Historie astronomie IV. KeplerAachen1610.jpg Vladimír Štefl Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Johannes Kepler (1571 - 1630) •Úvod •Kosmografické mystérium r. 1595 •Nová astronomie r. 1609 •Zákon ploch •Eliptický zákon •Harmonie světa r. 1619 •Harmonický zákon •Význam Keplera Základní Keplerova díla Obsah obrázku text, Písmo, dopis, papír Popis byl vytvořen automaticky Kosmografické mystérium Prodromus dissertationum cosmographicarum, continens mysterium cosmographicum, de admirabili proportione orbium coelestium, de que causis coelorum numeri, magnitudinis, motuumque periodicorum genuinis & proprijs, demonstratum, per quinque regularia corpora geometrica - Předchůdce kosmografických disertací, obsahující kosmografické mystérium o obdivuhodné proporci nebeských sfér a pravdivých a konkrétních příčinách čísel, velikostí a periodického pohybu nebes, ukázaných pomocí pěti pravidelných geometrických těles zkráceně - Kosmografické mystérium rok vydání 1596, fakticky Tübingen v březnu 1597 Konjunkce Saturnu a Jupiteru antická geometrie - teorie pravidelných mnohostěnů vysvětlila počet a velikost planetárních sfér umístěných mezi nimi, teorii použil jako skládačku souvislost planetárních vzdáleností a pravidelnými mnohostěny velikost planetárních sfér převzána od Koperníka, mezi sféry vkládal geometrická tělesa, která rozděloval do dvou tříd. první - krychle, čtyřstěn, dvanáctistěn druhá – osmistěn, dvacetistěn. pravidelné mnohostěny seskupil Platónská tělesa - pravidelné mnohostěny Obsah obrázku origami, Origami papír, Umělecký papír, Kreativní umění Popis byl vytvořen automaticky Tabulka předpokládaných středních vzdáleností planet v au v Mystériu podle Koperníka v Obězích (z pozorování) a Keplera (z hypotézy pravidelných mnohostěnů) v porovnání se skutečnými: Planeta Podle Koperníka Podle Keplera Skutečná střední vzdálenost Saturn 9,164 9,163 9,539 Jupiter 5,246 5,261 5,203 Mars 1,520 1,440 1,524 Země 1,000 1,000 1,000 Venuše 0,719 0,762 0,723 Merkur 0,360 0,429 0,387. Hodnoty vzdáleností planet od Slunce v době Keplera nebyly ještě jisté, příčiny rozdílností ve výše uvedené tabulce neměl autor v době napsání Mystéria možnost podrobně zkoumat. Nemohl tak rozhodnout, zda jsou nesprávně vzdálenosti Koperníka nebo je chybná hypotéza pravidelných mnohostěnů. Určitá shoda výsledků měla pro Keplerovo další bádání Platónská tělesa - pravidelné mnohostěny Hypotéza pravidelných mnohostěnů Johannes Kepler r. 1612, obraz - dvorní malíř Rudolfa II. Hans von Aachen (1552-1615) Orlická galerie, Rychnov nad Kněžnou Kepler přijel do Čech 3.února 1600, setkání s Tychonem Brahe v Praze nejplodnější období života, spisy K pevnějším základům astrologie 1601 Optická část astronomie 1604 O nové hvězdě 1604 Nová astronomie 1609 Rozprava s Hvězdným poslem 1610 Dioptrika 1611 1611 - † syn Friedrich 1612 - † manželka Barbara, Rudolf II., M. Bacháček Kunštát, rentmistr Steffan Schmidt von Freyhofen, 1606, 1612 KeplerAachen1610.jpg Johannes Kepler - Kunštát rentmistr Steffan Schmidt von Freyhofen, r. 1606 - morová epidemie v Praze, odjel na Moravu do Kunštátu kunštát1.jpg r. 1612 – zbylé dvě děti v Kunštátu Nová astronomie kepler4-1 Astronomia nova seu Physica cœlestis, tradita commentariis De motibus stellæ Martis, ex observationibus G. V. Tychonis Brahe, Jussu&sumptibus Rudolphi II. Romanorum Imperatoris … Nová astronomie, založená na studiu příčin, čili nebeská fyzika, podávaná v komentářích o pohybu hvězdy [planety] Marsu, kterou na základě pozorování urozeného pana Tychona Brahe, z rozkazu a na náklad Rudolfa II., císaře římského… Heidelberg, r. 1609 Nová astronomie⃰ •O srovnání hypotéz •O první nerovnosti Marsu podle učení starých astronomů •Zkoumání druhé nerovnosti, tj. pohybů Slunce nebo Země, klíč do hloubi astronomie, kde je mnohé o fyzikálních příčinách pohybů •Zkoumání správné velikosti první nerovnosti podle fyzikálních příčin a vlastního názoru •O šířce ⃰ J. Kepler: Gesammelte Werke. Band III. Astronomia Nova. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München MCMLI. spis - 70 kapitol, 337 stran, 5 částí výbor - překlad: Úvod, klíčové kap. 57 - 60 zlatá koruna NA - kap. 59, 15 proteorémů Nová astronomie - pojetí překladu pojetí - autorova nedůslednost zápisu úvah, jazykových i terminologických, u geometrických útvarů přímku definovaly dva, tři i více bodů, čtverec naopak body dva, kružnici body čtyři, úhel body dva, a pokud tři, ne vždy v odpovídajícím pořadí (tj. s vrcholem uprostřed), jeden a tentýž útvar popisován různě, gnómon dva body, pro planety a souhvězdí používány astronomické symboly, někdy pojmenování… historická věrnost - ponecháno nesystematické vymezování v překladu i ve výkladech plocha (area) rovinných útvarů a křivek, v překladu zachováno, přestože neodpovídá současné terminologii, Kepler měl na mysli obsah rovinných útvarů a křivek, pondus, dnes „hmotnost“, podán terminologicky méně přesně, historicky adekvátnější „váha“ Nová astronomie - problémy překladu překlady výrazů, dnes chápaných jako specializované termíny: impetus: v našem překladu - ,,poryv“, species immateriata: „nehmotná forma“ pro větší srozumitelnost v nezbytných případech, upřednostněna současná česká terminologii - ,,mora“ - „doba pohybu“, „vymezení času, k přechodu příslušného úseku“ - geometrická interpretace termín ,,lunula“ - ,,srpek“ (obsah plochy mezi kružnicí a oválem respektive elipsou) „dráha buclaté tváře“ (iter buccosum, via buccosa) - abstraktnější „zaoblená dráha“, útěk“ (fuga) u magnetické síly - „odpuzování“ v některých případech ponechány Keplerovy termíny v latinizované podobě ,,libratio“ - „librace“ - vyvažování proteorema: „proteorém“ - úvod do diskuse matematické pojmy: sinus rectus - současný sinus, sinus versus - obrácený sinus, versinus α = 1 - cos α = |BD| interpretace vzorců - východisko překladu Nová astronomie - pojem dráha - interpretace pojmů orbes a orbita, postupný posun významu, přeměna orbes → orbita, Goldstein a Hon* - Galileo Galilei (1564 - 1642) - pojem orbes, ve smyslu sfér, na nichž planety přichyceny, nejmenší a největší vzdálenost planet od Slunce - podobně Kepler v Tajemství vesmíru ** z r. 1596, termín orbes pro planetární sférické vrstvy, materiální i geometrické objekty - NA v úvodu pojmy via („cesta“), iter („stezka“), circuitus („oběh“) a ambitus („obcházení“) orbita , k zachycení excentrické dráhy - čtvrtá část NA, dráha nejen pouze geometrické, ale již i fyzikální povahy, použil pojem orbita - myšlená křivka - Souhrn koperníkovské astronomie *** z r. 1618 - eliptická křivka s ohnisky *B. R. Goldstein, G. Hon: Kepler´s Move from Orbs to Orbits: Perspectives on Science 13, 2005, s. 74 - 110. **J. Kepler:Gesammelte Werke. Band VIII. Mysterium cosmographicum. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München MCMLXIII. *** J. Kepler: Gesammelte Werke. Band VII. Epitome Astronomiae copernicanæ, C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München MCMXXXX. Volba Marsu Kepler zvolil Mars, pohyb ve větších výškách, s větší excentricitou dráhy → proniknout do tajů pohybů planet v pohybu Marsu dvě nerovnosti (odchylky od rovnoměrného pohybu - nerovnoměrnosti) •první nerovnost, pravidelná změna oběžné a úhlové rychlosti s periodou odpovídající jeho siderické oběžné době - 687 dnům, dána eliptickým tvarem dráhy planety •druhá nerovnost vyjadřovala nestálost směru pohybu, zastavování či zpětné pohyby, způsobené rozdílnou oběžnou rychlostí planet a Země při oběhu kolem Slunce první nerovnost - rychlejší pohyb Marsu v souhvězdí Kozoroha než na opačné straně zvěrokruhu v souhvězdí Raka, → závislost na poloze planety podél ekliptiky interpretace první nerovnosti → klíč k nalezení I. a II. Keplerova zákona Studium Marsu •Jak se mění rychlost Marsu? •Proč se mění vzdálenost planety od Slunce? •Co pohybuje Marsem tak, že se mění jeho vzdálenost od Slunce? Otázky: •Přesná pozorování Marsu Tychona Brahe •Vhodný geometrický model dráhy •Fyzikální magnetickou hypotézu Měl k dispozici: Marsdata Zákon ploch analýza nerovnoměrného pohybu Marsu → hledání změn úhlové rychlosti planety, v perihéliu opsal za dva měsíce oblouk o úhlu 37,0o, v aféliu za stejnou dobu pouze úhel 25,8o , objev podzim r. 1602 hybná síla uvádějící do pohybu Mars podle Keplera vychází ze Slunce, ovlivňuje pohyb planet, působí intenzivněji v jeho blízkosti, proto se zde planeta pohybuje s větší rychlostí, pomaleji ve větší vzdálenosti, zobecněno v závislosti na vzdálenosti od Slunce zákon ploch v Nové astronomii ⃰ r. 1609 ve dvou zněních: 1. Rychlost planety se mění nepřímo úměrně se vzdáleností od Slunce, kap. 39. 2. Rychlost planety se mění tak, že průvodič spojující planetu se Sluncem opisuje stejné plochy za stejné časy, kap. 40. ⃰ J. Kepler: Gesammelte Werke. Band III. Astronomia Nova. Zweite Unveränderte Auflage. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München 1990. Zákon ploch •první - tzv. zákon vzdáleností, tehdy interpretován jako fyzikální zákon • první znění zákona ploch správné pouze při tečné složce rychlosti, při kruhovém pohybu • druhé znění → současná formulace zákona ploch, geometrické vyjádření astronomické problematiky • později Kepler → přesné vyjádření zákona ploch • nejméně chápaný zákon v letech 1630 - 1650, konstantní plošná rychlost - zachování momentu hybnosti, důsledek centrálnosti gravitační síly, Newton - Principia r. 1687 ⃰ ⃰ • ⃰ J. Kepler: Gesammelte Werke. Band III. Astronomia Nova. Zweite Unveränderte Auflage. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München 1990. ⃰ ⃰ V. Štefl: Zákony pohybu planet od Keplera po Newtona. Čes. čas. fyz. 71 (2021), s. 375 - 385. Zákon ploch •Nová astronomie ⃰, kap. 40 → …,,Itaque CGA area fiet mensura temporis seu anomaliae mediae“… •…,, Tak plocha CGA se stává mírou času nebo střední anomálií, odpovídající oblouku excentru CG, protože střední anomálie poměřuje čas rovnoměrně narůstající.“ •střední anomálie poměřována plochou kruhového sektoru CAG, určována od afélia dráhy, až Euler změnil počátek odečtu od perihélia •Epitome ⃰ ⃰, 5. kniha, 1. část, 4. kap.: •…,,area pro mensura temporis constituitur“ - ,,plocha je mírou času.“ ⃰ J. Kepler: Gesammelte Werke. Band III. Astronomia Nova. Zweite Unveränderte Auflage. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München 1990. ⃰ ⃰ J. Kepler: Gesammelte Werke. Band VII. Epitome Astronomiae copernicanæ. Herausgegeben von Max Caspar. Zweite Unveränderte Auflage. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München 1991. ceres3d Zákon ploch Eliptický zákon - hledání dráhy •Upřesnění dráhy Země •Model vicarious hypothesis •Model via buccosa •Magnetický model •Eliptický zákon Kepler zkoumal matematické vyjádření křivky dráhy Marsu, postupně volil různé modely – konfrontoval je s pozorovacími údaji. Postup věrně zachytil v NA, včetně všech nesprávných úvah... Upřesnění dráhy Země -nezbytnost upřesní její dráhy, v helio modelu se Země pohybuje -metoda opozice Marsu a následně jejich pozorování každou siderickou oběžnou dobu - 687 dnů, planeta vzhledem k vzdáleným hvězdám vždy ve stejném místě, Mars fiktivní lucerna - Einstein -Zemi З1 scházelo ve stejném čase k uskutečnění dvou siderických oběhů ještě urazit oblouk o úhlu 43o -Kepler pozoroval Mars ze Země pod jiným úhlem, na pozadí odlišných hvězd oblohy, z obou uvedených směrů pozorování planety triangulací stanovil novou polohu Země, kap. 24 NA Kepler - Mästlinovi 5.3.1605: ,,Za jedinou poctu si počítám, že jsem byl božským řízením přiveden k Tychonovým pozorováním.“ Upřesnění dráhy Země ⃰ A. Einstein: Albert Einstein űber Kepler. Frankfurter Zeitung 9. listopadu 1930. Překlad do českého jazyka H. Karlach. - za další a další siderické oběžné doby Marsu postupně nalezl následné polohy Země, z jejich množiny → určil dráhu, téměř shodnou s kružnicí, Slunce posunuto mimo střed - Keplerovu důvtipnou metodu při příležitosti 300 letého výročí jeho smrti ocenil Albert Einstein (1879 - 1955) ⃰ obdiv vyjádřil slovy: ,,Takto objevil Kepler skutečný tvar zemské dráhy, jakož i to, jak ji Země opisuje. My později narození Evropané, Němci nebo dokonce Švábové ho za to nemůžeme dost obdivovat a velebit.“ Model vicarious hypothesis - vzhledem k relativně malé excentricitě dráhy Marsu → dráha kruhová respektive její modifikace - první období z let 1600 - 1602, ,,vicarious hypothesis tzv. náhradní hypotéza“ - zdokonalení geocentricko- heliocentrického modelu soustavy, název části NA O srovnání hypotéz, model dráhy Marsu zahrnoval excentrickou kružnici a ekvant, dráha - imaginární pomocná excentrická kružnice Kepler v dopise D. Fabriciovi ⃰ z 1.10.1602 vysvětlil, že svoji konstrukci chápe jako pomocnou…. ⃰ J. Kepler.: Gesammelte Werke. Band XIV. Briefe 1599 - 1603. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München MCMLIX. Astron44s132 Model vicarious hypothesis na přímce apsid - střed dráhy Slunce excentricky položené souměrně ke středu bod ,,punctum equans“ - ekvant, bod v konstantní vzdálenosti od středu, kolem kterého probíhal rovnoměrný úhlový pohyb planet u Keplera v heliocentrickém modelu, podle NA: ,,circa ,,quod punctum aequalibus temporibus Mars aequales angulos conficiat.“ - ,,Mars opisuje stejné úhly v stejném čase“. Model vicarious hypothesis stanovení lineární excentricity Slunce od středu – BA, excentricity ekvantu - BC Kepler zjišťoval ∢ HBF, ∢ HAF, hledal vztah mezi nimi ⃰ , zkoumal, zda body F, G, D, E, se nachází na kružnici, bod B leží mezi body A a C , pokud podmínka poloh bodů nebyla splněna, prověřoval další, iterační postupná přiblížení s využitím matematických rozkladů, opakoval 70krát, komentoval v NA: ,,Jestliže byla tato únavná metoda vyplněna s nechutí, mělo by Tě to naplnit soucitem se mnou, neboť jsem některé výpočty provedl alespoň 70krát při vydání velkého množství času…“ ⃰ V. Štefl: Keplerovy kroky na cestě k elipse. Čes. čas. fyz. 69 (2019), s. 190. Modely vicarious hypothesis výpočet bez bisekce excentricity kruhové dráhy o poloměru 100 000 dílů, lineární excentricita Slunce BA = 11 332 dílů, ekvantu BC = 7 232 dílů → souhlas úhlových poloh Marsu, nikoliv jeho vzdáleností od Slunce → podmínka bisekce excentricity BC/BA ≈ 1 numerická excentricita e = 0,09282 (dnešní e = 0,09337) lepší vzdálenosti, nepřesné polohy heliocentrických délek rozdíl pozorovaných a vypočítaných poloh činil zhruba 8´ Kepler pochopil, že Tycho Brahe se tak velké chyby při pozorování nedopustil, Tychonova přesnost činila - 2´, zavrhl roční výpočty, → model vicarious hypothesis odmítnut Model via buccosa Přechod k elipse, lunula - srpek -velikost velké poloosy dráhy Marsu = 100 000 dílů, šířka srpku, původně 429 dílů, v kap. 56 NA, což si Kepler uložil do paměti, optická rovnice - ∢ AEB, ∢ 5o18′, tedy 5,3o → tabulky trig. funkcí, sekans ∢ AEB = EA/EB - 100 429 dílů při EB = 100 000 dílů definován délkou EA - -Kepler NA: ,,…náhodou jsem narazil na sekans ∢ 5o18′, což je odpovídající největší optické rovnici. Když jsem viděl, že je to 100 429, jako bych se probudil ze sna. Začal jsem uvažovat jako zalitý novým světlem.“ Eliptický model pohybu Marsu - stanovení plochy sektoru elipsy → záměnou za k ní přidruženou plochu kruhového sektoru, obě vyjádřeny pomocí geometrických veličin. -pro poměr obsahu ploch trojúhelníků platí MNL : KNL = b : a → plocha elip. sektoru ANM = b/a x plocha kruh. sektoru AKN bod M reprezentuje Mars, přidružené plochy kruhového sektoru AKN = AHK a Δ HNK -k poměřování součtu vzdáleností mezi po eliptické dráze se pohybující planetou a Sluncem použil kruhovou plochu - čas, který Mars (M) potřebuje k přemístění podél oblouku eliptické dráhy AM, lze určit pomocí obsahu plochy kruhové výseče AKN, kde N je poloha Slunce - - NA: ,,Arcum ellipseos, cujus moras metitur area AKN“ - ,,Oblouk elipsy AM, jehož čas je poměřován plochou AKN“ Eliptický zákon - počátek r. 1605 Kepler → eliptický tvar dráhy - analýza tabulky propočítaných vzdáleností, nesoulad výpočtů a pozorovacích údajů, úprava librační metody, hodnoty vzdáleností odpovídaly pohybu po eliptické dráze, což ho vedlo v kap. 58 k modifikaci modelu dráhy → elipsa - v kap. 58 …dráha z kap. 43 je příliš velká a z kap. 45 příliš malá → pouze elipsa, ležící uprostřed obou, je vystižením dráhy - v předposledním odstavci kap. 58 uvedl: ,,Quod si iter Planetae esset ellipsis”…,,Kdyby byla dráha planet elipsou”… a v posledním odstavci…,,nullam Planetae relinqui figuram Orbitae praeterquam perfecte ellipticam”… česky ,, žádný tvar planetárních drah není ponechán, kromě dokonalé elipsy”… → kap. 59 geometrický výklad elipsy ovál! → elipsa, Vlašská kaple v Praze, nezmíněna v NA Přechod kružnice → elipsa v NA, kap. 59 lineární transformace všech souřadnic pomocné excentrické kružnice v poměru velikostí malé b, velké poloosy a elipsy b : a, jestliže HB = b, NB = a, vepsal ji do zmiňované kružnice, z jejího obvodu spustil kolmice KL, EH na přímku apsid AC, které protínaly v bodech M a B obvod elipsy, poměr v původním textu v NA zapsal BH : HE = ML : KL poměr velikostí ploch elipsy ABC a kružnice AEC, úměrný poměru velikostí kolmic z elipsy a z kružnice, v poměru malé a velké poloosy, platilo ABC : AEC = BH : EH Kepler zaměnil plochy sektorů elipsy a kruhu, vztahem ANM : ANK = ML : KL = b : a Dále: ,,Arcum ellipseos AM, cujus moras metitur area ANK“ - ,,Oblouk elipsy AM, jehož čas je poměřován plochou ANK“ Eliptický zákon - za matematické vyjádření eliptického zákona v NA - vztah pro vzdálenost Slunce - Mars, Davies ⃰ - moderní matematickou symbolikou: označení ohniskové vzdálenosti NH = ae, NB = a, HB = b, v Δ NBH platí b2 = a2 - a2e2 , podle ML : KL = b : a, v Δ HKL vyjádříme KL = a sin β , ML = b sin β, β =∢ KHA - pravá anomálii ∢ ANM, v Δ MNL ML = b sin β, NL = (cos β + e) dosadíme do r2 = NM2 = ML2 + NL2 → r2 = b2 sin2 β + a2(cos β + e)2 - po úpravách r2 = a2 (1 + 2e cos β + e2cos2 β), r = a (1 + e cos β) průvodič (rádiusvektor) r excentrické anomálie β • • ⃰ A. E. L. Davies: ,,Kepler´s Astronomia nova: a geometrical success story“. Kepler´s Heritage in the Space Age. Ed. A. Hadravová, T. J. Mahoney, P. Hadrava, Národní technické museum, Praha 2010, s. 17. Eliptický zákon • rovnice eliptické dráhy s počátkem v jednom ohnisku: reprodukovala planetární vzdálenosti, excentrická anomálie β byla správně propočítávána • vztah pro změnu vzdálenosti Marsu od Slunce v závislosti na jeho poloze pravděpodobně Kepler nejprve ani plně nechápal jeho přesný význam, neznal analytickou geometrii... • až aplikace magnetické hypotézy spojené s propočtem librace dávala stejné vzdálenosti jako z geometrických úvah, Kepler definitivně identifikoval elipsu • odhalené tajemství dráhy Marsu, jediná a elegantní křivka - elipsa nahradila složitý systém deferentů, epicyklů, ekvanty a excentrické kružnice, v NA eliptický tvar dráhy planety odvozen pomocí zákona ploch Magnetický model pohybu Marsu k eliptické dráze nedospěl Kepler pouhým fitováním pozorovacích údajů poloh Marsu podstatná úloha fyzikálních úvah → hledání příčin pohybu Marsu - magnetická hypotéza Kepler v kap. 58: ,,Quod toto hoc opere spectavi, ut Physicam invenirem hypothesin, quae non tantum distantias efficeret observatis consentaneas sed etiam aequationes itidem probas“… ,, Celým tímto dílem jsem zamýšlel ověřit fyzikální hypotézu, jejímž výsledkem by byly vzdálenosti shodné s pozorováním, ale zároveň také platné rovnice” * … * rovnice - vyrovnání, opravy rovnoměrného pohybu na nerovnoměrný a s nimi spojený přepočet úhlů Magnetický model pohybu Marsu • interakce mezi Marsem a Sluncem - magnetická Gilbertova ⃰ hypotéza • obě tělesa mají vlastní magnetické pole, planetární magnetická osa Marsu v apsidách (aféliu, perihéliu) kolmá k průvodiči Slunce - Mars, přitahování tak nenastávalo • při pohybu planety od afélia byl jeden pól vláken k Slunci bližší, důsledkem bylo přitahování k němu, v perihéliu působení neutrální • při pohybu Marsu od perihélia byl druhý pól jeho vláken bližší k Slunci, výsledkem bylo odpuzování od něho • při pohybu planety podél přímky apsid nebyl průvodič kolmý k magnetické ose, proto nastávala magnetická interakce se Sluncem • ⃰ W. Gilbert (1544-1603) - De magnete magneticisque corporibus et de magno magnete Tellure physiologia nova - O magnetu, magnetických tělesech a velkém magnetu - Zemi, nová fyziologie • ⃰ ⃰ V. Štefl: Jak Kepler dospěl k prvním dvěma zákonům v Astronomia nova. Čes. čas. fyz. 68 (2018), s. 41 - 50. Magnetický model pohybu Marsu Magnetický model pohybu Marsu • popis fyzikálního děje → stanovení pravidla pro vzdálenosti planety • excentricita elipsy regulovala intenzitu interakce magnetických vláken Marsu se Sluncem, přibližování a vzdalování planety od Slunce záviselo na velikosti vzájemného magnetického působení obou těles. • podobně jako u magnetu Kepler předpokládal pokles působící síly s rostoucí vzdáleností • o správnosti fyzikální magnetické hypotézy Kepler nepochyboval, v NA: ,,Pokud by fyzikální příčiny, které jsem na počátku přijal jako principy, nebyly platné, nikdy by nemohly obstát v tak důkladném zkoumání.“ Magnetický model pohybu Marsu variace vzdálenosti – reprezentovala libraci, přibližování a vzdalování planet k Slunci, ve svých důsledcích realizující eliptickou dráhu , Kepler zavedl latinský termín ,,libratio“ librační pohyb - oscilaci vzdálenosti v radiálním směru pojem z mechaniky, vyvažování („libro“) přírodní příčiny lze zachytit jako předměty na páce, zákon rovnováhy planetární librace - produkt magnetických sil, podložil matematickým výpočtem vycházejícím z magnetické hypotézy. Magnetický model pohybu Marsu působení magnetismu na planetární pohyb popsal geometricky pozadí librací: ,, adnumeret aequalibus partibus librationis γϰ, ϰμ, μζ sunt enim hae inaequales; sed modo naturali,qui nititur non aequalitate angulorum DBC, EBD, FBE, sed** fortitudine anguli DBC, EBC, FBC, perpetuo crescentis.“ česky: ,,vzájemný vztah [librace γϰ, ϰμ, μζ ] je koordinovaný s prostorovým přesunem na excentricitě přírodními prostředky [magneticky] , které nezávisí na rovnosti úhlů DBC, EBD, FBE, ale na velikosti neustále narůstajících úhlů DBC, EBC, FBC.” při planetě v D, librace se měnila v závislosti 1 - cos β , kde β je ∢ CBD excentrické anomálie, úhlová vzdálenost planety od afélia, poměřovaná úhlem od středu dráhy, viz obr. Magnetický model pohybu Marsu Kepler - geometrické změny, hledání parametrů elipsy, magnetická hypotéza, vhodné vzdálenosti Marsu od Slunce tak i rovnice. magnetického působení na obr., kruh DFAI je tělesem planety, šipka - směr osy magnetu, magnetické osa DA, D pól přitahovaný k Slunci, A odpuzovaný, Slunce v bodě K na úsečce BK, ∢ KBI - vyrovnaná anomálie - zachycovala úhlový pohyb planety od afélia při pozorování ze Slunce, viz dále délka CN - sin anomálie vyjadřovala velikost magnetické síly délka úsečky DP - velikost odpudivé síly, úsečky AP přitažlivé síly, výsledná síla - rozdíl, délka úsečky SP dvojnásobek délky úsečky PB = CN, viz obr. Magnetický model pohybu Marsu pootočením obr. o 90o - názornější obr. demonstruje rovnováhu na páce, s rameny DP a AP, zavěšenými z CP systém při poměru velikostí ∢ DBK : ∢ ABK úměrnému poměru vah (hmotností) D : A, nepřímo úměrný délkám úseček DP : AP, Kepler - velikost úhlů je přirozená, z čehož vyplývá stejný poměr jako v rovnováze, autorovy úvahy ∢ DBK a ∢ ABK určovaly polohy přitažlivého a odpudivého pólu k Slunci, velikosti uvedených úhlů - velikosti přitažlivé a odpudivé síly Johannes Kepler 1546 – 1601 ,,8. března tohoto roku 1618, přeje-li si někdo přesný údaj času, se tento poměr vynořil v mé mysli. Neměl jsme však štěstí, když jsem jej ověřoval výpočtem, takže jsem jej zavrhl jako chybný. Konečně se však dne 15. května opět vrátil a v novém náporu přemohl temnoty mého ducha. Vyplynul přitom tak dokonalý souhlas mezi mou sedmnáctiletou prací nad Brahovými pozorováními a mou současnou úvahou, že jsem se zprvu domníval, že jsem snil a že jsem hledaný vztah vložil do výchozích předpokladů. Ale je to věc zcela jasná a zcela přesná - poměr, který je mezi oběžnými dobami kterýchkoliv dvou planet, je přesně půldruhanásobkem poměru středních vzdáleností, tedy samotných drah; ovšem je přitom třeba dbát na to, že aritmetický průměr obou diametrů eliptické dráhy je poněkud menší než diameter...`` Harmonický zákon Harmonický zákon •Kepler - souvislost vzdáleností planet od Slunce a jejich oběžných dob, vztah mezi úhlovými rychlostmi planet a vzdálenostmi od Slunce, v dnešní podobě r3ω2 = konst. •hledal řád uspořádání a pohybu planet, popis proporcí pro planety •r. 1619, kniha pátá, Harmonie světa ⃰ : ,,Ale je to věc zcela jasná a přesná - poměr, který je mezi oběžnými dobami kterýchkoliv dvou planet je přesně půldruhanásobkem poměru středních vzdáleností, tedy samotných drah, ovšem je třeba dbát na to, že aritmetický průměr obou průměrů eliptické dráhy je poněkud menší než větší průměr ⃰ J. Kepler: Gesammelte Werke. Band VI. Harmonice mundi. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München MCMXXXX. Harmonie světa • v latinském jazyce 17. století půldruha násobek poměru → první veličiny, tj. oběžné doby bereme v druhé mocnině střední vzdálenosti v mocnině třetí • • průměry eliptické dráhy - velká a malá poloosa elipsy, střední vzdálenost- aritmetický průměr z minimální a maximální vzdálenosti planety od Slunce Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Fyzikální pozadí harmonického zákona rok Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Jak se nazývá dráha každé planety? Elipsa s dvěma ohnisky A, L , Slunce v jednom z nich Epitome - Souhrn koperníkovské astronomie Dodatečný přehled anomálií až v kap. 60 NA – definice: střední anomálie poměřována plochou kruhového sektoru AKN, zavedené pojmenování času, rovnoměrně narůstajícího, určována od afélia dráhy, až Euler změnil počátek odečtu od perihélia excentrická anomálie ∢ KHA, zachycovala dráhu uraženou planetou od afélia, oblouk AM na elipse prostřednictvím ∢ AHM, vytyčován obloukem kružnice AK, ∢ AHK vyrovnaná anomálie (tj. pravá anomálie) ∢ ANK z velikosti oblouku AK pozorovaného z N rozdíl excentrické anomálie ∢ KHA a vyrovnané anomálie ∢ ANK = souvislost střední anomálie M (času) a excentrické anomálie E Keplerova rovnice střední anomálie M poměřována plochou kruhového sektoru AKN , excentrická anomálie ∢ HKA lineární excentricita HN - ae , plocha Δ NKH → ½ a2e sin E plocha kruhové výseče HKA → ½ a2E poměr ploch elipsy a kružnice KL/ML = b/a vyjádření excentrické anomálie E v radiánech plocha eliptického sektoru NMA = b/a (½ a2E + ½ a2e sin E) = ½ab (E + e sin E) plocha eliptického sektoru NMA je úměrná času, v NA…,,area pro mensura temporis constituitur”… ,, plocha je poměřována časem“ plocha eliptického sektoru NMA = π a b t/T , → 2 π t/T = M upravíme, Keplerova rovnice: E + e sin E = M Keplerova rovnice • rovnice → určit excentrickou anomálii E při zadaném čase, tudíž vyžaduje znalost střední anomálie M a numerické excentricity e, netriviální, řešení Keplerovy rovnice nelze vyjádřit jako konečnou kombinaci elementárních funkcí M a e, neexistuje analytické řešení, pouze numerické • obtíže s řešením Kepler zmiňuje např. i v knize páté, části druhé, kapitole čtvrté spisu Souhrn koperníkovské astronomie * • * J. Kepler: Gesammelte Werke. Band VII. Epitome Astronomiae copernicanæ, C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München MCMXXXX, s. 390-393. E + e sin E = M v NA: ,,Spokojím se s tím, že budu věřit tomu, že to nelze vyřešit a priori kvůli nestejnorodosti oblouku a sinu. Kdokoli však, kdo mi ukáže cestu ven z mého bloudění, bude pro mě samotným velkým Apollóniem.“ Rudolfinské tabulky Rudolfinské tabulky * efemeridy planet, Měsíce (Tabulae Rudolphinae, r. 1627), po 25 letech práce ! realizoval Kepler opačný postup, nalezl M, jestliže znal E nejprve vytvořil podle rovnice M = E + e sin E tabulku hodnot, užil ji zpětně hustá síť středních anomálií M určení excentrických anomálií E M → E * J. Kepler: Gesammelte Werke. Band XIV. Tabulae Rudolfinae. C. H. Beck´sche Verlagsbuchhandlung, München MCMLXIX. •* *,,auctor damnatus, hoc opus tamen admittitur“… ,, autor je odsouzen, ale toto dílo se připouští“, • * * Rudolfinské tabulky - jezuitská knihovna UP Olomouc ~ r. 1650, Z. Horský: Kepler v Praze. Mladá fronta, Praha 1980. Rudolftab bmid_kepler-v-praze-.jpg Paradoxy Keplerova postupu - k formulacím prvních dvou zákonů dospěl na základě nepřesných, místy i mylných předpokladů - zákona ploch vycházel z chybného předpokladu - kruhové dráhy Marsu - aplikoval zákona vzdáleností, který neplatil obecně - v modelech drah hledal vztahy pro úhly kolem imaginárního bodu - ekvantu, nemajícího fyzikální podklad - Slunce v jednom z ohnisek elipsy není explicitně zmiňováno v NA, autor psal o punctum eccentricum - excentrickém bodě - podpora matematického modelu dráhy výkladem interakce Slunce - planeta nepravdivou fyzikální magnetickou hypotézou - Kepler se domníval, že Slunce uvádí do pohybu planety, magnetická hypotéza předpokládala pohánění planet podél drah nehmotnými paprsky vysílanými Sluncem a rotujícími v rovině závěr chybných kroků → správný zákon ploch i eliptický zákon Nepřesnosti Keplerova postupu - byly nezbytnou součástí aproximativních postupů - nedostatečná úroveň matematických znalostí počátkem 17. století, bez použití metod matematické analýzy nelze studovat složitý pohyb Marsu kolem Slunce - přibližný výpočet změny obsahu eliptického sektoru, ohraničeného dvěma průvodiči a obloukem elipsy - geometrický eliptický sektor vyjadřoval fyzikální veličinu - plošnou rychlostí , astronomický problém → přesun z geometrického na fyzikální Význam Keplerových zákonů souhlas přesných pozorování s teorií objev učiněn syntetickou geometrií ⃰, podpořen nesprávnou magnetickou hypotézou Keplerovy zákony vyjadřovány slovně na podkladě matematických odvození spojovací most z geometrie do astronomie, z kinematiky k dynamice, k zákonu všeobecné gravitace ⃰ odvození K. z.: I. Newton, W. R. Hamilton, J. C. Maxwell, R. P. Feynman ⃰ V. Štefl: Keplerovy zákony v historii a v soudobých učebnicích. Čes. čas. fyz. 70 (2020), s. 190. Důkaz zákona ploch Přijetí Keplerových zákonů v 17. století přijetí Keplerových zákonů nebylo jednoznačné, uznání platnosti - Willebrord Snell, Jeremiah Horrocks, Robert Hooke, Isaac Newton ignorance K. zákonů - Blaise Pascal, Francis Bacon, Galileo Galilei, René Descartes Ismaël Boulliau (1605-1694), Filolaova astronomie 1645 vlastní teorie pohybu planet, vztah pro pokles gravitační síly nepřímo úměrně se čtvercem vzdálenosti, určil periodu o Ceti -Miry - 333 dnů objasnění dynamické podstaty Keplerových zákonů, Newton - Principia 1687 ⃰ V. Štefl: Keplerovy zákony v 17. století. Čes. čas. fyz. 71 (2021). ismal-bullialdus-.jpg Prameny novověké vědy •Výbor z Nové astronomie Keplera •Výbor z Principií Newtona •Překlad Prubíře Galilea a Váhy Grassiho •Překlad Úvah o mnohosti světů Fontenella •Překlad Umění předpokládat Jacoba Bernoulliho výbor, překlad s průběžnými poznámkami + rozsáhlé úvodní komentáře - filozofické, astronomické, fyzikální… fontes scientiӕ - prameny vědy pět knih v nakladatelství Togga, Praha 2020 Nová astronomie Togga, Praha 2020, 270 str. Nová astronomie ukázka výpočtů Keplera matematické modely dráhy Marsu AstroNova Astron44s132