 a Xf = X \ V{f) je afinní. Důkaz. Díky Veroneseho vložení můžeme předpokládat, že / je lineární. Pokud by Xí)V(f) = 0, znamenalo by to, že X C PD \ V(f) = AD a V by byla afinní varieta, což je možné pouze pro bod. Zároveň X \ V(f) C AD a je tedy afinní. □ Pro afinní variety předchozí věta neplatí: libovolné dvě rovnoběžné přímky v rovině A2 mají prázdný průnik, V{x\) n V{x\ — 1) = 0. Z předchozí věty lze jednoduše vyvodit, že Xf = X \ V{f) je afinní také pro každou afinní varietu X. Je totiž zadaná komplementem nulové množiny xq ve svém projektivním uzávěru, X = XXo, takže Xf = Xx^j. O něco přímější důkaz používá konkrétní konstrukci Xf ^ {(x, t) G An+1 \xeX, f(x)t = 1} = V(I(X),ft - 1); izomorfismus posílá x 1—> (x, f(x)^1) a v opačném směru se jedná o projekci. Věta 15.2. Nechť P G X je bod kvaziprojektivní variety X. Potom afinní otevřená okolí P, tj. otevřená okolí izomorfní nějaké afinní varietě, tvoří bázi okolí P. Důkaz. Uvažujme libovolné otevřené okolí U 3 P bodu P G V kvaziprojektivní variety X. Potom X \ U je projektivní varieta neobsahující P a existuje tedy homogenní polynom / G I{X \ U) \ I{P). Proto P (z X f = X \ V{f) C U a tedy afinní otevřená okolí tvoří bázi okolí. □ Předchozí věta se hodí k lokálnímu studiu kvaziprojektivních variet, neboť můžeme vždy přejít k afinním varietám. 16. Lokální vlastnosti variet Pro (ireducibilní) kvaziprojektivní varietu V definujeme tzv. strukturní svazek jako soubor algeber 0(U) pro každou otevřenou podmnožinu U C V, 0(U) = {/ G k(V) I / je regulární na U, tj. dom / D U} 40 17. Grassmannovy variety Je-li Uq C Ui, pak každá funkce regulární na Ui je zejména regulární na Uq a máme tedy inkluzi ru0u1: 0{U\) —> 0(Uq). Přitom platí rjjjj = id a r^u^u^ = ru0u2 a v takovém případě mluvíme o předsvazku algeber. (Jedná se o kontravariantní funktor z uspořádané množiny všech otevřených podmnožin do kategorie algeber.) Nyní vysvětlíme a dokážeme vlastnost svazku. Ta zhruba říká, že regulární funkce lze definovat lokálně, tj. máme-li nějaké otevřené pokrytí U = |J Ua, tak ke každému systému fa G O (Ua) takovému, že ruar\U^uAfa) = rUanUpJJpUp) (podmínka kompatibility - funkce se shodují na průniku jejich definičních oborů), existuje jediná / G O (U) taková, že ruau(f) = fa. Tato vlastnost plyne jednoduše z toho, že jsme regulární funkce definovali jako funkce mající lokálně vyjádření /i//o- Naše předchozí výsledky říkají například O (V) = k[V], 0(Vh) = ^[V]h pro afinní varietu V a 0(X) = k pro projektivní varietu X. Definujeme lokální okruh variety X v bodě P G F jako Op = {/ G k(V) | / je regulární v bodě P} Jelikož je racionální funkce g/h regulární v bodě P, právě když h[P) 7^ 0, tj. právě když h ^ mp, lze ekvivalentně psát Op = k[V]mp. Díky tomuto má Op jediný maximální ideál Tip = mpOp = {g/h G Op \ g G mp} a je to tedy lokální okruh. 17. Grassmannovy variety Grassmannova varieta G(k, n) má velice bohatou strukturu. Začneme s tím, že ji popíšeme jako množinu, teprve poté ji nadefinujeme jako projektivní varietu. Jako množina je G(k, n) množina všech fc-rozměrných podprostorů ve vektorovém prostoru Kn. Je-li (v±,... ,Vk) lineárně nezávislá fc-tice vektorů z Kn, pak označme [v±,... ,Vk] vektorový podprostor jimi generovaný. Máme tak zobrazení (Kn)k d V(k,n)^G(k,n), (vu...,vk) m- [vu...,vk] a G(k,n) je jistý kvocient definičního oboru V(k,n) (tj. množiny lineárně nezávislých fc-tic vektorů). Není špatné si uvědomit, že se jedná o kvocient podle akce grupy GL(fc) lineárních izomorfismů která působí na fc-ticích vektorů pomocí maticového násobení, tj. nahradí tuto fc-tici jinou, složenou z odpovídajících lineárních kombinací, (v!,.. .,vk)(a,ij) = (^2 Vidu,... ,y^Víaik). Našim cílem nyní bude G(k,n) popsat jako podmnožinu nějakého projektivního prostoru. K tomu využijeme vnější mocninu Ak¥Ln vektorového prostoru Kn. Platí totiž, že vnější součin vi A • • • A vk se při změně báze změní pouze vynásobením skalárem (konkrétně při změně o akci matice A se součin vynásobí det A). Zobrazení G(fc, n) F(AkKn), [Vl,... ,vk] 1—> [ui A • • ■ A vk] 41 17. Grassmannovy variety je tedy dobře definované, nazývá se Plúckerovo vložení. Ukážeme nyní, že je injektivní a jeho obrazem je projektivní varieta. K obojímu se budeme snažit z tenzoru uj = v\ A • • • A vk získat zpět podprostor [v±,... ,Vk\. Definujme zobrazení ípw : Kn —> Ak+1Kn, v i—> uj f\v. Zřejmě platí [vi, ...,vk] = ker G(k, n) definovaného výše. Toto zobrazení je zřejmě regulární a surjektivní (stačilo by i dominantní). Protože je (Kn)k, a tedy i V(k,n), ireducibilní, bude ireducibilní i obraz G(k,n). V následujícím se nám bude hodit, že zobrazení 7 je otevřené. Základní příklad otevřeného zobrazení v topologii je projekce součinu X x Y —?► X (v algebraické geometrii se toto musí dokázat znovu, protože součin má více otevřených množin). Jednoduchým zobecněním jsou pak tzv. bandly, které vypadají jako součin pouze lokálně. Naše zobrazení je bandl, jak za chvíli ukážeme. Lemma 17.2. Nechť X a Y jsou kvaziprojektivní variety. Pak je projekce X x Y —> X otevřená. Důkaz. Tvrzení stačí dokázat pro projektivní variety, protože zúžení otevřeného zobrazení na otevřené podmnožiny je otevřené. Nechť je U C X x Y bázová otevřená množina, tedy doplněk U = (X x Y) \ V (g) nulové množiny nějakého polynomu g = g(x, y) (zde x značí systém proměnných Xi, podobně y). Potom x G X neleží v tt(U) právě když g(x,—) je nulový na celém Y, tj. g(x, —) G I(Y). To je ale systém lineárních podmínek na koeficienty g(x, —) G K[yo,...,ym], které závisí polynomiálně na xq, ...,xn. □ Uvažujme podmnožinu U C V(k,n) danou fc-ticemi (vi,... ,Vk), jejichž projekce do Kfc generovaného prvními k bázovými vektory jsou lineárně nezávislé. Jejich vhodnou kombinací, 42 17. Grassmannovy variety tj. vynásobením vhodnou invertibilní maticí A, můžeme dosáhnout toho, že tyto projekce tvoří standardní bázi To znamená (v1}..., v^A'1 = (^j A'1 = ^B^-ij = {ei+w1,...,ek+ wk) Potom [vi,..., vk\ = [e± + wi,... ,ek + wk] a navíc báze (ei + wi,..., ek + wk) uvedeného tvaru (projekce do Kfc dávají kanonickou bázi) je jediná. To znamená, že zobrazení (Kn~k)k —> G(k,n), (w1,...,wk) i—> [e1+w1,...,ek + wk] je regulární bijekce a není těžké napsat předpis pro jeho inverzi, která je regulární na jisté otevřené množině U C G(k,n), konkrétně na obraze předchozího zobrazení. Vzhledem k tomu, jak jsme tento izomorfismus odvodili, je zřejmé, že "f(U) = U a při uvedené identifikaci U = (¥Ln~k)k má zobrazení předpis Ač to tak na první pohled možná nevypadá, jedná se o projekci. To je dáno tím, že U = (Kn~k)k x GL(fc) pomocí ^ (BA-\A). Shrňme situaci následujícím diagramem K(n-k)k x GL^ V(k,n) pr K(n-k)k ~ (J c G{k,n) Konstrukci lze provést i s jinými složkami než právě s prvními k. Vzniklé množiny U pokrývají G(k,n) a množiny U pokrývají V(k,n). Jelikož je každé zúžení U —> U otevřené, jednoduše se ukáže, že i celé 7 : V(k, n) —> G(k, n) je otevřené. Poznámka. Předchozí izomorfismy mají geometrický význam. Uvažujme kn = kfc x kn~fc. Potom množina U odpovídá těm podprostorům, které protínají kn~fc pouze v nule a jsou to potom grafy lineárních zobrazení kfc —> kn_fc, takže hom(kfc,kn~fc) = U. Samozřejmě komplementární podprostory kn = K © L lze volit nezávisle na souřadnicích a dostáváme tak bezsouřadnicovou verzi předchozího; dostaneme pak hom(K, L) = U a hom(K, L) x iso(kfc,iv) ^ Ú. Projektivní verze Grassmannovy variety je varieta fc-rozměrných projektivních podpro-storů v Pn, kterým budeme v dalším říkat k-roviny. To je ale to samé, co {k + l)-rozměrné vektorové prostory v Kn+1, máme tedy G(k,n) = G(k + l,n + l). Nad G(k, n) krom Y(k, n) existuje ještě celá řada dalších bandlů (přičemž všechny v jistém smyslu vzniknou z Y(k, n) - jsou k němu tzv. asociované). My budeme potřebovat následující "tautologický bandl" S = {(A,x) G G(k,n) x Pn | x G A} C G(k,n) x Pn 43 18. Dimenze Pomocí £ definujme pro projektivní varietu ICf tzv. incidenční varietu Ck{X) jako Ck{X) = {A G G(fc, n) | X n A / 0} C G(fc, n). Ukážeme nyní, že se skutečně jedná o variety. V případě £ to plyne z následujícího (M, [u]) G £ wA» = 0. Označíme-li projekce 7ri : S —?► G(k,n) a 7T2 : S —?► Pn, pak C/«(X) = 7ri(7r2_1(X)) a jde tedy také o projektivní varietu. Poznamenejme, že £ —> G(k,n) je opět bandl s fibrem Pfc. Řekneme, že obecný bod x variety X má vlastnost P, jestliže množina bodů x G A7" majících tuto vlastnost je otevřená hustá (v případě ireducibilní X tedy otevřená neprázdná) nebo obecněji, pokud množina bodů x G A majících tuto vlastnost obsahuje nějakou otevřenou hustou podmnožinu. Věta 17.3. Nechť X C Pn je projektivní varieta. Pak buď každá k-rovina protne X nebo obecná k-rovina neprotne X. Důkaz. Ukázali jsme, že Ck{X) C G(k,n) je projektivní varieta. Protože je G(k,n) ireducibilní, je buď Cfc(A) = G(k,n) nebo je doplněk otevřená hustá podmnožina. □ Tvrzení 17.4. Je-li k > l, tak obecná k-rovina obsahuje obecnou l-rovinu a obecná l-rovina je obsažena v obecné k-rovině. Důkaz. Nechť U C G(l,n) je otevřená neprázdná. Smysl prvního tvrzení je, že množina V = {A G G(k, n) | 3T G U : T C A} je otevřená neprázdná. Uvažujme následující zobrazení S : K(n+i)(fc+i) _^.G(/jn) posílající (k + l)-tici vektorů (vq, ... ,Vk) na /-rovinu [vq, ... ,vi]. Potom V = 7(á_1(ř7)) a první tvrzení plyne z otevřenosti 7. Druhé tvrzení se ukáže podobně z otevřenosti S (ta plyne z toho, že to je složení projekce a 7 pro /-roviny). □ DU 8. Řekneme, že fc-rovina K a /-rovina L se protínají transverzálně v Pn, jestliže jejich průnik je {k + 1 — n)-rovina. Ukažte, že obecná dvojice (K, L) G G(k, n) x G(l, n) se protíná transverzálně. 18. Dimenze Definice 18.1. Řekneme, že projektivní varieta X C Pn má kodimenzi k, jestliže každá k-rovina protíná X a existuje {k — l)-rovina, která X neprotíná. Dimenzí X pak nazveme číslo dim X = d = n — k. V případě, že X má kodimenzi k, existuje podle definice {k — l)-rovina neprotínající X, podle Věty 17.3 dokonce obecná {k — l)-rovina neprotíná X. Pro libovolnou projektivní varietu X platí, že každá {n + l)-rovina protne X a existuje ( —l)-rovina neprotínající X (formálně je ( —l)-rovina jediná, a to prázdná množina). Proto je dimenze dobře definovaná a jednoznačná. 44 18. Dimenze Příklad 18.2. Ve dvou triviálních (extrémních) případech, lze zcela charakterizovat variety určité dimenze. Podle definice varieta X C Pn má dimenzi 0, tj. kodimenzi n, právě když každá n-rovina (ta existuje jediná a to Pn) protne X, tedy X je neprázdná, a navíc existuje (n — l)-rovina, která je s V disjunktní. Potom je ale X afinní a tedy konečná. Varieta ICf má dimenzi n, tj. kodimenzi 0, právě když každá 0-rovina, tj. bod, protíná X. To ale znamená, že X = Pn. Ještě jeden případ, byť poněkud formální, se nám bude v dalším výkladu hodit. Varieta má dimenzi —1, pokud je prázdná (existuje n-rovina disjunktní s X). To sedí s případem variety dimenze 0, která je konečná neprázdná. Lemma 18.3. Dimenze projektivní variety X je rovna maximu z dimenzí jejích ireducibilních komponent. Důkaz. Označme komponenty Xi. Jelikož je každá Xi obsažena v X, plyne přímo z definice, že dimVj < dim X. Pokud by tato nerovnost byla striktní pro všechna i, byla by pro každé i obecná fc-rovina je disjunktní s Xi a následně by byla obecná fc-rovina disjunktní s jejich sjednocením X, což by byl spor s k = co dim V. □ Víme, že obecná {k— l)-rovina je disjunktní s X, takže obecná fc-rovina A obsahuje (k — 1)-rovinu T disjunktní s X; proto je V n A konečná - leží v afinním A \ T. Platí tedy, že obecná fc-rovina protíná X v konečně mnoha bodech (toto by šlo také použít jako definice dimenze). Ve skutečnosti platí, že počet průsečíků V n A je pro obecnou fc-rovinu maximální možný a roven tzv. stupni variety X, kterým se budeme zabývat později v souvislosti s Bezoutovou větou. V současné chvíli není vůbec jasné, zda dimenze závisí pouze na varietě, nebo i na jejím vložení do Pn. K tomu, abychom tuto nezávislost ukázali, bude potřeba dimenzi popsat jiným, invariantním způsobem. Nechť P je libovolný bod {k — l)-roviny A C Pn disjunktní s X. Uvažujme projekci z bodu P. To je regulární zobrazení 7t : Pn \ {P} —>■ P™"1 dané volbou nadroviny T C Pn. Obraz ir(Q) je potom jediný průsečík přímky PQ s T = Pn_1. Ve vhodných souřadnicích, ve kterých P = (0 : • • • : 0 : 1 ) a T = W1-1 má 7t předpis 7r(x0 : • • • : xn) = (xQ : ■ ■ ■ : xn-i). Ukážeme nyní, že obraz tt{X) má stejnou dimenzi jako X. Zároveň porovnáme další invariant, stupeň transcendence tr degk(V) tělesa k(V) racionálních funkcí na X. Jedná se o maximální počet prvků k(V) algebraicky nezávislých nad k. Jsou-li tyto prvky a±,..., as, je k(ai,..., as) izomorfní tělesu racionálních funkcí v s proměnných. Každý prvek k(V) je algebraický nad k(ai,..., as). Jelikož je k(V) konečně generované, je už rozšíření k(V) : k(ai,..., as) konečné. Platí, že libovolný maximální systém algebraicky nezávislých prvků má stejný počet. Důkaz. Pokud ai,...,as a b±,... ,bf jsou dva maximální systémy algebraicky nezávislých prvků, pak postupně nahradíme první systém maximálním algebraicky nezávislým systémem ,..., a,is_k, b\,..., bk (v indukčním kroku jsou ajs_fe, &i , bk+i algebraicky závislé a proto splňují nějakou polynomiální rovnici, která ovšem musí obsahovat jak fe^+i, tak 45 18. Dimenze některou z a;, a nahradíme au - h+i)- k(X) k(aj '«!>•••> ^ij 1 • • • 1 ^ís — k 1 ■ ■ ■ ,bk, bk+i) k(aj ;ň) • • • ) aía-k i k(aj 6i,... A) Pro k = s dostaneme, že 6i,..., bs je maximální algebraicky nezávislý systém a tedy s = t. □ Tvrzení 18.4. Platídim7r(X) = dimX a tr degk(7r(X)) = trdegk(X). Důkaz. Prvně si uvědomme, že pro první rovnost chceme dokázat codim7r(X) = codimX — 1. Nechť tedy A C Pn_1 je libovolná (k - 1 -rovma. Potom 7r_1(A) U {P} je k -rovina a proto protíná X. To ale znamená, že A protíná tt(X). Zároveň 7r(A) je {k — 2)-rovina disjunktní s 7r(X), protože A je disjuktní s X. Pro výpočet stupňů transcendence připomeňme, že za předpokladu X % Hq je k(X) generované x±/xq, ..., xn/xQ, kde předpokládáme, že xq není nulové na X, tj. xq 0 I(X). Zobrazení X —> tt(X) je dominantní, lze tedy chápat k(X) jako rozšíření k(7r(X)). Jako takové je generované jediným prvkem xn/xQ. Uvažme libovolný homogenní polynom / G I(X) stupně r, který je nulový na X, ale nikoliv na P = (0 : • • • : 0 : 1). To znamená, že jeho koeficient u x'n je nenulový a fakt, že f /xq = 0 v k{X) vyjadřuje přesně, že prvek xn/xQ je algebraický nad k(7r(X)). Je tedy rozšíření k(X) : k(7r(X)) konečné a proto se stupně transcendence rovnají. □ Důsledek 18.5. Platí dimX =trdegk(X). Důkaz. Důkaz provedeme indukcí vzhledem ke k = codimX. Pro k = 0 máme X = Pn a Důsledek 18.6. Je-li 1'CI podvarieta projektivní variety X, která neobsahuje žádnou její komponentu, pak dimX' < dimX. Důkaz. Stačí se omezit na případ, kdy X je ireducibilní a tedy X' vlastní podvarieta. Předpokládej sporem, že dimX' = dimX a zvolme {k — l)-rovinu A disjunktní s X, tím pádem i s X', a trdegk(X) = tr degk(xi/xo,... ,xn/xo) = n = dimX. Je-li X vlastní podvarieta, zvolíme projekci tt jako výše a dostáváme dimX = dimTTpf) = tr degk(7r(X)) = trdegk(X) podle předchozího tvrzení a indukčního předpokladu. □ 46 18. Dimenze Nyní dokážeme, že zúžení tt' = ir\x' '■ X' —> Fd nemůže být surjektivní. Přejděme k afinní podmnožině Ád = ^dX(j a jejím odpovídajícím vzorům v X a X'. Zvolme libovolný polynom / G I{X') \ I(X), tedy polynom nulový na X', ale nikoliv na X. Protože x±,...,xd G k(X) tvoří maximální algebraicky nezávislý systém, existuje polynomiální relace p{xi, ...,xd,f) = 0v k(X), kde můžeme předpokládat, že p G k[si,..., sd, t] je ireducibilní. Protože je / 7^ 0 na X, není tento polynom rovný t, a tedy ani dělitelný t. Po zúžení na X' tak dostáváme nenulovou polynomiální relaci p(x1,...,xd,0) =0 vk(ľ). Proto nejsou x±,..., xd algebraicky nezávislé v k(X') a tedy (tt1)* : k[Ad] —> k.(X') není injek-tivní. To ale přesně znamená, že tt' není dominantní a tedy ani surjektivní. □ Věta 18.7. Je-li X projektivní varieta a V{f) nadplocha neobsahující žádnou komponentu X, pak platí dim(X D V (f)) = dimX - 1. Důkaz. Podle předchozího důsledku je jistě dim(AT)V(/)) < dim X — 1. Předpokládejme nyní, že je tato dimenze striktně menší. Potom existuje {k + l)-rovina A disjunktní s A n V (f). Potom ale A n A musí být konečná (leží totiž v afinním A \ V{f)) a jistě lze najít fc-rovinu T C A, která bude s X disjunktní. To je ale spor s tím, že k je kodimenze X. □ Důsledek 18.8. Každá ireducibilní projektivní varieta ICP" dimenze n—1 (tj. kodimenze 1) je nadplocha, tj. X = V{f). Důkaz. Je-li / G I{X) libovolný ireducibilní homogenní polynom (takový existuje, protože je I{X) prvoideál), pak X C V (f). Protože je však X ireducibilní a téže dimenze, musí být X = V(f). □ Důsledek 18.9. Je-li chark = 0, pak každá kvaziprojektivní varieta je biracionálně ekvivalentní nadploše. Důkaz. Nechť xi,...,Xd G k(A) je maximální algebraicky nezávislý systém prvků. Potom k(A) : k(a?i,..., xd) je konečné, proto jednoduché (podle věty o primitivním prvku), řekněme generované prvkem Xd+i- Protože je k(A) konečně generované, je izomorfní tělesu racionálních funkcí afinní variety Y C Ad+1. Protože je trdegk(A) = d, má Y dimenzi d a jedná se o nadplochu. □ Důsledek 18.10. Každých n homogenních polynomů má společný nenulový kořen, tj. 0 7^ V(h,...,fn)CFn. □ O počtu těchto řešení pak mluví Bezoutova věta, kterou dokážeme později. Pomocí předchozí věty lze dimenzi ireducibilní projektivní variety X charakterizovat jako "délku" d nej delšího řetězce 0 C Xd C • • • C Xo = X ireducibilních variet (index značí kodimenzi). Podle předchozí věty má totiž každý řetězec délku maximálně d. Navíc ale lze najít X\ Xq dimenze přesně d — 1 a indukcí pak řetězec délky d. V řeči souřadnicových okruhů má tato charakterizace následující vyjádření, ve které 47 18. Dimenze je nyní X ireducibilní afinní varieta. Dimenze X je rovna tzv. Krullově dimenzi k[X], která je definována jako "délka" d nejdelšího řetězce o = i0 c ... c id C k[X] prvoideálů v k[X]. Tato definice má tu výhodu, že je vyjádřena v řeči variety samotné (dokonce pouze její topologie) a nezávisí na jejím vložení do projektivního prostoru a je tedy zjevně invariantní vzhledem k izomornsmům. Věta 18.11. Nechť je f : X —» Y surjektivní zobrazení mezi projektivními varietami takové, že d = dim/_1(y) nezávisí na y £ Y. Potom dim X = dim Y + d. Důkaz. Můžeme předpokládat, že Y je ireducibilní - jinak ji rozložíme na ireducibilní komponenty. Nechť Yq = Y n V (g), kde g není nulová na obrazu žádné komponenty X a položme X0 = /_1(*o) = X n V {g f). Potom indukcí dim X = dim X0 - 1 = (dim Y0 + d) - 1 = dim y + d. □ Jako důsledek vidíme, že není potřeba technický předpoklad v Tvrzení 18.4, totiž že projekce má být z bodu obsaženého v nějaké (k — l)-rovině disjunktní s X (nebo lze také nyní nahlédnout, že každý bod je obsažený v takové (k — l)-rovině). Je-li X ireducibilní projektivní varieta, Věta 18.7 říká, že maximum z dimenzí komponent X n V (f) je rovno dimX — 1. Ve skutečnosti ale platí, že všechny komponenty X D V (f) mají dimenzi dimX — 1 (nebo ekvivalentně, že Věta 18.7 platí také pro kvaziprojektivní variety): Věta 18.12. Je-li X kvaziprojektivní varieta a V(f) nadplocha neobsahující žádnou komponentu X, pak platí dim(X n V (f)) = dimX — 1. DU 9. Nechť f:X —> Y je surjektivní uzavřené zobrazení mezi Noetherovskými topologickými prostory takové, že pro každou dvojici uzavřených podmnožin A ^ B C X, kde B je ireducibilní, je f (A) ^ f{B). Dokažte, že / je otevřené. ** Důkaz věty. Uvažme opět konečnou projekci p: X —> Fd takovou, že V(f) = p_1(Pd_1) je vzor nadroviny v této projekci - toho se dosáhne pomocí Veroneseho vložení a volbou projekce z podprostoru obsaženého v nadrovině V(f). Nechť Xq C X je libovolná komponenta XnV(f) a X\ sjednocení ostatních. Potom U = X \ X\ je otevřená a jejím obrazem p(U) C Fd je podle předchozího opět otevřená podmnožina. Proto r\p(U) C p(Xq) a p(Xq) obsahuje otevřenou neprázdnou podmnožinu Pd_1. Protože je sama uzavřená, musí být p(Xo) = Pd_1 a dimXo = d — 1 (tady používáme Větu 18.11 pro projektivní variety). □ S pomocí tohoto rozšíření pak lze rozšířit rozličné definice dimenze i na kvaziprojektivní variety X - pro porovnání ji provizorně definujme jako dimX. První definice je, že kodimenze je rovna k, jestliže obecná fc-rovina protne X (neprotne totiž vlastní uzavřenou X \ X menší dimenze) a obecná (k — l)-rovina neprotne X (neprotne totiž ani X). Druhá definice je trdegk(X). Třetí je pak délka d nejdelšího řetězce 0 C Xd C • • • C Xo = X ireducibilní ch podmnožin (díky předchozí větě je průnik s nadplochou opět kodimenze 1). Dále se dá Věta 18.11 rozšířit i na kvaziprojektivní variety; uveďme jednoduchou aplikaci takového rozšíření. 48 18. Dimenze Příklad 18.13. Spočítejme dimenzi Grassmannovy variety G{k,n) elementárním způsobem. Uvažme zobrazení 7 : V(k, n) —> G(k, n), (ui,..., vk) i—> [v1} ...,vk] s definičním oborem V(k, n). Jelikož se jedná o otevřenou podmnožinu v Knk,je dim V(k, n) = nk. Spočítejme dimenzi fibru /_1(A). Ten se zjevně skládá právě ze všech bází A a lze jej tedy ztotožnit s otevřenou podmnožinou Kk a má dimenzi k2. Proto nk = dim V(k, n) = dim G(k, n) + k2 a konečně dim G(k,n) = nk — k2 = k(n — k). Věta 18.14. Nechť f : X —» Y je surjektivní zobrazení mezi projektivními varietami a položme d = minjdim f~1(y) \ y G Y}. Potom množina U = {y G Y | dim/-1 (y) = d} je neprázdná otevřená. Jsou-li obě X, Y ireducibilní, pak platí dim V = dim y + d. Důkaz. Nahraďme ICP™ grafem / a zobrazení / pak projekcí g: X = T f C Pn x Y —> Y. Nechť minimální dimenze fibru je d = dim/_1(yo)- Zvolme libovolnou (n — d — l)-rovinu ACP" disjunktní s /_1(yo)- Potom U zřejmě obsahuje komplement vlastní uzavřené množiny Yq = g(Tf n (A x Y)), tj. množinu těch y G V, pro něž je f^1(y) disjunktní s A. Ukážeme nyní, že U je skutečně otevřená. Kdyby (Y \ Yq) ^ U, zúžíme / na Yq a použijeme předchozí tvrzení znova. Opět tedy množina těch y G Yq, pro něž je dim/_1(y) minimálni, obsahuje komplement nějaké vlastní uzavřené množiny Y\^Yq. Protože je prostor Y Noetherovský, musí se posloupnost Yq ^ Y\ ^ • • • stabilizovat od nějakého Yn a tedy U = Y \ Yn je otevřená. Jsou-li nyní obě X, Y ireducibilní, tak zúžením na U dostáváme / : /_1(ř7) —> U splňující předpoklady předchozí věty (bez tohoto předokladu by mohlo nastat dim/_1(ř7) < dim V nebo dimč7 < dimy). □ Zajímavým důsledkem je následující. Důsledek 18.15. Nechť f : X —?► Y je zobrazení mezi projektivními varietami takové, že všechny fibry f^1(y) mají tutéž dimenzi. Jsou-li Y a všechny fibry f^1(y) ireducibilní, je ireducibilní i X. Důkaz. Nechť X = X\ U • • • U Xr je rozklad X na sjednocení ireducibilních komponent a nechť /i : —> y značí zúžení / na jednotlivé komponenty. Označme di minimální dimenzi fibru f i a nechť d\ je maximální z nich. Díky předpokladu konstantní dimenze fibrů je pak dimenze fi1(y) konstantní a rovna dimenzi f^1(y). Z ireducibility fibrů pak fi1(y) = fX{y) a tedy X = X\ je ireducibilní. □ 49 19. Blow-up 19. Blow-up Nechť X c An je ireducibilní afinní varieta dimenze alespoň 1 a Po £ X její bod; pro jednoduchost budeme předpokládat Po = 0. Definujeme blow-up variety X v bodě Po jako uzávěr {{p,e) | p g iní, p / p0} c An x r1-1-, značíme jej X (výše uvedená podmnožina je zjevně izomorfní X \ Po). Tečný kužel variety X v bodě Po je afinní kužel na průniku tohoto blow-upu s rovinou P = Po (přímky í jsou sečny X procházející Po, takže tečný kužel sestává z tečen procházejících Po)- Zabývejme se nyní rovnicemi zadávajícími blow-up a tečný kužel. Označíme souřadnice na An jako x j a homogenní souřadnice na Pn_1 jako x i. Pak polynom g(x,x), homogenní v proměnných Xj stupně d, je nulový na X, právě když 0 = g(x,tx) = tdg(x,x) pro každé x g X, x 7^ 0, t 7^ 0. Protože je X 7^ {Po}, je toto ekvivalentní g(x,x) = 0 pro x g X, tj. g(x,x) g I(X). Pišme g(x,x) = Y2\a\=d9a(x)xa, Pak rovnice tečného kužele jsou 0 = 3(0,2?) = 9a{0)xa, \a\=d což je zjevně buď nulový polynom nebo iniciální člen (člen nejmenšího stupně) polynomu f{x) = g(x, x); značíme jej /m. Vidíme tedy, že tečný kužel X v bodě Po = 0 je Faf(/in|/g/(X)). Příklad 19.1. Zabývejme se křivkou V{y2 — x3 — x2). Její tečný kužel v počátku je V{y2 — x2) = V(y — x)UV(y + x) (iniciální člen libovolného násobku / = y2 — x3 — x3 je násobkem /m) a je sjednocením dvou přímek které bychom jistě chtěli za tečny považovat. V další kapitole definujeme tečný prostor a uvidíme, že ten je dvourozměrný. Tečný kužel tedy lépe vystihuje intuitivní představu o tečnách. Protože je X biracionálně ekvivalentní s X \Po a ta zase s otevřenou hustou podmnožinou X, má blow-up X stejnou dimenzi jako X a je také ireducibilní. Přitom tečný kužel je afinní kužel na průniku s nadplochou x = 0; tento průnik má dimenzi dimX — 1 a tečný kužel tedy opět dimenzi dimX. Zabývejme se nyní rovnicemi zadávajícími blow-up ještě jednou. Nechť f = fd + hot a pišme / pro libovolný polynom vzniklý z / tím, že v každém jeho členu nahradíme libovolných d proměnných Xj proměnnými Xj. Označme J ideál generovaný množinou J = {{xiXj ~ XjXí I i, j = 1,... ,n} U {/ j / g I(X)}). Tvrdíme nyní, že X = V{J). Zjevně X c V (J) a pro (x, [x]) g V (J) s x 7^ 0 je nutně x = tx nenulový násobek x a proto f(x,x) = f(x,tx) = tdf(x), takže x g X a tedy (x, [x]) g X. Zbývá tedy ověřit, že X a V (J) se shodují i pro x = 0. Podle předchozího už známe tečný kužel a je jasné, že (0, [x]) g V (J) musí splňovat /(0, x) = fm(x), takže opravdu (0, [x]) g X. Příklad 19.2. Vraťme se ještě ke křivce X = V{y2 — x3 — x2) a popišme její blow-up v počátku. Podle předchozího je X = V(xy — yx, y2 — xx2 — x2). Zajímavý je popis v nějakém afinním kusu A2 x P1, konkrétně pro x = 1, y = t je y = 2*£ = xt. Potom rovnice vychází t2 — x — 1 a bude se jednat o parabolu, zejména nebude 50 20. Tečný prostor obsahovat žádnou singularitu. Obecně pro křivku X platí, že opakovanou aplikací blow-upu v bodech singularity dostaneme po konečném počtu kroků nesingulární křivku. Blow-up A2 je pokryt afinními prostory následujícím způsobem: A2^A2, (s,r) (-)• (s(l,r),(l :*)) (s inverzí ((x,y),{x : y)) \—> (x,y/x)) a dále analogickou mapou (s,t) *—> (í(s, : 1)). V této mapě je pak X popsáno rovnicemi f(s,st, l,t). Předpokládáme-li, že původní polynom / obsahoval nějakou mocninu xe (v opačném případě by byl / = yg rozložitelný; lze řešit pro každou komponentu zvlášť), pak bude tato nahrazena xe~dxd v / a posléze se~d. Co když e — d = 0? Po konečném množství blow-upů pak bude tento polynom nižšího iniciálního stupně a po dalším konečném množství blow-upů pak dokonce lineární. 20. Tečný prostor Definujme pro ideál / C ..., xn] jeho lineární část v bodě P G An jako lP = {df(P) \fel}ckM[xu...,xn], kde df(P) = 9qx^ dxQ + - ■ ■ + 9qxP^ dxn (a kde dxj = X{ jakožto lineární forma na kn). (Pokud je P = 0, jedná se o množinu všech lineárních částí.) Tečný prostor TpX ireducibilní afinní variety X v bodě P G X je následující rovina TPX = {uGK"|Vae I(X)(p} : a(v) = 0}. Bod P G X se nazývá nesingulární nebo hladký, jestliže dim TpX = dimX (ekvivalentně CpX = TpX). Duální prostor k TpX je izomorfní TPX = K^[x1,...,xn]/I(X)(]t), je totiž zobrazení IK^1)[x\,..., xn] = (Kn)* —> (TpX)* (dané zúžením lineární formy na podprostor) surjektivní s jádrem právě /(X)p\ Zabývejme se nyní krátce tečným prostorem projektivních variet. Uvažujme zobrazení kn+1\{0}^Pn, x^[x]. V afinní mapě U i se jedná o zobrazení (xq, ..., xn) i—> (xq/xí, ..., Xí/xí, ..., xn/xi) a tedy jeho diferenciál v x = (xq, ..., xn) je surjektivní s jádrem daným (xidxj — Xjdxi)/x2 = 0, j = 0,..., i,..., n. Řešením této soustavy jsou právě násobky x, tedy kn+1/[x] Tj^P™, nezávisle na volbě afinní mapy. Pro / G I(X) homogenní a x = (1, x\,..., xn), [x] G X, platí, že / je nulové na přímce [x] C kn+1, takže ker df(x) = [x] + ker df\xo=i(x). Lze tedy ztotožnit ker df\XQ=1(x) ^ kerdf(x)/[x] 51 20. Tečný prostor a ve výsledku tak |^| ker df(x)/[x]. f £ I(X) homog. Věta 20.1. Nechť char k = 0. Množina nesingulárních bodů ireducibilní kvaziprojektivní variety tvoří neprázdnou otevřenou podmnožinu. Důsledek 20.2. Dimenze ireducibilní variety X je rovna dimX = min{dimTpX \ P G X}. Důkaz. Popišme prvně množinu těch bodů P, pro něž má TpX minimální dimenzi d = n — k ze všech tečných prostorů. Ta je dána tím, že nějakých k diferenciálů d/i(P),..., dfk(P) je lineárně nezávislých, kde fi, ■ ■ ■, fk £ tedy nenulovostí nějakého determinantu. Je tedy vskutku otevřená. Zbývá ukázat, že d = dim V. Z následujícího tvrzení plyne, že dimenze tečných prostorů se zachovávají při biracionální ekvivalenci /: X — 4 Y variet: prvně platí pokud je P G dom / a za druhé z otevřenosti množiny bodů, kde dim TpX je minimální, plyne, že toto minimum pro nějaký bod P G dom/ nastane, takže dim V < dimY; analogickým tvrzením pro inverzi dostaneme opačnou nerovnost. Protože je každá varieta biracionálně ekvivalentní s nadplochou, stačí rovnost d = dim V ověřit pro ireducibilní nadplochu X = V{f) (tj. / je ireducibilní polynom). Přitom je zřejmé, že platí TpX = ker d/(P) a stačí tedy ukázat, že diferenciál df je v nějakém bodě nadplochy X nenulový. Protože má ale -j^- menší stupeň než /, plyne z G I(X) = (/), že = 0 a / je potom konstantní, což je spor s ireducibilitou. □ Tvrzení 20.3. Tečný prostor TpX afinní variety X je duální k mp/mp = 9Jíp/9Jíp, kde mp C Ä" [X] je maximální ideál příslušný bodu P a 9Jíp C O x,p je maximální ideál lokálního okruhu X v P. Důkaz. Nechť polynomiální funkce / G K[X] je zúžením polynomu F. Definujeme diferenciál / v bodě P G X jako d/(P) = dP(P)|yPx- Jelikož se každé dva polynomy F liší o prvek /(X), jehož diferenciál je nulový na TpX, je d/(P) dobře definované lineární forma na TpX, T*f(P)Y ^ mí{P)m){P) ^ ímp/ímp ^ rp x 52 21. Schemes tj. d f (P) G (TpX)*. Je-li / G mp, tedy součet polynomiálních funkcí tvaru gh, kde g,h G mp jsou nulové v P, pak podle Leibnizova pravidla d/(P) = d(gh)(P) = dg(P) ■ h(P)+g(P) -dh(P) = 0. o o Máme tedy dobře definované zobrazení D p : mp/mp —► (TPX)* 2é K^[xu ..., xn]/I(X)$\ Jelikož je každá lineární funkce a diferenciálem afinní funkce a — a{P) G mp, je Dp surjektivní. Pro injektivitu nechť / G mp. Taylorův „rozvoj" v bodě P (ve skutečnosti polynom) dává f(x)=f(P) +d/(P)(x-P) + ... , o kde další členy již zjevně leží v mp, protože vždy obsahují součiny alespoň dvou lineárních činitelů (xí — p i) G mp. Je-li tedy df(P) = 0, pak / G mp a Dp je izomorfismus. Zobrazení Dp má zjevné rozšíření na Tip/Tip, totiž Dp _ MP) ■ KP) - g(P) ■ dh(P) _ dg(P) hJ h(P)2 h(P) (neboť je g(P) = 0), a proto je nutně zobrazení mp/mp —> 9Jíp/9Jíp injektivní. Surjektivita plyne z toho, že každý prvek 9Jtp lze vyjádřit jako ^, kde h{P) = 1 a pak platí f = TTTíbí) ^ - <'■ - !>> (totiž (1 + (h — 1))(1 — (h — 1)) = 1 — (h — l)2 = 1), kde pravá strana leží v mp. □ 21. Schemes Affine varieties correspond precisely to finitely generated reduced algebras. There are reasons why more general algebras or rings should be considered. Firstly, they better describe e.g. intersections of varieties. As a concrete example, V(y) n V(y -x) = V(y, y - x) = V(y, x) = V(y, x2) = V(y, y - x2) = V(y) D V(y - x2) so both intersections consist of a single point, namely the origin, but the corresponding non-reduced algebras h[x,y]/(y,x) and k[x, y]/(y, x2) have different dimensions, i.e. 1 and 2 respectively and these coincide with the intuitive multiplicity of the intersection at the origin. Secondly, the second algebra k[t]/(t2), the so called algebra of dual numbers, enjoys the following useful property, proved in the tutorial: The algebra maps k.[V] —> k[t]/(t2) correspond bijectively to tangent vectors of V. If we think of the algebra of dual numbers as the coordinate ring of some hypothetical (generalized) variety D then these should then correspond to regular maps D —> V and we may picture D as a point together with a tangential vector (direction). This then agrees with the intersection above, of a line and a hyperbola, that indeed consists of the intersection point together with the common tangent line. 53 21. Schemes An additional motivation for considering schemes is the possibility to perform constructions with varieties that are not possible in the category of varieties. Already the fact that a projective variety is covered by affine varieties is not satisfactory in the sense that this happens in the projective space and not abstractly, i.e. we cannot say that something is covered by affine varieties in general. In other words, we would like to say that this object is a certain colimit, but it is not clear where this colimit should be taken. Hilbert's Nullstellensatz gives correspondence between points of a variety and maximal ideals of its coordinate ring. It is thus tempting to base the geometric object associated to a general (commutative and unital as always) ring on the set of its maximal ideals. This, however, has a major drawback: a ring homomorphism p: R —> S does not induce a map on sets of maximal ideals but rather on the set of prime ideals (a subring of a field needs not be a field, but a subring of an integral domain is always an integral domain). We thus define Spec R = {P C R prime} and p*: SpecS ^ Spec R, P ^ p-^P). In this way, for a coordinate ring R = k.[V] we get a strictly bigger set Speci? ~D V but this is unavoidable for the above reasons. As with varieties, for an element / si?, we define a distinguished open subset of X = Spec R to be Xf = Specif/"1] ={PGR prime | / £ P} (the localization map A: R —> induces an injective map on prime ideals with exactly this image, see Algebra IV). We define the Zariski topology on X by declaring these distinguished open sets to be its basis. This is justified by Xf n Xg = Xfg. We explain a nice definition of closed sets in this setup, but in the proceeding we will concentrate on the open sets since we believe that these are more significant. Clearly the complement of the distinguished open Ay is a distinguished closed V(f) ={P Ci? prime | / G P}. Defining k(P) = Q{R/P) = Rp/Pp the fraction field of R/P or alternatively the residue field of the localization Rp, we may write f{P) = f mod P £ k(P) and interpret / G R as a function on Spec R with values in varying residue fields (think of an example of an integer / 6 Z as a function on SpecZ = {0} U {(p) \ p prime} with vaules the remainders modulo all possible primes). In this way V{f) is indeed the zero set of /. A slight advantage of closed sets is that one may easily describe a general closed set, not only the distinguished ones: H V(fs) = {PCR prime | Vs: fs G P} i or as before as V{J) for J the ideal generated by the fs. However, it turns out that viewing / G R as a function on Speci? has one major drawback: it may well happen that / yields a zero function without being zero itself; namely, V{f) = Spec R iff every prime ideal contains /, i.e. iff / belongs to the nilradical \/0 = Hpci? ^• Thus, such functions will not constitute R but rather R/\/0 and we will not be able to distinguish between these two rings, and thus essentially disposing off the non-reduced rings again. A concrete example of such a ring is yet again R = k[t]/(t2) where \/0 = (t). 54 21. Schemes There is a rather simple solution: interpret / G R rather as a function with values in the localizations Rp. Then / = 0 in Rp iff there exists d ^ P such that d ■ f = 0 or, equivalently, the ideal Ann/ = {d G R \ d ■ f = 0} is not contained in P. If this should happen for all primes P, it then has to be the trivial ideal 1 G Ann / and / = 0. Based on this, we will now define regular functions on any open subset U C X = Speci? to be a collection of elements ap G Rp of various localizations at primes P G U satisfying Ox{U) ={a = (aP)PeU I VP G U: 3g,h G R: a = g/h near P} i.e. locally a is given by a fraction. Here g/h has to make sense at P, i.e. h has to be a valid denominator in Rp, i.e. h ^ P, i.e. P £ and in fact the fraction g/h makes sense in the distinguished open Xh- We do not require the equality a = g/h to hold in the full Xh (the function a needs not be defined everywhere), but in a potentially smaller neighbourhood of P. In this way, it is rather obvious that Ox forms a sheaf of rings, but on the other hand, it is quite hard to say anything about it. This will be our first goal. First we need a lemma. Lemma 21.1. Xf is covered by a system Xgs, s G S, i.e. Xf C {JsegXgg iff 3fc: fk C(gs\seS). In particular, there exists a finite subset So C S such that Xf C Use50 X9s. Důkaz. The containment can be written as an implication for any prime P: f tP^3s&S: gs£P Equivalently Vs G S: gs G P^f G P i.e. any prime containing the ideal J = (gs \ s G S) must also contain /. Considering the localization A: R —> i?[/_1] this can be rephrased as J not being contained in any A_1(P) or equivalently A*(J) not being contained in any prime. But this just means that 1 G A*(J), i.e. that some fk from the corresponding multiplicative subset lies in J. Clearly this happens if and only if the same condition holds with S replaced by the finite subset of the gs appearing in the involved combination fk = a\gSl + • • • + argSr. □ Corollary 21.2. f]PcR pnmeP = ^0. More generally f]jcP pnmeP = ■ Důkaz. It is probably better to give a direct proof along the lines of the previous lemma, but one can see it as the special case S = 0: Xf = 0 iff 3k: fk = 0. The first condition means that / is contained in all primes, the second that / G y/0. The second point follows from the first by applying to the ring R/J. □ Theorem 21.3. . Ox(Xf)=R[f-1] • 0x;p=rp. Důkaz. More precisely, we claim that the canonical map i?[/_1] —> Ox(Xf) is bijective, sending a fraction g/fk to the "constant" function a = g/fk, valid since / and hence also fk is a valid denominator across Xf, by definition. 55 21. Schemes We first prove injectivity. Assume that go/fk° = 9i/fkl m all localizations Rp with P G Xj. Defining D = {deR\d-(gofkl-gifko) = o} we see that for every P G Xf there is a denominator d G D such that d ^ P, i.e. is covered by the X^,, d G D. By the lemma, we get /fc G -D and thus the two fractions agree also in the localization To prove surjectivity, we pick any function a G Ox(Xf) and its local expressions gi/hi. Since again the X\H cover Xf we may assume that there is a finite number of such expressions. Let us say that gi/hi =0tn gj/hj, the two fractions are equal on the nose, if gihj = gjhi. This needs not be the case for the local expressions but on the intersection X^hj, by injectivity, we get that upon extending any of the fraction by a suitable power of hihj the fractions will become equal on the nose; more symmetrically, we may extend the first fraction by a power of hi and the second fraction by a power of hj, thus retaining the same elements of the localizations Ryh^1]. By doing this for all pairs i, j, we get a system of fractions gi/hi that are pairwise equal on the nose. It is then a simple exercise to show gi/hi =otn gj/hj => gi/hi =otn (aigi H-----h aigi)/(a1h1 H-----h a/M- Since we have Xf covered by the X\H it is possible to express fk G (h±,... ,hi) and thus obtaining on the right hand side a fraction from We proceed to prove the second point, i.e. the computation of 0x]p = colimt/gp Ox{U) = colimx/3P Ox(Xf) since the Xf form a cofinal system. By the first part we may replace this by colim^p Rif-1} ^RP since the left hand side clearly enjoys the universal property of this localization. It is also possible to give a simple proof using representatives of the stalk as locally defined functions, showing that the canonical map Rp —> Ox-p is an isomorphism. □ We will now proceed to prove that the association R i—> Speci? yields a contravariant equivalence between the category of rings (commutative with 1) and its image in the category of locally ringed spaces. We first explain the target category. A ringed space is a topological space X equipped with a sheaf of rings Ox- Op(X)op —> Ring. It is said to be a locally ringed space if the stalks Ox-p are local rings. We observed above that Speci? together with its canonical sheaf is a locally ringed space. Morphisms of locally ringed spaces are modelled on the behaviour of Spec under the change of rings. We have already seen that a ring homomorphism tp: S —> R induces a map of the underlying sets tp* = F: Speci? —> SpecS* and it is easy to see that it is continuous: F-\Yf) = {p*y\Yf) = {PC Rift/ p*(P)} = {PCR\ p(f) £P}= Xip{f). The relationship of the functions goes in the direction of the original homomorphism p of rings, i.e. in the direction opposite to F: Oy(U) Ox(F-\U)) 56 21. Schemes sends a function a: Q \—> olq G Sq to a function if (a): P i—> ^(aip*(P)) £ Pp. Ph T I 4- -^*(P) #p<—£— OxiF^iU)) in the direction opposite to F that are compatible with restrictions; in fact, one can define the direct image of a sheaf F*Ox by this formula and this then becomes simply a morphism of sheaves Oy —> F*Ox- We then get an induced map on stalks FP: Oy-f(p) Cx-p and (F,F*) is said to be a morphism of locally ringed spaces if this is a homomorphism of local rings in the sense that Fp(Mp^) c Mp. We then get an induced map of residue fields k(F(P)) -+ k(P) that is necesserily injective so in fact this is equivalent to Mp(p) = (Fp)~1(Mp). It is easy to check that this holds for the induced map tp* : Spec R —> Spec S. We thus obtain the first part of the following theorem. Theorem 21.4. The above construction yields a functor Spec: Ringop —> LRS that is right adjoint to the functor T of global sections T(X) = Ox{X), i.e. LRS(X,Speci?) ^ K\ng{R,Ox{X)). Consequently, Spec is fully faithful (as follows from the "counit" R —> T(Speci?) being an isomorphism). Dukaz. The adjunction T: LRS(X,Speci?) R\ng(R,Ox(X)) associates to a morphism F its action on global sections v d4f F* : R = Ogpecp(Speci?) Ox(X). We need to show that the morphism F is uniquelly determined by this homomorphism tp. Categorically, this follows essentially from all localization maps being epimorphisms. Firstly, the action on points is uniquely specified by the locality of the map of stalks Pi->F(P) Ox-p <-Rf(p) gernip Ox{X)^—R 57 21. Schemes so that we get F(P) = p 1(gernip (9Jtp)) by taking preimages of the maximal ideal 9Jtp C Ox-p- The map F is automatically continuous since F-\Xf) = {P G X | germP(^(/)) G 0$.p} and for any local section such as p{f), the set of points where the section is invertible is always open (let g be its inverse at a point P, then g is defined in some neighbourhood of P and is its inverse in a possibly smaller neighbourhood). For distinguished open sets we get similarly: Ox{F~\Xf)) <-^- OsPecR(Xf) = Rif-1] Ox{X)i-1-R so that F* is the unique map induced by p on the localization. On general opens, the action is determined from the sheaf property, since these are unions of distinguished opens. □ The locally ringed spaces Speci?, i.e. the spectra of rings, are called affine schemes. A scheme X is a locally ringed space locally isomorphic to an affine scheme, i.e. there should exist an open cover {U} such that (X, Ox\iJi) — (Specif, OspecRj)- It is sometimes important to construct nice open subsets of the intersections U% fl Uj. Since this is open in Specif, each point P G V C Ui Pi Uj admits a smaller open neighbourhood that is distinguished open in Spec Ri and similarly for Spec Rj. It is however possible to find one that is distinguished open in both. Proof (Affine communication lemma). As mentioned, since V is open in Specif, one can find SpecRj[/_1] CVC Spec Rj. This inclusion is given by a homomorphism of rings Y, i.e. Fim. Ui —> Y, we obtain a unique map F: X —» Y that is continuous by locality of continuity. At the same time the morphisms (Fi)*: Oy(U) Ou^F^U) = Ox(Ui n F-'U) induce a unique map to the limit OxiF^U). □ Theorem 21.6. The affine schemes are closed under finite limits. In particular, there exist fibre products (pullbacks) of affine schemes and this extends to the existence of fibre products of schemes. Důkaz. The fibre product Spéci? Xgpecy SpecS* = Spéci? +t S = Spéci? ®t S since tensor product is the coproduct in the category of (commutative!) rings. Now let us consider X XzY. Let Spec Ri and Spec Si be distinguished opens in X and Y that map to a distinguished open SpecTj in Z. Then X Xz Y is constructed as a union of Specif Xgpec^ Spec Si, glued along the subsets Speci?^ Xgpecy.jfe SpecS^. It is important that this is an open subset, i.e. that Rijk ®Tijk Sijk is a localization of Ri Si at an element. Easily, if Rijk = and Sijk = Siig'1} then Rijk ®Tijk Sijk = Ri ®Ti Si[(f 0 gy1} (somewhat more naturally, the inverses to / (g> 1 and 1 (g> g are added and this is equivalent to adding the inverse to their product). □ Remark. Interestingly, the underlying space of the pullback is not a pullback of the underlying spaces (this should not surprise us since points of Spec Ik [V] correspond to subvarieties of V and there are subvarieties of a product that are not products of subvarieties). There is a concrete description of points of the pullback as compatible collections (x, z, y) of points together with a prime ideal of the tensor product k(x) (8>k(z) ^(y). E.g. C«tC^C« R[x]/(x2 + 1) ^ C[x]/(x2 + 1) has two primes: (l(g>i — i(g>l) and (l(g>í+í(g>l) corresponding to (x — i) and (x + i) respectively. This corresponds to the fact that x2 + 1 = 0 has a unique solution over M, i.e. the pair of conjugate points {±i}, whereas over C these two solutions get separated and we thus have two solutions. This is related to the interpretation of Hilbert's Nullstellensatz over fields that are not algebraically closed... Example 21.7. Let us consider the fibre product of affine varieties: SpeckfV] XgpectSpeckfW7]. This is the spectrum of the k-algebra k[V] 0k k[W] = k[x]/I(V) 0 k[y]/I(W) *á k[x, y]/(I(V),I(W)) This is exactly the product of affine varieties as we know it. Let us now consider instead the fibre product of two varieties V, W C An over An, or more generally closed subschemes of An (see below), i.e. Speck[V] Xgpec[k[x] SpeckfW], which is the spectrum of the k-algebra k[V] ®k[An] k[W] = k[x]// ®k[x] k[x]/J ^ k[x]/(/ + J). 59 21. Schemes The result may easily turn non-reduced and thus the fibre product (intersection in this case) in the category of affine varieties and in the category of (affine) schemes turns out differently. A concrete example of this behaviour is the intersection from our motivation Speck[V(y)] n Speck[V(y - x2)} = Speck[F(y, x2)] = Speck[t]/(£2) Example 21.8. Morphisms Speck[t]/(£2) —> Spec Ik [V] over k correspond to tangent vectors. Namely, they correspond to k-algebra homomorphisms tp: k[V] —> k[t]/(t2) = kl © kt, i.e. k, 5: k[V] —> k satisfying s(f ■ 9) = s(f) ■ e(g), 5(f ■ g) = 5(f) ■ e(g) + e(f) ■ 5(g). Thus, e is a surjective ring homomorphism and as such equals the projection onto the quotient by a maximal ideal, i.e. the evaluation map e(f) = f(P) for some point P G V. Similarly, 5 is then a derivative at the point P and as such satisfies e(l) = 0 (by applying to the product 1 • 1) and we may view it as a k-linear map 5: mp —> k. By the same properties, it vanishes on mp and thus can be considered as a k-linear map 5: mp/mp —> k. Since every such map yields a derivation, we obtain an equivalent description of the morphism as a pair consisting of a point P G V and a linear form 5 £ (mp/mp)* = TpV. We say that X —> Y is a closed embedding if it is an embedding onto a closed subspace that is locally modelled by the map associated with a projection Spec R/1 —> Speci?. We also say that X is a closed subscheme of Y. It is reasonable to ask that this property does not depend on the open cover used. That is, we need to check that the model above restricts to a model (SpecR//)|gpec^-i] —> Speci?[/_1] and that if an affine scheme is covered by models then it is itself a model. For the first property, one notes that the localizations and quotients commute (as they are both certain colimits): For the second property, one needs that a ring homomorphism tp: R —> S is surjective provided that this is so upon localizations with respect to elements fi G R for which X = [jXft, i.e. such that 1 £ (fi,..., fr). Since the localization functors are exact, the exact sequence R —> S —> coker tp —> 0 of i?-modules induces an exact sequence R\Ul\ Sifr1} ^ (coker ^[/r1] ^ 0 where the middle term is easily seen to be the localization S[p>(fi)^1] of the ring S and thus (cokerp>)[ff1} = 0. This means that for every x G coker

R, this 61 22. Primární rozklad modulů translates into Speci? —> Speck. We say that X is a scheme over k if it is equipped with a map to Speck. Morphisms of schemes over k are those morphisms for which the triangle X->Y Speck commutes, i.e. they constitute the category Scheme/ Speck. We check now that the affine communication lemma applies to the property of being reduced (in this case, one can check stalk-wise and this may be easier to prove), i.e. that R reduced =4> reduced and Riff1] reduced for some (/i,...,/r) 3 1 R reduced. The first point is clear: if (g/fk)1 = 0 in Rif'1] then flm ■ gl = 0 in R fm -g = 0 in R, implying g/f = 0 in Maybe try with nilradicals: \/0 in is the intersection of all primes in this ring and these correspond precisely to all primes in R not containing /, while the intersection of all primes containing / is the radical (f). This means (f) D nilrad = 0... I don't know how to finish this. For the second point, let g £ y/0. Since each localization Riff1] is reduced, g/1 = 0 in this ring, meaning fk% • g = 0 in R and thus Anng ~D (f^1,..., f^r) 3 1 and g = 0. We may thus define a reduced scheme to be one in which (enough or) all open affine subschemes correspond to reduced rings. As a remark, for a closed subspace Z C X of a scheme X there exists a unique reduced scheme structure for which Z becomes a closed subscheme (there may by more scheme structures, e.g. if X is not reduced and Z = X then X and Xre(j are two such - think of maybe X = SpecR with Xre(j = Spec R/^/0). Finally, the Integral (i.e. corresponding to irreducible stuff), noetherian, finite type (over a given k, but can be more generally introduced for maps) are other examples of types of schemes defined by properties where the affine communication lemma applies. A variety over k is a scheme that is reduced (sometimes integral, i.e. reduced and irreducible), of finite type (this implies noetherian) and separated (this means that the diagonal X —> X xspeck X is a closed embedding; it is enough that the image is closed, the rest is automatic). 22. Primární rozklad modulů Nechť R je (gradovaný) Noetherovský okruh a nechť M je iž-modul. Zabývejme se tím, kdy na M násobení prvkem r 6 R není injektivní - můžeme říkat, že r je dělitel nuly na M, protože to přesně znamená, že existuje takový prvek x £ M, x ^ 0, že rx = 0. Označme Ann(x) = AnnM(s) = {r 6 R \ rx = 0}, tzv. anihilátor prvku x; snadno se ukáže, že se jedná o ideál (je to jádro akce i?-lineárního zobrazení R —> M, 1 4 i). Dělitelé nuly na M jsou tedy právě prvky sjednocení všech anihilátorů Ann(x) pro x 7^ 0. Samozřejmě stačí uvažovat pouze maximální anihilátory, o kterých nyní ukážeme, že jsou to prvoideály. Řekneme, že prvoideál p je asociovaný prvoideál modulu M, jestliže p = Ann(x) pro nějaký prvek x. Množinu asociovaných prvoideálů značíme Ass(M). Uveďme ještě velmi užitečnou charakterizaci anihilátorů: i?-modul generovaný prvkem x je izomorfní Rx = Rj Ann(x) podle věty o isomorfismu aplikované na homomorfismus R —> M 62 22. Primární rozklad modulů posílající 1 H i, které má zjevně obraz Rx a jádro Ann(x). Lze tedy alternativně říct, že prvoideál p je asociovaný, právě když M obsahuje podmodul isomorfní cyklickému modulu R/p. Příklad 22.1. Ass(P/p) = {p}, protože R/p je obor integrity a tudíž násobení libovolným nenulovým prvkem je injektivní, tj. Ann(x) = p pro i/O. Lemma 22.2. Nechť S C R je multiplikativní podmnožina. Potom každý maximální prvek {Ann(x) I Ann(x) n S = 0} je asociovaný prvoideál. Zejména pro R noetherovský je každý anihilátor Ann(x), pro i/O, obsažen v nějakém asociovaném prvoideálu. (Zcela stačí S = {!}■) Důkaz. Předpokládejme, že Ann(x) je maximální a nechť rr' G Ann(x), přičemž r,r' ^ Ann(x). Potom r' G Ann(rx) a podle předpokladu maximality Ann(x) 2 Ann(rx) tedy musí existovat s 6 S takové, že s G Ann(rx) 4^ srx = 0 4$ r G Ann(sx). Přitom ale Ann(sx)r\S = 0 díky multiplikativitě S a opět Ann(x) 2 Ann(sx), což je spor s maximalitou. Dva speciální případy jsou S = {1}, který dává, že každý maximální anihilátor je prvoideál a S = R \ p, který dává, že každý prvoideál obsahující anihilátor nějakého prvku obsahuje nějaký asociovaný prvoideál. □ Dostáváme tak jednoduše následující větu. Věta 22.3. Násobení prvkem r G i? (noetherovský) je na modulu M injektivní, právě když r neleží v žádném asociovaném prvoideálu. □ Tato věta bude užitečná především proto, že ukážeme, že Ass(M) je konečná pro každý noetherovský (tj. konečně generovaný) modul. K tomu budeme potřebovat primární rozklad. Řekneme, že M je p-primární, jestliže Ass(M) = {p}. Řekneme, že M je primární, jestliže je p-primární pro nějaký prvoideál p. V případě, že M není primární, obsahuje podmoduly isomorfní P = R/p, Q = P/q a Ass(P n Q) C Ass(P) n Ass(Q) = {p} H {q} = 0 a každý nenulový modul má nějaký asociovaný prvoideál. Věta 22.4. Nechť M je konečně generovaný modul nad noetherovským okruhem R. Potom existuje konečně mnoho modulů Mi tak, že 0 = f] Mi a M/Mi je pi-primární, přičemž lze moduly najít tak, že prvoideály pi jsou po dvou různé. Platí Ass(M) = {pi}. Důkaz. Říkejme vyjádření podmodulu jakožto průnik tak jako ve znění věty rozklad tohoto podmodulu. Hledáme tedy rozklad nulového podmodulu 0. Ukážeme, že pokud Mq nemá rozklad, pak existuje striktně větší podmodul, který také nemá rozklad, což je spor s no-etherovskovstí. Protože Mq nemá rozklad, není jím ani průnik obsahující jediný podmodul Mq, tj. M/Mq není primární, a proto existují nenulové podmoduly M±/Mq, M[/Mq C M/Mq s nulovým průnikem, tj. M\ n M[ = Mq. Pokud by oba podmoduly Mi, M[ měly rozklad, dostali bychom z těchto rozkladů rozklad pro Mq, takže nějaký z podmodulu rozklad nemá. For the second point, I only proved the inclusion C. Does the reverse inclusion hold? Not in general, e.g. (0) = (0) n (2) in 7l with the second term not contributing (2) to Ass(Z) = {(0)}. However, if we assume that the decomposition is irredundant, the conclusion holds, since then Cli-gLj Mi ^ 0 and thus contains some non-zero element, necessarily x ^ Mj, that has AnnM(s) = AnnM/M (x) and upon multiplication by some a G A we obtain Ann^/j^ (y) = Pasince Mj Mj is P,-primary. □ 63 23. Stupeň For the localization map A: M —> U 1M we recall that Ann(x/1) = U 1 Ann(x) and since the localization gives a bijection {prime ideals of A disjoint from U} = {prime ideals of U~1A} (and those intersecting U give the full ring on the right hand side) we can determine the associated primes of U~1M: Ass(C/_1M) = {C/_1P I P e Ass(M), U n P = 0}. This takes a particularly simple form for a P-primary module M over a noetherian ring (is this necessary?): then either U~1M is ř7_1P-primary when U n P = 0 or Č/^M = 0 when U n P 7^ 0 (since then ř7_1M has no associated prime). Now apply this to a primary decomposition 0 = [~\Mi with M/Mj being Pj-primary. We get 0 = f|f/-1Mi with U~1M/U~1Mi being ř7_1Pj-primary; when some U~1M/U~1Mi is zero, i.e. U~1M,i = U~1M, we may remove it from the decomposition. For a minimal associated prime Pj and the corresponding multiplicative subset Uj = R \ Pj we then get only one non-zero submodule, namely 0 = U^Mj that together with the monomorphism (since the module M/Mj is P^-primary, we have Ann(x/1) = UJ1 Ann(x) C U^Pj and is thus proper, showing that x/1 7^ 0) M---v MPj M/Mj)-> MPj/{Mj)P. gives that Mj = ker Xj and as such is unique. For completeness, over a noetherian ring, we prove that for any prime P ~2 Ann(x) there is an associated prime lying between these two: consider A: M —> Mp and observe that Ann(x/1) = Ann(x)p is non-trivial. It is thus contained in some associated prime U~1Q £ Ass(Mp). As above, this means that Q £ Ass(M). This implies that any proper ideal / lies in prime that is minimal above it: since Ass(R/I) is finite, it contains a minimal element; by the above it must in fact be minimal among all primes containing / = Ann(l). 23. Stupeň Věta 23.1 (Bezoutova věta, elementární verze). Nechť X,Y C P2 jsou dvě křivky zadané homogenními polynomy X = V(f),Y = V{g). Potom počet jejich průsečíků je maximálně \XC\Y\ < degf ■ degg. Důkaz. Zvolme souřadnice tak, že (0 : 0 : 1) ^ X U Y a že žádné dva průsečíky neleží na přímce procházející tímto bodem. To znamená, že můžeme předpokládat / = x\ + • • • , g = x\ + • • • . 64 23. Stupeň Bod (xq : x\ : x2) je průsečíkem, právě když polynomy f, g G K[xo, xi][x2] mají společný kořen, tj. právě když rezultant Res(f,g;x2) G K[x0,xi] má kořen (x$ : x\). Snadným výpočtem se lze přesvědčit, že Res(/, g, x2) je homogenní stupně d ■ e. Platí totiž, že v matici zadávající Res(/, g,x2) je na pozici buď polynom stupně i — j nebo i — j + d, přičemž druhé platí, právě když j > d, tj. mezi ( 0 je jWpO + /W(y) = i{k\x n Y). V takovém případě říkáme, že tyto ideály mají stejnou saturaci a z hlediska schémat je považujeme za totožné. Stejně jako projektivní variety jsou v bijekci s radikálovými homogenními ideály (po odebrání irelevantního), podschémata projektivního prostoru jsou v bijekci se saturovanými homogenními ideály. Budeme tedy v následujícím pracovat s (téměř) obecnými homogenními ideály a tvářit se, že jsou to geometrické objekty. V případě, že jsou tyto ideály radikálové, budeme je ztotožňovat s odpovídajícími projektivními varietami. Nechť / C K[xo,..., xn] je homogenní ideál. Řekneme, že je saturovaný, jestliže pro každý polynom / platí xq/, ..., xnf G / => f G /. Saturace ideálu je nejmenší saturovaný ideál I={f€K[x0,...,xn] I (3k>0):(m0)kf Cl} obsahující /. 65 23. Stupeň Lemma 23.2. Pro homogenní ideály I, J C. K[xq, ... ,xn] jsou následující podmínky ekvivalentní. 1. I = J, 2. pro d > O platí 1^ = . Důkaz. Prvně dokážeme implikaci (1) =4> (2) přičemž zjevně stačí, že 1^ = 1^ pro d > 0. To je proto, že I = (/i,..., fr) a každý prvek / = a±fi + • • • + arfr G / dostatečně velkého stupně má každé a-i tak velkého stupně, že a-ifi G (xno)kfí C /. Pro implikaci (2) =4> (1) si stačí uvědomit, že to, zda / G /, závisí pouze na 1 vrzem 23.3. Je-li V(I) = {P}, pak C má pro k 3> 0 konstantní kodimenzi, která je rovna dimenzi "afinního souřadnicového okruhu". Důkaz. Předpokládejme, že P = (1 : 0 : • • • : 0) a uvažme (surjektivní) liomomorflsmus ip : K[x0, i—> K[ii,. ..,i„], f(x0, ■■■,xn) a zúžením na homogenní polynomy stupně k nalevo a polynomy stupně nejvýše k napravo jím indukovaný izomorfismus [x1,..., xn]/ 0. Podle projektivní věty o nulách rap = tj. (xi,..., xn)1 = (mp)' C J a proto (xao)1 C ip(I). Díky tomu je každý prvek ..., a?nreprezentován polynomem stupně menšího než £. Je-li tedy k ^ £ — 1 je přirozené zobrazeni K^fe> [*!,..., xn\/ K[xu xn]/ 0 je ř(í)nrfc)[ii.....i„] = ^(/("). Implikace D je triviální. Dále (xaoY C\ K.(—k^[xi,... ,xn] C ipfe(/(fe)) vždy. Jelikož je Lp(I)/(xno)1 konečně rozměrný vektorový prostor generovaný řekněme p(gi) + (mo)e,..., f(gr) + (mo)'i bude pro libovolné k > maxjdeg 31,..., deg gr} platit, že 1 G I\Xi=i) and yet again 1^ = ^^(/q"^). This gives easily equality of co dimensions dimkW[x]/ľ(fc) = dim(k^fc)[x]/(x0 = l))/I{Q-k). 66 23. Stupeh Since V(Iq) = 0, we get y/lo = mo and thus Iq d trig for some i implying, for k 3> 0, that the following pullback is also a pushout (the sum of terms on the sides equals the top). k[x]/(x0 = 1) (^)[*]/(x0 = l) A 0, there is no difference between / and /. □ Definujeme Hilbertovu funkci homogenního ideálu / C K[xo,..., xn] jako hľ(k) = dimK^[x0,...,xn]/I(-k\ V následujícím ukážeme, že pro k 3> 0 je hj(k) polynom nad Q (a to sice tzv. numerický, tj. jeho hodnoty v celých číslech jsou celočíselné). Zatím jsme to ukázali pro ideál, jehož asociovaná varieta má jediný bod. K rozšíření na libovolné konečné množiny využijeme primární rozklad ideálu. Je-li I = I± (~) ■ ■ ■ (~) Ir, kde V(Ij) = {Pj}, tvrdíme, že pro k 3> 0 platí hT(k) = hh(k) + --- + hIr(k). Ve skutečnosti nám bude stačit předpokládat V{Ij) po dvou disjunktní, takže se můžeme omezit na r = 2, tj. I = I\C\ I2. Potom o s/{h n h) -+ s/h © s/i2 -+ s/{h + h) -+ o je exaktní1, přičemž I\ +I2 = S, alespoň pro k 3> 0, neboť V{I\ +12) = V{I\) H V{I2) = 0 a tedy Ii + I2 = S. Ve výsledku hjinj2(k) = hj1(k) + hj2(k) pro k 3> 0. Věta 23.4. Hilbertova funkce hi (k) = dim K [a?o,..., xn]/I^ je prv k 3> 0 rovna hodnotě (jediného) numerického polynomu, jehož stupeň je roven d = dimV(J). Vedoucí koeficient tohoto polynomu je l/d\-násobkem přirozeného čísla degl, které nazýváme stupněm I. 1 První zobrazení je J a druhé (pr, — pr). To je zjevně surjektivní, přičemž jeho jádro jsou právě dvojice (/ + Ji, g + I2) takové, že / — g G I\ + I2; změnou reprezentantů pak lze dosáhnout / = g a tedy je tato dvojice obrazem / +(íií112). Přitom je / + (Ji n I2) v jádře, právě když / G I\ a / G I2, tedy / reprezentuje 0. Jinak: dvojitý komplex n h) —y 5/(/i n h)-y S/h (/1 + h)/h-y S/h-y S/{h + h) má exaktní řádky, takže totálni komplex je exaktní. Navíc je levé vertikální zobrazení izomorfismus, takže kvocient tvořený těmito dvěma členy je také exaktní, tudíž i příslušný podkomplex. To je ale přesně naše posloupnost. 67 23. Stupeň Důkaz. Větu dokážeme indukcí vzhledem k dim V(/). Je-li tato dimenze nula, větu jsme již dokázali. Nechť tedy má V{I) nenulovou dimenzi a zvolme libovolný lineární polynom /, který je nenulový na každé ireducibilní komponentě /. Potom násobení / zadává injektivní homomorfismus S/I —> S/I jehož kojádro je zjevně S/{I + (/)). Označíme-li J = I + (/) máme tedy exaktní posloupnost 0 _> ^ 5(*0/j(*0 ^ 5(*)/j(*0 ^ o. Pro dimenze tedy platí hj(k) — hj(k — 1) = hj{k), neboli hj(k) = hj{k) + hj(k — 1) a indukcí pak hi(k) = hj(k) + ■■■ + hj(k0 + 1) + fcj(fco). Protože V{J) = V{I + {f)) = V(I)(~]V(f), má V{J) dimenzi o jedna menší a můžeme indukcí předpokládat, že pro k 3> 0 je hj(k) =cd_1(/1) + ...+Cog). Sečtením pak dostáváme pro 3> 0 vyjádření M*0 = ((A) + • • • + (l+i)) + • • • + co (ffi + • • • + (*°0+1)) + M*> const (^^) — const (^J^)—const = Cd-iC^1) + • • • + co^j1) + const = cd{k) + --- + cl{k) +c0Q (poslední rovnost plyne z (^Ť1) = (^) + (j^i))- Z tohoto tvaru je jasné, že vedoucí koeficient je Cd/dl, přičemž cd = cd-\ je podle indukce přirozené číslo. □ Věta 23.5 (Bezoutova). Nechť I C S je libovolný homogenní ideál a nechť f £ S je homogenní polynom, který není nulový na žádné ireducibilní komplonentě I. Potom platí deg(7 + (/))= deg / • deg / Důkaz. Využijeme exaktní posloupnost z důkazu předchozí věty, tentokrát s posunem o deg /. Označíme J = I + (/) a dostáváme hJ{k) = hI{k)-hI{k-deg f) 'cdkd + cd_1kd-1+lot) - ( cd(k-degf)d +Cd_1(k-degf)d-1+lot cd-kd-cdddegf-kd-1+lot cd_1-kd-~1+lot = cdd deg f ■ k01'1 +lot = deg I/dl-d deg f ■ k^1 + lot = deg/-deg/-fcd"1/(d-1)! + lot □ Příklad 23.6. Spočítejme stupeň ideálu (/). V případě, že / nemá násobné činitele v rozkladu na součin ireducibilních polynomů, tedy počítáme stupeň I{V{f)), tj. nadplochy V{f). Aplikujeme Bezoutovu větu na ideál 1 = 0, pro který máme h0(k)=dimK^[x0,...,xn] = {k+n) a tedy degPn = degO = 1; proto je stupeň ideálu (/) roven stupni polynomu /. 68 23. Stupeň Nechť X je křivka. V případě, že je / lineární polynom, je jeho stupeň 1 a je tedy počet průsečíků X s V (f) včetně násobnosti roven stupni deg V. Obecněji toto platí pro průniky variety kodimenze k s fc-rovinami. Jelikož lze najít fc-rovinu, jejíž všechny průsečíky jsou násobnosti 1, je pak počet průsečíků roven deg V.2 Řekneme, že varieta X kodimenze k je úplný průnik, jestliže I(X) je generovaný k polynomy. Jsoul-li nyní X, Y úplné průniky komplementární dimenze, které se protínají v konečně mnoha bodech, pak X(~)Y má právě deg(I(X)+I(Y)) = deg V-deg Y bodů počítaných včetně násobnosti. Důsledek 23.7. Každý izomorfismus Pn —> Pn je lineární. Důkaz. Idea důkazu je, že nadroviny jsou právě nadplochy stupně jedna a ty jsou při každém izomorfismu zachovávány. Přitom ale zobrazení zachovávající nadroviny je (alespoň pro n > 1 nebo 2) nutně lineární. □ Příklad 23.8. Kubická křivka X = {(s3 : s2t : st2 : í3) | (s : t) G P1} C P3 není "úplný průnik", tj. I(X) není generovaný dvěma homogenními polynomy. Skládání s parametrizací dává k[a?o,x\,x2,x 3] —> k[s,t], které posílá polynomy stupně k surjektivně na polynomy stupně 3k, a jehož jádrem je právě I(X). Proto hx{k) = fypi(3fc) = 3k + 1. Máme tedy deg V = 3. Podle Bezoutovy věty by za předpokladu I{X) = (/, g) musel být jeden z polynomů /, g stupně 1, což by ale znamenalo, že X leží v rovině. Jednoduše se lze přesvědčit, že tomu tak není (parametry s, t nesplňují žádnou kubickou rovnici). Dodejme, že existují homogenní polynomy /, g takové, že X = V(f, g) (přičemž vyjde nejspíš I(X)2 = (/, g), protože polynomy jsou stupňů 2 a 3). V takové, případě říkáme, že X je množinový úplný průnik. Navíc existují i příklady variet, které nejsou ani množinovým úplným průnikem, například Segreho varieta £1,2 C P5 je dimenze 2, ale nelze zadat 3 rovnicemi; stejně to dopadne pro obraz Veroneseho vložení P2 —> P5. Zabývejme se nyní tím, jak spočítat stupeň nula rozměrného ideálu. Předně pomocí primárního rozkladu zredukujeme problém na ideál "soustředěný" v jednom bodě. Toho dosáhneme pomocí následujícího lemmatu. Lemma 23.9. Nechť 1 = ^0 I2, přičemž d = dimF(/i) = dimV(I2) > dimF(/i) n V{I2). Potom platí deg / = deg I\ + deg I2. Důkaz. Využijeme exaktní posloupnosti o s/(h n i2) -+ s/h © s/h -+ s/{h + h) -+ 0. Podle ní platí hhnhik) = hh{k) + hh(k) - hh+h(k) deg h ■ kd/d\ + lot) + ( deg I2 ■ kd/d\ + lot) - (loť = (deg h + deg I2) ■ kd/d\ + lot. □ 2Stačí ukázat pro X ireducibilní a r = degX, že podmnožina {(A, Pi,..., Pr) G G(fc, n) x Xr Pí G A} těch prvků splňujících Pí = Pj pro nějaké i 7^ j nebo Pí singulární bod X pro nějaké i nebo A \f[ TptX pro nějaké i je vlastní. Zřejmě se jedná o sjednocení uzavřených podmnožin, přičemž se jednoduše ukáže, že každá z těchto podmnožin je vlastní. Zbytek plyne z ireducibility. 69 23. Stupeň Je-li tedy / nula rozměrný ideál s primárním rozkladem / = I± D ■ ■ ■ D Ir, pak platí deg / = deg I\ -\-----h deg Ir a v následujícím postačí spočítat primární ideál odpovídající bodu P £ V(I), který označme Ip. Stupeň deg/p se nazývá lokálním stupněm I v bodě P. Lemma 23.10. Primární ideál Ip odpovídající bodu P £ V(I) je roven I + (mp)k pro k 3> 0. Důkaz. Nechť / = Q Ij je rozklad na průnik primárních ideálů s ireducibilními komponentami V(Ij) = Pj . Podle Hilbertovy věty o nulách platí yJTj = mpj a tedy (mp3)fc C Ij pro nějaké k 3> 0, takže I + {mPj)kQIj. Protože je V(I + (mp3)fc) = {Pj}, má ideál / + (mp3)fc jedinou ireducibilní komponentu a jedná se tedy o primární ideál (v rozkladu je pouze jeden člen) a zjevně platí I^f](I + (raPj)k)cf]lJ=I, takže se všechny členy rovnají a první průnik je tedy také rozkladem na průnik primárních ideálů (v tomto případě je navíc rozklad jednoznačný). □ Přejděme nyní k afinním souřadnicím; pak tp(Ip) = tp(I + (mp)fc) = (/) + (mpj1 = (x0,xi) ^(/) + (mp2)2 = (x0,x2) ^(/) + (mp2)3 = (x0- x\,xl,x\) =/ + (mp2)4 a tedy degp2 C2 H C3 = 3 (průnik s k{l, xq, x\, x2} je právě k{a?o — x2})- Poslední stupeň lze dopočítat z Bezoutovy věty jako degp1 C2 H C3 = 6 — 2 — 3 = 1 nebo přímo v afinních souřadnicích xo = 1, ideálně s pomocí posunutí y\ = x\ — 1, 7/2 = x2 — 1> ve kterých jsou C2 = F(y2 - y2 - 2yi), C3 = F(y2 - y\ - 3y2 - 3yi), takže: ip(I) + (mPl)1 = (yi,y2) = / + (mPl)2 o 70 24. Divizory na křivkách Poslední výpočet se značně zjednodušil, protože lineární části y2—2y\, y2 — 3yi byly lineárně nezávislé. Zabývejme se nyní touto situací obecně. Řekneme, že dvě variety I,ľ c P" se v bodě P g X n Y protínají transverzálně, jestliže je P nesingulárním bodem obou X, Y a platí TpX+TpY = Tp¥n. Tvrzení 23.12. Jestliže se variety I,ľ c f komplementární dimenze protínají v bodě P transverzálně, pak deg(/(X) + I(Y))p = 1. Pokud průnik není transverzální v P, potom deg(I(X) +I(Y))P > 1 + dim(TPX HTpY). Důkaz. Počítejme afinně s P = 0. Potom I(X) obsahuje polynomy tvaru +hot, kde je nulové na TqX a podobně pro I(Y). Pokud je tedy průnik transverzální, máme xi + hot,..., xn + hot g I(X) + IiY). Snadno se lze přesvědčit, že I(X)-\-I(Y)-\-(mo)k obsahuje induktivně všechny monomy stupně k, k — 1,... ,1 a proto I(X) + I(Y) + (m0)fc = m0 má ko dimenzi lvi?. Není-li průnik transverzální, lze podobně ukázat, že I{X) + I(Y) + (m0)2 c R se skládá právě z těch polynomů s nulovým absolutním členem, jejichž lineární část je nulová na TpX n TpY. Kodimenze tohoto ideálu je proto rovna 1 + dim(TpX n TpY) (jednička odpovídá absolutnímu členu). Kodimenze (I(X) +I(Y))p = I{X) + I(Y) + (mo)fc c R je buď stejná nebo vyšší, proto platí nerovnost z tvrzení. □ Poznamenejme, že Bezoutova věta platí mnohem obecněji, než jak jsme ji zde formulovali a dokázali. Zejména, pokud je průnik X n Y transverzální ve všech bodech, platí, že #(lnľ) = degX -degy (obecně to myslím nebude platit ani po nahrazení H Y) stupněm deg(/(X) + I(Y)), ačkoliv pro úplné průniky by to platit mělo). * 24. Divizory na křivkách Nechť je C c P2 křivka a nechť g je nenulový homogenní polynom. Potom definujeme (g) jako formální celočíselnou kombinaci (g) = ai • Pi H-----h ar ■ Pr, kde en = deg(/(C) + (fil))pi je stupeň primární komponenty ideálu I(C) + (g) odpovídající komponentě {Pí}, kde jsou tedy P±,... ,Pr právě průsečíky C d V (g). Zřejmě závisí (g) pouze na třídě g v kvocientu S/I(C). Definujeme grupu divizorů Div C = 7LC, tedy volnou komutativní grupu na množině C (jsou to právě formální celočíselné kombinace prvků C); její prvky nazýváme divizory. Pro koeficient divizoru D u bodu P používáme značení Dp, takže máme D = ^2PeC Dp -P. Stupeň divizoru 71 24. Divizory na křivkách je součet koeficientů, deg D = ^2PeC D p (jinými slovy je homomorfismus deg: Div C —> 7l jednoznačně zadán tím, že každý bod posílá na 1). Pro divizory D, E budeme psát D < E, pokud pro každý bod P platí D p < Ep. Pro nenulový homogenní polynom g tedy máme divizor (g) G Div C a podle Bezoutovy věty je deg(g) = deg C • deg g. Zejména je (g) > 0 a {g)p > 0, právě když g{P) = 0. Lemma 24.1. Platí (gh) = (g) + (h). Důkaz. Pro libovolný homogenní ideál / máme exaktní posloupnost S/(I + (g)) S/(I + (gh)) —► S/(I + (h)) —► 0 díky které dostáváme v případě, že jsou všechny ideály dimenze 0, nerovnost deg(J + (gh)) < deg(J + (g)) + deg(/ + (h)). Pokud volíme / = I(C) + (mp)k pro libovolný bod P a k 3> 0, dostáváme lokální stupně a tedy nerovnost (gh)p < (g)p + (h)p. Protože jsou si však podle Bezoutovy věty globální stupně rovny, musí nastat rovnost pro každý bod P. □ Nechť je nyní / nenulová racionální funkce na C, pišme / = g/h, a definujme íf) = (g)-(h). Podle předchozího lemmatu výsledek nezávisí na vyjádření / = g/h a navíc opět dostáváme (/1/2) = (/1) + (ib)- Divizory tvaru (/) nazýváme hlavní a definujeme Picardovu grupu nebo také grupu tříd divizorů CIC = DivC/PDivC Ještě se definuje Div0 C jako podgrupa divizorů stupně nula a Cl°C = Div°C/PDivC (protože mají g a h stejný stupeň, je deg(/) = 0, tedy každý hlavní divizor má stupeň nula). Pokud je / regulární v bodě P, pak zjevně (f)p > 0 (lze volit h(P) / 0 a tedy (h)p = 0; navíc (f)p > 0 g(P) = 0 4^ f(P) = 0). Nyní ukážeme, že pro hladké křivky platí i opačná implikace. Lemma 24.2. Nechť C je hladká křivka a f nenulová racionální funkce na C. Pak f je regulární v bodě P, právě když (f)p > 0. Důkaz. Zvolme lokální parametr3 t v bodě P. Potom lze psát / = g/h = (g/k)/(h/k) pro vhodný homogenní polynom k takový, že k(P) 7^ 0, tedy / = g'/h' je podíl dvou nenulových funkcí z Op. Můžeme proto psát g' = trg", h! = tsh" kde g", h" G Op \ mp. Dohromady tak f = g'/h! = ť-8-g"/h" a /" = g"/h" je v P regulární a nenulová, proto (f")p = 0. Dohromady (f)p = (r-s). (t)P, přičemž (t)p > 0. Pokud (f)p > 0, tedy r — s > 0, je ť"~s regulární v bodě P a tedy i /. □ 3Lokální parametr je funkce t G Op generující mp/m%. Podle Nakayamova lemmatu mp/(ť) = 0 (protože rrip = mp modulo (£)), takže mp = (í) a tím pádem mp = (ífe). Další aplikací Nakayamova lemmatu platí P|fe mp = 0 (každý prvek tohoto průniku je í-násobkem jediného prvku - Op je obor integrity - tento tedy musí také ležet v tomto průniku), takže každý nenulový prvek Op lze vyjádřit jednoznačně jako / = ťg, kde g i mp. 72 24. Divizory na křivkách Poznámka. Protože existuje funkce, pro níž vyjde (f)p = 1 (stačí vzít podíl dvou lineárních funkcí, z nichž jedna má v bodě P nulový bod, ale jejíž diferenciál není nulový na TpC, a druhá je v bodě P nenulová), musí být nutně (t)p = 1. Dostáváme tak alternativní definici hlavního divizoru (/): koeficient (f)p je exponent r ve vyjádření / = tr ■ /', kde /' je v bodě P regulární a nenulová. Věta 24.3. Platí Cl0 P1 = 0 a tedy CÍP1 = Z. Důkaz. Stačí ukázat, že každý divizor P — Q je hlavní. Nechť P = (po : pi), pak lineární funkce g(xQ,x±) = pox± — p±xq splňuje V{g) = {P} a tedy (g) = P. Podobně dostaneme lineární funkci h takovou, že (h) = Q. Pro f = g/h pak (/) = P — Q. □ Věta 24.4. Nechť C C P2 je hladká kubická křivka, tj. I(C) je generovaný kubickým polynomem, jehož derivace je na C nenulová. Pak pro libovolný bod Pq £ C je zobrazení P^P-Pq bijekce. Zejména je C komutativní grupou s nulovým prvkem Pq. Důkaz. Prvně ukážeme, že je toto zobrazení surjektivní. Nechť Pí, P2 jsou dva body C a veďme jimi přímku; v případě, že Pí = P2, vezmeme tečnu C procházející tímto bodem. Pak je tato přímka tvaru V{g) pro nějakou lineární funkci g a platí (g) = P1+P2 + Q' Podobně pro body Q±, Q2 dostáváme (h) = Q± + Q2 + P' a tedy hlavní divizor (g/h) = P1+P2 + Q'-Q1-Q2-P' Díky tomu v Cl0 C platí relace Pi + P2 - Qi - Q.2 = P' - Q'. Takto lze snadno každý prvek Cl0 C vyjádřit ve tvaru P — Q. Zvolíme-li dále (g) = P + Pq + P' a (h) = Q + P' + R, pak (g/h) = P + PQ + P'-Q-P'-R a tedy v Cl0 C platí P - Q = R - P0. Pro injektivitu pak stačí, že jediný hlavní divizor tvaru P — Po je nula. Zvolme souřadnice tak, že Po G V(xq), a pišme (xq) = Pq + Pí + P2- Předpokládejme nyní, že P — Po = (/) = (g/h) = (g) — (h). Protože zjevně (h) < (gxo), máme podle následujícího lemmatu h \ gxQ a tedy f = g/h = gx^/hx® = £/xq a (£) = P + Pí + P2. Protože však body Pí, P2 prochází jediná přímka, a to V(xq), musí být (£) = (xq) = Pq + P\ + P2, a proto P = Po. □ Lemma 24.5. Pokud je C hladká křivka a pro homogenní polynomy g, h platí (h) < (g), pak h \ g v okruhu S/I(C). Důkaz. Nechť r = degg — degh. Racionální funkce g/(xrQh) je regulární na An, takže je (g/h)\x0=i = k polynomiální. Zpětně pak g/h = x^k. □ 73 24. Divizory na křivkách Uvedeme ještě jednu hezkou aplikaci Bezoutovy věty na hladké kubické křivky. Řekneme, že bod P G C je inflexní, jestliže tečna v bodě CDTpC má v bodě P násobnost (alespoň) 3. V takovém případě pro lineární funkci í zadávající TpC platí (£) = 3P. Je-li nyní samotný bod Po inflexní, pak také 3(P — Po) = 3P — 3Po = 0, takže bod P je 3-torzní. Věta 24.6. Na hladké rovinné kubické křivce existuje právě 9 inflexních bodů. Důkaz. Ukáže se, že inflexní body jsou právě body průniku C n V(detd2/), kde d2/(P) je matice druhých derivací v bodě P generujícího polynomu / G I(C), ty jsou lineární, takže determinant je opět kubický. Podle Bezoutovy věty je těchto průsečíků právě 9, pokud se počítá každý s příslušnou násobností. Přitom je tato násobnost ale vždy 1 (ono je to jakože celkem logické - kdyby ta násobnost byla větší, musel by se ten polynom nulovat až do řádu 3, což nelze). □ 74