113
7 Optická difrakce jako přenos lineárním systémem
7.1 Impulsová odezva pro Fresnelovu difrakci
7.2 Přenosová funkce pro Fresnelovu difrakci jako Fourierova transformace impulsové odezvy
7.3 Fourierovský rozklad vlnové funkce a její úhlové spektrum
7.4 Difrakční integrál a impulsová odezva pro Fraunhoferovu difrakci
7.5 Fresnelova difrakce vyjádřená superpozicí rovinných vln
7.6 Přenosová funkce pro Fresnelovu difrakci získaná z podílu úhlového spektra
výstupní a vstupní vlnové funkce
Přistupme nyní k optické difrakci z hlediska teorie lineárních systémů. (Základní pojmy a vlastnosti
lineárních systémů jsou shrnuty v dodatku D.)
Z fyzikálních důvodů je zřejmé, že na Fresnelovu difrakci v homogenním izotropním prostředí chápanou
tak, že jde o nalezení vlnové funkce v rovině rovnoběžné s difrakčním stínítkem, můžeme pohlížet
jako na přenos lineárním prostorově invariantním systémem: Vstupní funkcí je známá vlnová funkce v rovině
z = 0, kterou značíme ψ(x, y, 0) ≡ ψ0(xM , yM ), a výstupní funkcí je Fresnelova difrakce ψ(x, y, z)
v rovině z = konst. > 0. Že jde o přenos lineárním systémem je zřejmé: Lineární kombinaci vstupních
funkcí odpovídá táž lineární kombinace příslušných výstupních funkcí. Že jde o přenos prostorově invariantním
(izoplanatickým) systémem, je rovněž zřejmé: Posuneme-li vstupní funkci ψ0(xM , yM ) v rovině
z = 0, posune se stejným způsobem Fresnelova difrakce v rovině z = konst. > 0.
Také v případě Fraunhoferovy difrakce je vstupní funkcí známá vlnová funkce ψ0(xM , yM ) ≡ ψ(x, y, 0),
výstupní funkcí je však její Fourierova transformace A0(nx, ny). Fraunhoferovu difrakci v homogenním
izotropním prostředí lze jistě považovat za přenos lineárním systémem, nikoliv však systémem prostorově
invariantním. Posunutí vstupní funkce ψ(x, y, 0) v rovině z = 0 o nějaký vektor r 0
(x0
, y0
) má totiž za
následek násobení původní výstupní funkce fázorem exp[ik(nxx0
+ nyy0
)] (srov. např. [1], odst. 11.1).
V případě Fresnelovy difrakce má tedy smysl si ujasnit, co je impulsovou odezvou a co přenosovou
funkcí. V případě Fraunhoferovy difrakce má smysl mluvit pouze o impulsové odezvě, nikoli však
o přenosové funkci, neboť ta je definováná jen pro prostorově invariantní systémy. (Je pozoruhodné, že
z hlediska teorie systémů se v tomto smyslu Fraunhoferova difrakce jeví být obecnější než Fresnelova).
7.1 Impulsová odezva pro Fresnelovu difrakci
Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál 6.5(13) představuje matematicky rigorózní řešení problému
Fresnelovy difrakce: známé vlnové funkci ψ v rovině z = 0 přiřazuje vlnovou funkci v rovině z > 0
(obr. 1). Označíme-li, jak je naším zvykem, proměnné v rovině z = 0 symboly xM , yM a vlnovou funkci
v této rovině symbolem ψ0(xM , yM ) ≡ ψ(x, y, 0), uvážíme-li, že sM = (xM −x)ı+(yM −y)−zk a n = k,
je
P(x,y,z)
M(x ,y ,0)M M
0
x
y
z
s
Obrázek 1: Soustava souřadnic používaná k popisu přenosu vlnové funkce z roviny z = 0 do roviny
z = konst. > 0.
114 7 OPTICKÁ DIFRAKCE JAKO PŘENOS LINEÁRNÍM SYSTÉMEM
sM
sM
· n =
−z
(x − xM )2 + (y − yM )2 + z2
a integrál 6.5(13) lze přepsat do tvaru
ψ(x, y, z) = −
ikz
2π
∞
−∞
ψ0(xM , yM )
exp ik (x − xM )2 + (y − yM )2 + z2
(x − xM )2 + (y − yM )2 + z2
×
× 1 +
i
k (x − xM )2 + (y − yM )2 + z2
dxM dyM . (1)
Tento integrál (1) má zřetelně tvar konvoluce
ψ(x, y, z) = ψ0(x, y) ∗ hz(x, y), (2)
kde
hz(x, y) = −
ikz
2π
exp ik x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
1 +
i
k x2 + y2 + z2
. (3)
V terminologii teorie systémů je ovšem difrakční integrál (1) superpozičním integrálem a funkce hz (3)
impulsovou odezvou.
Poznámka: Také různá aproximativní vyjádření integrálu (1), jichž jsme používali v kap. 3 a 5, mají
tvar konvoluce a jsou superpozičními integrály. Příslušné impulsové odezvy jsou aproximacemi impulsové
odezvy (3). Připomeneme tři tato aproximativní vyjádření:
(i) V případě optické difrakce bývá k x2 + y2 + z2 1, takže impulsovou odezvu (3) lze aproximovat
výrazem
hz(x, y) ≈ −
ik
2π
exp ik x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
z
x2 + y2 + z2
. (4)
To odpovídá impulsové odezvě v integrálu 3.2(6) vyjadřujícím Huygensův–Fresnelův princip aplikovaný
na náš problém přenosu vlnění z roviny z = 0 do roviny z = konst. > 0.
(ii) Položíme-li dále z√
x2+y2+z2
.
= 1, je impulsová odezva aproximována rozbíhavou kulovou vlnou
hz(x, y) ≈ −
ik
2π
exp ik x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
, (5)
což odpovídá impulsové odezvě v integrálu 3.6(1).
(iii) Konečně, použijeme-li Fresnelovy aproximace kulové vlny 1.10(6)
exp ik x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
≈
exp(ikz)
z
exp
ik
2z
x2
+ y2
,
dostáváme z (5)
hz(x, y) ≈ −
ik
2π
exp(ikz)
z
exp
ik
2z
x2
+ y2
= Pz(x, y), (6)
což odpovídá impulsové odezvě v difrakčním integrálu 2.3(2), jenž byl východiskem při výpočtech
konkrétních Fresnelových difrakčních jevů v kapitole 5. Tento tvar impulsové odezvy se v literatuře
někdy nazývá Fresnelovým propagátorem Pz(x, y).
7.2 Přenosová funkce pro Fresnelovu difrakci jako Fourierova transformace impulsové odezvy 115
7.2 Přenosová funkce pro Fresnelovu difrakci jako Fourierova transformace
impulsové odezvy
Zabývejme se nyní otázkou, co je přenosovou funkcí při Fresnelově difrakci. Odpověď na tuto otázku
získáme dvěma způsoby. Jednak výpočtem Fourierovy transformace impulsové odezvy 7.1(3) (v další části
tohoto odstavce), jednak z Fourierovy transformace vlnové funkce charakterizující Fresnelovu difrakci
(v odst. 7.6). Je samozřejmé, že odpověď bude v obou případech stejná.
Počítejme tedy Fourierovu transformaci impulsové odezvy hz(x, y) 7.1(3). Parametry A, B ve Fourierově
transformaci (viz dodatek D, resp. [1], odst. 2.1) zvolíme ve tvaru A = k/2π, B = 1. Důvodem pro
tuto volbu parametrů A, B je, aby Fourierova transformace vlnové funkce představovala amplitudu rozkladu
vlnové funkce do rovinných vln (viz odst. 7.3 až 7.5 v dalším textu). Přenosová funkce Hz(nx, ny)
je definována Fourierovým integrálem
Hz(nx, ny) = FT {hz(x, y)} =
k
2π
2
∞
−∞
hz(x, y) exp [−ik (nxx + nyy)] dx dy, (1)
kde nx, ny jsou reálné proměnné nabývající hodnot z intervalu (−∞, ∞) a hz(x, y) je impulsovou odezvou
ve tvaru 7.1(3). Vzhledem ke komplikovanému tvaru impulsové odezvy lze očekávat, že výpočet integrálu
(1) bude poměrně obtížný. Zvolíme tento postup. Využijeme toho, že impulsová odezva hz, a tedy
i přenosová funkce Hz, je rotačně symetrickou funkcí. Vyjádříme impulsovou odezvu v polárních souřadnicích
a Fourierovu transformaci (1) vyjádříme prostřednictvím Hankelovy transformace nultého řádu.
Impulsovou odezvu hz vyjádříme prostřednictvím Hankelovy funkce H
(1)
3/2 a využijeme bohaté zásobnice
integrálů Besselových funkcí a integrál (1) vypočteme.
Zavedeme tedy polární souřadnice
x = r cos ϕ, nx = R cos Φ, r, R ∈ 0, ∞),
y = r sin ϕ, ny = R sin Φ, ϕ, Φ ∈ 0, 2π).
(2)
Je zřejmé, že impulsová odezva 7.1(3) má v polárních souřadnicích tvar
hz(r) = −
ikz
2π
exp ik
√
r2 + z2
r2 + z2
1 +
i
k
√
r2 + z2
. (3)
Uvážíme-li, že Hankelovu funkci H
(1)
3/2(y) lze vyjádřit elementárními funkcemi (viz např. [1], B.7(12))
H
(1)
3/2(y) = −
2
πy
exp(iy) 1 +
i
y
,
můžeme upravit impulsovou odezvu (3) do tvaru
hz(r) =
ik3/2
z
2
√
2π
H
(1)
3/2 k
√
r2 + z2
(r2 + z2)
3/4
. (4)
Jádro Fourierovy transformace (1) vyjádříme v polárních souřadnicích
exp [−ik(nxx + nyy)] = exp −ikRr cos(ϕ − Φ) ,
a tím převedeme Fourierův integrál (1) do tvaru
Hz(R) =
k
2π
2 ∞
0
hz(r) r
2π
0
exp −ikRr cos(ϕ − Φ) dϕ dr, (5)
jenž po použití integrální reprezentace Besselovy funkce
J0(x) =
1
2π
α+2π
α
exp ±ix cos ϕ dϕ
(srov. [1], B.13(6)) vyjadřuje přenosovou funkci Hz Hankelovou transformací nultého řádu:
116 7 OPTICKÁ DIFRAKCE JAKO PŘENOS LINEÁRNÍM SYSTÉMEM
Hz(R) =
k2
2π
∞
0
hz(r) J0(kRr)r dr. (6)
Dosadíme-li (4) do (6), dostáváme
Hz(R) =
ik7/2
z
2(2π)3/2
∞
0
H
(1)
3/2 k
√
r2 + z2
(r2 + z2)
3/4
J0 kRr r dr. (7)
Integrál v (7) najdeme v tabulkách. Podle [2], 7.14.2(48) je
∞
0
H
(1)
3/2 k
√
r2 + z2
(r2 + z2)
3/4
J0 (kRr) r dr =



(1 − R2
)1/4
k
√
z
H
(1)
1/2 kz 1 − R2 , když R < 1,
−2i(R2
− 1)1/4
πk
√
z
K1/2 kz R2 − 1 , když R > 1.
(8)
Hankelovu funkci H
(1)
1/2(y) i Macdonaldovu funkci K1/2(y) lze vyjádřit elementárními funkcemi (viz např.
[3], 8.469.3 a 8.469.4)
H
(1)
1/2(y) = −i
2
πy
exp(iy), K1/2(y) =
π
2y
exp(−y). (9)
S použitím (9) je integrál (8) pro všechny hodnoty R vyjádřen funkcí
∞
0
H
(1)
3/2 k
√
r2 + z2
(r2 + z2)
3/4
J0 (kRr) r dr = −i
2
π
1
k3/2 z
exp ikz 1 − R2 . (10)
Dosazením (10) do (7) dostáváme výsledný tvar přenosové funkce
Hz(R) =
k
2π
2
exp ikz 1 − R2 , (11)
tj. v kartézských souřadnicích
Hz(nx, ny) =
k
2π
2
exp ikz 1 − n2
x − n2
y . (12)
Impulsová odezva hz(x, y) ve tvaru 7.1(3) a přenosová funkce Hz(nx, ny) ve tvaru (12) jsou dvojicí
funkcí, které spolu souvisejí Fourierovou transformací.
Poznámka: Není samozřejmé, a tím je zajímavé, že existují také přibližná vyjádření přenosové
funkce Hz a impulsové odezvy hz, která jsou dvojicí funkcí, jež spolu souvisejí Fourierovou transformací.
Konkrétně, omezíme-li se na obor n2
x + n2
y 1, můžeme přenosovou funkci (12) aproximovat výrazem
Hz(nx, ny) ≈
k
2π
2
exp(ikz) exp −
ikz
2
n2
x + n2
y . (13)
Ukážeme, že toto aproximativní vyjádření je Fourierovou transformací Fresnelova propagátoru 7.1(6).
Vzhledem k tomu, že obě funkce jsou rotačně symetrické, bylo by opět možné počítat Fourierův integrál
v polárních souřadnicích a s pomocí Besselovy funkce J0. Avšak vzhledem k tomu, že dvojný Fourierův
integrál lze v těchto aproximativních výrazech funkcí Hz a hz faktorizovat, zůstaneme u kartézských
souřadnic.
Budeme počítat inverzní Fourierovu transformaci funkce (13), označíme ji
g(x, y) =
k
2π
2
exp(ikz)
∞
−∞
exp −
ikz
2
n2
x + n2
y exp ik nxx + nyy dnx dny (14)
a ukážeme, že platí g(x, y) = Pz(x, y). Dvojný integrál I(x, y) v (14) lze faktorizovat, I(x, y) = I1(x)I2(y),
kde
7.3 Fourierovský rozklad vlnové funkce a její úhlové spektrum 117
I1(x) =
∞
−∞
exp −
ikz
2
n2
x − 2nx
x
z
dnx, I2(y) =
∞
−∞
exp −
ikz
2
n2
y − 2ny
y
z
dny.
Tyto integrály vypočteme pomocí Fresnelových integrálů (jako vždy, když integrandem je komplexní exponenciální
funkce, jejímž argumentem je lineární kombinace první a druhé mocniny integrační proměnné
(viz např. 5.1(5))):
I1(x) =
∞
−∞
exp −
ikz
2
nx −
x
z
2
dnx exp
ik
2z
x2
=
=
π
kz
exp
ik
2z
x2
∞
−∞
exp −i
π
2
v2
dv =
= 1 − i
π
kz
exp
ik
2z
x2
.
Integrál I2(x) je obdobný, takže
I(x, y) = I1(x)I2(y) = −2i
π
kz
exp
ik
2z
x2
+ y2
.
Dosadíme-li tento výraz za integrál v (14), dostáváme
g(x, y) = −
ik
2π
exp(ikz)
z
exp
ik
2z
x2
+ y2
= Pz(x, y) (15)
(srov. 7.1(6)), což jsme chtěli v této poznámce ukázat.
* * *
Shrneme v jednom souvětí, co jsme zatím v této kapitole udělali: Interpretací Rayleighova–Sommerfeldova
difrakčního integrálu jako superpozičního integrálu jsme nalezli impulsovou odezvu 7.1(3) a její Fourierovou
transformací jsme vypočetli přenosovou funkci 7.2(12) pro Fresnelovu difrakci. Nyní budeme postupovat
v jistém smyslu opačně. Touž přenosovou funkci odvodíme nezávisle na výsledcích odst. 7.2, a to
podílem Fourierových transformací výstupní a vstupní vlnové funkce (odst. 7.6). Inverzní Fourierovou
transformací takto získané přenosové funkce je ovšem impulsová odezva 7.1(3), takže inverzní Fourierovu
transformaci ani nemusíme počítat. Tento postup představuje nové a nezávislé odvození Rayleighova–
Sommerfeldova difrakčního integrálu 6.5(13), tj. 7.1(1). Kromě toho dává nový pohled na vlnovou funkci
jako superpozici rovinných a evanescentních vln a na Fraunhoferovu difrakci (odst. 7.4 a 7.5).
7.3 Fourierovský rozklad vlnové funkce a její úhlové spektrum
Vyjádříme vlnovou funkci ψ(x, y, z) představující Fresnelovu difrakci v rovině z = konst. ≥ 0 Fourierovým
integrálem, a to poněkud zvláštním způsobem. Nikoli trojným integrálem, jak by se mohlo očekávat
u funkce tří proměnných, ale pouze dvojným: V každé rovině z = konst. lze považovat vlnovou funkci
ψ(x, y, z) za funkci dvou proměnných x, y a tuto funkci vyjádřit dvojným Fourierovým integrálem
ψ(x, y, z) =
∞
−∞
A(nx, ny; z) exp[ik(nxx + nyy)] dnx dny. (1)
V tomto integrálu jsou nx, ny fourierovské proměnné, jejichž povahu nemusíme nyní specifikovat. (V teorii
difrakce bývá k = 2π
λ , takže nepřekvapí, když se ukáže, že nx a ny souvisejí se směrovými kosiny.) Integrál
(1) má tvar inverzní Fourierovy transformace. Funkce A(nx, ny; z) je tedy Fourierovou transformací
vlnové funkce ψ:
118 7 OPTICKÁ DIFRAKCE JAKO PŘENOS LINEÁRNÍM SYSTÉMEM
A(nx, ny; z) =
k
2π
2
∞
−∞
ψ(x, y, z) exp[−ik(nxx + nyy)] dx dy. (2)
Funkce A(nx, ny; z) se – nepříliš výstižně – nazývá úhlové spektrum funkce ψ(x, y, z) (viz např. [4], § 3.7,
[5], § 3.10).
Usilujeme o alternativní odvození difrakčního integrálu. Vztahy (1) a (2) jsou zatím formální, neboť
funkci ψ(x, y, z) pro z > 0 dosud neznáme, a neznáme tedy ani explicitní výraz pro její úhlové spektrum
A(nx, ny; z). Funkci ψ však známe v rovině z = 0, kde ji značíme ψ(x, y, 0) ≡ ψ0(xM , yM ). Dosadíme-li
ji do rovnice (2), dostaneme její úhlové spektrum A0(nx, ny) ≡ A(nx, ny; 0):
A(nx, ny; 0) =
k
2π
2
∞
−∞
ψ0(xM , yM ) exp[−ik(nxxM + nyyM )] dxM dyM . (3)
Nalezneme-li explicitní tvar úhlového spektra (2) pro z > 0, získáme podílem
A(nx, ny; z)
A(nx, ny; 0)
=
k
2π
2
Hz(nx, ny)
přenosovou funkci Hz(nx, ny) pro Fresnelovu difrakci (srov. D.3(7)). Inverzní Fourierovou transformací
přenosové funkce Hz(nx, ny) pak můžeme vypočítat impulsovou odezvu hz(x, y) a konvolucí vstupní
funkce ψ0(xM , yM ) a impulsové odezvy hz(x, y) pak můžeme získat nezávisle odvozený difrakční integrál.
Nebudeme to však muset dělat, neboť uvidíme v odst. 7.5, že takto nezávisle odvozená přenosová funkce
Hz(nx, ny) má tvar 7.2(12), takže impulsová odezva hz(x, y) má tvar 7.1(3).
Hledejme tedy explicitní tvar funkce A(nx, ny; z) pro všechna z ≥ 0 ([4], § 3.7, [5], § 3.10.2). V poloprostoru
z ≥ 0 nejsou žádné zdroje vlnění, takže funkce ψ(x, y, z) vyhovuje Helmholtzově rovnici 1.7(7).
Dosadíme tedy integrál (1) do Helmholtzovy rovnice. Za tím účelem vypočteme derivace integrálu (1)
∂2
ψ
∂x2
= −k2
∞
−∞
n2
xA(nx, ny; z) exp[ik(nxx + nyy)] dnx dny, (4)
∂2
ψ
∂y2
= −k2
∞
−∞
n2
yA(nx, ny; z) exp[ik(nxx + nyy)] dnx dnx, (5)
∂2
ψ
∂z2
=
∞
−∞
∂2
A(nx, ny; z)
∂z2
exp[ik(nxx + nyy)] dnx dny (6)
a dosadíme je do Helmholtzovy rovnice 2
ψ+k2
ψ = 0. Zaměníme pořadí sčítání a integrace a dostaneme
∞
−∞
k2
1 − n2
x − n2
y A(nx, ny; z) +
∂2
A(nx, ny, z)
∂z2
exp[ik(nxx + nyy)] dnx dny = 0. (7)
Rovnice (7) platí pro všechny body x, y, z ≥ 0. Musí tedy být
∂2
A(nx, ny, z)
∂z2
+ k2
1 − n2
x − n2
y A(nx, ny, z) = 0. (8)
To je obyčejná lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. Její
řešení splňující okrajovou podmínku (3) je
A(nx, ny; z) = A(nx, ny; 0) exp ikz 1 − n2
x − n2
y . (9)
Toto je velmi důležitý výsledek, jejž využijeme v odst. 7.6 k alternativnímu, tj. nezávislému na odst. 7.2,
nalezení přenosové funkce popisující šíření vlny homogenním izotropním prostředím.
Dosadíme-li pravou stranu výrazu (9) do integrálu (1), dostaneme vlnovou funkci v obecné rovině
z = konst. ≥ 0 ve tvaru
7.4 Difrakční integrál a impulsová odezva pro Fraunhoferovu difrakci 119
ψ(x, y, z) =
∞
−∞
A(nx, ny; 0) exp ik nxx + nyy + z 1 − n2
x − n2
y dnx dny. (10)
Věnujme se nyní interpretaci tohoto výrazu. Je zřejmé, že pokud je n2
x + n2
y ≤ 1, představuje fázor
exp ik nxx + nyy + z 1 − n2
x − n2
y (11)
rovinnou vlnu šířící se ve směru n(nx, ny,
√
1 − n2
x − n2
y). Je-li však n2
x + n2
y > 1, upravíme výraz (11)
do tvaru
exp −kz n2
x + n2
y − 1 exp[ik(nxx + nyy)]. (12)
Tento výraz představuje rovněž vlnu, neboť je řešením Helmholtzovy rovnice 2
ψ +k2
ψ = 0, nikoli však
rovinnou vlnu. Plochy konstantní amplitudy jsou roviny z = konst. a amplituda vlny (12) exponenciálně
klesá s rostoucí vzdáleností z od difrakčního stínítka v rovině z = 0. (Už při n2
x + n2
y = 1, 01 se ve
vzdálenosti z = 10λ zmenší modul exp −kz n2
x + n2
y − 1 vlny (12) na 2 · 10−3
jeho hodnoty při
z = 0.) Plochy konstantní fáze jsou roviny k(nxx + nyy) = konst., tj.
y = −
nx
ny
x +
konst.
kny
,
tedy roviny s normálou N(nx/
√
n2
x + n2
y, ny/
√
n2
x + n2
y, 0). Výraz (12) je nehomogenní vlnou, neboť plochy
konstantní amplitudy nejsou totožné s plochami konstantní fáze (jsou na sebe kolmé). Vzhledem
k exponenciálnímu poklesu amplitudy v závislosti na souřadnici z nazývají se vlny (12) evanescentními
vlnami (z latinského evanescere vymizet, zaniknout). O evanescentních vlnách pojednává stať [6] a
monografie [7].
7.4 Difrakční integrál a impulsová odezva pro Fraunhoferovu difrakci
Úhlové spektrum A0(nx, ny) 7.3(3) vstupní funkce ψ0(xM , yM )
A0(nx, ny) =
k
2π
2
∞
−∞
ψ0(xM , yM ) exp[−ik(nxxM + nyyM )] dxM dyM . (1)
představuje tedy amplitudy rovinných a evanescentních vln, do nichž lze vstupní funkci ψ0 rozložit.
Inverzní Fourierova transformace k (1),
ψ0(xM , yM ) =
∞
−∞
A0(nx, ny) exp [ik(nxxM + nyyM )] dnx dny, (2)
je pak vyjádřením vstupní funkce superpozicí rovinných a evanescentních vln.
Připomeneme-li si fyzikální definici Fraunhoferovy difrakce jako směrového rozložení difraktovaného
vlnění (srov. odst 2.2) a nebereme-li v úvahu evanescentní vlny, zanikající v nepatrné vzdálenosti za
difrakčním stínítkem, je zřejmé, že integrál (1) je difrakčním integrálem pro Fraunhoferovu difrakci.
Je pozoruhodné, jak jednoduše jsme tento difrakční integrál získali: Právě jen Fourierovou transformací
vstupní vlnové funkce ψ0(xM , yM ). Naproti tomu získat tento výsledek z Huygensova–Fresnelova principu
bylo dosti pracné a vyžadovalo použití problematické aproximace (srov. odst. 3.5).
Pro mezní případ Fraunhoferovy difrakce — nerušené šíření vlnění, kdy funkce ψ0(xM , yM ) = 1, –
dává integrál (1) očekávaný výsledek:
A0(nx, ny) =
k
2π
2
∞
−∞
exp [−ik(nxxM + nyyM )] dxM dyM = δ(nx) δ(ny). (3)
Tj. vlnění postupuje v primárním směru n(0, 0, 1).
Pohlížíme-li na integrál (1) jako na superpoziční integrál D.2(2) lineárního systému, je funkce
120 REFERENCE
h(nx, ny; xM , yM ) =
k
2π
2
exp [−ik(nxxM + nyyM )] (4)
impulsovou odezvou D.2(1) pro Fraunhoferovu difrakci.
7.5 Fresnelova difrakce vyjádřená superpozicí rovinných vln
Integrál 7.3(10) vyjadřuje vlnovou funkci ψ(x, y, z) charakterizující Fresnelovu difrakci jako superpozici
rovinných a evanescentních vln, z nichž každá je tvaru
A0(nx, ny) exp ik nxx + nyy + z 1 − n2
x − n2
y . (1)
Amplituda těchto vln A0(nx, ny) — jsouc Fourierovou transformací 7.3(3) vstupní (aperturní) funkce
ψ0(xM , yM ) — nezávisí ovšem na z. Takže rozmanité difrakční obrazce pozorované v různých rovinách
z = konst. > 0 se vytvářejí součtem 7.3(10) týchž rovinných a evanescentních vln (1). Jak bylo řečeno,
evanescentní vlny zanikají již ve vzdálenosti několika vlnových délek od vstupní roviny. Můžeme proto
považovat integrál 7.3(10) za superpozici rovinných vln.
7.6 Přenosová funkce pro Fresnelovu difrakci získaná z podílu úhlového
spektra výstupní a vstupní vlnové funkce
Přenosová funkce lineárního prostorově invariantního systému je úměrná podílu Fourierových transformací
výstupní a vstupní funkce (viz dodatek D.3(7)). Fourierovský rozklad vlnové funkce, jenž nás
přivedl ke vztahu 7.3(9), tak nezávisel na výsledcích odst. 7.2, a tedy nezávisel na teorii Rayleighova–
Sommerfeldova difrakčního integrálu, dává výraz pro přenosovou funkci
Hz(nx, ny) =
k
2π
2
A(nx, ny; z)
A(ny, ny; 0)
=
k
2π
2
exp ikz 1 − n2
x − n2
y . (1)
Tento výsledek — možná nepříliš podstatný pro výpočty konkrétních difrakčních jevů — je pro nás
pozoruhodný tím, že představuje rigorózní odvození Rayleighova–Sommerfeldova difrakčního integrálu
6.5(13), alternativní k odvození v odst. 6.5. Inverzní Fourierova transformace přenosové funkce (1) je
totiž impulsová odezva 7.1(3), a tím se dostává Rayleighův–Sommerfeldův difrakční integrál 7.1(1), tj.
6.5(13).
Inverzní Fourierovu transformaci přenosové funkce (1) není ovšem vůbec třeba počítat. Výsledek
totiž známe. V odst. 7.2 jsme vypočetli, že přenosová funkce (1) (tj. 7.3(9)) je Fourierovou transformací
impulsové odezvy 7.1(3). Je tudíž samozřejmé, že inverzní Fourierovou transformací přenosové funkce
(1) je impulsová odezva 7.1(3).
Poznámka: Konkrétní tvar Fourierovy transformace nějaké funkce závisí na volbě konstant A, B, k
v definici Fourierovy transformace. Tak je tomu i s přenosovou funkcí. Výraz 7.2(12), tj. (1), platí pro
volbu A = k/2π, B = 1, k = 2π/λ, v níž fourierovské proměnné nx, ny představují směrové kosiny.
Pracujeme-li s prostorovými frekvencemi Xf = nx/λ, Yf = ny/λ, volíme konstanty A = 1, B = 1,
k = 2π a přenosová funkce pro Fresnelovu difrakci má tvar
Hz(Xf , Yf ) = exp i2π
z
λ
1 − λXf
2
− λYf
2
, (2)
ve shodě s D.3(7f ).
Reference
[1] Komrska J.: Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze. VUTIUM, Brno 2001.
[2] Bateman H., Erdélyi A.: Higher Transcendental Functions. Volume 2. McGraw–Hill Book Co., Inc.,
New York, Toronto, London 1953.
[3] Gradshteyn I. S., Ryzhik I. M.: Table of Integrals, Series, and Products. 5th Edition. Academic Press,
San Diego 1994.
REFERENCE 121
[4] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. McGraw–Hill Book Co., Inc., New York, Toronto,
London 1968.
[5] Goodman J. W.: Introduction to Fourier Optics. Second Edition. McGraw–Hill Book Co., Inc., New
York, Toronto, London 1996.
[6] Bryngdahl O.: Evanescent Waves in Optical Imaging. In Progress in Optics XI. (E. Wolf, ed.),
North–Holland Publ. Co., Amsterdam 1973, 167–221.
[7] Fornel F. de: Evanescent Waves. From Newtonian Optics to Atomic Optics. Springer, Berlin 2001.