První cvičení z Elektrodynamiky
Na úvod připomeneme matematiku, kterou během celého kurzu budeme používat. Základem pro nás budou tensory. A základním pojmem pro vybudování tensorů je vektorový prostor V. Omezíme se na vektorové prostory konečné dimenze n G N. Budeme využívat izomorfismus
V = Rn, kde každému abstraktnímu vektoru z vektorového prostoru V přiřadíme n-tici reálných čísel. Tohoto lze dosáhnout zvolením báze {ej}™=1 v IRn (báze může být bez újmy na obecnosti ortonormální báze) a přiřazení probíhá pomocí relace
v = vlei,
kde implicitně používáme Einsteinovo sčítací pravidlo (stejné indexy do kříže značí sumaci). Čísla v1 G Mn se nazývají souřadnice vektoru v vůči bázi {ě^}. Často budeme nepřesně o souřadnicích vektoru mluvit jako vektoru. Dále můžeme zavést duální vektorový prostor V* pomocí lineárních funkcí jako množinu
V* = {/: V -> R | / je lineární}.
V tomto prostoru zvolíme speciální bázi {p}™=1 , pro kterou platí
kde oj je tzv. Kroneckerovo delta, pro které platí
1     l 0 i^j
Prvky vektorové prostoru V* budeme nazývat formy nebo kovektory a můžeme psát
u = Uif\
Poloha indexů u souřadnic není náhodná a budeme se jí snažit držet, tj. že souřadnice vektorů mají index nahoře a souřadnice forem index dole.
Tyto dva různé vektorové prostory již stačí k definici tensorů. Tensor řádu (nebo typu) (p, q) je multilineární zobrazení
T: V* x ■■■ xV* xV x ■■■ xV ^R.
"-v-'      ^-v-'
P Q
Termín multilineární znamená, že zobrazení je lineární v každé složce. Číslo p udává počet kontravariantních indexů a číslo q udává počet kovariantních indexů. Pomocí této definice můžeme dedukovat, že vektory jsou tensory typu (1, 0) a naopak formy jsou tensory typu (0,1). Obecný tensor typu p, q můžeme psát jako
T = 7j:j4®...e;p®f1®---®^,
kde (g) je tensorový součin, který nás (naštěstí) moc zajímat v tomto kurzu nebude. Budeme totiž hlavně pracovat s souřadnicemi tensorů T^'"^. Konkrétně nás teď budou zajímat dva konkrétní tensory: metrika a úplně antisymetrický tensor. Metrika g je symetrický, pozitivní, nedegenerovaný tensor
g: V x V R.
1
Souřadnicový zápis je
To, že je tento tensor symetrický znamená
9ij 9jit
tj. záměna indexů nezmění znaménko. Díky tomuto je metrika často reprezentovaná pomocí symetrické matice. Úplně antisymetrický tensor třetího řádu (neboli epsilon tensor nebo Levi-Civitovův symbol) je tensor
fiťxťxť^l.
Zde je potřeba, aby definice obsahovala tři kopie prostoru IR3, aby tensor mohl být úplně antisymetrický (v kurzu dál potkáme úplně antisymetrický tensor 4. řádu, který by vyžadoval 4 kopie prostoru IR4). V souřadnicích můžeme psát
e = <,;/-./" A f A f2.
To, že je tensor úplně antisymetrický znamená, že
dik = -tjik = ejki = -ekji = eklJ = -elkj, (1)
tj. každá výměna dvou sousedních indexů změní znaménko. Z této vlastnosti vyplývá například,
že
Ě112 = 0,
tj. pokud má tensor dva stejné indexy, poté je nula. Budeme používat epsilon tensory, pro které platí
ei23 = 1. (2)
A teď otázka, k čemu to vůbec je? Nejprve se podívejme na epsilon tensor. Uvažme dva vektory v a w a spočtěme následující kontrakci s epsilon tensorem e^-uW, kde jsme zafixovaly první index na hodnotě 1. Počítejme
elijvíwj = eiii-uW + e112v1w2 + e113v1w3 + e121v2wľ + e122v2w2 + e123v2w3 + e131v3wľ + + ě132v3w2 + e133v3w3 =
23 32 23 32
= 6123^ w   + 6132^ w   = v w   — v w ,
kde jsme využili toho, že epsilon tensor s dvěma stejnými indexy je nula a dále jsme použili (1) a (2). Výsledek, co jsme získali, možná poznáváte. Je to první složka vektorového součinu v x w. Podobně můžeme získat zbylé dvě složky tohoto vektorového součinu. Celkově získáme
[v x w]í = eijkv]wk.
Pomocí epsilon tensoru tedy můžeme spočítat souřadnice vektorového součinu dvou vektorů.
Dále pojďme rozebrat metriku. Zde poznamenejme, že metrika zadává isomorfismus mezi prostory V a V*. Pro nás to znamená, že souřadnice metriky (a inverzní metriky) slouží ke zvedání a spouštění indexů, tj. platí
Ví = 9íjV3,       wJ = gJÍWi,
!Zde definujeme f1 0 f2 = \ (f1 <g> f2 + f2 <g> f1). 2Zde definujeme f1 A f2 = \ (f1 0 f2 - f2 0 f1).
2
kde je g3% inverzní metrika, která splňuje
gtJg3k = 5k.
Slovy, pokud budeme metriku brát jako symetrickou matici, inverzní metrika je inverzí této matice. Z vlastnosti spouštění indexu vyplývá další využití metriky. Určitě víte, že skalární součin dvou vektorů se počítá následovně
V ■ W = ViW1.
Z tohoto souřadnicového zápisu ale nejde vidět, že oba tensory jsou vektory, jelikož vektor v má index dole, tj. jedná se spíše o formu. Ale pokud využijeme metriky pro spuštění indexu, můžeme psát
v ■ w = ViW3 = v3gjíW1.
Zde již vidíme, že oba objekty jsou opravdu vektory a skalární součin je zprostředkovaný pomocí metriky. Tudíž závěrem můžeme říct, že epsilon tensor se používá při vektorovém součinu a metrika při skalárním součinu.
A teď něco úplně jiného. Přejdeme k funkcionální (možná spíše spektrální) analýze. Budou nás zajímat pojmy delta funkce a Fourierova transformace. Začněme motivací: existuje něco jako spojitá analogie ke Kroneckerově deltě? Abychom na tuto řečnickou otázku odpověděli, uvažme nejprve vektor v G IRn, do kterého jsme zaznamenali n diskrétních dat, například velikost elektrického proudu v závislosti na čase. Pokud nás bude zajímat jen jedna konkrétní hodnota, třeba hodnota i, můžeme ji přímo z vektoru zkonstruovat pomocí formy f\ V matematickém zápisu provedeme následující výpočet
n n
= »ř.no< = X>'<5 =v'1- (3) j=i        j=i j=i
Ve výpočtu schválně necháváme sumy, i když bychom mohli počítat s Einsteinovým sčítacím pravidlem. Pojďme teď vysvětlit, co myslíme spojitou analogií Kroneckerova delta. Uvažme, že v předchozí situaci nemáme vektor diskrétních hodnot, ale spojitou funkci hodnot f(x). A nebude nás zajímat i-tá, složka vektoru, ale hodnota funkce / v bodě x0. Přepišme modrou rovnici v (3) do tohoto případu a získáme
/ f(x)S(x - x0) dx = f(x0). (4)
Suma ve spojitém případě přešla na integrál, hledaná i-tá složka vektoru v přešla na hledanou funkční hodnotu v bodě xq, samotný vektor přešel na funkci /. Otázkou je, na co přešla Kroneckerova delta? Co je 5{x — x$) za objekt? Poznamenejme, že argument x — xq jen hlídá body, ve kterých probíhá výpočet, stejně jako Kronckerova delta hlídá indexy, které jsou ve výsledku stejné.
Abychom zjistili, co vůbec 5{x — x0) je, budeme potřebovat komplexní Fourierovu řadu pro funkci f(x), tj.
oo
f(x) =        c«e~Íra (5)
3
kde cn G C a platí c_n = cn. Tyto koeficienty cn můžeme získat vynásobením rovnice (5) výrazem eimx, m G Z, a následnou integrací podle x, tj.
2tt 00 ^2tt
imi
e
n=—oo
f(x) dx=        °n /    eix(m-n) dar, (6)
kde jsme již zaměnili sumaci aintegraci. Vyřešíme integrál napravo. Funkce eipx, kde p G Z—{0}, je periodické funkce s periodou 2%. Tudíž integrál přes interval 2% je nula. Pro nás to znamená, že integrál je vždy nula, jen pro případ m = n získáme 2tt (jelikož integrujeme konstantní funkci 1). Na pravé straně (6) tedy máme
00
^ cn27tč™ = 2ncm.
n=—oo
A celkově jsme zjistili, že
c2tt
1 r*
— / f(x)émxdx.
Tímto jsme zjistili koeficienty ve Fourierově řadě (5). Dále dosaďme tyto koeficienty do Fourierovy řady (5)
^) = ^ E e~inx / f(yynydv-
n=—oo 0
Dále předpokládejme, že funkce /, kterou rozvíjíme do řady není periodická. Což lze jinými slovy říct, že její perioda je nekonečno. Tímto získáme
1     00 ľ 00
f(x) = ^ E e~inx J f(y)einydy-
n=—oo
Nakonec ještě nahradíme sumu za integrál, tj. diskrétní sčítací index n nahradíme za integrační proměnnou k
/(*) = —/    e-ikx / f(y)eikydydk.
Nakonec jen vyměníme pořadí integrace, tj. použijeme Fubiniho větu
eik(y-x)
2tt
dA;
f(y) dy-
Srovnejme tento výsledek s (4). Vidíme, že náš neznámý objekt 5{x — x0) přesně odpovídá výrazu v hranaté závorce, tj.
5(x -x0) = — í ék{x-xo) dk. (7) 2tt Jr
„Funkce" nalevo se nazývá Diracova delta (funkce) a ve skutečnosti se o funkci nejedná, jak si ukážeme. Je to totiž tzv. distribuce neboli zobecněná funkce. Ale jelikož jsme fyzici a ne matematici, tak ji budeme nepřesně říkat funkce. Tímto jsme odvodili tzv. Fourierovskou reprezentaci delta funkce. Delta funkce má totiž mnoho reprezentací, v různých problémech se
4
hodí použít jiné. Na konci poznámek najdete další dvě reprezentace, obě splňující (4). Mimochodem, během odvozování jsme kromě delta funkce odvodili i Fourierovu transformaci (FT), která je dána jako
1
/(*) = ;
a inverzní Fourierovu transformaci (IFT)
'2tt
f(x)e-ikx dx
f(k)eikxdk.
Vlastně jsme místo Fourieorvy řady při odvozování mohli vzít jen IFT a dosadit ji do FT a získali bychom výsledek.
Pojďme se podívat blíže na naši reprezentaci delta funkce (7). Spočítáme proto následující integrál
Nejprve zavedeme substituci £ = X CCq db místo nekonečných mezí v integrálu zaved me parametr K, který pošleme do nekonečna,
K
lim  / eikiídk.
K^řoo
-K
Dále už snadno
lim
K—>oo
K
-K
		K
lim		= lim
K—>oo		„ K—>oo —K
2 lim —
Jedná se o sinus modulovaný lineární lomenou funkcí. Na Obrázcích 1 a 2 jsou grafy této funkce pro hodnoty K = 5 a K = 15. Vidíme, že se prostřední peak s rostoucím K zvětšuje a zužuje, graf „kmitá" s větší frekvencí a toto „kmitání" se rychleji utlumuje. Proto můžeme předpokládat, že v limitě K —> oo zbude pouze prostřední peak, který ale bude nekonečně vysoký. Což je přesně důvod, proč delta funkce není funkce. Žádná funkční hodnota u funkce není nekonečno. A taky z toho vidíme, proč má delta funkce víc reprezentací. Jde jen o to vhodně poskládat (a normovat) posloupnost funkcí tak, aby v limitě dala pouze nekonečný peak v bodě x$. Jiná reprezentace je například pomocí posloupnosti gaufiovek
1 1 (z-zp)2
8{x — Xq) = —j= lim-e     <= ,
y/Tí e^O e
nebo jen velmi názorná reprezentace, která vychází z podobnosti s Kroneckerovým delta
5
Obrázek 1: Graf pro hodnotu K = 5
Obrázek 2: Graf pro hodnotu K = 15
6