Riemannův určitý integrál
Jak a proč?
Petr Liška
Masarykova univerzita
18.03.2022
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův určitý integrál 18.03.2022 1 / 3
Metody výpočtu určitého integrálu
Věta (Metoda per-partes pro určité integrály)
Nechť funkce u a v mají derivaci na intervalu [a, b] a nechť funkce u′ a
v′ jsou integrovatelné na [a, b]. Pak platí
b
a
u(x)v′
(x) dx = [u(x)v(x)]b
a −
b
a
u′
(x)v(x) dx .
Věta (Substituční metoda pro určité integrály)
Nechť f je spojitá funkce na intervalu [c, d]. Nechť funkce φ má derivaci
na intervalu [a, b], která (ta derivace) je na tomto intervalu integrovatelná
a nechť φ ([a, b]) ⊆ [c, d]. Pak platí
b
a
f (φ(x)) φ′
(x) dx =
φ(b)
φ(a)
f(t) dt .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův určitý integrál 18.03.2022 2 / 3
Numerická integrace
Lichoběžníkové pravidlo
Nechť je funkce f ∈ C[a, b]. Rozdělme interval na n subintervalů délky
h a krajní body těchto intervalů označme po řadě x0, x1, . . . , xn a jim
odpovídající funkční hodnoty funkce f po řadě y0, y1, . . . , yn. Pak platí
b
a
f(x) dx ≈
h
2
(y0 + 2y1 + 2y2 + · · · + 2yn−1 + yn) .
Simpsonovo pravidlo
Nechť je funkce f ∈ C[a, b]. Rozdělme interval na n = 2k subintervalů
délky h a krajní body těchto intervalů označme po řadě x0, . . . , xn a
jim odpovídající funkční hodnoty funkce f po řadě y0, . . . , yn. Pak platí
b
a
f(x) dx ≈
h
3
(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + · · · + 2yn−2 + 4yn−1 + yn) .
Petr Liška (Masarykova univerzita) Riemannův určitý integrál 18.03.2022 3 / 3