\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}[section]
\renewcommand{\theprik}{\thesection.\arabic{prik}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   
%\newcommand{\cvicenii}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[Řešení: #1}\newcommand{\vysledek}[1]{[Řešení: #1]}\newcommand{\napoveda}[1]{}\newcommand{\poznamka}[1]{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large MIN401 Matematika IV - jaro 2022)}
\end{center} 
%{\small \begin{itemize}
%\item Jde o seznam typových úloh, které se probírají na cvičení a dalších obdobných úloh na procvičení  za domácí úlohu. Na písemkách se objeví výhradně modifikace příkladů z této sbírky a~jim obdobné příklady. 
%\item Příklady označené hvězdičkou jsou určeny pro studenty, kteří by se na cvičení příliš nudili a jsou zde uvedeny pouze jako doplňující příklady, které nebudou obsahem písemek.
%\item Program jednotlivých cvičení si sestavují vyučující sami 
%a~mohou se lišit i v rámci jednotlivých cvičení jednoho vyučujícího.
%\item Velké množství příkladů je převzato ze sbírky \uv{Seminář ze středoškolské matematiky} autorů Herman, Kučera, Šimša (skriptum MU, 2004).
%\end{itemize}} 
}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\hlavicka




\cviceni{Cvičení -- středoškolská dělitelnost}{14.\ 2.} 

\priklad {Jak poznáme, že je celé číslo dělitelné 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11? Svá tvrzení zdůvodněte.
}


\priklad 
{Ukažte, že součin pěti po sobě jdoucích čísel je dělitelný 120.
}

\priklad{ Nejdříve pro $n=2,3$ a potom pro další $n\in\N$ si připomeňte 
\begin{enumerate}
\item[a)]  vzorec pro rozdíl $n$-tých mocnin dvou čísel,
\item[b)]  vzorec pro součet $n$-tých mocnin dvou čísel,
\item[c)] vzorec pro $n$-tou mocninu součtu, tzv. binomický vzorec.
\end{enumerate}
}


\priklad{[10.2] Dokažte, že pro libovolné $a \in \mathbb{Z}$ platí:
\begin{itemize}
\item[(i)] $a^2$ dává po dělení čtyřmi zbytek $0$ nebo $1$,
\item[(ii)] $a^2$ dává po dělení osmi zbytek $0$, $1$ nebo $4$,
\item[(iii)] $a^4$ dává po dělení šestnácti zbytek $0$ nebo $1$.
\end{itemize}
}

\priklad{
\begin{itemize}
\item[(i)] Ukažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ platí $3|4^n-1$.
\item[(ii)] Ukažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ platí $5|n^5-n$.
\item[(iii)] Ukažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ platí $5|3^{3n+1}+2^{n+1}$.
\end{itemize}
}


\priklad{[10.1] Určete, pro která přirozená čísla $n \in \mathbb{N}$ je číslo 
$n^3+1$ dělitelné číslem $n-1$.
}

\priklad{ Dokažte, že pro přirozená čísla $a$, $k$ a $n$ platí: jestliže $k\mid n$, pak $a^k-1\mid a^n-1$. Pomocí toho dokažte: Je-li $2^n-1$ prvočíslo, pak $n$ musí být také prvočíslo. Proto se ``největší'' prvočísla hledají ve tvaru $2^p-1$, kde $p$ je prvočíslo.  
 }
 

\priklad { Dokažte, že $25\mid 4^{2n+1}-10n-4$.
 } 


%\priklad{Nalezněte největší společný dělitel polynomů $f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x]$
%a určete příslušné koeficienty v Bezoutově rovnosti:
%$$
%f(x) = x^4-2x^3-2x^2+7x-6 \quad \text{a} \quad g(x) = 2x^3-4x^2-x+2.
%$$}

\priklad{
\begin{itemize}
\item[(i)] Nechť $a,b \in \mathbb{N}$, $a \not=b$. Ukažte, že existuje nekonečně mnoho přirozených čísel $n$ takových,
že čísla $a+n$ a $b+n$ jsou nesoudělná.
\item[(ii)] Nechť má číslo $n \in \mathbb{N}$, $n >1$ následující vlastnost: pro každou dvojici dělitelů $a>1$, $b>1$ čísla $n$ 
platí, že $(a,b)>1$. Co můžeme říci o číslu $n$?
\end{itemize}
}

\priklad{[10.10]
\begin{itemize}
\item[(i)] Dokažte, že jsou-li čísla $m,n \in \mathbb{N}$ nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla 
$$
m^2+mn+n^2 \quad \text{a} \quad m^2-mn+n^2.
$$
\item[(ii)] Dokažte, že jsou-li lichá čísla $m,n \in \mathbb{N}$ nesoudělná, jsou nesoudělná i čísla 
$$
m+2n \quad \text{a} \quad m^2+4n^2.
$$ 
\end{itemize}
}




\end{document}

