Čtvrté cvičení ze Speciální relativity 1. Ukažte, že pro prostorové indexy se kovariantní pohybová rovnice pro náboj v elektromagnetickém poli du, mo- ds M - eF,aiuv [XV redukuje na klasickou pohybovou rovnici dp e[E + vx B) . dt Na co se redukuje rovnice pro časový index? Fyzikálně interpretujte tuto rovnici. Řešeni: Nejprve upravme levou stranu kovariantní pohybové rovnice du. ^ du^ cdt dp^ mc—r- = mc- — ds Využili jsme zde, že cdt ds cdt dt ■7- 7 = c ds Pojďme se podívat na prostorovou část, dosadíme za lorentzovský index fi pouze prostorový index i -j = eFi0iť + eFijU3. cdt Na levé straně jsme získali mínus kvůli tomu, že 4-hybnost má v kovariantní pohybové rovnici spodní index. Zaměřme se na pravou stranu. Nejprve Fi0. Jedná se o i-tf řádek, nultý sloupec v matici / Q Ex Ev [XV Ěy_ C Ez Tedy Ex Ey_ C 0 c -Bz C By Bz 0 —Bx -By Bx o / Ey __E1 1 C c ) c Dále Fíj je submatice 3 x 3 v pravém dolním rohu. Tuto submatici můžeme napsat jako Takže pohybová rovnice pro prostorové směry je dpi e k vi kde jsme dosadili již za časovou a prostorovou část 4-rychlosti uu. Tuto rovnici můžeme upravit na dpi k n i — = eE,t + ee,tj BkvJ, nebo ve vektorovém zápisu ^£ = e ( E + v x B) . at Jedná se o pohybovou rovnici částice v elektromagnetickém poli. I když vypadá stejně jako klasická pohybová rovnice, nesmí se zapomenou, že hybnost v rovnici je relativistická, tj. p = rrvyv. Nakonec ukažme, jakou rovnici nám dá nultá složka kovariantní pohybové rovnice, tj. za index fi dosaďme 0. Získáme rovnici dPo p i cdt 1 01 Složka Fqq je nulová, proto ji v sumě vynecháváme. Fqí znamená nultý řádek, i-tf sloupec v matici Ffj,u, to nám dává Ei Fqí — —• c Dosadíme nultou složku 4-hybnosti po = f a prostorovou část 4-rychlosti u1 = 7^ a získáme 1 d£ Ei v1 — -ttI = e--7- cz at cc Rovnici trochu upravíme a dostaneme závěrečný tvar — = eE ■ v. dt Tato rovnice nám říká, že energie částice, pohybující se v elektromagnetickém poli, se může měnit pouze díky elektrickému poli. Formulováno jinak: magnetické pole nekoná práci. 2. Určete trajektorii, po které se pohybuje relativistická částice s nábojem e a hmotností m v uniformním konstantním elektrickém poli E = (E, 0, 0). (Uvažte pouze pohyb v rovině xy.) Ukažte, že pro limitu c —y 00 obdržíme klasickou parabolickou trajektorii. Řešeni: Jelikož je magnetické pole nulové, pohybová rovnice je **=eĚ. dt Jelikož nás zajímá pouze pohyb v rovině xy, vynecháme z-ovou složku. Máme tedy soustavu dvou rovnic Px = eE, py = 0. První integrace je jednoduchá px = eEt + C, Py = Po, 2 kde C, po G IR jsou integrační konstanty. Pro jednoduchou položíme C = 0. Druhá integrace již jednoduchá není, jelikož mv p = rrvyv 1 - ^ tudíž se rychlost v objevuje na dvou místech. Proto půjdeme na řešení chytřeji. Známe vztah pro relativistou energii cl 2 2, 24 E = p c + m c . V našem případě je relativistická energie E = \J/m2c4 + p20c2 + (ceEtf = \J E2 + (ceEt)2, kde jsme si označili Sq = m2c4 + PqC2, jelikož je to konstanta. Ze 4-hybnosti (S (mtyy, rrvyv"1) = mcvř = p^ = í — ,pl zjistíme, že p1 = 2/7771, S — = jmc. c Vyjádřením 7 z druhé rovnice a dosazením do první dostaneme E Tuto rovnici teď budeme integrovat. Pro první složku dostáváme "2 eEtc2 Zintegrujeme x eEtc2 ^E2 + c2e2E2t2 dx dt dt PxC E E2 + c2e2E2t2 -2„2 z?2 El + c2e2EH2 a 2c2e2EHdt = da 2eE da = + C a eE = —^E2 + c2e2E2t2, kde jsme integrační konstantu C G IR zanedbali, jelikož se jedná jen o volbu počátku. U tohoto výsledku se na chvíli zastavme. Částice totiž letí ve směru x s nenulovým zrychlením. Což je situace, kterou by speciální relativita neměla umět popsat. Ale v tomto jednoduchém případě to dovede. Předchozí výsledek umocníme na druhou a upravíme na x2 - (ctf E2 e2E2'' takže světočára v rovině ctx odpovídá hyperbole, která na ose x prochází bodem ^ =: R (samozřejmě se částice pohybuje jen po jedné větvi hyperboly), viz Obrázek 1. Nechť 3 se naše částice pohybuje po pravé větvi hyperboly. Asymptoty hyperboly jsou osami kvadrantů, takže jsou to trajektorie fotonů, které by vyletěly z počátku vztažné soustavy. Dál uvažme zeleného pozorovatele, který s naší částici potká v bodě So R** - [o, eE Pozorovatel se bude vzhledem ke vztažné soustavě pohybovat nulovou rychlostí, proto je jeho světočára vertikální přímka. Dále nás bude zajímat situace v čase T. Částice v čase T vidí zeleného pozorovatele, jak je znázorněno na obrázku. Ale v dalších čase se zelený pozorovatel pro částice bude čím dál tím víc zpomalovat, jen pomalu se bude blížit k bodu H. To je dáno tím, že trajektorie částice má světelný paprsek vycházející z počátku souřadné soustavy jako asymptotu. Tento světelný paprsek určuje to, co částice uvidí v nekonečnu. Pro částici se proto prostoročas rozdělí na dvě části. Část pod asymptotou je část prostoročasu, kterou částice může vidět a může částici kauzálně ovlivnit. A část prostoročasu nad asymptotou částice nikdy neuvidí. Vznikne tzv. horizont událostí, v našem případě přímka, která rozděluje prostoročas na dvě části. Pro částici se tedy zelený pozorovatel bude pomalu přibližovat bodu Hav nekonečnu se do něj dostane. Ale co se děje se zeleným pozorovatel? Tomu je úplně jedno, že se částice od něj vzdaluje s nenulovým zrychlením. Horizont událostí, respektive bod H, jsou pro něj obyčejné body časoprostoru. V čase T, který odpovídá jeho poloze za horizontem událostí, uvidí normálně částici. V dalších časech vidí, jak se od něj částice se zrychlením vzdaluje. Je zřejmé, že vztažné soustavy spojené s částicí a zeleným pozorovatel nejsou ekvivalentní, jelikož vztažná soustava spojená s částicí dokáže popsat pouze část prostoročasu. Toto je ale v rozporu s jedním axiomů speciální, a to tím, že všechny vztažné soustavy jsou ekvivalentní, že můžeme použít libovolnou vztažnou soustavu k popisu prostoročasu. 4 Vraťme se ale k příkladu. Zbývá nám vyřešit rovnice dy PyC2 p0c2 -vy- — ~ dt y s ^/sJT^Ě2^' Integrace je znovu jednoduchá Poc2 ,, f Poc2 y = — dt = / - —dt /S2 + c2e2E2t2 J SfíJ1 + Í^Él co = sinh a ^-dt = coshada Pqc2 cosh aSo Pqc f pqc ceEt -da = —— da = —— arcsinh ■ SnVl + sinh2 a eE J eE Z kde opět položíme integrační konstantu rovnu nule. Prozkoumejme nerelativistickou limitu c —y oo. Nejprve energie £0 přejde na klidovou energii S0 = y m2(ŕ + PqC2 c^>° S0 = mc2. Druhý člen v odmocnině jsme zanedbali, jelikož má nižší mocninu u c. Dále využijeme i Taylorův rozvoj do první řádu funkce arcsinhrr x, jelikož po dosazení klidové energie do argumentu zůstane faktor c ve jmenovateli. Dohromady pro c —y oo je souřadnice y rovna p0c . ceEt c^oo poceEt p0 y =-arsmh —-— —y y =--= —t. eE So eE mc m Vidíme, že nerelativistická limita vyšla jako rovnoměrný pohyb ve směru y, což je správně, jelikož elektrické pole urychluje částici pouze ve směru x. Abychom zjistili, jak vypadá trajektorie v rovině xy, vyjádříme si ze souřadnice y čas t a dosadíme do souřadnice x, tedy S0 . eEy t = —— sinh-, ceE poc x = x x = —— cosh eE poc Zjistili jsme tedy, že trajektorie relativistické částice v uniformním konstantním elektrickém polije řetězovka. Na závěr opět ověříme nerelativistickou limitu c —y oo. Využijeme 2 zase tvar klidové energie Sq a rozvoj cosh i ^ 1 + y a dostaneme Sq , eEy c->po mc2 (^ i e2E2y2\ eEm 2 x = ^Ěcosh^ x = ^Ě\l + ^pW) = ^pjy +const- Výsledkem je parabolická trajektorie, která se dá zjistit řešením nerelativistické pohybové rovnice. 5