Aplikace Riemannova integrálu
Hlavně geometrické
Petr Liška
Masarykova univerzita
25.03.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 1 / 11
Geometrické aplikace v R2
Definice
Nechť f : [a, b] → R je nezáporná funkce, kde a, b ∈ R, a < b. Podgrafem
funkce f na intervalu [a, b] rozumíme množinu
S(f; a, b) = [x, y] ∈ R2
: a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x) .
Věta
Nechť f : [a, b] → R je nezáporná a integrovatelná funkce. Obsah S
podgrafu funkce f je dán určitým integrálem
S =
b
a
f(x) dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 2 / 11
Věta
Nechť je funkce f integrovatelná na intervalu [a, b]. Obsah plochy ohraničené
grafem funkce f, přímkami x = a, x = b a osou x je dán určitým
integrálem
S =
b
a
|f(x)| dx .
Věta
Nechť funkce f a g jsou integrovatelné na intervalu [a, b]. Obsah plochy
ohraničené grafy funkcí f, g a přímkami x = a, x = b je dán určitým
integrálem
S =
b
a
|f(x) − g(x)| dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 3 / 11
Věta
Nechť funkce f je spojitá na intervalu [a, b] se spojitou derivací f′ na
intervalu (a, b). Potom délka l grafu funkce f na intervalu [a, b] je dána
určitým integrálem
l =
b
a
1 + [f′(x)]2
dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 4 / 11
Geometrické aplikace v R3
Věta
Nechť funkce f je spojitá a nezáporná na intervalu [a, b]. Pak objem
tělesa v R3, které vznikne rotací podgrafu funkce f kolem osy x, je dán
určitým integrálem
V = π
b
a
f2
(x) dx .
Věta
Nechť je funkce f spojitá a nezáporná pro x ∈ [a, b], kde 0 ≤ a. Pak
objem tělesa v R3, které vznikne rotací podgrafu funkce f kolem osy y,
je dán určitým integrálem
V = 2π
b
a
xf(x) dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 5 / 11
Objem i pro nekulatá tělesa - naivní přístup
Nechť T je těleso v R3, které leží mezi rovinami x = a a x = b. Nechť
A(x) je obsah řezu tělesa T rovinou, která je kolmá na osu x. Je-li A(x)
spojitá funkce, potom objem tělesa T je
V = lim
ν(D)→0
i(D, A, V ) =
b
a
A(x) dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 6 / 11
Věta
Nechť f je nezáporná funkce mající spojitou derivaci na intervalu [a, b].
Pak obsah pláště tělesa v R3, které vznikne rotací podgrafu funkce f
kolem osy x, je dán určitým integrálem
Spl = 2π
b
a
f(x) 1 + [f′(x)]2
dx .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 7 / 11
Těžiště rovinného obrazce
Věta
Nechť f je spojitá a nezáporná funkce na intervalu [a, b] a M je množina
tvořená jejím podgrafem. Je-li množina M pokrytá rovnoměrně
hmotou o konstantní hustotě, potom těžištěm množiny M je bod T o
souřadnicích [¯x, ¯y], kde
¯x =
b
a
xf(x) dx
b
a
f(x) dx
, ¯y =
1
2
b
a
f2(x) dx
b
a
f(x) dx
.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 8 / 11
Pappova-Guldinova věta
Věta
Nechť R je část roviny o obsahu A, která leží celá v jedné polorovině
určené přímkou l. Objem tělesa, které vznikne rotací množiny R kolem
přímky l, je roven součinu obsahu A a vzdálenosti d, kterou urazí těžiště
množiny R.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 9 / 11
Ještě jednou a parametricky
Nyní budeme místo funkce f a jejího grafu uvažovat tzv. křivku zadanou
parametricky rovnicemi
x = φ(t), y = ψ(t), t ∈ [α, β]. (1)
Věta
Mějme křivku zadanou parametricky rovnicemi (1), přičemž φ a ψ jsou
spojitě diferencovatelné a platí φ′(t) ̸= 0 pro všechna t ∈ (α, β). Potom
obsah plochy vymezené zadanou křivkou, přímkami x = φ(α), x = φ(β)
a osou x je dán určitým integrálem
S =
β
α
ψ(t)|φ′
(t)| dt .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 10 / 11
Věta
Nechť C je křivka s parametrizací (1). Mají-li funkce φ(t) a ψ(t) spojitou
derivaci na intervalu [α, β], má křivka konečnou délku a platí
l =
β
α
[φ′(t)]2 + [ψ′(t)]2 dt .
Věta
Nechť je rovinná křivka daná rovnicemi (1), přičemž φ a ψ jsou spojitě
diferencovatelné a platí ψ(t) ̸= 0 pro všechna t ∈ [α, β]. Pak objem,
resp. obsah pláště, tělesa v R3, které vznikne rotací plochy ohraničené
danou křivkou a přímkami x = φ(α), x = φ(β) kolem osy x je dán
určitým integrálem
V = π
β
α
ψ2
(t)|φ′
(t)| dt, resp. Spl = 2π
β
α
ψ(t) [φ′(t)]2 + [ψ′(t)]2 dt
Petr Liška (Masarykova univerzita) Aplikace Riemannova integrálu 25.03.2022 11 / 11