POJISTNÁ MATEMATIKA

PRACOVNÍ MATERIÁL

(volně zpracováno podle knihy T.Cipra - Pojistná matematika v praxi, edice HZ, Praha 1994)

OBSAH

VZORCE


1. ÚMRTNOSTNÍ TABULKY


zpět na začátek stránky

DEKREMENTNÍ ŘÁD VYMÍRÁNÍ POPULACE

Pro účely životního pojištění stačí pracovat s průměrnými hodnotami, neboť při velkém počtu pojištěných životů se odchylky od těchto průměrných hodnot navzájem vyrovnají - uplatňuje se zde tzv. zákon velkých čísel.
Tyto průměrné hodnoty lze získat pomocí demografických metod pozorováním rozsáhlých populačních souborů obyvatelstva, nejčastěji se průměrné hodnoty udávají ve tvaru posloupnosti :
lo, l1, ...lx, ..., lw      (1)
kde lx je počet osob ve věku x, které zůstaly naživu ze souboru lo současně narozených jedinců.
Symbol l ( living, žijící) je používán mezinárodně, stejně jako w pro poslední uvažovanou věkovou kategorii (w pro podobnost se symbolem a je to poslední písmeno v řecké abecedě). Do lw se zahrnují všechny žijící osoby ve věku w, ale i všechny žijící osoby vyššího věku, věk se však obvykle volí tak vysoko, že jeho dožití je jen velmi málo pravděpodobné.

Posloupnost (1) udává jakýsi řád ubývání populace jejím vymíráním, mluvíme o tzv. dekrementním řádu vymírání populace.
Vždy platí , přičemž v praxi jsou obvykle všechny nerovnosti ostré .
Posloupnost (1) se obvykle udává tak, aby její první člen představoval nějakou "kulatou" hodnotu, která se pak nazývá kořen (či radis). V drtivé většině je roven 100 000 a proto by se mohlo zdát, že popisuje chování populace fiktivně a z toho důvodu lx nevystupují jako absolutní hodnoty, ale jako hodnoty relativní (ve vzájemných poměrech).

PŘÍKLAD 1.1.

Jaké pojistné by měla jednorázově požadovat tuzemská životní pojišťovna od 20 letého muže, který s ní uzavírá pojištění na dožití věku 50 let s pojistnou částkou 300 000 Kč (tj. pojišťovna se zaváže jako protihodnotu přijatého pojistného mu při dožití věku 50 let vyplatit 300 000 Kč, pokud pojištěný zemře před dožitím tohoto věku, pak k výplatě nedojde) ? Přitom pojišťovna pracuje s pojistně-technickou úrokovou mírou 4% a řídí se stavem úmrtnosti v České republice v roce 1990.

ŘEŠENÍ :

Podle úmrtnostní tabulky mužů v ČR za rok 1990 (tab 4.2.1.) pro kořen lo = 100 000, pak
l20 = 97 926 a l50 = 88 934
Takže pojišťovna po uplynutí 30 let musí být připravena vyplatit částku
300 000.l50 = 300 000 . 88 934 = 26 680 200 000
Současná hodnota této částky je však ve skutečnosti nižší, což zjistíme jejím diskontováním pro
S = 26 680 200 000 a i = 0,04

Abychom získali hledané pojistné, je nutné tuto poslední částku rozdělit rovnoměrným dílem mezi l20 = 97 926 fiktivních 20letých pojištěnců, tj.

Pokud bychom počítali pojistné bez zahrnutí úmrtnosti, pak by pojistnou částku 300 000 Kč zaručilo pojistné ve výši 92 496 Kč.()
Tzn., že zahrnutí úmrtnosti do pojistných výpočtů snížilo původní pojistné 92 496 Kč na částku
84 002 Kč. V praxi však skutečné pojistné bude vyšší, neboť pojišťovna se musí zabezpečit proti případným nepříznivým výkyvům od průměrné hodnoty, musí pokrýt své správní náklady spojené s provozováním činnosti a měla by vykazovat zisk pro své akcionáře.

POZNÁMKA
uvedené výpočty ve shora uvedeném příkladu je možno shrnout do jednoho vztahu

Z čehož je vidět, že hodnoty l20 a l50 při výpočtu opravdu vystupují jen ve svém poměru.
Poměr vyjadřuje vlastně pravděpodobnost s jakou se jedinci ve věku 20 let dožijí věku 50 let. Obvykle se pak mluví o pravděpodobnosti dožití a označuje se jako


zpět na začátek stránky

TVAR A KONSTRUKCE ÚMRTNOSTNÍCH TABULEK

Úmrtnostní tabulka obvykle obsahuje kromě posloupnosti (1) řadu dalších, systematicky uspořádaných údajů.
Můžeme pracovat s tzv.

Opakem jsou tzv.

Ve sloupcích úmrtnostních tabulek se uvádějí následující údaje :

  1. Počet dožívajících se věku x značený jako lx je počet jedinců z lo, kteří se dožijí věku x
  2. Počet zemřelých ve věku x značený jako dx je počet jedinců z lo, kteří zemřeu ve věku x. Platí tedy
    dx = lx - lx+1
  3. Pravděpodobnost úmrtí ve věku x značená jako qx je pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x+1. Tedy

    a
    lx+1 = (1 - qx) . lx
    někdy se v tabulce uvádí také pravděpodobnost dožití ve věku x značená
    jako px, což je pravděpodobnost, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x+1. Zřejmě platí
  4. Počet let prožitých osobami ve věku x značený jako Lx je celkový počet "člověkoroků", které ve věku x prožije celkem lx osob (až do věku x + 1). S výjimkou hodnoty Lo se používá aproximace (nahrazení střední hodnotou mezi lx a lx+1) :
  5. Počet zbylých let života osob ve věku x značený jako Tx je celkový počet "člověkoroků", které do konce svého života prožije celkem lx osob,tj.
  6. Střední délka života ve věku x značená jako je průměrný počet let, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x. Tato hodnota se většinou počítá jako
  7. Moderní demografie pracuje ve spojitém čase a používá tzv. intenzitu úmrtnosti ve věku x značenou jako x a definovanou jako
    ,
    odkud

    a pro věkový interval (x,x+n) potom dostaneme
  8. Pro úmrtnostní tabulky při respektování spojitosti času pak např. platí vztahy
  9. Podle způsobu výpočtu pravděpodobností qx se také obvykle liší jednotlivé metody konstrukce úmrtnostních tabulek. Obecně lze říci, že vypovídající schopnost úmrtnostní tabulky je tím reálnější, čím
    • větší je použitelný demografický soubor,
    • čím delší je uvažované časové období
    • a čím bližší je k dnešku.

    Běžně používané metody počítají qx podle vzorců :

    kde

    • Px je střední stav populace ve věku x za období, pro něž se tabulka konstruuje (např. střední stav mužů v ČR za rok 1990 v případě tab. 4.2.1.),
    • Dx je počet úmrtí ve věku x za toto období a
    • mx = Dx/Px je míra úmrtnosti ve věku x za toto období.
    • Hodnota Dx/2 přidaná ve jmenovateli koriguje tu skutečnost, že hodnota Dx v čitateli je kumulativní údaj za celé uvažované období, zatímco střední stav populace Px ve jmenovateli přibližně odpovídá stavu populace v polovině tohoto období.

zpět na začátek stránky

ÚMRTNOSTNÍ TABULKY V POJIŠTĚNÍ OSOB

ÚMRTNOST MUŽSKÉ A ŽENSKÉ POPULACE

V ČR je tento trend v posledních letech zvlášť markantní.

Tyto rozdíly musí životní pojišťovny zohlednit ve svých sazebnících. Přístupy k tomuto problému přitom mohou být různé :

  1. Pojišťovna počítá pojišťovací sazby odděleně pro muže a pro ženy tak, že používá zvlášť ženské a mužské úmrtnostní tabulky.
  2. Pojišťovna počítá sazby bez rozlišení pohlaví, tak že používá smíšené úmrtnostní tabulky nerozlišující pohlaví. Tento způsob si obvykle může dovolit jen pojišťovna s velkými kmeny pojištěnců.
  3. Pojišťovna počítá pojišťovací sazby pro muže s použitím mužských úmrtnostních tabulek a sazby pro ženy získá vhodným věkovým posunutím sazeb pro muže.

Pro rozlišení je v pojištění osob běžné používat

Další možné odlišení je podle různých kritérií, např. podle zdravotního stavu či potenciálního sklonu k určitým chorobám (např. pro kuřáky a nekuřáky) apod, na základě kterých se sestavují tzv. selekční úmrtnostní tabulky.

VYROVNÁVÁNÍ ÚMRTNOSTNÍCH TABULEK

Vyrovnávání úmrtnostních tabulek je záležitostí statistiky. Stručně si tedy naznačíme jak můžeme postupovat :

  1. Grafické vyrovnání vepisuje hladké křivky do grafů vypočtených hodnot qx obvykle s využitím grafického vybavení počítačů.
  2. Analytické vyrovnání odhaduje většinou pomocí statistické metody nejmenších čtverců pro vypočtené hodnoty qx parametry vhodné hladké křivky zadané analytickým vzorcem. Přitom je běžné,že pro celý věkový rozsah x = 0, 1,, ..., se použije několik různých křivek, které na sebe hladce navazují ve smyslu existence derivací příslušného řádu v místech spojů (tzv splinová metoda)
  3. Mechanické vyrovnávání patří vzhledem ke své numerické jednoduchosti k nejpoužívanějším vyrovnávacím postupům. Vyrovnaná hodnota pro daný věk x se získá zprůměrováním hodnot z vhodně voleného okolí věku x. Přitom se většinou jedná o vážený průměr, který přikládá průměrovaným hodnotám tím menší váhu, čím vzdálenější jsou od věku x, tj. od středu příslušného okolí. Váhy jsou obvykle symetrické kolem svého středu a jejich součet je vždy roven jedné.

VĚKOVÉ POSUNY JAKO BEZPEČNOSTNÍ PŘIRÁŽKA POJIŠŤOVNY

Na tyto skutečnosti reagují pojišťovny určitými bezpečnostními opatřeními.

SELEKČNÍ ÚMRTNOSTNÍ TABULKY

Tyto úmrtnostní tabulky reagují na riziko selekce. a jsou dvojitě odstupňované :

  1. rozlišují nejen věk x,
  2. ale i dobu t uplynulou od počátku pojištění

(Pozn.: Předchozí tabulky odstupňované pouze podle věku x se někdy nazývají agregátní úmrtnostní tabulky.)

KOMUTAČNÍ ČÍSLA

Pojistně- technické vzorce v pojištění osob kombinují údaje z úmrtnostních tabulek s úrokovým počtem.
Pro zjednodušení těchto vzorců se používají tzv. komutační čísla, které životní pojišťovny obvykle tabelují.



zpět na začátek stránky

2. VÝPOČET POJISTNÉHO V POJIŠTĚNÍ OSOB


zpět na začátek stránky

VŠEOBECNÉ POJISTNÉ PODMÍNKY PRO POJIŠTĚNÍ OSOB

Při popisu jednotlivých produktů budeme vycházet ze zákonných norem a předpisů platných pro Českou republiku (zák.č. 185/1991 Sb., o pojištovnictví, ve znění č. 320/1993Sb. hlavně občanský zákoník č.40/1964 Sb. a všeobecné pojistné podmínky schvalované Ministerstvem financí ČR).

Všeobecné pojistné podmínky vztahující se ke konkrétní pojistné smlouvě musí pojišťovna podle zákona ke každé smlouvě přiložit.

Účastníky pojištění osob jsou:

Poslední tři subjekty může být jedna osoba, ale také to může být tři nebo více různých osob (např. osoba A uzavře pojištění pro případ smrti osoby B, kdy případné pojistné plnění se vyplácí několika pozůstalým osoby B).

Oprávněnými osobami jsou často pozůstalí pojištěného určení buď

Celkový součet podílů pojistného plnění vyplácených všem oprávněným osobám musí tvořit 100 %.

V rámci pojištění osob sjednává pojistitel

  1. pojištění pro případ smrti, kdy pojistnou událostí je smrt pojištěného,
  2. pojištění pro případ dožití, kdy pojistnou událostí je dožití se sjednaného věku pojištěným (nejdůležitějším typem je důchodové pojištění, kdy se důchod vyplácí jako opakované platby při dožívání stanovených období),
  3. pojištění pro případ smrti nebo dožití (tzv. smíšené pojištění), které je kombinací předchozích dvou případů (kromě toho je ještě možná kombinace s úrazovým pojištěním),
  4. úrazové pojištění, kdy pojistitel poskytuje plnění za smrt následkem úrazu, za trvalé následky úrazu a za dobu nezbytného léčení tělesného poškození způsobeného úrazem

Podle toho jak bylo dohodnuto pojistitel v případě vzniku pojistné události poskytne pojistné plnění buď jako:

Výše pojistné částky nebo důchodu je ve smlouvě pevně stanovená (alespoň ve své minimální výši, neboť může být zvětšena o předem neznámý podíl na zisku pojišťovny).

Pojistné jsou platby, které je povinen pojistník uhrazovat pojistiteli. Přitom lze sjednat pojištění za

Rozlišujeme

Přestane-li pojistník platit z nejrůznějších důvodů pojistné, nemusí to znamenat zánik pojištění.
U některých pojistných druhů pojištění pokračuje, ale u něj dojde k redukci

Řada pojišťoven zprošťuje pojistníka od placení pojistného, pokud mu byl během trvání pojišťění přiznán plný invalidní důchod ze sociálního pojištění (tzv. zproštění od placení pojistného neboli liberace), nebo nabízí pojištění s výhradou, kdy při předčasném ukončení se automaticky vrací podstatná část doposud zaplaceného pojistného.

Důležitým kritériem při volbě životní pojišťovny je výše a forma podílu na zisku, který pojišťovně plyne z investování jejích fondů na kapitálovém trhu vzhledem ke značnému rozdílu mezi kalkulovanou pojistně-technickou úrokovou mírou v pojistných smlouvách a úrokovou mírou dosahovanou investováním na kapitálovém trhu (rozdíl těchto úrokových sazeb může přesahovat 10 %).

Např. Česká pojišťovna a pojišťovna Investiční banky nabízí již při uzavření pojistné smlouvy nominální hodnotu prémie vyplacené jako podíl na zisku většinou formou procentuálního zvýšení pojistného plnění, nebo jiné pojišťovny (Nationale-Nederlanden) se omezují na určení procentuálního podílu úrokového výnosu z pojistné rezervy, který bude vyplacen jako podíl na zisku opět formou zvýšení pojistného plnění.

Neméně podstatným kritériem je to, jakým způsobem reaguje pojišťovna na inflaci.
Např. Česká pojišťovna provádí každoročně valorizaci podle hospodářských výsledků předchozího roku, zatímco Nationale-Nederlanden nabízí v závislosti na inflaci možnost zvyšování pojistné částky na základě dobrovolného zvyšování pojistného odpovídajícího meziroční míře inflace .

Výši pojistného publikuje obvykle každá pojišťovna ve svém sazebníku. Pojistné obvykle závisí :

Co se týče vstupního věku pojištěného

PŘÍKLAD 11.1.

Pojištěný narozený 17. prosince 1960 uzavřel smlouvu dne 2. dubna 1993. Jaký je jeho vstupní věk ?

ŘEŠENÍ:

podle druhého způsobu :
k 2. 4. 1993 je doba uplynulá od posledních narozenin 17.12.1992 kratší než 6 měsíců, takže vstupní věk je roven věku při posledních narozeninách tj. 1992 - 1960 = 32 let.


Doba trvání pojištění se nazývá pojistná doba a je buď

Pojištění však může být ukončeno před uplynutím pojistné doby, a to pojistnou událostí nebo smrtí pojistníka.

Existují také pojištění s odkladem, kdy povinnost pojistného plnění je odložena o určitou čekací (karenční) dobu. Typickým příkladem je odložený důchod, který pojišťovna začne vyplácet, až když pojištěný dosáhne určitého věku.

Co se týče doby a způsobu placení pojistného, základní rozdíl spočívá mezi

Výše běžného pojistného je také často ovlivněna frekvencí jeho splátek, neboť področní (např. měsíční) splátky sice pojišťovně přinášejí určitý zisk vzhledem k področnímu úročení, ale na druhé straně pro ni znamenají značné administrativní zatížení a inkasní náklady. Proto pojišťovny sice publikují ve svých sazebnících měsíční pojistné, ale splátky placené předem na celá čtvrtletí, pololetí nebo roky poskytují určité slevy (např. ve výši 2%, 3% a 5%). Někdy se publikuje opačný postup přirážek za področnost.

Sazebník pojišťoven také odráží jisté limity :

Často se v rámci jedné pojistné smlouvy pojišťuje několik rizik najednou. např. sdružené pojištění u Česk.pojišť. je sdružené pojištění pracujících SPP, které sdružuje pro případ smrti, dožití a úrazu. Navíc často umožňují sjednat různá připojištění, např. úrazové připojištění.


zpět na začátek stránky

POČÁTEČNÍ HODNOTA POJIŠTĚNÍ - jednorázové nettopojistné

Tato počáteční hodnota pojištění je zároveň jednorázovým nettopojistným (které je v praxi doplněno o správní náklady, případně bezpečnostní přirážku pojišťovny na bruttopojistné a případně rozpočteno do splátek jako běžné pojistné).

Výpočet pojistného v pojištění osob je založen na principu ekvivalence

Vraťme se nyní k příkladu, kde je úkolem stanovit jednorázové pojistné pro 20 letého muže tak, aby mu pojišťovna mohla vyplatit při dožití věku 50 let pojistnou částku 300 000 Kč.
Takže počáteční hodnota je rovna

POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD DOŽITÍ

Jestliže konec pojištění je stanoven dožitím určitého "kulatého" věku, např. dožití věku 60 let, pak se zřejmě použije jednotková počáteční hodnota .

PŘÍKLAD 11.2.

Jaká je jednotková počáteční hodnota pojištění 40 letého muže na dožití věku 60 let ?

ŘEŠENÍ

x = 40, n = 20 a komutační čísla z 4.3.7. je

tj. u každých 1 000 Kč pojistné částky připadá jednorázové nettopojistné ve výši 363,40 Kč.

POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI

DOČASNÉ POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI

PŘÍKLAD 11.3.

Tab 5.2.1. obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč pojistné částky v dočasném pojištění pro případ smrti vypočtené pro pojistné doby n = 5,10,15,20 a 25 s omezením x+n 85 pomocí komutačních čísel z tab 4.3.7. pro x=40, n = 20


zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění jen 79,26 Kč.

ODLOŽENÉ POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI

PŘÍKLAD 11.4.

Jaká je jednotková počáteční hodnota pojištění 40 letého muže pro případ smrti s odkladem o 5 let ?

ŘEŠENÍ

Pro x = 40, k = 5 a komutační čísla z tab 4.3.7

tj. na každých 1 000 Kč pojistné částky připadá jednorázové nettopojistné ve výši 316,39 Kč.

ODLOŽENÉ DOČASNÉ POJIŠTĚNÍ PRO PŘÍPAD SMRTI

SMÍŠENÉ POJIŠTĚNÍ

PŘÍKLAD 11.5.

Tab 5.2.2. obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč pojistné částky ve smíšeném pojištění vypočtené pro pojistné doby n = 5,10,...,45 s omezením x + n 85 pomocí komutačních čísel.

ŘEŠENÍ

např. pro x = 40, n = 20

zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění jen 475,68 Kč.

POJIŠTĚNÍ DŮCHODU

PŘÍKLAD 11.6.

Tab. 5.2.3. obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč ročního doživotního důchodu vypočtené pomocí komutačních čísel z tab. 4.3.7.
Např. pro x = 40

zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění již 18 586,44 Kč.

V pojištění založených na dožití včetně důchodového pojištění platí muž zpravidla méně než stejně stará žena, zatímco v pojištěních založených na úmrtí je tomu zpravidla naopak.

POJIŠTĚNÍ DOČASNÉHO DŮCHODU

Pozn.: Jednotkové počáteční hodnoty pojištění dočasného důchodu se někdy tabelují stejně jako komutační čísla.

PŘÍKLAD 11.7.

Tab. 5.2.4. obsahuje hodnoty jednotkové počáteční hodnoty pojištění dočasného důchodu vypočtené pro n = 5,10,...,45 pomocí komutačních čísel. Např. pro x = 40, n = 20

Speciálně tzn., že 40 letý muž zaplatí za roční důchod ve výši 1000 Kč vyplácený po dobu 20 let jednorázové nettopojistné 13 318,27 Kč.

POJIŠTĚNÍ ODLOŽENÉHO DOŽIVOTNÍHO DŮCHODU

V případě odkladu např. k věku 60 let se zřejmě použije hodnota .

PŘÍKLAD 11.8.

Tab. 5.2.5 obsahuje jednorázové nettopojistné na 1 000 Kč ročního doživotního důchodu odloženého k věku 55,60 nebo 65 let vypočetné pomocí komutačních čísel.
Např. pro x = 40 a k = 60 - x (tj odklad k věku 60 let)

zatímco 40 letá žena zaplatí za stejné pojištění již 4 954,08 Kč.

POJIŠTĚNÍ ODLOŽENÉHO DOČASNÉHO DŮCHODU

Běžný postup při výpočtu jednotkové počáteční hodnoty področního doživotního důchodu vypláceného m-krát ročně předlhůtně vždy na počátku jednotlivých m-tin roku např. spočívá v tom, že se použije aproximace

kde označuje jednotkovou počáteční hodnotu ročního doživotního důchodu odloženého o k m-tin roku, kterou lze aproximovat pomocí lineární interpolace oäx = ax , 1äx = äx - 1 jako

Celkem tedy dostaneme

Analogicky při polhůtních výplatách vždy na konci jednotlivých m-tin roku

PŘÍKLAD 11.9.

Jaká je počáteční hodnota doživotního důchodu vypláceného měsíčně pro 40 letého muže ?

ŘEŠENÍ

Pro m = 12 je

tj. na každých 1 000 Kč vyplácených doživotně každý rok ve 12 měsíčních výplatách připadá jednorázové nettiopojistné ve výši 16 784,16 Kč (tato hodnota je o 458,33 Kč nižší než jednorázové nettopojistné ve výši 17 242,49 Kč při ročních výplatách) Na každých 100 Kč měsíčního důchodu tedy připadá jednorázové nettopojistné ve výši
1200.a40(12) = 1 200 . 16,78416 = 20 140,99 Kč
neboť při tomto důchodu se každý rok vyplatí celkem 1 200 Kč ve 12 měsíčních výplatách.

POJIŠTĚNÍ S PROMĚNÝM POJISTNÝM PLNĚNÍM


zpět na začátek stránky

POČÁTEČNÍ HODNOTA POJIŠTĚNÍ - běžné nettopojistné

Uvažujme nyní pro jednoduchost běžné pojistné s konstantními splátkami.

Běžné pojistné lze považovat za důchod, který vyplácí pojistník pojistiteli (většinou pojištěný pojišťovně) v závislosti na životě pojištěného.

Např. běžné pojistné P na jednotkovou pojistnou částku v pojištění pro případ dožití z věku x do věku x+n, které platí každoročně vždy na začátku dalšího roku pojištění, nejdéle však do roku, kdy pojištěný zemře nebo se dožije věku x + n

nebo ekvivalentně po rozpisu a úpravě
,
kde

Vzorce pro další druhy pojištění jsou analogické :

V uvedených případech jsme dobu placení pojistného h volili h = n nebo h = k.
Obecně
lze uvažovat případ kdy h n nebo h k.

V případě področního pojistného lze použít aproximace
, resp.

Některé pojišťovny používají nepravé področní pojistné, které se počítá z ročního pojistného vydělením 2, 4 nebo 12. Životní pojišťovny stanoví jednu z následujících strategií :

  1. Pojišťovna vychází z měsíčního pojistného jako z pravého področního pojistného. Jestliže se přitom osoba uzavírající pojistnou smlouvu rozhodne pro čtvrtletní, pololetní nebo roční pojistné, stanoví se jako čtyřnásobek, šestinásobek nebo dvanáctinásobek měsíčního pojistného zmenšený o určitou slevu
  2. Pojišťovna vychází z ročního pojistného. Přitom pololetní, čtvrtletní nebo měsíční pojistné se stanoví jako polovina, čtvrtina nebo dvanáctina ročního pojistného (tj. jako nepravé področní pojistné) zvětšená o určitou přirážku

PŘÍKLAD 11.10.

Tab. 5.3.1. a 5.3.2. obsahují roční a měsíční nettopojistné na 1 000Kč pojistné částky ve smíšeném pojištění pro pojistné doby n = 5,10,...,45 s omezením x + n 85 pomocí komutačních čísel. (srovnejte s jednorázovým nettopojistným)
např. pro x = 40, n = 20

Stejný výsledek dostaneme s použitím vypočtených hodnot z tab 5.2.4

V případě měsíčního pojistného pro x = 40, n m= 20, m = 12

Přitom opravdu měsíční pojistné 3,12 Kč je o něco větší než dvanáctina ročního pojistného Kč.

PŘÍKLAD 11.11.

Tab. 5.3.3 obsahuje měsíční nettopojistné na 100 Kč měsíčního doživotního důchodu odloženého k věku 55,60 nebo 65 let vypočtené pomocí komutačních čísel. Výpočet je přitom založen na následujícím vzorci pro nettopojistné placené m-krát ročně na jednotkový odložený doživotní důchod vyplácený m krát ročně (tedy ve výši 1/m)

kde byly použity aproximace.

Např. pr x = 40, k = 60 - x (tj. odklad k věku 60 let) a m=12


zpět na začátek stránky

BRUTTOPOJISTNÉ

Přitom bezpečnostní přirážka se k postačujícímu pojistnému započítává dvěma způsoby :

  1. Implicitní způsob - pojišťovna použije výpočetní podklady, které jsou z jejího hlediska méně příznivé, než očekává ve skutečnosti. Pojistné je pak samozřejmě vyšší (nejčastěji je založen na použití nižších pojistně-technických úrokových měrách a vhodných změnách v používání úmrtnostních tabulek jako např. :
    • umělé zvýšení pravděpodobností úmrtí nebo věkový posun "zestárnutí" úmrt. tabulky
    • umělé snížení pravděpodobností úmrtí nebo věkový posun "omládnutí" úmrt. tabulky
  2. Explicitní způsob používá údaje pokud možno blízké skutečnému stavu, ale přidává explicitně stanovenou bezpečnostní přirážku.

Zjednodušeně :
bruttopojistné = postačující pojistné = nettopojistné + správní náklady

Správní náklady se rozdělují do následujících skupin :

  1. Počáteční jednorázové náklady ( získávací jednorázové náklady) a jsou spojeny s uzavřením pojistné smlouvy. Zahrnují se sem náklady spojené s prodejem pojistného včetně lékařské prohlídky, s vystavením pojistné smlouvy, atd. Nejpodstatnější složkou je provize, která bývá v praxi úměrná sjednané pojistné částce
  2. Běžné správní náklady b - náklady během celého trvání pojištění souvisící s udržováním daného pojištění ( administrativa, provoz výpočetní techniky, nájem budov, korespondence, daňové a licenční poplatky apod.)
  3. Inkasní náklady - především u pojištění s běžným pojistným jako náklady s inkasem pojistného, udávají se jako procenta z ročního bruttopojistného
  4. Náklady při výplatě důchodu d - jen u důchodového pojištění jako náklady s výplatami důchodu. Vzhledem k dnešním bezhotovostním platbám velikost správních nákladů g a d klesá.

 


VZORCE


ZÁKLADNÍ VELIČINY

PRAVDĚPODOBNOST DOŽITÍ:

POČET ZEMŘELÝCH VE VĚKU x: dx = lx - lx+1

PRAVDĚPODOBNOST ÚMRTÍ VE VĚKU x:

PRAVDĚPODOBNOST DOŽITÍ VE VĚKU x:

POČET LET PROŽITÝCH OSOBAMI VE VĚKU x:

POČET ZBYLÝCH LET ŽIVOTA OSOB VE VĚKU x:

STŘEDNÍ DÉLKA ŽIVOTA VE VĚKU x

KOMUTAČNÍ ČÍSLA

DISKONTOVANÝ POČET DOŽÍVAJÍCÍCH SE VĚKU x:

DISKONTOVANÝ POČET ZEMŘELÝCH VE VĚKU x:

JEDNOTKOVÉ POČÁTEČNÍ HODNOTY POJISTNÉHO

Jednorázové pojistné

Druh pojištění Jednotková počáteční hodnota
Pojištění pro případ dožití
Pojištění pro případ smrti
Dočasné pojištění pro případ smrti
Odložené pojištění pro případ smrti
Odložené dočasné pojištění pro případ smrti
Smíšeného pojištění
Předlhůtného doživotního důchodu
Polhůtného doživotního důchodu
Předlhůtného dočasného důchodu
Polhůtného dočasného důchodu
Předlhůtného odloženého doživotního důchodu
Předlhůtného odloženého dočasného důchodu

Běžné pojistné s h=n

Druh pojištění Jednotková počáteční hodnota
Pojištění na dožití
Pojištění na dožití při področním placení pojistného vždy m-krát ročně
Pojištění pro případ smrti
Dočasné pojištění pro případ smrti
Smíšené pojištění
Pojištění s pevnou dobou výplaty
Pojištění odloženého doživotního důchodu