\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\usepackage{times}


\newenvironment{zad}{\smallskip\par\noindent {\bf Příklad}.$\,$}{} 
\newenvironment{res}{\smallskip\par\noindent {\it Řešení}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{navod}{\smallskip\par\noindent {\it Návod}.$\,$}{\hbox{}\hfill $\Box$}
\newenvironment{otazka}{\smallskip\par\noindent {\it Otázka}.$\,$\it}{}
\newenvironment{poznamka}{\smallskip\par\noindent {\it Poznámka}.$\,$\it}{}

\def\brem{\begin{poznamka}\rm}
\def\erem{\end{poznamka}}

\def\bot{\begin{otazka}}
\def\eot{\end{otazka}}

\def\ind #1{{\it #1}{\index{#1}}}

\def\R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\N{\mathbb N}
\def\vect #1{{\overrightarrow{#1}}}
\begin{document}
 
\begin{center}
{\bf  5. cvičení z LA II - skalární součin, 2024}
\end{center}

\bigskip
%příklad 1
\begin{zad}{\bf 1.\ }
Definují následující symetrické bilineární formy skalární součin na $\R^3$? Pokud ano,
napište pro ně Cauchyovu nerovnost.
\begin{enumerate}
\item[a)] $f(x,y)=x_1y_1+3x_2y_2+5x_3y_3+3x_1y_3+3x_3y_1-x_2y_3-x_3y_2$,
\item[b)] $f(x,y)=x_1y_1+3x_2y_2+5x_3y_3+2x_1y_3+2x_3y_1-x_2y_3-x_3y_2$,
\item[c)] $f(x,y)=x_1y_2+x_2y_1+2x_1y_3+2x_3y_1+4x_2y_3+4x_3y_2$,
\item[d)] $f(x,y)=x_1y_1-2x_1y_2-2x_2y_1+5x_2y_2-x_2y_3-x_3y_2+2x_3y_3$.
\end{enumerate}
\end{zad}

\bigskip
%příklad 2
\begin{zad}{\bf 2.\ }
Pomocí skalárního součinu dokažte:
\begin{enumerate}
 \item V rovnoběžníku je součet druhých mocnin uhlopříček roven součtu druhých mocnin všech stran. 
 \item Rovnoběžník je kosočtverec, právě když jsou jeho uhlopříčky na sebe kolmé. 
 \end{enumerate}
 \end{zad}
 
 \bigskip
%příklad 3
\begin{zad}{\bf 3.\ } 
Najděte ortonormální bázi podprostoru
$$S=\left[(1,2,-1,3,1),\ (5,2,-1,7,1),\ (2,-1,2,-4,-2)\right]\subset \R^5,$$
jestliže prostor  $\R^5$ bereme se standardním skalárním součinem. Použijte k tomu prvně Gram\-mův-Schmidtův ortogonalizační proces a potom získané
vektory ortogonální báze vynormujte (tj. vydělte normou, abyste získali vektory jednotkové velikosti).
\end{zad}

\bigskip
%příklad 4
\begin{zad}{\bf 4.\ }
V $\R^5$ se standardním skalárním součinem najděte ortogonální doplněk podprostoru
$$V=\left[(1,2,-1,-3,3),\ (1,-2,3,1,-1)\right].$$
\end{zad}

\bigskip
%příklad 5
\begin{zad}{\bf 5.\ }
Spočtěte kolmou projekci vektoru $u=(2,11,-3,-4,7)$ do podprostoru $V$ a jeho ortogonálního doplňku $V^{\perp}$ z předchozího příkladu.
 \end{zad}

 \bigskip
%příklad 6
\begin{zad}{\bf 6.\ }
Uvažujme $\R^n$ se standardním skalárním součinem a nadrovinu $\rho$
$$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=0.$$
Pomocí skalárního součinu napište předpis lineárního zobrazení $P: \R^n\to \R^n$, které je kolmou projekcí do nadroviny $\rho$. (Předpokládáme, že $(a_1,a_2,\dots,a_n)\ne (0,0,\dots,0)$.)
\end{zad}

\bigskip
%příklad 7
\begin{zad}{\bf 7.\ }
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je kolmá projekce na rovinu
$$2x_1-x_2+2x_3=0.$$
Najděte matici $A$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$$\varphi(x)=Ax=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$  
 \end{zad}

\bigskip
%příklad 8
\begin{zad}{\bf 8.}
V $\R^4$ spočítejte vzdálenost bodu $A=[3,3,1,5]$ od roviny
$$\rho:\ x_1-x_3=-2,\quad x_2+x_4=6.$$
Navíc najděte bod $R\in \rho$ takový, že $\operatorname{dist}(A,\rho)=||A-R||$.  
\end{zad}

\begin{res} $R=[1,2,3,4]$, $\operatorname{dist}(A,\rho)=\sqrt{10}$.
\end{res}

\bigskip
%příklad 9
\begin{zad}{\bf 9.\ }
V $\R^4$ určete vzdálenost bodu $A=[4,1,-4,-5]$ od roviny
$$\rho:\ [3,-2,1,5]+t(2,3,-2,-2)+s(4,1,3,2).$$
Současně najděte bod $M\in\rho$ takový, že $\
||M-A||=\operatorname{dist}(A,\rho)$. 
\end{zad}


\vskip 1cm
\centerline{\bf Další příklady na procvičení}
\medskip
\begin{zad}{\bf 1.}  
Najděte ortonormální bázi podrostoru
$$V=\left[(1,1,3,3,4),\ (1,3,-5,-7,-1),\ (1,-1,5,7,-3)\right]\subset \R^5,$$
jestliže prostor  $\R^5$ bereme se standardním skalárním součinem.
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 2.} 
 V $\R^5$ se standardním skalárním součinem najděte kolmou projekci vektoru
  $u=(1,2,3,4,5)$ do vektorových podprostorů
  \begin{align*}
  V&=[(3,3,2,1,3),\ (5,1,4,-1,1)]\\
  W&=[(1,-3,4,-2,2),\ (1,5,-8,-2,4),\  (1,-9,16,4,-4)]
  \end{align*} 
  Ve druhém případě spočtěte prvně ortogonální doplněk $W^{\perp}$ a kolmou projekci
  vektoru $u$ do $W^{\perp}$. 
\end{zad}

\bigskip
\begin{zad}{\bf 3.}
Nechť $\varphi:\R^3\to \R^3$ je kolmá projekce na přímku $p$ procházející počátkem se směrovým vektorem $(1,-2,1)$.
Najděte matici $B$ tvaru $3\times 3$ takovou, že v souřadnicích standardní báze je
$$\varphi(x)=Bx=B\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}.$$  
\end{zad}





\end{document}

