Matematická analýza 4 Diferenční rovnice Petr Liška Masarykova univerzita 17.04.2023 Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 1 / 9 Lineární diferenční rovnice 1. řádu Definice Nechť p(n) a r(n) jsou posloupnosti, přičemž p(n) ∕= 0 pro všechna n. Rovnici tvaru y(n + 1) − p(n)y(n) = r(n). (1) nazýváme lineární diferenční rovnice prvního řádu. Je-li r(n) ≡ 0, nazývá se rovnice y(n + 1) − p(n)y(n) = 0. (2) homogenní. Řešením rovnice (1) rozumíme posloupnost y(n) = a(n) takovou, že a(n + 1) − p(n)a(n) = r(n) . Obecným řešením rovnice (1) rozumíme posloupnost, která je řešením dané rovnice a závisí na konstantě c. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 2 / 9 Věta Nechť posloupnost y = a(n) je řešením rovnice (2), pak také posloupnost y = c · a(n), c ∈ R, je řešením rovnice (2). Věta Nechť p(n) ∕= 0. Je-li n ≥ 1, pak řešením rovnice (2) je posloupnost u(n) = u(1) n−1󰁜 k=1 p(k) . (3) Věta Nechť p(n) ∕= 0. Potom všechna řešení rovnice (1) jsou tvaru y(n) = u(n) 󰀗 󰁛 r(n) u(n + 1) + c 󰀘 , kde c ∈ R a u(n) je posloupnost daná (3). Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 3 / 9 Lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty Definice Diferenční rovnici tvaru a0y(n) + a1y(n + 1) + · · · + aky(n + k) = u(n) (4) kde u(n) je libovolná posloupnost, ai ∈ R pro i = 1, . . . , k, a0 ∕= 0, nazýváme lineární diferenční rovnice k-tého řádu s konstantními koeficienty. Je-li u(n) = 0 pro všechna n ∈ N říkáme, že rovnice a0y(n) + a1y(n + 1) + · · · + aky(n + k) = 0 (5) je homogenní. Věta Nechť ϕ1(n) a ϕ2(n) jsou řešení rovnice (5) a nechť c1, c2 ∈ R libovolně. Pak y(n) = c1ϕ1(n) + c2ϕ2(n) je také řešení rovnice (5). Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 4 / 9 Definice Řekneme, že posloupnosti ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕk(n) jsou lineární závislé v N, jestliže existuje alespoň jedna konstanta ci ∕= 0, i = 1, 2, . . . , k taková, že pro všechna n ∈ N je splněna rovnice c1ϕ1(n) + c2ϕ2(n) + · · · + ckϕk(n) = 0 . V opačném případě řekneme, že posloupnosti ϕ1(n), . . . , ϕk(n) jsou lineárné nezávislé v N. Definice Říkáme, že posloupnosti ϕ1(n), . . . ϕk(n), které jsou partikulárním řešením rovnice (5), tvoří fundamentální systém řešení, jestliže posloupnosti ϕ1(n), . . . ϕk(n) jsou lineárně nezávislé v N. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 5 / 9 Věta Posloupnosti ϕ1(n), . . . ϕk(n) jsou lineárně nezávislé v N právě tehdy, když existuje n0 ∈ N takové, že C = 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 ϕ1(n0) ϕ2(n0) · · · ϕk(n0) ϕ1(n0 + 1) ϕ2(n0 + 1) · · · ϕk(n0 + 1) ... · · · ... ... ϕ1(n0 + k − 1) ϕ2(n0 + k − 1) · · · ϕk(n0 + k − 1) 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 󰀏 ∕= 0 . Věta Nechť posloupnosti ϕ1(n), . . . ϕk(n) tvoří fundamentální systém řešení rovnice (5) v N. Pak obecné řešení rovnice (5) je tvaru y(n) = c1ϕ1(n) + c2ϕ2(n) + · · · + ckϕk(n), kde c1, c2, . . . , ck ∈ R. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 6 / 9 Definice Algebraickou rovnici a0 + a1λ + · · · + akλk = 0 (6) nazýváme charakteristickou rovnicí diferenční rovnice (5). Věta Nechť λ1, λ2, . . . , λk, λi ∈ R, λi ∕= λj, kde i ∕= j, i, j = 1, 2, . . . , k, jsou kořeny rovnice (6). Pak rovnice (5) má v N obecné řešení y(n) = c1ϕ1(n) + c2ϕ2(n) + · · · + ckϕk(n) , kde c1, c2, . . . , ck ∈ R. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 7 / 9 Věta Nechť má rovnice (6) imaginární kořeny λ1,2 = r(cos ω ± i sin ω). Pak má rovnice (5) lineárně nezávislá partikulární řešení ϕ1(n) = rn cos ωn, ϕ2(n) = rn sin ωn . Věta Nechť má charakteristická rovnice (6) s-násobný kořen λ1, 1 ≤ s ≤ k. Pak rovnice (5) tato lineárně nezávislá partikulární řešení ϕ1(n) = λn 1 , ϕ1(n) = nλn 1 , . . . , ϕ1(n) = ns−1 λn 1 . Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 8 / 9 Věta Nechť y(n) je obecné řešené rovnice (5) a z(n) je partikulární řešení rovnice (4). Potom posloupnost y(n)+z(n) je obecné řešení rovnice (4). Věta Nechť u(n) = Pm(n)qn cos αn v rovnici (4), kde Pm(n) je polynom stupně m. 1. Nechť má rovnice (6) kořeny λj ∕= q(cos α + i sin α). Pak je partikulárním řešením rovnice (4) posloupnost z(n) = [Qm(n) sin αn + Rm(n) cos αn] qn , kde Qm(n) a Rm(n) jsou jisté polynomy stupně m. 2. Nechť má rovnice (6) některý kořen λj = q(cos α + i sin α) a to s-násobný. Pak je partikulárním řešením rovnice (4) posloupnost z(n) = ns [Qm(n) sin αn + Rm(n) cos αn] qn , kde Qm(n) a Rm(n) jsou jisté polynomy stupně m. Petr Liška (Masarykova univerzita) Matematická analýza 4 17.04.2023 9 / 9