8.2 Posloupnosti a řady potretí funkce
Problematika riadnych posloupnosti a řad se možná jcvi jako jakási .hru" s čísly, hromailnýau body a nekonečny. Bez jejiho pochopení bychom se však nemohli zabývat chováním posloupnosti a řad funkci, které maji značný praktický význam. Některých možnosti použiti řwl funkci jsme se dotkli již v úvodu k teto kapitole. Také řešeni některých diferenciálních rovnic jsou vyjádřena řadami funkci. V tomto odstavci využijeme znalosti o číselných posloupnostech a radách k formulaci definic konvergentních posloupnosti funkci a řad a charakterizaci jejich vlastnosti.
8.2.1 Posloupnosti funkcí — není konvergence jako konvergence
Vzpomeňme na definici číselně posloupnosti (8.1) šlo o zoljcazení. které přiřazovalo každému přirozenému číslu n ť N nějaké reálné číslo. Nyní půjde o to. přiřadit přirozeným číslům funkce. Uvažujme o všech reálných funkcích proměnné i definovaných na tomtéž definičním oboru D r R, většinou na otevřeném, uzavřeném nebo jiném intervalu, nebo i na obecnější množině, která může být třeba sjednocením intervalů. V definicích a větách se pro jednoduchost omezíme na situace, kdy I) je interval Množinu všech funkci definovaných na I) aatnínv T0. Později budeme pracovat s podmnožinami funkci, které maji předepsané vlastnosti. Například jsou spojíte, diferencovatelné (mají derivaci), apod.
V některých tvrzeních potřebujeme pojem monotónní posloupnosti funkci Posloupnost funkci {/»{*)} nfN se nazývá na intervalu l) nekU&ajiei. resp. nemetoucí, je-li každá číselná posloupnost {/„(o))nfN,a • /.). neklesající, resp. nerostoucí. Neklesající u nerostoucí posloupnosti funkci nazýváme monotónní.
Také posloupnosti funkci mohou mít sve limity. Těmi pochopitelné jsou opět funkce. Vyéisli-me-li všechny funkce dané posloupnosti (8.8) v určitém bodě a £ l). můžeme se zajuuat o to. zda konverguje číselná posloupnost [fJa))ns;N Pokud ano, říkáme, ze posloupnost funkci konverguje v bodča. Bodu. v nichž posloupnost konverguje, může lni více. dokonce mohou vyplnit celou množinu D. Odtud se odvíjí definice bodové komwyrnce posloupnosti funkci
Hekneme, že posloupnost funkci \fn(x))^fi konverguje bodově, na množme D, jestliže konvergují číselné posloupnosti {/„(o)},^^ r každom bodč a C I). Funkci
/: D^x -* /<*) = fimf/.tx))
nazveme fandou poidoupnostx funkti I/.ít))^N. Zapisujeme také {/„(t)}^* — J{x\ na l).
Obdobné samozrejmé můžeme hovořit o bodové konvergenci na nejaké podmnožině obom l). V náslcdujicim přikladu si formulujeme definici bodové konvergence jiným, ak ekvivalentním způsobem. Tato formulace bude vycházet přímo z definice konvergence číselné posloupnosti Bude sice zdánlivé složitější, ale » výhodou se pak od ní „odrazíme- při vymočeni Jepšiho-' typu konvergence, tzv. konvergence stejnoměrně.
Pfiklnd 8.21: Definice bodovo kuuvtagencc jinak
Přeformulujme tedy <klinici bodové konvergence posloupnosti funkci: Řekneme, že posloupnost funkci ifnix)\mf.H boduve konverguje nu mnziané D k funkci /(r), jestliže ke každému čudu r > 0 • pro kašdý bod z e D existuje index .V tuk. ue pro všedina n > S pluh í/n<x) - f(x)\ < c. Uvedomme si. že index .V. od ktercho ryte- uvedena ueravuotit platí, znvisi obecné na lom, jak jsme zvolili i a konkrétní bod x. v néau jednotlivé rinikcc posloupnosti i funkci J{x) vyčislajeme. tj. S — Sic,z). Obvyklé je, že cim menši c vulime. tim mu vychází index .V. Take otiecné platí, že v aŕkterych bodoch oboru D konverguje posloupnost Jepe-• v jiných Jmitc- Také v bodech Jiorsi" konvergence vychází index .V vetÄ
Ukažme tá pŕedchoxi obecne úvahy eut přikladu velmi jednoduché po&iupnotiti funkci, posloupnosti geometrické, pro nu pluti /K(x) - x", ne N L. {OJ. (Zahrnutí indexu n - 0 .do hry" je u mocninných posloupnosti obvyklé a iieprinasi zadnou podstatnou zmenu v deJnúci posloupnosti, pouze pridám nultý clen ) Posloupnost pro všechna x f R Jejim kvocientem je pravé x. Počitáme-K limitu Iimn {x* J, vidíme (a vime to ti/ xe itŕedni školy), že pouze pro |xl < 1 je tato limita vlastni a je rovna tnUe. Pro x > 1 je limita nevluntm a rovna f 3c. pro x jč -1 postoupnost osciluje. Pro x - 1 jmi všechny členy posloupnosti rovny jedné, stejné tak jako jrjt vlastni limita. Situaci ukazuje následujici tabulka, která pro úplnost ukazuje také intervaly konvergence posloupnosti tvorene absolutními hodnotiinn hrnka /»i'x ] - r"
		limita	... N	limita
ľ  IX 11	asrtliijr	neexistuje	diverguje	
x — —1	osciluje	neeculiijc	konverguje	1
	konverguje*	0	kmneTť'Jjc	0
X- 1	konverguje	1	■M in i>-	1
1 BC	diverguje	♦ oo	diverguje	
Ncjzunmavejsi časti prolne ony z pohledu hodové konvergence teto pusiiaipussli je tedy interval (-1,1), kde pudoupnost konverguje k identicky nulové funkci
«■ </»(*)) -/(*>-••
■a • -x
Dule prnrpokladejme. ze (xj < 1. Zvolme r > 0 a sledujme, jak závis' index *V(r, x). od kterého vysr bude platit nerovnost |/n(x) - /(x}| < c. na v«U>e z, zejména však na bodu x, ve kterém pravé posloupnost vyčiahijrme.
ílcsume nrrornoil [x™ - 0\ < c vzhledem k n:
(r*-m<r —• [rr<c — nm|xj <mr —• n>
_
li :
Dokážete zdůvodnit, proč jmic při logaritmováni vycbua nerovnosti ponechali muk nerovnosti a při data úpravě jszuc jej museli otočit'.' Mohl by být podii logaritmu lne r ln|x t akr záporný? Co by to znamenalo? Abychom
Obr. 8.9 Konvergence geumetrieke posloupuosti fimka v závislost) o* kvocientu x sc vyhnuli komplikacím s úvahami o znaménku výsledného výrazu, vrernemr
Ar(c,x>-lr
prkemz hnuuitr závorky znamenají celočíselnou caat výrazu v nich. Pro všechny indexy n > .V|f.J) bude požadován* nerovnom |x"| < 0 becpečne platit. Zomrime se nyní ciu vztah pro aute x S\c.x\. Jdio zavmIobU u(k nemůžeme xl<avrt. Závislost \<elicxny !fin£r| o* 'A\ pro r( < -1,0) U (0,1 ) ukazuje graf na obrázka 8.9 (pro r 0 se křivky Uui asymptoticky ke svislé ose). Duri-fi *e kroôent x hodnote 1 nebo - 1. nabývá výra* pro .V Iittovolnr velkých hodnot Jeho závislost na x bychom dokázali odatranit pou>« tak, xe bychom omezili obor konvergence postoupnosti z intervalu (- 1,1) ua nejuky men>á interval, třeba ( 1 r S, 1 - ď], 0 < S < 1. Cblo S by již mohlo byt jakkofi mak?. Pro index .V bychom pak dostali hodnotu nezávislou na x. konkrétne
/Viru.: Všimněte si jarte, že posluupnast {x"),^ jj bodové konverguje dokonce na z prutu uzavřeném intervalu (-1,1). Její limitou je funkce, která jr identicky nulovú no otevřeném intervalu (-1.1), v bode x — 1 nabývá hodnoty /(1) - 1. Je tedy v bode x - I nespojitá, zatímco všechny funkix- posloupnosti jsou spojité.
Cvahy v přikladu 5.21 mohou třeba i působit dojmem zbytočne _ jemnost r. Jsou však důležité pro zavedeni dalšího, podstatně silnějšího pojmu stejnoměrně konvergence.
ftekneme, že posloupnost funkci {/.{jJI^n konverguje stejnoměrně na množině D k funkci fix), jestliže kc každému číslu £ > 0 existuje index .V tak, žc pro všechna n> N a pro každý bod x ŕ U piati
Zapisujeme tAkc n /(x) na 1)
Cim sr vlastne Uši tato definice od definice bodové konvergence, kterou jsme alternativně (ekvivalentné) formulovali v přikladu 8.21? Zdá se. že se tyto dvě definice liší pouze jiným začlenením textu .pro každý bod iť J^, tedy fakticky pouze slovosledem. Tato odlišnost však neni pouhou gramatickou hříčkou. Naopak, je velice podstatná. Zatímco slovosled v definici bodové konvergence znamená, že index .V. od kterého vyše piati požadovaná nerovnost, závisí jak na volbě e. tak na volbě bodu x t. D. pro který konvergenci zjišťujeme, tj. N = N (e, x), závisí tento index v případě stejnoměrné konvergence pouze na volbě e a pro celou množinu I) je univerzální, tj. jV = N(£).
Příklad 8.22: Konverguje geometrická posloupnost funkci stejnoměrně^
Nn tuto oUizku odpoviilá mkrta přikladu S.21. Závislosti indexu .V d* bodu x íf D ar na octem intervalu (-1,1) nebí- zbavit Na intervalu (-1,1) ledy po&luupnuat konverguje hodové, ale nrfcunvrriruje- atejnuméraé. SlaQ vaak interval wtbcaěaé zmexmt a na intervalu 1-1 f 6,1 - S), a dokonce ua | - 1 | S, 1 - S\ pi poakiupnojit fc t-v-u-ij:- Úepuxu n j   N u    >r ÍM :<::. I M I I i I r m i.   tĚUĚt pi :n« ■•. ri.k> j... I KifHBÉi inXn
Obr íUO Ceouwtrrä
■ vyzzuiccmni odhinonti bodovo konvergence ua intervalu i - 1.1 > a ntejnomerue konvergence na intervalu (-1 + i Ä, 1 -6;. Obrázek 8.10 vievo znázorňuje graf t funkci y — rn v intervalu |-2,2: pro n uuln-vajbri liodnot 1 uz
Obr. 6.11 Geomrtrick
fiinkn
12. (Obrázek berte jako ilustrační Vlirem značného rucnahu hodnot n nejsou některé grufy dobre rozlišeny.; Na obrázku 6.10 vpravo jsou funkce y - x" v intervalu bodově konvergence (-1,1| pro n postupně 1. 2. 3. 1. ó, 10, ló, 25. 35. 50 a 100. Obrázek 6.11 znázorňuje vliv omezeni intervalu konvergence nu ( 1 t i. 1 S; V tomto intervalu jit poeloitpnoxt funkci konverguje stejnoměrné. Pro konkrétné zvoleně c - 0.2 je graf odpovidujkri indexa .V|r| - 10, již nrcávwlemu do x. vyxnuren červené, grafy pro hodnoty indexu n - 15. 20, 35. CO. 75 a 100, tj. n > A'(c), jasu vyznačeny modre, grafy pro ostatní indexy, tj. n - 1,2, 3, 4. 5. jsou ceme. Při omezení na interval (—I + é, 1 - J) - < -0.8&, 0,811) leží v intervahi ( -02.02) všechny grafy funkci y - x* pro n > 10.
Nakonec uvažme libovolný bod x r {1,1) u xvobne S > 0 tak. aby -1 + << x < l - < V intenulii (-1 • «5,1 - é) posloupnost konverguje stejnoměrně. Pro kaady bod x z intervalu ( - 1,11 tedy dokážeme nalézt takové jeho okolí, v němž posloupnost konverguje stejnoměrné, ftikúine. ze na intervalu (-1.1) konverguje posloupnost takahut stejnoměrné. Z predrhuzich úvab take vyplývá, že posloupnost konverguje stejnoměrné na každém uzavřeném podmtervahi intervalu (-1,1).
Vzpomenete si ještč na Cauchywvo Doizanovu kriterium konvergence číselných posloupnosti? Toto kriterium říkalo, že číselná posloupnost je konvergentní pravé tehdy, když jsou její ěleny s dostatečně vysokými indexy _natčsnan>~ libovolně blízko sebe. V matematickém jazyce to formulovala věta 8.3 pro libovolné zvolené £ > 0 existuje takový index N. že pro všeelmy dvojice indexů n a n + m, kde n > .V a m je libovolné, je to***.** - o«! < w. Také pro stejnoměrnou konvergenci posbupnosti funkci taková veta plati, index .V však tnusi být ..univerzálni4' pro celý interval hodnot proměnné x. které se veta týká. Muže (a obecné bude) záviset na volbě E, ne vsak na x.
Veta 8.8 (Caucliyovo Dolzauovo kritérium pro posloupnosti funkcí): Po-
sloupnott funkci {/n(x)}»rN, fn{x) t Ta, je sttrjnomérne konvergentní na l) pravé tehdy, když kr každému tídu e > 0 existuje index N tak. ze pw viet-hna n > N, všechna m f N. a pro každý bod x f} D piati |/„4«i(x) - /„(x)) < r.
Důležitost tohoto kritéria spočívá, podobné jako u číselných posbupnosti. mj. v tom. že pracuje
pouze se čkny posloupnosti, nikoli s konkrétni funkci /(x), která je jrji limitou. Důkaz je velmi jednoduchý a v podstatě sleduje důkaz věty S.3. Ponechanie jej tedy do cvičeni
Stejnoměrně konvergentní posloupnost funkci se obdobně jako u posloupností číselných nazývá rawhyov*ka
JednoUivě členy <laně kouvergentni posloupnosti funkci mohou mit určitě vlastnosti Jsou třeba spojitě, diferencovatelně (maji derivaci), intcgrahilni. atd. Zajímavou a zejména pro fyzikální, technické či jiné praktické aplikace důležitou otázkou je. jak se tato vlastnost ..přenáší" na limitu posloupnosti Tedy: Jc limita posloupnosti spojitých funkci také spojitá funkce? Je linuta posloupnosti diferencovatelných funkci také diferencovatelná funkce? A podobné Jakou roli při OílptJvéili na tyto otázky hraje to. zda konvergence posloupnosti na daném intervalu jc stejnoměrná, nebo jen bodová? A právě mni uvidíme důležitost ^ilnějsř*. tj. stejnoměrné konvergence.
Příklad 8.23: Ještě jednou geometrická posloupnost funkci
Ze nuiji předchází otázky Marti, jc vidět hned tm příkladu geometrické pasiou pucat i funkci { Jtc(.x)}«*N, /m(x) - /" (příklad 8.22). Tra jcďhodixho«t uorzmr definiční obor tm interval D - [0,1J. abychom ac vyhnuli funkcím se /. n porny m zakladeni Všechny č feny poikmpnoati jmu spojíte funkce nu D. Poolouputitct. jak ume z řešetu přikladu 8.22. konverguje bod are k funkci f[x), která jc na intervalu JO. 1} nulová a f{l) — 1. Na rozdíl od viech členů poaloupiioatj tedy jep linuta není spojil cl Omexime-u drfilária obor jeátě o kousek, jokkou molo. iui interval (0.1 - é"|. resp. '0,1 - JJ. 0 < S < 1, bude na něm radaná posloupnost jiz konvergovat stejnoměrné, jak j«me se rovněž presvedčili v přikladu £ 22. Její limitou je funkce /(z) - 0 na |0,1 - 6), rap. [0,1-6';, ledy funkce n pojita.
Je to právě vlastnost stejnoměrné konvergence, která zaručuje, že se vlastnosti členů posloupnosti přenesou i na její hnutu Následující věta shrnuje nejdůicžitéjši praktická t vrženi, která se tohoto problému týkají
Věta 8.0 (Vlastnosti stejnoměrně konvergentních posloupnosti funkcí):
Hadmi ifm(T)]neN J* posloupnost funkci, kterú konverguje na D k funkci f{j) Masiností Hrnú posloupnosti se předpokládají pro všechna n . N Platí
Nech( (předpoklady) Pak (tvrzeni)
konvergence posloupností je stejnoměrná ==>   funkce f (z) je spojitá na I) a funkce /„(x) jsou spojitě na I)
ktmvergence posloupností jt stejnoměrná funkce f(x) je iniegrubúm
a funkce f„{x) jsou řntegrabdni na \a,b\ C D =>   na\a.b) a platí
h 4
Jf(x)dT=hmJfn(x)ÓT
konvergence posloupnosti je htejnomérná na I) \ [a] a existuji kmity Um(/n(x)) = Ln
funkce fH{x) maji derivace na otevřeném intervalu D, |/^(x>}»fN konverguje stejnoměrné na D
/(x) má derivací na D a piati f (x) = Jnn {fjx)\
stejnomimé na D
existuje lim f(x)= Um {Lm)
posloupnost je monotónni, funkce /„(x) a f {x) jsou spojité na D
Proč jsou tvto vlastnosti tak „prakticky důležité-, jak jsme avizovali'' Nejde jen o .prenesení" vlastnosti členů posloupnosti Funkci na funkci, která je její limitou (spojitost, diferencovat cl-nost. integrabilita. apo<l ). ale také o zamčnnost určitých operaci Například, potřebujeme-li mát limitu posloupnosti {In\r»-s. která jc dána integrály funkci /„(r) na intervalu ía,6|. nemusíme počitat všechny tyto integrály, resp. hledat obecný vzorec pro /„ a pak počítat Umit u výsledně posloupnosti. Místo toho můžeme nejprve určit limitu /(x) a pak teprve spočítat její integrál. Podobně je tomu se záménnosti výpočtu limity funkce f(x) v bodé a s hnutou posloupnosti limit, nebo se záinčnnosti poradí derivováni. Za předpokladu splnení požadavků věty 8.9 můžeme vztahy záměnnosti vyjádřit takto:
Důkazy těchto tvrzeni shrnutých ve větě 8.9 jsou založeny na Cauchyově Bohanové kriteriu, ale samozřejmě také na definicích či vlastnostech operací, jichž se týkají |mtcgrabilita funkcí, diferencovatebost funkci, apod.) Vesměs jsou lehké Ukážeme si alespoň jeden z nich. třeba pravidlo o derivaci Na něm je zajímavě to. že nepožadujeme stejnoměrnou konvergenci původní posloupnosti funkci, stačí nám konvergence obyčejná (bodová}. Naopak u posloupnosti vytvoJKné z derivaci původních funkci požadujeme stejnoměrnou konvergenci. Během důkazu uvidíme proč.
Než se vsak do důkazu pustíme se vši obecností, osvětlíme si význam předpokladů názorně na příkladech. Uvědomme si: Jake je například postavem požadavku stejnoměrně konvergence ve větě 8.9? Stejnoměrná konvergence (spolu i dalšími požadavky) zajišťuj* platn<*i tvrzi.ru má tedy charakter jedné ze souboru postačujících podmínek. Pokud by nebyla splněna, nemuti
(8.9)
závěr platit, jak jsme tri ba viděli v přikladu 8.23. Může se o vši-m stát. že soubor požadavků tvořících postačující podmínku nebwfc jako celek splněn, avšak vlastnosti popsané jako důsledek tohoto souboru, nebo aspoň některé z nich, splněny budou. Pro podrobnější vysvětleni použijeme předposlední pravidlo věty 8.9. týkající se posloupnosti a derivované posloupnosti
Príklad 8.24: Nej-jnlnodussi přiklad
Nc]jť<t»txlua*tm prikludrm jegeometrkfcápodBapaa* \fn(z\)n»ri- /|xI - x*. již june■ podrobué renovab již v prikWlecfa 8.21. 832 a 8.23. Vime o ni. xe konverguje k funkci }{x) - On* mKrriilu (-l.il Tato kanvpfgcucc táce neni stejnoměrná, ale z blediakn pravidla pro derivaci posloupnosti to urvadi. Co by vadit mohlo, je skutečnost, že také posloupnost derivaci funkci /«<x). tj. posloupnost \flJz))n+H- /J,lxi - ni*"1, kun věrnuje ua (-1,1) pouze bodově, a to rornex k iikxiticky nulově fuiikri. Jedna ae souboru postačujaricb podminek. požadavek stejnumemě konvergence derivované posloupnosti, je tedy porušena a limita pceuoupnosti |/;íx)J«N by se tedy nemást roenar funkci f(x) Ale rovná se p. nebot na (-1,1) pláli
hmjnx—') -0, /(x)-0.
Je vidět, že podmínka pustacujici nfco s jistotou zaručuje, avšak ono to muže nastat, i když nexu splněnu. Pro názornost ukazuje obrázek 8 12 několik cienfi geumetrieke postoupnosti (rn|n. »« a posloupnosti derivované nu intervalu (0, lj.
Obr. 8.12 K přikladu 8-24.
Pom.: Pokud použijeme stejný „trilr jako v prikludccb 6.21 a 6.22, „oariiiur~ část denniembo intervalu po-fjoupnosti a omezime se na mtervnl ( -1 r Ä. 1 - í), resp. [-1 f i, 1 - S), konvergence derřvovauě ponloupuosti (a tě povodni rovněž i bude jrz stejnoměrná.
Přiklad 8.25: Přiklad tnke j^aWiuífaý
!'• ■ ľ Sjpsj ■ i t ii.L. i
konverguje na celé reálné ose R k klentidry milovč funkci /|r; - 0. Tato kotiwiycucr je dokonce stejnoměrná. Skutečné, zvolme bbovolné r > 0. Pro nalezeni indexu .V, od kterého vyie pluti |/a(x) - /(x)| < r. resimc nerovnost
Protože je | ňn nx •: l pro vaeriina n < N»r> R štaci volit .V > r"', tj. S - |c_,J-f 1. Podstatne je, ie tato hodnota je univerzální pro celou reálnou osu (nezávisí na x) konvergence je vxkutku stejnoměrná Z hlediska předposlední vlastnosti -rety váak typ kuuvcrgcucc zadané posloupnosti neni důležitý
Kuzaia t funkci dané posloupnosti má na celé reálne oae derivaci fm{s) — tam nx. Posloupnost derivaci ovsem nekonvergujc ani bodové, natož Jdtejnomerné. Situaci ilustruje obrázek 8.13. Funkce f[x) — 0, která je limitou zailnné posloupnosti, má všude na R derivaci f{x) — 0. Posloupnost utvořena z derivaa fcix) viak limitu vň1<c nemá. Vztah uwdený v predpoalednim tvrzeni vety 8.9 proto pro naái radu neplatí.
13 K príkliiilu S..2Z.
Příklad 8.26: Příklad trochu ruuixmjju
Poalnwpnoat funkci {/*ix!|n»n - iaretg ns j„, n konverguje na R k funkci
/<x)- Jsmjarctgnx),   /(x> - - i pro r < 0,   /(x) - ^ pro x > 0, /{0)-0.
Tato funkce není oce nzii spojitá nic pmlposledniniu tvrzeni ve veté 8.9 to nevodí. Má uniovou derivaci na —míim' (-oo,0) U (0,oo), v bodé x - 0 je ji derivace neni definována. Funkce dane posloupnosti maji na R derivace
1 -r n»x»
Posloupnost těchto funkci konverguje na (-oo,0) U <0roo) k identicky nulové funkci gix\ — 0, v bodé x — - 0 má odpovídající číselná postoupnout tvar (/J(0))„»n - {n |n a diverguje k +oc. Nékobk člena zadané poaloupnoHti a posloupnosti derivované je znáxornéno na obrázku 8.11 Konvergence posloupnosti {f^\x))n^
Obr. 8.11 K príkladu S.28.
n* < -oc.Ol U 10, oc l noú stejnoměrná. Ukážeme to. Zvolme :>0« rramc vzlunirm k indexu n nerovnost
, j        ~ °| < g —» - n * r > 0 pro ryO. <«.10)
I Proč myslite, xe jtaur tuilu zatnu z výpočtu vy loocili'.' I Kořeny levě strany
^(]±VT-W)
jsou reálne potue pro r tí | nulu J ume Tluk vyloudli. a proto x «E (—^,0) U (0.       Index .V, od
kterého vý*e pUtt požadovaná nerovnost {8.10), je puk určen vetům z olwu kořenů, tj.
Je vidět, ze dobu mez indexu S záviai na x ■ klesajícím x neomezené ručte. Pro x í (-oo, - jL) U (^-.oc) má Týnu {x*c)i»* - ntrni levě strane druhé nerovnosti (8.10) kladně znaménko pro všechna n. problémy tedy dělají jen hody „blzzkxř x - 0. JirJi «e muxetne zbavit podobne, jako pme to udělali u geometrické poaloupourti v příkladech &.21 a 8.22 Zvobane-fi nejaké í > 0. jakkoli malinkaté, bude již zadaná poaluupnost na množině I - oo, -Í)u(S, oo) konvergovat k identicky nulové funkci stejnoměrné. Tento výstodek již je postačujirt k cajbteni stejnoměrné kouurpatce posloizpiionti derivaci clenu purioupnutiti |axttgnx|n. N k funkci, která je identicky mílová na mncmiie ( -oc, - S) u (i. oc I. a rovnosti derivace limity povodiu punluupuoati a limity derrvovaně po*kjupno*ti na těže množine. Rovnost limit je zřejmá derivace konstanty I -ý na intervalu (-oo, - S) a ý na intervalu {<í, oo)} je nulová, hmita ponkxjpuorta
je také nulová
Příklad 8.27: Juk jcflU: ke použi%iit ptavkiln věty 8 L>
V pmkbozim prudndti jsme se důkladné lalryvnb posloupnosti |/m\x)|BvN kde /nlxj - arrtgnx. <le-□nované na cdé reálné oae. Z čeho všeho mnxctne zjtsth. že tuto p«loupnout nu R ■ice konverguje, ale oc ntejrioaienie? Možnosti je několik. Vjcbouiskrm prvni x nich máie byt numoaxejmé dchnire. Jsou rúk i dobi mužnosti, kvere vyplývaj! t věty 8.9
Ol r HICK přikladu 8.27.
• I'otDoa vlastnosti spojitosti: Zjistili jame. xe txastc posloupnost bodovo konverguje k ňniko definovane rovněž na R. která nabývá konstutni hodnoty -r/2, resp. r/2 nn intervalu (-oc,0), resp. <0t so) a nulové bodnuty pro x — 0. Je tedy v bode x - 0 nespojitá a ani v nem nemá limitu. Kdyby původní posloupnost $po]iipch funkri /*(x) — arrtfl ns tatm-roT/valn nu R stejnoměrné, byla by jeji limita pudle prvutbo pravidla vety 8.9 také spojitou funkri na R Ale to ona ueui. Je tedy nutně porušen některý z predpokladu tohoto pravidla. Je jim požadavek stejnoměrné konvergence posloupnosti.
• ľomoa vlastnosti derivace: Nanlcdujici podoiipnust vypadá dožite a moxuá umrie vymyšleně.
Í5-<x>>atN-   9-<*)-x«rctRnx-^-m|l-nV).
Jeithxe však jeji členy zderivujcine. objeví se _nase- posloupnost \<fm(x)\n^n. S^lx! - Jal.x.l - urctgnx. Limŕton ponloupnorti {ft»(x}} ^ je funkce «j(x) - ^[x| a ta nemá v bode x - 0 derivaci. Kdyby poaloupnost arkurtangent konvergovala stejnoměrné na R, musela by funkce o|x> mít derivaci na R (Z cvičných důvodů Ú limitu bin,,-. *:| <j»(xi| vypočtete.)
A pokud jde o typ kumergcnre posloupnosti <9nl.xl}».N k funkci *;x|'.f Tak ta jena R stejtiumerná. Posloupnost je totiž nu R monotónni ■> výjimkou bodu x - 0f v nemž je tvořena samými nulami, je dokonce rostoucí:, můžeme proto použit poslední pravidlo vety 8.9. Z prvního pravidla zase plyne, že limita g<x) je spojitá. Ohnuek &1C znázorňuje několik členů posloupnosti ^ixi^-n Je iui něm pěkně vidět, jak se a rostoucím n blíži k funkci g(x\ - *Lr|.
/Ven.. Pečlivý čtenář ae pochopitelné nespokojí s obrázkem 8-1 Ei jako jXiskiurxa- monotonie posJoupnosti IS»<*)U*N aověři ň ji výpočtem
Príklad H.28: K čtuim jsou posloupnosti funkci .\<A<w    jeden pňklui x fyziky
Cumári .-.iinirrcm prakticky ai jiz jiste dávno kladou otázku, zda hra • piikiMfiiwlaii fi äael a funkci
tieni jen nepraktickou záležitosti, která muže zajímal leda tak zaryté matematické teoretiky. 2e tomu tak nexů. se později ještě nekobkrát presvedčime. Teď však alespoň jeden prakticky použitelný fyzikálni přiklad z oblasti atomové fyziky'. Ze školy i x praxe cteuax vi, ze se razné látky chovají různé, když jsou vloženy do magnetického pole, některé se dají zmugnrtovnt a zase odmagnetovat, některé nikoli. Za chováni látek odpovídá ji takzvané magnetické momenty jejich atomů. Ty se nemohou mnut spojité. Jsou kvantovány. .Kvanta- takového magnrtirkého iiHMmiÉU jsou identifikovaná kvantovými cisJy, která jsou crlocioelna. nebo polovinna. Velikost magnetického momentu tirätého objemu látky pak závin jednak na určité spojité proměnné x souvisejk-i treba s teplotou, jednak tia kviuuovém dsle n A posloizpnost funkci je zule Aniž bychom ruzHárab podrobnosti, ukažme si takový konkrétni prípad.
Klagnetizare i celkový magnetický moment i určitého objemu látky je dána takzvanou IJrúl&utnorov funkcí x?j(x). kde x je spojitá proměnna ikoidcrétné je to veličina umerna pŕerraccné hodnote teploty vzorku lulky i a J je kvantové äxto udutujici celkový moment Iry housti atomu. Toto čwlo nabývá v principu hodnot x i (Q, ■J. 1,^,2, .. .| Oxnodme-fi n - 27. lze flnllouimiTii funkci zapsat ve tvaru
Pro jednotlivé hodnoty n ť N jsou tyto funkce sice definovány na množině ( -oo,0| U (O.oo), avšak fyzilodni vyznám proměnné x je takový, ze x > 0. Uvažujeme tedy o posloupnosti funkci i&iixl}.,. n na ninoxhie D — \0.ao). Pro její limitu platí
i» .=c »-.ae I    n    exp {—^-T
) - exp I »||ai] 1 nepf - exp( )    exp(-^xl     ■ «Pf exp(
Cleny posloupnosti pro n - 1,2,5 a 20 jsou pro x ŕ (0,ac) znázorněny v levé časti obrázku fi.16. v ptané
#1-
Obr. 8.16 K přiklad-.
části jsou grafy pru ilustraci aiázoruáry i pro záporne hodnoty r. i když nemají fyzikální vyznám. Celková magnetizAo: látky samozrejmé souvisí s fialami fyzikálními vdirinumi popisujícími její stav. treba s energii. Je
proto t Mm prošetřit, mím je koairrgfsice padoupnoali k jeji limite stejuocwroa. ci nikobv. abydium vedeE. »U aiň/jcme • porioupnoati „bextnstne- pruvwVt nekterr operncr laiipr dermmicu ä uitrjmjvam;. Zjurťorat rtej-uotnernou kccivcrRená xtovua u takto pomer™4 slorit vrJi fuxikci jiite nctiude dobré schňdnŕ. Pomohou nám vsnk prnridln obmien* vp vrte 8.9. Pokuste ac jich využit * itanorit intervaly .itejiioiurroé kouverpeuce poaloupnoatj Hnljiuin. ■. y: li r'mikri.
Na samčiu konci tohoto odstavce ještč provedeme shbcný důkaz pŕcdposk-dniho pravidla věty 8.9, které se týká derivace posloupnosti funkci. Kdo větě 8.9 věří a podstatu postačujících podmínek jednotlivých pravidel si ujasnil alespoň zhruba pomoci příkladů, může rovnou přejit k dalšímu odstavci
Tak tedy předpokládejme, že posloupnost \fJx))nrN konverguje na !) k funkci /(x) a že posloupnost derivaci [f^(x)}ncN konverguje také na l). avšak dokonce Ktejnoroěrně. Jcji linutu označme g(x). Je třeba dokázat, že funkce f(x) má na l) derivaci a platí /'(x) = g(x). Potřebujeme proto ukázat, že pro všechna x i D existuje hmita
Um
/ty.i /itj
■
a že je rovna g(x). Zvolme bod x »ř I) na chvíli jako pevný Funkce
fM - /.(*)
§Jbh* ■ pevné) =
y-x
tvoři posloupnost [gn(y.x = pevné)},,^. definovanou na I) \ (x), a maji Umity
Um^y.x- pevné) = f(x).
Pokud Iry posloupnost [gj.y.x = pevne)},,, n byla stejnoměrné konvergentní, mohli bychom použit třetího pravidla věty 8.9. tj. aplikovat na ni záménnost limity lim, .x a limity liin^ ... K důkazu stejnoměrné konvergence posloupnosti [gn[y.x = pevné)}»fn využijeme předpokládané stejnoměrné konvergence posloupnosti |/^(x))„rN na D a Cauchyova Bolzanovu kritéria. Abychom mohli toto kritérium uplatnit na posloupnost [gn{y. x = pevné))„f n- musíme počítat výraz í stále s pevným x)
\gn.m(y,x) -gn(y.x)\ =
/n + mfo) - /«.n,|X)       /«(y) - /„(X)
y-x
lA.-(y) - /n(y). - |/»»m<*) - /,(*)]
Na funkce (fin/m(z) = /»+m(z) - fm(z) lze na intervalu z tE \x,y). nebo z € |y.x) uplatnit I^agrangeovu větu o střední hodnotě (v prvním dílu odstavec 2.1 7. věta 2.2). neboC jsou na D
spojité a maji derivaci <Jn;m{z) - fm+n(z) - fn(z) Podle Lagrangeovy včty o stnxini hodnotě existuje bod í ŕ (x, y) tak. že platí
=> - /.(»)] " [/.-*.(*) ~ fn(*)\ = - ľm(i)](W - ■)
a odtud
A už máme vztah umožňující využit stejnoměrné konvergence posloupnosti {flix))nt_x na kterou opět vyjadrime pomoci Cauchyova Dolzanova kriteria. Zvolme e > 0 libovolné. Pak existuje index N tak. že pro všechna n :> H a všechna (C0 platí \f'ni.m(£) - fHi)\ < £, odtud plyne, že pro všechna n > .V a všechna x,y € D je |$„*.ni(y.*) - AtlV-J)| < £ Posloupnost funkci {p„(y,t = pevné)}^N tedy konverguje stejnotnčmě na l) \ \x) pro všechna x t D. Podle třetího pravidla včty 8.9 existuje pro každé 7 £ /.> Umítá hrna    {liniy   on(y. r)) a plat j
g{x) = lim {£(t)} = lim {limgn(y.x)) = lim{ lim =»
Um • lim •* [v*
í    ir— 1«-*     1/ - x     J    r-*    y - x
8.2.2 ftady funkcí a posloupnosti jejich částečných součtu
Tento odstavec bude velice stručný Chovaní řad funkci je totiž určeno posloupnostmi jejich částečných součtu. A posloupnosti funkci jsme probrali opravdu důkladně. Pro pořádek zdú-raznóniBl
lfn(x\\ncN je posloupnost funkci definovaných na množině I) r R r*-tvm ným součtem řady funkci
Y. " /»<*> + + ' • * + + - • '
c funkci
laduwu. resp. flfjnnminwu tontvryé-ru-i řady funkcí definujeme jako bodovou, stejnoměrnou konvergenci posloupnosti jejich částečných součtů. Absolutní ícerymci rozumíme konvergenci řady utvořené z absolutních hodnot funkc
Porn.. Znovu pripomeňme, že množinami D v našich úvahách rozumíme nejčastěji intervaly, poprípade jejich sjednoceni.
Nejprve jednoduchý a čtenářeru již pravdépodoln:< •...oVkavjaiy přiklad geometrická řada. Příklad 8.20: Geometrická ruda
Vzorec pro n-ty čattarm součet geometrické řady a, V* } qÄ a k vorvrotem f ffíac odvodili již v prrurm dilu v príkiwiecii 2.20 a 221 vztahy |2.8| a (2.9). Dudou-li kvocient řady nebo jeji první c lni o, funkcemi proiurniir j-.tj.y- «í,xl, fli - ailxi mime gronetricJBXi rmhi hrnka. Pak
Pro |f(x)i < 1 rodu kcinverjfujc. jeji limitou je fankor
- Um »»í*)l - ■:-TT-
Jak výpad* ■Bpjjhi prutnrnnc x. ua éB rada konverguje •tejnotnernc, reap. lokálne stejnoměrné i pojem iokoliu Ktejuomeroé fcmwTffiixjĽ vix přiklad 8.22 i. xálrxi na tvará funkce f (x). Typkkým jednoduchým příkladem RramcUxké řady funkci je
o,^|x - o)*-1- o, (1 +(x-a)+(x-o)» + - - i <x - ap ♦ • •).   o,a, | R
n l
Tato mda konverguje stejnoměrné na kaxdrm intervalu (a - 1 ■* é, a -r 1 - é), Q < S < 1, a konverguje lokálne ntejuomérne tuiia    Ui 1).
Nyní. jak jinak, uvedeme Cauchyovo Bolzanovo kritérium pro řady funkci. Jeho důkaz provádět nebudeme, jen bychom reprodukovali důkaz pro posloupnosti funkci aplikovaný na posloupnost částečných součtů řady.
Věta 8.10 (Cauchyovo Bolzanovo kritérium pro řady funkcí): {lada funkci
YĽ^Li /»(*)• /*(*) € "^d. Jf stejnoměrně konvergentní na D právě tehdy, když ke každému čudu £ :> 0 esvttuje index .V tak. ie pro všechna n > jV. viechna m í N. a pro každý bodxíD piati j/„4,(x) f fn^(x) I • • »4 fn.m(x)\ < £.
Uvědomte sl že uvnitř absolutní hodnoty je rozdíl s»,.«{x) - s«(x). Nejde tedy o nic jiného, než o Cauebyovo Bolzanovo kritérium pro posloupnost částečných součtů řady.
V následujícím textu již pouze shrneme další kritéria stejnoměrné konvergence a vlastnosti stejnoměrné konvergentních řad funkcí v podstatě jako důsledky odpm-idajících kritérií a vlastnosti posloupnosti funkcí. Vždyť přece řady jsou určeny posloupnostmi svých částečných součtů Některá kritéria a vlastností jsou olnlobou kritérii a vlastnosti řad čísel.
Doplníme ještě jeden potřebný pojem, jimž jc stejnoměrná ohraničenost posloupnosti funkcí. Posloupnost |/n(x)}«íN se nazývá stejnoměrně ohraničena na D. jestliže existuje číslo M tak. že pro všechna n ť N a všechna x ( l) plati |/„<x)| < A/. Všinméme si. že je požadována existence éisla II univerzálního pro celou množinu l).
Veta 8.11 (Stejnoměrná konvergence? řad     kritéria a vlastnosti):
IVácA/J^u^j fni*} řod*1 funk*'* definovaných na Ü, {«»{x)}^h posloupnost jejich částečných součtů.
Necht (předpoklady)
Pak (tvrzeni)
(zobecněné) Weierstrassovo kritérium
pro jistou posloupnost {<M?))nfN nezáporných
funket je j/»(x)| < $»(x) na I) pro všechna n(z N a }P pn(j) konverguje stejnoměrně na D
Ábelovo kritérium
\9n{*))m*NJ* monotónní
a stejnoměrně ohraničená na I).
QO
/„(xí toweryuje stejnoměrně na D
■ I
Dirwhletovo kritérium
\gn{T))nfM je na l) monotónní a konverguje
na l) stejnoměrně k nulové funket, í««{x)}„fN je stejnoměrně ohraničená na I)
spojitost součtu řady
^/„(x) konverguje stejnoměrně na D m i
Ur součtu s\x) a všechny /n(x) jsou tpajtíé na Ü
integrováni člen po členu
51 Z«'3"1 konverguje stejnoměrné na la,6j
Jk mhu'Iu s{x) a všechny funkce fn{x) jsou mUgrabúni na ja, 6|
Y. Ux) konverguje stej-noměrně a absolutně na 0
53 iU*)Aj(*) tomwiyiyr
rt 1
stejnoměrně na l)
51 fn(r)9n{x) bmverguje * i
stejnoměrně na I)
s(x) je spojitá funkce na O
b(x) je integrálním na a,b., /s(x)dx = f; //B(x)dx
lír í *
derivováni člen po členu
fn{z) konverguje na otevřeném l) k í cmer* s(x). všechny /„(*) map derivaci na 0
SK
a £ r„{x) konverguje stejnoměrné na D
e(z) má denvact na D a plato *'(z) JE/J!*)
První vlastnost jc důležitá pro prošetřování stejnoměrně konvergence řad. Zejména je účinná v případech, kdy ^T~__t c„(x) = , jc číselná řada s nezápornými členy. Rada Jřjjjj* i PnlJ) se nazýva majorunta. Pro praktické výpočty jsou ncjdůkžitéjši poslední dvě vlastnosti. Představuji možnost takzvaného integrováni. rr$p. derivováni „čten po cílenu*. Význam tohoto názvu jc jasný. Plati-li předpoklady, je zaručen integrál, resp. derivace funkce představujíci součet řady. není však nu t ne řadu napřed sečíst a pak výsledek integTovat. resp. derivovat. Lze to udělat v opačném pořadí, tj. napřed integrovat, resp. derivovat jednotlivé členy řady a teprve potom sečíst Tento postup bývá často snazší a rychkjši. Pozor však na plněni předpokladů (opět jsou zde v roli souboru postačujících podmínek).
Než přistoupíme k ukázkám aplikace vety 8 11. dokažme alespoň první tvrzeni, které, jak jsme již konstatovali, je velíce důležité pro teoretické úvahy. Důkazy ostatních tvrzeni jsou přímými důsledky již dokázaných vět o posloupnostech funkci aplikovaných na posloupnosti částečných součtů řad. Ponecháme je pro ničeni.
K důkazu použijeme Cauchyova Uolzanova kritéria pro řady. Počítejme:
l/UiCx) + /á+a(r) + - • - + < |/.+t(*)| + |/.*a(x)| + - • - + lA+mť*)! <
< a«+i(x)   o»+a(x) + • - • + *»*m(x) ■
Protože řada (nezáporných funkcí) ^*-t&,{x) splňuje Cauchyovo Dolzanovo kritérium stejnoměrné konvergence, wplvvá z předchozí nerovnosti, že toho kritérium splňuje jak řada ĽľaAW .takřada^jAíx)!.
Přiklad 8.30: Použiti majoranty
lvntéraiB i auijumritou je vrJicc uzitcenc, chceme li pouze zjistit jn infnm* kocivnjrcjici rudy a nenvJi tunu |i uretiuiovinie její noucet. I když kriterium jc obecné t tací «mv»lu. xc č Iru v major Auty mofaoa být také ŕuukrc porot uavame zadanou radu uejčuMcji ■ čudnou rudou * nezápornými členy, jejtz koriirTvrnn máme ověřenou pomoci některého z kriterii vety 8.7. Napríklad snadno zjistíme, xc rada VJ* , konverguje pro každé k ' ÍL k> \ {ukiba 13 a) vc cvičeni š .1.3 l. Pro rudu
z toho vjplývá. xc konverguje stejnoměrné * absolutné on uiiervniu :-1,1], nebof Obdobne uiůžemc roxhodnout o radách typu
pro pnpad, xcpošlou puoirt moka (^(x)}^.^ jc na jistém mtrrvahi D atcynomerné oiu-aničcna. tj existuje dalo U tak, xc |/»»tx)| < M na D pro všechna n. Napríklad řady
kxle (/n(x))w:N jc libovolná posloupnost funkci na R. konverguji stejnoměrné a absolutné na R.
Príklad 8.31: .Ink hčiint jmmini inU*jrrm-áni
N ozev tohoto přikladu jc jurtou nadsázkou. Príklad však ukazuje, jak nahradit sečteni řady kterou prizno sečíst neumíme, sečtou m řady. pro kterou je to sziudnř. Rada
jc stejnoměrné a absolutné lcoii\rrrgeiu m na intervalu -6),0< é < 1. Mujoruntou na tomto intmrmfa je
totiž napríklad geometrická řada i |xjm. Jak ale součet mvú rudy urert'.' Phmo. tedy výpočtem ponIoupnt» ti částečných součtů a jeji limity, to dost dobře nejde. Hned ná» ale napadne, že drrírad n-teho clenu řntiy /„ i r i — - (—je funkce /i(x) - (-Ij"*"-'. Hada £~ J-ljV 1 je řadou t™ metrickou s prvním členem -1 a kvodenlem q - -x a na mtervaln <-l + &, 1 - 6) je stejnoměrné konvergentní. Proto například pro lilxjvoblé x t 10,1 -6) mažeme podle pmlpusJcdtubn tvrzeni vety 8.11 psát
m=l «=10 p ■=! o
Zailanou radu jsme t cíly _<«ečetli* tak. je jame zmlegrovali známy vzorec pro součet grorae-tnrkr rudy. jejíž členy byly derivacemi členů řady xodanč.
Některý čtenář máznu dostal na zaklade výsledku nápad: Kdybychom doaadili x - I, tiskali bychom niter-nu ji n číselnou řadu z příkladu 8.12. Dost jame se s ni natnipili a oni jsme zatím jeji součet nezjistili. Nyní se zdá. že je roven ( - ln2). Je to vsak správné? Odpoveď se sice později ukáže jako správná, ale v tuto divili ji ještě vystavit nemůžeme. Tvrzeni o integrováni člen po členu je formulováno pro rtejnačneme kocvergcutni řady. Geometrická řada však nem stejnoměrně koieeergrtaMu na intervalu, který ln- obsahoval bod x — 1. O tom Jane se presvedčili v příkladech 8.21 a ř -22. Integrovnzu člen po členu nemůžeme prutu pro interval [0,1; použit. Na <lndié strane je stejnoměrná konvergence podmínkou postačující, a tedy v některých případech mužná zbytečné silnou. Takže sc nakonec múze ukázat, a také ukáže, že součet ruly skutečné je < - m 2). Dudeme k tomu vsak potřebovat jiné tvrzeni, které k distpoxíd zatím nemáme.
Příklad 6.32: Jak Bčitat pomoci iIotivuvóuI
V pmlchozim přikladu jsme výpočet coučiu rady. která byla tvořena integrály drnů geometrické řády, rudtrudili integrálem součtu teto geometrické rody. V tomto příkladu nepůjde o integrovaní, nýbrž o derivováni rady Pro členy rndy
ae oc ni n I
kterou hycbom nepochybné sčítali veJier nrvnodro pluti /»<x) — (x*)". (lada konverguje stejuumerné na in lervahj D - <-l + f 1 - 6) (její majorontou je například řada , n<a - 1)<1 - fT~*1- Rada £^ l nx»> konverguje na intervalu D - i -1 •6.1-6) rovněž stejnoměrné Inajdete nějakou majorantu), totéž lze konstatovat o veomrtnrke rode \     .,     Ipřtklad 6.291. Podle Tety 8.11 ledy mnžrnír počítat takto:
Získali jsme tcily dvojím použitím vety 8.11 součet řady. kterou jsme tinnueli ocitat.
Pec n. Ve vypočtu se místo součtu od n - 2 do nekonečna objevil součet zacmajicí indexem n - 0 lato změna formálnibo zapitu je možná proto, ze druhá derivace decni rndy pro n - 0 u n - 1 je uniová. Coxto se však vyskytuji situace, kdy řadu potřel najetu r .preiudexovot* například takto:
■s os m ac
E        - E /« -.'x). nebo i ol*cuéji. např. g /Bíx| - £ /„, t , (r).
■  I a S n i
Je vidět, že takové pmndexuvaut nema vliv na součet řady. proto je v lioktni již nebudeme komentovat.
8.2.3 Cvičení
t. Provedie důkaz věty S.i (Caurhyovo Boizanovo kriterium stejnoměrně konvergence posioupnosti funkci}. Návod: Předpoklátlejte. že posloupnost (fj,!)]^ N konverguje na D stejnoměrné a jejt limitu označte /(x). Použijte nerovnosti
- /«<*>! -        - /<*>) - (/«(') - 4H)| s
< |/-t-<x) - /<*)| f |/-<x) - /(x)|,
plotně pro vseduui r e D a všechna n, rn e N. Dok? aplikujte drxtnki stejnoměrně konvergence poaluupncBti funkci.
V druhé čnsii důkazu předpokládejte, že pro každé c > 0 lze najit index .V tak, oby pro všechna n > > S, všechna m t N a c© je podstatne, všechna x ť O platilo |/á,«(x) - /»(x)| < r. Všechny čistine pottloupnoeti |/„(a)^N pro ktcrrkoli konkrrtnť zrolrne a t D jsou tedy pexilc věty 5.3 konvergentní. Jak vytvoríte ŕiuikct pomoci limit Há) — bBM-*x{fnIa)| pro a e D těchto číselných posloupnosti'.' Pro dokončeni důkazu si uvedomte, že index A' je podle predpokladu univerxohii pro D. tj. stejný pro všechny body x C D.
2. Dokažte, že ponloupnost funkci (xarctgnx - jij In 11 | n*x,)}m.w je rostoucí pro x y 0.
Návod: Nahrajte n spojitou proměnnou y n vypočtěte derivaci vzniklé funkce podle pruniéuně y. Mělo by se ukázat, že tato derivace je kladna pro všechna i/(la všechna p.
•S. Dokazte prvui a tretí tvrzeni vety 8.9.
Návod:  Dokážte nejprve tretí tvrzeni,  první je jeho důsledkem  pro spojité funkce, tj. pro hm, .«/„';ji - /bIu'l Pri důkazu třetí vlastnosti postupujte napríklad takto Označte lims-.«/m{x} - L* a lim n .x /»(x) - /(x). Je třeba dokázat, žr lim„ .zf Ĺn| - lirnx «« /(x). Nejprve ukažte, že padoupnoat bmh |Ln]n.N konverguje, pak vyvstane otázka, co je jeji limitou. Prošetřete tedy výraz [Lniaa -■byste zjistili, ada je caixhyovska. tj. zda k hbovolnéma z > 0 existuje index .V tak. ze pro všechna n > .V a všechna m ' N piati nerovnost
U,.m-IJ<c.   tj. |Bm[/..m(x)-A(x)l|<r.
Zvohe 0 < S < c. Posloupnost (/„|x I )9^s je na £> \ | a} stejnomerué kurrvergeuini. a proto je cuuchyovika. Pro všechna n od jistého indexu .V vyše. pro všechna m r N a všechna x t: D \ (a) tedy piati \fn »«(x) — - /f»Iz>| < S. Tato nerovnost se šachová i pro linut j t tuu. je prejde v nerovnost neostrou | zdůvodněte). Tedy |L,.m - L„I < 5 < c {Pravé s vedomím toho, že budeme přecházet k limitám, jame Couchyovo Ikflzunovo kritérium pro puslonpnost funkci {/níx)y»»N aplikovali na vulbu S < c.) Pasloupnost |L„|„. ti je cnuchyuvska. a tedy konvergentní. Oznučtc jeji hmitu, kterou zatun neznáte, jako L. Abyste pak dokázali, že touto limitou je zrovna čido hm,..«/|x'i. počítejte (úprava je ponékud .lanela". ale vede rychle k dli;:
l/(x) " L\ - ||/,(x) - U] + (L. - t\ - [Mr) - /(x>j| <
< |/.<x> - Ul + \U - L\ r |/.(x) - /<x)|.
Z prcdpoklailů je zrejme, že každý ze séřtancu posledního výrazu lze v jixtcm okolí bodu a a od jistého indexu .V vyše Jabovulnŕ zmetuit- tok aby vydedek byl menši nes předem zvulcuč c > 0 Provtdtc úvahu pormlně.
4. Dokazte následující tvrzeni: Nechť pro posloupnust funkci {/„(x) \m> *| detmovanuu na D a cudnou poaloup-ooert (ca^avN phati pro všechna x < D a všechna n nerovnosti e« > 0. /„|xl J saj. Necht rada Xľ£ , rw konverguje Pak řada       , /«(x) konverguje stejnoměrné a sjbauhitué na D.
Návod: Použijte první vlastnost z vety 8.11.
5. Dokazte iiádedujšb tvrzeni: Necht pudoirpnost částečných sonetů řady )*^ t /n{xl je stejuomrxuf ohraiů-čcná na D a necht (<w|a<N je monotónni posloupnost čísel, která konverguje k nule Pak rada V^* r% /n|x) konverguje stejuoaieme na D.
Návod: Použijte třetí vlastnost z vety S. 11 8. Dokažte poslední tři tvrzeni réty fi.ll.
Návod: Aplikujte nu podoupnost částečných součtů řady odpovidajici tvrzml vety 8.9.
7. Určete obor konvergence u nadedujiach rad funkci:
8. Uvedie příklady posloupnosU funkci, které jsou na nějakém intervalu D bodoié konvergenuu, ok* nejsou
•      :u-n»- iiľiii.r.-'.i.'iĽ ^ •>•-!•■ pr.k.viy k. saWqp ttaá t..^.|.       .m •v-.iím .ti huikri jendiz Liui'...i: u< i.i funkce spojitá.
9. RnxJjodnéte, zda řady V" ctMTLr   a V* Y'OB,l"l, jsqq steiuomerné konvergentní na R.
• 10. Určete limitu následujících podoupnosti funkcí na zatianem inlervalu a rozhodnete, zda konverguji stejná-
.) lx-!^Nn*D-fO,±), c) {^L7T}^NnuD-i2,ac).
Návod: Vrnzíjtejako Ukt trrzeui, m- posloupnost funkri {/Blx I |w,. n konverguje itejnomerur k funkri /(x) n* intervalu D práve tehdy, kdjž pro čovelnuu punioupnoit (o*)*,n- kde o* - «up{ |/nixj - /(xj|.x t D} piati, že lim» ,^|On) - Q.
ti* RiÄhixliíťtr. íiIa jc rad* ^   nt | sti^iiunj>n* kntmpntaa d* tnicrralu [2TooJ. u ureetr