\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=170mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
%\textwidth=170mm
%\hoffset=-14mm

%\hoffset -24mm
%\voffset -20mm
%\textwidth 170mm
%\textheight 230mm

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

%\usepackage{czech}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{xcolor}

\newcommand{\mezera}{}%\vskip .3cm}
\newcommand{\hvezda}{${}^\ast$}%\
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

\newcounter{prik}%[section]
\renewcommand{\theprik}{\arabic{prik}}
\newcommand{\priklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}
\newcommand{\prikladhvezda}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik${}^\ast$:} #1}

                         \newcommand{\matice}[4]{\begin{pmatrix} #1 & #2 \\ #3 & #4\end{pmatrix} }

\newcommand{\cviceni}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   
%\newcommand{\cvicenii}[2]{{\section{#1}} Cvičení konané #2 2021. \\ \vskip 0.2cm}   

\def\N{\mathbb N}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R} 
\def\C{\mathbb C}      
             
\newcommand{\ondra}[1]{{\color{red} #1}}   
\newcommand{\josef}[1]{{\color{blue} #1}}   
          

                         
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%  PREPINANI VERZI %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{\refstepcounter{prik} 
                         \paragraph*{Příklad \theprik:} #1}

%\newcommand{\rezervnipriklad}[1]{}

% Priprava
\newcommand{\vysledekbez}[1]{[{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\vysledek}[1]{\\ \noindent [{\it Řešení: #1}]}
\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}
\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Zadani 
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{}\newcommand{\vysledek}[1]{}\newcommand{\napoveda}[1]{{\it Nápověda: #1}}\newcommand{\poznamka}[1]{{\it Poznámka: #1}}

% Reseni
%\newcommand{\vysledekbez}[1]{[Řešení: #1}\newcommand{\vysledek}[1]{[Řešení: #1]}\newcommand{\napoveda}[1]{}\newcommand{\poznamka}[1]{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\hlavicka}{
\newpage
\begin{center}
{\large MIN401 Matematika IV - jaro 2022}
\end{center} 
}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

%\hlavicka



\centerline{\bf 9. cvičení z MIN401 -- Polynomy a okruhy}  



\priklad{[11.79] 
\begin{enumerate}[label=(\roman*)] 
\item Eisensteinovo kritérium ireducibility nad $\mathbb{Z}$ (tedy i nad $\mathbb{Q}$).
\item Určete polynom s racionálními koeficienty co nejmenšího stupně, jehož kořenem
je číslo $\sqrt[2007]{2}$.
\end{enumerate}
}

\priklad{[11.82, 11.83]
\begin{enumerate}[label=(\roman*)] 
\item Pro liché prvočíslo $p$ určete v $\mathbb{Z}_p$ všechny kořeny polynomu 
$$
f(x) = x^{p-2} +x^{p-3} + \ldots +x +2.
$$
\item Rozložte polynom $g(x) = x^2+x+1$ v $\mathbb{Z}_5[x]$ a $\mathbb{Z}_7[x]$.
\end{enumerate}
}

\priklad{[11.84, 11.85]
\begin{enumerate}[label=(\roman*)] 
\item Rozložte polynom $f = x^6-x^4-5x^2-3$ v $\mathbb{C}[x]$, $\mathbb{R}[x]$, $\mathbb{Q}[x]$, $\mathbb{Z}[x]$,
$\mathbb{Z}_5[x]$ a $\mathbb{Z}_7[x]$ víte-li o něm, že má vícenásobný kořen.
\item  Rozložte polynom $p = x^6+x^5+4x^4+2x^3+5x^2+x+2$ v $\mathbb{C}[x]$, $\mathbb{R}[x]$, $\mathbb{Z}_2[x]$,
$\mathbb{Z}_5[x]$ a $\mathbb{Z}_7[x]$ víte-li o něm, že má vícenásobný kořen $i$.
\item Řešte soustavu $p = q =0$ nad $\mathbb{C}$, kde $q = x^2y^2+y^2+xy+x^2y+2y+1$.
\end{enumerate}
}

\priklad{[11.65] Rozhodněte, zda množina $R$ s operacemi $\oplus$ a $\odot$ tvoří okruh, komutativní okruh, 
obor integrity nebo těleso.
\begin{enumerate}[label=(\roman*)] 
\item[(i)] $R = \mathbb{Z}$, $a \oplus b = a+b+3$, $a \odot b = -3$. %[Není okruh.]
\item[(ii)] $R = \mathbb{Z}$, $a \oplus b = a+b-3$, $a \odot b = a \cdot b -1$. %[Není okruh.]
\item[(iii)] $R = \mathbb{Z}$, $a \oplus b = a+b-1$, $a \odot b = a +b - a \cdot b$. %[Je obor integrity.]
\item[(iv)] $R = \mathbb{Q}$, $a \oplus b = a+b$, $a \odot b = b$. %[Není okruh.]
\item[(v)] $R = \mathbb{Q}$, $a \oplus b = a+b+1$, $a \odot b = a+b+ab$. %[Je těleso.]
\item[(vi)] $R = \mathbb{Q}$, $a \oplus b = a+b-1$, $a \odot b = a+b+ab$. %[Není okruh.]
\end{enumerate}
}

\priklad{[11.66] Dokažte, že podmožina komplexních čísel
$\mathbb{Z}[i] = \{ a+bi | a,b \in \mathbb{Z} \}$ tvoří obor integrity. Jedná se o těleso?
}

\priklad{[11.67] V okruhu matic $Mat_{2,2}(\mathbb{R})$ uvažme podokruh matic tvaru
$$
\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix},
$$
$a,b \in \mathbb{R}$. Dokažte, že tento podokruh je izomorfní s tělesem $\mathbb{C}$.
}

\priklad{[11.68] Ukažte, že identita je jediný automorfismu tělesa reálných čísel.
}

\end{document}

