Druhé cvičení z Elektrodynamiky 1. (f) Ukažte, že platí 9ijeijk = g3ke*jk = glkélk = 0, kde Qij jsou souřadnice metriky a e^k souřadnice úplně antisymetrického tensoru 3. řádu (tzv. e-tensoru). Dále ukažte, že pro úplně antisymetrický tensor 3. řádu platí b) é>%l = 2ôk, c) e^keiik = 6. -13 Řešení: Nejprve dokažme, že ijk _ g 9ije Toto jednoduše vyplývá ze symetrie metriky, antisymetrie epsilon tensoru a přepisování indexů. Počítejme 9ij£ ^ 9ij^ 9ji^ 9ij£ ^ • V první úpravě jsme využili antisymetrie epsilon tensoru, v druhé úpravě symetrii metriky a ve třetí jsme přepsali index i na index j a naopak (indexy, přes které se sčítá jsou pouze „značky", které můžou mít libovolný název). V rovnosti převedeme vše na levou stranu 2gijeijk = 0 a tím jsme dokázali požadovanou rovnost. Zbylé dvě plynou automaticky. Pokračujme důkazem rovnosti a). Tady je nutné si uvědomit, že epsilon s dvěma stejnými indexy je nula. Dále rozepišme rovnost e ej/m = e eizm + e e2zm + e e3Zm. Pokud je v prvním součinu nějaký volný index k,l rovný 1, pak je součin kvůli antisymetrie rovné 0. Podobně to platí druhý součin a index 2, apod. pro třetí. Dalším pozorováním je, že i indexy jak musí nabývat jiných hodnot, aby výsledek nebyl nula. To samé platí i pro indexy / a m. Takže, pokud chceme dostat nenulový výsledek, musí nastat jeden ze dvou případů: • buď je j = l a pak pro nenulovost musí být k = m, • nebo j ý l a Pak Pro nenulovost musí být k ^ m. Toto lze přepsat do formy j = m db k /. Celá tato diskuze se dá reprezentovat pomocí Kroneckerových delt ôjô^ a ô3môk, protože to přesně vystihuje, kdy je kontrakce epsilon tensorů (ne)nulová, tj. eijkeilm = aôjôt + bôjmôf, kde a, b symbolizují ještě neznámá znamínka, které teď budeme diskutovat. Nejprve pro znaménko a zvolme třeba j = l = l,k = m = 2& i = 3, které dává nenulový výsledek e31%12 = aôlôj, 1 • 1 = al ■ 1, a = 1. 1 Pro znaménko b zvolme třeba j = m = 3, fc = í = 2ai = l e132Ě123 = bôlôl (-1) • 1 = 61 • 1, b = -1. Celkově máme Jjk _ d srk _ d srk což je rovnost, kterou jsme chtěli dokázat. Pro důkaz identity b) použijeme teď dokázanou identitu a). Počítejme e^eiji = 5]5? - ójók = 35? - 5? = 25?. V prvním součinu máme ój, což je (kvůli tomu, že používáme Einsteinovu sčítací notaci) 5] = 61 + 61 + 61 = 1 + 1 + 1 = 3. V druhém součinu jsme jen použili „pravidlo" při počítání s Kroneckerovými deltami „za j dej / a smaž sumaci". Pro c) se zase využije výsledek z b) a jednoduše získáme eiJ%fc = 26kk = 6. 2. (f) Pomocí indexové notace ukažte následující vektorovou identitu a x {b x č) = b (a ■ č) — c(a • b). Řešení: Nejprve přepišme levou stranu zadání do indexové notace, pomocí [a x b]1 = éjkajbk elmiame\kVck = elmtetlkamVck. mí j k Při úpravě jsme využili toho, že při kontrakci indexů nezáleží na jejich poloze, protože iŕVi = UjQ^Vi = UjV3. Abychom mohli použít vzorec z prvního příkladu, musíme dostat index i v prvním epsilon tensoru na první místo. Toho lze dosáhnout dvěma výměnami nejbližších indexů, tj. dvěma znamínky mínus, tedy se znaménko nemění Jmi jj k _ Um tj k ^ tíjkilmLr C c ťijk(lmU C . Dál použijeme již zmíněny vzorec élmet]kamVck = {5\5ll - 5lk5f) amVck = akblck - ambmcl. Teď si stačí jen uvědomit, že kontrakce indexů pro vektory znamená skalární součin a získáme akblck - ambmé b (a ■ c) — Č (ä -bj což je hledaná pravá strana identity. 2 3. Pomocí indexové notace ukažte následující vektorové identity: a) a • (6 x č) = b ■ (c x a) = c • (a x 6), b) (a x 6) • (c x d) = (a • č) (6 • d) — (a ■ d) (b ■ č). Řešeni: a) Nejprve si identitu prepíšme do indexové notace aieijkbjck = bieijkcjak = éeijkajbk. Teď v druhém a třetím výrazu změňme indexy tak, aby u souřadnic vektoru a byl index i, u souřadnic vektoru b index j a u souřadnic vektoru c index k (sčítací indexy jsou „značky", jejíž názvy můžeme měnit, na rozdíl od volných indexů). U druhého výrazu to znamená výměnu indexů i —y j —y k —Hau třetího výrazu j —y i —y k —y j. Dostaneme ďVcke,ijk = ďtickejki = ďtickekij. Nakonec víme, že sudý počet transpozic (tj. výměn sousedních indexů) nemění hodnotu epsilon tensoru, což dokazuje rovnost. b) Použijeme vše z předchozích příkladů a jednoduše dojdeme k výsledku (a x 6) • (c x d) = el]ka3bkélmcldm = el]ka3bkélmCldm = a3bkCldm (5)8£ - Sf5lk) = = a}bkCjdk — a?bkckdj = (a ■ c)(b ■ d) — (a ■ d){b ■ č). 4. (f) Pomocí indexové notace ukažte následující identitu rot grad = 0. Řešení: Nejprve přepišme vektorové operátory do indexové notace. Začněme gradientem. Gradient je složen z parciálních derivací podél souřadnic n „ f d d d grad = V = \ ox oy o z proto by nemělo být překvapením, že můžeme psát «9 (grad/)i = —/, « = 1,2,3, kde / je funkce. Pro zkrácení zápisu budeme používat následující značení i -jl Divergence, rotace a laplacián vyplývají z vlastností epsilon tensoru a metriky: (mt vy = (v x vy = é\djvk, div v = V • v = djV3, A/ = V • V f = dj&f. 3 Již máme vše připravené na dokázání identity. Uvažme vhodnou funkci / (měla by mít spojité parciální derivace) a počítejme (rot grad Výraz dkf hraje roli vektoru v definici rotace. To, že tato identita platí, je dáno tím, že pořadí derivací můžeme zaměnit, tj. <"'-<);