1
Příklady korelace
Jiří Holčík
Nejdříve zopakování – definiční vztahy
Zůstaneme-li pro začátek v doméně diskrétního času, pak základní formulí definující korelační
posloupnost je
 +=
N
n
212x1x )mn(x)n(x)m(R (1)
kde x1 a x2 jsou posloupnosti, jejichž korelaci (vzájemný vztah) odhadujeme. Pokud jsou obě
posloupnosti navzájem různé, tj. platí, že x1(n)  x2(n), pak hovoříme o tzv. vzájemné korelační
posloupnosti. Často se též používá překlad anglického názvu cross correlation sequence, tedy
křížová korelační posloupnost. Jestliže chceme vyzkoumat vzájemné souvislosti mezi vzorky
jedné a téže posloupnosti, tj. x1(n) = x2(n), pak hovoříme o autokorelační posloupnosti, anglicky
autocorrelation sequence. Zkoumáme-li posloupnosti centrovaných dat, tj. platí, že
x1(n) = x1orig(n) – mx1orig a x2(n) = x2orig(n) – mx2orig, kde mx1orig, příp. mx2orig jsou průměry obou
posloupností, pak hovoříme o tzv. vzájemné či auto kovarianční posloupnosti, v závislosti na
to, zda x1(n)  x2(n) nebo x1(n) = x2(n).
Zůstaneme-li u obecnějšího tvaru korelační posloupnosti, tj. u vzájemné korelační posloupnosti,
pak se můžeme setkat s různými variantami definičního vztahu.
a) (2)
Tento vztah má teoretický význam, protože předpokládá znalost obou posloupností v nekonečném
časovém intervalu, jak do kladných i záporných časů. Vzorkovací periody Tvz jsou
v tomto vztahu uvedeny, abychom připomenuli časový rozměr obou uvažovaných vstupních
posloupností x1(n) a x2(n) i výsledné korelační posloupnosti Rx1x2(mTvz). Protože v praxi známe
obě posloupnosti pouze v konečném časovém intervalu, má výpočetní význam následující definiční
vztah
b) (3)
Uvažujeme-li rovnoměrné vzorkování a současně netrváme na zdůraznění časového charakteru
všech posloupností, pak lze za předpokladu konečných posloupností x1(n) a x2(n) použít
definiční vztah (1). Jako alternativu této definice lze v odborné literatuře najít i následující tvar
c)  −=
N
n
212x1x )mn(x)n(x)m(R (4)
který se liší opačným znaménkem parametru posunu m u posloupnosti x2. Tato odlišnost vyjadřuje
opačný časový posun posloupnosti x2 při výpočtu. Pro výpočet autokorelační funkce tato
varianta nemá, jak za chvíli uvidíme, žádný význam. Pro výpočet vzájemné korelace je třeba
při interpretaci vypočtené korelační posloupnosti zvážit směr posunu x2 při výpočtu.
Zatímco všechny až dosud uvedené vztahy mají tak říkajíc energetický charakter (hodnota
autokorelační posloupnosti pro m=0 se rovná energii posloupnosti x(n)), v některých aplikacích
může být užitečné použít tzv. výkonový vztah, kdy vypočtenou sumu součinů hodnot do výpočtu
zahrnutých posloupností vztáhneme k časové jednotce, tj. podělíme ji délkou časových řad
x1(n) a x2(n). Definiční vztah pak nabývá tvaru
d)  +=
N
n
212x1x )mn(x)n(x
N
1
)m(R resp.  −=
N
n
212x1x )mn(x)n(x
N
1
)m(R (5)
Tato varianta se s výhodou používá u periodických posloupností.
2
Poslední modifikací, kterou zde uvedeme, je tvar vztahu (5), který vyplývá praktického výpočtu
korelační posloupnosti dvou konečných posloupností. Potřeba tohoto vztahu snad dostatečně
jasně vyplývá z obr.1.
Obr.1 Výpočet korelační posloupnosti dvou konečných posloupností
Vzájemným posunem se snižuje počet párů, které lze mezi sebou vynásobit, a tedy se naskýtá
otázka, zda pro zachování rozumného průběhu korelační funkce je vhodnější vztáhnout celkovou
sumu k neměnnému počtu vzorků N nebo pouze k počtu možných součinů pro danou hodnotu
posunu m. Tedy na příklad ve tvaru
e) (6)
Zatímco varianty podle vztahu (5) deformují průměrnou hodnotu odhadu korelační posloupnosti
(hovoříme o vychýleném odhadu), výpočet podle vztahu (6) se chová příznivě k odhadu
střední hodnoty (nevychýlený odhad), naopak má nepříznivý vliv na odhadnutou hodnotu rozptylu
pro větší hodnoty posunu m.
V oblasti spojitého času, ve které byla korelační funkce definovaná historicky primárně, je
sumační vztah nahrazen integrační formulí, tedy např.
f) resp. (7)
případně lze použít všechny ostatní varianty, jak vyplývají ze vztahů (1) až (5).
Teď opakování vlastností odhadu korelačních posloupností
Vzájemná korelační posloupnost není komutativní, tj. Rx1x2(n) ≠ Rx2x1(n). Tedy její hodnoty
pro kladnou a zápornou časovou poloosu se obecně liší.
Pro autokorelační posloupnost platí:
a) na rozdíl od vzájemné korelační posloupnosti je sudá, tj. R(-n) = R(n);
b) pro všechna celá m je R(0)  R(m), tj. její hodnota pro m=0 je větší nebo rovna jejím
hodnotám pro všechny ostatní hodnoty posunu m. Hodnoty R(0) teoreticky nabývá pro
m  0 pouze v případě periodických posloupností pro posun rovný periodě posloupnosti.
U nevychýleného odhadu mohou hodnoty autokorelační posloupnosti i překročit velikost
R(0), což bývá způsobeno růstem rozptylu pro velké hodnoty posunu m.
c) R(0) je rovna energii, resp. výkonu posloupnosti x(n) – viz vztahy (4), resp. (5) či (6);
při nulové střední hodnotě je rovna rozptylu hodnot prvků posloupnosti;
d) pokud je posloupnost x(n) periodická, pak je její autokorelační posloupnost rovněž periodická
s toutéž periodou – viz bod b).
3
Hodnota autokovarianční posloupnosti pro m=0 je rovna disperzi vstupní posloupnosti
x(n) pokud je určena pomocí vztahu
(8)
Korelační posloupnost a Pearsonův korelační koeficient
Připomeňme, jak získáme Pearsonův korelační koeficient. Pro jeho odhad lze použít vztah
(9)
Když tento vztah srovnáme s výpočtem hodnoty vzájemné korelační posloupnosti pro m=0,
tj.
(10)
pak můžeme konstatovat, že pokud by srovnávané posloupnosti x1(n) a x2(n) byly standardizovány,
pak každý vzorek jejich vzájemné korelační posloupnosti je roven odpovídající hodnotě
Pearsonova korelačního koeficientu. To znamená, že každá hodnota korelační posloupnosti vyjadřuje
míru lineární závislosti vzájemně posunutých hodnot korelační posloupnosti. Ale protože
hodnoty posloupností x1(n) a x2(n) zpravidla nejsou standardizovány, pak se hodnoty korelační
posloupnosti nepohybují v rozsahu hodnot Pearsonova korelačního koeficientu, tj. v
intervalu -1;1, nýbrž vyjadřují pouze jistou relativní vazbu obou posloupností.
A konečně vztah korelační posloupnosti a konvoluce dvou posloupností
Nechť je vzájemná korelační posloupnost definována vztahem (4), tj.
 −=
N
n
212x1x )mn(x)n(x)m(R
a konvoluce vztahem
y(n) = x1(n)*x2(n) = Σm x1(m).x2(n-m) = Σm x1(n-m).x2(m). (11)
Po záměně symbolů n a m v konvolučním vztahu dostáváme
y(m) = x1(m)*x2(m) = Σm x1(n)*x2(m-n) (12)
Po srovnáním vztahu (4) a vztahu (12) lze konstatovat, že oba vztahy by byly ekvivalentní,
pokud by posloupnost x2 byla invertována v čase, tj. když by ve formuli (12) bylo x2(n-m).
Když jsme si všechno potřebné zopakovali tak se dejme do počítání (a taky přemýšlení o tom
co počítání přineslo).
Začneme případem se spojitým časem. To nám umožní spočítat výsledek analyticky, a tak
si ukázat některé obecné zákonitosti.
Příklad 1
Vypočtěte vzájemnou korelační funkci funkcí x1(t) = cos(t) a x2(t) = 4sin(t). Ověřte, jaký
vliv na průběh výsledné korelační funkce má alternace znaménka v druhém členu definičního
vztahu (vztah (7)).
4
Řešení:
Argumenty obou zadaných harmonických funkcí jsou t = t = 2ft = 2t/T = 2t/2, obě
harmonické funkce tedy mají tutéž periodu T = 2 [časové jednotky]. Z toho by nám mohlo vyplynout,
že i výsledná korelační funkce by mohla být periodická a vzhledem k tomu, že obě
zadané funkce jsou harmonické, i výsledná korelační funkce by mohla být harmonická.
Nejdříve se ale zamysleme nad tím, jaké hodnoty bude nabývat korelační funkce pro nulový
posun, tj. pro τ = 0. Pro výsledné řešení nemá tato úvaha rozhodující význam, nicméně umožní
srovnat výsledek této rozvahy se získaným analytickým řešením. Takže
(13)
Odtud bychom mohli pokračovat výpočtem integrálu, což zase nemusí být příliš složité, když
víme, že 2sinα.cosα = sin(2α). V tom případě lze pokračovat
(14)
Tím víme, že korelační funkce zadaných goniometrických funkcí začíná pro τ = 0 v nule.
K takovému výsledku by bylo možné dojít i z úvahy, že cos() a sin() jsou ortogonální (pravoúhlé,
kolmé) funkce (to už víme ze souvislosti obou funkcí s kruhovým pohybem i z jejich
vyjádření v Gaussově komplexní rovině) a integrál takových funkcí přes periodu je nulový.
S tím, co už o úloze víme, můžeme spočítat průběh korelační funkce. Začněme s kladným
posunem, tedy +
Tady jsme si na druhém řádku výpočtu pomohli vzorcem
(16)
z kterého po srovnání s úhly t a (t+) plyne třeba, že  = 2t +  a  = . (Ještě existuje
druhá možnost, kdy  = 2t +  a  = - ale i s touto variantou bychom dospěli k témuž výsledku,
jen ten výpočet integrálů by byl o něco malinko zamotanější.)
V prvním integrálu na posledním řádku výpočtu je funkce sinus nezávislá na integrační proměnné
t, proto není předmětem integrace a lze ji vytknout před integrál. Druhý integrál představuje
integraci funkce sinus (v tomto případě je již funkcí integrační proměnné t, byť fázově
posunutou o ) právě přes jednu periodu. Proto je hodnota integrálu nulová,
Jak rozumět tomu co vyšlo? Především se potvrdila počáteční úvaha, že vypočítaná korelační
funkce bude periodická, potvrdilo se i to, že je harmonická. Navíc, protože sin(0) = 0, platí i to
co jsme už dříve spočítali a je vyjádřeno výrazem (14) a v podstatě se znovu potvrdila ortogonalita
funkcí sin a cos. Dál pomůže obr.2. Pro daný konkrétní případ se vypočtená vzájemná
korelační funkce jeví jako lichá (pozor – nelze zobecnit). Průběhy a) a b) reprezentují obě zadané
funkce v poloze, kdy  = 0. Při výpočtu korelační funkce pomocí vztahu používajícího +
dochází při  > 0 k posunu funkce sin směrem k menším hodnotám na časové ose (vlevo). To
znamená, že podobnost obou křivek posunem z výchozího postavení nejdříve roste a maxima
dosahuje, když se posune o čtvrt periody, tj. o /2, jak je naznačeno v řádku c). Protože funkce
( )
( ) ( ) 
( ) ).sin(20]t)[sin(dt)t2sindt)sin(
dt)t2sin)sin(
2
2
dt)t(sin).tcos(2
dt)t(sin4).tcos(
2
1
dt)t(x)t(x
T
1
)(R
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0T
212x1x
=+=++=
=++=+=
=+=+=



(15)
5
sin() s nárůstem hodnoty  také nejdříve roste a svého maxima dosahuje pro  = 1/2, odpovídá
to očekávanému nárůstu hodnoty korelace. Pokud se  zvětšuje, tj. funkce na druhém řádku
se posunuje vlevo, podobnost obou funkcí se zvětšuje. Posléze se podobnost zase zmenšuje,
atd. jak ukazuje průběh korelační funkce v řádku e).
Obr.2 Vzájemná poloha zadaných harmonických funkcí a průběhy
vypočtených korelačních funkcí
6
pak je možné zopakovat výpočet ekvivalentně postupu z předchozího výpočtu podle vztahu
(15) a realizuje se podle formule (17) nebo lze tvar korelační funkce zjistit elegantněji dosazením
hodnoty – do výsledné formulky, tj. Rx1x2() = 2sin((−)). Protože sin je funkce lichá
dostáváme konečně Rx1x2() = −2sin()
Při výpočtu korelační funkce pomocí vztahu s − dochází při  > 0 k posunu funkce sin směrem
k větším hodnotám na časové ose (vpravo). To znamená, že podobnost obou křivek posunem
z výchozího postavení nejdříve klesá a minima dosáhne pro posun o  = –1/2 (obr.2d).
Protože funkce sin() s nárůstem hodnoty  od nuly nejdříve roste, odpovídá průběh vypočtené
korelační funkce očekávanému poklesu funkce −2sin() – viz obr.2f. 
A od této chvíle se už budeme zabývat pouze případy s diskrétním časem.
Příklad 2
Vypočítejte autokorelační posloupnost posloupnosti {1; 2; 1; 2; 1; 2}.
Řešení:
Než začneme počítat, shrňme, co o úloze víme. Zadaná posloupnost má 6 prvků/vzorků. Je
periodická s periodou 2 vzorky a délka posloupnosti je určena celočíselným násobkem v ní obsažených
period. Protože je periodická, měla by být periodická i její autokorelační posloupnost.
Protože autokorelační posloupnost je sudá, nezáleží na směru posunu posloupnosti x2, tj. zda
pro výpočet použijeme vztah (1) nebo (4). Vztah (4) je použit, snad jen proto, že nabízí lepší
formální znázornění výpočtu, a hlavně umožní srovnání s výpočty dalších příkladů. Abychom
dokázali srovnat kvalitu odhadů autokorelační posloupnosti bude výpočet proveden pomocí
vychýleného (vztah (5)) i nevychýleného (vztah (6)) odhadu.
Teď už se pusťme do výpočtu.
součet realizovatelných
součinů vzorků
posloupnosti
nevychýlený
odhad
1/(N-|m|)
vychýlený
odhad
1/N
x1(n) 1 2 1 2 1 2
x2(n) 1 2 1 2 1 2 1+4+1+4+1+4 = 15 15/6 = 2,5 15/6 = 2,500
x2(n−1) 1 2 1 2 1 2 2+2+2+2+2 = 10 10/5 = 2,0 10/6 = 1,667
x2(n−2) 1 2 1 2 1 2 1+4+1+4 = 10 10/4 = 2,5 10/6 = 1,667
x2(n−3) 1 2 1 2 1 2 2+2+2 = 6 6/3 = 2,0 6/6 = 1,000
x2(n−4) 1 2 1 2 1 …. 1+4 = 5 5/2 = 2,5 5/6 = 0,833
x2(n−5) 1 2 1 2 …. 2 = 2 2/1 = 2,0 2/6 = 0,333
Pokud by byla korelační funkce definována pomocí vztahu
 −=
T
212x1x ,dt)t(x)t(x
T
1
)(R
( )
( ) ( ) 
( ) ).sin(20]t)[sin(dt)t2sindt)sin(
dt)t2sin)sin(
2
2
dt)t(sin).tcos(2
dt)t(sin4).tcos(
2
1
dt)t(x)t(x
T
1
)(R
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0T
212x1x
−=+−=−+−=
=−+−=−=
=−=−=



−
(17)
7
Průběhy obou odhadů autokorelační posloupnosti
jsou zobrazeny na obr.3.
U nevychýleného odhadu je první hodnota
vskutku největší a opakuje se tak, jak
jsme očekávali s periodou dva vzorky. Hodnoty
mezi extrémy nejsou zas až o tolik
menší. Střední hodnota zadané posloupnosti
je 1,5 a všechny hodnoty posloupnosti se od
ní příliš neliší, jsou si tedy poměrně podobné,
korelované. Není tedy důvod, aby se
hodnoty autokorelační posloupnosti velice
zmenšovaly.
Průběh vychýleného odhadu je viditelně
deformován dělením konstantním celkovým počtem vzorků při snižování počtu spočítatelných
součinů. Přestože z výčtu hodnot v tabulce není patrná periodicita autokorelačního odhadu,
z grafického vyjádření je náznak periodicity trochu zřejmý. 
Příklad 3
Jak se změní výsledek, použije-li pro posloupnost z předchozího příkladu odhad autokorelační
posloupnosti pomocí kruhového algoritmu, při kterém se vzorky, dostávající se při posunu
řady mimo interval možného násobení, přesouvají na druhou stranu posloupnosti.
Řešení:
součet součinů vzorků
posloupnosti
kruhový odhad
1/N
x1(n) 1 2 1 2 1 2
x2(n) 1 2 1 2 1 2 1+4+1+4+1+4 = 15 15/6 = 2,5
x2(n−1) 2 1 2 1 2 1 2+2+2+2+2+2 = 12 12/6 = 2,0
x2(n−2) 1 2 1 2 1 2 1+4+1+4+1+4 = 15 15/6 = 2,5
x2(n−3) 2 1 2 1 2 1 2+2+2+2+2+2 = 12 12/6 = 2,0
x2(n−4) 1 2 1 2 1 2 1+4+1+4+1+4 = 15 15/6 = 2,5
x2(n−5) 2 1 2 1 2 1 2+2+2+2+2+2 = 12 12/6 = 2,0
Při tomto způsobu výpočtu zůstává počet součinů zachován, tedy nevadí dělení konstantním
počtem vzorků a výsledné hodnoty se rovnají hodnotám nevychýleného odhadu. To všechno
ale platí jen za situace, kdy vstupní posloupnost obsahuje celočíselný násobek period. Pokud
tento případ neplatí, pak se výsledek deformuje zavedením periodicity, jak uvidíme hnedle
v následujícím příkladu. 
Příklad 4
Určete všemi třemi algoritmy odhady autokorelační posloupnosti následujících posloupností
– a) {1; 2; 1; 2; 1}; b) {2; 1; 2; 1; 2}; c) {1; 2; 1; 2; 1; 2; 1}; d) {2; 1; 2; 1; 2; 1; 2} a konečně
e) {1; 1; 2; 1; 2; 1; 2}. Průběhy vypočítaných autokorelačních posloupností navzájem srovnejte,
příp. srovnejte s průběhy autokorelačních posloupností vypočítaných v předchozím příkladu.
Řešení:
Všechny čtyři zadané posloupnosti nějakým způsobem porušují tu pěknou periodicitu, kterou
měla posloupnost {1; 2; 1; 2; 1; 2} v předchozích dvou příkladech. Zatímco posloupnosti
{1; 2; 1; 2; 1} a {2; 1; 2; 1; 2} jsou o jeden vzorek kratší, zbylé tři posloupnosti jsou naopak o
jeden vzorek delší. V případě posloupnosti {1; 2; 1; 2; 1; 2; 1} je přidána jednička na konec
Obr.3 Průběhy autokorelačních posloupností
z Příkladu 2 vypočítaných oběma způsoby od-
hadu
8
posloupnosti, u posloupnosti {2; 1; 2; 1; 2; 1; 2} je přidána na začátek dvojka a u posloupnosti
{1; 1; 2; 1; 2; 1; 2} jednička. Přestože absolutní změny délek jednotlivých posloupností nejsou
příliš velké (± jeden vzorek), relativní hodnoty zas až tak nevýznamné nejsou. Je to plus mínus
necelých sedmnáct procent.
Z obecného hlediska také není příliš důležité, kolik je kterých vzorků (v tomto případě jedniček
a dvojek) v jednotlivých posloupnostech. Ovšem pro výklad tvaru vypočítaných autokorelačních
posloupností u těchto krátkých a jednoduchých posloupností mohou tyto počty roli
hrát.
Pro výpočet opět použijme modifikace definičního vztahu (4). Zřejmě už není nezbytné uvádět
celý detailní výpočet tak, jako v předchozích dvou příkladech. Uveďme pouze výsledné
posloupnosti.
a) posloupnost {1; 2; 1; 2; 1}
nevychýlený odhad: Rn(m) = {2,2; 2,0; 2,0; 2,0; 1,0}; m = 0, 1, …, 4;
vychýlený odhad: Rv(m) = {2,2; 1,6; 1,2; 0,8; 0,2}; m = 0, 1, …, 4;
kruhový odhad: Rk(m) = {2,2; 1,8; 2,0; 2,0; 1,8 | 2,2; 1,8; …}; m = 0, 1, …, 6;
b) posloupnost {2; 1; 2; 1; 2}
nevychýlený odhad: Rn(m) = {2,8; 2,0; 3,0; 2,0; 4,0}; m = 0, 1, …, 4;
vychýlený odhad: Rv(m) = {2,8; 2,6; 1,8; 0,8; 0,8}; m = 0, 1, …, 4;
kruhový odhad: Rk(m) = {2,8; 2,4; 2,6; 2,6; 2,4 | 2,8; 2,4; …}; m = 0, 1, …, 6;
a) b)
c) d)
Obr.4 Odhady autokorelačních posloupností
vypočítaných pro posloupnosti
a) {1; 2; 1; 2; 1}; b) {2; 1; 2; 1; 2};
c) {1; 2; 1; 2; 1; 2; 1}; d) {2; 1; 2; 1;2; 1;
2}; e) {1; 1; 2; 1; 2; 1; 2} všemi třemi základními
algoritmy (m ≥ 0)
e)
9
c) posloupnost {1; 2; 1; 2; 1; 2; 1}
nevychýlený odhad:
Rn(m) = {2,286; 2,000; 2,200; 2,000; 2,000; 2,000; 1,000}; m = 0, 1, …, 6;
vychýlený odhad:
Rv(m) = {2,286; 1,714; 1,571; 1,143; 0,857; 0,571; 0,143}; m = 0, 1, …, 6;
kruhový odhad:
Rk(m) = {2,286; 1,857; 2,143; 2,000; 2,000; 2,143; 1,857 | 2,286; 1,857; …};
m = 0, 1, …, 8;
d) posloupnost {2; 1; 2; 1; 2; 1; 2}
nevychýlený odhad:
Rn(m) = {2,714; 2,000; 2,800; 2,000; 3,000; 2,000; 4,000}; m = 0, 1, …, 6;
vychýlený odhad:
Rv(m) = {2,714; 1,714; 2,000; 1,143; 1,286; 0,571; 0,571}; m = 0, 1, …, 6;
kruhový odhad:
Rk(m) = {2,714; 2,286; 2,571; 2,429; 2,429; 2,571; 2,286 | 2,714; 2,286; …};
m = 0, 1, …, 8;
e) posloupnost {1; 1; 2; 1; 2; 1; 2}
nevychýlený odhad:
Rn(m) = {2,286; 1,833; 2,400; 1,750; 2,333; 1,500; 2,000}; m = 0, 1, …, 6;
vychýlený odhad:
Rv(m) = {2,286; 1,571; 1,714; 1,000; 1,000; 0,429; 0,286}; m = 0, 1, …, 6;
kruhový odhad:
Rk(m) = {2,286; 1,857; 2,143; 2,000; 2,000; 2,143; 1,857 | 2,286; 1,857; …};
m = 0, 1, …, 8;
Co ta jednoduchá ztráta periodičnosti dokázala napáchat na autokorelačních odhadech je i
graficky vyjádřeno na obr.4. Hodnota pro nulový posun, tj. m = 0 je vždy pro všechny tři algoritmy
odhadu stejná. Ovšem je různá pro jednotlivé posloupnosti. Její hodnota je logicky závislá
na délce jednotlivých posloupností, je závislá i na relativních četnostech hodnot (jedniček a
dvojek) v posloupnosti. Proto největší a nejmenší hodnoty nabývá první hodnota autokorelační
posloupnosti pro nejkratší vstupní posloupnosti a) a b). Táž je první hodnota u posloupností c)
a e), protože mají stejnou délku i stejné poměrné zastoupení obou použitých hodnot.
Bohužel už není vždy první hodnota odhadu autokorelační posloupnosti největší tak, jak očekává
teorie. Platí to jen u vychýlených a kruhových odhadů. V případě nevychýlených odhadů,
které vedou k zvyšování rozptylu hodnot autokorelační posloupnosti se zvětšujícím se přesahem
analyzovaných posloupností, dochází k výraznému nárůstu či poklesu odhadovaných hodnot.
Zda nárůst či pokles, závisí opět na relativních četnostech jedniček a dvojek v posloupnostech.
Je-li více dvojek a dvojka je i na konci posloupnosti dochází ke zvětšení odhadu. Je-li více
jedniček a jednička je i na konci posloupnosti dochází k poklesu odhadované hodnoty.
Vychýlený i nevychýlený odhad jsou délkou omezeny na délku vstupní posloupnosti, z logiky
principu výpočtu zavádí kruhový odhad do průběhu autokorelační posloupnosti periodicitu
s periodou danou délkou vstupní posloupnosti (v numerických výsledcích je vyznačena svislou
čarou).
Vychýlené odhady (opět v závislosti na principu výpočtu) mají klesající trend, oproti nevychýleným
odhadům je díky tomu i méně výrazné vyjádření periodicity. 
Příklad 5
Určete nevychýlený i vychýlený odhad vzájemné korelační posloupnosti posloupností:
x1 = {1; 2; 3; 2; 1} a x2 = {1; 2; 1; 0; 1}.
10
Řešení:
Obě zadané posloupnosti mají tutéž délku. Protože vzájemná korelační posloupnost nemusí
být obecně symetrická vzhledem k počátku časové osy, tj. m = 0, spočítáme její hodnoty pro
kladné i záporné hodnoty posunu. Stále počítáme podle variant vztahu (4).
součet realizovatelných
součinů vzorků
posloupnosti
nevychýlený
odhad
vychýlený
odhad
x1(n) 1 2 3 2 1
x2(n+4) … 0 1 1 = 1 1/1 = 1,000 1/5 = 0,2
x2(n+3)
x2(n+2)
x2(n+1)
… 1 0 1
… 2 1 0 1
1 2 1 0 1
0+2 = 2
1+0+3 = 4
2+2+0+2 = 6
2/2 = 1,000
4/3 = 1,333
6/4 = 1,500
2/5 = 0,4
4/5 = 0,8
6/5 = 1,2
x2(n) 1 2 1 0 1 1+4+3+0+1 = 9 9/5 = 1,800 9/5 = 1,8
x2(n−1) 1 2 1 0 1 2+6+2+0 = 10 10/4 = 2,500 10/5 = 2,0
x2(n−2) 1 2 1 0 … 3+4+1 = 8 8/3 = 2,667 8/5 = 1,6
x2(n−3)
x2(n−4)
1 2 1 …
1 2 …
2+2 = 4
1 = 1
4/2 = 2,000
1/1= 1,000
2/5 = 0,4
1/5 = 0,2
Na zobrazených průbězích
(obr.5b) obou odhadů je zcela
zřejmá jejich nesymetričnost.
Neváhovaný odhad (první
výsledkový sloupec ve výše
uvedené tabulce) korelační posloupnosti
má maximum pro
m = 1. Tuto polohu ctí též vychýlený
odhad, což lze snadno
očekávat, když jeho hodnoty
jsou jen konstantně poníženy.
Tato poloha odpovídá slícování
maxim obou zadaných posloupností.
Na druhé straně, nevychýlený
odhad nabývá též poměrně
vysokých hodnot, ale své
maximum má lehce posunuté
pro m = 2. To je způsobeno samozřejmě
odlišným váhováním,
ale i nepřímým vlivem
těch částí obou posloupností,
které se bezprostředně nepodílí na výpočtu (jsou posunuty mimo intervaly možného pronáso-
bení).
Příklad 6
Určete odhady vzájemné korelační posloupnosti dvou následně zadaných posloupností:
x1 = {−1; 1; −1; 1; −1; 1} a x2 = {−1; 1; −1}.
Řešení:
Obě zadané posloupnosti mají tentokrát různou délku. Začátek výpočtu v USTÁLENÉM
stavu by měl nastat ve chvíli, kdy VŠECHNY vzorky kratší posloupnosti UŽ dokážeme vynásobit
vzorky delší posloupnosti (m = 0) a konec výpočtu ustáleného stavu nastane tehdy, když
a)
b)
Obr.5 (a) Zadané posloupnosti a (b) odhady jejich vzájemné
korelační posloupnosti podle zadání Příkladu 5
11
dokážeme JEŠTĚ všechny vzorky kratší posloupnosti vynásobit se vzorky delší posloupnosti.
Výpočet by ale měl začínat (m = −2), pokud UŽ můžeme mezi sebou vynásobit ALESPOŇ
JEDEN prvek z každé ze zadaných posloupností a končit, pokud JEŠTĚ můžeme mezi sebou
vynásobit alespoň jeden prvek z každé posloupnosti. Tedy počet sečítaných součinů, který by
mohl ovlivnit výběr algoritmu vychýleného či nevychýleného odhadu, může nastat pouze na
začátku a konci výpočtu.
Pokud budeme posloupnost {−1; 1; −1; 1; −1; 1} považovat za posloupnost x1 a posloupnost
{−1; 1; −1} za x2 (jak jsou uvedeny ve vztazích (1) a (4)), bude vhodnější/názornější
použít pro odhad vzájemné korelace vztah (4).
součet realizovatelných
součinů vzorků
posloupnosti
nevychýlený
odhad
vychýlený
odhad
x1(n) −1 1 −1 1 −1 1
x2(n+2) −1 1 −1 1 = 1 1/1 = 1 1/3 = 0,333
x2(n+1) −1 1 −1 (−1)+( −1) = −2 −2/2 = −1 −2/3 = −0,667
x2(n) −1 1 −1 1+1+1 = 3 3/3 = 1 3/3 = 1,000
x2(n−1) −1 1 −1 (−1)+( −1)+( −1) = −3 −3/3 = −1 −3/3 = −1,000
x2(n−2) −1 1 −1 1+1+1 = 3 3/3 = 1 3/3 = 1,000
x2(n−3)
x2(n−4)
x2(n−5)
−1 1 −1
−1 1 −1
−1 1 −1
(−1)+( −1)+( −1) = −3
1+1 = 2
−1 = −1
−3/3 = −1
2/2 = 1
−1/1 = −1
−3/3 = −1,000
2/3= 0,667
−1/3 = −0,333
Grafické znázornění výsledných korelačních posloupností je na obr.6.
Je jasně zřejmé, že vliv nevychýleného,
resp. vychýleného
odhadu se uplatňuje pouze v
přechodných neustálených odhadech
na začátku a na konci
výsledné vzájemné korelační
posloupnosti.
Jak plyne z definice korelační
posloupnosti, její hodnoty
vyjadřují vzájemný vztah/podobnost
mezi dvěma posloupnostmi,
příp. jak se tento vztah mění se změnou vzájemné polohy srovnávaných posloupností.
Z toho plyne, že hodnota by měla být vysoká, když se oba srovnávané průběhy navzájem podobají
a naopak nízká, pokud se srovnávané posloupnosti nepodobají.
Z této logiky lze usoudit, že vysoká hodnota odhadu korelační posloupnosti bude tehdy, když
se bude posloupnost {−1; 1; −1} vyskytovat v místě, kde se v posloupnosti {−1; 1; −1; 1; −1;
1} právě vyskytuje tato sekvence. To nastává v ustáleném stavu pro m = 0 a m = 2. V přechodných
intervalech lze částečnou tvarovou podobnost mezi oběma posloupnostmi nalézt i pro
m= −2 a m = 4. A naopak. Tam, kde se v posloupnosti {−1; 1; −1; 1; −1; 1} vyskytuje dílčí
sekvence s hodnotami s opačnou polaritou, tj. {1; −1; 1}, tam bude hodnota korelační posloupnosti
minimální. Že jsou tyto extrémní hodnoty právě +1 a −1, plyne z hodnot posloupností x1
a x2; obecně to není hodnota korelačních koeficientů. V tomto konkrétním případu ale ano,
protože posloupnost x1 má nulovou střední hodnotu a jednotkový rozptyl a posloupnost x2 se
těmto vlastnostem dostatečně blíží. 
Obr.6 Vzájemné korelační posloupnosti podle zadání Příkladu
6 (modrá – vychýlený odhad; žlutá – nevychýlený
odhad)
12
Příklad 7
Určete odhady vzájemné korelační posloupnosti dvou následujících posloupností: x1 = {−1;
1; −1; 1; −1; 1;} a x2 = {1; −1; 1}.
Řešení:
Na rozdíl od předešlého příkladu 6 se změnila polarita hodnot posloupnosti x2. Tím pádem,
na základě rozboru řešení v předešlém příkladu, lze snad bez výpočtu rovnou psát:
nevychýlený odhad: Rn(m) = {−1; 1; −1; 1; −1; 1; −1; 1}; m = −2, −1, …, 5
vychýlený odhad: Rn(m) = {−0,333; 0,667; −1; 1; −1; 1; −0,667; 0,333}; m = −2, −1,
…, 5.
Kdo nevěří, ať si spočítá. 
Příklad 8
Určete odhady vzájemné korelační posloupnosti dvou následujících posloupností: x1 = {1; 2;
1; 2; 1; 2} a x2 = {−1; 1; −1}.
Řešení:
Posloupnost x2 je tentokrát stejná jako v příkladu 6, posloupnost x1 je rovněž oscilující s toutéž
periodou (T = 2), ale obsahuje pouze kladné hodnoty a střední hodnota je 1,5. Způsob výpočtu
se nemění, jen pro kontrolu jej uveďme:
V ustáleném intervalu nabývá
odhad korelační funkce
hodnot 0 a −1. Nula neznamená
srovnání bez korelace,
jak je zvykem u korelačních
koeficientů, je to v tomto intervalu
maximální hodnota,
a tedy to znamená, že pro
m = 0 a m = 2 se obě posloupnosti
nejvíce podobají.
Hodnoty obou odhadů
pro m = 4 větší než nula jsou
dány výpočtem v přechodném
intervalu. Větší výchylky
(v absolutní hodnotě)
na konci odhadů, než na jejich
začátku vyplývají ze
součet realizovatelných
součinů
vzorků posloup-
nosti
nevychýlený
odhad
vychýlený
odhad
x1(n) 1 2 1 2 1 2
x2(n+2) −1 1 −1 −1 = −1 (-1)/1 = −1 (−1)/3 = −0,33
x2(n+1) −1 1 −1 1+(−2) = −1 (-1)/2 = −0,5 (−1)/3 = −0,33
x2(n) −1 1 −1 (−1)+2+(−1) = 0 0/3 = 0 0/3 = 0,00
x2(n−1) −1 1 −1 (−2)+1+(−2) = −3 (-3)/3 = −1 (−3)/3 = −1,00
x2(n−2) −1 1 −1 (−1)+2+(−1) = 0 0/3 = 0 0/3 = 0,00
x2(n−3)
x2(n−4)
x2(n−5)
−1 1 −1
−1 1 −1
−1 1 −1
(−2)+1+(−2) = −3
(−1)+2 = 1
(−2) = −2
(-3)/3 = −1
1/2 = 0,5
(-2)/1 = −2
(−3)/3 = −1,00
1/3 = 0,33
(−2)/3 = −0,67
a)
b)
Obr.7 (a) Zadané posloupnosti a (b) odhady jejich vzájemné
korelační posloupnosti (modrá – vychýlený odhad; žlutá –
nevychýlený odhad) podle zadání Příkladu 8
13
skutečnosti, že posloupnost x1 začíná jedničkou a končí dvojkou – poslední vzorek odhadu se
tedy bere s větší vahou než první. 
Příklad 9
Určete nevychýlený odhad vzájemné korelační posloupnosti dvou následujících posloupností:
x1 = {1; 2; 1; 1; 2; 1} a x2 = {−1; 1; −1}.
Řešení:
Perioda posloupnosti x1 je v tomto případě T = 3 a je v ní obsažena dvakrát. Současně je
rovna i délce posloupnosti x2.
Výsledný odhad korelační posloupnosti je roven
Rn(m) = {−1,000; −0,500; 0,000; −0,667; −0,667; 0,000; −0,500; −1,000}, m = −2, −1, …, 5.
Zobrazen je tento průběh na obr.8. Nulová maxima korelační posloupnosti se vyskytují pro
m = 0 a m = 3, tj. pozice, kde se v posloupnosti
x1 vyskytuje největší hodnota nebo jinak,
kdy je posloupnost {−1; 1; −1} nejpodobnější
dílčímu trojúhelníku {1; 2; 1} v posloupnosti
x1. Na rozdíl od všech předchozích
příkladů je vypočítaná korelační posloupnost
symetrická, což je způsobeno symetrií
obou vstupních posloupností. 
Příklad 10
Určete nevychýlený odhad vzájemné korelační posloupnosti dvou následujících posloupností:
x1 = {0; 1; 2; 0; 1; 2} a x2 = {1; 2; 3}.
Řešení:
Výsledný odhad korelační posloupnosti je Rn(m) = {0; 1,5; 2,667; 1,667; 1,667; 2,667; 2,5;
2}, m = −2, −1, …, 5.
Jsou-li dva první vzorky součástí přechodného
děje s překryvem jednoho a
dvou vzorků, pak logicky největší
shoda/korelace mezi x1 a x2 nastává s prvním
úplným překryvem mezi vzorky x1 a
x2, tj. pro m = 0. Je to tehdy, když nastává
úplná shoda v lineárním nárůstu hodnot
vzorků jak posloupnosti x1, tak i x2. 
Příklad 11
Určete nevychýlený i vychýlený odhad vzájemné korelační posloupnosti dvou následujících
posloupností: x1 = {1; 2; 1; 2; 1} a x2 = {0; 1; 0}.
Řešení:
Pokud přistoupíme k řešení tohoto zadání bez hlubší rozvahy týmž postupem, jak v předcházejících
příkladech a budeme předpokládat, že délka posloupnosti x1 je 5 a x2 je 3 vzorky, pak
je:
nevychýlený odhad: Rn(m) = {0; 0,5; 0,667; 0,333; 0,667; 0,5; 0}; m = −2, −1, …, 4;
vychýlený odhad: Rv(m) = {0; 0,333; 0,667; 0,333; 0,667; 0,333; 0}; m = −2, −1, …, 4.
Obr.8 Nevychýlený odhad korelační posloupnosti
dle zadání Příkladu 9
Obr.9 Nevychýlený odhad korelační posloupnosti
dle zadání Příkladu 10
14
Vidíme, že oba odhady se liší pouze v jednom vzorku v přechodné fázi výpočtu na začátku
a na konci vypočtených posloupností.
K výpočtu lze ale přistoupit i z jiného pohledu. Posloupnost x2 obsahuje pouze jeden nenulový
vzorek, který je z obou stran obklopen nulami. Tedy faktická délka posloupnosti x2 je
pouze jeden vzorek a nemá smysl vztahovat vypočtené hodnoty k dříve uvažované délce posloupnosti
x2, nýbrž pouze k délce jeden vzorek. Pak jsou obě výsledné posloupnosti (nevychýlený
i vychýlený odhad) stejné, a to {0; 1; 2; 1; 2; 1; 0}. A to je posloupnost x1, pouze ohraničená
nulami, představující přechodný počáteční a koncový děj.
A ještě jinak. Posloupnost x2 vlastně představuje jednotkový impulz. Protože ale x2 jedničkou
nezačíná, ale je až na druhé pozici, reprezentuje x2 jednotkový impulz posunutý o jeden
vzorek. Teď si připomeňme vztah mezi korelací a konvolucí, jak jej vyjadřují vztahy (11) a (12)
a k tomu definiční vlastnost jednotkového impulzu, která říká, že konvoluce jednotkového impulzu
s danou posloupnosti je rovna této dané posloupnosti. Abychom spočítali konvoluci posloupností
x1 a x2, není třeba vyvíjet speciální úsilí, protože posloupnost x2 je osově symetrická
a není třeba ji proto v čase invertovat. Z toho důvodu je neváhovaná posloupnost {0; 1; 2; 1; 2;
1; 0} současně i výsledkem konvoluce obou posloupností. A to, že je na začátku nula, je způsobeno
posunem jednotkového impulzu v posloupnosti x2. 
Příklady pro samostatné procvičení
Určete odhady (nevychýlený, vychýlený, neváhovaný) korelačních posloupností pro následující
posloupnosti. Výsledek svého snažení můžete srovnat s uvedenými neváhovanými korelačními
posloupnostmi. Důležité určitě bude zamyslet se nad spočítanými výsledky a zapřemýšlet
nad tím, co znamenají, co říkají o vlastnostech obou zadaných posloupností a proč jsou
takové, jaké jsou. Případně srovnat zadání a výsledky z jednotlivých zadání a zamyslet se, jak
navzájem souvisí.
1) x1 = {1; 2; 1; 2; 1} a x2 = {−1; 0; −1};
neváhovaný výsledek: R(m) = {−1; −2; −2; −4; −2; −2; −1}; m = −2, −1, …, 4;
2) x1 = {1; 2; 1; 2; 1} a x2 = {1; 0; 1};
neváhovaný výsledek: R(m) = {1; 2; 2; 4; 2; 2; 1}; m = −2, −1, …, 4;
3) x1 = {1; 2; 3; 2; 1, 2; 3} a x2 = {1; 2; 3};
neváhovaný výsledek: R(m) = {3; 8; 14; 14; 10; 10; 14; 8; 3}; m = −2, −1, …, 4;
4) x1 = {2; 3; 4; 3; 2; 3; 4} a x2 = {1; 2; 3};
neváhovaný výsledek: R(m) = {6; 13; 20; 20; 16; 16; 20; 11; 4}; m = −2, −1, …, 4;
5) x1 = {2; 3; 4; 3; 2; 3; 4} a x2 = {3; 2; 1};
neváhovaný výsledek: R(m) = {2; 7; 16; 20; 20; 16; 16; 17; 12}; m = −2, −1, …, 4.
Průběhy vychýlených, resp. nevychýlených odhadů vzájemné korelační posloupnosti získáme
podělením hodnot korelační posloupnosti R(m) odpovídajícími vahami, tj. délkou kratší
posloupnosti N2, resp. N2 - |m|. 
Příklad 12
Určete nevychýlený i vychýlený odhad autokorelační posloupnosti konstantní posloupnosti.
Pro zjednodušení, nechť tato posloupnost obsahuje pouze jednotkové vzorky. Tedy např. posloupnosti
x = {1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1}.
Řešení:
Autokorelační posloupnost, která je výsledkem výpočtu korelace/podobnosti dané posloupnosti
s posouvaným průběhem téže posloupnosti tak vyjadřuje i souvislost mezi hodnotami sousedních
vzorků/prvků této posloupnosti.
15
Na základě této úvahy lze předpokládat (hodnoty všech prvků konstantní posloupnosti jsou
stejné, tedy jsou spolu hodnotově jednoznačně vázány), že velikost prvků autokorelační posloupnosti
posloupnosti s konstantními prvky bude též konstantní.
Ověřme výpočtem.
Nevychýlený odhad, který zachovává střední hodnotu, opravdu potvrzuje výše uvedenou
rozvahu; vychýlený odhad díky konstantnímu váhovému koeficientu logicky vede k lineárně
klesajícím hodnotám.
Odhady spočítané pro kladný i záporný posun v prostředí MATLAB®
pro posloupnost s 500
prvky je na obr.10. Protože víme, že autokorelační posloupnost je sudá, pak je symetricky lineárně
klesající vychýlený odhad očekávaný, podobně jako konstantně jednotkový nevychýlený
odhad. U nevychýleného odhadu může být zajímavé všimnout si oscilací hodnot odhadu pro
velké hodnoty posunu tak, jak předpokládá teorie – zvětšením rozptylu odhadu pro velké m.
Nicméně, srovnáme-li velikost kmitů s měřítkem na svislé ose, není třeba se kmitáním této velikosti
nijak znervózňovat. 
Příklad 13
Rozmyslete, jak vypadá autokorelační posloupnost náhodné posloupnosti s nulovou střední
hodnotou a jednotkovým rozptylem.
Řešení:
V tomto případě vskutku nelze výsledek demonstrovat pomocí nějaké zjednodušené verze.
Můžeme jej určit pouze na základě rozboru vlastností náhodné posloupnosti, příp. si výsledek
úvahy ověřit pomocí počítačové simulace.
Jsou-li každé dva bezprostředně sousední prvky náhodné posloupnosti nekorelované, při
normálním rozložení pravděpodobnosti i na sobě nezávislé, pak i při posunu o jeden prvek musí
být autokorelační posloupnost nulová. Jediná hodnota posunu, pro který je autokorelační posloupnost
nenulová je nulový posun, tj. m = 0. Pro tuto hodnotu posunu je při nulové střední
hodnotě hodnota autokorelační posloupnosti rovna rozptylu zadané náhodné posloupnosti.
Výsledek počítačové simulace v prostředí MATLAB®
je na obr.11. Oba odhady jsou dle
výše uvedené rozvahy pro m  0 nulové. Drobné oscilace kolem nuly jsou dány mírou kvality
generátoru náhodné posloupnosti. V případě vychýleného odhadu tyto oscilace s růstem hodnoty
m klesají (viz princip výpočtu vychýleného odhadu), u nevychýleného odhadu naopak
oscilace se zvětšováním vzájemného posunu posloupností (viz princip výpočtu nevychýleného
odhadu). Hodnota autokorelační posloupnosti pro oba způsoby odhadu je rovna rozptylu
vstupní posloupnosti, tedy dle zadání rovna jedné. 
součet realizovatelných
součinů vzorků po-
sloupnosti
nevychýlený
odhad
vychýlený
odhad
x(n) 1 1 1 1 1 1 1 1
x(n-0) 1 1 1 1 1 1 1 1 1+1+1+1+1+1+1+1= 8 8/8 = 1 8/8 = 1,000
x(n-1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1+1+1+1+1+1+1= 7 7/7 = 1 7/8 = 0,875
x(n-2) 1 1 1 1 1 1 1… 1+1+1+1+1+1 = 6 6/6 = 1 6/8 = 0,750
x(n-3) 1 1 1 1 1 1… 1+1+1+1+1 = 5 5/5 = 1 5/8 = 0,625
x(n-4) 1 1 1 1 1… 1+1+1+1= 4 4/4 = 1 4/8 = 0,500
x(n-5)
x(n-6)
x(n-7)
1 1 1 1…
1 1 1…
1 1…
1+1+1 = 3
1+1= 2
1= 1
3/3 = 1
2/2 = 1
1/1 = 1
3/8 = 0,375
2/8 = 0,250
1/8 = 0,125
16
a)
b)
c)
Obr.10 a) Jednotková posloupnost s 500 prvky; b) vychýlený odhad, c) nevychýlený odhad
autokorelační posloupnosti této posloupnosti
a)
b)
c)
Obr.11 a) Náhodná posloupnost s nulovou střední hodnotou a jednotkovým rozptylem s 500
prvky; b) vychýlený odhad; c) nevychýlený odhad autokorelační posloupnosti této posloup-
nosti
17
Příklady ze života
Skupina látek běžně označovaná jako perzistentní organické polutanty (v angličtině se používá
zkratka POPs a přeneseně se používá i v češtině) je tvořena látkami, jejichž základ je tvořen
uhlíkovými řetězci nebo častěji v kombinaci s tzv. aromatickými/benzenovými jádry. Tyto
látky vykazují v prostředí vysokou perzistenci, tj. odolnost proti přirozenému rozkladu např.
působením slunečního záření, oxidačních činidel, případně vlivem živých organismů. Až na
výjimky jde o látky umělého původu vytvářené člověkem záměrně pro jejich perzistentní vlastnosti
nebo mimoděk jako vedlejší produkty jiných chemických procesů.
Právě vzhledem k jejich perzistenci se POPs mohou v prostředí jako je voda, vzduch, půda
nebo sedimenty, ale také v živých tělech rostlin a živočichů včetně lidí, vyskytovat i poměrně
dlouhou dobu po svém vzniku (řádově od roků až po stovky let). Tato skutečnost v některých
případech vyvolává nebo může vyvolávat nežádoucí vliv na životního prostředí a lidské zdraví.
Klíčovým prostředím pro monitoring POPs je vnější ovzduší. V principu lze pro stanovení
vzdušné koncentrace POPs rozlišit dva zásadní přístupy – aktivní a pasivní vzorkování ovzduší.
Aktivní vzorkování spočívá v čerpání vzduchu skrze adsorpční filtry, které s vysokou účinností
a při řízené teplotě zachycují na svém povrchu molekuly POPs. Jde o relativně dražší a komplikovanější
metodu, vyžadující umístění zařízení na místě s přístupem k elektrické energii a
možností náročné údržby. Získané údaje jsou nicméně vysoce přesné. Alternativou je pasivní
vzorkování, kdy je adsorbční médium umístěno do polouzavřené schránky, kterou vzduch volně
prochází. Tento levnější a jednodušší způsob vzorkování je nicméně zatížen určitou mírou nejistoty
vyplývající z neznalosti skutečného množství vzduchu, které bylo za dobu expozice ve
styku s adsorpčním médiem a teploty, při které adsorpce probíhala.
V České republice probíhají na observatoři ČHMÚ v Košeticích oba typy monitoringu
ovzduší paralelně, díky čemuž jsou dlouhodobě získávána cenná data umožňující nejen posouzení
samotné koncentrace POPs v ovzduší, ale také hodnocení vzájemného vztahu obou monitorovacích
metod a odvození obecných principů a metod datové analýzy.
Ideální by bylo, kdyby oba typy měření znečištění obsahovaly stejnou podstatnou informaci
o kvalitě měřeného prostředí. Pak by bylo možné a ekonomicky výhodnější používat pasivních
vzorkovačů. Z dále uvedených dat je zřejmé, že je toto přání nereálné. Proto může analýza záznamů
z obou typů vzorkovačů, případně s dalšími meteorologický záznamy, napomoci k hledání
příčin rozdílů v datových záznamech a zkoumání možností tyto rozdíly napravit.
Protože se v tomto místě zabýváme především použitím korelačních posloupností, použijme
právě tohoto způsobu k vyjádření vlastností uvedených časových záznamů. Záznamy jsou z období
let 2009 až 2019 s pravidelnou měsíční vzorkovací periodou (12 vzorků do roka), na kterou
byly naměřené hodnoty přepočítány, protože některé hodnoty nebyly změřené, resp. byly
změřené chybně.
Z pořízených záznamů byly rovněž odečteny lineární trendy, to aby byla odstraněna jejich
nejvýznamnější nestacionární složka.
Základní vlastnosti korelačních posloupností těchto záznamů si předveďme na datech koncentrace
látky p,p‘-DDE, která je produktem rozkladu známého pesticidu 1,1,1-trichlor-2,2bis(4-chlorfenyl)ethanu,
označovaného jako DDT, ovšem s podstatně delším poločasem rozkladu
(a tedy delším setrvání v prostředí).
Druhý příklad bude pro jednoho zástupce z třídy polychlorovaných bifenylů (PCB). To jsou
toxické perzistentní látky se dvěma benzenovými jádry, které se hojně využívaly zejména od
60. do 80. let 20. století jako lubrikanty výhodně pro svoji stabilitu a široký rozsah teplot, ve
kterém zůstávají v kapalném stavu. Typickým využitím PCB bylo chlazení v elektrických zařízeních
(zejména transformátorech) a v nátěrových hmotách a barvivech.
18
a)
b)
Obr.12 Časová řada koncentrace PP_DDE pomocí a) aktivního měřiče; b) pasivního měřiče
ze stanice Košetice
Záznam z aktivního měřiče vykazuje pěkně viditelnou roční periodicitu, možná jen částečně
ovlivněnou pozvolným nárůstem/trendem v období 2009 až 2014, poté pokles a relativně stálou
základní úroveň dat v čase od roku 2015 do konce záznamu. Záznam z pasivního měřiče vykazuje
frekvenční složky i s vyšší frekvencí (orientačně půlroční), kolísání základní linie lze hodnotit
jako výraznější.
Jak se nyní tyto vlastnosti projeví v autokorelačních posloupnostech1
?
Odhady průběhů autokorelačních posloupností jsou počítány pomocí vzorce pro vychýlený
odhad. Proto se hodnoty maxim v obou zobrazených autokorelačních posloupnostech se zvětšováním
posunu zmenšují.
Autokorelační posloupnost dat z aktivního měřiče vykazuje téměř až dokonalou roční periodicitu.
Vzhledem k tomu, že záznam začíná a končí na přelomu roku v zimním období a minima
jsou v časové řadě užší než maxima v letních měsících, jsou maxima autokorelační posloupnosti
strmější než minima.
Autokorelační posloupnost pro data z pasivního měřiče sice také vykazuje maxima ukazující
na roční periodicitu originálních dat. Maxima jsou ale méně výrazná než v případě aktivního
měřiče. Kromě toho můžeme v grafu vidět i maxima (i lokální, a ne příliš výrazná) pro poloviční
časové intervaly, což signalizuje výše zmíněnou půlroční periodicitu (červené šipky). V grafu
1
V příkladech zde uvedených jsou hodnoty korelačních posloupností standardizovány, tedy odpovídají hodnotám
Pearsonova korelačního koeficientu pro daný posun. To znamená, že hodnoty autokorelačních posloupností
pro nulový posun jsou vždy rovny jedné – není podobnější posloupnost než ta samá neposunutá posloupnost.
19
autokorelační posloupnosti je též velice zřejmý vliv pomalého kolísání základní linie, s druhým
nevýrazným maximem pro posun zhruba 90 vzorků (modrá šipka). To odpovídá orientačně
periodě 7,5 roku. Pokud bychom naznali, že první minimum pomalého kolísání je právě na
začátku záznamu, pak druhé minimum by mělo být přibližně v polovině roku 2016. Z grafu
originálních dat na obr.12b) by tak opravdu mohlo být. V záznamu z aktivního měřiče bychom
toto pomalé kolísání mohli také identifikovat, je však o něco méně významné, v autokorelační
posloupnosti nezřetelné, částečně i vlivem výpočtu pomocí vychýleného odhadu.
a)
b)
c)
Obr.13 Autokorelační posloupnosti časových řad koncentrace PP_ DDE ze stanice
Košetice z a) aktivního měřiče; b) pasivního měřiče (šedé svislé linie v grafech vyznačují
roční periodicitu – celočíselné násobky 12) a jejich vzájemná korelační posloupnost
20
Odhad vzájemné korelační posloupnosti je počítán pomocí vzorce pro nevychýlený odhad,
proto se velikost výchylky se zvětšující se hodnotou posunu zvětšuje. Ve zmíněném vzorci je
za posloupnost x1 považován záznam z aktivního měřiče, posunovaná posloupnost x2 je dána
daty z pasivního měřiče. Pro výpočet je použita váhovaná varianta vztahu (4), tj. se záporným
znaménkem pro posun x2. Protože vzájemná korelační posloupnost není obecně symetrická
podle osy y, zobrazuje graf posun oběma směry.
Absolutní maximum se vyskytuje pro nulový posun, i když teoreticky to u vzájemné korelace
být nemusí. To, že to tak je, signalizuje podobnost obou posloupností. Vlastně zde nastává
to, co platí pro autokorelační posloupnosti, kde absolutní maximum v počátku časové osy být
musí. Je-li tento extrém překonán velikostmi korelační posloupnosti pro velké hodnoty posunu,
je to dáno chybami vyplývajícími z malého počtu vzorků zahrnutých do výpočtu nevychýleného
odhadu. O podobnosti obou originálních záznamů svědčí i skutečnost, že obě strany vzájemné
korelační posloupnosti, pro kladný i záporný posun, se v zásadě podobají, o korelační
posloupnosti lze zhruba hovořit jako o symetrické.
V průběhu vzájemné korelační posloupnosti jsou jasně viditelné dvě zásadní tendence –
s roční periodou (12 vzorků) a dříve zmíněná pomalá, cca 7,5roční, s periodou cirka 90 vzorků,
více patrná u záznamu z pasivního měřiče. To, že se tato pomalá oscilace projevila i ve vzájemné
korelaci potvrzuje, že je vskutku přítomna i v datech z aktivního měřiče, ač se to v jejich
autokorelační posloupnosti výrazně neprojevuje. Zvýšení frekvence kmitů na okrajích vzájemné
kolační posloupnosti (pro absolutní hodnotu posunu přibližně větší než 100) můžeme
a)
b)
Obr.14 Záznam koncentrace PCB52 z a) aktivního měřiče a b) jeho autokorelační posloupnost;
c) záznam koncentrace PCB62 z pasivního měřiče
21
přisoudit, kromě nejistoty způsobené nevychýleným odhadem, výskytu rychlejších oscilací na
začátku i konci obou originálních posloupností.
Trochu jiný pohled nabízí korelační analýza záznamů koncentrace PCB52.
Autokorelační posloupnost záznamu z aktivního měřiče (obr.14a) vykazuje kromě standardní
roční periodicity i jasné pomalé kolísání s čtyřletou periodou (posun o 48 vzorků, resp.
o 96 vzorků) (obr.15a). Maximum autokorelační posloupnosti pro tuto hodnotu posunu je znatelně
větší než okolní extrémy pro posun o 36 a 60 vzorků, byť by se při výpočtu algoritmem
pro vychýlený odhad měla maxima spíše zmenšovat. Podporu pro takovou periodicitu nabízí i
druhý pozitivní extrém pro posun o 96 vzorků, tedy právě dvojnásobek 48. Že by v originálních
datech mohla tato periodicita být, naznačují v obr.14 modré šipky v místech odhadu lokálních
a)
b)
c)
Obr.15 Autokorelační posloupnosti koncentrace PCB52 z a) aktivního měřiče a b) jeho autokorelační
posloupnost a c) jejich vzájemná korelační posloupnost
22
maxim v obr.14a. A tak je otázkou další, tentokrát již ani ne matematické analýzy, zda je toto
zjištění jen artefakt, či zda existují jiné důvody, proč by tak mohlo objektivně být. Kupodivu se
podobná periodicita, ovšem s lehce prodlouženou periodou vyskytuje i v datech z pasivního
měřiče (obr.14b). To prodloužení může být způsobeno relativně vysokou koncentrací PCB52
v letech 2009 až 2011. Pomoc pro zkoumání tohoto jevu by mohla nabídnout i frekvenční analýza,
ale to už je teď mimo tuto kapitolu s příklady výpočtu korelačních posloupností, ale můžeme
ji použít v další kapitole.
V autokorelační funkci dat z pasivního měřiče jasně převládá uvedené pomalé kolísání
úrovně, byť i roční periodicita a jí odpovídající lokální maxima jsou v jejím průběhu patrné, i
když ne příliš výrazně. Navíc se ta lokální maxima nevyskytují přesně v násobcích 12, což lze
přičíst i jistému kolísání délky „ročních“ period v originálních datech.
Vzájemná korelační posloupnost už vůči hodnotě nulového posunu symetrická, ani zhruba,
není. Dokonce ani extrém v okolí nulového posunu. Proč tomu tak je, je třeba posoudit globálně
z obou celých záznamů, což je na základě pouze vizuálního zkoumání značně obtížné. (Pomůckou
v tom případě může být připomínka, že vzhledem k použitému vzorci, kladné hodnoty posunu
ve vzájemné korelační posloupnosti odpovídají posunu záznamu z pasivního měřiče
vpravo.) Zhruba lze snad jen konstatovat, že podobnost obou posuzovaných originálních záznamů
je pro malé hodnoty kladného posunu větší než pro jeho záporný směr.
V průběhu korelační posloupnosti je dominantní pomalé kolísání (s výše zmíněnou periodicitou
cirka 48 vzorků). To je známkou významné přítomnosti této frekvenční složky v obou
originálních posloupnostech.
Lokální maxima odpovídající roční oscilaci (násobky 12) jsou v popisované korelační posloupnosti
rovněž přítomná. Jsou však superponována na křivce reprezentující výše zmíněnou
nízkou frekvenci, a tudíž ne tolik výrazná.
Zvýšená frekvence oscilací na krajích vzájemné korelační posloupnosti je dána zvýšenou
frekvencí na začátcích obou originálních záznamů. Zvětšení výchylek v těchto úsecích posloupnosti
vyplývá ze způsobu výpočtu, tj. pomocí nevychýleného odhadu korelační posloupnosti.
