\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
%\textwidth=170mm
%\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}%[section]
\renewcommand{\theprik}{\arabic{prik}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   
%\newcommand{\cvicenii}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[Řešení: #1}\newcommand{\vysledek}[1]{[Řešení: #1]}\newcommand{\napoveda}[1]{}\newcommand{\poznamka}[1]{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large MIN401 Matematika IV - jaro 2022}
\end{center} 
}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%\hlavicka



\centerline{\bf 3. cvičení z MIN401 -- Eulerova věta a kongruence}  

\priklad{[10.19, 10.20, 10.21] 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Určete $\varphi(72)$.
\item Dokažte, že pro každé $n \in \mathbb{N}$ platí $\varphi(4n+2)=\varphi(2n+1)$.
\item Určete všechna $n \in \mathbb{N}$ taková, že $\varphi(n)$ je liché.
\item Určete všechna $n \in \mathbb{N}$ taková, že $\varphi(n)=30$.
\item Určete všechna $n \in \mathbb{N}$ taková, že $\varphi(n)=\frac{n}{3}$.
\end{enumerate}
}

\priklad{[10.24, 10.26, 10.28, 10.29] 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Určete poslední dvojčíslí čísla $7^{2013}$.
\item Určete zbytek po dělení čísla $2^{50}+3^{50}+4^{50}$ číslem $17$.
\item Určete poslední číslici čísla $7^{9^{7^{5^3}}}$.
\item Určete poslední číslici čísla $14^{14^{14}}$.
\item Najděte zbytek po dělení čísla $2^{97^{99}}$ číslem $26$
\end{enumerate}
}

\priklad{Vyřešte následující kongruence:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $5x \equiv 12 \ (\!\!\!\!\mod 23)$.
\item $33x \equiv 7 \ (\!\!\!\!\mod 143)$.
\item $210x \equiv 40 \ (\!\!\!\!\mod 212)$.
\item  $325x\equiv 694\ (\!\!\!\mod 471)$.
\end{enumerate}
}


\priklad{Vyřešte následující soustavy kongruenci:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item $2x \equiv 3 \pmod {7}$, \  $x \equiv 8 \pmod {15}$.
\item $x \equiv 3 \pmod{10}$, \ $x \equiv 8 \pmod{15}$, \ $x \equiv 5 \mod{84}$.
\item $21x\equiv 27 \pmod{24}$, \ $26x\equiv  10 \pmod{25}$, \ $27x\equiv 30 \pmod{17}$.
\end{enumerate}
}


\priklad{
Najděte inverzní prvek k číslu  $157$ modulo $2475$.
 }

\priklad{[10.32, 10.33] Najděte primitivní kořeny modulo $8$, $11$, $20$, $26$, $41$ a $41^2$}.













\end{document}

