1
Komplexní čísla
Základní informace
Tato kapitola je kapitolou opakovací. Předpokládáme, že studenti znají základy počítání
s komplexními čísly, nicméně tušíme, že setkání s problematikou už bylo dávno a navíc zřejmě
na středních školách v různém rozsahu. Proto bychom tímto připomenutím chtěli i sjednotit
úroveň znalostí. A to všechno kvůli tomu, že bez komplexního kalkulu se problematika
zpracování časových řad prostě neobejde.
Výstupy z výuky
 seznámit se se základními typy vyjádření komplexních čísel a dokázat způsoby vyjádření
komplexních čísel mezi sebou převádět;
 zvládnout základní matematické operace s komplexními čísly a dokázat je bez váhání
provádět;
 seznámit s průběhem exponenciální funkce pro různé varianty komplexních exponen-
tů;
1. Základní typy popisu komplexních čísel
Definice 1.1
Komplexní čísla jsou čísla ve tvaru x = a + ib, kde a, b jsou reálná čísla a i je tzv. imaginární
jednotka. Číslo a se nazývá reálná část (složka) komplexního čísla x (Re(x) = a) a
reálné číslo b nazýváme imaginární část (složka) komplexního čísla x (Im(x)= b). Platí-li
a = 0, b  0 nazýváme komplexní číslo x ryze imaginárním.
Poznámka
V matematických textech je zvykem pro vyjádření imaginární jednotky používat písmeno i.
V elektrotechnických textech, kde se problematika zpracování signálů a časových řad objevila
jako první, se písmene i používá k označení jedné ze základních elektrotechnických veličin a
to okamžité hodnoty elektrického proudu. Proto se v textech, zabývajících se problematikou
zpracování signálů, používá k označení komplexní jednotky symbolu j. Budeme se nadále
držet této konvence navzdory skutečnosti, že tyto texty jsou určeny především pro čtenáře
s matematickým vzděláním, protože se domníváme, že tento zvyk usnadní případné doplňkové
studium publikací o zpracování signálů a časových řad.
Výše uvedenou definici komplexního čísla tedy budeme vnímat ve tvaru x = a + jb.
Imaginární jednotka byla zavedena a použita, aby bylo možné zvládnout řešení rovnic typu
x2
= -1. Proto pro imaginární jednotku platí mocniny
j4k
= 1, j1+4k
= j, j2+4k
= -1 a j3+4k
= -j, kde k je celé nezáporné číslo. (1.1)
2
Definice 1.2
Číslo jbax*
 s imaginární složkou s opačným znaménkem označujeme jako komplexně
sdružené k číslu x = a + jb.
Poznámka
Komplexní čísla jsou dle definice 1.1 v podstatě dána uspořádanou dvojicí reálných čísel,
což vlastně vede k podobnému nahlížení, znázornění i k manipulaci jako v případě dvousložkových
vektorů. Komplexní číslo (je-li zcela zřejmé, že se o komplexní číslo jedná a nelze je
tudíž zaměnit s dvousložkovým vektorem) můžeme také zapsat ve tvaru x = (a,b).
Definice 1.3
Zápis komplexního čísla po složkách ve tvaru x = a + jb nebo x = (a,b) nazýváme složkový
nebo kartézský tvar komplexního čísla.
V duchu výše uvedené poznámky si můžeme komplexní číslo geometricky znázornit v tzv.
Gaussově komplexní rovině, jak je na obr.1.1.
Definice 1.4
Goniometrickým (trigonometrickým)
tvarem komplexního čísla x = a + jb rozumíme
zápis
x = r.(cos + j.sin), (1.2)
kde reálné číslo
xxba=|x|=r 22
 (1.3)
nazýváme modulem (absolutní nebo prostou
hodnotou) komplexního čísla x a úhel
 nazýváme fází (argumentem) komplexního
čísla x.
Pro fázi  platí (až na celistvé násobky 2π) vztahy
22
ba
a
cos

 , resp.
22
ba
b
sin

 . (1.4)
Hlavní hodnotou fáze komplexního čísla je taková hodnota úhlu , pro nějž platí -π <
<  ≤ π, případně 0 ≤  < 2π.
Exponenciálním (polárním) tvarem komplexního čísla nazýváme zápis
x = r.ej
(1.5)
kde pro parametry r a  platí vztahy (1.3) a (1.4).
Poznámka
1. Modul r komplexního čísla x = a + jb je nezáporné reálné číslo a r = 0 právě když a = b =0.
2. Z ekvivalence vztahů (1.2) a (1.5) je
ej
= cos + j.sin (1.6)
což bude dokázáno později v kap.3.
Příklad 1.1
Vyjádřete v exponenciálním tvaru číslo x = 1 + j.
Obr.1.1 Znázornění komplexního čísla v Gaussově
rovině
3
Řešení:
S použitím vztahů (1.3) a (1.4) dostáváme
211bar 22

a
.
42
2
arccos
2
1
arccos
ba
a
arccos
22




Exponenciální tvar zadaného komplexního čísla je proto x = 4/j
e2 
 . 
Příklad 1.2
Vyjádřete v exponenciálním tvaru číslo x = -1 + j 3 .
Řešení:
x = 2.ej2/3
. 
Příklad 1.3
Vyjádřete ve složkovém tvaru komplexní číslo x = 4.(cos(/6) + jsin(/6)).
Řešení:
.j232
2
1
j
2
3
.4x 







 
2. Matematické operace s komplexními čísly
2.1. Rovnost dvou komplexních čísel
Dvě komplexní čísla x1 = a1 + jb1 a x2 = a2 + jb2 v kartézském tvaru jsou si rovna, pokud
platí
a1 = a2 a b1 = b2. (2.1)
Dvě komplexní čísla 1j
11 erx 
 a 2j
22 erx 
 v exponenciálním tvaru jsou si rovna,
pokud platí
r1 = r2 a 1 = 2. (2.2)
Ekvivalentně platí vztah (2.2) i pro goniometrický tvar komplexních čísel
2.2. Sečítání a rozdíl dvou komplexních čísel
Pro sečítání komplexních čísel x1 = a1 + jb1 a x2 = a2 + jb2 platí
x = x1 + x2 = (a1 + jb1) + (a2 + jb2) = (a1 + a2) + j(b1 + b2). (2.3)
Pro rozdíl dvou komplexních čísel pak ekvivalentně je
x = x1 - x2 = (a1 + jb1) - (a2 + jb2) = (a1 - a2) + j(b1 - b2). (2.4)
Příklad 2.1
Sečtěte komplexní čísla x1 = 2 + 3j a x2 = 2 – 4j.
4
Řešení:
x1 + x2 = (2 + 2) + j(3 -4) = 4 – j. 
2.3 Součin a podíl dvou komplexních čísel
Součin dvou komplexních čísel x1 = a1 + jb1 a x2 = a2 + jb2 v kartézském tvaru se určí
podle vztahu
(a1 + jb1).(a2 + jb2) = (a1.a2 - b1.b2) + j(a1b2 + a2b1). (2.5)
Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny a využijeme vztah j2
= -1.
Součin x = x1.x2 dvou komplexních čísel 1j
11 erx 
 a 2j
22 erx 
 v exponenciálním tvaru
určíme podle vztahu
)(j
21
21
errx 
 .
Pro sečítání a násobení dvou, případně více komplexních čísel platí následující pravidla:
asociativní zákon: (x + y) + z = x + (y + z);
(x.y).z = x.(y.z);
komutativní zákon: x + y = y + x;
x.y = y.x;
distributivní zákon (x + y).z = x.z + y.z;
pro každé x platí x + 0 = x;
x.1 = x;
ke každému x existuje takové číslo -x, že x + (-x) = 0;
ke každému x  0 existuje takové číslo x’, že x.x’ = 1. Pak píšeme, že x’ = x-1
nebo
x = 1/x.
Podíl dvou komplexních čísel x1 = a1 + jb1 a x2 = a2 + jb2 ≠ 0 v kartézském tvaru je dán
vztahem
.
ba
)baba(j)bbaa(
ba
)jba)(jba(
jba
jba
x
x
2
2
2
2
21122121
2
2
2
2
2211
22
11
2
1








 (2.6)
Podíl dvou komplexních čísel 1j
11 erx 
 a 2j
22 erx 
 ≠ 0 v exponenciálním tvaru je dán
vztahem
)(j
2
1
j
2
j
1
2
1 21
2
1
e
r
r
er
er
x
x 





 . (2.7)
Pro operace s komplexně sdruženými čísly platí
.
y
x
y
x
;yx)yx();xRe(2xx;yx)yx( *
**
*******






 ; (2.8)
Příklad 2.2
Mějme komplexní čísla x1 = 1 +2j a x2 = 2 – j. Určete jejich součet, rozdíl, součin a podíl.
5
Řešení:
x1 + x2 = (1 + 2) + j(2 - 1) = 3 + j;
x1 - x2 = (1 - 2) + j(2 + 1) = -1 + 3j;
x1.x2 = (1 + 2j).(2 - j) = 2 + 4j – j + 2 = 4 + 3j;
j
5
j50
5
2jj42
)1(2
)j2)(j21(
x
x
22
2
1







 . 
Příklad 2.3
Vynásobte komplexní čísla 4/j
1 e.3x 
 a 2/j
2 e.3x 
 .
Řešení:
x1.x2 = 3.ej3/4

2.4 Uspořádání komplexních čísel
Na rozdíl od reálných čísel nelze komplexní čísla uspořádat, tj. nelze je seřadit podle velikosti
tak, aby se toto seřazení rozumně chovalo z hlediska základních matematických operací.
2.5 Umocňování a odmocňování komplexních čísel
Moivrova věta: Pro každé reálné  a celočíselné k je
(cos +j.sin)k
= cos(k) + j.sin(k) a také (ej
)k
= ejk
. (2.9)
Z Moivrovy věty pak pro celočíselné umocňování komplexních čísel v geometrickém, resp.
exponenciálním tvaru různých od nuly je
xk
= [r.(cos +j.sin)]k
= rk
.[cos(k) + j.sin(k)], (2.10a)
resp.
xk
= [r. ej
]k
= rk
. ejk
. (2.10b)
Pro přirozené číslo k je k-tá odmocnina k
x z komplexního čísla x takové číslo y, pro které
platí
xyxy kk
 . (2.11)
Je-li x = r. ej
od nuly různé, existuje právě k různých hodnot odmocniny k
x , pro které je
)
k
n2
sinj
k
n2
(cosrerxy kk/)n2(jkk 


 
, (2.12)
pro n = 0, 1, 2, …, k-1.
Pro x = 0 je .0xk

Příklad 2.4
Určete x6
, pokud je 2/j
e.3x 
 .
Řešení:
Podle Moivrovy věty je 
 e.27e.27e.)3(x 32/6j66
. 
Příklad 2.5
Určete z = 3 3/4j
e.125 
.
6
Řešení:
S aplikací Moivrovy věty a z ní vyplývajícího vztahu (2.12) je
3/)n23/4(j33 3/4j
e.125e.125 
 pro n = 0,1,2.
To znamená, že je
.2npro,e.5e.5z
;1npro,e.5e.5z
;0npro,e.5e.5z
9/16j3/).2.23/4(j
0
9/10j3/).1.23/4(j
1
9/4j3/)03/4(j
0







Příklad 2.5
Určete z = 4
1 .
Řešení (obr.2.1):
.3npro,jz
;2npro,1z
;1npro,jz
;0npro,1z
3
2
1
0





Příklad 2.6
Určete z = 4 )1( .
Řešení (obr.2.2):
.3npro,eez
;2npro,eez
;1npro,ez
;0npro,ez
4/4/3
3
4/34/5
2
4/3
1
4/
0









Obr.2.1 Řešení příkladu 2.5 Obr.2.2 Řešení příkladu 2.6
7
3 Komplexní exponenciála
Exponenciální funkce s komplexním exponentem x = a + jb je definována podle vztahu
jbajbax
eeee)xexp(  
. (3.1)
Průběh exponenciální funkce s komplexním
exponentem je tedy určen součinem exponenciály
s reálným exponentem a exponenciály s ryze imaginárním
exponentem. Exponenciála s reálným
exponentem má známý průběh, v závislosti na
znaménku exponentu má typický rostoucí (pro
kladný exponent) či klesající (pro záporný exponent)
průběh, případně konstantní průběh pro nulový
exponent (obr.3.1). Abychom si učinili představu
o celkovém průběhu exponenciály
s obecným komplexním exponentem, musíme
určit průběh exponenciály s ryze imaginárním
exponentem. K tomu bude užitečné rozvinout
funkce ex
, sin(x), resp. cos(x) do mocninné řady.
Ze dvou typických způsobů rozvoje funkce do
mocninné řady, pomocí Taylorova řady a Maclaurinovy
řady, se zabývejme druhým, sice jednodušším
a v podstatě méně, ale dostatečně obecným
způsobem pro vztažný bod x0 = 0.
Pro Maclaurinův rozvoj funkce f(x) do nekonečné řady platí
....x
!3
)0(f
x
!2
)0(f
x
!1
)0(f
)0(f)x(f 32






 (3.2)
Příklad 3.1
Rozviňte do Maclaurinovy řady funkce sin(x), cos(x) a ex
.
Řešení:
Rozvoj funkce sin(x) pro x = 0:
[sin(x)]|x=0 = 0;
[sin(x)]’|x=0 = cos(x)| x=0 = 1;
[sin(x)]’’|x=0 = -sin(x)|x=0 = 0;
[sin(x)]’’’|x=0 = -cos(x)| x=0 = -1;
[sin(x)]’’’’|x=0 = sin(x)|x=0 = 0, … .
Z těchto dílčích hodnot derivací plyne, že
....
!7
x
!5
x
!3
x
!1
x
...x
!4
0
x
!3
1
x
!2
0
x
!1
1
0)xsin(
753
432
 (3.3)
Je užitečné si všimnout, že funkce sin(x), která je lichá, se skládá pouze z lichých mocniných
členů.
Obr.3.1 Průběh exponenciální funkce s
reálným exponentem
8
Rozvoj funkce cos(x) pro x = 0:
[cos(x)]|x=0 = 1;
[cos(x)]’|x=0 = -sin(x)|x=0 = 0;
[cos(x)]’’|x=0 = -cos(x)|x=0 = -1;
[cos(x)]’’’|x=0 = sin(x)|x=0 = 0;
[cos(x)]’’’’|x=0 = cos(x)|x=0 = 1, … .
Z těchto dílčích hodnot derivací pak plyne, že
....
!6
x
!4
x
!2
x
1...x
!4
1
x
!3
0
x
!2
1
x
!1
0
1)xcos(
642
432
 (3.4)
Rozvoj sudé funkce cos(x) obsahuje pouze sudé mocniny argumentu.
Konečně, Maclaurinův rozvoj exponenciální funkce ex
pro x = 0 je:
[ex
]|x=0 = 1;
[ex
]’|x=0 = ex
| x=0 = 1;
[ex
]’’|x=0 = ex
| x=0 = 1;
[ex
]’’’|x=0 = ex
| x=0 = 1;
[ex
]’’’’|x=0 = ex
| x=0 = 1, … .
Z těchto dílčích hodnot derivací pak plyne, že
....
!5
x
!4
x
!3
x
!2
x
!1
x
1...x
!4
1
x
!3
1
x
!2
1
x
!1
1
1e
5432
432x
 (3.5)

Příklad 3.2
Určete pomocívypočítaných mocninných řad pro funkce sin(x), cos(x) a ex
nalezněte vztah
mezi funkcemi ej
, sin() a cos().
Řešení:
Do odvozeného mocniného vztahu (3.5) dosadíme za x = jtj. se symbolem , jenž lépe
navozuje představu úhlové veličiny. Potom s využitím vztahu (1.1) platí, že











 
....
!5
j
!4!3
j
!2!1
j1
...)j(
!4
1
)j(
!3
1
)j(
!2
1
j
!1
1
1ee
5432
432jx
(3.6)
Tento vztah lze rozdělit na reálnou a imaginární část tak, že je



















...
!5!3!1
j...
!6!4!2
1e
53642
j
(3.7)
a z toho s využitím vztahů (3.3) a (3.4) je
),sin(j)cos(...
!5!3!1
j...
!6!4!2
1e
53642
j



















(3.8)
9
což je právě rovno dříve uvedenému vztahu
(1.6). 
Co z odvozeného výrazu platí pro geometrickou
představu o průběhu exponenciální funkce
ej
s ryze imaginárním exponentem?
K tomu si vyjádřeme danou situaci pomocí
obr.3.2.
Protože podle tohoto obrázku je
1
a
r
a
cos  , (3.9)
tak pro reálnou složku komplexního čísla x, které je vyjádřené ve složkovém kartézském tvaru,
tj. x = a + jb a které má jednotkový modul, platí a = cos  a podobně pro imaginární složku
b tohoto komplexního čísla je b = sin . Z toho plyne, že hodnoty exponenciální funkce ej
s ryze imaginárním exponentem jsou v závislosti na hodnotě veličiny  vyjádřeny body na
jednotkové kružnici v komplexní rovině.
Pro některé konkrétní hodnoty úhlu  je ej0
= 1, ej
= -1, ej/2
= j, ej3/2
= e-j/2
= -j, atd.
Z této geometrické interpretace také plyne, že funkce ej
je periodická s periodou opakování
2.
Z formule (1.6), resp. (3.8), tj. že ej
= cos + j.sin, resp. z její varianty pro zápornou
hodnotu úhlu , tj. e-j
= cos - j.sin (při jejím odvození využíváme vlastností sudé funkce
kosinus a liché funkce sinus) lze odvodit tzv. Eulerovy vztahy.
Sečtením obou rovnic pro kladnou i zápornou hodnotu fázového úhlu  dostáváme
ej
+ e-j
= 2cos (3.10)
a z toho pro kosinus platí
2
ee
cos
jj 

 . (3.11)
Naopak, odečtením druhé rovnice od první máme
ej
- e-j
= 2jsin (3.12)
a proto Eulerův vztah pro sinus je
j2
ee
sin
jj 

 . (3.13)
Obr.3.2 Geometrický význam exponenciální
funkce s ryze imaginárním exponentem