\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\def\d{\operatorname{dist}}
\def\n#1{\|{#1}\|}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  9. cvičení Samoadjungované operátory, 2023}
\end{center}
\bigskip

%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Uvažujme samoadjungovaný lineární operátor $\varphi:\ \R^2\to\R^3$, $\varphi(x)=Ax$, kde 
$$A=\begin{pmatrix}4&2&2\\2&4&2\\2&2&4\end{pmatrix}.$$
Najděte vlastní čísla tohoto operátoru a ortonormální bázi v $\R^3$, která je tvořena
vlastními vektory operátoru $\varphi$. Napište podobnost mezi maticí $A$ a diagonální maticí s vlastními čísly na diagonále. 
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ } 
Uvažujme kvadratickou formu $f$ zadanou v souřadnicích standardní báze takto
$$f(x)=4x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+4x_2x_3.$$
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma $f$ diagonální tvar. Ten rovněž napište.
\end{zad}

\bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ }
Uvažujme kvadratickou formu $g$ zadanou v souřadnicích standardní báze takto
$$g(x)=17x_1^2+14x_2^2+14x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3+8x_2x_3.$$
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma $g$ diagonální tvar. Ten rovněž napište.
\end{zad}


 
\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce  $P:\ \R^3\to\R^3$ na rovinu
$$x_1+x_2+x_3=0.$$
Ukažte, že $P$ je samoadjungovaný operátor.
 \end{zad}
 
 \bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ } Ukažte, že:
\begin{enumerate}
\item Regulární matice tvaru $n\times n$ s prvky v $\R$ nebo v $\C$ s operací násobení matic tvoří grupu. Tyto grupy označujeme 
$\operatorname{GL}(n,\R)$, resp. $\operatorname{GL}(n,\C)$.
\item  Množina ortogonálních matic tvaru $n\times n$ tvoří podgrupu grupy  $\operatorname{GL}(n,\R)$. Označujeme ji $\operatorname{O}(n)$. 
\item Regulární reálné symetrické matice tvaru $n\times n$ netvoří podgrupu v grupě  $\operatorname{GL}(n,\R)$.
\end{enumerate}
 \end{zad}
 \begin{poznamka} Někteří studenti se s pojmem grupy ještě nesetkali, je potřeba říci, co to je.
 \end{poznamka}
 
 
\bigskip
\centerline{\bf Další úlohy}
\bigskip
\begin{zad}{\bf 1.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 11, úloha 2.]
\newline
V souřadnicích standardní báze napište matici kolmé projekce  $P:\ \R^3\to\R^3$ na rovinu
$$3x_1+4x_2+5x_3=0.$$
Ukažte, že $P$ je samoadjungovaný operátor.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} [Studijní materiály v ISu, domácí úkoly ke cvičení č. 11, úloha 3b.]
\newline
Uvažujme kvadratickou formu $g$ zadanou v souřadnicích standardní báze takto
$$g(x)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3.$$
Najděte ortonormální bázi, v jejíž souřadnicích má kvadratická forma $g$ diagonální tvar. Ten rovněž napište.
\end{zad}




\end{document}

