Matematická analýza 4
Diference a sumace
Petr Liška
Masarykova univerzita
03.04.2023
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 03.04.2023 1 / 6
Diference
Definice
Nechť je dán bod x0 a číslo h > 0. Nechť funkce y = f(x) je definována
v bodech x0 a x0 +h. Číslo f(x0 +h)−f(x0) nazýváme diference funkce
f(x) v bodě x0. Píšeme
∆f(x0) = f(x0 + h) − f(x0).
Číslo h se nazývá diferenční krok, bod x0 počáteční bod diference.
Definice
Nechť funkce f(x) je definována ve všech bodech neprázdné množiny
M. Funkci, která každému bodu x ∈ M s vlastností (x + h) ∈ M
přiřazuje hodnotu ∆f(x), nazýváme diference funkce f(x) a značíme
∆f(x) = f(x + h) − f(x), x ∈ M.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 03.04.2023 2 / 6
Situace se zjednoduší, když uvažujeme x0 = 1, h = 1, tj. M = N. Pak
f(x) = a(n) a
∆a(n) = an+1 − an, n ∈ N .
Věta
Pro všechna n, pro něž jsou současně definovány posloupnosti ∆u(n) a
∆v(n) platí
1. ∆[u(n) ± v(n)] = ∆u(n) ± ∆v(n);
2. ∆[c · u(n)] = c∆u(n), kde c ∈ R;
3. ∆[u(n)v(n)] = v(n)∆u(n) + u(n + 1)∆v(n);
4. ∆u(n)
v(n) = v(n)∆u(n)−u(n)∆v(n)
v(n)v(n+1) , je-li v(n)v(n + 1) ̸= 0.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 03.04.2023 3 / 6
Pk(n) = a0 + a1n + · · · + aknk
=
k
j=0
ajnj
,
kde ak ̸= 0 a tedy P0(n) = a0, a0 ̸= 0.
Věta
Pro všechna n ∈ N platí
1. ∆c = 0, kde c ∈ R;
2. ∆nk = Pk−1(n), kde k ∈ N;
3. ∆qn = qn(q − 1), kde q ∈ R.
Důsledek
Pro všechna n ∈ N platí
1. ∆Pk(n) = Qk−1(n),
2. ∆[Pk(n)qn] = Qk(n)qn, kde q ∈ R \ {1}.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 03.04.2023 4 / 6
Sumace
Definice
Nechť u(n) a U(n) jsou posloupnosti takové, že pro všechna n ∈ N
platí ∆U(n) = u(n). Posloupnost U(n) nazýváme sumací posloupnosti
u(n) a značíme
U(n) = u(n) .
Věta
Nechť u(n) je posloupnost, pak platí
∆u(n) = 0 ⇐⇒ u(n) = c, kde c ∈ R.
Věta
Nechť u(n) a v(n) jsou posloupnosti a c ∈ R. Potom
∆u(n) = ∆v(n) pro ∀n ∈ N ⇐⇒ u(n) = v(n) + c.
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 03.04.2023 5 / 6
Věta
Nechť u(n), v(n) jsou posloupnosti. Pak platí
1. [u(n) ± v(n)] = u(n) ± v(n);
2. [c · u(n)] = c u(n), kde c ∈ R;
3. [u(n)∆v(n)] = u(n)v(n) − [v(n + 1)∆u(n)].
Věta
Nechť c, c⋆ ∈ R, k ∈ N. Pak pro všechna n ∈ N platí
1. c = cn + c⋆;
2. qn = 1
q−1qn + c, kde q ∈ R \ {1};
3. Pk(n) = Qk+1(n).
Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 03.04.2023 6 / 6