Cvičení ze Speciální relativity 14.4.2020 1. Uvažte množinu SO(3) := {A G Mat3x3(M) | AAT = l,det A = 1} . a) Jaký geometrický význam mají prvky této množiny? b) Ukažte, že tato množina s maticovým násobením tvoří grupu. c) Je tato grupa komutativní? Jestli ano, dokažte, pokud ne, dejte protipříklad (tj. najděte dva prvky této grupy, které nekomutují). d) Najděte infinitesimální generátory L1}L2 a L3 této grupy. e) Najděte komutační relace mezi infinitesimálními generátory. f) Ukažte, že pomocí zobrazení a) Matice 3x3 přirozeně působí na vektory z prostoru IR3. První podmínka znamená, že se jedná o ortogonální transformace, tj. transformace zachovávající skalární součin. Takovýmito transformacemi jsou rotace a zrcadlení. Druhá podmínka znamená, že transformace zachovává orientaci prostoru. Touto podmínkou se odstraní zrcadlení (jelikož ty z pravotočivé soustavy udělají levotočivou a naopak) a zbudou pouze rotace. Tudíž množina SO(3) je množina rotací v prostoru IR3. Množinu SO(3) generují následující prvky První matice zadává rotaci o úhel ip v rovině xy, to lze vidět jednoduše z maticového Podobně druhá matice zadává rotaci o úhel tfj v rovině xz a poslední rotaci o úhel 9 v rovině y z. b) Nejprve připomeňme definici grupy. Grupa (G, ■) je dvojice, kde G je množina a • je binární operace na množině G, splňující: • Uzavřenost: \/g±,g2 E G : g± ■ g2 G G. • Asociativita: Wgi,g2, #3 G G : (gx ■ g2) ■ g3 = gi ■ [92 ■ #3)- • Jednotkový prvek: 3e G G takový, že \/g G G : g ■ e = g = e ■ g. • Inverzní prvek: V g G G, 3h G G takový, že g ■ h = e = h ■ g. n=0 infinitesimální generátory opravdu generují prvky grupy. Řešeni: násobení 1 Pojďme tedy dokázat, že množina SO(3) tvoří grupu. Uzavřenost plyne jednoduše z geometrické představy, složení dvou rotací je samozřejmě opět rotace. Asociativita plyne z asociativity maticového násobení. Jednotkový prvek je jednotková matice 1 a inverzní prvek vždy existuje, jelikož všechny matice v S0(3) mají nenulový determinant. Množina S0(3) je tedy grupa. Grupa G je komutativní, pokud platí V0i,02 fC: 9\- 92 = 92- 9\-Grupa SO(3) není komutativní jelikož například pro matice A = 1 0 0,5 platí -1 0 \ /O 0 A-B = \ 0 0-1^1 0 0 \ = B-A. 0 0 / \ 0 -1 d) Maticové grupy mívají často velmi složitou strukturu, proto se často pracuje s jednoduššími maticemi, které v určitém smyslu grupu generují. Těmto maticím se říká infinitesimální generátory. Jejich nalezení spočívá v tom, že generátory rozvedeme do Taylorovy řady a ponecháme pouze lineární řád. Konkrétně pro rotace v rovině xy: cos íp — sin íp 0 sin íp cos íp 0 0 0 1 Označme Matice L\ je právě hledaný infinitesimální generátor pro rotace v rovině xy. Podobně můžeme najít infinitesimální generátory i pro rotace v rovinách x z a y z L, := 0 0 0 , L Násobení matic je obecně nekomutativní. Pro určité matice A a, B však může platit A ■ B = B ■ A (například pro dva skalární násobky jednotkové matice). Míru, jak moc spolu dvě matice (ne)komutují, měří tzv. komutátor [A, B] := AB - BA. 2 Pokud [A, B] = 0, pak matice spolu komutují. Pro komutátor platí [A,B] = -[B,A]. Pojďme spočítat komutátory pro naše matice Li, [L1,L2]=L1L2-L2L1= \ 00 -1 -0 0 0 | = | 0 0 -1 | = L3 \ 0 0 0 / \ i /O -1 0 \ [L2,L3] = L2L3-L3L2 =\ 1 0 0 =Li, [L3,L1] =L3L1-L1L3 = 0 0 0 = L2. Získané vztahy můžeme kompaktně zapsat jako [Li, Lj] = e,hkLk. Vidíme, že infinitesimální generátory mají nějakou strukturu. Této struktuře se říká Lieova algebra. Dále ji však zkoumat nebudeme. f) Teď ukážeme, jak se z infinitesimálních generátorů dají vytvořit zpět generátory grupy a proč tedy stačí pracovat pouze s infinitesimálními generátory. Provedeme to pouze pro infinitesimální generátor L\. Vyjdeme z exponenciálního zobrazení jn n i i i ^ = £ =L?+LiV+r1"2 + hLl^ +1^4 + • • • • n=0 Nultou mocninu matice definujeme jako Další mocniny musíme spočítat L{ = \ 0 -10, Li = -1 0 0 , L\ Jednoduše vidíme, že L\ = L\, jelikož L\ má dvě jedničky na diagonále. Vše dosadíme do exponenciálního zobrazení a získáme [ - \(p2 + ^(pA + ... -ip + j^ip3 + ... 0\ / cosy? -siny? 0 eLlíp = ( ip-±ip3'+... l-±ip2 + ±ip4 + ... 0 = siny? cosy? 0 0 0 ' 1 / \ 0 0 1 2. Uvažte časoprostor s jedním prostorovým směrem (tj. dvoudimenzionální Minkowskiho prostor IR1'1). Poincarého transformace je dvojice (a, A), kde a je (časoprostorová) translace 3 a A je Lorentzova transformace (v tomto případě jen boost). Vektor xp := (cŕ, x) se transformuje jako x'p = Apxv + ď. Pomocí tohoto transformačního pravidla nadefinujte skládání (tj. operaci o) dvou Poin-carého transformací, tj. napište, čemu se rovná (a', A') o (a, A). Dál ukažte, že množina všech Poicarého transformací společně s operací o tvoří grupu. Řešeni: Nadefinujeme nejprve skládání transformací. Pokud první rovnici aplikujeme dvakrát, tak získáme x"p = A'px'p + a'p = A'p {Apxv + ap) + a'p = A'pApxv + A'pap + a'p. Pro jednoduchost vynecháme indexy a transformaci můžeme přepsat jako (a', A') o (a, A) (x) = (a', A') (Ax + a) = A'Ax + A'a + a'. Odtud jednoduše odvodíme (a', A') o (a, A) = (A'a + a', A'A). (1) Dál dokážeme, že množina Poincarého transformací tvoří grupu. Nejprve najdeme jednotkový prvek. Jednotkový prvek e = (a, A) splňuje (a, A)(x) = Ax + a = x. Tudíž jednotkový prvek je e =(0,1). Dál najdeme k prvku (a, A) inverzní prvek (a', A'). Musí platit (a', A') o (a, A) = (0,1), (A'a + a', A'A) = (0,1) A'= A-1, a' = -A-1, (a, A)"1 = (-A-^A-1) . Dál ověříme asociativitu. Musí platit ((a", A") o (a', A')) o (a, A) = (a", A") o ((a', A') o (a, A)). Levá strana je LHS = (A"a' + a", A"A') o (a, A) = (A"A'a + A" a' + a", A"A'A). A pravá strana je RHS = (a", A") o (A'a + a', A'A) = (A"A'a + A"a' + a", A"A'A). 4 Vidíme, že oba konečné výsledky jsou stejné, proto je operace o asociativní. Na závěr ověříme uzavřenost. Pro to ale nejprve budeme potřebovat explicitní tvar matice Lorent-zova boostu A a (dva)vektoru a o\2 kde ď > 0 (z ajímají nás pouze translace, které míří z minulosti do budoucnosti), (a! (a1) > 0 (omezíme se pouze na časupodobné vektory), v je rychlost a 7=^^- (2) Z nerovností se dá dále jednoduše získat, že a° > a1. (3) Pro ověření uzavřenosti potřebujeme ukázat, že v rovnici (1) je A'a + a' (dva)vektor a A'A matice Lorentzova boostu. Explicitní tvar (dva)vektoru je A>a + a>-( 7 ^V^ + Í^VÍ780^7^^ + " 7 J [a1 J + V a'1 ) ~ V >0 + 7a1 + a'1 Nejprve ukážeme, že nulová složka je větší než nula, tj. (7a0 + -^a1 + a/0) > 0. Toto plyne z a/0 > 0, - < 1 a a° > a1, c (je důležité nezapomenou, že a1 může být i záporné). Dále ukážeme časupodobnost, tj. (7ao + v_iai + a,0y _ ^_ o+iai + a/i^2 ^ 0 Roznásobíme závorky 72 (fl0)2 + ^2 ^2 + ^2 + 2l2\0al + ^CyO + 2-^'° - ^2 (fl0)' - 72 (ai)2 _ (a'i)2 _ 272 Va1 - 2%V1 - 27a1a/1 = Z (2) platí t;2 1 1 2 2' cz 7Z tudíž nerovnice má tvar 5 Kvůli časupodobnosti (dva)vektorů platí (a°)2-(a1)1>0, {a'0)2 - {a'1)1 > 0, proto stačí ukázat a0a>0 + ľala'0 _ ^o + Va'° _ \oaa _ aia,i > aia,i + \ia,i _ \ia,i _ aia,i = Q C C CC Pro dokončení důkazu uzavřenosti potřebujeme ještě ukázat, že A'A je opět Lorentzův boost, označme ho jako A, A'A = Ä = 7 ll *7 7 Vynásobme matice boostů Našim cílem je získat tvar 7 a d. Začněme upravovat diagonální prvky matice, které by se měly rovnat 7 »» \ 1 / . 1)» \ 1 + -pr Íl ( 1 + — ) = ,-- r-- I 1 + — C J /1 ^/2 /1 v2 \ C^ / /1 ^'^ i i;'^^ ^2 1 + Z* 1 + ^- C _ & 1 ~T~ Z c2 ~T~ c4 c2 C2 C2 V/(1 + ^)2-(í^)' (v+t>)2 7- Z tvaru 7 vyčteme, že v' + v (4) Ještě zbývá ověřit, že získané 7 a v je konzistentní i s mimodiagonálními prvky matice A, ale to je už jednoduché. Z celého příkladu, i když byl ryze matematický, plyne jeden fyzikální závěr, a tím je rovnice (4), jedná se totiž o předpis pro relativistické skládání rychlostí. Tento fyzikální závěr jsme však získali jen z toho, že Poincarého grupa je uzavřená vzhledem k operaci o. 6