Historie astronomie VII. Vladimír Štefl Ústav teoretické fyziky a astrofyziky Obsah obrázku text, umění, obraz, portrét Popis byl vytvořen automaticky Obsah obrázku Lidská tvář, obraz, portrét, umění Popis byl vytvořen automaticky Gaussova metoda výpočtu planety - planetky - trpasličí planety - Ceres • B. Marsden •A. Abdulle, G. Wanner •A. Celleti •M. Fausler •G. M. Gronchi •J. Tennenbaum, B. Director •D. Teets Jak Gauss vypočítal dráhu Ceres? Gaussova metoda znovunalezení Ceres gaussernst K. F. Gauss: Theoria Motus: ,,Determinare orbitam corporis coelestis, absque omni suppositione hypothetica, ex obseruationibus tempus haud magnum complectentibus neque adeo delectum…“ A. Seydler: ,,Určiti dráhu oběžnice bez všelikého hypothetického podkladu a z pozorování v krátkém čase po sobě učiněným.“ Titiusovo - Bodeovo pravidlo Slunce, Měsíc, Merkur, Venuše, Mars, Jupiter, Saturn - jejich uspořádání r. 1766 německý matematik a fyzik J. D. Titius r. 1772 německý matematik a astronom J. E. Bode Titiusovo – Bodeovo pravidlo ak = 0,4 + 0,3 x 2 k ( k = - ∞, 0, 1, 2,…) 595px-Johann_Daniel_Titius Johann Daniel Tititus (1729 -1796) Johann Elert Bode (1747 – 1826) 463px-Johann_Elert_Bode Titiusovo - Bodeovo pravidlo - historie *Bonnet, Ch.: Contemplation de la Nature – Pozorování přírody, Amsterodam 1764. * *Bode J. E.. Anleitung zur Kenntniss des gestirnten Himmels – Příručka ke studiu hvězdné oblohy, Hamburg 1772 předchůdci:Wolf, Ch. (1679 – 1754) Kant, I. (1724 – 1804) existuje mezera u planet Titius, J. D., 1766: Překlad knihy*, umístění poznámky o pravidle → Bonnet pro k = 3… ,,Skutečně Stvořitel zanechal toto místo prázdné? V žádném případě!“ - první zmínka o Ceres!? Bode, J. E., 1772:* * zřejmě na základě dopisování s Titiusem Titiusovo – Bodeovo pravidlo ak = 0,4 + 0,3 x 2 k ( k = - ∞, 0, 1, 2,…) AU Počátky hledání trpasličí planety r. 1781 anglický astronom W. Herschel (1738 - 1822) - objev Uranu pro k = 6 T. B. pravidlo a = 19,6 au, reálná velká poloosa a = 19,2 au Franz Xaver von Zach (1754 - 1832), budapešťský rodák, klíčová osoba příběhu astronom v Gotha, začal r. 1787 s hledáním planety mezi Marsem a Jupiterem pro k = 3, a = 2,8 au nebeská policie - J. H. Schröter, H. W. M. Olbers, W. Herschel, N. Maskelyne atd., celkem 24 astronomů - policistů, G. Piazzi původně nebyl členem Giusseppe Piazzi (1746 – 1826) objev planety (planetky) Ceres Ferdinandea Ramsdenův čočkový dalekohled, D objektivu 7,5 cm identifikace hvězdy Mayer 87 x Lacaille 87, objev Ceres náhodný Piazzi 1. ledna 1801 ve 20 hod 43 min místního času nalezl objekt, který se během noci posunul o 4´ k severozápadu. Svůj objev popsal takto: ,,Pozoroval jsem 1. ledna poblíž ramena Býka objekt s hvězdnou velikostí osmé magnitudy, který se dalšího večera 2. ledna posunul o 3´30“ přibližně k severu o 4´ ke znamení Berana“… Sledování prováděl do 11. února 1801, kdy se objekt přiblížil ke Slunci a přestal být pozorovatelný. Celkově Piazzi sledoval objekt 41 nocí, získal údaje o 21 úplných pozorováních, v nichž zachytil zhruba 9o jeho dráhy kolem Slunce, předpokládal, že jde o kometu….,,já bych tu hvězdu označil jako kometu, avšak nevykazuje žádnou mlhovinu…“ Piazziho pozorování Záznam Piazziho pozorování palermo01e Pohyb Ceres po obloze observations(800x600) Objev planety – planetky Ceres Ferdinandea v publikaci Piazziho Piazzi_Cerere ředitel observatoře v Gotha* editor Monatliche Correspondenz informován o ,,kometě“ v dubnu Franz Xaver von Zach (1754 - 1832) 539px-Franz_Xaver,_Baron_Von_Zach 378px-Monatliche_Correspondenz Piazzi - leden 1801 - dopisy → Bodemu, Orianu, Lalandovi Bode v dubnu → von Zachovi von Zach - červen rozsáhlá zpráva o objevu v Mon.Cor. Burckhardt v červenci výpočet dráhy v Mon.Cor. → von Zach v září soubor Piazziho pozorování v Mon.Cor. von Zach v říjnu popsal neúspěch při hledání Ceres v Mon.Cor. Gauss v listopadu provádí výpočty von Zach v prosinci v Mon.Cor. předpověd dráhy Ceres 7/8. prosince 1801 von Zach znovunalezl Ceres, přesněji vymezil 4 podezřelé objekty, následné potvrzení 1. ledna 1802, kdy pozoruje již i Olbers Monatliche Correspondenz - 1801 Johann Karl Burckhardt 1773 - 1825 405px-Johann_Karl_Burckhardt_Astronom léto 1801- neúspěšný výpočet dráhy a polohy Laplaceovou metodou: oběžná doba 4 roky + 1 ½ měsíce excentricita 0,0825047 planetka nenalezena, chyba 6o příčinnou nepřesnosti výpočtů Moniteur, 24.1.1802: Sur la nouvelle planete Laplaceova metoda dále rozvíjena: → Leuschner, Poincare, Moulton, německo – francouzský astronom Laplaceova klasická metoda Laplace geocentrické délky a šířky v časech velikost a směr vektoru známy směr vektoru znám velikost a směr vektoru neznámy C S Z jednotkový vektor podél vektoru Cíl: výpočet polohového vektoru a vektoru rychlosti v pozorovacím čase t2 tata1 Monatliche Correspondenz - září 1801 Piazziho pozorování 1.1 – 11.2.1801 rektascenze deklinace 2. ledna 51o 47´ 49“ 15 o 41´ 5“ 22. ledna 51o 42´ 21“ 17 o 3´ 18“ 11. února 54o 10´ 23“ 18 o 47´ 59“ střední sluneční čas p.m. 8 hod 39 min 4,6 s 7 hod 20 min 21,7 s 6 hod 11 min 58,2 s I. dráha: Polohy Ceres zjištěné Piazzim Gaussovy ekliptikální souřadnice * * III. dráha: 1. ledna, 21. ledna, 11. února. Piazziho pozorování obsahovalo chyby *, Gauss se snažil je vyloučit → restrinkce # # C – O výpočet Gauss stanovil souřadnice pro 25.11. – 31.12.1801 v intervalu po šesti dnech Výpočet pozorovacích hodnot Ceres základní myšlenky výpočtu - září, říjen 1801, první aplikace metody listopad 1801, → dráhové elementy, propočet vícekrát opakován 7/8. prosince 1801 von Zach vymezil 4 podezřelé objekty, jeden z nich Ceres von Zach1 Dráhové elementy Ceres listopad 1801 sklon dráhy i 10 o 36´ 57“ excentricita e 0,0825 hlavní poloosa a 2,7673 AU současné hodnoty: sklon dráhy i 10 o 35´ 10“ excentricita e 0,0800 hlavní poloosa a 2,7660 AU oběžná doba T 1 680,3 dne 742px-Ceres_Orbit_svg Carl Friedrich Gauss 1777 - 1855 gaussmladý Jak vypočítat dráhové elementy eliptické dráhy? Jak určit efemeridy? Kolik pozorování ze Země je nezbytných? Obtíže: rotace Země, oběh kolem Slunce, pozorovací chyby, těsnější pozorovací řada C. F. Gauss r. 1801 ± 24 letý + svobodný! - Pojednání o aritmetice Podstata Gaussovy metody tři polohy planetky ve třech časech, dráhová rovina planetky prochází středem Slunce aplikovaná matematika – kombinace geometrických a dynamických podmínek celkové řešení, geometrie situace, prostorový pohyb Země, planetky, více než 80 proměnných ve třech různých souřadných soustavách, jejich transformace, abstraktní matematické myšlení, mnoho algebraických a aritmetických výpočtů, Gauss nevzal do ruky tužku, pokud nebyl problém vyřešen… numerické výpočty, k určení dráhy v prostoru je zapotřebí šesti dráhových parametrů, nezbytná tři pozorování – rektascenze, deklinace → šest konstant, časový interval mezi nimi → II. Keplerův zákon zanedbání gravitačního působení ostatních těles vzhledem k malému časovému intervalu pozorování Ceres pozorujeme z pohybující se Země, jejíž polohu známe, obě tělesa obíhají v různých dráhových rovinách Jak Gauss propočítal dráhu Ceres? Gauss metodu předběžného určení dráhy Ceres popsal v dopise ze 6. srpna 1802 H. W. Olbersovi (1758 – 1840) …výměna mnoha dopisů, občas Gauss neplatil poštovné… vydáno se souhlasem Gausse až r. 1809 Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd – und Himmels-Kunde, C. F. Gauss + Franz Xaver Zach + Lindenau, September 1809, původně Gauss nepředpokládal publikování → von Lindenau ,,s mnoha omluvami za četné nedostatky“ Summarische Übersicht der Bestimmung der Bahnen der beiden neuen Hauptplaneten angewandten Methoden …(Ceres, Pallas) Souhrnný přehled metody užité k určení drah dvou nových planet 1. 1. 1. 1. 1. C. F. Gauss: Summarische Übersicht der zur Bestimmung der Bahnen - září 1809 vstupní údaje Gaussovy metody Gaussova metoda - Summarische Übersicht* polohatelesa tři dvojice souřadnic, geocentrických délek a šířek Gaussův cíl: nalezení polohových vektorů , v časech pozorování t1, t3 fig7 vektor projekce na rovinu ekliptiky, směr dán úhlem λ, velikost neznáma neznáme vzdálenost Země – Ceres , heliocentrická délka Země, úhel L je měřený od kladné osy X k poloze Země. * Teets D. A., Whitehead, K.: The Discovery of Ceres: How Gauss Became Famous. Mathematics Magazine, vol. 72, (1999), No. 2, p. 83 – 93. * Teets D. A., Dodd M.: Gauss’s and Laplace’s Orbit Determination Methods and the Hunt for Least Squares. Rapid City, 2010. Gauss zavedl veličiny Gaussova metoda dále což jsou aproximace pro velikosti vektorů Gauss později komentoval možné zlepšení aproximace δ1, δ3 , což je však výpočetně velmi obtížné. Dear Dr. Stefl, You are correct: the denominators should be (π1 x π3)•P2. Your e-mail amazes me! I was very surprised to see that the paper was even available on the internet. You must be reading the paper very carefully to have found that typographical error. I read it several times, and it escaped my attention. You might be interested in two other sources of information on this subject. The first is an article titled, “The Discovery of Ceres: How Gauss Became Famous,” in Mathematics Magazine, v.71 n.2, April 1999. This is a paper that I wrote on the subject several years ago. In that article, you will find the formulas that you refer to, but in slightly different notation. Second, you can go straight to the original source. Gauss’s paper, Summarische Ubersicht der zur Bestimmung der Bahnen der beiden neuen Hauptplaneten angewandten Methoden is easily available on the internet. You will find it in the Gauss Werke, v. 6 pp. 146-165. It is, of course, in German. My paper in Mathematics Magazine is a simplified look at Gauss’s original work. Thanks for your note. It is always nice to see that other people are interested in the same things I am! By the way, may I ask where you are located? Don Teets Typografické chyby Gaussova metoda M1, M2, M3 v rovnici označují střední anomálii Země v okamžiku tří zvolených pozorování, R2, r2 a δ2 jsou velikosti vektorů pro střední čas pozorování t2 . všechny veličiny v obou rovnicích, vyjma r2, δ2 jsou známy. Gauss obdržel: Gaussova metoda Pro zjednodušení: N – pravá strana první rovnice, vše známe, Dále zavedeme a, b známé veličiny, x, y neznámé . rovnice transformujeme na úpravou řešíme pro hodnotu Gaussova metoda Následně vypočteme vektory , ρ1 = [ δ1 cos (λ1), δ1 sin (λ1), δ1 tg (β1)] ρ3 = [ δ3 cos (λ3), δ3 sin (λ3), δ3 tg (β3)] Při platnosti vztahu můžeme odtud určit pro jakýkoliv časový okamžik. Odtud obdržíme δ2 , neboť R2 je známo – vzdálenost SZ δ1 , δ3 jsou dány výše uvedenými rovnicemi. Náčrtek drah planetek Ceres, Pallas a Vesta C. F. Gauss: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis solem ambientium 1809 Teorie pohybu nebeských těles pohybujících se kolem Slunce po kuželosečkách Gauss začal sepisovat r.1805, dokončil v německé verzi r. 1806, následně dílo překládal do latiny, vyšlo až r. 1809 dvě stě roků po Astronomia nova, na kterou těsně navazuje gauss100_v-contentgross kepler4-1 Theoria motus corporum coelestium r. 1809 První kniha Obecné vztahy mezi veličinami, kterými jsou pohyby kosmických těles kolem Slunce definovány - diferenciální rovnice popisující části eliptických drah Druhá kniha Studium drah kosmických těles z geocentrických pozorování - zpřesňování odhadů drah planet 1809Gauss Theoria motus corporum coelestium r. 1809 Druhá kniha První část druhé knihy čl. 131 - 163, Gaussova metoda, odlišná od původní z roku 1801 Třetí část druhé knihy čl. 172 - 189 metoda nejmenších čtverců a rozdělení chyb Theoria motus corporum coelestium základní předpoklady 1.Pohyb každého kosmického tělesa probíhá ve stálé rovině, v níž leží střed Slunce. 2. 2.Dráha opisovaná kosmickým tělesem je kuželosečka, jejíž ohnisko je ve středu Slunce. 3. 3.Pohyb kosmického tělesa po dráze probíhá tak, že plochy sektorů opisované kolem Slunce v různých časových intervalech jsou úměrné těmto intervalům. Jestliže plochy a časy vyjádříme pro zvolený sektor číselně, vždy je jejich podíl konstantní. 4. 4. Pro různá kosmická tělesa obíhající kolem Slunce platí: odpovídající podíly ploch sektorů a časů jsou úměrné odmocninám Gaussových parametrů. Výběr z geometrických Gaussových úvah* Theoria Motus čl. 88 – 105 pozorovaný pohyb planetky Ceres, známe přesnou polohu Země, Palerma, čas pozorování * Teenenbaum, J., Director, B.: How Gauss Determined The Orbit of Ceres. The American Almanac, December, 1997. Piazzi určil tři pozorovací směry L1, L2, L3 neurčují, kde se sledovaná planetka v prostoru nachází, neznal její vzdálenost a dráhovou rovinu, na které se Ceres pohybuje Prostorová geometrie: O - Slunce, E - Země, P - Ceres Pohyb Ceres ceres3d Gaussův poloviční parametr H elipsy HalfP_diagram Podíl plochy sektoru a uplynulého času je konst. = Rovnoběžníkový zákon Elementární charakteristikou prostoru je platnost rovnoběžníkového zákona v prostoru, kombinace posunutí C = D, nezávislost na pořadí… Určení polohy bodů P1, P2, P3 Body P1, P2, P3 leží na L1, L2, L3 ale kde ? Geometrie metody D - vzdálenost Země - Ceres Hledání vztahů mezi plochami ∆OE1E2, ∆OE2E3, ∆OE1E3 respektive ∆OP1P2, ∆OP2P3, ∆OP1P3 a odpovídajícími sektory a časy, referenční koule ke studiu úhlových vztahů, cíl bylo určení vzdálenosti D Polohu bodu P2 vzhledem k bodům P1 a P3 obdržíme pomocí rovnoběžníku vzniklého z posunů OQ1 a OQ3 podél přímek OP1 a OP3. Body Q1 a Q3 rozdělují části OP1 a OP3 v poměru, který lze vyjádřit v časech odpovídajících trojúhelníkovým plochám T12, T23 a T13. Obdržíme a Určení polohy bodu P2 pomocí P1 P3 Určení bodu Q1 pomocí rovnoběžníku OP3XP1 Gauss: rovnoběžník OP3XP1, vrchol X je průsečíkem rovnoběžek OP3 a OP1 vedených z bodů P1 a P3. Následně vedl rovnoběžku s OP1 bodem P2, nalezl polohu bodu Q1, obdobně rovnoběžka s OP3 vedená bodem P2 udává polohu bodu Q1. bodx Nahrazování plošných sektorů trojúhelníky, určení plochy P1P2P3 pomocí T123 Určení plochy ΔT123 První aproximace dráhy Ceres ze tří pozorování konstrukce polohy P2 , , Využití výpočtu odpovídajících plošných sektorů za pomoci poměru uražených časů Souvislost ploch trojúhelníků s odpovídajícími sektory pohybu Ceres, vyžití časových údajů, t ~ Plochy sektorů při pohybu Ceres, podíly ploch a časů Geometrická upřesnění Rozdílnost ploch S13 a T13 → nutnost zavedení Gaussova korekčního faktoru Gaussův korekční faktor Hledání korekčních faktorů, k získání vztahu mezi poměry ploch trojúhelníků a časovými poměry, korekční faktor závisí na vzdálenosti Ceres - Slunce Upřesnění hlavní poloosy a Ceres Gaussův korekční faktor závisí na vzdálenosti Ceres od Slunce – r2 upřesnění výpočtu který je mírně větší než 1, Zach, Olbers předpokládali podle T.B. pravidla a = 2,8 au. Gaussův výpočet vedl při hodnotě G ≈ 1,003 → zpřesnění a = 2,767 au. Podstata Gaussovy metody heliocentrické poziční vektory v jedné rovině (zanedbáváme poruchy), v časech Gauss vycházel z Pierre Bouguer (1698 – 1758) výpočet drah komet, rozvoj metod určování drah, zavedl aproximaci* BouguerPierre psáno ze soudobého pohledu, vektorový počet ještě nebyl *Mémoires of the Paris Academy of Sciences, 1773 Platí heliocentrický vektor Země geocentrický vektor Ceres heliocentrický vektor Ceres při znalosti lze určit → dráhové elementy metoda méně přesná, malé změny c1, c3 → velké změny r1, r3 Gaussova metoda k řešení Gauss zavádí veličiny P, Q, v prvním přiblížení zachycující plochy trojúhelníků malé nepřesnosti v hodnotách P, Q vedou k malým chybám heliocentrických poloh, analýza malých změn P, Q v Theoria Motus čl. 88 - 105, po dosazení Gaussovo řešení Δ STP v Theoria Motus* k určení P a Q - algebraická rovnice osmého řádu, Gaussem transformovaná na tzv. Gaussovu rovnici, q a m jsou známé funkce veličin P a Q v Δ STP při úhlu z2 u vrcholu P (Ceres) platí gauss v příloze* řešena Gauss - metoda nejmenších čtverců Dokladem věta v Summarische Űbersicht …,,hat man schon Beobachtungen von der 1 oder mehreren Jahre…,so halte ich den Gebrauch der Differential -Änderung, wobei man eine beliebige Zahl von Beobachtungen zum Grunde legen kann, für das beste Mittel“ …,,jestliže používáme pozorování za 1 nebo více roků…,,beru na zřetel metodu diferenciálních odchylek, s jejíž pomocí libovolný počet pozorování může být využit jako podklad, je to nejlepší metoda“ Gauss nesděluje podrobnosti, výklad není v Summarische Űbersicht zdaleka souvislý, všechny kroky výpočtů jakož i hodnoty používaných různých konstant nejsou uváděny, písemně podložené doklady z roku 1801 neexistují. Její použití je však zřejmé. - Jak a kdy při výpočtech použil Gauss metodu nejmenších čtverců? - Při prvních výpočtech dráhových elementů na podzim r. 1801 nebo posléze při znovuobjevení Ceres? Gauss – metoda nejmenších čtverců Druhá kniha Theoria motus corporum celestium, třetí část Určování dráhy z jakéhokoliv počtu pozorování, čl. 179, Gauss uvádí: “… the most probable system of values of the quantities…will be that in which the sum of the squares of the differences between the actually observed and computed values multiplied by numbers that measure the degree of precesion, is a minimum.“ , dále v čl. 186: “…Our principle, which we have use of since the year 1795, has lately been published by Legendre in the work …“ Zápis v Gaussově diáři 17.6.1798 Calculus probabalitatis contra La Place defensus Výpočet pravděpodobnosti obhajovaný ve sporu s Laplacem A. M. Legendre: Nouvelles méthodes pour la determination des orbites des cométes, Paris 1806. Gauss Theoria Motus - metoda nejmenších čtverců Čl. 186 Čl. 179 Ohlasy Gaussova objevu v Čechách F. J. Studnička: Na oslavu stoleté památky narození K. B. Gausse. Čas. pro pěstování matematiky a fysiky, vol. 6 (1877), p. 146 – 148. ,,Mezi tím však uveřejnil jakýsi Dr. Gauss stručné, ale velmi přesné popsání jejího oběhu, pravý to zatykač, a sice na základě trojího pozorování, jež Piazzi dne 2. a 22. ledna, pak 11. února provedl. Výpočet byl proveden podle zcela nových method a byly výsledky jeho tak správné, že již 7. prosince postihl Zach v této Gaussově dráze nebeského úskoka…“ ,,Ale dlouhého trvání neměla radost tato rázu tak ideálního; oběžnička, jíž dáno jméno Ceres, nemohla delší dobu býti sledována a ztratila se konečně na dobro, nemajíc ještě dráhu přesně vyměřenou. Psalo se již 1. prosince 1801 a nově objevená a brzy zase ztracená hvězdička nebyla ještě na obloze nalezena.“ Ohlasy Gaussova objevu v Čechách A. Seydler: O Gaussových pracích astronomických. Čas. pro pěstování matematiky a fysiky, vol. 6 (1877), p. 184 – 191. ,,a první jasná noc, v které oběžnice dle čísel počtem obdržených hledána byla, vrátila uprchlou pozorovatelům.“ Podle Theoria Motus: ,,Zdaž jsem mohl kdy vhodněji zkusiti, mají-li ony myšlénky mé nějakou cenu praktickou, než nyní kdybych jich upotřebil k určení dráhy oběžnice Ceres, kterážto za oněch 41 dní pouze oblouk tří stupňů vzhledem ke středu Země proběhla a po uplynutí roku v části oblohy velmi daleko odtud vzdálené hledána býti mohla?“ …7. prosince 1801 Ceres opět objevena jest Zachem… 225px-Carl_Friedrich_Gauss Závěr W. Shakespeare: Du, Natur, bist meine Gottheit; Deinen Gesetzen diene ich. Tvými zákony mé služby jsou poutány. C. F. Gauss: Tvým zákonům sloužím. Obsah obrázku text, Bankovka, Poštovní známka, papír Popis byl vytvořen automaticky Závěr - význam Gaussovy metody Vzhledem ke své přesnosti a praktické použitelnosti měla Gaussova metoda v historii astronomie zásadní význam pro určování drah planetek Ceres, Palas 1802, Juno 1804, Vesta 1807. Pozdější matematické zpracování metody aplikací lineární algebry umožnilo podstatné urychlení výpočtů. Gaussova metoda modernizovaná pro počítače byla používána i v současnosti, například k upřesnění drah umělých družic Země. Ceres Ceres_optimized ceres2la 960 x 932 km, albedo ≈ 0,1, M ≈ 9,5.10 20 kg, ρ ≈ 2.10 3 kg.m-3 voda tvoří asi (20 – 25) % hmotnosti, hydrostatická rovnováha, diferenciace nitra teplem uvolněným při rozpadu 26Al, silikátové horniny - kamenné jádro, plášť ≈ ( 60 - 120) km, kůra ≈ 10 km – regolit, T ≈ 140 K, T max ≈ 235 K, žádné větší impakty na povrchu, Ceres zřejmě pohybem připutoval na své místo v Sluneční soustavě Tři pozorování v časových okamžicích t1, t2, t3 dávají šest nezávislých veličin – geocentrických souřadnic λ1, β1, λ2, β2, λ3, β3. Geocentrické a heliocentrické souřadnice jsou mezi sebou vázány 9 rovnicemi ρi cos βi cos λi = xi + Xi ρi cos βi cos λi = yi + Yi ρi sin βi = zi + Z i pro i = 1, 2, 3 kde λi, βi jsou známy z pozorování, Xi, Yi, Zi jsou určeny z tabulek pohybu Země (označují polohy Země vzhledem ke Slunci) . Neznámé jsou ρi a dále xi, yi, zi, Devět posledních veličin je vyjádřitelných přes šest elementů dráhy a, e, i, T, ω, Ω, a známých časových okamžiků ti. Tedy nezávislých neznámých je stejně jako rovnic. Gaussovo řešení Gaussovy transformace souřadnic Theoria motus corporum coelestium čl. 84 Gauss sděluje čtenáři ke starému problému: ,,Od doby, kdy je možné určovat celou dráhu s použitím dvou rádius vektorů stanovených velikostí a polohou společně s jedním elementem dráhy, časem v kterém kosmické těleso se pohybuje od jednoho rádius vektoru k druhému, může být dráha určována, jestliže buď zanedbáme hmotnost tělesa nebo ji považujeme za známou…. …,,Je zřejmé, že dva rádius vektory, určené velikostí a polohou, současně s časem, ve kterém kosmické těleso popisuje střední časový úsek, určují celou dráhu…“ Gauss - metoda nejmenších čtverců Porovnání Piazziho pozorovacích hodnot a pozdějších výpočtů souřadnic, které lépe vyhovují Piazziho pozorováním než původní Gaussovy hodnoty. Piazziho pozorování obsahovaly menší chyby, ovlivňující řešení, což Gauss věděl, viz. Mon.Cor. Dráhové roviny Země a Ceres Gaussovo řešení Geometricky řešení je vedeno tak, že ze tří zadaných bodů – poloh Země (určovaných Xi, Yi, Zi) vedeme tři směry, odpovídající pozorovaným αi, δi , následně hledáme průsečík s rovinou, procházející přes střed Slunce tak, aby (úloha je plně určena, neboť kónický řez je jednoznačně stanoven třemi svými body a polohou ohniska). Tak, aby dvojnásobek plošných sektorů mezi prvním a druhým rádius vektorem (r1, r2) a současně mezi druhým a třetím (r2, r3) byly v souladu s I. a III. Keplerovým zákonem. Gaussova metoda Uvedené dvě rovnice jsou těmi podmínkami, s jejichž pomocí může být určena poloha dráhové roviny, neboť k jejímu stanovení postačují dva parametry, např. sklon dráhové roviny a délka výstupného uzlu. Následně lze určit body – průsečíky pozorovaných směrů na planetku s její dráhovou rovinou, to je nalézt souřadnice xi, yi, zi (z prvně uvedených rovnic) a současně i ρi. To lze realizovat metodou postupných přiblížení. V rovnicích je parametr dráhy p neznámý. Metoda uzpůsobena ke zvláštnostem logaritmického výpočtu. Místo pozorovaných rovníkových souřadnic planetky zavedl Gauss ekliptikální, v kterých je šířka Slunce nulová, což zjednodušuje výpočty. od 1802 započítání poruch od Jupitera, rezonance s Ceres 2 : 5, TC = 4,6 r., TJ = 11,8 r. Ceres Ceres_optimized ceres2la 960 x 932 km, albedo ≈ 0,1, M ≈ 9,5.10 20 kg, ρ ≈ 2.10 3 kg.m-3 voda tvoří asi (20 – 25) % hmotnosti, hydrostatická rovnováha, diferenciace nitra teplem uvolněným při rozpadu 26Al, silikátové horniny - kamenné jádro, plášť ≈ ( 60 - 120) km, kůra ≈ 10 km – regolit, T ≈ 140 K, T max ≈ 235 K, žádné větší impakty na povrchu, Ceres zřejmě pohybem připutoval na své místo v Sluneční soustavě Literatura: [ 1 ] Piazzi, G.: Risultati delle Osservazioni della Nuova Stella. Palermo, 1801. [ 2 ] Director, B., Tennenbaum, J.: http://www.schillerinstitute.org/fid_97-01/982_orbit_ceres.pdf [ 3 ] Gauss, C. F.: Theory of the Motion of the Heavenly Bodies Moving about the Sun in Conic Sections. Dover Publications, Inc. Mineola, New York 2004. [ 4 ] Zach, F. X.: Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmels-Kunde. 1809. Gauss, K. F.: Summary Overview of the Method Used To Determine the Orbits of the Two New Planets. [ 5 ] Gauss, C. F.: Summarische Übersicht der Bestimmung der Bahnen der beiden neuen Hauptplaneten angewandten Methoden – 1802. [ 6 ] Forbes, E. G.: Gauss and the Discovery of Ceres. Journal for the History of Astronomy 1971, No. 2, p. 195 - 199. [ 7 ] Foderá, S. G., Manara, A., Sicoli, P.: Giuseppe Piazzi and the Discovery of Ceres. www.lpi.usra.edu/ http:www.physics.muni.cz/astrohistorie Ceres Ceres_optimized ceres2la 960 x 932 km, albedo ≈ 0,1, M ≈ 9,5.10 20 kg, ρ ≈ 2.10 3 kg.m-3 Voda tvoří asi (20 – 25) % hmotnosti, hydrostatická rovnováha, diferenciace nitra teplem uvolněným při rozpadu 26 Al, silikátové horniny – kamenné jádro, plášť ≈ ( 60 – 120) km, kůra ≈ 10 km – regolit, T ≈ 140 K, T max ≈ 235 K, žádné větší impakty na povrchu, Ceres zřejmě pohybem připutoval na své místo ve sluneční soustavě Pravá anomálie Dráhové elementy 748px-Orbital_elements_svg a, e, i, ω, Ω, T Gaussova metoda byly nalezeny tři pozice P1, P2, P3 hledáme elipsu, jejíž rovina prochází středem Slunce hodnotu polovičního parametru H určíme ze Větší chyby, jestliže P1, P2, P3 jsou blízko Gaussova metoda