\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Zadání}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\bf Důkaz}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{vys}{\smallskip\par\noindent {\bf Výsledek}.$\,$}{}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  2. domácí úloha z MIN401, jaro 2022}
\end{center}
\smallskip


\begin{zad}
Nechť $S(n)$ značí součet cifer zápisu přirozeného čísla $n$ v desítkové
soustavě. Spočtěte $S(S(S(5^{2007})))$.
\end{zad}

\smallskip

\begin{vys}
Platí $S(S(S(5^{2007}))) = 8$.
\end{vys}

 \smallskip

\begin{res}
Zřejmě platí $5^{2007} < 10^{2007}$, tedy $S(5^{2007}) \leq 9 \cdot 2007 = 18063$. Z toho plyne $S(S(5^{2007})) \leq 9 \cdot 4 = 36$, a konečně dostaneme $S(S(S(5^{2007}))) \leq 2 + 9 = 11$.\par 
Víme, že pro všechna přirozená čísla $n$ platí $S(n) \equiv n \pmod{9}$. Navíc platí $\varphi(9) = 9 - 3 = 6$. Tedy $$S(S(S(5^{2007}))) \equiv 5^{2007} \equiv 5^{334 \cdot 6 + 3} \equiv 5^3 \equiv 125 \equiv 8 \pmod{9}.$$
Takže $S(S(S(5^{2007})))$ je číslo menší nebo rovno $11$, které je kongruentní $8$ modulo $9$. Takové přirozené číslo existuje jediné, a to $8$.
\end{res}
\end{document}

