Elektrodynamika 1 Elektrické a magnetické veličiny, jednotky SI Elektrický proud I je v systému SI základní veličina, jednotka je 1 Ampere (1 A). Definice: Stejné proudy ve 2 rovnoběžných drátech ve vzdálenosti 1 m mají velikost 1 A, když vzájemná přitahovací síla na 1 m drátu je 2 • 10~7N. Náboj q: Zdroj elektromagnetických sil, pohybuje se ve vodiči, když teče elektrický proud. Jednotka: 1 Coulomb (1 C). Definice: Při elektrickém proudu o 1 A proteče průřezem vodiče 1 C za sekundu. 1 C = 1 As až 6 • 1018 elementárních nábojů. Coulombův zákon Přitažlivá nebo odpudivá síla dvou nábojů qi a q2 v místech x,\ a x2 F = k (x[ - x2), F = kqf, rÍ2 *12 (1) kde ri2 = \x± — x2\ a k je konstanta. Dimenze [k] této konstanty vyplývá z (1). As-As r., Nm2 N = [k] nr [k] A V Definice Amperu byla tak zvolena, aby 7 9 N kde c je rychlosti světla. V SI se píše z historických důvodů 1 k s tzv. „dielektrickou konstantou vakua" 47re0' • 10 -12 c2 Nm2' (2) Poznámka: Mohli bychom předpokládat k = 1. Tím bychom určovali dimenzi náboje, vyjádřenou mechanickými veličinami. V systému cgs dostáváme z Coulombova zákona dyn gem [q]z [q] = g 2 cm 2 s . s^ cm' To je jednotka náboje v Gaufiově systému. Elektrické pole: Síla souboru nábojů g1;..., qN v místech další náboj q v bodě x je popsaná působením elektrického pole v bodě x na náboj. 1 Intenzita eletrického pole E(x) je lokální vlastnost prostoru, v němž se nacházejí elektické náboje. ^>=i^x>-^=:<^ (3) Intenzita = síla na jednotkový náboj. Dimenze: C mC Napětí U. Práce = změna potenciální energie při pohybu náboje v elektrickém poli je daná integrálem W = ! Fds. V případě pohybu o vzdálenost / podél homogenního elektrického pole (např. v deskovém kondensátoru) platí jednoduše W = q E l =: qU. Elektrické napětí je rozdíl potenciální energie jednotkového náboje na dvou bodech. Dimenze: [U] = ^ Jednotka: 1 Volt = IV = l£. Volt se používá pro běžné označení jednotky elektrického pole, [E] = 1^. Magnetické pole. (Stacionární) elektrické proudy vyvolávají síly na pohybující se náboje (Lorentzova síla). Analogicky k zavedení intenzity elektrického pole uvažujeme sílu souboru eletrických proudů v daném uspořádání vodičů na úsek dl jednoho dalšího drátu s konstantním proudem I. Síla je úměrná I a dl, dF(x) = Idíx B(x). (4) Magnetická indukce B(x) zahrnuje působení všech elektických proudů v bodě x. Dimenze: Z (3) vyplývá * ™ ^ N J Js Vs N = Am B , =>• B = — = — - = — - = -. Am Amz Lmz mz Jednotka: 1 Tesla = 1T = 1% Příspěvek elektrického proudu v úseku drátu dl na místě x2 k magnetickému poli v bodě x\ (analogicky Coulombovu zákonu) je dBíxi) = km Idl x —^—(5) Fl — x2\ V SI se píše km = fiQ = je tzv. „magnetická permeabilita vakua", /x0 = l,26-10-6^. (6) Síla mezi dvěma infinitesimálními úseky vodiče, umístěnými v bodech x\ a x2 s elektrickými proudy l\ a I2 (analogon Coulombova zákona): Hustota náboje: p(x) = lim [P] C av^o A V' " ' mJ kde q je naboj v objemu AV, který obsahuje bod x. Hustota proudu: / dl r_ A j(x) = lim aa^o AA dl U = — > kde A A je element průřezu vodiče a ^ je jednotkový vektor ve směru elektrického proudu I. 2 Maxwellovy rovnice, statický případ J. C. Maxwell našel v roce 1864 dvě vektorové a dvě skalární parciální diferenciální rovnice 1. řadu, které spojují elektrické a magnetické pole navzájem a s elektrickým nábojem. Z těch rovnic lze odvodit celá elektrodynamika. div E P_ 1 - dE ^ — rot£ = e0 — + j, jjLQ dt - OB rotE = ——. dt div B = 0. Vektorové operátory div a rot lze vyjádřit pomoci operátoru Nabla, V - (— — —\ \dx' dy"1 dz) div v = V • v, rot v = V x v. Z Maxwellových rovnic plyne /em rovnice kontinuity dp dt + div j = 0, (7) (8) (9) t. j. zachování náboje. V případě statických polí, když časové derivace jsou nulové, odpojují se elektrické a magnetické pole. 3 Elektrostatika Základní rovnice divÉ = —, ľotÉ = 0. (10) eo Elektrostatické pole je bezvírové pole se zřídlem ^. Pro takové pole existuje skalární potenciál G{x, x") - G(x, x') Vx4{x')] ndS'. JdVL -1 Podle předpokladu je první člen na pravé straně známý, druhý, který obsahuje gradient potenciálu, nikoliv. Tak využime možnost volby Greenovy funkce a zkonstruujeme takovou, která se rovná nule na okraji dV. Greenově funkci s tou vlastností říkáme Dirichletovu Greenovu funkci, Gd- Potenciál ve V je pak dán vzorcem = - f GD(x,x')^^d3x'+ í VGD(x,x')(x')ndS'. (31) Jv e0 Jav Neumannův problém: Známe gradient potenciálu na dV. Vybereme Neumannovu Greenovu funkci G^, jejíž gradient se rovná nule na okraji. (j)(x) = - í GN(x,x')^^-d3x'- í GN{x,x')V{x')ňdS'. (32) Jv e0 Jav 4 Multipólový rozklad pole V následujícím budeme hledat rozvoj elektrického potenciálu ve velké vzdálenosti od zdroje. 4.1 Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích Laplaceova rovnice A0 = 0 (33) platí všude, kde se nenachází náboj. Ve sférických souřadnicích má Laplacián následující tvar: 10/ 2<9) (35) a dosadíme do Laplaceovy rovnice 1 d ( 2 dR ^ \ 1 d ŕ n „ d0 \ 1 „ ^ d2$ rz or \ dr J rA sin v ov \ dv J rz sin v dipz (36) 7 Násobíme r2^Q^ď a píšeme část, závisející na ip, na pravou stranu sin2?? d ŕ odR\ sinů d / d©\ 1 d2$ 2 ' Levá strana ted' závisí na r a -ŕ?, pravá strana na ip. Z toho vyplývá, že se obě strany musí rovnat konstantě, kterou nazveme m2. Z pravé strany dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici, d2$ m $ = 0. (37) Rovnici vyplývající z levé strany můžeme upravit podobným způsobem, 1 d R dr diť dr m2 1 1 d . d6 -—---I sin u- sin2 ů sin ů 0 dů \ dů kde se opět obě strany musí rovnat konstantě, označené A2. Z toho dostaneme dvě další obyčejné diferenciální rovnice, ±(r2^)-\2R = 0 dr \ dr y (38) 1 d /. Qd©\ / 2 m2 N --— siní? — + A2--2—- sin v dv \ dv I \ sin v 0 = 0, (39) tak že místo parciální diferenciální rovnice máme rovnice (37), (38) a (39). Řešení: Rovnice (37) má řešení &m(p) = Cm cos mip + Sm sin mip (40) příslušné k parametru m, který musí být celočíselný, aby $ bylo periodické ve ip. Radiální rovnice (38) má řešení (41) kde A2 = /(/ +1). V rovnici (39) píšeme cos-$ = x. Řešení, které obsahuje obě separační konstanty mal, označíme P"1. Takovou úpravou dostaneme Legendreovu rovnici (1-x2) d2PJn{x) dx2 2x dP'ľl(x) dx 1(1 m ar prtx) = o. (42) 4.2 Legendreovy polynomy Ortogonální bází řešení pro m = 0 jsou Legendreovy polynomy Pi(x), vyhovující jednodušší rovnici d dx 9,dP(x) + l(l + l)Pl(x) = 0 (43) 8 s nezáporným celočíselným parametrem /. (Pro neceločíselné / dostaneme nekonečnou řadu, která diverguje v x = ±1.) Legendreovy polynomy jsou ortogonální v intervalu (-1,1) J Pk(x) Pi(x) dx = 0 Wk^l. (44) Legendreovy polynomy se objevují jako koeficienty v rozvoji tzv. vytvářející funkce oo 7-7T77^ = Y Pi(x) tl. (45) (i - 2xt + t2y/2 f^Q Použitím Leibnizova pravidla dm[f(x) g(x)} = ™ m\ dm-kf(x) dkg(x) dxm jz^Q k\ (m — A;)! dxm~k dxk dostaneme m-násobným derivováním rovnice (43) (1 - x2)f"(x) - 2x(m + l)f(x) + (/ - m)(l + m+ l)f(x) = 0, (47) kde f{x) = dmPi(x)/dxm. Substituce f{x) = (1 — x2)~ml2g{x) vede k tomu, že funkce g(x) musí splňovat rovnici (42), je tedy konečně TOHi-^r^. (48) Legendreovy polynomy lze vyjádřit pomocí Rodriguesova vzorce Využitím tothoto vztahu můžeme rozšířit (48) na oblast záporních m, tedy Funkce Přm se nazývají přidružené Legendreovy funkce. Námi definované P{n{x) nebo Pi(x) nejsou na intervalu (-1,1) normované na jedničku. Ostatně různé drobné i větší odchylky v definicích speciálních funkcí jsou díky historickému vývoji bohužel zcela běžné. 4.3 Kulové funkce Pomocí přidružených Legendreových funkcí definujeme úplný ortonormální soubor kulových funkcí (t.j. každou spojitou funkci úhlových proměnných ve sférických souřadnicích můžeme napsat pomocí (nekonečné) řady těchto funkcí) ir(^) = (-iy (2/ + 1) (l-m)\ \ 47r (/ m) - Přm(cos $) exp(imip). (51) 9 Platí tedy jQ oV JQ sin Ů Y™1* (ů, ° = W-(3cos2tf-l) K1 = -W — sintf cos ů et{p. 2 V 8tt 2 V 16tt v ; 2 V 8tt Velmi důležitým speciálním případem rozkladu (53) je vztah pro Legendreův polynom obecného úhlu 7 mezi dvěma vektory ň = (sin ů cos 99, sin ů sin 99, cos ů) a rf = (sin a cos sin a sin cos a), tedy cos 7 = n • ň' = cos-ŕ? cos a + sin ů sin a cos(ip — /?), 4-7T m=ř ^(cos7) = E ^m*(«,/?)^m(^^)- (55) m=—l 4.4 Multipólový rozklad rozložení náboje Uvažujeme rozložení náboje uvnitř koule o poloměru R, ={f^1 (56) Potenciál mimo koule je dán vzorcem (27) 47re0J \x-x\ Aire0 J h 2 + f 2 _ 2 |£| • |£'| cos 7 1 1 /"dV , P(£/) (57) 7 je úhel mezi 1 a f'. V integrálu se objeví vytvářející funkce Legendreových polynomů, tak 1 1 /• q , / řx ^ _ / x /V" I dVp(£/)É^(cos7) ÍH (58) 47re0 r „ i=Q 10 1 r 4-7T r ^ = —J dVp(£')E^-T^TT^m*(^^)^m(^^). (59) (psali jsme \x\ = r a \x'\ = r'). Použitím (55) dostaneme rozvoj ji 47re0 J ~ ~ rv~ ' 7° 21 + 1 rř"+ u l,m Pomocí multipólových momentů qlm := J dVpífV'iTK^') (60) můžeme konečně psat potenciál jako superpozici kulových funkcí 1 ^ ^ 1 qi oo --Eľ^TO* (61) u (=0 m=—l V případě bodového náboje víme, že pole je dáno Coulombovým potenciálem. Je-li náboj g umístěn mimo počátek souřadnic, např. na ose z (v bodě z = R), je potenciál dán vztahem (62) co / f? V (f) = —^—yPl(cosů)(-), r>R. Pro r y> R převažuje rotačně souměrná (vzhledem k počátku souřadnic, nikoli poloze náboje) složka / = 0. Umístíme-li však na ose z ještě náboj opačné velikosti do z = —R, vyruší se identické příspěvky členů s / = 0 a pro r >>> R převažuje pak dipólová složka (1 = 1) 2qRP1(cosů) D cosi? 0diP =---1-=---—, (63) 47re0 rz 47re0 rz kde D = 2qR označuje kartézský dipólový moment. Podobně, umístíme-li na ose z v z = ±R náboje g a v počátku náboj —2g, vyruší se identické příspěvky členů s / = 0 a / = 1 a pro r y> R převažuje pak kvadrupólová složka (/ = 2) 2qR2 P2(cosů) Q 1-3cos2í? . . 0quad = -"j--3- = "--ô-, (64) kde Q = qR2 je kartézský kvadrupólový moment. Obecně jsou multipólové momenty závislé na umístění v souřadném systému, s výjimkou nej nižšího nenulového momentu. Mezi kartézskými momenty a qim platí vztah goo = ?io = gn = y^-D, a. t. d. 5 Magnetostatika 5.1 Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou Zavedli jsme vektorový potenciál A(x) = ^ /dV-rl^Xr. (65) v ' 4?r J \x-x\ 11 Integrální tvar infinitesimální rovnice (5), vyjádřený pomocí hustoty proudu, je B(x) = ^ i dVj(f) x ,f~ 5,1 =-— í dVj(f) x V 1 47T J |x — x | 47T J |rr — rr I 47T -V x / dV ,5^ j„ =: rot (66) Vektorový potenciál není jednoznačný, protože můžeme přičíst gradient libovolné funkce, jehož rotace je identicky nulová. Taková transformace, A(x) —> A{x) + grad k(x) se nazývá kalibrační transformace. (Stejně je skalární potenciál jednoznačný jenom až na konstantu.) Coulombova kalibrace div A = 0 vede k značnému zjednodušení: Dosazením do Maxwellovy rovnice dostaneme rotB(x) = rotroty4(x) = grad div A (x) — AA(x) = — AA(x) = -£-[d3x'f(x') A —= Pom, (67) 47T J \X — X \ tedy vektorovou Poissonovu rovnici pro A. Následující tabulka ukazuje analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou. Elektrostatika Veličina, vztah Magnetostatika dF = dqĚ definice pole dF = I dfx B dq = p d3x hustota zřídel I dl = jd3x F = qĚ síla na náboj F = qv x B div i? = p/eo rot Ě = 0 rovnice pole rot B = poj div B = 0 E = —grad0 potenciály B = rot Ä A0 = -^ rovnice potenciálu AÄ= -poj (f)(x) =- /d3x' \,. potenciál zřídel Ä(x) = — íd3x' 5^lfl 47re0 J \x — x \ An J \x — x \ Ě(x) = — f dVp^Oiľ'ľl Pole B (x) = ^ f d3x'j[x') x X~X' 47T60 J rV ' \x — X'\3 47T J \x — x'\3 Magnetické pole analogické m k elektrickému Coulombovu poli je pole lineárního vodiče. Uvažujme nekonečně dlouhý, rovný drát ve směru osy z s elektrickým proudem I j(x)=IÔ(x)ô(y)e3. (68) 12 Podle (66) je magnetické pole B(x) = PqI 47t dz' e3 x x - (0,0,2:') \x- (0, 0,2:0i3' (69) Zavedeme válcové souřadnice p = \Jx2 + y2, ip = arctan^, z a uvědomíme si, že pole musí být konstantní ve směru z, tak že stačí počítat B v rovině (x, y). Výpočet vede k Biotovu-Savartovu zákonu p0I B(p,ip) 2tt p (70) 5.2 Magnetické pole kruhové smyčky. Do vztahu pro vektorový potenciál (65) dosadíme hustotu proudu j(x") dV = 15{p' - a) ô(z') v p' V dz' dip', kde = — sin(p> 2n r Jo Pol a 2 ^ cos if 2n r Jo ap pni a2p PqIcl2 siwů (1 + ^2COS(f)cOSipdip = —— = —--—, (76) 13 kde p = rsiwů. Z toho vyplývají kartézské složky . /i0Ia2 sin ů sin

-> -> -> -> ti2 -> G = D x B = erpre0p0 E x H = — S, (95) c2 pokud první čtyři členy na pravé straně lze psát jako divergence toku impulsu. Zavedli jsme c2 :=-, n2 := erpr. (96) 16 c je rychlost šíření elektromagnetických vln ve vakuu (viz. podkapitola 8.2), tedy rychlost světla, jak budeme brzo vidět, a n je index lomu, jehož význam bude také zřejmý v souvislosti s šíření elektromagnetických vln. Po úpravě, kdy předpokládáme, že permitivita a permeabilita nezávisí na prostorových souřadnicích, můžeme psát E V • D - D x V x E H V-B) -Bx V x H a zákon zachování má tvar t í G*dV + ot Jv JV pEi + {jxB Definovali jsme Maxwellův tensor napětí Ti j jako dV + / Tn nJ dS = °- dV (97) (98) Ti j = -(E, Dj + H, Bj) + - SijiE -D + H-B). (99) Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok impulsu z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie W-J2Tn = 0. 1=1 Pro volné elektromagnetické pole ve vakuu platí analogicky W 1 / B- 2 V G = £q E x B = E o po S S=—ExB, /"o -L ti e0EiEj B' (100) (101) (102) (103) 7 Integrální formy Maxwellových rovnic, indukce 7.1 Integrované rovnice Uvažujeme prostorovou oblast V s okrajem dV a plochu S s okrajem dS. n označuje jednotkový normálový vektor na plochu dV, popi. S, t tečný vektor na dS. Integrujeme rovnici divE = přes objem V, dostaneme podle Gaufiovy věty Gaufiův zákon elektrostatiky. Q E-ndS av e0 (104) 17 Když integrujeme rotaci elektrického pole přes plochu S, můžeme uplatňovat Stokes-ovu větu (ŕ je tečny vektor okraje dS): E-tás dS rot E ■ n dS d_ "dtJs B-ňdS. (105) Integrál J B-ndS definuje magnetický tok $m plochou S. Odvodili jsme tedy Faradayův indukční zákon: Elektrické napětí v uzavřené drátěné smyčce se rovná minus časové derivaci magnetického toku, E-tds dS --ď> dt m- (106) Analogicky dostaneme v statickém případě E = 0 B ■ tds = dS rot B ■ n dS = /iq / f ■ n dS. s Js (107) Integrál na pravé straně představuje celkový elektrický proud J, z toho vyplývá Ampěreův zákon _ as B • tds = fial. (108) 7.2 Aplikace — vzájemná indukce a vlastní indukce Uvažujeme dvě geometricky pevné smyčky s proměnným proudem ve smyčce 2. Indukované napětí ve smyčce 1 vyvolané změnou pole buzeného smyčkou 2 je d B2 ■ ňi dSi dt J(i) Po dosazení dostáváme ř/i = M- (i) B2 ■ ňi dSi Ä2-d£lt M = ^í ^. (109) (i) 4?r .1(2) r12 dh 12 Mi 12 di2 ■ d£i dt 47T J(l) J(2) \X*i — X2i Pokud by tekl proměnný proud smyčkou 1, bylo by indukované napětí ve smyčce 2 dh (110) U2 = M21-^ dt M12 = M, 21 M. (111) Ale také změna magnetického toku smyčkou 1 vytvoří indukované napětí v této smyčce, stejně platí pro smyčku 2. Obecně tedy můžeme psát r dh d/2 , Ah T dl2 ^ = Mďľ-Í2ďľ Časová změna energie magnetického pole je rovna záporně vzaté práci dW dt -U1I1-U2I2 = L1L (112) (113) takže pro energii magnetického pole je W = l- Li I\ + l- L2 I\ -M h I2, Li L2 > M2. (114) Energii magnetického pole máme ovšem také vyjádřenou jako W = — í B2dV. (115) 2/x0 J v Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti L = f B2dV. (116) Uvažujme solenoidální cívku o N závitech. Průřez je S* a délka l. Pole je tedy přibližně (Ampěreův zákon) b«h^L (in) a pro indukčnosti máme L^^—. (118) Pro energii magnetického pole pak W=!^ľ. (119) 8 Časově proměnná elektromagnetická pole 8.1 Dynamické potenciály, kalibrace Předpokládáme dynamické potenciály (j) (x, t) a A(x, t) a B = rot A. Pak vyplývá z Maxwellovy rovnice rot E1 = —B, že i časová derivace vektorového potenciálu přispívá k elektrickému poli dÄ B = rot A, E = -grad0 - —. (120) Dosazení do dalších Maxwellových rovnic vede k d -> o A0+-divA = dt e0 AA - coPo-qjj- ~ grad \dwA + e0PoT^r I = -/i0j- (121) S využitím kalibrační transformace Ä^Ä+grad^, ^^^~~^t (122"> 19 můžeme mít Lorenzovu kalibraci (Ludwig Valentin Lorenz ý Hendrik Antoon Lorentz) divl+e0/x0^ = 0 (123) dt a dostáváme tak pro potenciály nehomogenní rovnice (124) Označili jsme rychlost světla ve vakuu Rovnice (124) jsou Maxwellovy rovnice pro potenciály, spolu s kalibrací (123) jsou ekvivalentní (7). 8.2 Rovinná a kulová vlna V případě volného elektromagnetického pole popisují homogenní rovnice odpovídající (124) šíření vln. Vlnová rovnice v jednorozměrném případě popisuje rovinnou vlnu (ve směru x) d2ý(x,t) 1 d2ý(x,t) dx2 c2 dt2 Obecné řešení je 0. (125) ^j(x,t) = f[t--^+g(t--c). (126) Vezmeme jako príklad Gaufiovu funkci / = exp[— (t — ^)2]. Maximum se nachází při t — ^ = 0, pohybuje se tedy rychlostí c ve směru rostoucího x. Dalším jednorozměrném příkladem je sféricky symetrická vlnová rovnice, lď2(r^(r,t)) l^(r,t) Q r dr2 c2 dt2 s obecným řešením ^(r,í) = Í/(í-£)+%(í + £). (128) Na toto řešení se můžeme divat jako na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. Tvar řešení také ukazuje, že rychlost šíření je c. V (lineárním) materiálovém prostředí se nahrazuje e0 —► ere0 a /x0 —► prpo- Pak dostaneme z rovnice (124) rychlost šíření c/n, když zavedeme index lomu TI — -\J €./f jJLf. 20 8.3 Obecné řešení nehomogenní rovnice pro potenciály. Pro obecné řešení rovnice (124) ještě chybí partikulární řešení nehomogenní rovnice. Zavedeme Fourierovu transformaci časové závislosti potenciálu a hustoty náboje 1 r00 0(f,í) = _ / duJ(l){x,Lo)e-lujt, (129) 2n J-oo i roo p(£,t) = — dujp(x,uj)e-'wt (130) 2n J-oo a dosadíme do rovnice (124), oo du[A + ^r) fi{x,u) e-lwt =--/ dup{x,u) e~iu,t. (131) y c2 J €q J-oo Exponenciální funkce s různými u jsou nezávislé, proto platí (A + ^)fe.) = -^l. (132) Hledáme Greenovu funkci diferenciálního operátoru na levé straně, definovanou vztahem {a + k2)G(x,x',k) = ô3(x-x'), k=~- (133) Řešení této rovnice závisí jen na absolutní hodnotu r = \x — x'\: ±ikr G(x,x',k) =G(r,k) = (134) Důkaz: 1) ±íkr (i Q2 \ ±ikr (A + k2)--= ±°r + k2--= 0 (135) r \r orz J r platí pro r / 0. 2) Násobíme levou stranu testovací funkcí f{x) a integrujeme přes celý prostor. Díky (135) stačí integrál přes infinitesimální kouli o poloměru e kolem počátku, d3x f(x) (A + k2) — = í d3x f(x) (A + k2) —. (136) T Jr(x,t) Pro intenzity dostaneme Anr3 _JM)_ x x x 1 x 47reo r3 r\ r •■( r r\ r ■■ ( r r\ r ■ r E (x, t) B (x, t) Aneor3 [r2 p [t--| • x x — p [t {* ~ c) X r \ 1 i c) + ~2 c ŕ r P ŕ - - V c p (t--l XX x : Dostatečně daleko od dipólu máme E(x, t) 1 1^/^ r\ - D \ x,t--) x n, c/ AnenC2 r B(x,t) = —-D ( x,t kde jsme označili D ( ä?, ŕ - - ) =p[t x x n, n Pro hustotu energie a Poyntingúv vektor platí 1 1 = \ íe0E2 + — B2 2 V /4) , Je přirozeně 167r2c4eo r- 1 - 1 1 S=-£xB = ——-//o lbnzcáeo rz S_ w cn. Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru nz j (x, t) = I ô (x) ô (y) sin ( — J cos(c2 - y[)2 + (4 - z[)2 - c2(ť2 - ťx)2 = 0. (179) Zavedeme obecně kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi jako s\2 = c2(t2 - h)2 - (x2 - Xlf - (y2 - Vl)2 - (z2 - Zl)2, (180) popřípadě pro infinitesimálně blízké události ds2 = c2dt2 — dx2 — dy2 — dz2. (181) 26 Je-li interval roven nule v nějaké inerciální souřadné soustavě K, je roven nule i v libovolné jiné soustavě K'. Potom tedy musí být ás2 = k(v) ás'2. (182) Vzhledem k homogenitě prostoru a času nemůže faktor úměrnosti záviset na souřadnicích, vzhledem k isotropii prostoru může pak tento faktor záviset pouze na velikosti relativní rychlosti uvažovaných inerciálních soustav. Uvažujeme-li tři soustavy K, K\ a K2, dostáváme ds2 = k(vi) ds?, ds2 = k(v2) ds2,, ds? = k (v 12) ds? =>- \ 2\ = k(vi2), fc(wi) (183) a protože levá strana poslední rovnice nezávisí na úhlu mezi vektory rychlostí V\ a v2, zatímco pravá strana může, musí být k{v) = 1. (184) Kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi (180) nebo mezi dvěma infinitesimálně blízkými událostmi (181) je stejný ve všech inerciálních soustavách. V předešlých úvahách se připojuje čas přirozeným způsobem k prostoru, proto je výhodně definovat čtyřrozměrný prostoročas či Minkowskiho prostor, v němž se počítá kvadrát prostorového intervalu záporně a kvadrát časového intervalu kladně (nebo opačně). Oznámení událost má význam bodu v čtyřrozměrném prostoručase. Označme si v soustavě K tu = Í2-Í1, 4 = (x2-x1)2+(y2-y1)2 + (z2-z1)2 s212 = c2t\2-i\2. (185) Zkoumejme, existuje-li taková soustava K', kde by se obě události odehrály v jednom bodě prostoru, tedy že platí í'l2 = 0. Máme tak podmínku s\2 = c2t\2 — £\2 = c2ť2l2 > 0,; takový interval se nazývá časupodobný. Naopak požadavek na to, aby existovala soustava, ve které obě události nastanou současně (ť12 = 0), vede k podmínce s22 = c2t\2 — í\2 = —£'12 < 0,; interval se pak nazývá prostorupodobný. V soustavě, která se pohybuje s daným hmotným bodem (£'12 = 0), můžeme tedy definovat vlastní čas jako 1 rs2 r*2 ( v2\^ t-ť> = -cL ds = l i1-?)dí' (186) V případě konstantní rychlosti v dostaneme jednoduchý vztah mezi parametrem s trajektorie tělesa a časovou souřadnicí t, S2-s1 = cdl- — (t2-t1). (187) 9.3 Lorentzova transformace Soustava K se pohybuje vůči inerciální soustavě K' rychlostí v podél osy x. Z elementárních úvah je zřejmé, že čtverec intervalu s2 = c2t2 — x2 se nezmění při transformaci ct = x' sinh-ŕ/> + cť cosh-ŕ/>, x = x' cosh-ŕ/> + cť sinh-ŕ/>, (188) 27 podobně jako se nezmění čtverec vzdálenosti l2 x y2 při transformaci x = x cos ip + y sin = -u/c a vztah (188) můžeme zapsat jako Lorentzovu transformaci (190) Vždy jsou uváděny dva klasické příklady na použití vztahu (190). (a) V soustavě K je podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnice xi, x2. Vzdálenost (klidová) rysek je tedy Ax0 = x2 — x\. Vzdálenost v soustavě K' (souřadnice jsou určovány ve stejném čase t[ = ť2) je Ax = AxqJI — \. Mluvíme o kontrakci délky. (b) V soustavě K' se v časech t[ a ť2 odehrají dvě události v jediném místě x[ = x'2, y[ = y'2, z[ = z'2 (interval mezi událostmi je tedy Aío = ť2 —1[). V soustavě K je interval mezi těmito událostmi At = t2 —1\ = At0 / Jl — ^ . Mluvíme pak o dilataci času. Vztah (190) IIlŮZGIIlG ZcipSclt i v diferenciálním tvaru cdť + ^dx' cdt =-c-- dx' + vdť dx = — , dy = dy , dz = dz . (191) Pro transformaci složek vektoru rychlosti (w = dx/dt, w' = dx'/dť) dostaneme z (191) vztah wL + v W,lt W, (192) Sledujeme-li šíření světelného paprsku v rovině (wx = ccos-$, wy = csiwů, wz = 0 resp. w'x = c cos ď, w'y = c sin ď, w'z = 0), dostaneme vztah (aberace světla) sin-ŕ? cos ů' sin ů'. (193) Pro «/cC 1 položíme ů = ů' — Aů a porovnáním nejnižšího členu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle uváděný vztah Aů = - sinů'. c (194) 28 9.4 Čtyřvektory, čtyřtenzory Nejprve definujeme podstatné tenzory. Metrický tenzor v Minkowskiho prostoru a jednotkový tenzor jsou 9ik = 9 ( 1 0 0 0 \ 0-10 0 0 0-10 V o o o -i y ^ 1 0 0 0 ^ 0 10 0 0 0 10 V o o o i y (195) Qik se nazývá kovariantní metrika, inverzní metrika g%k se nazývá kontravariantní. Kon-travariantní a kovariantní úplně antisymetrický tenzor 4. řádu jsou definovány pomocí vztahů etHm (e0123 = l), eMm (e0123 = -1). (196) Ctyřvektor souřadnic události (kontravariantní a kovariantní) zapisujeme jako xL = (x°, x1, x2, x3) = (ct,x), Xi = (xo,Xi,X2,Xs) = (ct,—x). (197) Metrika nám udává invariantní prostoročasovou „délku" vektoru x% s2 = 9ík x1 xk = glk Xi xk = x1 Xi = c2t2 - (x2 + y2 + z2). (198) Přitom platí Xi=gikxk, x^g^Xk (199) (zvednutí a spuštění indexů = transformace mezi kontravariantními a kovariantními indexy). V čtyřrozměrném zápisu můžeme Lorentzovu transformaci (ve směru x) (190) psát ve tvaru (200) xi = K\ x'k s Lorentzovou maticí A* 7 f7 0 M f7 7 0 0 0 0 1 0 v 0 0 0 i y kde 7 je běžné zkrácení 7 := (201) (202) 9.5 Čtyřrychlost a čtyřzrychlení Definujeme ctyřvektor rychlosti přirozeným způsobem jako derivaci čtyřvektoru událostí, ze kterých se skládá světočára (čtyřrozměrná trajektorie) tělesa, podle parametru s (= c krát vlastní čas) u dxl ds d(ct) dx dť ds ' dŕ ds u 1-K cJi-K zrut = 1. (203) 29 ■u* je tedy tečným vektorem světočáry. Obdobně čtyřvektor zrychlení duL d2x% ds ds2 ul a,t = 0. (204) Podívejme se na relativistický popis pohybu s konstantním zrychlením. V souřadné soustavě, kde rychlost částice je momentálně nulová (v = 0), máme *4 = (1,0,0,0), <4= (o,^,0,o), (205) kde a je obyčejné zrychlení. V souřadné soustavě pohybující se rychlostí v ve směru x je rychlost a zrychlení l v \ ( —— — ul = I -p=—, . :,0,0 , ď =\—c3dt 9,-&-9,0,0 I. (206) 1 \ c Po malé úpravě (z rovnosti ) dostáváme d / v i _2l a. (207) S počátečními podmínkami v0 = 0, x0 = 0 dostáváme řešení pro konstantní zrychlení at c- (Ji + ía-í)2 9.6 Relativistický impuls Jak v nerelativistické mechanice, tak existuje i ve speciální teorii relativity princip nejmenšího účinku. Jako invariantní a jednoduchý účinek bodové částice se nabízí integrál délky podél světočáry. Z důvodu dimenze a abychom v nerelativistické limitě dostali pro účinek známý nerelativistický výraz, musíme konstantu úměrnost zvolit rovnu —mc, tedy S = -mc jb ds = -mc2 jí*" ^1 - V— dt. (209) Lagrangeova funkce a impuls jsou 0 v2 _ dL m v , iŕ=äš=7ŤŤf (210) S volbou faktoru —mc dostaneme v přiblížení « Ô L Tíl v —> —* L = —mc2\l 1--- + qA ■ v — q(f), P = — = - +qA = p + qA, (21* hamiltonova funkce je m c2 H = P ■ v — L = . +q(/)= \Jirí2c4 + c2(P - qA)2 + q. (219) '1 - % Z vektorové analýzy budeme potřebovat identitu V(a-S) = (a-V)ô+ (ô-V)a + 6x (V x a) + ax (V x ô) . (220) 31 Je pak VL = gV (A ■ v - gV0 = q [v -V) A + qv x [V x A) - gV0 Lagrangeova rovnice je tedy dp -JĹ = q(E + vxB kde jsme označili E = -V = ---r^—v, Ä=™ / ^. (243) 47t60 Ä (l _ Jg) ' 47TjR(l_g) Výsledek (243) je přirozeně stejný jako (165) a (166). Při výpočtu polí 3ä E = -V0 - —, B = V x A (244) 34 budeme potřebovat následující triky pro výpočet parciálních derivací: Derivováním vztahu (238) podle t dostáváme dR _ dR dť ~ďt ~ ~ďť~ďt R-vdť ~R~~ďi cl dtr ~ďt dť dt i _ ar 1 cR Obdobně derivováním vztahu (238) podle x dostáváme i /x dR _± , R _± , R -cVť = VÄť = — Vť + - Vť =---- dť R cR (1 - v-R cR (245) (246) Výraz pro potenciály ve (244) pak budeme chápat jako funkce f(x,ť), a budeme počítat parciální derivace podle x při konstantním ť a podle ť při konstantním x. Porovnáváním diferenciálů df df df = V f • dx + -rf dr = Vf • df + dť J dt J dť přepíšeme (244) jako Ě <9ť dť dt 5 = V x A(x, ť) + Vť x v ' ; Pro intenzitu elektrického pole dostáváme pak 'l - 2 47rer n dť n x \ \n x w R2 1 c2i? (1 - zatímco pro indukci magnetického pole B = - n x E = - C 47T 1-M (tf x n) R2 1 3--h n x n x I I n — -c ] x w cR 1 (24í (249) (250) Označili jsme jednotkový vektor n = f?/f? a zrychlení w = dv/dť. Limitní případy pro v/c —► 0 jsou E en Ane^R2 B efi0(v x n) AnR2 (251) 11.2 Intenzita záření Poyntingův vektor (energie, procházející jednotkovou plochou za jednotku času, dimenze [Jm_2s-1]) je Š = —Ě x B = e0cE2n (252) Po 35 a intenzitu záření (tj. energie, vyzařovanou za sekundu do elementu prostorového úhlu, [Watt]) spočteme tedy jako dl = lim S-ňfířdSl. (253) Po dosazení z (252) a (249) 2(ň ■ w)(v ■ w) w2 (^-i)(n-wf dl e2 167r2e0c3 g l -y v-n \ I i v-n \ m v-n díl (254) Pro v je —► 0 dostáváme s označením n-w = w cos £ pro celkovou vyzařovanou intenzitu G2W2 ľ^n ľn G2 W2 1=^2 3 / d^/ d£sin£(l-cos20 = 7-š- (255) V klidové soustavě částice je tedy (s označením J = dE/dt) e2w2 • dxl , • du% í w\ , d£=6^dí' -, = ďľ = (1'°»' l"=ďľ=(°vj- <256> Relativisticky invariantní výraz (tj. diferenciál čtyřvektoru impulzu) vytvořený z čtyř-vektorů rychlosti a zrychlení, který v klidové soustavě přejde na výrazy ze vztahu (256), je pak i (E \ { e2 dukduk i e2 duk duk ■ p*= -,p , áP=—a—-r-ráx=-a—-^^ruás- 257 V c / bne0c ds ds bne0c ds ds V laboratorní soustavě tedy máme pro celkovou vyzařovanou intenzitu výraz 32 w2 - (w x f) 1 rl (258) 3 Zde jsme potřebovali vyjádření čtyřvektoru rychlosti i zrychlení v laboratorní soustavě. Abychom nemuseli při výpočtu čtyřvektoru zrychlení užit obecné Lorentzovy transformace, vypočteme uf derivováním známého tvaru u% = potom w=\—,-72 >—?-2t + ^-t2 • 259 ' c3 (l _ vl)2 C2(l - " N ' ' ,X ' V homogenním magnetickém poli se nabitá částice pohybuje rychlostí v po kružnici poloměru R, její zrychlení w = v2/R je kolmé k rychlosti. Dosazením do vztahu (258) e2c (JLYn-^íJL) (26o) 67reoC3 j^2 ^ _ ^ 67reo-R2 \mcj QneoR2 \mc V posledním výrazu ve (260) jsme použili aproximace vysokých energií, kde pro kinetickou energii platí T = \/p2c2 + m2c4 — mc2 « pc. Z tohoto výrazu je také zřejmé, že 36 synchrotronové záření je omezujícím faktorem při urychlování lehkých částic (elektronů a positronů). Pro normovací hodnotu Rq 0, 5 km můžeme psát I « (Ro/RfiT/mc^eVs-1. Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku rovnoběžné, dostáváme (n • v = vcosů, rychlost podél osy z) pro úhlové rozložení záření výraz dl e2w2 sin2 ů 167r2e0c3 (1 _ ,CQS^ ■ da (261) Pro hodnoty v/c —► 1 má úhlové rozložení velmi úzké, ale „dvouhrbé" maximum kolem ů = 0. Jsou-li rychlost a zrychlení v určitém okamžiku navzájem kolmé, dostáváme (n ■ v = v cos ů, n • w = w cos p sin ů, rychlost podél osy z a zrychlení podél osy x) pro úhlové rozložení dl e2w2 16n2eoC3 sin2 ů cos2 íp 1 - ^COSÍ? c 1 - '^COfiŮ c da (262) 12 Maxwellovy rovnice v čtyřrozměrné formulaci 12.1 Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnice kontinuity Definujeme čtyřvektor proudu (pro částici: náboj krát čtyřrychlost) dxl (cp,pv) = (cp,j). Náboj, který ubude v nějakém objemu, můžeme zapsat dvojím způsobem d dt pdV = f ]■ ndS. S pomocí Gaufiovy věty pak z (264) plyne 'v.f+|W = o, (263) (264) (265) tedy (objem je libovolný) rovnice kontinuity _± _ dp df V • f + — = — = 0. J dt dx* (266) 12.2 Homogenní Maxwellovy rovnice Z vyjádření tensoru elektromagnetického pole pomocí potenciálu snadno odvodíme platnost vztahu OF,;, dFr kl dFu dxl dxl dxk 0. (267) 37 Na levé straně je úplně antisymetrický tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnice. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis duálního (pseudo)vektoru 2 dxk dxk (265 Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém charakteru magnetického pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon V -B = 0, ^ pí dB (269) 12.3 Nehomogenní Maxwellovy rovnice Čtyřrozměrný zápis nehomogenních Maxwellových rovnic, obsahujících hustotu náboje a proudu, je q pík dxk ~PoJ ■ (270) Nultá komponenta je rovnice pro divergenci intenzity elektrického pole (Gaufiova věta elektrostatiky), zbývající tři pro rotaci magnetického pole (Ampěreův zákon) _i p - - 1 dE e0 c2 ot (271) 12.4 Tensor energie-impulzu Z hustoty energie z Poyntingova vektoru W = \ (e0Ě2 + — B2 2 V , S = —E x B Po a z Maxwellova tensoru napětí (hustota impulzu elektomagnetického pole) 1 = ÍQEaE/3 H--BaBp — W5al3 Po (272) (273) (274) elektromagnetického pole (ve vakuu) můžeme sestavit čtyřrozměrný tensor energie-impulsu, w ±s, ß \Sa — 0. (285) 39 13 Elektromagnetické vlny 13.1 Vlnová rovnice Vezmeme nehomogenní Maxwellovy rovnic ve vakuu (p = 0, j = 0) a dosadíme vyjádření pole pomocí potenciálů dxk ' y dxi dxl) ' .. d2Ak i,? d2Ai gt] —=--g -= 0. dxi dxk dxk dxl Lorenzova kalibrační podmínka (123) nabývá formu čtyřdivergence dAk (286) dxk a zjednoduší (286) na vlnovu rovnici d2 A{ 0 (287) Pomocí ďAlembertova operátoru ŕ Ú% = °- (288) □ = A-i^ (289) máme pak ve třírozměrném zápisu \^ + V-A=0, 00 = 0, UÄ= 0. (290) c2 ot Vlnové rovnice, spolu s Lorenzovou kalibrační podmínkou, jsou ekvivalentní Maxwell-ovým rovnicím pro volné elektromagnetické pole. Konsistence kalibračních podmínek s rovnicemi pole se dokáže takto: 1) Zvolíme Lorenzovu kalibraci dkAk = 0 na počáteční nadploše t = 0. 2) Řešíme rovnici D Ak = 0. 3) Protože Ak je řešení vlnové rovnice, platí ^ dkAk = Ä() + V A = AA() + V A = V ( VA() + A ) = -VE = 0. d — Okŕ\ = ^0 "I" V -rl = ^A^lO -|- V ^1 = V IV S±q ot dkAk = 0 a ^ dkAk = 0 dt d pro t = 0. 4) Když Ak je řešení vlnové rovnice, pak je dkAk také řešení: UdkAk = dkU Ak = 0. 5) Z toho vyplývá, že dkAk = 0 všude. 40 13.2 Rovinná monochromatická vlna Řešení hledáme ve tvaru rovinné vlny, tedy konstantní čtyřvektor násobený komplexním fázovým faktorem A* = Re{ať exp^r^')}, k,t k' = 0, h a' = 0. (291) Poslední vztah ve (291) je dán Lorenzovou kalibrační podmínkou. Vlnový čtyřvektor zapisujeme jako k%=^-,kj, k = ~ň' n=l. (292) Velmi jednoduše popíšeme pomocí charakteristik rovinné monochromatické vlny Dop-plerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě Kq. Soustava Kq se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K rychlostí v. Ať je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla a. Potom platí _ k1 _uJM_ u (0) ~~ l\ _ si ' (0) ~ c ' c: ,i k1 -^k° uj(0) to k(Qj = —, 2 , /c^q-) = —^ cosqí(o), k = — cos a. (293) r-2 c a odtud i u2 " = "(0) -iv (294) 1 — - cos a c Pro rychlosti malé ve srovnání s rychlostí světla máme v lv 2 uú cj(o) 1 H— cos a H---- cos 2a . (295) v c '2 c2 Tensor energie-impulsu je r2 1 Tífc = — W k'kk, W é a* + Re {ýa,-, exp (2ífy xP^j } . (296) cj2 2/xq Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty (237) jsou rovny nule. Se speciální volbou kalibrace (spojené ovšem s jednou určitou inerciální souřadnou soustavou) máme pro rovinnou vlnu ve směru x A1 = (0, A), A = ay cos{ut — kx + ot)ey + az sin(c dÄ dÄ^ -> -> -> -> -> -> -> E = -— = - exp(ik -x), B = V x A = iJ2k x Ak exp(ik ■ x). (307) k k Celková energie pole je 1 ľ ( -2 1 -2\ V^í dÄr dÄ*r 1 ,^ —» \ / —» (308) Jednoduchou úpravou (využití kalibrační podmínky) přepíšeme výraz (308) na £ = ^£fé'^+^Y4), <*= dQ Pg = -iu^^/eôV (a^exp(-iukt) - a| exp(iwfcŕ)) (314) dŕ V těchto proměnných máme energii vyjádřenou jako energii souboru harmonických oscilátorů £ = E% % = \{Pi+<»l$í)- (315) 2 43 14 Rozptyl záření volnými náboji 14.1 Thomsonův vzorec Zavedeme pojem účinného průřezu. Ať dl značí intenzitu záření, tj. střední hodnotu energie vyzařované soustavou za jednotku času do elementu prostorového úhlu díl a S je střední hodnota Poyntingova vektoru (střední hodnota toku energie) dopadajícího záření. Potom je diferenciální účinný průřez (účinný průřez rozptylu do elementu prostorového úhlu díl) veličina rozměru elementu plochy dl , . da = (316) Uvažujme ted' rozptyl elektromagnetické vlny jedním jednotkovým volným nábojem. Budeme předpokládat, že rychlost získaná nábojem bude malá a že vlnová délka je mnohem větší než amplituda vyvolaných kmitů náboje okolo původní polohy (kam umístíme počátek souřadnic), tedy můžeme psát m—— = eĚo cos (k ■ x — ut + a) « cĚq cosíut — a). (317) dtz v ' Pro intenzitu dipólového záření kmitajícího náboje máme podle (153) ve směru ň 4 4 dl = _ 26 2 AĚQ x n|2cos2(^t - a) díl = qo 6 E20 sm2ůdQ (318) 167tze0mzcó 62'KzeQmzci a pro střední hodnotu Poyntingova vektoru dopadající vlny 1 S = ce0 Eq cos2(ujt — a) = — ce0 E%, (319) takže pro diferenciální účinný průřez je da=(----] sin2^da (320) ^4^60 mcz ) Celkový účinný průřez je pak dán Thomsonovým vzorcem 8tt / e2 \ 8 9 , . a = ir\l-2 =o^re, 321 3 \ 47Te0mcz I 3 kde re je klasický poloměr elektronu. 14.2 Modifikace Thomsonova vzorce Uvažujme nyní nikoliv volný náboj, ale tlumený oscilátor, tedy 7——h uj0 x = — Eq cos ut. (322) dŕ2 dt u m 44 Pro dipólový moment p = ex odsud dostáváme _ e2 (lü^-lü2) cosLüt + jiüsmut - P =--y~2-2^-~2- h°- (Ó2Ó> Celkový účinný průřez je v tomto případě Š7T 2 üü4 o = —ri —2- . (324) 3 (íOq - j2)2 + 72w2 15 Index lomu Definujeme polarizovatelnost a(uS) jako konstantu úměrnosti ve vztahu mezi (lokálním) elektrickým polem E\oc a dipólovým momentem p. Vyjdeme z komplexního zápisu (322) — + 7— + uj0 x = — Eloc = —E0 exp(-iut). (325) atz at m m Potom e2 p = e0a(uj)Eioc, a(u) =--5-:--. (326) e0m üüq — vy u — uz Polarizace je pak P = N p. Musíme ovšem uvážit, jaké pole působí na náboj. Připomeňme z elektrostatiky, že je-li v dielektriku s homogenním polem dutina, je lokální pole rovno Ěloc = Ě, Ěloc = Ě + -P, Ěloc = Ě + ^-P, (327) eo 3e0 podle toho, jde-li o štěrbinu podél nebo napříč pole nebo o kulovou dutinu. (V případě štěrbiny napříč pole máme E\oc = ^D.) Pro úplnost poznamenejme, že pro magnetické pole máme v podobné situaci Bloc = B-M, Bloc = B, Bloc = B-^M. (328) Pro dielektrika uvažujeme o vázaných nábojích uvnitř kulové dutiny, můžeme tedy psát P = e0 NaĚloc = e0Na(Ě+-^-Py (329) tak že Na P =-,-e0 E. 330 1 - § Na ° K J Index lomu dostaneme z relace o D P . , (za velmi častého předpokladu p(uS) = po): Na 45 Obvyklá forma tohoto vztahu je (Clausius - Mosotti) n2 - 1 3 —-= Na. (333) n2 + 2 v ; Ve vodiči uvažujeme o téměř volných elektronech (nevázaných k atomu, tedy c^o = 0) a dále máme pro konstantu 7 (ze dvou různých vyjádření proudu a zápisu změny impulsu za dobu mezi srážkami) Ne2 j = aE, j = NeVd, mvďy = eE =>• 7 =-. (334) m a (vd je zprůměrovaná rychlost elektronů - drift.) Také lokální pole je rovno vnějšímu, opět díky neustálému pohybu téměř volných elektronů. Odtud máme pro index lomu ujI „Ne2 = 1 " TITTT^. < = —■ (335) ujp je tzv. plasmová frekvence. uj2 + íuj uj2 ^ ' p m en P O" J V plasmatu je 7 zanedbatelné, t. zn. e0/a —► 0, a kvadrát indexu lomu je uj2 n2 = 1 - (336) uj2 Když > ujp, je n reálné a plasma propustí e.m. vlny, když uj < ujp, je n imaginárni, což znamená, že plasma odrazuje vlny. Krátké a dlouhé radiové vlny se odrazují od ionosféry a vrátí se k zemi, ultrakrátké propagují do prostoru. Kovy jsou průhledné pro ultrafialové světlo. Při vstupu vesmírních lodí do atmosféry se zahřívá vyduch, tím se zvyšuje počet iontů, t. j. plasmová frekvence v okolí, a komunikace je přechodně přerušena. 46