Řady funkcí Mocninné řady Petr Liška Masarykova univerzita 06.05.2022 Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 1 / 12 Základní otázky o funkčních řadách jsou: 1. Je součtem řady spojitých funkcí na intervalu I také funkce spojitá na intervalu I? 2. Pro která x můžeme mocninou řadu derivovat člen po členu? 3. Pro která x můžeme mocninou řadu integrovat člen po členu? Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 2 / 12 Bodová konvergence Definice Nechť {fn(x)}∞ n=1 je posloupnost funkcí na intervalu I a x0 ∈ I je libovolné. Je-li číselná posloupnost {fn(x0)}∞ n=1, říkáme, že posloupnost {fn(x)}∞ n=1 je konvergentní v bodě x0. Řekneme, že posloupnost funkcí bodově konverguje k funkci f(x) na intervalu I, jestliže konverguje v každém bodě x ∈ I. (∀x ∈ I)(∀ε ∈ R, ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n ≥ n0)(|fn(x) − f(x)| < ε) Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 3 / 12 Nekonečná řada funkcí Definice Nechť {fn(x)}∞ n=1 je posloupnost funkcí definovaných na intervalu I. Symbol ∞ n=1 fn(x) nazýváme nekonečnou řadou funkcí. Posloupnost {sn(x)}∞ n=1, kde sn(x) = f1(x) + f2(x) + · · · + fn(x), nazýváme posloupností částečných součtů řady ∞ n=1 fn(x). Jestliže posloupnost částečných součtů {sn(x)}∞ n=1 konverguje pro všechny x ∈ I, řekneme, že řada ∞ n=1 fn(x) bodově konverguje na intervalu I a funkci s(x) = lim n→∞ sn(x) nazýváme součtem řady ∞ n=1 fn(x) . Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 4 / 12 Stejnoměrná konvergence Definice Řekneme, že posloupnost funkcí {fn(x)}∞ n=1 konverguje stejnoměrně k funkci f(x) na intervalu I, jestliže ke každému ε > 0 existuje n0 ∈ N tak, že pro všechna n ∈ N, n ≥ n0, a všechna x ∈ I platí |fn(x) − f(x)| < ε. Píšeme fn f na I. Definice Řekneme, že řada funkcí ∞ n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I ke svému součtu s(x), jestliže posloupnost {sn(x)}∞ n=1 jejích částečných součtů stejnoměrně konverguje na I k funkci s(x). Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 5 / 12 Jak to poznat? Věta (Weirstrassovo kritérium) Nechť {fn(x)}∞ n=1 je posloupnost funkcí na I. Nechť existuje posloupnost nezáporných čísel {an}∞ n=1 taková, že řada ∞ n=1 konverguje a platí |fn(x)| ≤ an po všechna x ∈ I a n ∈ N. Pak řada ∞ n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 6 / 12 Proboha proč? Věta Nechť posloupnost funkcí {fn(x)}∞ n=1 stejnoměrně konverguje na intervalu I k funkci f. Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I, je i f(x) spojitá na I. Věta Nechť řada funkcí ∞ n=1 fn(x) konverguje stejnoměrně na intervalu I a má součet s(x). Jsou-li všechny funkce fn(x) spojité na I, pak je i s(x) spojitá na I. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 7 / 12 Mocninné řady Definice Buď {an}∞ n=0 posloupnost reálných čísel a x0 libovolné reálné číslo. Mocninnou řadou se středem v bodě x0 a koeficienty an rozumíme řadu funkcí tvaru a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + · · · = ∞ n=0 an(x − x0)n . Bez újmy na obecnosti můžeme uvažovat, že středem mocninné řady je číslo x0 = 0, jelikož pomocí substituce x − x0 = y můžeme převést řadu se středem v bodě x0 na řadu se středem v bodě 0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 8 / 12 Poloměr konvergence Věta Nechť anxn je mocninná řada a nechť a = lim supn→∞ n |an|. Je-li a = 0, pak řada absolutně konverguje pro všechna x ∈ R. Je-li a = ∞, pak řada diverguje pro všechna x = 0. Je-li 0 < a < ∞, pak řada absolutně konverguje pro |x| < 1 a a diverguje pro |x| > 1 a . Je-li 0 < a < ∞, pak se číslo r = 1 a nazývá poloměr konvergence a interval (−r, r) se nazývá konvergenční interval. Oborem konvergence pak rozumíme tento interval, případně tento interval s jeho krajními body, pokud zde řada konverguje. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 9 / 12 Existuje-li limita lim n→∞ n |an| = a, pak má mocninná řada anxn poloměr konvergence r = lim n→∞ n |an| = lim n→∞ an an+1 . Mohou nastat tři možnosti: 1. Je-li 0 < r < ∞, pak řada konverguje pro x ∈ (−r, r) a diverguje pro |x| > r. Pro hodnoty x = ±r musíme rozhodnout zvlášť pomocí některého z kritérií konvergence pro číselné řady. 2. Je-li r = ∞, pak řada konverguje pro všechna x. 3. Je-li r = 0, pak řada diverguje pro všechna x = 0 a říkáme, že řada vždy diverguje. Věta Nechť r > 0 je poloměr konvergence mocninné řady anxn. Pak tato řada stejnoměrně konverguje na každém uzavřeném intervalu [− , ] intervalu (−r, r). Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 10 / 12 Věta Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak součet této řady je spojitá funkce na intervalu (−r, r). Věta Nechť mocninná řada anxn má poloměr konvergence r > 0. Pak pro všechna x ∈ (−r, r) platí ∞ n=0 anxn = (a0 + a1x + a2x2 + · · · ) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + · · · = ∞ n=1 nanxn−1 a x 0 ∞ n=0 antn dt = x 0 (a0 + a1t + a2t2 + · · · ) dt = a0x + a1x2 2 + · · · = ∞ n=1 an xn+1 n + 1 . Přitom výrazy na pravé straně mají stejný poloměr konvergence. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 11 / 12 Taylorova a Maclaurinova řada Definice Nechť funkce f má v bodě x0 derivace všech řádů. Mocninnou řadu ∞ n=0 f(n)(x0) n! (x − x0)n nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě x0. Je-li x0 = 0, mluvíme o Maclaurinově řadě. Věta Nechť funkce f má v nějakém bodě x0 derivace všech řádů. Pak platí f(x) = ∞ n=0 f(n)(x0) n! (x − x0)n na intervalu I, x0 ∈ I, právě tehdy, když pro posloupnost {Rn(x)} zbytků platí lim n→∞ Rn(x) = 0 pro všechna x ∈ I. Petr Liška (Masarykova univerzita) Řady funkcí 06.05.2022 12 / 12