POJISTNÁ MATEMATIKAPRACOVNÍ MATERIÁL
(volně zpracováno podle knihy T.Cipra - Pojistná matematika v praxi, edice HZ, Praha 1994)
OBSAH
VZORCE
DEKREMENTNÍ ŘÁD VYMÍRÁNÍ POPULACE
- Základem, na kterém buduje pojišťovna v pojištění osob své výpočty, je dekrementní řád vymírání populace.
- náhodným jevem, který se pojišťuje je úmrtí nebo dožití pojištěnce.
- Výpočty jsou založeny na určitém modelu platném pro dostatečně velké homogenní soubory osob. Tento model kvantitativně vyjadřuje skutečnost, že čím je člověk starší, tím je blíže smrti.
- Tedy s rostoucím věkem
se zvětšuje úmrtnost.
- Výjimku tvoří tzv. kojenecká úmrtnost.
Pro účely životního pojištění stačí pracovat s průměrnými hodnotami, neboť při velkém počtu pojištěných životů se odchylky od těchto průměrných hodnot navzájem vyrovnají - uplatňuje se zde tzv. zákon velkých čísel.
Tyto průměrné hodnoty lze získat pomocí demografických metod pozorováním rozsáhlých populačních souborů obyvatelstva, nejčastěji se průměrné hodnoty udávají ve tvaru posloupnosti :
lo, l1, ...lx, ..., lw (1)
kde lx je počet osob ve věku x, které zůstaly naživu ze souboru lo současně narozených jedinců.
Symbol l ( living, žijící) je používán mezinárodně, stejně jako w pro poslední uvažovanou věkovou kategorii (w pro podobnost se symbolema je to poslední písmeno v řecké abecedě). Do lw se zahrnují všechny žijící osoby ve věku w, ale i všechny žijící osoby vyššího věku, věk se však obvykle volí tak vysoko, že jeho dožití je jen velmi málo pravděpodobné.
Posloupnost (1) udává jakýsi řád ubývání populace jejím vymíráním, mluvíme o tzv. dekrementním řádu vymírání populace.
Vždy platí, přičemž v praxi jsou obvykle všechny nerovnosti ostré
.
Posloupnost (1) se obvykle udává tak, aby její první člen představoval nějakou "kulatou" hodnotu, která se pak nazývá kořen (či radis). V drtivé většině je roven 100 000 a proto by se mohlo zdát, že popisuje chování populace fiktivně a z toho důvodu lx nevystupují jako absolutní hodnoty, ale jako hodnoty relativní (ve vzájemných poměrech).PŘÍKLAD 1.1.
Jaké pojistné by měla jednorázově požadovat tuzemská životní pojišťovna od 20 letého muže, který s ní uzavírá pojištění na dožití věku 50 let s pojistnou částkou 300 000 Kč (tj. pojišťovna se zaváže jako protihodnotu přijatého pojistného mu při dožití věku 50 let vyplatit 300 000 Kč, pokud pojištěný zemře před dožitím tohoto věku, pak k výplatě nedojde) ? Přitom pojišťovna pracuje s pojistně-technickou úrokovou mírou 4% a řídí se stavem úmrtnosti v České republice v roce 1990.
ŘEŠENÍ :
Podle úmrtnostní tabulky mužů v ČR za rok 1990 (tab 4.2.1.) pro kořen lo = 100 000, pak
l20 = 97 926 a l50 = 88 934
Takže pojišťovna po uplynutí 30 let musí být připravena vyplatit částku
300 000.l50 = 300 000 . 88 934 = 26 680 200 000 Kč
Současná hodnota této částky je však ve skutečnosti nižší, což zjistíme jejím diskontováním pro
S = 26 680 200 000 a i = 0,04
Abychom získali hledané pojistné, je nutné tuto poslední částku rozdělit rovnoměrným dílem mezi l20 = 97 926 fiktivních 20letých pojištěnců, tj.
Pokud bychom počítali pojistné bez zahrnutí úmrtnosti, pak by pojistnou částku 300 000 Kč zaručilo pojistné ve výši 92 496 Kč.()
Tzn., že zahrnutí úmrtnosti do pojistných výpočtů snížilo původní pojistné 92 496 Kč na částku
84 002 Kč. V praxi však skutečné pojistné bude vyšší, neboť pojišťovna se musí zabezpečit proti případným nepříznivým výkyvům od průměrné hodnoty, musí pokrýt své správní náklady spojené s provozováním činnosti a měla by vykazovat zisk pro své akcionáře.POZNÁMKA
uvedené výpočty ve shora uvedeném příkladu je možno shrnout do jednoho vztahu
Z čehož je vidět, že hodnoty l20 a l50 při výpočtu opravdu vystupují jen ve svém poměru.
Poměrvyjadřuje vlastně pravděpodobnost s jakou se jedinci ve věku 20 let dožijí věku 50 let. Obvykle se pak mluví o pravděpodobnosti dožití a označuje se jako
TVAR A KONSTRUKCE ÚMRTNOSTNÍCH TABULEK
Úmrtnostní tabulka obvykle obsahuje kromě posloupnosti (1) řadu dalších, systematicky uspořádaných údajů.
Můžeme pracovat s tzv.
- běžnými (průřezovými) úmrtnostními tabulkami, které vycházejí z dekrementních zkušeností dané populace během krátkého časového období, obvykle nepřesahující 10 let a zároveň s tzv.
- úplnými úmrtnostními tabulkami, v nichž se používají věkové intervaly o délce jednoho roku (tj. intervaly skupin 0-1let, 1-2 let, ...)
Opakem jsou tzv.
- generační (kohortní) úmrtnostní tabulky, které představují opravdový dekrementní záznam o průběhu života konkrétní populace současně narozených jedinců a tzv.
- zkrácené úmrtnostní tabulky používající víceleté věkové skupiny (často 0-1 let, 1-5 let, 5-10 let, 10-15 let,...)
Ve sloupcích úmrtnostních tabulek se uvádějí následující údaje :
- Počet dožívajících se věku x značený jako lx je počet jedinců z lo, kteří se dožijí věku x
- Počet zemřelých ve věku x značený jako dx je počet jedinců z lo, kteří zemřeu ve věku x. Platí tedy
dx = lx - lx+1- Pravděpodobnost úmrtí ve věku x značená jako qx je pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x+1. Tedy
![]()
a
lx+1 = (1 - qx) . lx
někdy se v tabulce uvádí také pravděpodobnost dožití ve věku x značená
jako px, což je pravděpodobnost, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x+1. Zřejmě platí![]()
- Počet let prožitých osobami ve věku x značený jako Lx je celkový počet "člověkoroků", které ve věku x prožije celkem lx osob (až do věku x + 1). S výjimkou hodnoty Lo se používá aproximace (nahrazení střední hodnotou mezi lx a lx+1) :
![]()
- Počet zbylých let života osob ve věku x značený jako Tx je celkový počet "člověkoroků", které do konce svého života prožije celkem lx osob,tj.
![]()
- Střední délka života ve věku x značená jako
je průměrný počet let, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x. Tato hodnota se většinou počítá jako
![]()
- Moderní demografie pracuje ve spojitém čase a používá tzv. intenzitu úmrtnosti ve věku x značenou jako x a definovanou jako
,
odkud
a pro věkový interval (x,x+n) potom dostaneme![]()
- Pro úmrtnostní tabulky při respektování spojitosti času pak např. platí vztahy
![]()
- Podle způsobu výpočtu pravděpodobností qx se také obvykle liší jednotlivé metody konstrukce úmrtnostních tabulek. Obecně lze říci, že vypovídající schopnost úmrtnostní tabulky je tím reálnější, čím
- větší je použitelný demografický soubor,
- čím delší je uvažované časové období
- a čím bližší je k dnešku.
Běžně používané metody počítají qx podle vzorců :
kde
- Px je střední stav populace ve věku x za období, pro něž se tabulka konstruuje (např. střední stav mužů v ČR za rok 1990 v případě tab. 4.2.1.),
- Dx je počet úmrtí ve věku x za toto období a
- mx = Dx/Px je míra úmrtnosti ve věku x za toto období.
- Hodnota Dx/2 přidaná ve jmenovateli koriguje tu skutečnost, že hodnota Dx v čitateli je kumulativní údaj za celé uvažované období, zatímco střední stav populace Px ve jmenovateli přibližně odpovídá stavu populace v polovině tohoto období.
ÚMRTNOSTNÍ TABULKY V POJIŠTĚNÍ OSOB
ÚMRTNOST MUŽSKÉ A ŽENSKÉ POPULACE
- Mužská populace vykazuje prakticky ve všech věkových oblastech větší sklon k úmrtnosti (tj. větší pravděpodobnost qx) než ženská populace.
- Ve všech vyspělých zemích žijí ženy déle než muži.
V ČR je tento trend v posledních letech zvlášť markantní.
- Např. podle úmrtnostních tabulek z roku 1990 (viz. tab. 4.2.1. a 4.2.2.) je střední věk mužů 67,54 let, zatímco střední věk žen 76,01 let.
- Pravděpodobnost úmrtí qx je u mužů menší jen pro věk x = 2 a x = 3.
Tyto rozdíly musí životní pojišťovny zohlednit ve svých sazebnících. Přístupy k tomuto problému přitom mohou být různé :
- Pojišťovna počítá pojišťovací sazby odděleně pro muže a pro ženy tak, že používá zvlášť ženské a mužské úmrtnostní tabulky.
- Pojišťovna počítá sazby bez rozlišení pohlaví, tak že používá smíšené úmrtnostní tabulky nerozlišující pohlaví. Tento způsob si obvykle může dovolit jen pojišťovna s velkými kmeny pojištěnců.
- Pojišťovna počítá pojišťovací sazby pro muže s použitím mužských úmrtnostních tabulek a sazby pro ženy získá vhodným věkovým posunutím sazeb pro muže.
Pro rozlišení je v pojištění osob běžné používat
- pro věk mužů symbol x,
- zatímco pro věk žen symbol y
- (věk dětí symbolem z).
Další možné odlišení je podle různých kritérií, např. podle zdravotního stavu či potenciálního sklonu k určitým chorobám (např. pro kuřáky a nekuřáky) apod, na základě kterých se sestavují tzv. selekční úmrtnostní tabulky.
VYROVNÁVÁNÍ ÚMRTNOSTNÍCH TABULEK
Vyrovnávání úmrtnostních tabulek je záležitostí statistiky. Stručně si tedy naznačíme jak můžeme postupovat :
- Grafické vyrovnání vepisuje hladké křivky do grafů vypočtených hodnot qx obvykle s využitím grafického vybavení počítačů.
- Analytické vyrovnání odhaduje většinou pomocí statistické metody nejmenších čtverců pro vypočtené hodnoty qx parametry vhodné hladké křivky zadané analytickým vzorcem. Přitom je běžné,že pro celý věkový rozsah x = 0, 1,, ..., se použije několik různých křivek, které na sebe hladce navazují ve smyslu existence derivací příslušného řádu v místech spojů (tzv splinová metoda)
- Mechanické vyrovnávání patří vzhledem ke své numerické jednoduchosti k nejpoužívanějším vyrovnávacím postupům. Vyrovnaná hodnota pro daný věk x se získá zprůměrováním hodnot z vhodně voleného okolí věku x. Přitom se většinou jedná o vážený průměr, který přikládá průměrovaným hodnotám tím menší váhu, čím vzdálenější jsou od věku x, tj. od středu příslušného okolí. Váhy jsou obvykle symetrické kolem svého středu a jejich součet je vždy roven jedné.
VĚKOVÉ POSUNY JAKO BEZPEČNOSTNÍ PŘIRÁŽKA POJIŠŤOVNY
- Volba konkrétní úmrtnostní tabulky je pro každou pojišťovnu spojena s určitým rizikem.
- Pokud pojišťovna použije celostátní (případně krajovou) úmrtnostní tabulku pak musí počítat s rizikem, že úmrtnostní chování kmene pojištěnců bude do jisté míry odlišné v neprospěch pojišťovny.
- Pojistné smlouvy na dožití si sjednávají především relativně zdraví jedinci s perspektivou dlouhého života, pro něž jsou použité celostátní pravděpodobnosti únrtí qx příliš vysoké. Proto také penzijní pokladny vykazují nižší úmrtnost než je celostátní průměr.
- Na druhé straně pojistné smlouvy na úmrtí uzavírá taková část populace, pro něž by se mělo počítat s poněkud vyššími pravděpodobnostmi úmrtí.
- Riziko pojišťovny, které jsme právě popsali se nazývá rizikem selekce.
- Ale i v případě použití úmrtnostních tabulek založených na záznamech o úmrtnostním chování vlastních pojistných kmenů vzniká riziko, že např. použité úmrtnostní hodnoty přestanou být za určitou dobu aktuální. I když už dnes nehrozí náhlé změny v úmrtnosti způsobené epidemiemi, projevuje se vliv civilizačních chorob a zvyšuje se reálná možnost občanských a etnických nepokojů.
Na tyto skutečnosti reagují pojišťovny určitými bezpečnostními opatřeními.
- Nejúčinnější je použití nižší pojistně-technické úrokové míry než je skutečná nebo výhledová úroková míra na kapitálovém trhu.
- Dále velmi častým ochranným krokem je věkový posun používané úmrtnostní tabulky ve prospěch pojišťovny(např. pojistné smlouvy na úmrtí se nechávají úmrtnostní tabulky "zestárnout" o jeden rok, zatímco pojistné smlouvy na dožití se nechávají úmrtnostní tabulky "omládnout" o dva roky).
- Další možnost spočívá v použití selekčních úmrtnostních tabulek.
SELEKČNÍ ÚMRTNOSTNÍ TABULKY
Tyto úmrtnostní tabulky reagují na riziko selekce. a jsou dvojitě odstupňované :
- rozlišují nejen věk x,
- ale i dobu t uplynulou od počátku pojištění
(Pozn.: Předchozí tabulky odstupňované pouze podle věku x se někdy nazývají agregátní úmrtnostní tabulky.)
- Selekční tabulky používají symboly typu
a
, kde např. první z nich označuje pravděpodobnost úmrtí ve věku x + t, když od počátku uplynulo t let.
- Obvykle platí
.
- Vzhledem ke zmíněnému principu selekce se s rostoucím časovým odstupem od uzavření pojištění pravděpodobnosti úmrtí nejprve zvětšují, až po r letech se ustálí na konstantní úrovni. Hodnota r se nazývá doba selekce a po jejím uplynutí přechází selekční tabulka na tzv. ultimátní úmrtnostní tabulku.
- Zkušenosti ukazují, že doba selekce r v praxi nepřesahuje 10 let.
- Použití selekčních úmrtnostních tabulek přežívá v invalidním pojištění, kde na rozdíl od předchozího rizika selekce pro pojišťovnu naopak vyvstává riziko antiselekce s mnohem delší dobou antiselekce.
- Zmíněná antiselekce spočívá v tom, že úmrtnost invalidů závisí dost podstatně na době uplynulé od vstupu do invalidního stavu, přičemž v případě stejného věku je úmrtnost menší při větší časové vzdálenosti od vstupu do invalidního stavu.
- Důvodem této antiselekce je, že se s růstem délky invalidního stavu redukují jeho negativní účinky na úmrtnost.
KOMUTAČNÍ ČÍSLA
Pojistně- technické vzorce v pojištění osob kombinují údaje z úmrtnostních tabulek s úrokovým počtem.
Pro zjednodušení těchto vzorců se používají tzv. komutační čísla, které životní pojišťovny obvykle tabelují.
- Nejjednoduššími komutačními čísly jsou diskontovaný počet dožívajících se věku x
![]()
a diskontovaný počet zemřelých ve věku x,
kde lx a dx jsou hodnoty z příslušné úmrtnostní tabulky a.
- Hodnotu Dx lze interpretovat jako POČÁTEČNÍ HODNOTU částky, která je zapotřebí, aby bylo možné vyplatit 1 Kč každé z osob dožívajících se věku x, přičemž diskontování se provádí k okamžiku narození těchto osob.
- Hodnotu Cx lze interpretovat obdobně, přičemž o jedničku větší exponent x+1 je z toho důvodu, že počet zemřelých dx odpovídá až stavu na konci roku.
- Mezi uvedenými komutačními čísly platí vztah
,
protože.
- Pro výpočet komutačních čísel, ale i pro další pojistně-technické výpočty jsou velice výhodné programové produkty - tabulkové procesory (spreadsheets).
- Např. Lotus 1-2-3, Quattro Pro, MS Excel.
- V těchto programových produktech můžeme snadno generovat sloupce s komutačními čísly Dx až Rx.
2. VÝPOČET POJISTNÉHO V POJIŠTĚNÍ OSOB
VŠEOBECNÉ POJISTNÉ PODMÍNKY PRO POJIŠTĚNÍ OSOB
Při popisu jednotlivých produktů budeme vycházet ze zákonných norem a předpisů platných pro Českou republiku (zák.č. 185/1991 Sb., o pojištovnictví, ve znění č. 320/1993Sb. hlavně občanský zákoník č.40/1964 Sb. a všeobecné pojistné podmínky schvalované Ministerstvem financí ČR).
Všeobecné pojistné podmínky vztahující se ke konkrétní pojistné smlouvě musí pojišťovna podle zákona ke každé smlouvě přiložit.
Účastníky pojištění osob jsou:
- Pojistitel (většinou pojišťovna), který jako organizátor a provozovatel se v pojistné smlouvě (tzv. pojistce) zavazuje sjednané pojistné poskytovat v případě pojistné události (tj. události náhodného charakteru blíže označené ve smlouvě) pojistné plnění ve sjednaném rozsahu.
- Osoba (fyzická nebo právnická), která s pojistitelem uzavřela pojistnou smlouvu a má povinnost platit pojistné (pojistník).
- Pojištěný, na jehož život a zdraví bylo pojištění sjednáno (starší termín pojištěnec).
- Oprávněná osoba (fyzická nebo právnická), která má právo, aby jí bylo vyplaceno plnění podle pojistné smlouvy (někdy se používá termín obmyšlený).
Poslední tři subjekty může být jedna osoba, ale také to může být tři nebo více různých osob (např. osoba A uzavře pojištění pro případ smrti osoby B, kdy případné pojistné plnění se vyplácí několika pozůstalým osoby B).
Oprávněnými osobami jsou často pozůstalí pojištěného určení buď
- explicitně v pojistné smlouvě, nebo
- pořadím podle občanského zákoníku :
- manžel(ka) pojištěného,
- děti pojištěného,
- rodiče pojištěného,
- osoby, které žily s pojištěným po dobu nejméně jednoho roku před smrtí ve společné domácnosti
- dědici pojištěného.
Celkový součet podílů pojistného plnění vyplácených všem oprávněným osobám musí tvořit 100 %.
V rámci pojištění osob sjednává pojistitel
- pojištění pro případ smrti, kdy pojistnou událostí je smrt pojištěného,
- pojištění pro případ dožití, kdy pojistnou událostí je dožití se sjednaného věku pojištěným (nejdůležitějším typem je důchodové pojištění, kdy se důchod vyplácí jako opakované platby při dožívání stanovených období),
- pojištění pro případ smrti nebo dožití (tzv. smíšené pojištění), které je kombinací předchozích dvou případů (kromě toho je ještě možná kombinace s úrazovým pojištěním),
- úrazové pojištění, kdy pojistitel poskytuje plnění za smrt následkem úrazu, za trvalé následky úrazu a za dobu nezbytného léčení tělesného poškození způsobeného úrazem
Podle toho jak bylo dohodnuto pojistitel v případě vzniku pojistné události poskytne pojistné plnění buď jako:
- jednorázovou pojistnou částku ( tzv. kapitálové pojištění) nebo
- důchod, který navíc může být časově omezený nebo doživotní (tzv. důchodové pojištění).
- Přitom obvykle lze převést jeden typ pojistného plnění na druhý.
Výše pojistné částky nebo důchodu je ve smlouvě pevně stanovená (alespoň ve své minimální výši, neboť může být zvětšena o předem neznámý podíl na zisku pojišťovny).
Pojistné jsou platby, které je povinen pojistník uhrazovat pojistiteli. Přitom lze sjednat pojištění za
- jednorázové pojistné, které se zaplatí celé najednou při uzavření pojištění,
- běžné pojistné placené opakovaně vždy na začátku dohodnutých pojistných období (většinou měsíčně, čtvrletně, půlročně nebo ročně), a to obvykle ve splátkách ve stejné výši
Rozlišujeme
- nettopojistné vypočtené tak, aby v průměru pokrylo pojistné plnění pojišťovny,
- bruttopojistné vzniklé rozšířením nettopojistného tak, aby se pokryly správní náklady (provize pojišťovacích agentů a obchodních zástupců, inkasní náklady, administrativa spojená s udržováním pojištění a likvidací pojistných událostí aj.) a případně nepříznivé škodní výchylky a pojišťovna realizovala zisk.
Přestane-li pojistník platit z nejrůznějších důvodů pojistné, nemusí to znamenat zánik pojištění.
U některých pojistných druhů pojištění pokračuje, ale u něj dojde k redukci
- pojistné částky
- nebo důchodu
- nebo pojistné doby.
Řada pojišťoven zprošťuje pojistníka od placení pojistného, pokud mu byl během trvání pojišťění přiznán plný invalidní důchod ze sociálního pojištění (tzv. zproštění od placení pojistného neboli liberace), nebo nabízí pojištění s výhradou, kdy při předčasném ukončení se automaticky vrací podstatná část doposud zaplaceného pojistného.
Důležitým kritériem při volbě životní pojišťovny je výše a forma podílu na zisku, který pojišťovně plyne z investování jejích fondů na kapitálovém trhu vzhledem ke značnému rozdílu mezi kalkulovanou pojistně-technickou úrokovou mírou v pojistných smlouvách a úrokovou mírou dosahovanou investováním na kapitálovém trhu (rozdíl těchto úrokových sazeb může přesahovat 10 %).
Např. Česká pojišťovna a pojišťovna Investiční banky nabízí již při uzavření pojistné smlouvy nominální hodnotu prémie vyplacené jako podíl na zisku většinou formou procentuálního zvýšení pojistného plnění, nebo jiné pojišťovny (Nationale-Nederlanden) se omezují na určení procentuálního podílu úrokového výnosu z pojistné rezervy, který bude vyplacen jako podíl na zisku opět formou zvýšení pojistného plnění.
Neméně podstatným kritériem je to, jakým způsobem reaguje pojišťovna na inflaci.
Např. Česká pojišťovna provádí každoročně valorizaci podle hospodářských výsledků předchozího roku, zatímco Nationale-Nederlanden nabízí v závislosti na inflaci možnost zvyšování pojistné částky na základě dobrovolného zvyšování pojistného odpovídajícího meziroční míře inflace .Výši pojistného publikuje obvykle každá pojišťovna ve svém sazebníku. Pojistné obvykle závisí :
- na typu pojistného produktu,
- na pohlaví pojištěného,
- na vstupním věku pojištěného,
- na době trvání pojištění a
- na době a způsobu placení pojistného.
Co se týče vstupního věku pojištěného
- v ČR je zvykem stanovit jako rozdíl kalendářního roku počátku pojištění a kalendářního roku narození pojištěného.
- V zahraničí se však ke dni uzavření pojištění zjistí počet měsíců a dní uplynulých od posledních narozenin pojištěného:
- pokud je tato doba kratší než 6 měsíců, bere se jako vstupní věk pojištěného jeho věk při posledních narozeninách,
- v opačném případě se bere jako vstupní věk jaho věk při příštích narozeninách.
PŘÍKLAD 11.1.
Pojištěný narozený 17. prosince 1960 uzavřel smlouvu dne 2. dubna 1993. Jaký je jeho vstupní věk ?
ŘEŠENÍ:
podle druhého způsobu :
k 2. 4. 1993 je doba uplynulá od posledních narozenin 17.12.1992 kratší než 6 měsíců, takže vstupní věk je roven věku při posledních narozeninách tj. 1992 - 1960 = 32 let.
Doba trvání pojištění se nazývá pojistná doba a je buď
- předem smluvně omezená (tzv. dočasné pojištění, které se uzavírá na předem určenou dobu), nebo
- je bez takového omezení (tzv. trvalé pojištění).
Pojištění však může být ukončeno před uplynutím pojistné doby, a to pojistnou událostí nebo smrtí pojistníka.
Existují také pojištění s odkladem, kdy povinnost pojistného plnění je odložena o určitou čekací (karenční) dobu. Typickým příkladem je odložený důchod, který pojišťovna začne vyplácet, až když pojištěný dosáhne určitého věku.
Co se týče doby a způsobu placení pojistného, základní rozdíl spočívá mezi
- jednorázovým pojistným
- a běžným pojistným (v případě běžného pojistného se platí buď během celého trvání pojištění nebo jen kratší dobu (tzv. pojištění s omezenou dobou placení pojistného, např. při odloženém důchodu až od dosažení určitého věku,...).
Výše běžného pojistného je také často ovlivněna frekvencí jeho splátek, neboť področní (např. měsíční) splátky sice pojišťovně přinášejí určitý zisk vzhledem k področnímu úročení, ale na druhé straně pro ni znamenají značné administrativní zatížení a inkasní náklady. Proto pojišťovny sice publikují ve svých sazebnících měsíční pojistné, ale splátky placené předem na celá čtvrtletí, pololetí nebo roky poskytují určité slevy (např. ve výši 2%, 3% a 5%). Někdy se publikuje opačný postup přirážek za področnost.
Sazebník pojišťoven také odráží jisté limity :
- minimální a maximální věk pojištěného (Např. minimální věk u Nationale-Nederlanden je 15 let, u České pojišťovny 18 let.)
- minimální a maximální pojistná doba u dočasných pojištění (Pojistné doby jsou často násobky 5 let nebo jsou stanoveny tak, aby končily nějakým "kulatým" výročím, např. dožití se věku 60 let, velice častým omezením je, aby součet vstupního věku x a pojistné doby n nepřekročil předepsanou hodnotu např. x + n
85.)
- minimální a maximální pojistná částka nebo důchod se předepisují proto, že pojišťovny jsou na jedné straně zátěží pojistné smlouvy malých objemů a na druhé straně si pojišťovna nedovolí i při sebekvalitnějších zárukách uzavřít smlouvu s nepřirozeně velkým pojistným plněním (např. pojištění života na 1 miliardu Kč), navíc často povolují jen násobky určitých základních pojistných částek nebo důchodů (např. jako nejmenší je povolen půlnásobek a jako největší desetinásobek těchto hodnot
- minimální pojistné souvisí s minimální částkou, např. Česká pojišťovna v roce 1993 nepřipouštěla pojistné se splátkami menšími než 50 Kč, pokud se nejednalo o pojistné placené srážkou ze mzdy, u Nationele-Nederlanden byl tento dolní limit dokonce 500 Kč.
Často se v rámci jedné pojistné smlouvy pojišťuje několik rizik najednou. např. sdružené pojištění u Česk.pojišť. je sdružené pojištění pracujících SPP, které sdružuje pro případ smrti, dožití a úrazu. Navíc často umožňují sjednat různá připojištění, např. úrazové připojištění.
POČÁTEČNÍ HODNOTA POJIŠTĚNÍ - jednorázové nettopojistné
- V současné době v drtivé většině případů je výpočet počáteční hodnoty založen na hodnotě té částky, kterou bude muset pojišťovna vyplatit vzhledem k úmrtnostním tabulkám svým pojištěným, přičemž diskontování je podle přijaté pojistně-technické úrokové míry k okamžiku uzavření pojištění.
- Na rozdíl od oblasti financí, kdy je počáteční hodnota chápána deterministicky, se v pojišťovnictví uplatňuje náhodný prvek reprezentovaný pravděpodobnostmi úmrtí nebo dožití z úmrtnostní tabulky a mluví se o tzv. počáteční hodnotě pojištění.
Tato počáteční hodnota pojištění je zároveň jednorázovým nettopojistným (které je v praxi doplněno o správní náklady, případně bezpečnostní přirážku pojišťovny na bruttopojistné a případně rozpočteno do splátek jako běžné pojistné).
Výpočet pojistného v pojištění osob je založen na principu ekvivalence
- mezi počáteční hodnotou příslušného pojištění a
- počáteční hodnotou očekávaného pojistného.
Vraťme se nyní k příkladu, kde je úkolem stanovit jednorázové pojistné pro 20 letého muže tak, aby mu pojišťovna mohla vyplatit při dožití věku 50 let pojistnou částku 300 000 Kč.
Takže počáteční hodnota je rovna![]()
- První výraz vyjadřuje počáteční hodnotu potřebné částky pojistného plnění 300 000 . l50, která je diskontována k okamžiku uzavření pojištění (tj. o 30 let zpět) a přepočtena na jednoho
20 letého pojištěného v době uzavření pojištění.- Druhý ekvivalentní výraz vyjadřuje, že deterministická počáteční hodnota 300 000 . v30 musí být doplněna o náhodný prvek ve tvaru pravděpodobnosti dožití 30p20 z věku 20 do věku 50 let.
POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD DOŽITÍ
- Při tomto pojištění pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku, jestliže se osoba pojištěná ve věku x dožije konce sjednané pojistné doby n,
- zemře-li pojištěný před koncem sjednané pojistné doby, pojištění bez náhrady zanikne.
- Jednotková počáteční hodnota je
![]()
Jestliže konec pojištění je stanoven dožitím určitého "kulatého" věku, např. dožití věku 60 let, pak se zřejmě použije jednotková počáteční hodnota
.
PŘÍKLAD 11.2.
Jaká je jednotková počáteční hodnota pojištění 40 letého muže na dožití věku 60 let ?
ŘEŠENÍ
x = 40, n = 20 a komutační čísla z 4.3.7. je
![]()
tj. u každých 1 000 Kč pojistné částky připadá jednorázové nettopojistné ve výši 363,40 Kč.POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI
- Při tomto pojištění pojišťovna vyplatí (většinou pozůstalým pojištěného) sjednanou pojistnou částku na konci toho pojistného roku, v němž pojištěná osoba ve věku x zemře.
- Jednotková počáteční hodnota je
neboť jednotkové částky vyplacené osobám zemřelým během prvního roku pojištění dají celkovou částku dx diskontovanou k okamžiku uzavření pojištění jako dx.v, jednotkové částky vyplacené osobám zemřelým během druhého roku pojištění dají celkovou částku dx+1 diskontovanou k okamžiku uzavření pojištění jako dx+1.v2 atd.DOČASNÉ POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI
- omezuje trvání pojištění na sjednanou pojistnou dobu n,
- dožije-li se pojištění konce pojistné doby, pojištění bez náhrady zanikne ( pro odlišení se někdy užívá pojem tzv. trvalé pojištění pro případ smrti).
- Toto pojištění se poslední dobou užívá jako tzv. úvěrové pojištění, které obvykle uzavírá podnikatel v okamžiku, kdy mu nějaká banka poskytne časově omezený úvěr, pojištěovna většinou za jednorázové pojistné v případě smrti pojištěného během období, kdy má pojištěný dluh splatit přebírá odpovědnost za sjednaný úvěr.
- Pokud se pojistná částka rovná poskytnutému úvěru, jedná se o dočasné pojištění pro případ smrti (často se však pojistné plnění týká jen nesplaceného zbytku úvěru a pak se jedná o dočasné pojištění pro případ smrti s klesající pojistnou částkou).
- Jednotková počáteční hodota je
![]()
PŘÍKLAD 11.3.
Tab 5.2.1. obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč pojistné částky v dočasném pojištění pro případ smrti vypočtené pro pojistné doby n = 5,10,15,20 a 25 s omezením x+n
85 pomocí komutačních čísel z tab 4.3.7. pro x=40, n = 20
![]()
zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění jen 79,26 Kč.ODLOŽENÉ POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI
- odkládá povinost pojistného plnění v případě smrti pojištěného o příslušnou ČEKACÍ (KARENČNÍ) dobu k, tj. počínaje až věkem x+k osoby pojištěné ve věku x.
- Jednotková počáteční hodnota je
![]()
PŘÍKLAD 11.4.
Jaká je jednotková počáteční hodnota pojištění 40 letého muže pro případ smrti s odkladem o 5 let ?
ŘEŠENÍ
Pro x = 40, k = 5 a komutační čísla z tab 4.3.7
![]()
tj. na každých 1 000 Kč pojistné částky připadá jednorázové nettopojistné ve výši 316,39 Kč.ODLOŽENÉ DOČASNÉ POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI
- kombinuje předchozí dva případy.
- Jeho jednotková počáteční hodnota je
- Ekvivalentně se také používá symbol
.
SMÍŠENÉ POJIŠTĚNÍ
- Pojištění pro případ dožití i dočasné pojištění pro případ smrti mají ve svém klasickém tvaru z hlediska pojištěného tu nevýhodu, že připouštějí situaci, kdy pojištění může zaniknout bez náhrady pro pojištěného. Z toho důvodu se obě předchozí formy kombinují do tzv. smíšeného pojištění (pojištění pro případ smrti nebo dožití).
- Při tomto pojištění pojišťovna vyplatí (většinou pozůstalým pojištěného) sjednanou pojistnou částku na konci toho roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, přičemž nejpozději k výplatě této částky (většinou pojištěnému) dojde, dožije-li se pojištěný konce sjednané pojistné doby n.
- Jednotková počáteční hodnota je
![]()
- Smíšené pojištění patří v oblasti kapitálového pojištění osob k nejprodávanějším.
PŘÍKLAD 11.5.
Tab 5.2.2. obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč pojistné částky ve smíšeném pojištění vypočtené pro pojistné doby n = 5,10,...,45 s omezením x + n
85 pomocí komutačních čísel.
ŘEŠENÍ
např. pro x = 40, n = 20
![]()
zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění jen 475,68 Kč.POJIŠTĚNÍ DŮCHODU
- Na rozdíl od jistých důchodů ve financích je výplata životního důchodu vázána na život pojištěného a v případě jeho smrti výplaty jeho důchodu zpravidla končí.
- Z toho důvodu je pojištění důchodu podobné pojištění pro případ dožití až na to, že povinnost pojistného plnění pojišťovny se opakuje v periodických termínech.
- Při pojištění doživotního důchodu pojišťovna vyplácí (většinou ppjištěnému) důchod sjednané výše vždy na počátku pojistného roku, pokud osoba pojištěná ve věku x žije.
- Jednotková počáteční hodnota je
![]()
- Stejně jako u jistých důchodů se i zde rozlišují předlhůtní (resp. polhůtní) životní důchody s výplatami vždy na počátku (resp. na konci) pojistného roku.
- Zatímco předchozí vztah se týká předlhůtního doživotního důchodu, má jednotková počáteční hodnota polhůtního doživotního důchodu tvar
.
PŘÍKLAD 11.6.
Tab. 5.2.3. obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč ročního doživotního důchodu vypočtené pomocí komutačních čísel z tab. 4.3.7.
Např. pro x = 40![]()
zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění již 18 586,44 Kč.V pojištění založených na dožití včetně důchodového pojištění platí muž zpravidla méně než stejně stará žena, zatímco v pojištěních založených na úmrtí je tomu zpravidla naopak.
POJIŠTĚNÍ DOČASNÉHO DŮCHODU
- omezuje trvání pojištění na sjednanou pojistnou dobu n.
- Jednotková počáteční hodnota v případě předlhůtného důchodu je
![]()
- a v případě polhůtného důchodu
![]()
Pozn.: Jednotkové počáteční hodnoty pojištění dočasného důchodu se někdy tabelují stejně jako komutační čísla.
PŘÍKLAD 11.7.
Tab. 5.2.4. obsahuje hodnoty jednotkové počáteční hodnoty pojištění dočasného důchodu vypočtené pro n = 5,10,...,45 pomocí komutačních čísel. Např. pro x = 40, n = 20
Speciálně tzn., že 40 letý muž zaplatí za roční důchod ve výši 1000 Kč vyplácený po dobu 20 let jednorázové nettopojistné 13 318,27 Kč.POJIŠTĚNÍ ODLOŽENÉHO DOŽIVOTNÍHO DŮCHODU
- odkládá první výplatu důchodu o k let, tj. počínaje až věkem x+k osoby pojištěné ve věku x.
- V praxi je běžný odklad důchodu k nějakému "kulatému" věku, např. k věku 60 let, od něhož také zpravidla začíná vyplácení starobního důchodu ze sociálního pojištění.
- Jednotková počáteční hodnota je
![]()
V případě odkladu např. k věku 60 let se zřejmě použije hodnota
.
PŘÍKLAD 11.8.
Tab. 5.2.5 obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč ročního doživotního důchodu odloženého k věku 55,60 nebo 65 let vypočetné pomocí komutačních čísel.
Např. pro x = 40 a k = 60 - x (tj odklad k věku 60 let)
zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění již 4 954,08 Kč.POJIŠTĚNÍ ODLOŽENÉHO DOČASNÉHO DŮCHODU
- kombinuje předchozí dva případy.
- Jeho jednotková počáteční hodnota je
![]()
- Mnohem častější než roční důchody jsou področní důchody, kdy důchod je vyplácen m- krát ročně (především měsíčně m = 12, čtvrteltně m = 4 a pololetně m = 2).
- Otázkou je jak počítat jejich počáteční hodnotu.
- Přitom jednotková počáteční hodnota se definuje jako počáteční hodnota jednotkového důchodu.
- Zatímco jednotkový důchod označuje důchod s jednotkovými ročními výplatami, v případě področních důchodů důchod s výplatami vyplácenými m-krát ročně ve výši
.
Běžný postup při výpočtu jednotkové počáteční hodnoty področního doživotního důchodu vypláceného m-krát ročně předlhůtně vždy na počátku jednotlivých m-tin roku např. spočívá v tom, že se použije aproximace
![]()
kdeoznačuje jednotkovou počáteční hodnotu ročního doživotního důchodu odloženého o k m-tin roku, kterou lze aproximovat pomocí lineární interpolace oäx = ax , 1äx = äx - 1 jako
![]()
Celkem tedy dostaneme![]()
Analogicky při polhůtních výplatách vždy na konci jednotlivých m-tin roku![]()
PŘÍKLAD 11.9.
Jaká je počáteční hodnota doživotního důchodu vypláceného měsíčně pro 40 letého muže ?
ŘEŠENÍ
Pro m = 12 je
![]()
tj. na každých 1 000 Kč vyplácených doživotně každý rok ve 12 měsíčních výplatách připadá jednorázové nettiopojistné ve výši 16 784,16 Kč (tato hodnota je o 458,33 Kč nižší než jednorázové nettopojistné ve výši 17 242,49 Kč při ročních výplatách) Na každých 100 Kč měsíčního důchodu tedy připadá jednorázové nettopojistné ve výši
1200.a40(12) = 1 200 . 16,78416 = 20 140,99 Kč
neboť při tomto důchodu se každý rok vyplatí celkem 1 200 Kč ve 12 měsíčních výplatách.POJIŠTĚNÍ S PROMĚNÝM POJISTNÝM PLNĚNÍM
- Z různých důvodů se v některých případech zaručuje, že pojistné plnění se bude měnit v závislosti na době uplynulé od počátku pojištění.
- Pokud jsou změny ve výši pojistného plnění pravidelné, pak můžeme odvodit jednotlivé zjednodušující vzorce s pravidelnými posloupnostmi.
- Pokud však jsou změny nepravidelné je nutné místo pravidelných posloupností použít koeficienty, které odpovídají předepsaným změnám.
POČÁTEČNÍ HODNOTA POJIŠTĚNÍ - běžné nettopojistné
- V předchozí části jsme se věnovali výpočtu jednorázového nettopojistného.
- V praxi však často osoba uzavírající pojištění dává přednost placení pojistného v pravidelných splátkách jako běžné pojistné.
- V pojištění osob výrazně převládá volba běžného pojistného a navíc měsíčního pojistného.
Uvažujme nyní pro jednoduchost běžné pojistné s konstantními splátkami.
- Otázka je jak nyní rozpočítat do takovýchto splátek příslušnou počáteční hodnotu pojištění
- při respektování časové hodnoty peněz
- a té skutečnosti, že při úmrtí pojištěného se pojištění zpravidla přestává splácet.
Běžné pojistné lze považovat za důchod, který vyplácí pojistník pojistiteli (většinou pojištěný pojišťovně) v závislosti na životě pojištěného.
Např. běžné pojistné P na jednotkovou pojistnou částku v pojištění pro případ dožití z věku x do věku x+n, které platí každoročně vždy na začátku dalšího roku pojištění, nejdéle však do roku, kdy pojištěný zemře nebo se dožije věku x + n
![]()
nebo ekvivalentně po rozpisu a úpravě,
kde
- na levé straně je vidět diskontování jednotlivých splátek pojistného P a závislost inkasa pojistného na životě pojištěného.
- k základnímu symbolu P vyhrazenému pro běžné nettopojistné na jednotkovou pojistnou částku nebo jednotkový důchod se většinou připojuje
- vstupní věk x pojištěného a také
- doba placení pojistného h, která může být kratší než pojistná doba
hPx.
- Pro případ pojištění na dožití s h = n je roční nettopojistné na jednotkovou pojistnou částku rovno
![]()
- Při področním placení pojistného vždy m-krát ročně je nutné tento vztah přepsat do tvaru
kde se využila aproximace.- Hodnota
ve jmenovateli je zde z toho důvodu, že počáteční hodnota
se týká področního důchodu s výplatami ve výši
.
Vzorce pro další druhy pojištění jsou analogické :
- pojištění pro případ smrti
![]()
- dočasné pojištění pro případ smrti
![]()
- smíšené pojištění
![]()
- pojištění s pevnou dobou výplaty
![]()
- pojištění odloženého doživotního důchodu
V uvedených případech jsme dobu placení pojistného h volili h = n nebo h = k.
Obecně lze uvažovat případ kdy hn nebo h
k.
V případě področního pojistného lze použít aproximace
, resp.
![]()
- Takto vypočtené področní pojistné se nazývá pravé področní pojistné.
- Z podstaty jeho výpočtu plyne, že např. měsíční pojistné musí být o něco větší než dvanáctina odpovídající ročnímu nettopojistnému.
Některé pojišťovny používají nepravé področní pojistné, které se počítá z ročního pojistného vydělením 2, 4 nebo 12. Životní pojišťovny stanoví jednu z následujících strategií :
- Pojišťovna vychází z měsíčního pojistného jako z pravého področního pojistného. Jestliže se přitom osoba uzavírající pojistnou smlouvu rozhodne pro čtvrtletní, pololetní nebo roční pojistné, stanoví se jako čtyřnásobek, šestinásobek nebo dvanáctinásobek měsíčního pojistného zmenšený o určitou slevu
- Pojišťovna vychází z ročního pojistného. Přitom pololetní, čtvrtletní nebo měsíční pojistné se stanoví jako polovina, čtvrtina nebo dvanáctina ročního pojistného (tj. jako nepravé področní pojistné) zvětšená o určitou přirážku
PŘÍKLAD 11.10.
Tab. 5.3.1. a 5.3.2. obsahují roční a měsíční nettopojistné na 1 000Kč pojistné částky ve smíšeném pojištění pro pojistné doby n = 5,10,...,45 s omezením x + n
85 pomocí komutačních čísel. (srovnejte s jednorázovým nettopojistným)
např. pro x = 40, n = 20![]()
Stejný výsledek dostaneme s použitím vypočtených hodnot z tab 5.2.4V případě měsíčního pojistného pro x = 40, n m= 20, m = 12
Přitom opravdu měsíční pojistné 3,12 Kč je o něco větší než dvanáctina ročního pojistnéhoKč.
PŘÍKLAD 11.11.
Tab. 5.3.3 obsahuje měsíční nettopojistné na 100 Kč měsíčního doživotního důchodu odloženého k věku 55,60 nebo 65 let vypočtené pomocí komutačních čísel. Výpočet je přitom založen na následujícím vzorci pro nettopojistné placené m-krát ročně na jednotkový odložený doživotní důchod vyplácený m krát ročně (tedy ve výši 1/m)
![]()
kde byly použity aproximace.Např. pr x = 40, k = 60 - x (tj. odklad k věku 60 let) a m=12
![]()
- Pojistné, které životní pojišťovna nabízí na pojistném trhu ve svém sazebníku, obvykle převyšuje příslušné nettopojistné, neboť soukromé pojišťovny jsou výdělečné organizace a z přijatého pojistného hradí nejen pojistné plnění, ale také pokrývají své náklady spojené s pojišťovací činností (tzv. správní náklady), vytváří bezpečnostní fondy pro nepříznivé výchylky v pojistných událostech, realizují z nich svůj podnikatelský zisk apod.
- Moderní pojišťovnictví je výnosná činnost, která je podřízená pravidlům byznysu a konkurenčního boje.
- Vzhledem ke konkurenci se zhoršuje situace s odbytem pojistných produktů a stoupají provize za zprostředkování nových pojistných smluv a jejich udržování. Značné prostředky musí věnovat také na analýzy finančního trhu a na vyhledávání výhodných investičních příležitostí, aby kapitál mohl být co nejlépe zhodnocen.
- Při stanovení výsledné hodnoty bruttopojistného hrají často rozhodující roli expertní odhady opírající se o průzkum pojistného trhu, prognózy ekonomické situace, individuální údaje o osobě, která má být pojištěna, apod.
- Rostou zde nároky na výpočetní techniku se snahou stanovit bruttopojistné individuálně.
- Nettopojistné zvýšené o správní náklady se obvykle nazývá postačující pojistné.
- Postačující pojistné však ještě nemusí dosahovat výša výsledného bruttopojistného, neboť pojišťovna musí pamatovat ještě na bezpečnostní přirážku, která ji ochrání proti nepříznivým výkyvům náhodné povahy.
- Bezpečnostní přirážka však nemá být zdrojem nadměrných příjmů a její nevyužitá část se rozděluje mezi pojištěnce.
Přitom bezpečnostní přirážka se k postačujícímu pojistnému započítává dvěma způsoby :
- Implicitní způsob - pojišťovna použije výpočetní podklady, které jsou z jejího hlediska méně příznivé, než očekává ve skutečnosti. Pojistné je pak samozřejmě vyšší (nejčastěji je založen na použití nižších pojistně-technických úrokových měrách a vhodných změnách v používání úmrtnostních tabulek jako např. :
- umělé zvýšení pravděpodobností úmrtí nebo věkový posun "zestárnutí" úmrt. tabulky
- umělé snížení pravděpodobností úmrtí nebo věkový posun "omládnutí" úmrt. tabulky
- Explicitní způsob používá údaje pokud možno blízké skutečnému stavu, ale přidává explicitně stanovenou bezpečnostní přirážku.
Zjednodušeně :
bruttopojistné = postačující pojistné = nettopojistné + správní nákladySprávní náklady se rozdělují do následujících skupin :
- Počáteční jednorázové náklady ( získávací jednorázové náklady) a jsou spojeny s uzavřením pojistné smlouvy. Zahrnují se sem náklady spojené s prodejem pojistného včetně lékařské prohlídky, s vystavením pojistné smlouvy, atd. Nejpodstatnější složkou je provize, která bývá v praxi úměrná sjednané pojistné částce
- Běžné správní náklady b - náklady během celého trvání pojištění souvisící s udržováním daného pojištění ( administrativa, provoz výpočetní techniky, nájem budov, korespondence, daňové a licenční poplatky apod.)
- Inkasní náklady - především u pojištění s běžným pojistným jako náklady s inkasem pojistného, udávají se jako procenta z ročního bruttopojistného
- Náklady při výplatě důchodu d - jen u důchodového pojištění jako náklady s výplatami důchodu. Vzhledem k dnešním bezhotovostním platbám velikost správních nákladů g a d klesá.
VZORCE
ZÁKLADNÍ VELIČINY
PRAVDĚPODOBNOST DOŽITÍ:
![]()
POČET ZEMŘELÝCH VE VĚKU x: dx = lx - lx+1
PRAVDĚPODOBNOST ÚMRTÍ VE VĚKU x:
PRAVDĚPODOBNOST DOŽITÍ VE VĚKU x:
POČET LET PROŽITÝCH OSOBAMI VE VĚKU x:
POČET ZBYLÝCH LET ŽIVOTA OSOB VE VĚKU x:
STŘEDNÍ DÉLKA ŽIVOTA VE VĚKU x
KOMUTAČNÍ ČÍSLA
DISKONTOVANÝ POČET DOŽÍVAJÍCÍCH SE VĚKU x:
DISKONTOVANÝ POČET ZEMŘELÝCH VE VĚKU x:
JEDNOTKOVÉ POČÁTEČNÍ HODNOTY POJISTNÉHO
Jednorázové pojistné
Druh pojištění Jednotková počáteční hodnota Pojištění pro případ dožití Pojištění pro případ smrti Dočasné pojištění pro případ smrti Odložené pojištění pro případ smrti Odložené dočasné pojištění pro případ smrti Smíšeného pojištění Předlhůtného doživotního důchodu Polhůtného doživotního důchodu Předlhůtného dočasného důchodu Polhůtného dočasného důchodu Předlhůtného odloženého doživotního důchodu Předlhůtného odloženého dočasného důchodu
Běžné pojistné s h=n
Druh pojištění Jednotková počáteční hodnota Pojištění na dožití Pojištění na dožití při področním placení pojistného vždy m-krát ročně Pojištění pro případ smrti Dočasné pojištění pro případ smrti Smíšené pojištění ![]()
Pojištění s pevnou dobou výplaty Pojištění odloženého doživotního důchodu