jupiter_saturn_retro_big Stabilita Sluneční soustavy Lagrange - Laplace Vladimír Štefl Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Historie astronomie VI. Stabilita Sluneční soustavy Nerovnosti pohybu Saturnu - historie Výklad nerovností pohybu Jupiteru a Saturnu, stabilita sluneční soustavy – důležitý problém nebeské mechaniky ☼ v historii → Konjunkce nastává cca každých dvacet roků, antika: Písemně zachycené pozorovací údaje, včetně opravy na precesi –Almagest: střední denní hodnota pohybu Jupiteru na nJ = 299,104581“ a Saturnu nS = 120,422528“. Novověká astronomická pozorování především v 18. století - upřesnění hodnot středních denních pohybů, pro Jupiter nJ = 299,128361“ a Saturn nS = 120,454645“. Rozdíl novověkých a antických údajů je u Jupiteru ΔnJ = 0,02378“ a Saturnu ΔnS = 0,03212“. Pro současné hodnoty platí nJ : nS ≈ 2,483328 ≈ 5 : 2. Nerovnosti pohybu Saturnu - Kepler roku 1625 Johannes Kepler 1571 - 1630 zpracoval pozorování planet Johanna Regiomontanuse 1436 - 1476 Bernarda Walthera 1430 - 1504 Pozorovaný pohyb Jupiteru a Saturnu neodpovídá úplně teorii pohybu po eliptické dráze, podrobná analýza jevu *. Pozorované odchylky poloh planet dosahují až 28´ u Jupiteru a 48´ u Saturnu. Poruchy výraznější u Saturnu, má přibližně 3krát menší hmotnost než Jupiter. *Giorgilli, A.: A Kepler´s note on secular inequalities. Milano 2011. Johannes_Kepler_1610 Nerovnosti pohybu Saturnu - Kepler Rozdíl ekliptikálních délek Jupiteru a Saturnu: Kepler - Rudolfinské tabulky 1627 x polohy stanovené Regiomontanusem a Waltherem. Graf: zrychlování pohybu Jupiteru, zpomalování Saturnu. Nerovnosti pohybu Saturnu - Halley Edmond Halley 1656 - 1742 roku 1695: potvrzení Keplerových závěrů, výpočet zrychlení středního pohybu Jupiteru a zpomalení středního pohybu Saturnu. Poloměr dráhy Jupiteru se zmenšuje, poloměr dráhy Saturnu zvětšuje. - narůstání těchto jevů → narušení stability Sluneční soustavy. Halley na základě svých pozorování → planetární tabulky, vyšly souhrnně až posmrtně roku 1749. Edmund_Halley Nerovnosti pohybu Saturnu - Newton Gravitační působení Jupiteru a Saturnu - Isaac Newton 1643-1727 promýšlel přibližně od roku 1684, kdy v prosinci v dopisu Flamsteedovi doplnil popis pohybu Saturnu po eliptické dráze: ,,ohnisko jeho dráhy se nenachází ve středu Slunce nýbrž v hmotném středu soustavy Slunce - Jupiter“, viz Principie*, věta XIII. poučky XIII. Výpočet gravitační interakce poruchového působení planet - nutná znalost poměru hmotností planet a Slunce. U Země, Jupiteru a Saturnu Newton tento poměr propočítal z velikostí oběžných dob a vzdáleností tehdy známých měsíců od planet, III. Keplerův zákon v přesném tvaru, viz Principie *. * Cohen, I. B.: The Principia - Mathematical Principles of Natural Philosophy. University of California Press, Berkeley, Los Angeles, London 1989 Principia Nerovnosti pohybu Saturnu - Newton V srpnu 1691 Newton dopis Flamsteedovi - žádost o pozorovací údaje o polohách Jupiteru a Saturnu v následujících čtyřech až pěti rocích. Zřejmě k ověřování výpočtů vzájemných poruch obou planet. Flamsteed v prosinci roku 1694 poslal Newtonovi pozorované polohy Saturnu z let 1691 - 1694, včetně jejich rozdílů od poloh v Rudolfínských tabulkách. Vzájemné gravitační působení planet v Principiích v I. knize, ve větě LXVI: ,, působení planet jedné na druhou ačkoliv je velmi malé a může být zanedbáváno, ruší pohyb planet po elipsách…,,působení Jupiteru na Saturn nemůže být zanedbáváno“… Zřetelná myšlenka, že obě planety se ve svém pohybu ovlivňují. Podrobněji v Principiích v III. knize, větě XIII., poučce XIII.: ,,Planety se pohybují po elipsách, majících svoje ohnisko ve středu Slunce, rádius vektory vztahující se k tomuto středu opisují plochy úměrné času“ Pohyb Saturnu v Principiích Avšak působení Jupiteru na Saturn nesmíme zanedbávat, protože přitažlivost k Jupiteru se má (při stejných vzdálenostech) k přitažlivosti Slunce jako 1 : 1 067, tudíž při konjunkcích Jupiteru a Saturnu, když je jeho vzdálenost k Jupiteru vzhledem ke vzdálenosti k Slunci jako 4 : 9, přitažlivost Saturnu k Jupiteru bude k jeho přitažlivosti ke Slunci jako 81 ku 16 x 1067 nebo zaokrouhleně jako 1 ku 211#. Porucha dráhy Saturnu při každé jeho konjunkci s Jupiterem je tak znatelná, že vyvolává bezradnost astronomů.* Při přihlédnutí k poloze planety při těchto konjunkcích, její výstřednost se jednou zvyšuje, podruhé zmenšuje, afélium se jednou přesouvá vpřed, podruhé ustupuje vzad, ¤ střední pohyb jeden za druhým se jednou zrychluje podruhé zpomaluje. # Štefl,V.: K Newtonově a Eulerově interpretaci nerovností pohybu Jupiteru a Saturnu. Čs. čas. fyz. 63, (2013), č. 3, p. 168 - 174. * pozorovatelé zjistili rozdílné polohy od tabulkových odvozených z Keplerovy teorie. ¤ naznačení periodických změn výstřednosti respektive přímky apsid. Pohyb Saturnu - Optika Newton - pochybnosti o stabilitě Sluneční soustavy, interakce planet a také komet, v jeho čase neznámých hmotností, odpor éteru... Newton, I.: Opticks: or, a treatise of the reflections, refractions, inflections and colours of light. London, 1730. Kniha III., p. 325, 327. → → Výměna energií Jupiter ↔ Saturn konjunkce Před konjunkcí: Jupiter ,,dohání“ Saturn, zpomaluje ho → úbytek kinetické energie jeho planetárního pohybu → přechod na nižší oběžnou dráhu → zvýšení rychlosti středního pohybu Saturnu. Po konjunkci: jev opačný → přechod na vyšší oběžnou dráhu → zpomalení rychlosti středního pohybu Saturnu. Při stejné velikosti gravitační interakce obou planet před a po konjunkci - výsledný efekt nulový. Úplně přesně nikoliv, dráhy planet nejsou soustředné. Pokud ke konjunkci dochází v poloze v prostoru, kde dráhy obou planet k sobě konvergují, v perihéliu Saturnovy dráhy a v aféliu Jupiterovy dráhy, je jev po konjunkci větší než před ní. Výsledek - zvětšování poloměru Saturnovy dráhy a zmenšování velikosti jeho středního pohybu. Při konjunkci v prostoru, kdy dráhy obou planet k sobě divergují, je výsledkem pokles poloměru Saturnovy dráhy a zvýšení rychlosti jeho středního pohybu. Důsledkem jsou celková nepatrná zpomalování nebo zrychlování pohybu Saturnu, rozeznatelná za větší časové intervaly. Stabilita Sluneční soustavy astronomové objevili v pohybu Jupiteru a Saturnu poruchy, velmi pomalé změny jejich střední rychlosti, příčina - oběžné doby Jupiteru a Saturnu kolem Slunce jsou přibližně 12 roků a 30 roků, každých zhruba 20 roků dochází ke konjunkci, při níž se zesiluje gravitační interakce, v průběhu konjunkce dochází k výměně kinetických energií planet, před ní Jupiter ,,dohání“ Saturn, zpomaluje ho, nastává úbytek jeho kinetické energie – přechází na nižší oběžnou dráhu jupiter-and-saturn.jpg Pohyb Saturnu - Euler Leonhard Euler 1703 - 1783 geometrická metoda → analytická. ≈ do r. 1750 - pochybnosti o gravitačním zákonu, domněnka - síly mají původ v neprostupnosti hmoty, síly kontaktní. Euler vycházel z gravitačního zákona, odvodil poruchy Saturnu způsobené Jupiterem, soutěž → ¤ cena: za inovativní přístup k výpočtu planetárních poruch, nikoliv za úplný výklad zpomalování Saturnu a zrychlování Jupiteru . decelerace Saturnu /akceleraci Jupiteru = 7/3 → Laplace 1784! Leonhard_Euler Pařížská akademie vypsala cenu ¤ r. 1748 na ...,,teorii Jupiteru a Saturnu vysvětlující nerovnosti těchto planet, majících příčinu v jejich pohybech, specielně v době konjunkce“... Euler - poruchové síly mSa je hmotnost rušené planety - Saturnu, X, Y, Z jsou složky síly působící na Saturn ve směru souřadných os. Koeficient 2 - Eulerova volba jednotek (zrychlení volného pádu na zemském povrchu položil za jednotkové pro vyjádření urychlujících sil, místo používal ). Na soustavu Slunce – Jupiter – Saturn, Euler aplikoval II. Newtonův pohybový zákon v pravoúhlých souřadnicích Souběžně Euler zkoumal, zda střední pohyby planet se podrobují sekulárním změnám,(v jeho době chápáno neperiodickým či s dlouhodobou periodou). #Euler, L.: Recherches sur le mouvement des corps céléstes en générale. Mémoires de l´Académie des Science de Berlin 3 (1747), p. 93 - 143. Eulerovy výsledky Metoda variace dráhových elementů - propočet jejich změn, nikoliv odchylek v poloze planet. - rovnice pro malé šířkové odchylky Saturnu od dráhové roviny Jupiteru ve směru ,délku výstupného uzlu Ω, sklon dráhy i. - při bezporuchové eliptické dráze Ω a i konstantní, proměnnost vyvolána poruchami. - velmi pozvolné změny Ω a i, → matematické zjednodušení řešení. - vypočítané výsledky neodpovídaly úplně polohám Saturnu, nepřesnosti 8´ - 9´. - - První analytické určení změn dráhových elementů: při omezení propočtu na několik prvních členů řad vyjadřujících změny dráhových elementů –, délky výstupného uzlu Ω, sklonu dráhy i. Euler → poruchy dlouhodobé. Pierre Simon de Laplace 1749 - 1827 Výklad světové soustavy 1796 - 1836 vyšel celkem 6krát, byl přepracováván postupně s vývojem astronomických poznatků, nesprávné hypotézy Laplace vylučoval, např. hypotézy o původu komet, v prvních třech vydáních předpokládal, že komety jsou relikty z doby vzniku Sluneční soustavy, ve čtvrtém vydání se domníval, že jde o mlhoviny, zachycené ve Sluneční soustavě, v dalších vydáních již tuto hypotézu opustil, obsah je rozdělen do šesti kapitol: 1. O zdánlivých pohybech nebeských těles 2. O reálných pohybech nebeských těles 3. O zákonech pohybu 4. O teorii všeobecné gravitace 5. Krátký přehled historie astronomie 6. Úvaha o světové soustavě a budoucích úspěších astronomie V posledně uvedené je Laplaceova kosmogonická hypotéza o vzniku Sluneční soustavy z rotujícího plynu a prachu Pierre Simon de Laplace Nebeská mechanika 1799 - 1825 5. dílů O obecných zákonech rovnováhy a pohybu O zákon všeobecné gravitace a pohybech těžišť nebeských těles O tvarech nebeských těles O oscilacích moře a atmosféry O pohybech nebeských těles kolem jejich vlastních těžišť Teorie pohybu planet Teorie Měsíce. Dodatek prezentovaný autorem u Komise pro délky 17.8.1808 Teorie měsíců Jupiteru, Saturnu a Uranu Teorie komet O několika tématech v systému světa. Doplněk: O kapilárních jevech a doplněk k teorii kapilárních jevů Pierre Simon de Laplace Laplace1 * Výpočet aproximací vyšších řádů → střední pohyby obou planet imunní k dlouhodobým změnám. * Poslední část spisu - odvození sekulárních nerovností dráhových elementů planet. *P. S. Laplace: ,,Mémoire sur les solutions particuliéres des équations différentielles et sur les inégalités séculaires des planétes“, Mémoires de l´Académie royle des Sciences de Paris, anné 1772, p. 325 - 366. Pierre Simon de Laplace Laplace*: ,,Síly vyvolávající poruchy od eliptického pohybu, zavedené ve výrazech pro r, dv/dt a s, v předcházející kapitole, čas t přes sinus a cosinus ve tvaru kruhového oblouku narůstajícího neomezeně...Jelikož tyto změny jsou vytvářeny velmi pomalým způsobem, bývají proto nazývány termínem sekulární nerovnosti.“ *P. S. Laplace: Traité de Mécanique Céleste, vol. 2 Duprat, Paris 1799. současnost - sekulární nerovnosti neperiodické, narůstající s časem Pierre Simon de Laplace - gravitace 1.Přitažlivost je přímo úměrná hmotnosti tělesa a nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti. 2. Působící síla tělesa je výslednicí interakcí všech jeho částí. 3. Síla se šíří okamžitě. 4. Přitažlivost je stejná u tělesa v klidu jako v pohybu. P. S. Laplace: ,,Sur le principe de la gravitation universelle et sur les inégalités séculaires des planétes dui en dépendent“, Mémoires de l´Académie royle des Sciences de Paris, anné 1773, p. 201 - 275. Jean Louis Lagrange Jean Louis Lagrange Jean Louis Lagrange Jean Louis Lagrange Jean Louis Lagrange Jean Louis Lagrange Jean Louis Lagrange 1736 - 1813 Jean Louis Lagrange Po dosazení a úpravě derivací podle času t získal Lagrange vztah *J. L. Lagrange: Sur ľ altération des moyens mouvements des planétes, Nouveaux Mémoires de l´Académie royale des Sciences et Belles - Lettres de Berlin, anné 1776, p. 255 - 271. *,,Vida, obdrželi jsme velmi jednoduchý vztah pro určování změn velké poloosy 2a eliptické dráhy tělesa podrobeného působení centrální síly a poruchových sil X, Y, Z.“ Změny velké poloosy 2a eliptické dráhy rušené planety vyvolány gravitačním působením rušících planet. Lagrangeův - vztah *J. L. Lagrange: Sur ľ altération des moyens mouvements des planétes, Nouveaux Mémoires de l´Académie royale des Sciences et Belles - Lettres de Berlin, anné 1776, p. 255 - 271. Jean Louis Lagrange Jean Louis Lagrange Laplace: pohyb Saturn ↔ Jupiter *P. S. Laplace: Théorie de Jupiter et de Saturne. Mémoires de l´Academie royale des Sciences, 1785, p. 95 - 207. Z integrálu živých sil, při zanedbání všech členů druhého a třetího řádu v hmotnostech m2 a m3, které buď periodické nebo konstantní → vztah kde m, m´, m“ … jsou hmotnosti planet, a, a´, a“ … velikosti velkých poloos jejich drah. Větší hmotnosti Jupiteru a Saturnu oproti ostatním planetám, proto → zmenšování velké poloosy Jupiterovy dráhy → zvětšování velké poloosy dráhy Saturnu. Nechť nJ , nS označují střední pohyby Jupiteru a Saturnu, při vyjádření III. Keplerova zákona Laplace: decelerace Saturnu, akcelerace Jupiteru *P. S. Laplace: Mémoire sur les inégalités séculaires des planétes et des satellites, Mémoires de l´Academie royale des Sciences, 1784, p. 49 - 92. Vzájemná interakce obou planet ovlivňuje střední pohyb, což popsal vztahem respektive Použité hodnoty , aJ=5,20279 au aS=9,53877 au dosazení ke vztahu Poměr decelerace Saturnu k akceleraci Jupiteru 7 : 3, viz věta v textu spisu str. 52*, poměr odpovídal zjištěným historickým hodnotám. Pierre Simon de Laplace Pierre Simon de Laplace Laplace - úvaha o poruchách *P. S. Laplace: Théorie de Jupiter et de Saturne. Mémoires de l´Academie royale des Sciences, 1785, p. 95 - 207. Ve spisu * Laplace konstatuje:,, Je tudíž velmi pravděpodobné, že pozorované změny v pohybech Jupiteru a Saturnu jsou výsledkem jejich vzájemných interakcí a je prokázáno, že toto působení může vyvolávat nerovnosti, které buď nepřetržitě narůstají nebo se vyznačují dlouhými periodami …“ …,, je přirozené se domnívat, že existují teorie a velký počet nerovností tohoto typu, jejichž perioda je velmi dlouhá.“ Laplace - stabilita Sluneční soustavy 1.Pozorované zrychlení Jupiteru, zpomalení Saturnu - výsledek vzájemných poruch obou planet. Dlouhoperiodické variace - změny rychlosti středního pohybu, (vyjadřované lineární aproximací), perioda přibližně 900 r. 2. 2.Planetární dráhy vykonávají dva pohyby - precesi perihélia (pomalá rotace dráhy v rovině) - precesi uzlové přímky (rotace dráhové roviny v prostoru). 3. 3.Vývoj dráhových elementů planet vyjádřen prostřednictvím dvou vět, zachycující kinematické vlastnosti planet sluneční soustavy. * P. S. Laplace: Théorie de Jupiter et de Saturne. Mémoires de l´Academie royale des Science, 1786, p. 211 - 239. Stabilita Sluneční soustavy Lagrange ↔ Laplace Nadšený Laplace ocenil Lagrangeův spis* a odvození vztahu slovy: ...,,výstižná aplikace nádherné metody, kterou jste vysvětlil na začátku vašich memoárů“...,,neobyčejně jednoduchý vztah obdržený pro změnu velké poloosy“... Laplace_X_Lagrange X_porte Korespondence Lagrange → Laplace Lagrange píše Laplaceovi 10. dubna 1775:,, Co mne nejvíce zaujalo, byl výzkum sekulárních nerovností. Vzpomněl jsem si na svou starší práci o teorii Jupiteru a Saturnu, budu usilovat o její aplikaci na další planety. Zamýšlím dále zaslat do spisů Akademie druhé pojednání o nerovnostech sekulárního pohybu afélia a výstředností planet, v kterých je problematika interpretována podobným způsobem .“ Korespondence Laplace → Lagrange Laplace → Lagrange 10. února 1783:,, jestliže předpokládáme dvě planety mající velmi podobný dráhový sklon, potom se na základě vzájemné interakce nemění…“ Vzájemná korespondence nebyla zdvořilostně formální, nýbrž věcná i s matematickými vztahy... Oba považujeme za architekty důkazu stability Sluneční soustavy, proto Lagrangeova - Laplaceova teorie... Stabilita Sluneční soustavy