1
J. Humlíček FKL II
7. Příměsové stavy - appendix pro Si:P
Rozbor vlivu symetrie krystalového pole na donorové stavy grupa (Td)
Kohn-Luttinger, 1955
2
Výsledek pro degeneraci nejnižších stavů:
3
Schéma energiových hladin a výsledky variačního výpočtu:
4
Podrobný popis výpočtů
6 ekvivalentních minim vodivostního pásu ve směru  v Brillouinově zóně;
stavové vektory elektronu v nich označíme symboly:
 
 
 
pro minimum ve směru 100 ,
010 ,
001 ,
100 ,
x
y
z
x
y
  
010 ,
001 .z
  
  
Umístění donorového atomu ve středu pravidelného čtyřstěnu je naznačeno v následujícím obrázku. Grupou symetrie je Td (řádu 24) s třídami
E: identita,
8C3: rotace kolem diagonál (čárkovaně),
3C2: rotace kolem x,y,z,
6S4: rotace kolem x,y,z o ±/2, pak inverze (6IC4),
6d: zrcadlení (diagonální roviny).
Pravidelný čtyřstěn s vrcholy abcd obsazenými atomy Si, ve středu O je donorový atom.
5
Aplikace operací symetrie Td v šestirozměrném prostoru stavových vektorů
Tři operace C2 (příspěvek do charakteru je 2 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
2 2
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
,
0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
         
         
         
         
                    
         
         
          
         
         
x y
x x x x x
y y y y y
z z z z z
C C
x x x x x
y y y y y
z z z z z
2
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
,
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
     
        
        
        
                 
       
       
        
        
     
z
x x x
y y y
z z z
C
x x x
y y y
z z z
.
 
 
 
 
 
  
  
  
   
 
 
x
y
z
x
y
z
Šest operací d (příspěvek do charakteru je 2 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
1 2
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
,
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
dx dx
x x x x x
z y y z y
y z z y z
x x x x x
z y y z y
y z z y z
 
        
         
         
         
                    
         
         
          
         
        
1
1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
,
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
dy
x
y
z
x
y
z
z x
y y
x z
z x
y y
x z

  
   
   
   
       
   
   
    
   
  
   
   
   
   
    
   
   
   
   
    
   
2
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
, ,
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
dy
x z x x
y y y y
z x z z
x z x x
y y y y
z x z z
y
x

       
         
         
          
                     
          
          
             
         
       
1 2
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
,
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
dz dz
x x y x
y y x y
z z z z z
y x x y x
x y y x y
z z z z z
 
         
         
         
         
                    
         
         
          
         
         
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
.
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
x
y
z
x
y
z
 
   
   
   
       
   
   
    
   
 
6
Osm operací C3 (příspěvek do charakteru je 0 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
(rotace kolem Oc)
2
3 3
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
,
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
c c
z x x
x y y
y z z
C C
z x x
x y y
y z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









(rotace kolem Od)
2
3 3
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
,
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
d d
z x x
x y y
y z z
C C
z x x
x y y
y z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









(rotace kolem Oa)
2
3 3
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
,
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
a a
z x x
z y y
x z z
C C
y x x
x y y
y z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









(rotace kolem Ob)
2
3 3
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
,
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
b b
z x x
z y y
y z z
C C
y x x
x y y
x z z
     
       
       
       
                
       
       
         
       
     
,









Šest operací S4 (příspěvek do charakteru je 0 – je to počet vrcholů, které zůstávají na místě):
7
(rotace kolem x o /2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0
x
x x x
z y y
y z z
S
x x x
z y y
y z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
,
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem x o -/2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
x
x x x
z y y
y z z
S
x x x
z y y
y z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
,
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem y o /2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0
x
z x x
y y y
x z z
S
z x x
y y y
x z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
,
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem y o -/2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0
x
z x x
y y y
x z z
S
z x x
y y y
x z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0
,
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem z o /2, pak I)
8
4
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
z
y x x
x y y
z z z
S
y x x
x y y
z z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
,
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
(rotace kolem z o -/2, pak I)
4
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1
z
y x x
x y y
z z z
S
y x x
x y y
z z z

     
       
       
       
                
       
       
        
      
     
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
,
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
x
y
z
x
y
z
 
  
  
  
     
  
  
    
   
 
9
Rozklad 6-rozměrné reducibilní reprezentace:
R6 = A1 + E + T2.
E 8C3 3C2 6d 6S4
R6 6 0 2 2 0
R6 - A1 5 -1 1 1 -1
R6 - A1-E 3 0 -1 1 -1
T2 3 0 -1 1 -1
10
Prověříme, že stavové vektory z následujícího přehledu jsou bázemi odpovídajících
ireducibilních reprezentací grupy Td:
1
2
: ( + + + + )/ 6 ,
: ( + )/2 , ( + + 2 2 )/ 12 ,
: ( )/ 2 , ( )/ 2 , ( )/ 2 .

    
  
A x x y y z z
E x x y y x x y y z z
T x x y y z z
A1 triviální.
E:
Tři operace C2:
2 2 2, , ,
           
           
           
           
             
           
           
           
           
           
           
x y z
x x x x x x
y y y y y y
z z z z z z
C C C
x x x x x x
y y y y y y
z z z z z z
tedy
2
1 0
,
0 12 2 2 2 2 2
               
                                
x
x x y y x x y y x x y y
C
x x y y z z x x y y z z x x y y z z
2
1 0
,
0 12 2 2 2 2 2
               
                                
y
x x y y x x y y x x y y
C
x x y y z z x x y y z z x x y y z z
11
2
1 0
,
0 12 2 2 2 2 2
               
                                
z
x x y y x x y y x x y y
C
x x y y z z x x y y z z x x y y z z
Šest operací d:
1 2 1, , ,  
           
           
           
           
             
           
           
           
           
           
           
dx dx dy
x x x x z x z
z y z y y y y
y z y z x z x
x x x x z x z
z y z y y y y
y z y z x z
2 1 2, , .  
           
           
           
           
             
           
           
           
           
           
           
dy dz dz
x y x y x
y x y x y
z z z z z
x y x y x
y x y x y
x z z z z z
tedy
1
1 1
2 2( 2 2 )/ 3 ( 2 2 )/ 3
1/ 2 3 / 2 1
,
2 ( 2 2 )/ 31/ 2 3 1/ 2

         
   
               
     
   
          
dx
x x z z x x y y
x x z z y y x x y y z z
x x y y
x x y y z z
atd.
12
Experimentální přiřazení infračervené absorpce přechodům mezi donorovými stavů, obsahuje také snížení symetrie jednoosým tlakem:
13
14
Infračervená absorpce od nízké do vysoké teploty, postupná ionizace příměsových stavů, nakonec převládne obsazení vodivostního
kontinua (měření UFKL 2008, FTIR Bruker IFS66, heliový kryostat, vzorky OnSemi Rožnov, zpráva LDDA):
Reálná část vodivosti spočtená z transmisního spektra Si:P (5.59E16 cm-3
) při různých
teplotách.
0 200 400
0.0
0.5
1.0
1.5
1s(A1
)->cb
->2p+/-
1s(A1
)->2p0
->2p+/-
1s(T2
)
1s(E)
->2p0
1s(T2
)
15K
25
45
75
TransN7-Sig1TD
200
65
300K
100
WAVENUMBER (cm
-1
)
Si:P 7.87 
-1
cm
-1
5.59x10
16
cm
-3
1
(
-1
cm
-1
)
1s(E)
15
Nejnižší vázaný stav akceptoru (v meV) porovnaný s výsledkem výpočtu se sférickou
symetrií.
16
Spočtené a změřené mělké akceptorové hladiny v Si.