Cvičení z elektrodynamiky a teorie relativity
1. Ukažte pro úplně antisymetrický tenzor 3. řadu
aJ   c     cmnfe      u m u n      u n u m
b) e^kel]k = 2ô\
c) (i.
Platí Einsteinova konvence, že se tvoří součet přes každou dvojici stejných kovari-antních a kontravarantních indexů, např. é^k emnk = Y%=\^k' emnk- (V Euklidovském prostoru není nutné rozlišovat kovariantní a kontravariantní indexy.)
2. Ukažte pomocí e-tenzoru
a x (6 x č) = 6(ač) — c(a6)
(a x 6)(c x cř) = (ac)(bd) — (ad)(bc)
rot rot = grad div — A
rot grad = 0
div rot = 0
3. Vypočtěte vzájemnou silu dvou nábojů o velikosti 1C ve vzdálenosti lm.
4. Ukažte, že dvojrozměrné silové pole
K = —7-
x2 + y2
je bezvírové (rot K = 0) a že
<j)Kdx = 0.
Vyberte za uzavřenou trajektorii v rovině (x,y)
a) obdélník rovnoběřný se souřadnicovými osami
b) kružnici kolem počátku souřadnic.
5. Vypočtěte rotaci vektorového pole
K = -2~,-2~
xz + yz
a dráhový integrál
<j> K dx
po kružnici kolem počátku.
6. Uvěřte Gaussovu větu pro vektorové pole v = (ax, by, cz) a kouli x2+y2+z2 < R2.
1
7. Vypočtěte Greenovu funkci Laplaceova operátoru pomocí Fourierovy representace 5-funkce
G(x,x') = G(x — x') =: G(y), G(k) = j G{y)e-fky^y, 1
2^
dketky.
]. Ukažte
A ln r d r = 2n
K
pomocí Gaussovy věty, kde K je kruhová deska. 9. Použijte vzorec
Ě(x) = k
p{x'){x-x') ^
'13
pro vypočet pole homogenně nabitého, nekonečného drátu.
10. Podobně vypočtěte pole homogenně nabité, nekonečné rovné desky.
11. Lze vytvořit elektrostatické pole E konstantního směru, jehož absolutní velikost se mění kolmo na El
12. Vyjádřete následující rozložení náboje pomocí Diracovy 5-funkce ve tvaru prostorové hustoty náboje p(x) ve vhodných souřadnicívh.
a) Náboj Q, rozložený rovnoměrně po povrchu koule s poloměrem R (kulové souřadnice).
b) Rovnoměrně rozložený náboj na povrchu válce s poloměrem b, přičemž náboj na jednotkovou délku je A (válcové souřadnice).
c) Náboj Q, rozložený rovnoměrně po infinitesimálně tenkém kruhovém disku (válcové souřadnice).
d) Totéž v kulových souřadnicích.
13. Vypočtěte Laplaceův operátor v kulových souřadnicích.
14. Dosaďte rozvoj Pe(x) = Y^Lo anxH do Legendrovy rovnice
(1 - x2)Pe(x)" - 2xPí(x)' + l{l + l)Pe(x) = 0
a určete rekursivní vztah pro koeficienty an. Jaká je podmínka, aby počet nenulových koeficientů byl konečný, t.j. aby řešením byl polynom?
15. Pomocí integrálu
1 í d
dx
dx
Pe(x)
d
dx
{l-x2)^Pť{x)
dx
dx
ukažte ortogonalitu Legendrových polynomů, t.j.
J1 Pe(x) Pe>(x) dx = 0    pro   í Ý ľ-
2
16. Vypočtěte magnetické pole z potenciálu
Aí^\       ^   í J_^l)   a3 i
A(x) = — / —-—di.
47T J   \x - x'\
17. Vypočtěte magnetické pole lineárního vodiče (Biotův-Savartův zákon).
18. Vypočtěte energii homogenně nabité koule o poloměru a.
19. Dvě soustředné kulové slupky o poloměrech a a b tvoří kulový kondenzátor. Vypočtěte jeho kapacitu.
20. Ukažte
-      ^ 3    d   í 1       - ^\
E divL> — D x mtE   = V-        £ťD,- - - <L- ED
L u    ~{dxj V 2 /
za předpokladu, že D a, E jsou úměrná.
21. Ukažte
J r x (v x M) dV = J  r x (n x M) dS -     (Ú x v) x r d V.
22. Vypočtěte vektorový potenciál
A*0 r  /"j   dÍ(S) 1
Ä(x, t) = — I j ds
47T J
ds |f-£(s)
konstantního proudu I v kruhové smyčce = Rcos-^, ^(s) = -Rsin-|,
^3 = 0 ve velké vzdálenosti |x| ^> R. Udejte magnetický moment m, pomocí něhož je A{x) =
23. Podle Larmorova vzorce je intenzita záření zrychleného náboje q
1 gV
P
67T60 C3
kde a je zrychlení.
Jak dlouho může nerelativistický elektron obíhat okolo jádra vodíku po spirálové dráze, než je jádrem pohlcen? Odvoďte diferenciální rovnici pro r(t) ze závislosti energie i? na r a ze vztahu P = — ^jf. (Náboj q = 1,6 • 1CT19C, poloměr atomu r(0) = lCT10m, hmotnost elektronu me = lCT30kg, e0 = 10~nF/m.)
24. a) Ukažte, že pro elektromagnetické potenciály A a $ lze žádat kalibrační podmínka
f(x,t) :=divl+lJU = 0
(Lorenzova kalibrace).
b) Jsou pak potenciály jednoznačně určeny pomocí intenzit E a Bl
3
25. Nájdete Greenovu funkci d'Alembertova operátoru.
26. Model dielektrika: Elektrony jsou harmonicky vázaný elektrickými silami. Pod vlivem periodického elektrického pole oc etwt platí
m{x + jx + ĺOqX) = qE(x, t) « qE(0,t).
{ujq. .. vlastní frekvence oscilátoru, 7... konstanta tlumení, E se mění málo ve srovnání s amplitudou x). Vypočtěte indukovaný dipólový moment P = Nqx (N je počet elektronů v jednotkovém objemu) a dielektrickou konstantu e(u) ze vztahu eE = e0E + P.
27. Lorentzova transformace (matice L) spolu s translací danou vektorem a tvoří Poincarého transformaci. Složení dvou Poincarého transformací P = (a, L) a P' = (a', Ľ) je zase takto transformace s Lorentzovou maticí LĽ a s translačním vektorem a' + Ľa. Ukažte, že množina V = {(a,L)} se součinem
(a', Ľ) o (a, L) = (a' + Ľa, Ľ L)
je grupa (Poincarého grupa).
Dokažte pomocí vzorce t = ^ [t — x), x = 7(3; — vt), že Lorentzova kontrakce je recipročním jevem, t.z. i měřítko v klidu v soustavě (t,x) se jeví zkráceno
faktorem Jl — \, když je pozorováno z pohybující se soustavy (t,x).
29. Člověk, který nese žebřík o délce 2,lm před sebou, běží rychlostí do pokoje o délce lm a zavře za sebou dveře. (Pozor na numerické hodnoty!)
a) Proč je to možné?
b) Jak vypadá situace z hlediska tohoto člověka?
c) Co se stane potom?
d) Nakreslete prostoročasový diagram.
30. Napište Lorentzovu transformaci t —► ť, x —► x', když se pohybuje soustava (t',x') rychlostí v v libovolném směru vůči soustavě (t,x).
31. Odvoďte transformaci složek rychlosti v'1 = dx'l/dt      v'1' = dxl'/dť, když se čárkovaná soustava pohybuje rychlostí u = (u, 0, 0) vůči nečárkované.
32. Vysvětlujte vzorec
iklm c čprsm
ôi   ôi ôi
wr ws
Ôp    51; 5ks
ô1   ô1 ô1
wr ws
a odvoďte z toho výrazy pro eiklmeprlm, éklmepklm a éklmeiklm. 33. Ukažte
pro antisymetrický tenzor T p-tého řadu. (Antisymetrické tenzory 0-tého a prvního řadu jsou prostě skaláry a vektory.)
4
34. Najděte takovou rychlost, že po Lorentzově transformaci pole E a, B jsou rovnoběžná. (Máte-li takový systém, pak to platí i ve všech systémech, které se pohybují libovolnou rychlostí podél E a B - můžete vybrat nej jednodušší případ.)
35. Kovariantní tvar Maxwellových rovnic skrývá skutečnost, že rovnice div i? = ^ a div 5 = 0 nezahrnují derivaci podle času a tak jsou vlastně počátečními podmínkami. Dokažte, že zbývající rovnice časového vývoje tyto podmínky prodlužují, t. z. že platí vždy, pokud platí jednou.
36. Bud' Aj(x) = Re (a j e~lkixl^ čtyřpotenciál rovinné elektromagneické vlny ve vakuu s komplexní amplitudou a a vlnovým vektorem k.
a) Jaké podmínky pro a a, k plynou z rovnic pole a z Lorenzovy kalibrace?
b) Tenzor elektromagnetického pole má tvar Fmn = Re (/mn e^')- Vypočtěte komplexní amplitudu fmn a ukažte
fmn i, _        n _       , fmn i, fmn f _ n _       fmn   , f
J       ^n      u      ~*J       ^n J       Jmn      u      J        * Jmn
rpmn i, _        n _       , rpmn i, rpmn rp _ n _       rpmn   , rp
Zapište tyto rovnice ve třírozměrné podobě (A;0, k), užitím popřípadě E a B.
c) Ukažte, že vlna je kruhově polarisována, pravě když je *fmn = ±ifmn. Které znaménko odpovídá pravotočivé nebo levotočivé polarisací?
37. Ukažte pro tenzor energie-hybnosti elektromagnetického pole
TÍ = 0, Ti = ^-(Ftk Fk> + *Fik * Fk>).
38. Ukažte, že £2 — > 0 je invariantní, nezápornou veličinou (£ = hustota energie, S = Poyntingův vektor elektromagnetického pole). Jaký je fyzikální význam této nerovnosti?
39. Odvoďte vzorce
g
$ =-, ,        A = $Ú
Ane^Jr2 — c~2{f x u)2
ze vzorců $' = e/(Aireor'), A = 0, které platí v klidovém systému S' náboje e tím, že použijete transformace
ť = 7 (t - ^ x^j ,        x' = 7(rr - ut),        y' = y,        z' = z.
40. Udejte inverzní transformaci k infinitesimální Lorentzově transformaci
x'i = (Sik + u}ik)xk.
5
Odvoďte pohybové rovnice pro vektorový potenciál
k
z Hamiltoniánu S = \ [P^ + proměnných
6