Sedmé cvičení z Elektrodynamiky 1. Vypočtěte magnetickou indukci z vektorového potenciálu A(x) = ^ / -^^ďf 47T /irp3 ur — rr' Řešeni: Magnetická indukce je dána jako B(x) = rotA(x). Pro výpočet použijeme indexový zápis, tedy vektorový potenciál je Počítejme A\x) = — / f{x') ďx'. 47r^3 ''YS=1(xl - x'1)* (VELi^-^)2) 47r.l3 l\ 2/ / /—:-\3 47r.l3 \x-x'\3 fJ'O f f(x')(xk x'k) ,3_* 47T 7R3 jí? — x'\3 Vektorově tedy máme ddf. 47T /irp3 \x — x'\6 2. Využijte vzorec z předchozího příkladu, tj. B(x) = ^ [ Miii^ldV, 47T ,/R3 |rr — rr'^ a spočtěte magnetickou indukci od nekonečně dlouhého lineárního vodiče jímž protéká konstantní proud I. Řešeni: Nejprve musíme určit hustotu proudu j(x). Natáhněme drát podél osy z. Stejně jako u hustoty náboje v jednom předchozích cvičení, se v hustotě proudu kvůli tomuhle objeví 8(x) a 5{y). Dál proud bude téci jen ve směru z, tzn. proudová hustota bude mít směr vektoru (0,0,1). Na závěr má být proud konstantní o velikosti J, tudíž vše dohromady j(x) = (0,0,I)ó(x)ó(y). 1 Dosaďme do integrálu a počítejme B(x) = ^ Vo f x (x - x') 3^ fiQ f (0,0,7) x (x- x') 7 13 d3f = — 47T '-ô (x) ô (y) d3 x' 7|3 Vo f (0,0,/) x (x, y, z- z') ^x2 + y2 + (z- z')2^' 2 2,2 r = x +y 47T (-í/,x,0) yV2 + (z - z')2)* rd,2 4^3 7t (-í/,x,0) rdz' r ' = dC Hol ľ°° (-y,x,0) Airr2 -OO / / (Z-Z>)2 ( = sinh a d( = cosh ada Airr2 (-y,x,0) da = ^° „ (—y, x, 0) [tgha]'* _oo cosh a 47rr2 OO OO 2nr2 (-y,x,0). 3. Vypočtěte vektorový potenciál A(x) ve velké vzdálenosti od kruhové smyčky s poloměrem R, kterou prochází konstantní proud J. Dále najděte magnetický moment m, pomocí něhož se dá vektorový potenciál zapsat jako A{x) m x x \x\ tj. smyčka „vypadá" jako magnetický dipól. (Velká vzdálenost znamená, že předpokládáme \x\ > R.) Řešení: Vektorový potenciál spočtěme ze vzorce A(x) =«>[ r^-d?x>. 47T JR3 \x — x'\ Nejprve musíme parametrizovat hustotu proudu j (x'). Budeme používat válcové souřadnice Kružnici umístíme do roviny x'y', to zařídíme delta funkcí ô (z1). Dál pomocí ô(r' — R) se omezíme pouze na kružnici. Dál potřebujeme parametrizovat směr proudu protékající kružnicí. Proud bude protékat proti směru hodinových ručiček. Směr v jednotlivých bodech kružnice je dán tečným vektorem ke kružnici v těch bodech. Tečný vektor získáme třeba derivováním parametrizace kružnice (kružnici se parametrizuje jako (cos y?', siny?', 0), ip' G [0,27r)). Tečný vektor tedy je (— siny?', cosy?', 0). Nakonec potřebujeme rozměrovou konstantu, tou je proud I. Dohromady tedy j(x') = I5(z')5(r' - R){- sin y?', cos y?', 0). 2 Dosaďme do integrálu a chvíli počítejme Ho f IS(z')S(r' — R) (— sin y?', cos y?', 0)r'dr'dz'díp' A(x) 4ít JR3 (x — r' cos ip')2 + (y — r' sin ip')2 + (z — z')2 /i0I f27T sin y?', cos y?', 0)dy?' 47T J0 ^{x - R cos y?')2 + [y - R sin y?')2 + z2 HoIR f27T (— siny?', cosy?', 0)dy?' 4tt Jo a/Ix|2 — 2Rx cos y?' + R2 cos2 y?' — 2Ry sin y?' + i?2 sin2 y?' Ho IR f27T (— siny?', cosy?', 0)dy?' Tento integrál se nazývá eliptický integrál. Jeho řešení je zbytečně složité, proto se uchýlíme k aproximacím. Budeme předpokládat \x\ ^> R. Přepišme tuto podmínku jako R 1 > 7^7 = e. \x\ Vidíme, že druhý člen v odmocnině je řádu e2. Třetí člen v odmocnině je pouze řadu e. Sice ve jmenovateli je \x\2, ale v čitateli zlomku jsou ještě x a y, které jdou taky do nekonečna. Proto druhý člen zanedbáme a zůstává. Ä(x) - (-sin y?',cos y?',0)dy?' An lfl -/o ^/l - ^(rrcosyy + í/siny?') Dále použijeme následující aproximaci pro odmocninu Tudíž vektorový potenciál je Ho IR f27T (—sin y?', cos y?', 0)dy?' A(x) - . Ati\x\Jq 1 - ^(rrcosy?'+ í/siny?') \x\ Dál použijeme aproximaci pro zlomek 1 - e Dostáváme integrál, který lze již vyřešit 1 + e. ~\ i ->\ A*o f n í R í i i\ \ í i i \ i A[x) =--— / I 1 + (x cos y? + y sin y?) (— sin y? , cos y? , 0) dy?. 4?r |rr| y0 V Fľ / Využijeme následujícího ŕiit ŕiit ŕiit ŕiit riit / siny?'dy?'= / cos y?'dy?'= / sin y? cos y? dy?'= 0, / sin2 y?'dy?'= / cos2 y?'dy?' = n Jo Jo Jo Jo Jo a dostáváme kde S je plocha, kterou smyčka ohraničuje. Magnetický moment m zjistíme už snadno jako, vyjde fl=(o,o,£/s). Tvar magnetického momentu je stejný jako magnetický moment pro magnetický dipól (tj. magnet) s velikostí ^IS. Díky tomuto můžeme vždy magnety aproximovat jako kruhové smyčky, kterými prochází elektrický proud. 4. Vypočtěte energii elektrického pole od homogenně nabité koule o poloměru R. Hustota energie se počítá jako W = \(E ■ Ď + B ■ H tudíž celková energie bude S = I Wdóx. Řešeni: Nejprve si zjednodušme vzorec pro hustotu energie. V našem příkladě není žádné magnetické pole, tudíž B = 0 a H = 0. Navíc koule je vodivá, proto se elektrická indukce spočítá jako D = SqE a celkem W = l-eQE2. Elektrickou intenzitou spočteme pomocí Gaufiova zákona E-dS Quzavřený 'S £0 Pro vnitřek koule r < R Gaufiův zákon vede na Ein4Trr2 Eh Podobně pro vnějšek koule dostaneme E, out 4 3 4„r3 3Q 47rr%0 Qr ' 4ne0R3' Q Aireor2 Na závěr spočtěme celkovou energii 0 / / / «,2„2ginj9drdj9d¥,+ 0 ^ z jo jo jr i,, „ ,, „r^ sin#drd#d £= / Wďx=— / / / E(X sin MrdMv? + — / / / EovAj- sin 0drd0d