Šesté cvičení z Elektrodynamiky 1. Dosaďte mocninou řadu n=0 do Legendrovy rovnice (1 - x2)P('(x) - 2xP((x) + /(/ + l)Pi(x) = 0, kde / G NU{0}, a určete rekursivní vztah pro koeficienty a®. Jaká je podmínka na číslo n, aby byl počet nenulových koeficientů konečný? Napište explicitní tvar polynomů P2(;£) a P3(x). Řešeni: Dosadíme mocninou řadu do rovnice a provedeme derivace oo oo oo (1 - x2) Y^n{n - l)a^xn-2 - 2x^na^rr"-1 + /(/ + 1) ^a«rrn = 0. n=2 n=l n=0 V prvních dvou sumách sčítáme od 2, resp. od 1, jelikož dvakrát zderivovaný lineární polynom je nula (resp. zderivovaná konstanta je nula). Dále v první sumě změníme sčítací index n —>• k jako k = n — 2. První suma tedy bude 5> + 2)(fc + l)a«2sfc. k=0 Podobně změníme sumační index i v druhé sumě (a přejmenujeme k jako n), rovnice tedy bude oo oo oo (1 - x2) Y^iji + 2)(n + l)aiřl2xn - 2:r^(n + l)a®+1xn + /(/ + 1) ^atfx'1 = 0. n=0 n=0 n=0 Tuto rovnici budeme chápat jako rovnost polynomů. Polynomy jsou si rovny pokud jsou si rovny jednotlivé koeficienty u mocnin x. Pro absolutní člen a lineární člen to tedy je x° : 2a? + /(/ + l)a« =0, af = Jl+lL (0 2 a° ' : 3 • 24J - 2a\> + /(/ + 1)4' = 0 (0 o„(0 1(1 1 Uř) - n _x „(0 _ [2 - /(/ + 1)] jz) 3 6 Koeficient u monomu xn tedy bude xn : (n+2)(n+l)aiřl2-n(n-l)a«-2na«+/(/+l)a« = 0 a« 2 = + a)^^' (1) Vidíme, že pokud máme zadány hodnoty a? a a^, pak jsou všechny další koeficienty dány pomocí rovnosti (1). Chceme, aby řešením byl polynom s konečným počtem nenulových koeficientů. Z rovnosti (1) vidíme, že nutná podmínka je n = l (/ je číslo, které čísluje rovnice, pro různé hodnoty /, dostáváme různé rovnice!). Navíc pokud je / například sudé, a my zvolíme a? nenulové, všechny další koeficienty a,n\ kde n je liché, budou nenulové. 1 Pomocí tohoto, zkusme určit polynomy P2{x) a P%(x). Polynom P2{x) musí mít koeficient af ■* nulový, tudíž obecně vypadá jako P2(x) = 42) + afx2. Zvolme např. = 1 (toto je volba daná okrajovými podmínkami pro diferenciální rovnici, nebo normalizací polynomů), poté a (2) _ „(2) 0+2 [0(0 + 1)-2(2 + 1)] (0 + l)(0 + 2) ,(2) -3. Celkově P2(x) = 1 - 3x2. Podobně pro polynom Ps(x) volíme = 0 a af^ = 1. Druhý nenulový koeficient je a polynom je J3)_ J3) [1(1 + 1) -3(3+1)] (3) 3 ~a^~ (i + i)(2 + l) fll 5 Ps(x) = x — -x3. 5 3: Poznámka: V tomto příkladu jsme použili tzv. Frobeniovu metodu řešení diferenciálních rovnic. Ta spočívá v tom, že předpokládáme řešení diferenciální rovnice v podobě mocninné řady. Tuto řadu dosadíme do rovnice a pomocí rekursivních vztahů, které obdržíme, zjistíme koeficienty polynomu. Rovnice i polynomy se často jmenují po člověku, kdo je prvně objevil. V tomto případě se jedná o Legendrovu rovnici a Legendrovy polynomy. 2. Ukažte, že Legendrovy polynomy jsou na intervalu [—1,1] ortogonální, tj. že pro n ^ m platí j Pn(x)Pm(x)dx = 0. Hint: Využijte Legendrovu rovnici. Řešeni: Nejprve si napišme dvě instance Legendrovy rovnice pro indexy m a n, + n(n + l)Pn = 0, + m[m + l)Pm = 0. První rovnici vynásobme Pm, druhou rovnici vynásobme Pn, získané rovnice od sebe odečtěme a integrujme od —1 do 1, tj. d (1 d — -x2 — dx dx d (1 d — -x2 — dx dx 0 1 d_ 1 dx 1A _x dx f1 - *ép- Pmdx + J n(n + l)PnPmdx-ri Pndx - J m(m + l)PmPndx. 2 V prvním a třetím integrálu použijeme per partes, konkrétně to rozepišme pro první integrál P ^-P 1 m 7 -i 1 mi dx d dx Dostáváme ^(i-^)Apn. 0 = [Pm(l - x2)P'r]\ - j\l - x2)P'mP'ndx - [(1 - x2)P'mPn]\ + + j (1 - x2)P^dx + (71(71 + 1) - m(m + 1)) j PmPndx. Druhý se čtvrtým členem se odečtou, první a třetí člen jsou při dosazení mezí nulové, zbývá tedy 0 = (77(77 + 1) - m(m + 1)) J PmPndx. Jelikož m ^ n, musí být integrál roven nule. Což jsme chtěli dokázat. Tato vlastnost se nazývá ortogonalita Legendrových polynomů. 3. Azimutálně symetrické řešení Laplaceovy rovnice pro potenciál 0(r, 9) ve sférických souřadnicích lze zapsat jako lineární kombinace oo (r,9) = {Air1 + B^-1-1) Pz(cos£), 1=0 kde Ai, B>i G IR a P/(cos#) jsou Legendrovy polynomy. Uvažte sféru s poloměrem R, která je nabitá na potenciál í $ 0 < 9 < - *<*»)={ 4 liMi kde $ G IR. Určete koeficienty Ai,Bi v multipólovém rozvoji pro tento případ. Hint: pro Legendrovy polynomy platí f1 2 J Pi(x)Pk(x) dx = 2p~^ik- Řešení: Jedná se o klasický příklad na využití multipólového rozvoje potenciálu. Ten se získá řešením Laplaceovy rovnice metodou separace proměnných. Pro tento příklad bylo potřeba vyřešit Laplaceovu rovnici ve sférických souřadnicích, viz skripta kapitola 5. Obecné řešení problému tedy již máme, jen ho teď musíme použít na konkrétní příklad, tím je v tomto případě nabitá sféra. Nejprve si rozdělíme řešení na řešení vně sféry 0ext a vevnitř sféry 0int oo 0intM) = + Bi*'1'1) Pi(cos0), r < P, 1=0 oo 0extM) = ( R. 3 Abychom problém vyřešili, musíme zjistit koeficienty Ai, Bi, Ci a Di. Pro určení koeficientů použijeme fyzikální podmínky. Budeme požadovat, aby s rostoucí vzdáleností šel potenciál do nuly, tj. r ->• oo: 0ext(r, 61) ->• 0. Když se podíváme na tvar 0ext(r, vidíme, že to lze zařídit pouze, pokud koeficienty Ci = 0. Podobně, ve středu koule musí být potenciál konečný, tudíž pro r = 0 musíme získat konečné číslo. Z tvaru 0int(V, 8) vidíme, že musíme zvolit B\ = 0. Dohromady máme oo int(R,6)=ext(R,6)=(R,0) (2) Porovnáním jednotlivých členů v sumách potenciálu dostáváme AR1 = DxR-1-1 => Di = Azi?2ř+1 a potenciály mají tvar oo (f)int(r,0) = YJAlrlPi(coS0), 1=0 oo 0ext(r,č) = YJAlR2l+1r-l-1Pi(coS0). 1=0 Zbývá určit koeficienty Ai. Vyjdeme zase z podmínky na sféře (2) oo (j)(R,6) = ^Azi?řPz (cos 1=0 Tuto rovnici vynásobíme Pk(cos8) sin# a zintegrujeme od 0 do 7r, tj. / 0)Pfc(cos0) sin 0d0 = J^AR1 / Pz(cos0)Pfc(cos0) sin0d0. Jo ř=0 Jo Na levé straně dosadíme konkrétní tvar potenciálu na sféře (f)(R, 8) $ y Pk(cosd)smddd - $ J Pk(cos8)sm8d8 = J2AiRl J P(cos 0)Pfc(cos 0) sin 0d0. Zaveďme substituci x = cos 8 $ / Pk(x)dx - $ / Pk(x)dx = y^AR1 / Pi(x)Pk(x)dx. Jo J-i ,_n J-i Na pravé straně využije ortogonality Legendrových polynomů (viz Hint ze zadání) 2 $ / Pk(x)dx - $ / Pk(x)dx Jo J-i 2k + ľ -AkRk. Víme, že Legendrovy polynomy pro liché indexy jsou liché funkce a pro sudé indexy jsou sudé funkce. Této vlastnosti využijeme. Pokud je Legendrův polynom sudý, tj. platí Pk{—x) = Pk(x), poté v prvním integrálu na levé straně můžeme udělat substituci x —> —x, 1—^—1 , 0—^0, dx —> —dx a integrály na levé straně se vyruší. Proto jsou koeficienty Ak, pro sudé k, nulové. Pro liché Legendrovy polynomy platí Pk{—x) = —Pk{x) a integrály na levé straně se sečtou. Celkově tedy dostaneme 2k + 1 f1 Ak = Rk $ J Pk(x)dx, k je liché, neboli pokud si označíme k = 21 — 1 4/ - 1 , ľ1 IQ 4/ -1 ŕ A2z-i = ^rr$y p2l^{x)dx, len. Pro určení koeficientů potřebujeme explicitní tvar Legendrových polynomů. První tři liché polynomy jsou P\{x) = X, P3(x) = l- (5x3 - 3x) , P5(x) = - (63x5 - 70x3 + 15x). 8 Integrováním těchto polynomů můžeme zjistit první tři koeficienty v multipólovém rozvoji 4_3$ 4_7$ 4 _ 11 $ 1-2iť 3~~8B^, 5~f6i^ 5