Třetí cvičení ze Speciální relativity 1. Ukažte, že: a) Norma čtyřrychlosti up je invariantní vzhledem k Lorentzovým transformacím a^. b) Tensor elektromagnetického pole Fpu je invariantní vůči kalibrační transformaci Ap = A'^ + dfj,f, kde / je libovolná diferencovatelná funkce se spojitými parciálními derivacemi. Řešení: a) Nejprve připomeňme, že Lorentzovy transformace zachovávají metriku, tj. platí Lorentzova transformace 4-rychlosti up je u'v = Avuď. Chceme ukázat, že I l\ |2 11 112 \U = \\u\\ . Počítejme ||M'||2 = = u^g^v!" = ajx^ax = upgpaua = upup = \ \u\\2. Ve výpočtu jsme využili výše zmíněné poznatky. Podobně by se dalo ukázat, že norma libovolného 4-vektoru je invariantní vůči lorentzovským transformacím. b) Tensor elektromagnetického pole Fpv je definován jako Fpu = dpAu — duAp. Chceme ukázat, že F' = Fpu. Proto počítejme Fpv = dpAu - dvAp = dp {A'v + duf) - du (A^ + dpf) = = d,Äv + d,dj - duÄ^ - dud,f = d,Äv - duA^ = F^ kde jsme využili, že nezávisí na pořadí derivování funkce /. 2. Ukažte, že platí: a) uppp = mc, b) dpxu g^íví c) up —— = 0, as d) p^% = 0, e) p^p,p = ^-m% = p;, kde up je 4-rychlost, jŕ je 4-hybnost, xp = (ct,x,y,z), dp = (Jj, ^, J;), 9^ je Minkowskiho metrika a 1 Řešení: Nejprve spočtěme normu 4-rychlosti ||w||2 = u^u^ (připomeňme, že pro 4-rychlost s dolním indexem musíme snížit index pomocí metriky, proto bude prostorová část záporná, tj.«M=7(l,-S): Vi 7,-7- 7 71 72 1. c/ V 7- a) Použijeme pouze definici 4-hybnosti a poznatku výše: u^pp = u^mcUp = mc ■ 1 = mc. b) 4-vektor index dole, proto má zápornou prostorovou složku, tj. xv Dále počítejme (ct,-x,-y,-z). í cdt dx dy dz cdt cdt cdt cdt cdt dx dy dz dx dx dx dx cdt dx dy dz dy dy dy dy cdt dx dy dz dz dz dz dz \ ( 1 o o o \ 0-100 0 0-10 \ o o o -i y c) Vyjdeme z poznatku, že norma 4-rychlosti je 1, a zderivujeme ho: 1, Uf.U ds' du ds -u» + uu^ =0, d-Ufj, v du^ —u^ + ďg^— =0, ds ds duu u „ d du d^ + «"5í(9^) = o, ds — Vir + u' ,duu ds 0, 2^u" = 0, ds du ds = 0. Metriku gVil můžeme dát za derivaci, jelikož je konstantní, obsahuje pouze 0,1 a -1. d) Počítejme: p^Ufl = {g^ - uV)up = g^up - ďuvu^ = uv — 1 • uv = 0. e) Opět je to jen jednoduchý výpočet: P^PuP = (g"" ~ u»uv){gvp - uvup) = g^gvp - u»uvgvp - g^uvup + u»uvuvup = = ôp1 - vľup - ďup + ď ■ 1 • Up = ôp1 - vľup. Toto souhlasí s výrazem Pjf, který vznikne snížením jednoho indexu P^u pomocí metriky p; = P^gvp = (