2.3.2022 Metody prostorové interpolace (deterministické metody) Metody analogové interpolace > vytváření izolinií na základě spojování míst s obdobnými hodnotami jevu založené na expertním odhadu > využívají empirie, obecné teorie a znalosti místních zvláštností > expertní systémy Základní omezení (s ohledem na počítačové zpracování): > problém zpracování velkého množství bodů > problém subjektivního přístupu > problém časové náročnosti Globální interpolátory využívající analýzy trendu Princip - mnohonásobná regrese hodnot atributu vs. geografické souřadnice. Metodou nejmenších čtverců jsou nalezeny nejvhodnější koeficienty pro daný polynom n-tého řádu. Předpokládá se normální rozdělení. lineární trend: z = b0+b sx + b$i kvadratickýtrend: z = b0 + b sx+ b$i + b^x2 + b4xy + by2 z - interpolovaná proměnná, b - koeficienty, x, y- souřadnice bodů Verifikace: RMSE, analýza reziduálních hodnot Globální interpolátory využívající analýzy trendu Interpolace trendové složky polynomy 1 až 5 stupně Globální interpolátory využívající regresní analýzy Princip - existuje vazba mezi hodnotami interpolované veličiny a vybranými jinými atributy studovaného prostoru (např. teplota a nadmořská výška,koncentrace znečištění a vzdálenost od zdroje). Forma - empirický model závislosti interpolované veličiny na hodnotách jedné či několika veličinách nezávislých: z(x) = b0 + b[P[ + b2P2 + s b0...bn - regresní koeficienty P,... Pn - nezávisle (vysvětlující) proměnné Sestavení regresní závislosti je založeno na metodě nejmenších čtverců. Výsledný model může být lineární i nelineární. Jako nezávisle proměnné lze kombinovat geografické souřadnice s jinými atributy. 1 2.3.2022 □ as: bJ 33_ □ mc ■ 500 - 800 1 1 eoi - 1100 | 1101 1400 I 1401 1700 ~~J 1701 2000 | | 2001 2300 | 2301 2600 | 2S01 2S00 j 2901 31 00 Regresní model závislosti teplotních sum na nadmořské výšce, zápis modelu v prostředí ArcView Map Calculator a vytvořená mapa teplotních sum pro ČR Hodnocení vhodnosti modelu: R2, Hodnocení přesnosti interpolace: RMSE Metody lokální interpolace (lokální interpolátory) Globální interpolátory - lokální efekty = náhodný šum Lokální interpolátory - hledaná hodnota je určena z určitého počtu měření z předem definovaného okolí počítaného bodu Obecný postup se sestává z následujících kroků: 1. definování velikosti a tvaru zájmového okolí 2. nalezení měřených bodů v tomto okolí 3. nalezení matematické funkce vystihující kolísání hodnot nacházejících se v okolí daného bodu 4. výpočet hodnoty pro uzly regulérní sítě (grid) Metody lokální interpolace (lokální interpolátory) Pro lokální interpolace jsou důležité: > druh použité interpolační funkce > velikost, tvar a orientace okolí > počet bodů v okolí zahrnutých do výpočtu > rozložení uvažovaných bodů (regulérní či nepravidelné) > možné začlenění externí informace např. o obecném trendu Metoda nejbližšího souseda (thiessenovy polygony) Princip - hodnoty atributů v neměřených místech jsou určeny z hodnot nejbližšího místa měřeného. 1. Plocha je rozdělena na nepravidelné trojúhelníky (Delaunay triangulace), které by měly být co nejblíže trojúhelníkům rovnostranným 2. Z trojúhelníkové sítě jsou definovány tzv. thiessenovy polygony. Metoda nejbližšího souseda (thiessenovy polygony) Příklad interpolace množiny nepravidelně rozmístěných bodů v ploše metodou thiessenových polygonů Metody konstrukce nepravidelných trojúhelníků (TIN) > Exaktní metoda vhodná pro nepravidelně rozmístěné body měření. > Body jsou spojeny liniemi a vytváří síť nepravidelných trojúhelníků. > Metody není možné použít k extrapolaci >Metoda vhodná pro povrchy vyznačující se náhlými změnami spádu (fluviálně erodované povrchy). 2 2.3.2022 Metody nepravidelných trojúhelníků Proces vytváření spojitého povrchu metodou TIN zahrnuje: > výběr charakteristických bodů (ne z jakékoliv množiny nepravidelně rozmístěných bodů lze vytvořit TIN) > způsob propojení bodů do trojúhelníkové sítě > způsob modelování povrchu uvnitř trojúhelníků Výběr bodů a algoritmy pro výběr bodů: > algoritmus Fowler and Little - vybírá charakteristické body zlomu (hřbetnice a údolnice na modelu reliéfu) > VIP algoritmus (very important points) > Drop heuristic (optimalizační) algoritmus Princip algoritmů: http://www.ncgia.ucsb.edu/units/u056/u056.html Metoda inverzní vzdálenosti (IDW) Princip - hodnota atributu v určitém bodě je váženým aritmetickým průměrem hodnot okolních měřených bodů. Váhy jsou určeny pro každý bod jako inverzní vzdálenost měřeného bodu od bodu interpolovaného. Obecný vzorec pro odhad hodnoty Z: Ž = —- 2>, Váhy se určují ze vztahu: w = —— nebo w = e dk Hodnoty vah ivf představují funkci vzdálenosti d. Hodnota exponentu k se nejčastěji volí 1 či 2. Problém generování koncentrických struktur kolem interpolovaných bodů (tzv „bulis eyes") Způsob definování okolí > izotropní povrch - kruhové okolí interpolovaného bodu, pro odhad hodnoty bereme všechny body bez ohledu na směr > anizotropie - body v jistém směru mohou mít na interpolovanou hodnotu jinou váhu než ve směru jiném - okolí tvaru elipsy > minimální a maximální počet bodů pro výpočet nové hodnoty > rozmístění bodů v rámci definovaného okolí (kvadranty oktanty) > IDWje senzitivní na shluky měřených bodů a také na odlehlé hodnoty Metody nepravidelných trojúhelníků • Hodnoty v bodech na počátku a konci linií jsou / známy lze použít ' I \ ""X\ jednoduchou lineární závislost m I L9^— " /\ ;---130 k interpolaci bodů mezi ' dvěma body na linie. i--'' \? \ / • TIN je model vhodný k následné konstrukci izolinií. • TIN je metoda interpolace i způsob vizualizace spojitých povrchů. ĚĚ0 Metoda inverzní vzdálenosti (IDW) 50 30 jŕ"^" jater polov jrtý / bod o/ v 50 30 52 -* + ^+T 4 2 6 % 52 = 34 Odhad hodnoty v bodě metodou inverzní vzdálenosti 3 2.3.2022 Prostorové klouzavé průměry Modifikace metody IDW Nová hodnota může být prostým průměrem, váženým průměrem, modálni hodnotou. Definování velikosti, tvaru a charakteru okolí. Počet bodů v okolí (min, max) - 4 až 12 bodů, optimum 6 až 8 bodů. Metody je vhodné použít za těchto podmínek: > existuje nejistota s ohledem na reprodukovatelnost výsledků opakovaných měření vdaném bodě (vlastní proměnlivost pole hodnot měření) > samotná technická stránka měření je zatížena jistou chybou > je známo, že skutečné prostorové pole daného jevu vykazuje kromě obecného trendu také lokální variabilitu. Prostorové klouzavé průměry 6 •"• 'ť. i l i ä '•í i '"'i Interpolace metodou prostorových klouzavých průměrů Interpolace metodou lokálních polynomů Lokální interpolátory využívající regresní analýzy Vazba mezi hodnotami interpolované veličiny a jinými vybranými atributy studovaného prostoru je vyjádřena regresní závislostí pouze pro část interpolovaného povrchu. Tato část povrchu má podobu okolí interpolovaného bodu předem definovaného tvaru a velikosti. Body jsou interpolovaný s pravidelným krokem a okolí se „posouvá" stejně jako v případě klouzavých průměrů (viz. metoda IDW) Interpolace metodou lokálních polynomů 4 2.3.2022 Splínové funkce Matematicky definované křivky, které po částech a exaktně interpoluj! jednotlivé body povrchu, jsou lokálním interpolátorem Zajišťují kontinuální spojení jednotlivých částí interpolovaného povrchu. Lze modifikovat část povrchu bez přepočtu celého povrchu (toto neumožňují trendy). Pro interpolovaní linií se používá tzv kubických splínů, pro interpolovaní povrchů se využívá jejich 2D analogie označované jako „thin plate splines" Nahrazují části povrchů interpolované přesným splinem lokálně shlazenou průměrnou hodnotou. Povrch je interpolován tak, aby procházel co nejblíže měřeným bodům a také aby zachoval podmínku minimální křivosti. Interpolované povrchy jsou často značně shlazené, jsou vhodné pro interpolaci jevů, které se mění spojitě. Splínové funkce 01 1 2 3\ 4 5 6 -i -0.1522is + 0.9937i, if x e [o, 11, -0.01258i3 -0.4189i2 + 1,41261- 0,1396, if I £ [1,2], fit) - ■ 0.1403i3 - 1.3359i2 + 3.2467i - 1.3623, if I E [2,3], 0.1579i3 - 1.4945is + 3.7225i - 1.8381, if t e [3,4], 0.05375i3 - 0.2450i2 - 1.2756i -1- 4.8259, if i S [4, ä], -0,1871i3 + 3.3673i3 - 19.3370i + 34.9282, if I e [5, Oj. ;í „terracing effect" Radiálni bázové funkce (Radial basis functions) Exaktní interpolátory využívající splinové funkce, způsob interpolace má blízko ke geostatistickým metodám krigingu Analogie „přetažení" gumové membrány přes body v prostoru. Porovnání výsledků interpolace metodou Inverzní vzdáleností (IDW) a metodou splínových tunkcí (RBF) Princip: Interpolovaná plocha vznikne jako lineární kombinace funkcí vzdálenosti mezi datovými body Datový bod ovlivňuje interpolaci v okolí ve všech směrech stejným způsobem Radiální bázové funkce Hodnotu každé RBF v predikovaném bodě můžeme odečíst z grafu jako Prediktor má podobu váženého průměru, tedy neznámou hodnotu z v bodě p najdeme jako : z(p) = wlipl +w2tft2 +w3tft3 + ... Váhy w?,w2,w3jsou vypočteny z hodnot interpolované veličiny v bodech měření a jsou nalezeny na základě podmínky, že pokud je odhadován bod v bodě měření, je interpolován přesně. Princip interpolace metodou multiquadric RBF 5 2.3.2022 Multiquadric RBF Multikvadrika - kvadratická plocha B, (x, y) = J d, (x, y)2 +R2 Bfr.y) - radiální funkce vzdálenosti dfr.y) w^jam^^^w d:{x,y) - relativní vzdálenost měřeného bodu v místě x„ y od místa odhadu x, y R2 - vyhlazovací parametr R=0 po částech lineární interpolace R>0 interpolovaný povrch se datových bodech zaoblí Pro funkce Bf(x,yJ jsou během výpočtu v každém interpolovaném bodě stanovovány váhy řešením soustavy lineárních rovnic. Čím větší je hodnota R, tím více je shlazený je výsledný interpolovaný povrch. „Radial basis functions Parametry konkrétní interpolující funkce jsou optimalizovány výpočtem chyby RMSE. RBF jsou exaktní metodou a jsou vhodné pro hladké povrchy generované z velkého počtu bodů (např. modely terénu). Nehodí se pro interpolaci jevů, které se výrazně mění v prostoru a dále pro interpolaci jevů, u nichž existuje jistá míra nejistoty ohledně přesnosti měřených bodů._ Metody prostorové interpolace ploch Mnoho jevů se vztahuje k plošným jednotkám spíše než k bodům (hustota obyvatelstva, kvalita pitné vody...). Metody řeší způsob, jakým lze odhadnout hodnoty jistého jevu na základě hodnot jiného jevu vázaných na plošné jednotky. plošné jednotky se shodují zdrojové jednotky jsou podmnožinou jednotek výstupních • metody zachovávající objem studovaného jevu (volume preserving) • metody nezachovávající objem studovaného jevu (non-volume preserving) Metody nezachovávající objem studovaného jevu "S t MM -S, Jaký je počet obyvatelstva uvnitř záplavové zóny? in (hm -O, 1. výpočet hustoty sj < obyvatelstva pro každou plochu 2 • s G • S • 2. určení centroidu každé a • • 7 plochy f id H*. 3. interpolace hustoty obyvatelstva výše 5. m . m popsanými metodami 75 100 IIS 125 4. Suma počtu obyvatelstva za všechny plochy v dané ,00 m m m I5Ü 15D ,7í I 175 esc zone Metody zachovávající objem studovaného jevu u"í™::í;iíli""' ""'"tas?™"" „pycnophylactic method" 1. Provede se překrytí cílových zón (oblastí) přes oblasti jf zdrojové. 2. Určí se poměrná část cílové zóny, která spadá do zóny zdrojové. 3. Celková hodnota atributu v cílové zóně je určena v závislosti na plošném zastoupení zón zdrojových. • metoda zachovává sumu studovaného prvku • dovoluje kontinuální změnu směrem k hranicím každé třídy. • výrazně mění min a max hodnoty 6