Šesté cvičení ze Speciální relativity
1. Pro čísla p = {0,1, 2, 3,4} ukažte, že platí
**T = (-1)P_:LT,
kde T je antisymetrický tensor p-tého řádu a *T značí jeho Hodgeho duál.
Řešeni: Nejprve zaveďme Hodgeho hvězdičku *. Nechť V je vektorový prostor dimenze n, V* značí duální vektorový prostor a AkV* značí množinu fc-forem nad vektorovým prostorem V*. Připomeňme, že A;-formy jsou antisymetrické tensory řádu k. Hodgeho hvězdička * je zobrazení
★ : AkV* An-kV\
které funguje z důvodu, že
dimAfc\/* = { n) = l   n   ) = dimAn-fc\/*. \k J     \n — k)
Na jednotlivé tensory Hodgeho hvězdička působí následovně
v e V*: {*vyvp = epvpava, 1
2?
F e A2V*: (*Ffv = -epvp°Fpa,
Vraťme se k samotnému příkladu a ověřme požadovanou identitu. Nejprve pro p = 0.
p = 0: (*ayv(XT = élVÍXTa,
1 1
**a = —e^paepup(Ta = -24—a = -a,
kde jsme využili identitu z prvního příkladu. Jelikož p = 0, proto (—= — 1 a identita je dokázána. Budeme pokračovat úplně stejně. Počítejme
p=l: (■kv)tivp = epup(Tva,
1 1
(ickv)   = — f     evp(yOLv  =--f     evp(yOLv  = óav =v
p = 2: = -£^Fp(7!
1
—(
2
1
"2 {Fctp — Fpa) = —Fa/3,
1
kde jsme v poslední rovnici použili Faß = —Fßa, což je antisymetrie fc-forem. Pokračujme
p = 3: (*7T = -e^TV(XT,
1 6
1 1
(WT")        = f  «     -fßvP°T       = --f     a f^fJaT V        Jaßf        aP7M í? -'-vpij «c/^a/37c -'-vpij
6 6
= £ KW +         + " <W " W' - w?)T^ = 1
g (Tapj ~\~ T^ap -\- Tp^a T^pa    Ta,y^    Tpa^) Tap^,
kde jsme v posledním kroku opět využili antisymetrii. Případ p = 4 se řeší úplně stejně, jen je trochu zdlouhavý.
2. (f) Využitím Lorenzovy kalibrace ukažte, že elektromagnetické záření má dva stupně volnosti (které se interpretují jako polarizace).
Řešeni: Vyjdeme z nehomogenní Maxwellovy rovnice ve vakuu
dtlFtJ,v = 0.
Dosadíme do ní definici tensoru elektromagnetického pole pomocí 4-potenciálu
= d^Av - d^A" = 0. Tuto rovnici můžeme vyřešit tak, že oba výrazy vynulujeme, tudíž
d^Av = 0,
d^A" = dvd^ = 0 = 0.
První rovnice je vlnová rovnice pro 4-potenciál, druhá rovnice je Lorenzova kalibrace. Lo-renzovu kalibraci můžeme vždy požadovat, jak jsme ukázali v jednom předchozím cvičení. Tyto dvě rovnice vyřešíme pomocí ansatzu
kde ev je číselný 4-vektor, který dává stupně volnosti řešení, a k\ je vlnový 4-vektor. Tudíž zatím můžeme volit vektor ev libovolně, proto máme 4 stupně volnosti. Dosaďme tento ansatz do vlnové rovnice
0 = d^A" = ev (ikpöß (ikaÖZ) eik'x = -evk^e Tato rovnice může být splněna pomocí
k^kr — 0,
to znamená, že kß je světlupodobný 4-vektor. Standardní tvar vlnového 4-vektoru je
kß = \K-,k1,k2,k3J
s tím, že platí
Pro náš případ zvolme světelnou vlna pohybující se pouze ve směru z. Tj. vlnový 4-vektor je
í bJ U)\T
F =(-,0,0,-) ,
aby byla splněna podmínka světlupodobnosti. Dosaďme ještě ansatz do Lorenzovy kalibrace
0 = d^A" = ikJ^eik"xX = ik^ék*x\ Tato rovnice může být splněna pomocí
V = 0. (1)
Tato podmínka nám dává jednu omezující podmínku na číselný 4-vektor eu, tudíž nám zbývají tři stupně volnosti. Vypišme je explicitně
4) = (0,1,0,0)T, 4) = (0,0,1,0)T, 4) = (1,0,0,1)T. Ověřme, že poslední z těchto 4-vektorů splňuje podmínku (1)
k^3) = kvgv^ = (^,0,0,-^) • (1,0,0,1)T = 0.
Ale ještě i v rámci Lorenzovy kalibrace není 4-potenciál dán jednoznačně, můžeme k něco přičíst libovolné řešení homogenní vlnové rovnice. Ukažme proč. Změňme 4-potenciál A^ na A,fl pomocí libovolné funkce A, tj.
A'^ = A^ + d^X.
I po novém 4-potenciálu A,fl budeme chtít, aby splňoval Lorenzovu kalibraci tj.
0 = d^A'v =       + d^X = d^X,
kde jsme použili, že 4-potenciál A1 splňuje Lorenzovu kalibraci. Tudíž funkce A opravdu splňuje homogenní vlnovou rovnici
d^X = 0.
Tuto vlnovou rovnici vyřešme pomocí ansatzu
A = Bék^.
Nový 4-potenciál A,fl tedy je
A>» = £neu**u + \WBéKxV = (ik^B + e") éKx\
Pokud zvolíme
B = ±
LJ
a za číselný 4-vektor     zvolíme třetí 4-vektor z našeho seznamu dostaneme
/ ic	(OJ	0J\
i-1	-	.0,0,-
V OJ	Ve	c /
)) eik^ = ((-l,0,0,-l) + (l,0,0,l))eifc^ =0,
tudíž číselný 4-vektor nám dá triviální 4-potenciál. Zbývají nám tedy dva stupně volnosti      a e^2y Tyto stupně volnosti se interpretují jako polarizace světelného vlnění.
3