\documentclass[12pt,a4paper]{amsart}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\textwidth=154mm
\hoffset=-14mm
\voffset=-20mm
\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}

\def \R{\mathbb R}
\def \C{\mathbb C}
\def\K{\mathbb K}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\N{\mathbb N}

\begin{document}
\parindent=0pt

\centerline{\bf Program přednášky z lineární algebry II, jaro 2019}

\vskip 1cm

{\bf 1. přednáška: Bilineární formy.}  Definice bilineárního zobrazení a bilineární formy, matice bilineární formy v dané bázi, změna matice bilineární formy při přechodu od jedné báze k druhé bázi, kongruentní matice. Symetrické bilineární formy a matice. Kongruence matic. Každá symetrická matice je kongruentní s diagonální maticí - popis a zdůvodnění algoritmu, který provádí stejné řádkové a sloupcové operace.
\medskip

{\bf 2. přednáška: Bilineární a kvadratické formy. } Algoritmus pro nalezení báze, v níž má symetrická bilineární forma diagonální tvar. Definice kvadratické formy. Diagonalizace kvadratické formy. Polární báze. Sylvestrův zákon setrvačnosti.
\medskip

{\bf 3. přednáška: Kvadratické formy. Skalární součin.}
Signatura kvadratické formy. Sylvestrův zákon setrvačnosti. Kriterium kongruence symetrických matic. Pozitivně definitní, negativně definitní a indefinitní kvadratické formy. Hlavní minory a Sylvestrovo kriterium.

Skalární součin na reálných a komplexních vektorových prostorech, příklady. Velikost vektoru, kolmé vektory. Cauchyova nerovnost, úhel dvou vektorů.
\medskip

{\bf 4. přednáška: Skalární součin a eukleidovská geometrie.}
Trojúhelníková nerovnost, Pythagorova věta. Ortogonální vektory, Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces. Ortonormální báze. Kolmá projekce do podprostoru. Vzdálenost afinních podprostorů.medskip
\medskip

{\bf 5. přednáška: Odchylky podprostorů, ortonormální báze. Lineární operátory.}
Odchylky přímek, odchylky afinních podprostorů. Role kolmé projekce při počítání odchylky přímky a podprostoru.

Vlastnosti ortonormální báze - vyjádření souřadnic a skalárního součinu.

Lineární operátory. Matice lineárního operátoru v dané bázi. Invariantní podprostory. Příklad na invariantní podprostor.
\medskip

{\bf 6. přednáška: Lineární operátory, vlastní čísla a vlastní vektory.}
Definice a výpočet vlastních čísel a vektorů. Charakteristický polynom. Kořeny polynomů a jejich počítání. Matice lineárního operátoru v bázi tvořené vlastními vektory.
\medskip

{\bf 7. přednáška: Vlastní čísla a vektory. Ortogonální a unitární operátory.}
Definice algebraické a geometrické násobnosti vlastního čísla a jejich vztah.

Definice unitárního a ortogonálního operátoru. Základní vlastnosti. Příklady zadané pomocí ortogonálních a unitárních matic. Determinant má absolutní hodnotu 1. Vlastní čísla a vlastní vektory těchto operátorů. Každý unitární operátor má v prostoru na kterém operuje ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory.  Ortogonální operátory v dimenzi 2 - otočení kolem počátku a symetrie podle přímky procházející počátkem.
\medskip

{\bf 8. přednáška: Ortogonální operátory II. Samoadjungované operátory.}

Ortogonální operátory v dimenzi 3.

Adjungované lineární zobrazení k danému zobrazení, samoadjungované operátory, symetrické a hermitovské matice. Vlastnosti vlastních čísel a vektorů. Pro každý samoadjungovaný operátor existuje ortonormální báze tvořená vlastními vektory. Důsledky: spektrální rozklad samoadjungovaných operátorů.
\medskip

{\bf 9. přednáška: Samoadjungované operátory II, singulární rozklad matice, pseudoinverzní matice.}

Diagonalizace kvadratických forem v ortonormální bázi. vztah mezi samoadjungovanými operátory a symetrickými bilineárními formami.

Singulární rozklad matice $A=PSQ^*$. Důkaz, který dává návod k výpočtu. Sloupce $Q$ jsou ortonomální vlastní vektory $u_1,\dots, u_n$ matice $A^*A$. Matice $S$ je "diagonální" s odmocninami z vlastních čísel matice $A*A$. Sloupce matice $P$ jsou normované vektory $Au_i$, pokud jsou nenulové, zbývající jsou doplněním do ortonormální báze.

Příklad. Geometrická interpretace.

Definice pseudoinverzní matice pomocí singulárního rozkladu. Vlastnosti pseudoinverzních matic. Výpočet pseudoinverze z definice nebo pomocí inverzní matice k matici $A^*A$. 

\medskip

{\bf 10. přednáška: Pseudoinverzní matice a jejich aplikace. Další rozklady matic.}
Pseudoinverzní matice a jejich vlastnosti. Nalezení nejlepší aproximace řešení soustavy $Ax=b$, pokud soustava není řešitelná, pomocí pseudoinverze, $x=A^{(-1)}b$. Příklad na lineární regresi.

Polární rozklad matice aplikací singulárního rozkladu.

QR rozklad čtvercové matice s použitím Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu.
\medskip


{\bf 11. přednáška: Jordanův kanonický tvar I.}
Jordanův kanonický tvar, věty o Jordanově kanonickém tvaru, řetězce. Příklady na výpočet Jordanova kanonického tvaru u matic $3 \times 3$ a $4\times 4$.
\medskip

{\bf 12. přednáška: Jordanův kanonický tvar II, aplikace na řešení soustav lineárních diferenciálních rovnic.}

Další úlohy na Jordanův kanonický tvar v dimenzi 4. 

Aplikace JKT na soustavy diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty. Výpočet  pro matici A diagonální, v Jordanově tvaru, podobné matici v Jordanově tvaru.

\medskip

{\bf 13. přednáška: Důkaz Jordanovy věty.}
Základní myšlenka důkazu věty o JKT. Definice nilpotentního operátoru. Kořenové podprostory a jejich vlastnosti. Pro daný operátor splňující předpoklady Jordanovy věty je prostor direktním součtem kořenových podprostorů. Pro daný nilpotentní operátor najdeme jeho rozklad na direktní součet podprostorů, z nichž na každém je operátor cyklický. Tím dostaneme řetězce, které dávají bázi potřebnou pro Jordanův kanonický tvar. 
\medskip

\end{document}




