\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Zadání}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\bf Důkaz}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{vys}{\smallskip\par\noindent {\bf Výsledek}.$\,$}{}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  4. domácí úloha z MIN401, jaro 2022}
\end{center}
\smallskip


\begin{zad}
Určete všechna $a \in \mathbb{Z}$ taková, že polynom $x^4 + 2x^3 - 3x^2 + ax - 4$ má alespoň jeden racionální kořen.
\end{zad}

\smallskip

\begin{vys}
Všechna taková $a \in \mathbb{Z}$ jsou $a \in \{-83,-8,4,19\}$.
\end{vys}

 \smallskip

\begin{res}
Racionální kořen $x$ zadaného polynomu musí byt tvaru $p/q$, kde $p$ dělí 4 a $q$ dělí 1. Celkem tedy racionální kořeny mohou nabývat pouze hodnot $\{-4,-2,-1,1,2,4\}$. Všechny tyhle hodnoty $x$ jsou nenulové a můžeme tedy z rovnosti $x^4 + 2x^3 - 3x^2 + ax - 4 = 0$ vyjádřit $$a = \frac{-x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 4}{x}.$$ Dosazením hodnot $1,-1,2,-2,4,-4$ do tohoto vyjádření za proměnnou $x$ dostaneme následující hodnoty $a$: $$4, -8, -8, -8, -83, 19.$$
\end{res}
\end{document}

