Páté cvičení z Elektrodynamiky 1. Spočtěte Fourierovu transformaci funkce G{k) = ~(27r)t *r „Hint": bez důkazu můžete použít následující integrál smi dx x Řešení: Fourierova transformace je G(x) = - Zavedeme sférické souřadnice (2tt)§ 7t 2" Ak-x kx ky (2^{kl + kl + kl) k cos ip sin 9, ksiinpsin9, k cos 9, -dsk. kde k G (0, oo),

G [0, 2n) a 9 G [0, ir). Sférické souřadnice nezavedeme jen tak bezmyšlenkovitě, ale efektivně je využijeme k usnadnění výpočtu. Náš souřadný systém, přes který integrujeme, zvolíme tak, aby vektor kz mířil vždy ve směru vektoru x. Potom totiž bude úhel mezi vektory k a, x právě úhel 9. Díky čemuž můžeme psát skalární součin vektorů fcaf jako k ■ x = kr cos 9, kde r je velikost polohového vektoru x. Dosaďme vše do integrálu ■y poo pír p2ir gifcrcosř? -y G(x) (27r) jq jq jq Zavedeme substituci k2 sin 9k dkd9dip (27T) OO /*7T 0 jo Akr cos 8 sin 9dkd9. ikr cos 9 = a, 0 —> ikr, 7t —> —ikr. Jakobián je dán jako J dk 80 Ě Ě da da pro jeho vypočítání bychom museli invertovat naši substituci. Místo toho budeme počítat J_1, který je dán jako 1 J dk da dk dk dk da de de ikr sin 9. 1 Dosaďme opět vše do integrálu />oo r—ikr />oo Akr ^ct G(x) = — -—— / / —-ea sinOdadk = -—— / / -^dadk (2tt)2 J0 Jfkr ikrsmO (2tt)2 J0 J^ikr ak = —— / —-—ak (2tt)2 J0 ikr 2tt2 J0 kr "°° siní kr = t rdk = dt -dt 2n2r J0 t Anr Poslední integrál je přesně ten z nápovědy v zadání. Poznámka: Výsledek se liší od správného výsledku (viz skripta rovnice (24)) o mínus. Bohužel tu chybu nikde nemůžu najít, takže jestli se to někomu povede, napište mi, kde je- 2. Odvoďte ze vzorce pro potenciál elektrického pole 1 x) =--/ G (x — x') p (x') d ä?, kde G (x — x') Eq JR3 47T \X — X'\ vzorec pro intenzitu elektrického pole E (x). Rešení: Intenzita elektrického pole je dána jako E (x) = —grad0(x). Tudíž skalární potenciál pouze zderivujeme podle souřadnic. Spočtěme to pro souřadnici x, ostatní dvě složky budou analogické. 9 1 9 Í P^') A3# - 1 9 Í A3# - (x) =__/ -Ľ1_J—dóť =__/ cVt dx T 4ne0 dx JR3 \x - x'\ 4ne0 dx JR3 ^/(x - x'f + (y - y'f + (z - z'f 1 f p(x')2(x-x') Ane0 Ane0 Jm.3 \x — x'\3 Dohromady tedy máme 2 (y(x - x')2 + (y- y')2 + (z - z'fj d3f. 1 ľ p{x'){x-x') 3^ Ě(x) = J- f p(f?(l-,fW Ane0 JR3 \x-x'\6 3. Využijte výsledku předchozího příkladu, tj. 1 f p{x'){x-x') j3 E(x) =- / r\Jy 'dáx 47T£0 Jr3 \x-X'\ó a spočtěte elektrickou intenzitu kolem nekonečně dlouhého homogenně nabitého drátu. (Hint: hustotu náboje můžete volit například jako p(x) = Xô(x)ô(y), kde A G IR, ale vysvětlete proč!) 2 Řešení: Nejprve diskutujme, proč lze zvolit hustotu náboje jako p(x) = Xô(x)ô(y). Budeme předpokládat, že drát je natažen podél osy z. Náboj je tedy koncentrován jen na tomto drátu, v celém zbylém prostoru je nulový. Takže hledáme funkci, která je nenulová pouze na ose z. Což nám přesně zařídí dvě delta funkce S(x)S(y), první říká, že nenulová je rovina x = 0, druhá, že nenulová je rovina y = 0. Průnik těchto rovin je právě osa z. X je vhodná konstanta, která popisuje lineární hustotu náboje na drátu. Dosaďme všechny informace do integrálu E(x) OO /"OO ľOO oo J — CO J —OO Xô(x')ô(y')(x — x', y — y', z — z') ^/{x - x')2 + {y- y')2 + {z- z1)2^ rdx'dy'dz'. Integrace přes delta funkce je vždy jednoduchá, například při integraci přes x' dosadíme do integrandu za všechny x' nulu, a smažeme příslušný integrál. Tedy po integraci přes delta funkce je elektrická intenzita rovna E(x) X (x,y,z- z') y/x2 + y2 + (z-z')2y ;dz'. Celkem tedy máme počítat tři integrály, dva z nich jsou ale stejné. Označme x2 + y2 = r2 a počítejme dz' ^r2 + (z-z')2y C -oo —> oo oo —> —oo ( = sinh a d( = cosh ada oo —> oo —oo —> —oo cosh ada a/ 1 + sinh2 a ~2 cosh ada r" J-oo cosh3 a 1 2 -[tanha]^ = ~2 da cosh a {z — z')dz' ^r2 + {z-z')2y C dC dz' -oo —> oo oo —> —oo CdC o. Druhý integrál je nulový, jelikož jde o podíl liché a sudé funkce, což je lichá funkce, a integrál liché funkce přes symetrický interval je nulový. Výsledek tedy je E(x) X 2neor2 Ještě můžeme spočítat velikost tohoto vektoru [x,y,0). E(x) X ^ŕTtf _ X 2neQ r2 27re0r' což je známý výsledek, který se dá jednoduše zjistit z GauBova zákona. 3 4. Vyjádřete následující rozložení náboje pomocí č-funkcí ve tvaru prostorové hustoty p(x) v zadaných souřadnicích. Ověřte, jestli p(x)d x dává očekávaný výsledek. a) Náboj Q rovnoměrně rozložený po povrchu koule s poloměrem R. Použijte sférické souřadnice. b) Náboj Q rovnoměrně rozložený na nekonečně tenkém kruhovém disku s poloměrem R. Použijte válcové souřadnice. Hint: V b) se dá využít Heavisidova funkce která se definuje jako 0 x < 0 6(x) 1 1 x > 0. Řešení: a) Jelikož má být náboj rovnoměrně rozmístěn po celé kulové slupce, hustota náboje nemůže záviset na úhlových parametrech. Poloměr koule je R, tudíž chceme, aby jediný nenulový příspěvek k hustotě náboje byl ve vzdálenosti R od středu, to se dá dosáhnout pomocí ô(r — R). Hustota náboje tedy je p(x) = aô(r — R), kde o" G IR je vhodná konstanta značící konstantní plošnou hustotu náboje. Celkový náboj je jednoduše dán jako plošná hustota krát povrch koule, tj. Q = AnaR2. Ověřme ještě integrál / p(x)d3x = / / aô(r - R)r2 sin 6drdipd6 = aR2 / / a6dipd6 = Íe3 Jo Jo Jo Jo Jo = 2nR2 / sin#d# = AnaR2. Jo b) Umístíme disk do roviny z = 0. V hustotě náboje se tedy objeví ô (z). Dál má být náboj pouze v určité ohraničené oblasti, na což využijeme Heavisidovu funkci 0(r). Abychom dostali nenulový příspěvek ze vnitřku disku, musí být v hustotě náboje Q(R — r). (Nenulový příspěvek se podle definice má dostat pro R — r > 0, což znamená r < R.) Hustota náboje tedy je p(x) =a5(z)0(R-r). Celkový náboj opět jednoduše spočteme jako povrch disku krát konstantní plošná hustota, tedy Q = anR2. Spočtěme integrál /» /»2-7T /»00 /»00 /»2-7T /»00 / p(x)d3x = / / aO(R — r)5(z)rdrdzd(f = / aO(R — r)rdrd(f = Jr3 Jo Jo Jo Jo Jo POD ľR = 2na / O (i? — r)rdr = 2na / rdr = naR2. Jo Jo Integrace přes Heavisideovu funkci probíhá tak, že změní integrační meze na interval, kde je nenulová. V našem případě je nenulová pro r < R, tudíž horní mez bude místo nekonečna R. 4