Základy astronomie 2
Příklady ke cvičením
Sbírka zadání příkladů k předmětu
F2252 Základy astronomie 2
VÁCLAV GLOS, GABRIEL SZÁSZ,
JAN ROKOS, LENKA ROKOSOVÁ,
JIŘÍ LIŠKA, TEREZA KLOCOVÁ
Obsah
1 Opakování předchozího semestru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Dálkový průzkum hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 HR diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Zdroje energie hvězd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5 Slunce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
6 Sluneční soustava očima vzdáleného pozorovatele . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
7 Zákrytové dvojhvězdy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
8 Měření vzdáleností ve vesmíru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
9 Galaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
i
Příklady ke cvičením 1
1 Opakování předchozího semestru
1.1 V katalogu hvězd najdete následující údaje:
𝛼 𝛿 𝜋  𝑅 𝑀 𝑇
hvězda (h m s) (° ′ ′′
) (′′
) (M⊙) (R⊙) (mag) (K)
α Ori 05 55 10,3 +07 25 25,4 0,004 51 11,6 910 −5,85 3 590
Spočítejte:
(a) Vzdálenost hvězdy v parsecích, světelných letech, metrech a určete, kolik sekund světlu
potrvá, než od hvězdy dorazí k nám.
(b) Kolikrát by byla hvězda jasnější než Slunce, pokud by se nacházela ve stejné vzdálenosti.
Absolutní hvězdná velikost Slunce je 𝑀⊙ = 4,83 mag.
(c) Jak velký vesmírný dalekohled pozorující na vlnové délce 𝜆 = 0,6 µm by byl potřeba
k rozlišení této hvězdy. Poloměr Slunce je 𝑅⊙ = 6,96 ⋅ 108
m.
(d) Na jaké vlnové délce má hvězda maximum vyzářené energie. Určete frekvenci a energii
fotonu o takové vlnové délce.
(e) Od jaké zeměpisné šířky je hvězda cirkumpolární.
(f) Spočítejte hvězdný čas Θ v době, kdy hvězda kulminuje. Jak vysoko bude hvězda nad
obzorem při kulminaci na severní zeměpisné šířce 50°.
1.2 Voyager 1 je nejvzdálenější člověkem vyrobený objekt. Nyní je ve vzdálenosti přibližně
144 au od Slunce a pohybuje se od něj rychlostí 16,9 km∕s. Jeho komunikační frekvence
je 2,3 GHz. Spočítejte:
(a) Vzdálenost v parsecích, světelných letech a metrech. Jak dlouho trvá signálu ze sondy,
než dorazí ke Slunci?
(b) Pozorovanou hvězdnou velikost Slunce ze vzdálenosti Voyageru 1? Absolutní hvězdná
velikost Slunce 𝑀⊙ = 4,83 mag.
(c) Jakou komunikační frekvenci od Voyageru 1 přijímáme (uvažujte jen pohyb sondy, ne
Země)?
(d) O kolik je rychlost Voyageru 1 vyšší než úniková rychlost? Počítejte jen s gravitačním
vlivem Slunce. Vliv ostatních planet můžeme v této vzdálenosti můžeme zanedbat.
1.3 Spočítejte hmotnost Marsu v jednotkách hmotnosti Země. Hmotnost Země neznáte, ale víte,
že oběžná doba Měsíce 𝑃M = 27,32 dne, oběžná doba Phobosu 𝑃P = 0,32 dne a oběžná
doba Deimosu 𝑃D = 1,26 dne. Měsíc obíhá ve vzdálenosti 𝑟M = 384 000 km, Phobos 𝑟P =
9 376 km a Deimos 𝑟D = 23 463 km.
1.4 Spočítejte průměrnou hvězdnou velikost hvězdy z kulové hvězdokupy, která má celkovou
pozorovanou hvězdnou velikost 𝑚KH = 4 mag, pokud hvězdokupa obsahuje 100 000 hvězd.
2 Základy astronomie 2
2 Dálkový průzkum hvězd
2.1 Spočítejte průměrné hustoty Slunce, Siria A a Siria B. Poloměr Siria A 𝑅SA = 1,711 R⊙,
poloměr Siria B 𝑅SB = 0,0084 R⊙, hmotnost Siria A 𝑀SA = 2,063 M⊙ a hmotnost Siria B
𝑀SB = 1,018 M⊙.
2.2 Ze znalosti sluneční konstanty (𝐺SC = 1 361 W∕m2
) pomocí Stephanova-Boltzmanova zákona
určete povrchovou teplotu Slunce.
2.3 Kolikrát větší poloměr by musela mít hvězda o stejné povrchové teplotě, aby měla 100krát
vyšší zářivý výkon? Kolikrát by se zvýšil zářivý výkon Slunce, pokud by jeho teplota vzrostla
o 1 000 K?
2.4 Sirius B má poloměr 𝑅SB = 0,0084 R⊙ a povrchovou teplotu 25 000 K. Jakou by měl pozorovanou
hvězdnou velikost ze Země, kdyby byl na místě Slunce. Jak by se změnila „sluneční“
konstanta?
Příklady ke cvičením 3
3 HR diagram
3.1 Na HR diagramu (obr. 1) bylo vybráno 22 významných hvězd a skupin hvězd.
Obrázek 1: HR Diagram. Čísly 1 až 22 jsou vyznačeny vybrané hvězdy (resp.
skupiny hvězd). Popisky přímek konstantního poloměru 𝑅 jsou v jednotkách
poloměru Slunce (R⊙). Fialová křivka vyznačuje hlavní posloupnost.
Najdete mezi označenými hvězdami (resp. skupinami hvězd) ty, které odpovídají následujícímu
popisu:
(a) Slunce – má zářivý výkon přesně 1 L⊙ a poloměr přesně 1 R⊙.
(b) Mira – dlouhoperiodický červený obr, nejčervenější z vybraných hvězd.
(c) Prokyon – hvězda spektrální třídy F5, kousek nad hlavní posloupností.
(d) Rigel – z vybraných hvězd má nejvyšší zářivý výkon.
(e) Altair – bílá hvězda hlavní posloupnosti spektrální třídy A7.
(f) Capella – žlutý obr.
(g) Tři hvězdy Orionova pásu – jsou ze všech vybraných modrých obrů nejvíc horké.
(h) Aldebaran – červený obr spektrální třídy K5, který má nejvyšší zářivý výkon a je zároveň
největší z vybraných červených obrů spektrální třídy K.
4 Základy astronomie 2
(i) Mirfak („hlava Persea“) – veleobr spektrální třídy F.
(j) Fomalhaut – z vybraných hvězd má velikostí nejblíže ke Slunci.
(k) δ Cephei – klasická cefeida, která je veleobrem spektrální třídy G0.
(l) Polárka – cefeida s kratší periodou než δ Cephei, proto se na diagramu nachází blízko
ní, ale má nepatrně nižší zářivý výkon.
(m) Sirius – hvězda spektrální třídy A0, kterou najdeme kousek pod hlavní posloupností.
(n) Betelgeuse – největší z vybraných červených obrů.
(o) Alcyone – nejjasnější hvězda Plejád, modrý obr spektrální třídy B7, je přibližně 10krát
větší jako Slunce má 1 000krát vyšší zářivý výkon.
(p) Deneb – nejvzdálenější hvězda první hvězdné velikosti, má druhý nejvyšší zářivý výkon
z vybraných hvězd.
(q) Arcturus – prostřední z tří vybraných červených obrů spektrální třídy K. Prostřední velikostí
i zářivým výkonem.
(r) Hvězda, která má téměř přesně 100krát větší poloměr než Slunce.
(s) Regulus – hvězda spektrální třídy B7 a také nejmodřejší vybraná hvězda ležící přesně
na hlavní posloupnosti.
(t) Spica – hvězda hlavní posloupnosti spektrální třídy B1, modřejší než Regulus.
(u) Antares – červený veleobr, z vybraných hvězd druhý největší, hned po Betelgeuse.
(v) Vega – hvězda spektrální třídy A0 ležící přesně na hlavní posloupnosti.
(w) Hvězda s poloměrem větším než 1 000 R⊙.
(x) Pollux – nejmenší ze tří vybraných červených obrů spektrální třídy K.
(y) Nejmenší vybraná hvězda.
3.2 Hvězda hlavní posloupnosti spektrální třídy A0 má pozorovanou hvězdnou velikost 𝑚V =
5,2 mag. S pomocí HR diagramu určete její vzdálenost.
Příklady ke cvičením 5
4 Zdroje energie hvězd
4.1 V ne tak daleké minulosti se vedly debaty o zdroji energie, který hradí zářivý výkon Slunce.
Jednou z teorií bylo, že Slunce je složeno z uhlí, které na něm postupně hoří. Spočítejte, jak
dlouho by bylo možné hradit zářivý výkon Slunce, jestliže předpokládáme, že celá hmotnost
je tvořena uhlím a energetická hustota uhlí je 24 MJ∕kg.
4.2 Další teorií bylo, že je zářivý výkon Slunce hrazen jeho smršťováním (přeměnou gravitační
potenciální energie). Spočítejte celkovou gravitační potenciální energii Slunce a určete, jak
dlouho by mohla hradit zářivý výkon Slunce. Nepleťte si celkovou gravitační potenciální
energii s gravitační potenciální energií na povrchu Slunce. Pro zjednodušení předpokládejte
konstantní hustotu rovnu střední hustotě Slunce. Nezapomeňte rovněž na viriálový teorém.
Pomůcka: Slunce rozdělte na infinitesimální kulové slupky s hmotností dm a celkovou hodnotu
potenciální energie získejte integrací přes celý poloměr.
4.3 Dalším možným zdrojem energie Slunce bylo jaderné štěpení uranu. Pokud u Slunce předpokládáte
stejnou koncentraci uranu jako v Zemské kůře tzn. 4 ppm (parts per million) a rovněž
předpokládáte pouze přítomnost uranu-235 (nejčastěji používaný izotop pro štěpení), tak určete,
jak dlouho by byly schopny štěpné reakce hradit zářivý výkon Slunce. Celková energie
uvolněná při štěpení jednoho jádra uranu-235 je 215 MeV, hmotnost atomu uranu-235 je
235,044 u (relativní atomová hmotnost, 1 u = 1,66 ⋅ 10−27
kg).
4.4 V dnešní době víme, že hlavním zdrojem energie Slunce je termonukleární fúze jader atomů
vodíku na heliové jádra. Spočítejte hodnotu elektrostatického potenciálu mezi dvěma protony
(jádry atomu vodíku) ve vzdálenosti, která odpovídá rozměru protonu tzn. 10−15
m. V jádru
Slunce je teplota 1,5 ⋅ 107
K a střední kinetická energie částice ideálního plynu je 𝐸K = 3
2
𝑘B𝑇 ,
kde 𝑘B je Boltzmanova konstanta 𝑘B = 1,38 ⋅ 10−23
J∕K. Stačí tato energie na překonání
elektrostatické bariéry? Diskutujte.
4.5 Spočítejte kolik kilogramů vodíku se za sekundu změní na helium. Víte, že hmotnost atomu
vodíku je 1,007 825 u, hmotnost atomu helia je 4,002 603 u. Výsledná reakce vypadá násle-
dovně:
4 1
1
H ←←←←←←←←←←←←←←←←←→ 4
2
He2−
+ 2 e+
+ 2 ν𝑒
6 Základy astronomie 2
5 Slunce
5.1 Teplota sluneční skvrny je přibližně 3 900 K. Teplota sluneční fotosféry je 5 780 K. Jakou
barvu má Slunce a jakou barvu má sluneční skvrna? Proč se skvrny jeví na Slunci tmavé?
5.2 Kolikrát se zmenší energie fotonu, který vznikne během proton-protonového řetězce s energií
5,49 MeV, když při vyzáření z fotosféry má vlnovou délku přibližně 500 nm?
5.3 Spočítejte průměrnou hodnotu gradientu teploty ve vnitru Slunce. V jádru je teplota přibližně
15 ⋅ 106
K.
5.4 Spočítejte průměrný měrný zářivý výkon Slunce (zářivý výkon na 1 kg) a porovnejte s průměrným
měrným zářivým výkonem lidského těla za předpokladu, že lidské tělo září jako
absolutně černé těleso. Teplotu lidského těla uvažujte 36 ◦
C, hmotnost 80 kg a plochu 1,5 m2
.
5.5 Předpokládejte, že se Slunce zhroutí v neutronovou hvězdu o poloměru 10 km, přičemž nedojde
ztrátě žádné hmoty ani energie. Jaká bude výsledná perioda rotace za předpokladu homogenního
rozložení hustoty. Nedošlo by k roztrhání tohoto objektu? Střední rotační perioda
Slunce je 27 dní.
Příklady ke cvičením 7
6 Sluneční soustava očima vzdáleného pozorovatele
6.1 Určete podmínku, za které by pozorovatel mimo sluneční soustavy mohl sledovat tranzit
Země přes Slunce. Hraniční podmínka ať je tehdy, kdy se střed Země nedostane blíže než
na kraj slunečního disku. Totéž určete pro Jupiter s předpokladem, že Jupiter obíhá přesně
v rovině ekliptiky. Velká poloosa Jupitera je 𝑎J = 5,2 au.
6.2 Ekliptikální šířka hvězdy Jabhat Acrabi II je +00°02′
54,4′′
, takže z její planetární soustavy je
možné pozorovat tranzit jak Země tak Jupitera. Tato hvězda je obr (třída svítivosti III) spektrální
třídy G6. Její absolutní hvězdná velikost je 𝑀JAII = −0,62 mag a pozorovaná hvězdná
velikost 𝑚JAII = 4,32 mag. Spočítejte pozorovanou hvězdnou velikost Slunce ze vzdálenost
Jabhat Acrabi II a spočítejte o kolik se změní pozorovaná hvězdná velikost v případě transitu
Země a Jupitera. Vzdálenost planet ke Slunci můžete vůči vzdálenosti hvězdy od Slunce
zanedbat.
6.3 Spočítejte hodnoty gravitačního potenciálu Slunce ve středních vzdálenostech planet Merkur
(0,387 au), Země a Jupitera (5,2 au). Co je energeticky náročnější? Poslat sondu ze Země
k Merkuru nebo k Jupiteru?
6.4 Spočítejte, které těleso sluneční soustavy v sobě váže nejvíce momentu hybnosti. Na výběr
máte z následujících:
těleso 𝑀 𝑅 𝑃rot 𝑃orb 𝑎
Slunce 2 ⋅ 1030
kg 6,96 ⋅ 108
m 25,38 d – –
Jupiter 1,9 ⋅ 1027
kg 69 911 km 9,93 h 11,86 yr 5,2 au
Neptun 1,0 ⋅ 1026
kg 24 622 km 16 h 6 min 36 s 164,8 yr 30,11 au
Uvažujte homogenní rozložení hustoty těles a orientaci rotační osy kolmou k rovině oběhu.
8 Základy astronomie 2
7 Zákrytové dvojhvězdy
7.1 Mějme systém zákrytové dvojhvězdy tvořený hvězdami hlavní posloupnosti. Poloměr první
složky je 𝑅1 = 1,3 R⊙, teplota 𝑇1 = 6 200 K, poloměr druhé složky 𝑅2 = 0,79 R⊙ a teplota
𝑇2 = 5 250 K. Spočítejte pozorovanou hvězdnou velikost v době primárního a sekundárního
zákrytu pokud mimo zákryt pozorujeme celkovou hvězdnou velikost 𝑚c = 10,0 mag. Zanedbejte
okrajové ztemnění hvězdných disků.
7.2 U složek binárního systému definovaného v příkladě 7.1 jsme napozorovali maximální posuv
spektrální čáry H𝛼 (656,297 nm) pro první složku |Δ𝜆1| = 1,267 ⋅ 10−10
m a pro druhou
složku |Δ𝜆2| = 2,070 ⋅ 10−10
m. Doba mezi primárním a sekundárním minimem je 2,82 dne.
Za předpokladu kruhových drah spočítejte rychlosti oběhu obou složek, velikosti hlavních
poloos v metrech a astronomických jednotkách a hmotnost jednotlivých složek v hmotnostech
Slunce. Diskutujte proč je možné použít předpoklad kruhových drah?
Příklady ke cvičením 9
8 Měření vzdáleností ve vesmíru
8.1 Jedním ze způsobů určování vzdálenosti extragalaktických objektů je určování period pulzujících
proměnných hvězd typu δ Cephei nacházejících se v těchto objektech. U těchto tzv.
„cefeid“ Ferrarese et al. (1996) napozorovali vztah (1) mezi absolutní hvězdnou velikostí 𝑀V
a periodou pulzace 𝑃 ve dnech.
𝑀V = −2.76 ⋅ (log 𝑃 − 1) − 4.16 (1)
Pomocí vztahu (1) určete vzdálenost objektu, ve kterém se nachází cefeida s periodou 25,3
dne a pozorovanou hvězdnou velikostí 𝑚V = 19,16 mag. O jaký objekt se jedná?
8.2 Dalším způsobem určování vzdáleností je pozorování maximální jasnosti supernov typu Ia.
Absolutní hvězdná velikosti SN Ia je v maximu až −19,3 mag. Jak jasná by byla SN Ia
v galaxii M31? Byla by vidět pouhým okem? Kolik procent zářivého výkonu galaxie M31
vyzařuje SN Ia v době svého maxima, pokud pozorovaná hvězdná velikost galaxie M31
𝑚M31 = 3,44 mag?
8.3 Pro velmi vzdálené objekty můžeme využít Hubbleova zákona. Ten předpokládá homogenní
rozpínání vesmíru, což znamená, že můžeme použít lineární vztah (2) mezi vzájemnou vzdáleností
a rychlostí vzdalování kde 𝑣 je rychlost vzdalování v kilometrech za sekundu, 𝐷
vzdálenost v megaparsecích a 𝐻0 je aktuální hodnota Hubbleovy konstanty v kilometrech
za sekundu na megaparsek.
𝑣 = 𝐻0𝐷 (2)
Přesná hodnota Hubbleovy konstanty je stále nejistá, ale použijme hodnotu určenou z dat HST
z 18. 3. 2019 𝐻0 = 74,03 km∕s∕Mpc. Určete rudý posuv, rychlost vzdalování a vzdálenost
galaxie NGC 1357, u které pozorujeme spektrální čáru H𝛼 na vlnové délce 6 608,6 Å. Klidová
vlnová délka čáry H𝛼 je 656,30 nm.
8.4 Převeďte jednotky Hubbleovy konstanty do SI. Jaký význam má hodnota Hubbleovy konstanty
v SI? Diskutujte.
10 Základy astronomie 2
9 Galaxie
9.1 V okolí supermasivní černé díry v centru naší Galaxie vzdáleném 7,94 kpc obíhá hvězda S2
s periodou 16,05 roku. Velkou poloosu její dráhy pozorujeme pod úhlem 0,12′′
a numerická
excentricita dráhy 𝜀 = 0,884. Spočítejte hmotnost centrální černé díry v hmotnostech Slunce
a pericentrum dráhy hvězdy S2 v astronomických jednotkách.
9.2 Slunce obíhá centrum naší Galaxie ve vzdálenosti 7,94 kpc rychlostí 220 km∕s přibližně po
kruhové dráze. Spočítejte, kolik oběhů stihlo naše Slunce od svého vzniku před 4,6 miliardami
let.
9.3 Jakou rychlost by mělo Slunce na své kruhové dráze, pokud by obíhalo pouze kolem supermasivní
černé díry v centru naší Galaxie? Proč se rychlost o tolik liší oproti skutečné
rychlosti? Kolikrát by musela být černá díra hmotnější, aby byla rychlost stejná? Diskutujte.
9.4 Značení eliptických galaxií se skládá s písmene E a čísla 𝜀 od 0 do 7, pro které platí vztah
(3), kde 𝑎 je délka velké poloosy a 𝑏 je délka malé poloosy izolinie (křivky o stejné plošné
jasnosti).
𝜀 = 10
(
1 −
𝑏
𝑎
)
(3)
Galaxie M59 je klasifikována jako E5. Určete poměr 𝑎∕𝑏.
9.5 Difuzní halo galaxie IC 1101 má rozměr 12′
× 6′
. Rudý posuv IC 1101 je 𝑧 = 0,077. Určete
kolikrát je IC 1101 větší než naše Galaxie (horní mez průměru naší Galaxie je 200 kly).
Příklady ke cvičením 11
Literatura
Ferrarese, L., Freedman, W. L., Hill, R. J., et al. 1996, Astrophysical Journal, 464, 568