MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fakulta Ivan KOLÁŘ Lenka POSPÍŠILOVÁ diferenciální geometrie křivek a ploch elektronické skriptum Brno 2007 4 I Přednášky 6 I Pohyb a křivka 7 15 24 4 Prostorové křivky a plochy 27 34 43 48 8 Hlavní křivky 55 9 Obálky soustav ploch 63 10 Přímkové plochy 69 II Isometrická zobrazení 77 83 13 Geodetické křivky 90 95 103 104 1 Rovinné křivky 105 2 Délka křivky 122 129 2 138 5 Prostorové křivky 152 160 7 Křivost a torze prostorové křivky 170 178 9 První základní forma plochy 193 204 219 12 Obálka soustavy ploch 233 13 Isometrická zobrazení 252 14 Geodetické křivky na ploše 257 3 Předmluva Diferenciální geometrie studuje vlastnosti geometrických objektů metodami diferenciálního počtu. Klasickými objekty diferenciální geometrie jsou křivky a plochy v trojrozměrném euklidovském prostoru. Těm je také věnováno toto skriptum. Geometrické problémy výrazně přispěly již k samotnému vzniku diferenciálního počtu. Víme, že derivaci funkce jedné proměnné lze interpretovat buď fyzikálně jako okamžitou rychlost pohybu po přímce nebo geometricky jako směrnici tečny křivky, která je grafem uvažované funkce. Ke vzniku diferenciálního počtu došlo koncem 17. století v pracích G. W. Leibnize a I. Newtona, vznik samostatné diferenciální geometrie v 18. století je pak spojován především se jmény L. Euler a G. Monge. K velkému rozvoji diferenciální geometrie došlo v 19. století a zasloužili se o něj zejména C. F. Gauss a B. Riemann. Od přelomu 19. a 20. století začala vývoj diferenciální geometrie významně ovlivňovat Einsteinova obecná teorie relativity. I v dnešní době dochází k hlubokému vzájemnému ovlivňování moderní diferenciální geometrie a současné teoretické fyziky. Toto skriptum je určeno především studujícím odborné matematiky a učitelské deskriptívni geometrie na Přírodovědecké fakultě MU v Brně. Skriptum sestává ze dvou částí: I. Přednášky (autor I. Kolář), II. Cvičení (autorka L. Pospíšilová). Probíraná látka je klasická, způsob jejího výkladu ovšem vychází ze současného stavu diferenciální geometrie. V první části zejména konstrukce různých oskulačních objektů systematicky opíráme o obecný pojem styku křivek a ploch. První část skripta sestává ze 14ti kapitol, které jsou rozděleny do číslovaných odstavců neboli bodů. Uvnitř téže kapitoly odkazujeme jen na číslo odstavce nebo rovnice, při odkazu na jinou kapitolu přidáváme i její číslo. Tedy např. 6.3 znamená třetí bod šesté kapitoly, zatímco 6.(3) znamená rovnici (3) v šesté kapitole. V seznamu literatury uvádíme jen ty publikace, o nichž se domníváme, že mohou být čtenáři nejužitečnější. Druhá část skripta obsahuje řešené příklady v přímé návaznosti na přednášky. Kapitoly, na které je druhá čast rozdělena, neodpovídají rozvržení kapitol v první části skripta vzhledem k různorodé obsáhlosti jednotlivých témat pro přednášku a cvičení. Přesto zůstává zachována stejná posloupnost výkladu jako v přednáškách. V každé kapitole jsou očíslované příklady, které jsou kromě samotného zadání doplněny vzorovým řešením a ve většině případů ještě řešením v systému počítačové 4 algebry Maple. Podrobnější technický komentář je pak zmiňován v úvodu druhé části. Autoři děkují Prof. RNDr. Josefa Janyškovi, DSc. za cenné připomínky k textu, Mgr. Janu Vondrovi za pečlivé přečtení rukopisu a cenné připomínky k němu a pani Iloně Lukešové za kvalitní počítačové zpracování náročného textu. 5 Části Přednášky 6 1 Pohyb a křivka Budeme se zabývat křivkami v euklidovské rovině a trojrozměrném prostoru. Začneme ale s n-rozměrným euklidovským prostorem En, i když fakticky potřebujeme pouze případy n = 2,3. 1.1. Nechť / C R je otevřený interval. Jeho body lze interpretovat jako hodnoty času t. Zobrazení /: / —> En můžeme chápat jako pohyb, jehož trajektorie v "rozumném" případě je křivka. Pro použití diferenciálního počtu potřebujeme především diferencovatelnost zobrazení /. Připomínáme, že číselná funkce (p: I —> R se nazývá třídy C', jestliže má v intervalu / spojité derivace až do řádu r včetně. Jestliže v En zvolíme kartézskou souřadnou soustavu, pak f(t) = (/i(í), • • •, fn(t)) Je n-úce číselných funkcí a můžeme říci, že zobrazení / je třídy Cr, právě když všechny funkce fi,..., fn Jsou třídy C'. Je však třeba ukázat, že tento pojem nezávisí na volbě souřadné soustavy. To je sice pravda, ale přímé ověřování pomocí přechodu od jedné souřadné soustavy k druhé je klopotné. Mnohem jednodušší je sledovat nezávislost pouze na volbě počátku souřadnic. Volba počátku identifikuje En s jeho zaměřením Z(En), což je n-rozměrný euklidovský vektorový prostor. 1.2. Budeme se tedy nejprve zabývat n-rozměrným euklidovským vektorovým prostorem V". Značíme \\u\\ velikost vektoru u a (u, v) skalární součin dvou vektorů u, v. Definice. Zobrazení v: I —> V se nazývá vektorová funkce na intervalu /. 1.3. Pojem limity vektorové funkce se zavádí analogicky k případu číselné funkce. Definice. Vektorová funkce v má v bodě íq g / limitu v$, jestliže ke každému e > 0 existuje 5 > 0 takové, že pro všechna í splňující |í — íq| < 5, t ^ to, platí \\v(t) — vo\\ < £• Píšeme vq = lim v(t). Je-li lim v(t) = v (to), pak říkáme, že vektorová funkce je spojitá v bodě íq. í^íq í^ío 1.4 Definice. Jestliže existuje lim í^í0 v(t) - v(t0) t-t0 = lim - í^ío t — to (v(t) - v(t0)) nazýváme ji derivace vektorové funkce v(t) v bodě íq. 7 Tuto derivaci značíme nebo v'(to). Derivace vyššího řádu se definují obvyklou iterací. 1.5. Nechť ei,..., en je nějaká báze ve V. Pro každé t E I máme v (t) = vi(t)ei H-----h vn(t)en . Číselné funkce Vi(t), i = 1,... ,n nazýváme složky vektorové funkce v(t). Následující věta má snadný důkaz, který však patří do analýzy. Proto jej neuvádíme. Věta. Vektorová funkce je spojitá, právě když všechny její složky jsou spojité. Vektorová funkce v(t) má derivaci v bodě to, právě když ji mají všechny její složky. Pak platí dv(t0) (dvi(t0) dvn(t0) dt V dt ' ' dt Podobná tvrzení platí i pro limitu a derivace vyššího řádu. 1.6. Uvedeme jeden pomocný výsledek, který budeme dále potřebovat. Nechť v(t), w(t) jsou dvě vektorové funkce třídy C1 na /. Jejich skalární součin (v(t),w(t)} je číselná funkce třídy C1 na /. Také skalární součiny (^,w) a (v, ^) jsou číselné funkce na /. Věta. Platí d(v,w) (dv \ ( dw\ Důkaz. V souřadnicích máme (v(t),w(t)) = ui(í)ioi(í) + ■ ■ ■ + vn(ť)wn(ť). Při derivování použijeme pravidla pro derivování součtů a součinu. Tedy d(v,w) dví dwi dvn dwn ——wi + vi—— + ■■■-{--—wn + vn dt dt dt dt dt To je souřadný tvar našeho tvrzení. □ 1.7. Uvažujme prostor En a jeho zaměření V. Zvolme počátek P g En. Pak zobrazení /: / —> En určuje vektorovou funkci Pf: I —> V, Pf(t) = Pf(t), která se nazývá průvodič zobrazení /. Definice. Zobrazení /: / —> En nazýváme pohyb v prostoru En. Říkáme, že / je pohyb třídy Cr, jestliže P f je vektorová funkce třídy Cr. 8 Vedle slova pohyb se někdy ekvivalentně užívá název dráha. Termín "pohyb" je názornější, termín "dráha" má více technický charakter. Vektor nezávisí na volbě počátku. Opravdu, pro jiný bod Q E En máme Pf = PQ + Qf, kde PQ je konstantní vektor, takže ^LL = ^f. 1.8 Definice. Vektor = ■ % nazýváme vektor rychlosti pohybu /. Značíme jej též /'. V druhém řádu klademe /" = (/')'; zde již derivujeme vektorovou funkci /', a stejně tak i v každém vyšším řádu. Je-li f(t) = (/i(í), • • • , fn(t)) souřadné vyjádření pohybu /, platí dkf(t) (dkh{t) dkfn(t) dtk V dtk dtk 1.9 Definice. Pohyb f: I —> En třídy C1 nazveme regulární, jestliže ^ o pro každé t E I. Bod o parametru íq, v němž = o, nazýváme singulární bod pohybu /. Zde o značí nulový vektor prostoru V = Z{En). Uvedeme dva příklady. (i) V případě konstantního pohybu f(t) = Q E En, pro každé í £ / platí = o. Pro každou hodnotu času t E I máme tedy singulární bod. (ii) V Ei uvažujme pohyb x = t2, y = í3, í E (—00,00). Ten probŕhá po tzv. semikubické parabole y2 — x3 = 0. Máme f (t) = (í2, í3), f'(t) = (2í, 3í2), takže /'(O) = o. Singulární bod /(O) je tzv. bod vratu neboli hrot, viz obrázek. 1.10. Uvažujme jiný otevřený interval J, v němž proměnnou budeme značit r, a bijektivní zobrazení p: J —> / (tedy číselnou funkci) třídy Cr takové, že ^ 7^ 0 pro všechna t E j. Lemma. Je-li /: / —> En regulární pohyb třídy C', pak / o p: J —> En je také regulárni pohyb třídy C'. Důkaz. Platí tž^°y-> = kde ^ je skalár a obě další veličiny jsou vektory. Opravdu, souřadné vyjádření / o p je /i( nenulový vektor. □ 9 1.11 Dennice. Pohyb /: I —> En nazýváme jednoduchý, jestliže / je injektivní zobrazení, tedy při t\, Í2 £ /, ti 7^ *2 platí /(íi) 7^ fit-i)- Z geometrického hlediska je / pohyb bez samoprotnutí. 1.12 Definice. Množinu C C En nazveme jednoduchá křivka třídy Cr, jestliže existuje takový jednoduchý regulární pohyb /: I —> £"„ třídy Cr, že platí C = /(')• Zobrazení f: I ^ En nazýváme parametrické vyjádření jednoduché křivky C. Zobrazení £"„ je další parametrické vyjádření jednoduché křivky C třídy Cr. Pravidlo / (y(t)) = g(r) určuje zobrazení /, ^ í = y (t), viz obrázek. Věta. (p je funkce třídy Cr a platí ^ 7^ 0 pro všechna r G j. Dwfcaz. Při souřadném vyjádření /(í) = (/i(ŕ),... , fn(t)), g{r) = (#i(t), ... , 9n{T)) je funkce (p určena vztahy (1) fi(f)=9i(j), i=l,..., n. Uvažujme libovolný bod to £ Ja pišme íq = y(ro) G i". Protože tž^°-> 7^ o, je aspoň jedna ze složek tohoto vektoru nenulová; označme ji k. Vztah fk(t) = g k (t) pišme ve tvaru (2) fk(t)-9k(r) = 0. Levá strana je funkce dvou proměnných í a r, která je třídy Cr na součinu I x J. Platí d^k^ 7^ 0, takže na (2) můžeme použít větu o implicitní funkci. Ta říká, že v jistém okolí bodu íq je t určeno jako funkce třídy Cr proměnné r. Bod po bodu dostáváme, že í = 0, kde tp je funkce z bodu 10. Dvě souhlasné parametrizace určují tutéž orientaci jednoduché křivky C. Vybrat orientaci C znamená tedy určit na ní "směr pohybu". To je možné provést dvojím způsobem. 1.18 Definice. Nechť /: / —> En je nějaká lokální parametrizace křivky C v En. Přímku určenou bodem f (to), to G I,a vektorem f (to) nazýváme tečnou křivky C v bodě f (t0). 11 Tato definice nezávisí na zvolené parametrizaci, protože podle bodu 10 dvě různé parametrizace určují kolineární tečné vektory. Parametrické vyjádření tečny v bodě /(to) tedy je f(to)+vf'(t0), veR. 1.19 Definice. Odchylkou dvou křivek CaČve společném bodě p rozumíme odchylku jejich tečen v tomto bodě. 1.20 Definice. Řekneme, že dvě křivky C a Č třídy Cr mají ve společném bodě p styk řádu k, k < r, jestliže existují takové jejich lokální parametrizace f(t), f(t) na společném intervalu I, /(to) = fipo) = V-> ze platí (3) -:— =-:— pro všechna i = 1,... , k . Názorně řečeno, v uvažovaných parametrizacích obě křivky v daném bodě "splývají až do řádu k". 1.21 Poznámka. Snadno se ověří, že "míti styk /c-tého řádu" je relace ekvivalence. 1.22 Věta. Dvě křivky C aČ mají ve společném bodě p styk prvního řádu, právě když jejich tečny v bodě p splývají. Důkaz. Mají-li C aČ styk prvního řádu v bodě p, existují takové jejich paramet-rizace /(i) a /(i), /(í0) = /(to) = P, že platí ^ = á£M. Tedy jejich tečny splývají. Obráceně, uvažujme C s libovolnou parametrizací f(t), /(ío) = /(*(>)• Jestliže obě tečny splývají, platí tž^°-> = k d^°\ k ^ 0. Proveďme na Č repara-metrizaci í = ío + — to)- V nové parametrizaci /(ío + ^(í — ío)) křivky Č platí ^*2i = áim . | = á£M i. To se rovná ^ podle definice k. Tedy C a Č mají styk prvního řádu. □ 1.23 Důsledek. Tečna křivky je jediná přímka, která s ní má styk prvního řádu. 1.24 Definice. Bod p£(7 nazýváme infiexní bod křivky C, jestliže tečna v něm má styk 2. řádu s křivkou C. 1.25 Věta. Nechť / je nějaká lokální parametrizace křivky C. Bod p = /(ío) je infiexní, právě když vektor d je kolineární s vektorem . Důkaz. Označme v = . Libovolný pohyb po tečně je tvaru g(t) = p + h(t)v, kde h je číselná funkce. Máme tžg^°-> = dhf^ v, d = d ^2°^v, c°ž Jsou 12 kolineární vektory. Mají-li C a její tečna styk 2. řádu, platí totéž pro df(t0) „ d2f(t0) dt Obráceně, nechť > d2f(t0) dt2 k df(t0) dt . Uvažujme parametrizaci tečny k g(ť)=P + [(t - tQ) +-(t - tQ)2]v. Pak dg(t0) df(tp) d?g(t0) dt styk 2. řádu. dt dt2 kv = d fj:^. Tedy křivka C ma se svou tečnou □ 1.26 Definice. Parametr s parametrického vyjádření /: / —> En křivky C nazýváme oblouk, jestliže 11 ^ 11 = 1 pro všechna s £ I. Oblouk tedy představuje "rovnoměrný ve smyslu velikosti rychlosti" pohyb po křivce. Nechť f(t) je nějaká parametrizace křivky C. Hledáme takovou reparametri-zaci s = s(t), pro inverzní zobrazení píšeme í = í(s), že s bude oblouk. Podmínka zní 1 dt ds dt ds Tedy \dt\ - ndíi dS' = 11 % II • Přidáme-li ještě podmínku souhlasnosti parametrů s a t, dostáváme df ds dt ~ dt To můžeme přepsat jako (4) ds dh dt dfr^2 dt (/í M2 Wnfdt. Oblouk pak dostaneme integrací. Na každé jednoduché křivce je tedy oblouk určen až na aditivní konstantu a orientaci. Vzorec (4) ukazuje, že námi definovaný oblouk souhlasí s pojmem délka křivky, který se zavádí v integrálním počtu. Fyzikálně to souhlasí se zřejmou skutečností, že pokud se po křivce pohybujeme s jednotkovou rychlostí, pak délka křivky, kterou urazíme za nějaký časový interval, je rovna velikosti tohoto časového intervalu. 1.27 Věta. Je-li křivka parametrizována obloukem /(s), pak bod /(so) Je inflexní, , v i j v d2f(so) pravé když ^2 = °- Důkaz. To, že ^ je jednotkový vektor, vyjádříme ve tvaru skalárního součinu df_ df \ =1 ds' ds) 13 Derivací podle věty 6 dostáváme 2(^, ^Jz) = 0. To znamená, že vektor d je kolmý na jednotkový vektor . V inílexním bodě musí být tyto vektory také kolineární podle věty 25. Odtud plyne d = o. □ 1.28 Věta. Jednoduchá křivka C, jejíž každý bod je inílexní, je částí přímky. Důkaz. Při parametrizaci /(s) křivky C obloukem, každý bod je inílexní, právě když ^rjí = o. Integrací dostáváme ^ = a, kde a je konstantní vektor. Další integrace dává f = as + b, kde b je další konstantní vektor. To je parametrické vyjádření přímky. □ 14 2 Rovinné křivky 2.1. V rovině E2 zafixujeme kartézskou souřadnou soustavu (x, y). Parametrické vyjádření křivky má tvar f(t) = (/i(í), /2(í))> dt °- Zejména graf funkce y = f (x), x E (a, b) třídy Cr je křivka třídy Cr. Jeho parametrické vyjádření je g (ť) = (t, /(í)), t E (a, 6), přičemž ^ = (l, ^) 7^ o. V tomto případě hovoříme o explicitním vyjádření rovinné křivky. 2.2. Připomínáme, že o funkci dvou proměnných /: U —> R definované na otevřené množině [/ C M2 říkáme, že je třídy Cr, má-li na ř7 spojité parciální derivace až do řádu r včetně. Věta. Nechť U C R2 je otevřená množina a F: U —> R je funkce třídy Cr taková, že množina C o rovnici F(x, y) = 0 je neprázdná a platí dF(xQ,yo): = (mg°x'yo\ dF(xd°yyo)) ŕ o pro každé (x0, y0) e C. Pak C je křivka třídy Cr. Důkaz. Nechť F(xq, yo) = 0 a třeba ďf 7^ 0. Pak podle věty o implicitní funkci lze množinu C lokálně vyjádřit ve tvaru y = f (x),kde f (x) je funkce třídy Cr. To je lokálni explicitní vyjádření křivky C. Je-li dF(* 0 máme kružnici se středem v počátku a poloměrem y^a. Vektor d F = (2x, 2y) je ve všech jejích bodech nenulový. (ii) Uvažujme Descartův list F(x,y) = a;3 + y3 — 3axy = 0. Máme dF = (3x2 — 3ay, 3y2 — 3ax). Pro a = 0 je (0, 0) jediný singulární bod. Pro b ^ 0 snadno nalezneme, že rovnice dF = 0 má dvě dvojice řešení (0,0) a (a, a). Bod (a, a) na křivce neleží, takže (0,0) je jediný singulární bod. (iii) Pro semikubickou parabolu F(x, y) = y2 — a;3 = 0 máme dF = (—3x2,2y). Tedy počátek je jediný singulární bod. 2.4 Věta. Tečna ke křivce F(x, y) = 0 v bodě (xq, yo) má rovnici (D dF(x0,y0) (x - xQ) + dF(x0,y0) dy (y - yo) = o. dx 15 Důkaz,. Nechť (/i (t), /2 (/)) je nějaké parametrické vyjádření této křivky, (/1 (to), /2(^o)) = (x0, 2/0 )• Derivováním vztahu f(/i(í), /2(í)) = 0 a dosazením t = íq dostáváme dF(xQ,yQ)df1(tQ) dF(x0,y0) df2(t0) dx dt dy dt 0. Vektor dF(xo,yo) je tedy kolmý k tečnému vektoru . Rovnice (1) vyjadřuje přímku jdoucí bodem (xo> 2/0) a kolmou na vektor dF(xo,yo), tedy tečnu. □ Podmínka dF(xo, yo) 7^ o při zadání křivky rovnicí tedy zaručuje existenci tečny podobně jako podmínka 7^ o při parametrickém vyjádření křivky. V singulárním bodě nemusí jediná tečna existovat. Přímku jdoucí bodem křivky a kolmou k tečně nazýváme normála. Vektor dF(xo, yo) je tedy směrový vektor normály. 2.5. Podle 1.20, dvě rovinné křivky C a C mají ve společném bodě p styk /c-tého řádu, jestliže existují takové jejich lokální parametrizace (/i(í), f2(1)) a (fi(t), f2(1)) na společném intervalu /, že platí ,~ rfVifa) y/ifto) rf72(/o) y/2(ro) ._1 , ^; dt* dt* ' dť dť ' * kde to je parametr společného bodu p. Přímá diskuse toho, zda takováto společná parametrizace existuje nebo neexistuje, je obecně dosti složitá záležitost. Velmi jednoduchou proceduru však můžeme použít v tom případě, kdy Č je dána rovnicí F(x, y) = 0. V tomto případě vytvoříme funkci jedné proměnné (3) $(í) = F(/i(í),/2(í)). Věta. Křivky C = (/i(í),/2(í)) aČ = F(x,y) = 0 mají ve společném bodě (x0, yo) = (/i(ío), /2(*o)) styk řádu k, právě když platí ď$(to) (4) ^P = °' -L-.*- Důkaz. Nechť (/i(í), Í2(t)) je lokální parametrizace křivky Č taková, že je splněna podmínka (2) pro styk. Platí tedy (5) F(Ä(í),/2(í)) =0 pro všechna t, takže všechny derivace složené funkce na levé straně jsou nulové. Také funkce $ je složená, přičemž vnější složkou je tatáž funkce F(x, y) a vnitřní složky jsou /i(í), Í2(t). Podle předpokladu o styku jsou derivace až do řádu k vnitřních složek v bodě to stejné jako u /i(í) a /2(í), takže platí (4). 16 Obráceně, nechť platí (4). Předpokládejme dF^^y°> ^ o. Křivku C budeme lokálně parametrizovat ve tvaru (/i(í), git)), kde g(t) je určeno rovnicí (6) F(/i(í),ff(í)) =0. To je možné udělat. Uvažujme totiž funkci G(í,y) = F(/i(í),y), která je definována na jistém okolí V bodu (to, yo)- Platí dGit0,y0) dFix0,y0) dy dy ČO: takže můžeme použít větu o implicitní funkci na rovnici G(t,y) = 0. Je třeba dokázat (7) ďfrto) _ ďgito) dP dP ' ' ' Na V x 1 uvažujme funkci tří proměnných H(t,y,z)=G(t,y)- z. Platí H (to, y0, 0) = 0 a ďg(ŕ°^°'0) = ďG(*°'w) ^ 0, takže podle věty o implicitní funkci lokálně lze z rovnice H = 0 jednoznačně vypočítat y = K(t, z). Protože G{t,g(ť)) =0aG(í,/2(i)) =$(í), platí g(t)=K(t,0) a /2(í) = íf(í,$(í)). Podobně jako v první části důkazu máme zde stejnou vnější složku K(t,z). Derivace konstantní funkce i i-> 0a funkce <ř(i) až do řádu k v bodě to splývají, protože jsou nulové. Podle pravidla o derivování složené funkce z (4) plyne (7). □ 2.6. Zkoumejme nyní, jak nejlépe lze aproximovat libovolnou rovinnou křivku C v daném bodě p pomocí kružnice. Definice. Kružnici, která má v bodě p G C styk 2. řádu s křivkou C, nazýváme oskulační kružnice v bodě p. 2.7 Věta. V neinflexním bodě existuje právě jedna oskulační kružnice. 17 Důkaz. Označme (a, b) střed a r poloměr kružnice. Její rovnice tedy je (8) o - a)2 + (y- bf - r2 0. Užitím věty 5 nalezneme podmínku, aby (8) měla s křivkou danou parametricky f2(t)) v bodě to styk 2. řádu. Máme m = (fl(t)-a)2 + (f2(t)-b)2-r2, = 2(/i - a)/í + 2(/2 - , <&"(i) = 2(/í)2 + 2(A - a)f{ + 2{f2)2 + 2(/2 - b)f2'. Souřadnice a, b jsou řešením rovnic <ř' = 0, <ř" = 0, které po úpravě mají tvar afí + b f2 = hfl + Í2Í2 , a/l + bf'2 = /l/i + /2/27 (9) f? V neinflexním bodě jsou vektory (f[, f2) a (/"> /2O lineárně nezávislé, takže determinant soustavy (9) je nenulový a tyto rovnice určují jedinou dvojici (a, 6). Poloměr r pak spočteme z rovnice $ = 0. □ 2.8 Věta. Pro poloměr r oskulační kružnice platí ,2 (/f (10) Uítt Důkaz. Výpočtem (vhodné je užít Cramerovo pravidlo) z (9) dostáváme fí(/í2 Formule r2 = (/1 - a)2 + (f2 - b)2 pak dává (10). □ 2.9. V inflexním bodě oskulační kružnice neexistuje. V inflexním bodě má tečna styk 2. řádu s danou křivkou, takže podle 1.21 by musela mít styk 2. řádu také s oskulační kružnicí. Jednoduchý výpočet však ukazuje, že kružnice má se svou tečnou styk jen 1. řádu. Opravdu, souřadnou soustavu můžeme zvolit tak, že kružnice má parametrické vyjádření x = r cos t, y = r siní. Její tečna v bodě t = 0 má rovnici x — r = 0. Máme tedy <ř(i) = r cos t — r. Platí $(0) = 0, $'(0) = -rsinO = 0, ale $"(0) = r cos 0 ^ 0. 18 2.10 Definice. Nechť r je poloměr oskulační kružnice v neinflexním bodě p G C. Číslo >í = 7 nazýváme křivost křivky C v bodě p. V inflexním bodě definujeme křivost x = 0. Název vychází z toho, že čím má kružnice menší poloměr, tím je "křivější". Střed oskulační kružnice se také nazývá střed křivosti křivky C v uvažovaném bodě. 2.11 Definice. Neinflexní bod p G C, v němž oskulační kružnice má s C styk 3. řádu, nazýváme vrchol křivky. V bodě 16 ukážeme, že u elipsy jsou vrcholy v tomto obecném pojetí právě její klasické vrcholy. Oskulační kružnice ve vrcholu křivky se též nazývá hyperoskulační. 2.12. Uvažujme dále jako parametr oblouk s. Podle 1.26 a důkazu věty 1.27 je vektor ei = % jednotkový a vektor ^ = je na něj kolmý. Přitom charakteristikou inflexmho bodu /(so) Je tžeitžgS°'1 = o. V neinflexním bodě /(so) označíme jako e2(so) jednotkový vektor souhlasně rovnoběžný s tžeiJss°->. Tedy ei(so) a e2(so) Je dvojice ortonormálních vektorů. Věta. Platí ||dei}g0^ || = k(sq) a střed oskulační kružnice leží na polopřímce určené bodem /(so) a vektorem e2(so). Důkaz. To sice lze odvodit z výrazů pro střed oskulační kružnice z bodu 8, ale pro další úvahy bude užitečné provést celý výpočet s určitým zjednodušením ještě jednou. Protože oskulační kružnice se dotýká tečny, její střed leží na normále, takže je tvaru /(so) + ?~e2(so), kde r £ R je nějaké číslo. Rovnici kružnice o tomto středu a poloměru r napíšeme ve tvaru skalárního součinu {z ~ /(so) - re2(s0), z - /(s0) - re2(s0)) - r2 = 0 , kde z = (x,y) je libovolný bod roviny. Pro výpočet styku tedy užijeme funkci *(s) = (/(s) " /(fio) " re2(sQ), /(s) - /(s0) - re2(s0)) - r2 . Derivací dostáváme, při použití 1.6, = (el(s)>/(s) " /(so) - re2(s0)) . Podmínky <ř(so) = 0 a tž^°-> = 0 jsou splněny; geometricky je to důsledek toho, že střed volíme na normále. Dalším derivováním dostáváme 19 Anulování v bodě so dává (12) r(^o)>e2(ao)) = i. Protože vektor tže^s°-> je souhlasně rovnoběžný s vektorem e2 (so), skalární součin ve (12) je roven velikosti tohoto vektoru. Naše tvrzení je pak přímým důsledkem definice 10. □ 2.13 Důsledek. Platí ^Ifl = x(s)e2(s). Důkaz. V neinflexním bodě to plyne z věty 12, v inflexním bodě z 1.27. □ 2.14 Věta. Platí ^Í£l = _x(s)ei(s). Důkaz. Protože e2 je jednotkový vektor, máme (e2, e2) = 1. Derivováním dostaneme (e2, ^) = 0. Tedy vektor ^ je kolmý k e2, takže = ce\. Protože vektory e\ a e2 jsou kolmé, platí (ei, e2) = 0. Derivováním dostáváme °=(^'e2) + (ei'í)=X + C- □ 2.15 Věta. Bod /(so) Je vrcholem křivky, právě když platí = 0. Důkaz. Pokračujme ve výpočtu z věty 12 s užitím důsledku 13. Máme tedy Yď^ = x(sKe2(s)>/(s) " /Oo) - re2(s0)) +1. Dalším derivováním dostáváme podmínku styku 3. řádu = 2 ds3 = ds ' ^~r' ^S°' ^ ~ Hs0)ei{s0), -re2(so))\ . Z kolmosti vektorů ei(so), e2(so) ar^O plyne naše tvrzení. □ 2.16 Důsledek. V libovolné parametrizaci f(t) křivky C platí, že neinílexní bod f (to) je vrcholem, právě když = 0. Důkaz. Přechod od t k s se děje reparametrizací t = (f(s), to = ^ 0. □ 20 Odtud zejména plyne, že vrcholy elipsy ve smyslu diferenciální geometrie jsou její klasické vrcholy, protože křivost v nich zřejmě dosahuje maxima resp. minima. 2.17 Věta. Jednoduchá křivka, jejíž každý bod je vrcholem, je částí kružnice. Důkaz. Pro střed oskulační kružnice máme c(s) = f(s) + -^e2(s). Je-li každý bod vrcholem, x je konstantní a derivováním dostáváme, s užitím bodu 13, —— = ei(s)--xei(s) = o. ds k Je to tedy pevný bod a rovněž poloměr je konstantní. Všechny oskulační kružnice tedy splývají a křivka na této kružnici leží. □ 2.18 Definice. Vzorce df dei de2 (13) — = ei , — = xe2 , — = -xei ds ds ds nazýváme Frenetovy rovnice rovinné křivky C bez inflexních bodů. "Pohyblivý" repér (/(s), ei(s), e2(s)sj nazýváme Frenetův repér křivky C. 2.19. Nyní ukážeme, jak lze vzorců (13) využít k charakterizování shodnosti roviných křivek. Definice. Křivky C, Č C E2 nazýváme shodné, jestliže existuje takové shodné zobrazení (p: E2 —> E2, že platí (p(C) = C 2.20 Věta. Nechť C a Č jsou křivky bez inflexních bodů, f: I -> E2, f: I -> E2 jsou jejich parametrizace obloukem na společném intervalu I a >c{s), >c{s) jsou jejich křivosti. Pak křivky C a Č jsou shodné, právě když >c = >c je tatáž funkce na /. Důkaz. Z jedné strany je to jasné: shodné zobrazení převádí oblouk na oblouk a zachovává styk, takže poloměry oskulačních kružnic v odpovídajících bodech musí být stejné. Obráceně, uvažujme C resp. Č s Frenetovým repérem (/(s),ei(s),e2(s)) resp. (/(s), ěi(s), ě2(s)). Vedie (13) platí také ,1/n df - děl _ dě2 (14) — = ei, — = xe2, — =-xei o!s q!s q!s s týmž x. Tedy (13) a (14) je tatáž soustava diferenciálních rovnic pro šestici číselných funkcí, které jsou složkami /, e\ a e2. Pro sq g / je /(so)> ei(so)= e2(so) stejně jako /(sq)» ěi(so), 62 (sq) bod a dvojice ortonormálních vektorů. 21 Existuje tedy jediná shodnost p: E2 —> E2, která převádí /(so) do J(sq), ei(so) do ěi(so) a e2(so) do ě2(so)- Pak parametrizace / : / E2 křivky Č spolu s vektorovými funkcemi ě\ (s) a ě2 (s) a parametrizace po f: I —> £J2 křivky R je kladná funkce. Pak lokálně existuje taková křivka C parametrizovaná obloukem na /, že x je její křivost. Idea důkazu: Řešíme soustavu diferenciálních rovnic (13). □ Poznámka. Globálně tato křivka nemusí být jednoduchá. Například, je-li x=\ konstanta, řešením příslušné soustavy diferenciálních rovnic je kružnice x = r cos ^, y = r sin ^, kterou pro s G (—00,00) obíháme stále dokola. 2.23. Závěrem uvedeme jeden globální výsledek o rovinných křivkách. Připomínáme, že podmnožinu v E2 nazýváme omezenou, jestliže celá leží uvnitř nějakého kruhu. Definice. Rovinná křivka C třídy Cr se nazývá ovál třídy Cr, je-li hranicí omezené konvexní množiny v E2 ■ Příklady: 2.24. Věta (o čtyřech vrcholech). Každý ovál C třídy C3 bez inflexních bodů má alespoň čtyři vrcholy. Důkaz,. Uvažujme C parametrizováno obloukem /(s) = (/i(s), /2(s)) na intervalu s G [0, a], přičemž pro s = a dochází k opětovnému spojení /(O) = f (a) 22 uvažovaného oválu. Tedy křivost x je fakticky definována na uzavřeném intervalu, takže dosahuje svého maxima a minima. To dává dva vrcholy oválu C. Můžeme předpokládat, že pro s = 0 má x minimum a v nějakém bodě o parametru b G (0, a) má x maximum. Zvolme /(O) za počátek, bod f (b) na ose x a orientaci osy y tak, že platí /2(s) > 0 pro s G (0, b) (platí-li to pro nějaký bod, platí to pro všechny podle konvexity). Pak /2(s) < 0 pro s G (b, a) rovněž podle konvexity. Případ >í(0) = >c{b), tedy x je konstantní, odpovídá podle věty 17 kružnici, kterou můžeme z dalších úvah vyloučit. Předpokládejme nyní, že /(O) a f(b) jsou jediné dva vrcholy. Pak > 0 na (0, b) a < 0 na (6, a). Integrace per partes daná -/2dS=[x/2]0- / x— Ale [x/2]^ = 0, protože /(O) = /(a) a x(0) = x(a). Rozepišme vztah ^ = xe2. Máme ei = (^-, ^r). Protože e2 je jednotkový vektor kolmý k eľ, platí e2 = ±(3|, -^-), takže § = ±je^. Tedy d/2 /"ŕ/i 0 < - / ds = ± —4r- ds = ± /o «s Jo "s = 0. o neboť tž^^°-> = podle periodicity parametrického vyjádření oválu. A to je spor. Fakticky jsme ukázali, že existuje ještě další bod, v němž jjj mění znaménko, takže x v něm má buď maximum nebo minimum. Ale maxima a minima se vyskytují ve dvojicích. Odtud plyne existence čtvrtého vrcholu. □ 23 3 Obálka soustavy rovinných křivek 3.1. Uvažujme jednoparametrickou soustavu rovinných křivek určených rovnicí (1) F(x,y,t)=0, t E I, kde F(x, y, t) je funkce třídy C1 definovaná na otevřené množině U C R3. Křivku o rovnici F (x, y, to) = 0 značíme Ct0, í o £ I, takže o (1) hovoříme také jako o soustavě křivek {Ct). 3.2. Společné body křivek Ct a Cs, t ^ s jsou určeny dvojicí rovnic F(x,y,t)=0, F(x,y,s) = 0. Tato soustava rovnic je zřejmě ekvivalentní soustavě \ Fix, y, s) — Fix, y, i) F(x,y,ť)=0, V ,Ul 1 / ,Ul 1 =0. s — t Uvažujeme-li pevné í, pak v limitě pro s —> í dostáváme rovnice (2) F(x,y,t) = 0, ^í|m = 0. Definice. Body určené rovnicemi (2) nazýváme charakteristické body na křivce Ct- Množinu těchto bodů pro všechna t E I nazýváme charakteristická množina soustavy (Ct). Z početního hlediska máme dvě základní možnosti vyjádření charakteristické množiny. Když z (2) vyloučíme parametr í, dostáváme vyjádření charakteristické množiny rovnicí tvaru G(x, y) = 0. Jestliže z (2) spočteme x a y jako funkce í, dostáváme parametrické vyjádření charakteristické množiny. 3.3. Řekneme, že dvě křivky se ve společném bodě dotýkají, jestliže v něm mají styk 1. řádu, tedy společnou tečnu. Definice. Křivku D s parametrickým vyjádřením f(ť), t E (a, b) C I nazýváme obálka soustavy (Ct), jestliže D se v bodě f (to) dotýká křivky Ct0 pro každé ío e (a, b). 3.4 Věta. Každá obálka soustavy (Ct) je podmnožinou její charakteristické množiny. 24 Důkaz,. Podmínka, aby bod obálky f(t) = (/i(í), Í2(t)) ležel na křivce Ct, zní (3) F(/i(í),/2(í),í) =0. Podmínka splývání tečny k D a tečny k Ct v bodě f(t) má tvar dFjf1(t),f2(t),t) dh{ť) + dF{h{ť),h{ť),ť) df2{ť) = Q dx dt dy dt Derivováním (3) dostáváme (5) dF(Mt)J2(t),t) dh(t) | dF(h(t)J2(t),t) df2(t) | dF(h(t)J2(t),t) = Q dx dt dy dt dt Odečtením (4) od (5) obdržíme f6) ^(/i(ŕ),/2(ŕ),ŕ) = Tedy každá obálka je částí charakteristické množiny. □ 3.5. Probereme velmi jednoduchý příklad soustavy kružnic se středy na ose x a konstatním poloměrem r. Tedy F(x,y,t) = (x - t)2 + y2 - r2 = 0. Pak ^ = — 2(x — t) =0. Dosazení x = t do první rovnice dává y = ±r. Samozřejmě, obě tyto přímky jsou obálkou. 3.6. Obráceně platí Věta. Je-li křivka f(t) řešením soustavy (2), pak je to obálka soustavy (Ct). Důkaz. Křivka f(t) splňuje (3), takže f(t) G Ct- Derivováním dostáváme (5). Dále platí (6) a odečtením (6) od (5) dostáváme (4). Tedy f(t) se dotýká křivky Ct. □ 3.7. Máme-li dvojici funkcí x = fi(t), y = f2(t), která je řešením rovnic (2), pak k tomu, aby šlo o obálku soustavy (Ct), je ještě nutné splnění podmínky, že f(t) = (fi(t), /2(í)) Je křivka. Zejména musí platit ^ ^ o. Na obrázku máme jednak soustavu kružnic se středy na kružnici o poloměru r a konstantním poloměrem g < r, kde vnější a vnitřní obálka jsou kružnice, jednak případ g = r, kdy vnitřní obálka "degeneruje" v bod. 25 3.8. Normály libovolné rovinné křivky C tvoří jednoparametrickou soustavu křivek. Definice. Charakteristickou množinu soustavy normál křivky C nazýváme evo-luta křivky C. Věta. Evoluta křivky C bez inflexních bodů splývá s množinou středů jejích oskulačních kružnic. Důkaz. Označme z = (x, y) libovolný bod v rovině. Křivku C parametrizujme obloukem a uvažujme její Frenetův repér ei(s), e2(s) v bodě /(s). Rovnice normály v bodě /(s) tedy je (7) F(x, y, s) = (ei(s), z - f(s)) = 0 . Užitím Frenetových vzorců dostáváme podmínku BF (8) — = (x(s)e2(s), z - f (a)) - (ei(a), e1(s)) = 0 . Charakteristická množina je řešením rovnic (7) a (8), které budeme hledat geometrickým postupem. Z (7) geometricky plyne z = f(s) + c(s)e2(s) • Dosazením do (8) dostáváme x(s)c(s) — 1 = 0, tedy c(s) = -^ry- To je střed 3.9. V předchozím výpočtu jsme nalezli parametrické vyjádření e voluty z(s) = f{s) + -^—e2{s). dz ^'(s) Ts =ei(s)" lový. To znamená, že v okolí bodu, který není vrcholem, je evoluta křivkou. Tedy — = ei(s)--^-^^(s) — ei(s). Pokud V(s) ^ 0, tento vektor je nenu- Na obrázku máme nakreslenu evolutu elipsy. Její body vratu odpovídají vrcholům elipsy. 26 4 Prostorové křivky a plochy Křivku v prostora lze vedle parametrického vyjádření zadat i jako průsečnici dvou ploch. Kromě toho, ke studiu prostorových křivek budeme užívat také jejich styk s některými pomocnými plochami. Podáme proto nyní obecnou definici plochy vE3. 4.1. K tomu potřebujeme pojem vektorové funkce dvou proměnných. Pro jednoduchost zápisu budeme od počátku uvažovat trojrozměrný euklidovský vektorový prostor V. Souřadnice bodu u E R2 budeme značit (u\,U2). Nechť D C R2 je otevřená množina. Zobrazení w: D —> V nazýváme vektorová funkce dvou proměnných. Je-li ei, ei, e% nějaká báze ve V, máme w(u) = w (111,112) = wi(ui,U2)ei + W2(ui,U2)e2 + w^(ui,U2)e^. Číselné funkce w±, 1Ľ2, w% nazýváme složky vektorové funkce w, píšeme (1) w(u1,U2) = (wi(ui,U2),W2(ui,U2),W3(ui,U2)) ■ Limita a spojitost vektorové funkce w se definují podobně jako v 1.3. Řekneme, že w má v bodě uq = (u^u®) limitu v E V, jestliže ke každému e > 0 existuje ô > 0 takové, že z \u\ — u®] < ô, \u2 — < ó, (111,112) ^ (u^u®) plyne \\w(ui,U2) — v\\ < e. Píšeme lim w(u) = v. Spojitost w v bodě uq znamená U—>UQ lim w(u) = w(uq). U—>UQ 4.2. Parciální derivace vektorové funkce w definujeme předpisem dw(uo) w(u\, u®) — w(ui, u®) dui U1^u° ui - ul Ow(uo) n. w(u9, U2) — w(u9, Uo) —z-= lim -g- OU2 u2^u° U2 - U2 Parciální derivace vyššího řádu ď*T j, i + j = k, se definují obvyklou iterací. Stejně jako v 1.5 platí, že vektorová funkce je spojitá, právě když jsou spojité všechny její složky. Analogická tvrzení platí i pro limitu a parciální derivace. Zejména při vyjádření (1) máme ^ dw /dwi dw2 dw%\ ^ dw /dwi du>2 dw%\ du\ V du\' du\' du\ ) ' du2 V du2 ' du2 ' du2 ' a podobně pro parciální derivace vyššího řádu. Říkáme, že funkce w: D —> V je třídy Cr, má-li v D spojité parciální derivace až do řádu r včetně. 27 4.3. Vezměme jako V zaměření prostora £3. Zvolme pomocný počátek P g £3. Pak zobrazení /: D —> £3 určuje průvodič, kterým je vektorová funkce Pf:D^V,Pf(u) = Pf(u). Definujeme (2) 9íf = K = ?Ěh, 82/ = |i = . oui aui ou2 ou2 Podobně jako v 1.7 to nezávisí na volbě počátku P. (2) jsou vektorové funkce dvou proměnných. Iterací zavádíme d2f d2f d2f (3) dnf = —-í-, d12f = —P—, d22f du\du\ du\du2 du2du2 a podobně ve vyšším řádu. 4.4 Definice. Množinu S C £3 nazýváme jednoduchá plocha třídy Cr, jestliže existuje otevřená množina D C R2 a injektivní zobrazení /: D —> £3 třídy Cr takové, že vektory dif a d2f jsou lineárně nezávislé v každém bodě množiny D, a platí S = f (D). S Říkáme, že / je parametrické vyjádření plochy s a z? je oblast parametrů. Podmínku, že vektory dif a d2f jsou lineárně nezávislé, zapisujeme ve tvaru difxd2f 7^ o, kde x značí vektorový součin. Význam této podmínky si vyjasníme na parametrickém vyjádření roviny v £3. Vezměme D = R2 a pišme f = P + uia + u2b , P e £3, a,6 g F, tíi,tí2 g R. V souřadnicích (x, y, z) na £3 máme x = pi + tíiai + íí2^1 , V = P2 + u\a2 + u2b2 , z = p3 + uia3 + u2b3 . Pak dif = a a d2f = b. Z analytické geometrie vime, že / určuje rovinu, právě když vektory a, b jsou lineárně nezávislé. Při lineární závislosti dostáváme jen přímku, v případě a = b = o dokonce jen bod P. 4.5. Máme-li funkci dvou proměnných z = f (x, y) třídy Cr na D C R2, pak její graf f (x, y) = (x,y, f {x,y)}, J: D —> R3 je jednoduchá plocha třídy Cr. Máme totiž dif = (l, 0, d2f = (0,1, ^) a tyto dva vektory jsou všude lineárně nezávislé. V tomto případě hovoříme o explicitním zadání plochy. 28 4.6 Definice. Podmnožinu S C E$ nazýváme plocha třídy Cr, jestliže pro každé p G S existuje takové jeho okolí U,žeU D S je jednoduchá plocha třídy C'. Příklady. z = x2 + y2 x2 +y2 + z2 = r2 anuloid x2 + y2 = r2 a) Rotační paraboloid je globálně jednoduchá plocha, b) Sféra je plocha, ale ne jednoduchá, c) Anuloid je plocha, která vzniká rotací kružnice podle osy, která leží ve stejné rovině a má s ní prázdný průnik. Fyzickým modelem je pneumatika, d) Také rotační válcová plocha je zajímavým globálním příkladem plochy. 4.7. Úmluva. Dále budeme předpokládat, že třída r uvažované plochy nebo funkce je dostatečně vysoká pro námi prováděné úvahy a zpravidla se o ní nebudeme zmiňovat. 4.8. Křivku na ploše zadáváme zpravidla v oblasti D parametrů u = u(t), tj. iti = ui(t), u2 = u2(t), t E I. Na ploše S = f (D) pak máme křivku f(u(t)) = f(Ul(t),U2(t)). Věta. Tečny všech křivek na ploše S v jejím bodě p vyplní rovinu, kterou nazýváme tečná rovina plochy S v bodě p. Důkaz. Nechť p = /(ito)- Vektor rychlosti pohybu /(ií(í)), it(ío) = uq stanovíme podle pravidla pro derivování složené funkce df{u1{to),u2{to)) = df(u0) rftti(ŕp) | dfjup) du2(tQ) dt dui dt du2 dt Je to tedy lineární kombinace vektorů dif(uo) a d2f(uo). Obráceně, pro libovolný vektora = a>idif(uo) + a2d2f(uo) stačí vzít pohyb u(t) = (iíi(í),ií2(í)) takový, 2e tfatifa) _ a^ du2^ = a2. Uvažované tečny tedy vyplní celou rovinu určenou bodem p a vektory d\j(uo) a d2f(uo). □ Tečnou rovinu plochy S v bodě p označíme tpS, její zaměření TPS nazýváme tečný vektorový prostor kSv bodě p. Předchozí věta ukazuje geometrický smysl podmínky lineární nezávislosti vektorů d\f a d2f, která zajišťuje existenci tečné roviny. 29 4.9. V následujících úvahách zafixujme souřadnou soustavu (x, y, z), takže £3 ps R3. Věta. Nechť U C M3 je otevřená množina a F: ř7 —> R je funkce třídy Cr taková, že množina S o rovnici F(x, y, z) = 0 je neprázdná a platí -\ fdF(x0,yo,z0) dF(x0,yo,z0) dF(x0,y0, z0)\ , dF(xQ, yQ, z0):=(---,---,--- ^ o V ox oy oz / pro každé (xq, yo, zq) 6 S. Pak S je plocha třídy Cr. Důkaz. NechťF(a;o, yo, zq) = 0 a třebas dF(xyy°'z°^ -í 0. Podle věty o implicitní funkci můžeme z rovnice F(x,y,z) = 0 lokálně spočítat z = f(x,y), kde / je rovněž funkce třídy Cr. To je lokálně explicitní vyjádření plochy S. Je-li ďF(yzo) ^ 0 resp_ dF{.xow,zo) ^ Q, můžeme lokálně spočítat y = ff(a;, z) resp. a; = h(y, z). □ Bod (a;0í 2/0> ^o)» v němž 0F(xq, yo,zo) = o nazýváme singulární bod množiny F(x, y, z) = 0. 4.10. Příklady, (i) V případě F(x, y,z) = x2 + y2 + z2 — a máme podobnou situaci jako v 2.3. Pro a < 0 je množina F(x, y,z) = 0 prázdná. Pro a = 0 tuto rovnici splňuje jen počátek, který je singulárním bodem. Pro a > 0 máme sféru o středu v počátku a poloměru y/a. Vektor OF = (2x, 2y, 2z) je ve všech jejích bodech nenulový. (ii) Uvažujme rotační kuželovou plochu F(x, y, z) = z2 — x2 — y2 = 0. Bod (0, 0,0) je jeho jediným singulárním bodem. Všim- x* něme si, že v něm neexistuje tečná rovina kuželové plochy. 4.11 Věta. Rovnice tečné roviny plochy S o rovnici F(x, y,z) = 0 v jejím bodě (x0,yo,z0) je (5) dF(x0,yo,z0) dF(x0,yo,z0) dF(x0,y0,z0) ---(x-x0)-{----(y — yo) -\----(z-z0) = 0. ox oy oz Důkaz. Nechť křivka (/i(í), f2(1), /3(í)) leží na s a pro í = íq prochází bodem (x0,y0,z0). Tedy F{fi(t),f2(t),f3(t)) =0. Derivováním této složené funkce a dosazením t = to dostáváme (6) dF(xQ,yo,zo) dfi(tQ) dF(x0,yo,z0) df2(t0) dF(x0,yo,z0) df:i(t0) = Q 9a; ťZí dy dt dz dt 30 Tedy normálový vektor roviny (5) je kolmý k tečnému vektoru libovolné křivky na S, takže (5) je tečná rovina. □ 4.12 Definice. Uvažujme plochu S. Přímku NpS jdoucí bodem pGSa kolmou k tečné rovině tpS nazýváme normála plochy S v bodě p. Tedy vektor dF(xo,yo, zq) je směrový vektor normály plochy F(x, y, z) = 0 v jejím bodě (xQ,yo, zq). Podmínka d F ^ o geometricky zaručuje existenci tečné roviny stejně jako podmínka dif x d2f ^ o při parametrickém vyjádření plochy. 4.13. Budeme se zabývat otázkou, kdy průnik dvou ploch (7) F(x,y,z) = 0, G(x,y,z) = 0 je křivka. Věta. Nechť U C R3 je otevřená množina a F, G: U —> R jsou funkce třídy Cr takové, že množina C o rovnicích (7) je neprázdná a vektory 8F(xq, yo, zq) a dG(xQ,yo, zq) jsou lineárně nezávislé pro každé (xo,yo,zo) G C. Pak C je křivka třídy Cr. Důkaz. Protože vektory d F a dG jsou lineárně nezávislé, v matici /OF OF dF\ ŕo\ I d* dy dz | (-0) I dG dG dG I \ dx dy dz / je aspoň jeden subdeterminant 2. řádu nenulový. Je-li to subdeterminant dF dF dy dz dG dG dy dz můžeme podle zobecněné věty o implicitní funkci z (7) lokálně spočítat y = f {x) a z = g (x), přičemž / a (/jsou opět funkce třídy Cr. (Tuto větu lze nalézt v bodě 2.6 skripta "Úvod do globální analýzy", které je v seznamu literatury uvedeno jako [5].) Tedy (í,/(í), g(t)) je lokálně parametrické vyjádření křivky určené rovnicemi F = 0, G = 0. Je-li jiný ze subdeterminantů 2. řádu nenulový, můžeme lokálně vyjádřit x a z jako funkce y nebo x ay jako funkce z. □ 4.14. Zmíněné užití zobecněné věty o implicitní funkci budeme ilustrovat na nejjednodušším příkladu dvou lineárních rovnic F(x, y, z) = a\x + a2y + a^z = 0 , G(x, y, z) = b±x + b2y + b%z = 0 . 31 V tomto případě OF OF dy dz «3 dG dy dG dz b2 ^3 a nenulovost tohoto determinantu zaručuje možnost užití Cramerova pravidla k výpočtu y a z. 4.15. Geometricky věta 13 říká, že průnik dvou ploch S± a S2 je lokálně křivkou v okolí takového bodu p G S± n S2, v němž tečné roviny tpS\ a tpS2 jsou různé. Jednoduchý příklad dvou dotýkajících se sfér, jejichž průnik je jediný bod, ukazuje, že tato podmínka je nezbytná. Zajímavým příkladem je tzv. Vivianiho křivka, která je průnikem sféry a válcové plochy o polovičním poloměru, který prochází středem sféry, viz pohled shora a). Tečné roviny obou ploch jsou různé s výjimkou bodu A. Zde také průnik obou ploch není lokálně křivka v našem pojetí, viz pohled zepředu b) a celkový pohled c). a) 4.16. Definice styku křivky s plochou se redukuje na styk dvou křivek. Definice. Řekneme, že křivka C a plocha S mají ve společném bodě p styk /c-tého řádu, jestliže na S existuje taková křivka Č, že C a Č mají v bodě p styk /c-tého řádu. Snadno se nahlédne, že C a S mají styk 1. řádu, právě když tečna křivky leží v tečné rovině plochy. 4.17. Následující jednoduché početní kritérium pro vyšetřování styku křivky s plochou je podobné větě 2.5. Nechť S je dána rovnicí F(x, y, z) = 0 a C je dána parametricky (/i(í), f2(t),/3(í)). Věta. Nechť/(ío) = (xo,yo, z$) je společný bod křivky C a plochy S. Sestrojme funkci = f(/i(í),/2(í),/3(í)) - Pak C a S mají v bodě /(í0) styk řádu k, právě když platí ď$(to) (9) -^ = 0' i = l,---,*- 32 Důkaz. Nechť f (ť) je parametrizace křivky C na ploše S taková, že derivace f(ť) a f(t) pro t = íq splývají až do řádu /c. Protože Č leží na 5, platí (10) F(f1(ť),f2(ť),f3(ť))=0, takže všechny derivace levé strany podle t jsou nulové. Funkce <ř(i) a (10) mají stejnou vnější složku F(x, y, z) a derivace vnitřních složek až do řádu k splývají podle podmínky styku. Platí tedy (9). Obráceně, nechť třebas dF^x°^y°^ ^ g. Podle věty o implicitní funkci, rovnice F(/i(í),/2(í),z) =0 určuje lokálně funkci z = g(t) a křivka Č = (fi(t), f2(t), git)^ leží na S. Stačí dokázat (11) ^m=d^M í = v dP dtl ' ' ' Označme G(t,z) = F(/i(í), f2(t), z). To je funkce definovaná na jistém okolí V bodu (íq, zo). Na V xl uvažujme funkci 3 proměnných (12) H(t,z,w) = G(t,z) - w. Podle věty o implicitní funkci lze z rovnice H(t,z,w) = 0 lokálně spočítat z = K(t,w). Protože G(t,g(t)) = 0 a G (ŕ, /3(ŕ)) = $(ŕ), platí ff(í) = íf(í,0) a /3(i) = tf(i,$(i)). Stejně jako v důkazu věty 2.5 odtud plyne (11). □ 33 5 Frenetův repér prostorové křivky Uvažujeme křivku C C E%. 5.1 Věta. V neinflexním bodě p G C existuje jediná rovina u, která má s C styk 2. řádu. Nazýváme ji oskulační rovina křivky C v bodě p. Důkaz. Vezměme parametrické vyjádření f(t) = (/i (í), /2 (í); /3(*)) křivky C a libovolnou rovinu ax + by + cz + d = 0. Podle 4.17 sestrojíme funkci $(í) = a/i(í)+6/2(í) + c/3(í)+d. Pro styk 2. řádu máme podmínky $(íq) = 0 a dfijto) , udf2(tQ a----h o dt d2$(í0) d2/i(ío) d2f2(t + c 0 dt d2h{U 0, 0. dt2 dt2 dt2 dt2 Tyto podmínky znamenají, že normálový vektor (a, b, c) hledané roviny je kolmý k vektorům a d ^f0-1. Protože tyto dva vektory jsou lineárně nezávislé, je uvažovaná rovina určena jednoznačně. □ Podobně jako u oskulační kružnice rovinné křivky, podmínka styku 2. řádu oskulační roviny s prostorovou křivkou znamená, že oskulační rovina se ze všech rovin nejvíce přibližuje uvažované křivce. 5.2 Důsledek. V neinflexním bodě /(íq) je zaměření oskulační roviny určeno vektory df(t0) cPf(t0) dt dt2 Její rovnici lze tedy psát ve tvaru x - /i(ío) /í(ío), /i(ío), y - Í2(t0) ň(to), fZ(t0), z - /3(í0) /3(*o) /3(*0) 5.3. Nyní můžeme v neinflexním bodě peC definovat tyto objekty: (i) Rovinu v bodem p kolmou k tečně nazýváme normálová rovina. (ii) Průsečnici n = v n tu normálové roviny s oskulační rovinou nazýváme hlavní normála. (iii) Přímku b bodem p kolmou k oskulační rovině nazýváme binormála. (iv) Rovinu g určenou tečnou a binormálou nazýváme rektifikační rovina. 34 5.4 Definice. Neinflexní bod p E C nazýváme planární bod, jestliže oskulační rovina v něm má styk 3. řádu s křivkou C. 5.5 Věta. Neinflexní bod f (to) je planární právě když vektor d je lineárně závislý na vektorech a d ^r°->. Důkaz. Uvažujme funkci <ř(i) z důkazu věty 1. Pro styk 3. řádu vedle dvou tam uvedených podmínek dostáváme ještě dH(t0) cPhjto) , ud:if2(to) , d:if3(t0) (1) ^t^ = a^t^+b^t^ + C^t^ = °- Tedy vektor d leží v zaměření oskulační roviny a proto je lineárně závislý na áffio) a d /(*o) _ obráceně, platí-li uvažovaná lineární závislost, pak rovnice (1) je důsledkem rovnic z důkazu věty 1, takže C má s oskulační rovinou styk 3. řádu. □ 5.6. Dále uvažujeme jako parametr oblouk s. Píšeme e\(s) = ^p-, což je tedy jednotkový vektor. V neinflexním bodě f(s) označme e2(s) jednotkový vektor souhlasně rovnoběžný s tže^s->. Tedy de-\ (s) , . , . (2) —^ = x(s)e2(s), x(s)>0. ds Vektor e2(s) leží v oskulační rovině, neboť je kolineární s d ■ Podle 1.26 je vektor e2(s) kolmý na vektor ei(s). Tedy e2(s) je směrový vektor hlavní normály v bodě f(s). 5.7. Předpokládejme dále, že prostor E$ je orientovaný. Jako e3(s) označíme jednotkový vektor kolmý k e±(s) a e2(s) takový, že báze (ei(s), e2(s),e3(s)) je kladná. Tedy e3(s) je směrový vektor binormály. Definice. Repér (f(s),ei(s), e2(s), e3(s)) nazýváme Frenetův repér křivky C v neinflexním bodě f(s). V dalším zpravidla nebudeme argument s explicitně vypisovat. 5.8. Protože e2 je jednotkový vektor, derivováním vztahu (e2, e2) = 1 dostáváme (e2,^)= O.Tedy de2 — = cei + Te3 . ds 35 Derivováním vztahu (ei,e2) = 0 dostáváme (^,e2) + (ei, ^f-) = 0, takže ;< + c = 0. Platí tedy (3) ^f^ = -x(s)ei(s)+T(s)e3(s). as Derivováním vztahu (e3,e3) = 1 dostáváme, že vektor ^ je kolmý na e3. Derivování vztahu (ei, e3) = 0 dává Ale = xe2, takže první skalární součin je nulový. Tedy ^ = fee2. Derivováním vztahu (e2,e3) = 0 dostáváme (^f,e3) + (e2,^f) = 0. Odtud plyne t + k = 0, takže (4) ^ = -r(S)e2(S). as Dokázali jsme tedy Větu (Frenetovy rovnice). Pro křivku f(s) bez inflexních bodů platí í = ei = ^e2, (5) ,ds ^ = -xei +re3, 7& = 5.9 Definice. Číslo x(so) > 0 nazýváme křivost a číslo t(sq) nazýváme torze prostorové křivky /(s) v neinflexním bodě /(so)- 5.10. Frenetovy rovnice křivky f(s) dávají df d2f d3f dx . , (6) — = ei , —— = xe2. — = —e2 + x(->íei + re3). tís dsA as" ds Předpokládejme, že 0 patří do definičního oboru f(s). Tedy pro s = 0 máme vektorový Taylorův rozvoj /(s) = /(O) + a ei(0) + ^e2(0) + £ [^e2(0) - x2(0)Ě1(0) (7) +><(0)T(0)e3(0)] + kde í/(s) je vektorová funkce, jejíž hodnota a první 3 derivace v počátku jsou nulové. Jinak řečeno, platí 36 Věta. Nechť x, y, z jsou souřadnice vzhledem k Frenetovu repéru (/(O), ei(0), e2(0), e3(0)). Pak křivka /(s) je v okolí bodu /(O) dána výrazy 2(0) (8) x(0) 2 lcbí(O) 6 právě když r(so) = 0. □ 5.15. Křivku C C £3 nazýváme rovinná, jestliže leží v nějaké rovině g C E3. Protože C v g leží, je každý její bod planární, takže torze rovinné křivky je nulová. Z Frenetových rovnic vyplývá i obrácené tvrzení. Věta. Jednoduchá křivka, jejíž každý bod je planární, je rovinná. Důkaz. Podmínka r = 0 dává ^ = o, takže e% je konstantní vektor. Uvažujme rovinu, která jde bodem /(so) a je kolmá na vektor e^(so). Její rovnice je (e^(so),w — /(so)) = 0, kde w = (x,y,z) je libovolný bod prostoru £3. Uvažujme funkci ip(s) = (e3(s0), f(s) -f(s0)). Platí & = (e3(s0), ei(s)) = 0, protože e3(so) = es(s). Tedy í2t ds ' ds2 ' ds:i dtdf (dtyd2f /dt\3d3f lš~ďt' \dl) ďí2"' \dl) ~ďW dí\6 ds) d£ d?l fl dt' dí2 ' dí3 Užitím vzorce (12) pro x a vztahu i — i i ds i dí I dostáváme (13). □ 5.19 Příklad. Nalezneme křivost a torzi šroubovice. Tato křivka vzniká jako trajektorie rovnoměrného šroubového pohybu. Její parametrické vyjádření tedy je f(t) = (a cosi, a siní, bť) t E (—oo, oo), a > 0 . Číslo a je poloměr rotačního válce, na němž uvažovaná šroubovice leží, číslo b se nazývá zdvih (též výška závitu) šroubovice. Postupným derivováním dostáváme /' = (—a sin í, a cos í, b), (—a cos í, —a sin í, 0), (asiní, —acosi, 0). (absint, —ab cos t, a2), \\f X r III Tedy aVa2 + b2. Dále ||/'| b2. Podle (12) máme k = . Ke stanovení torze spočítáme determinant [/', r, n = —a siní -a cosi a siní a cos í b — a siní 0 —a cosi 0 baz ba2 Q2(Q2+62) b Podle (13) máme r Šroubovice má tedy konstantní křivost i torzi. 5.20. Připomínáme, že přímá shodnost v orientovaném prostoru E% je takové shodné zobrazení (p: E$ —> £"3, které zachovává orientaci. Podobně jako v rovině nazveme dvě křivky C, C C E$ shodné, jestliže existuje taková přímá shodnost (p, že platí (f(C) = C. Stejně jako v rovině budeme předpokládat, že C a Č jsou jednoduché a že máme dánu jejich parametrizaci obloukem na společném intervalu /. Věta. Nechť křivky CaČ jsou bez inflexních bodů, nechť /: / —> E$ a /: / —> E3 jsou jejich parametrizace obloukem na společném intervalu / a >c(s), >c(s) resp. t (s), f (s) jsou jejich křivosti resp. torze. Pak křivky CaČ jsou shodné, právě když na / platí >c = >t a r = f. 40 Důkaz,. Na jedné straně, z geometričnosti konstrukce Frenetova repéru přímo plyne, že u dvou shodných křivek jsou křivosti a torze stejnou funkcí oblouku. Obráceně, uvažujme C resp. Č s Frenetovým repérem (/(s), ei(s), e2(s), e3(s)) resp. (/(s), ěi(s), 62(5), Ě3(s)). Vedle (5) platí také d/ _ rfěi _ dě2 - , - dě3 (16) — = ei , — = xe2 , — = -xei +re3, — = -Te2 ds ds ds ds s týmž >c a r. Tedy (5) a (16) je tatáž soustava diferenciálních rovnic pro dvanáct číselných funkcí, které jsou složkami /, e\, e2 a e%. Pro sq g / je /(so)> ei(so), e2(s0), e3(s0) stejně jako /(s0), ěi(s0), ě2(s0), ě3(s0) bod a kladný ortonormální repér. Existuje tedy jediná přímá shodnost p: E$ —> £"3, která převádí první z těchto čtveřic do druhé z nich. Pak parametrizace /: I —> £"3 křivky Č spolu s vektorovými funkcemi ěi, ě2 a 63 a parametrizace poj: I —> £3 křivky y(C) spolu s vektorovými funkcemi R jsou funkce, >c > 0. Pak lokálně existuje taková křivka C parametrizovaná obloukem na I, že x je její křivost a r je její torze. 5.22 Příklad. Ukážeme, že šroubovice jsou jediné křivky s konstantní křivostí a torzí. (Případu nulové torze odpovídá kružnice jako šroubovice s nulovým zdvihem.) Opravdu, pro šroubovici jsme v bodě 19 spočítali n h (17) yt=- 2 + b2 ' a2 + b2 ' Nechťje dáno x > 0 ar. Pak z (17) spočteme nejprve = ^, tedy a = kyc,b = kr pro nějaké k > 0. Dosazením do vzorce pro k dostáváme k = k2{>fi+T2)' tecty k = ^2^T2 ■ Z vět 20 a 21 vyplývá, že části šroubovice s hodnotami a = ^2^T2, b = ^2^T2 jsou jediné křivky se zadaným konstantním x a r. 5.23 Poznámka. Dalším zajímavým, i když prakticky méně významným, geometrickým objektem určeným křivkou C = f (s) je její oskulační sféra. Platí, že v neplanárním bodě /(so) existuje jediná sféra S, která má s křivkou C styk 3. řádu. Způsob jejího nalezení pouze naznačíme. Ze styku 1. řádu vyplývá, že tečna křivky v bodě /(sq) Je současně tečnou S, takže střed oskulační sféry musí 41 ležet v normálové rovině. Nechť je to bod /(so) + ae2(so) + ^e3(so)- Rovnici sféry S zapíšeme ve tvaru skalárního součinu (w - /(so) - ae2(s0) - be:i(s0),w - f(s0) - ae2(s0) + be:i(s0)) = a2 + b2 , kde w = (x, y, z) je libovolný bod v £"3. K vyšetřování styku C a S užijeme tedy funkci *0) = (/O) - /Oo) - ae2(s0) - 6e3(s0), /(s) - /(so) - ae2(s0) - fre3(s0)) - a2 - b2. Vztahy $(s0) = 0 a = 0 jsou splněny podle konstrukce. Podmínky = 0 a d^iso) = 0 dávají (18) a=—^} b =-- x(s) = Poloměr r = \/a2 +b2 oskulační sféry tedy je 1 ' 2t2 . Í^Ý Všimněme si, že vzorce (18) a (19) ilustrují zajímavý obecný poznatek. Podle vět 20 a 21 je křivka C geometricky určena svou křivostí a torzí. Tedy také další geometrické objekty křivkou určené a její číselné invarianty se vyjadřují pomocí x a r a jejich derivací podle oblouku. 42 6 První základní forma plochy Začínáme se systematicky zabývat studiem ploch v £"3. 6.1. Uvažujme plochu S s lokálním parametrickým vyjádřením f (111,112), (111,112) £ D, viz 4.4. Při delších výpočtech budeme užívat zkrácené označení fi = dif, J2 = dif ■ Tedy J\(uq), f2(uo) tvoří bázi tečného prostoru TpS plochy S v bodě p = f(uo). Uvažujme dva vektory A, B G TpS, A = ai/i + «2/2. B = 61/1+62/2-Jejich skalární součin je dán výrazem (D (A, B) = (01/1 + 02/2,61/1 + 62/2). Označme (2) «711 = (/l, /l) , «712 = (fl, f2), 922 = (f2, f2) ■ Tedy g^-, i, j = 1,2 jsou funkce na D. Pak (1) můžeme zapsat ve tvaru (3) (A, B) = guaibi + 512(0162 + a2h) + #22^262 ■ To je bilineární forma na TpS. Příslušná kvadratická forma určuje velikost vektoru A, \\A\\ = V 9lla\ + 2012^2 + 522^2 • Pro odchylku (p vektorů A, B platí #110161 + 512(0162 + a26i) + 522^262 (4) cos ip \Jd\\a\ + 2^120102 + 522^2 VffH^l + 2012&1&2 + Í722 62 6.2. Na 5 uvažujme křivku it(í) = (iíi(í),ií2(í)). Pro její tečný vektor máme, viz 4.(4)), | = /i^ + /2^, takže / díii \ 2 dui dv>2 / díi2 511 br J +2gi2^r^r+a22{ dt 2 Ze vzorce pro výpočet oblouku prostorové křivky dostáváme Větu. Délka s oblouku křivky 11 (ť) na ploše f(u) mezi body o parametrech íi a í2 je Z"*2 / / dui \ 2duidm í dm \ 2 (5) a=/tl V511^) +2^^22hf) dí- 43 Diferenciál ds je tedy roven výrazu za symbolem integrálu. Jeho čtverec (6) (ds)2 = gn(dui)2 + 2gi2duidu2 + g22(du2)2 je kvadratická forma určená bilineární formou (3). 6.3 Definice. Kvadratickou formu (6) nazýváme první základní forma plochy. Značíme ji <3?i nebo (ds)2. Stejným symbolem <3?i budeme značit i polárni bilineární formu, která je touto kvadratickou formou určena. 6.4 Příklad. Uvažujme sféru S se středem v počátku a poloměrem r. Pro bod p G S neležící na ose z označíme q jeho průmět do roviny (x, y). Jako parametr iii zvolíme úhel průvodiče bodu q s kladnou poloosou x, tedy u\ G [0,2ir), jako parametr u2 zvolíme úhel průvodiče bodu p s rovinou (x, y), takže u2 E (— f ? §) • Tedy z = rsmu2 a velikost průvodiče bodu q je r cos u2. V rovině (x, y) máme situaci odpovídající polárním souřadnicím, takže x = r cos u2 cos u\, y = r cos u2 sin u±. Celkově tedy dostáváme (7) /(tíi, u2) = (r cositi cosu2ir siníii cosu2,r siní^) > m e (o,27r), u2 e (- f, f). Sféra není jednoduchá plocha, takže naše parametrizace nezahrnuje polokružnici, která je průnikem sféry s polorovinou x > 0 v rovině (x, z). Při běžných praktických úvahách se však s touto drobnou neúplností dovedeme snadno vyrovnat. Nalezneme první základní formu sféry. Máme /i = r(— sinici cos u2, cos iti cos u2, 0), f2 = r(— cos tíi sm.u2l — siníii sm.u2l cosU2) ■ Tedy gn = (fiji) = r2 cos2 u2, gu = (fi,h) = 0, g22 = r2. První základní forma sféry má tvar (8) $1 = r2[cos2íi2(cM2 + (du2)2] . 6.5. Spočteme první základní formu plochy dané explicitně z = f(x,y), (x,y) G D, viz 4.5. Její parametrické vyjádření je f(x,y) = (x, y, f(x, y)). Tedy ]\ = (1, 0, fx), f2 = (0,1, fy), kde fx resp. fy je parciální derivace funkce / podle x resp. y. Spočtením skalárních součinů (2) dostáváme (9) $1 = (1 + f2) (dx)2 + 2fxfy dx dy + (l + f2) (dy)2 . 44 6.6 Definice. Vrstvou křivek na jednoduché ploše S nazýváme takovou jednopa-rametrickou soustavu Jšf křivek na S, že každým bodem plochy S prochází právě jedna křivka soustavy Jšf. Uvažujme nejprve vrstvu Jšf v oblasti D roviny (111,112). Předpokládejme, že tečny křivek vrstvy nejsou rovnoběžné s osou u2. Pak pro směrnice L(u\,u2) tečen vrstvy Jz^platí duo (10) —±=L(u1,u2). dui Říkáme, že (10) je diferenciální rovnice vrstvy ár. Vektorovým polem na oblasti D rozumíme pravidlo, které každému bodu p G D přiřazuje vektor v tečném prostoru TpD. Máme-li na D nějaké všude nenulové vektorové pole (Fi(ui, u2), F2(ui, u2)) tečné k vrstvě Jšf, nerovnoběžnost tečen s osou u2 je rovnocenná F\(ui,u2) ^ 0. Pak diferenciální rovnice vrstvy Jšf je du2 _ F2(ui,u2) dui Fi (111,112) Na libovolné ploše S vrstvu křivek Jšf zpravidla zadáváme v oblasti parametrů. Vektorové pole na ploše S se rovněž definuje jako pravidlo, které každému bodu p £ S přiřazuje vektor v tečném prostoru TpS. 6.7 Definice. Ortogonálními trajektoriemi vrstvy Jšf na ploše S nazýváme takovou vrstvu Jšf' na S, že křivky vrstev Jšf a Jšf' jsou kolmé v každém bodě. Věta. Je-li (Fi(ui, u2), F2(ui, u2)) souřadné vyjádření nějakého vektorového pole tečného k vrstvě Jšf, pak diferenciální rovnice jejích ortogonálních trajektorií je ^lT) du2 = guFi + gi2F2 dui gí2Fi + g22F2 ' Důkaz. Nechť (dít 1, du2) je tečný vektor k hledané vrstvě Jšf'. Podle (3), podmínka kolmosti obou vrstev zní guFidui + gi2(F\du2 + F2dui) + 522^2^2 = 0 . Algebraickou úpravou dostaneme (12). □ Poznámka. Pokud se v nějakém bodě plochy objeví na pravé straně (12) nulový jmenovatel, znamená to, že ortogonální trajektorie tímto bodem má, uvažováno v oblasti parametrů, tečnu rovnoběžnou s osou u2. Pak je třeba uvažovat diferenciální rovnici vrstvy se zaměněním u\ au2. 45 6.8 Příklad. Na sféře z bodu 4 nalezneme ortogonální trajektorie vrstvy u± + u2 = konst. Diferencováním dostáváme du\ + du2 = 0, takže diferenciální rovnice uvažované vrstvy je ^ = — 1- Můžeme tedy vzít např. F\ = 1, F2 = — 1. V bodě 4 jsme nalezli gn = r2 cos2 u2, g\2 = 0, g22 = r2. Podle (2), diferenciální rovnice ortogonálních trajektorií je (13) —— = cos u2 . dui Separací proměnných v (13) a integrací dostáváme rovnici ortogonálních trajektorií uvažované vrstvy ve tvaru tg u2 = u\ + konst. 6.9 Definice. Sítí na ploše S nazýváme dvě vrstvy ££2, jejichž křivky svírají nenulový úhel v každém bodě. Síť se nazývá ortogonální, jestliže tento úhel je v každém bodě pravý. Jednoduchým příkladem je parametrická či souřadnicová síť, která je tvořena křivkami u\ = konst. a u2 = konst. dané parametrizace f(ui,u2) plochy S. Ne-nulovost úhlu svíraného oběma parametrickými vrstvami je zaručena podmínkou fl X f2 + o. Následující tvrzení využijeme v mnoha konkrétních situacích. Věta. Parametrická síť je ortogonální, právě když g\2 = 0. Důkaz. Vektory j\ a f2 jsou tečné k parametrickým vrstvám a gi2 = (fi, f2). □ 6.10 Lemma. Platí 511(722 - Í7i2 > 0- Důkaz. Známá Cauchyho nerovnost pro dva vektory a, b říká, že |(a, b)\ < ||a||.||6||, neboli (a,b)2 < \\a\\2.||b\\2, přičemž rovnost platí pouze pro kolineární vektory. Vezmeme-lia = fi,b = f2,máme ||a||2 = gn, \\b\\2 = g22, (a,b) = gi2, přičemž vektory j\ a J2 nejsou kolineární. Odtud plyne naše lemma. □ 6.11. V analýze se ukazuje, že obsah plochy vyjádřené explicitně ve tvaru z = f(x, y), (x, y) g D, kde / je ohraničená funkce na ohraničené oblasti D, je dán dvojným integrálem (14) jj^l + fŽ+f2dxdy. d 6.12. O zobrazení /: D —> £3 řekneme, že je ohraničené, jestliže množina f(D) celá leží uvnitř nějaké koule. 46 Věta. Nechť plocha S je dána ohraničeným zobrazením f (111,112) na ohraničené oblasti í) Cl2. Pak její obsah je roven (15) j j ^ 011022 - 012 dul du2 ■ d Důkaz. Víme, že plochu můžeme v okolí každého jejího bodu zadat explicitně, třebas ve tvaru z = f(x, y). V příkladu 5 jsme nalezli gn = 1 + f2, 012 = fxfy, 922 = 1 + fy, takže 011022 - 022 = 1 + /2 + fy. Lokálně se tedy (15) redukuje na klasický výraz (14). Globálně naše tvrzení plyne z aditivnosti obsahu plochy. □ Výraz dV : = \J011022 — 012 dui du2 se také nazývá objemový element plochy S. Vzorec pro obsah plochy lze tedy psát ve tvaru V = ff dV. d 6.13 Příklad. Stanovíme obsah V tzv. vrchlíku na sféře o poloměru r určeného úhlem a podle obrázku. Tedy D = (0, 2ir) x — a, |-). V příkladu 4 jsme nalezli 011 = r2 cos2112, 012 = 0, 022 = r2. Tedy V = r2 cos U2 dui du2 2tt pw/2 d r2 I dui I cosu2du2 0 J-K/2-a ■k/2-a 2irr2 [ sin 112] -a= ^r2(1 — cos a) V případě a = ^ dostáváme plošný obsah 2irr poloviny sféry. 6.14. Závěrem můžeme shrnout, že první základní forma $1, která je určena skalárním součinem v každém tečném prostoru plochy, slouží především k výpočtu délky křivek na ploše, odchylek těchto křivek a obsahu plochy. Zásadní teoretický význam formy $1 poznáme později. 47 7 Druhá základní forma plochy 7.1. Uvažujme normálu NPS plochy S v bodě p. Na normále máme dva jednotkové vektory, výběr jednoho z nich představuje orientaci přímky NpS. Definice. Orientací plochy S nazýváme výběr orientací jejích normál, který je proveden spojitým způsobem. Jednoduchou plochu lze vždy orientovat. Máme-li dáno její parametrické vyjádření f(ui,u2), můžeme za orientaci normály vzít směr vektorového součinu fi x h- 7.2. Příklad Môbiova listu ukazuje, že existují plochy, které globálně nelze orientovat. Definice. Plochu S, kterou lze orientovat, nazýváme orientovatelná. Orientova-telnou plochu spolu s výběrem jedné z jejích orientací nazýváme orientovaná. Jednotkový vektor orientované normály značíme n. Chceme-li vyjádřit jeho závislost na parametrech plochy, píšeme n(ui,u2). V případě orientace normály určené parametrizací f(u) máme w n=fj-fy- II fi x Ml Podmínka kolmosti normály na tečnou rovinu je charakterizována rovnicemi (2) (n,/i) = 0, (n,/2) = 0. 7.3. Dále uvažujeme orientovanou plochu S. Pro libovolný pohyb 7(í) v prostoru E3, vektor nazýváme jeho zrychlením. Uvažujme pohyb na ploše S s lokální parametrizací f(u), který je zadán v oblasti parametrů D jako (iti(í), 1*2(2)), takže v £3 jde o pohyb 7(í) = /(tíi(í),tí2(í))- Spočteme jeho zrychlení. První derivování této složené funkce dává známý výraz ^ = h («!(*), u2(t)) d-^+f2 «2(i)) ^ • Při výpočtu druhé derivace použijeme zkrácené označení (3) /11 = duf , /12 = d12f , f22 = d22.f ■ Máme tedy d27 (duxÝ , 0, du1du2 fdu2\2 d2ux d2u2 (4) -dW = hl\-ďr) +2fl2^r^r+H^r) +^t^ + /27í^- Podle (2) skalární součin vektorů n a ^ závisí jen na 48 Definice. Skalární součin (n, ^J) nazýváme normálové zrychlení přiřazené vektoru ^ 6 TpS. V případě ||^||=1 hovoříme o normálové křivosti orientované plochy S ve směru tohoto vektoru. Znaménko normálového zrychlení tedy závisí na orientaci plochy. 7.4. Uvažujme skalární součiny (5) hu = (n, /n) , h12 = (n, f12), h22 = (n, /22), které jsou funkcemi na oblasti z?. Ze (4) vyplývá, že pravidlo, které ke každému vektoru (dui, du2) g TpS přiřazuje příslušné normálové zrychlení, je kvadratická forma na TpS tvaru (6) hn(dui)2 + 2h\2du\ du2 + h22(du2)2 . Definice. Kvadratickou formu (6) nazýváme druhá základní forma plochy S a značíme ji <ř2. Druhá základní forma orientované plochy S je tedy pravidlo, které každému vektoru A g TpS přiřazuje číslo <ř2(A), které jsme získali takto. Na ploše S uvažujeme pohyb 7 (i) takový, že A = dlf°^ ■ Spočteme jeho zrychlení d . Číslo <ř2(A) je pak rovno skalárnímu součinu (n(j(to)), d jj?0^), kde n(j(to)) je orientovaný vektor normály v bodě 7 (to)- 7.5. V tečném prostoru TPS uvažujme směr určený nenulovým vektorem A. Rez plochy S rovinou určenou normálou NPS a směrem A je křivka, kterou nazýváme normálový řez plochy ve směru A. Základní geometrický význam formy <ř2 podává Věta. Absolutní hodnota normálové křivosti ve směru vektoru A je rovna křivosti normálového řezu v tomto směru. Důkaz. Uvažujme parametrizaci 7(s) tohoto řezu obloukem, 7(so) = P- Pak je jednotkový vektor a d J^0^ je vektor k němu kolmý, o němž z teorie křivek víme, že jeho velikost je rovna křivosti uvažovaného normálového řezu. Vektory n(p) ds -11 í\^t l\ L- l\l l(V'l ni 1 ( m ( íy-i\ ^_ ds2 7.6. Pro normálovou křivost x ve směru vektoru A = (du\,du2) platí híí{dui)2 + 2h\2du\ du2 + h22(du2)2 d 7^°-> jsou tedy kolineární. Protože vektor n(p) je jednotkový, absolutní hodnota skalárního součinu (n(p), d T^0-1) je rovna velikosti druhého vektoru. □ (7) #ll(díil)2 + 2g12dux du2 + #22(dw2)2 49 Opravdu, jednotkový vektor v tomto směru je jj^j-(du\, du^), přičemž || A||2 = gu(dui)2 + 2g\2du\ du2 + g22{du2)2. Dosazením do (6) dostáváme (7). 7.7 Definice. Bod /(ito) £ S nazýváme planární bod, jestliže $2(^0) Je nulová forma, tj. platí hn(uo) = 0, ^12(^0) = 0, ^22(^0) = 0. 7.8 Definice. Plocha S se nazývá souvislá, jestliže každé dva její body lze spojit dráhou, která celá na S leží. 7.9 Věta. Jednoduchá souvislá plocha S, jejíž každý bod je planární, je částí roviny. Důkaz. Pišme n\ = din, ni = din. Derivací (2) podle u\ a 112 dostáváme (m,/l) + (n,/ll)=0, (ni,/2) + (n,/i2) = 0, (o) (n2,/l) + (n,/i2)=0, (n2,/2) + (n,/22) = 0. Zde především vidíme, že v případě roviny, jejíž normálový vektor je konstantní, je každý bod planární. Dále využijeme skutečnost, že n je jednotkový vektor. Derivováním vztahu (n,n) = 1 dostáváme (9) (n,m) = 0, (n,n2)=0. Je-li každý bod plochy S planární, anulují se podle (5) druhé členy v (8). Pak první dvě rovnice (8) a první rovnice (9) říkají, že vektor n\ je kolmý ke třem lineárně nezávislým vektorům n, j\, j2. Je to tedy nulový vektor. Ze zbývajících rovnic (8) a (9) stejným způsobem plyne, že 77.2 je nulový vektor. Normálový vektor je tedy konstantní, n = a. Uvažujme funkci V(ui,u2) = {aj{ui,u2) - f{u\,u%)) . Máme = (a, /1) = 0, J^(a, f2) = 0, takže ip je konstantní funkce. Přitom 0. Je-li hu = 0 a ři22 7^ 0, (16) dává kvadratickou rovnici pro podíl ^ a máme stejnou situaci. Pokud hu = 0 a /^22 = 0, v neplanárním bodě musí být h±2 7^ 0, takže asymptotické směry jsou dui = 0 a dií2 = 0. 7.13 Definice. Neplanární bod se nazývá hyperbolický resp. parabolický resp. eliptický, jestliže h < 0 resp. /1 = 0 resp. /1 > 0. Ve sférickém bodě z nerovnosti 6.10 plyne h > 0, takže jde o speciální případ eliptického bodu. 7.14 Definice. Křivka C na ploše S se nazývá asymptotická, jestliže její tečna v každém bodě je asymptotická tečna. Na ploše s pouze hyperbolickými body máme tedy dvě vrstvy asymptotických křivek. Na ploše jen s parabolickými body máme jednu vrstvu asymptotických křivek. Na ploše jen s eliptickými body asymptotické křivky neexistují. 7.15 Věta. Přímka v tečné rovině tpS je asymptotická tečna, právě když má s plochou styk 2. řádu. Důkaz. Je-li směr asymptotický, pak normálový řez v tomto směru má v bodě p nulovou křivost. Tedy p je inflexní bod normálového řezu, takže tečna má s ním styk 2. řádu. Obráceně, má-li nějaká tečna v bodě p G S styk 2. řádu s nějakou křivkou 7(4) na S, 7(^0) = P, jde o inflexní bod této křivky. Tedy vektor dje kolineární s vektorem d"'^° \ který je kolmý na normálový vektor n(p), takže dHto)- (19) n(p), dt2 □ 52 7.16. Připomínáme, že oskulační rovina prostorové křivky není určena v jejích inflexních bodech. Věta. Křivka C na ploše S je asymptotická, právě když v každém bodě její oskulační rovina splývá s tečnou rovinou plochy nebo není určena. Důkaz. Oskulační rovina křivky C = 7(í) v bodě p = 7(^0) Je určena vektory d dt^' P0kud js°u lineárně nezávislé. Přitom tŽ7j*°-> leží v tečné rovině plochy. Tedy tečná rovina plochy S splývá s oskulační rovinou křivky C, právě když normálový vektor n(s) je kolmý na d J$°\ tj. platí (19). Jde-li o inflexní bod, je vektor d kolineární s dlf°\ a rovněž platí (19). Obráceně, je-li &2{dlft^) = 0, platí (19) a stejně jako v první části důkazu nahlédneme, že nastává jeden z obou uvažovaných případů. □ 7.17. Z 1.28 víme, že přímka nebo její část je charakterizována tím, že každý její bod je inflexní. Pokud tedy leží na ploše přímka nebo její část, je to asymptotická křivka. Tím máme např. stanoveny asymptotické směry a křivky na regulárních přímkových kvadrikách, tj. na jednodílném hyperboloidu a hyperbolickém paraboloidu. 7.18. V hyperbolickém bodě asymptotické směry rozdělují směry v tečné rovině na dvě části. V jedné z nich mají normálové křivosti kladné znaménko, v druhé znaménko záporné. V kladné části tedy lokálně leží normálové řezy nad tečnou rovinou ve směru orientované normály, v záporné části lokálně leží normálové řezy na druhé straně tečné roviny. Plocha tedy leží po obou stanách své tečné roviny. Výrazným příkladem je plocha z = xy. Osy a; a y na ní leží, takže to jsou asymptotické křivky, a tečná rovina v počátku je z = 0. Pro x > 0, y > 0 nebo x < 0, y < 0 plocha leží nad tečnou rovinou, pro x > 0, y < 0 nebo x < 0, y > 0 leží plocha pod tečnou rovinou. V eliptickém bodě je znaménko křivosti ve všech směrech stejné, takže celá plocha lokálně leží po jedné straně tečné roviny. Nejjednoduššími příklady jsou sféra nebo elipsoid. Dalším pěkným příkladem je anuloid. Na "vnější straně pneumatiky" leží plocha celá po jedné straně tečné roviny, jsou tam vesměs eliptické body. Na celé vnitřní části anuloid lokálně leží po obou stranách každé tečné roviny, jsou tam vesměs hyperbolické body. "Horní a dolní" kružnice jsou pak tvořeny body parabolickými. 7.19 Poznámka. Závěrem ještě ukážeme, jak lze planární a sférické body charakterizovat pomocí obecného pojmu styk ploch. 53 Nechť p je společný bod ploch S a Š. Řekneme, že plochy S a Š mají v bodě p styk řádu k, jestliže ke každé křivce C C S jdoucí bodem p existuje taková křivka Č C Š, že křivky C aČ mají v bodě p styk /c-tého řádu. Ve skriptu [5] se ukazuje, že takto vzniká relace ekvivalence, a odvozuje se toto početní kritérium pro styk ploch, které je podobné 2.5 a 4.7. Jestliže plocha S je zadána parametrickým vyjádřením f(u) a plocha Š je dána rovnicí F(x,y,z) = 0, pak vytvoříme funkci dvou proměnných $(ui,u2) = F(f1(u1,u2),f2(u1,u2),f3(u1,u2)) . Platí, že plochy S a Š mají ve společném bodě p = /(ito) styk /c-tého řádu, právě když všechny parciální derivace funkce <ř v bodě uq = (ui,u2) až do řádu k včetně jsou nulové. Pro k = 1 takto dostáváme, že dvě plochy mají ve společném bodě styk 1. řádu, právě když v něm mají společnou tečnou rovinu. Uvažujeme-li jako plochu Š rovinu ax + by + cz + d = 0 , máme $(iil,it2) = afi(ui,u2) + bf2(ui,u2) + c/3(iíi,ií2) +d. Podmínky pro styk 1. řádu ad1f1(uo)+bd1f2(u0)+cd1fs(u0) = 0, ad2f1(u0)+bd2f2(u0)+cd2f3(u0) = 0 znamenají, že vektor (a, b, c) je kolineární s normálovým vektorem n(uo) plochy S v bodě f(uo). Podmínka pro styk 2. řádu pak zní (n(it0), dnf(uo)) = 0 , (n(uo),d12f(u0)) = 0 , (n{u0),d22f{uo)) = 0 . Tedy bod p g S je planární, právě když tečná rovina plochy S v něm má s plochou styk 2. řádu. Podobným výpočtem dokážeme, že bod /(ito) S S je sférický, právě když existuje sféra Q taková, že S aQ mají v bodě /(iíq) styk 2. řádu. 54 8 Hlavní křivky 8.1. Rozložení normálové křivosti plochy S = f (u) v jejím neplanárním bodě p lze vizualizovat následujícím způsobem. Na tečnu v neasymptotickém směru naneseme, v obou směrech, hodnotu l—, kde x je normálová křivost v tomto vM směru. Je-li a±fi (p) +122/2 (p) vektor odpovídající takovému bodu, je čtverec jeho velikosti roven tK, ti. M' J (1) gual + 25i2aia2 + 9220-1 = T~l ■ I ^\ Ale x je dáno výrazem 7.(7), takže (1) je rovnocenné rovnici (2) \hnal + 2hi2aia2 + h22al\ = 1. Definice. Křivka (2) se nazývá Dupinova indikatrix v neplanárním bodě plochy. 8.2. V eliptickém bodě je (2) elipsa. Uvědomíme-li si, že rovnice jednotkové kružnice v naší afinní souřadné soustavě v tečné rovině je gnaj + 2g12a1a2 + g22a\ = 1 pak z 7.(10) plyne, že uvažovaná elipsa je kružnicí právě ve sférických bodech plochy. V hyperbolickém bodě můžeme rovnici h\\a\ + 2h\2a\a2 + h22a2 = 1 převést změnou souřadné soustavy na tvar Tedy (2) představuje dvojici tzv. sdružených hyperbol, která vedle (3) sestává ještě z hyperboly ^ - = -1. V parabolickém bodě představuje (2) rovnici dvojice rovnoběžných přímek v tečné rovině, která je souměrná podle bodu dotyku. Opravdu, v tomto případě platí h\\h22 = h\2 - Uvažujme případ hu > 0, hi2 > 0. Pak hi2 = ±\/hu\/h22. Začněme případem kladného znaménka. Tedy rovnice (2) má tvar (4) 1 = hnal + 2\fh^\fh22a\a2 + h22a\ = (^Jhřiai + \fh22a2f' . To je rovnice dvojice rovnoběžných přímek (5) 1 = \fh~\xa\ + \fh22a2 , -1 = \fh~ň_a\ + \fh22a2 . 55 Tato dvojice je souměrná podle počátku. Stejný výsledek dostaneme v případě záporného znaménka. Pokud je h\\ < 0, h22 < 0, dává podobný výpočet týž výsledek. 8.3. V nesférickém bodě definujeme osy Dupinovy indikatrix * jako osy elipsy nebo jako společné osy dvojice sdružených hy- ~J~ perbol nebo jako osu dvojice rovnoběžných přímek a přímku na , ni kolmou jdoucí počátkem. Definice. Směry os Dupinovy indikatrix nazýváme hlavní směry plochy S v uvažovaném bodě. Křivku na S, která se v každém svém bodě dotýká hlavního směru, nazýváme hlavní křivka. V planárních a sférických bodech nejsou hlavní směry definovány. Na ploše bez planárních a sférických bodů máme tedy síť hlavních křivek. Tato síť je ortogonální. 8.4. Protože $2 Je kvadratická forma, určuje polární bilineární formu, kterou budeme značit stejným symbolem. Pro dva vektory A = (ai, a2), B = (61, b2) £ TPS tedy platí (6) $i(A, B) = hii(p)aibi + hí2(p)(aib2 + a2h) + h22(p)a2b2 . Podmínka í2 v hlavních směrech nazýváme hlavní křivosti plochy. Součet H = k\ + >í2 hlavních křivostí se nazývá střední křivost, součin K = >íi>í2 se nazývá Gaussova (či totální) křivost. Ve sférickém bodě má normálová křivost ve všech směrech stejnou hodnotu x. Zde definujeme H = 2x, K = zt1. V planárním bodě jsou všechny normálové křivosti nulové. Zde klademe H = 0, K = 0. Při změně orientace plochy S normálové křivosti mění znaménko. Znaménko střední křivosti H tedy závisí na orientaci plochy, znaménko Gaussovy křivosti K však na orientaci plochy nezávisí. 8.8. Na Dupinově indikatrix vidíme, že normálová křivost má v hlavních směrech extrém. Toho využijeme k odvození vzorce pro stanovení hlavních křivostí. Následující přehledný výpočet se bude týkat jen "obecného" případu, ale laskavý čtenář si prodiskutuje sám, že výsledek platí ve všech případech. Uvažujeme-li směr q = pak pro normálovou křivost x(g) v tomto směru podle 7. (7) platí hng2 +2h12g + h22 yc\o) =-7,-. giiQ +2g12Q + g22 K ulehčení výpočtu to zapíšeme ve tvaru (10) x(glig2 + 2ffi2č + g22) ~ (hng2 + 2h12g + h22) = 0 . Derivováním podle g a dosazením podmínky pro extrém ^ = 0 dostáváme (11) x(gng +gu) - (hiig + h12) = 0. Násobíme-li to — g a přičteme k (10), dostáváme (12) x{gi2g + g22) - (hng + ^22) = 0. Po zpětném dosazení g = ^ a úpravě má (ll)a(12) tvar (xgil - hu) dui + (xgi2 - h12) du2 = 0, (13) (xgi2 - hi2) dui + {xg22 - ^22) du2 = 0 . Zde (du\,du2) je nenulový směr, v němž extrém nastává. Tedy determinant soustavy dvou lineárních rovnic (13) musí být nulový. Odtud plyne 57 Věta. Hlavní křivosti yt\, >í2 jsou kořeny kvadratické rovnice (14) xgi2 - hu, >cg22 - h22 = 0. 8.9. Jednoduchým důsledkem (14) je Věta. Pro střední a Gaussovu křivost platí Součet H = yt\ + k2 resp. součin K = >íi>í2 kořenů má tvar (15) podle známé Ukážeme ještě, že (15) platí i ve sférickém a planárním bodě. Ve sférickém bodě podle 7. (7) máme hij = xgij,i = 1,2, kde x je společná hodnota normálové křivosti ve všech směrech. Pak z (15) dostáváme H = 2x, K = x2. V planárním bodě máme = 0, takže H = 0 a K = 0. 8.10. Protože 511(722 — 9i2 > 0 a /in/122 — ^12 Je výraz použitý v definici 7.13, získali jsme i jiný pohled na tuto definici. Důsledek. Eliptický resp. parabolický resp. hyperbolický bod je charakterizován podmínkou K > 0 resp. K = 0 resp. K < 0. Poznámka. V planárním bodě rovněž platí K = 0. Proto se planární body někdy také zařazují mezi body parabolické. 8.11 Příklad. Gaussova křivost sféry o poloměru r je Jj. Opravdu, všechny její body jsou sférické a normálový řez v každém směru je kružnice o poloměru r. 8.12. Následující formule přehledně vyjadřuje normálovou křivost v libovolném směru pomocí hlavních křivostí. Věta (Eulerův vzorec). Nechť a\ a 02 jsou hlavní směry v bodě p plochy S, nechť >íi a >í2 jsou příslušné hlavní křivosti a s je směr, který se směrem a\ svírá úhel (p. Pak pro normálovou křivost xs v tomto směru platí (16) >cs = yc\ cos2 ip + >í2 sin2 ip . vlastnosti kořenů kvadratické rovnice. □ Tedy K=±. 58 Důkaz,. Nechť e\, e2 jsou jednotkové vektory ve směrech a\, a2. Na S můžeme uvažovat takové parametry u\, u2, že e\ a e2 jsou tečné vektory k parametrické síti, tj. ei = (cžiíi,0), e2 = (0,du2). Pak 0n(p) = 022(p) = 1, 012(p) = 0 a sdruženost směrů ctí a cs = >c\ cos2 p + x2 sin2 p. □ 8.13. Probereme ještě jednu geometrickou vlastnost, která přímo charakterizuje hlavní křivky. Pro křivku 7 (i) na ploše S označíme n7 jednoparametrickou soustavu normálových vektorů podél 7. Věta. Křivka 7 (i) je hlavní křivka plochy S, právě když vektor ^jř je kolineární s vektorem ^ pro všechna t. Důkaz. Nechť S je zadána parametrizací / (u) a 7 je v oblasti parametrů vyjádřena jako (tíi(í),tí2(í)). Tedy (17) ^ / + f dt dt dt Označme (18) ai/i + a2/2 vektor kolmý k (17). Podobně máme n7(í) = n(tíi(í),tí2(í)), takže dn7 dít! díi2 (19) nr = ninr+n2nr- Tento vektor leží v tečné rovině, protože vektory n\ a n2 jsou kolmé na n, viz 7.(9). Vektory (17) a (19) jsou kolineární, právě když vektory (18) a (19) jsou kolmé. S užitím vzorců 7.(8) dostáváme n (t < f dUl du2\ 0 = yjici! + J2a2,ni— +n2-I (20) dt ) du\ ( du\ du2 \ du2 hiiai—— +hi2[a2—— + ai—— + h22a2—— dt V dt dt J dt Směry (^-, a (ai,a2) jsou tedy ortogonální a sdružené, takže to jsou hlavní směry. Tedy 7(í) je hlavní křivka. Obráceně, je-li 7(í) hlavní křivka, je vektor ^ sdružen s kolmým vektorem, takže platí druhá rovnice v (20). Pak z první rovnice v (20) plyne, že vektor je kolineární s vektorem ^ pro všechna t. □ 59 8.14 Příklad. Uvažujme rotační plochu S vznikající rotací rovinné křivky C podle osy, která leží v téže rovině a křivku neprotíná. Podobně jako na zeměkouli, rovnoběžky na S jsou kružnice, které vznikají rotací jednotlivých bodů křivky C, zatímco poledníky na S jsou polohy křivky C v jednotlivých okamžicích rotace. Ukážeme, že rovnoběžky a poledníky jsou hlavní křivky na rotační ploše S. n. I \ dC / \ dt Uvažujme libovolný poledník plochy S, který ztotožníme s křivkou C. Tedy normály n ciť) rovinné křivky C jsou současně normálami plochy. Všechny vektory nciť) jsou jednotkové. Derivací vztahu (nc(ť), nciť)) = 1 dostáváme, že vektory dn(^ jsou kolmé na nciť) a tedy kolineární s tečným vektorem křivky C. Tedy poledníky jsou hlavní křivky podle věty 13. Rovnoběžky jsou na ně kolmé, takže jsou to rovněž hlavní křivky, protože síť hlavních křivek je ortogonální síť. 8.15. Jako užitečnou ilustraci odvodíme předchozí výsledek také početně. Křivku C zadáme v rovině (x, z) lokální parametrizací x = git), z = hit), t E I, takže dvourozměrný vektor ( 0, tedy g(t) > 0 pro všechna t E I. Jako v označíme odchylku, kterou průmět rotujícího bodu do roviny ix, y) svírá s kladnou poloosou x. Oblast parametrů D můžeme nazírat jako mezikruží v R2, které je v polárních souřadnicích charakterizováno tím, že velikost průvodiče leží v intervalu / a polární úhel je libovolný. V tomto smyslu můžeme psát v E [0,2ir). Bod o a;-ové souřadnici g(t) opisuje v rovině z = h(ť) kružnici x = git) cos v, y = git) sin v. Parametrické vyjádření naší rotační plochy tedy je f(t, v) = (git) cos v, git) sin v, h(t)) , í E I, v E [0, 2tt) . Z hlediska obecné teorie hraje í resp. v roli parametru u\ resp. u2. Parciální derivování podle tav dává fi = (g' cos v, g sin v, tí), f2 = g(- sin v, cos v, 0). 60 Koeficienty první základní formy tedy jsou 12 i i/2 n 2 911= 9 +h , g12 = 0 , Q22= g Dále máme /l x/2 = g{—h'cos v,—h' sin v, (/), n = — = {—ti cos v,—h' sin v, (/) V druhém řádu dostáváme parciální derivace /11 = (ycosv^sinv,//), /12 = #'(-sinu, cos 0), /22 = ff(-cosw,-sinw,0). Podle 7. (5) koeficienty druhé základní formy jsou g'h" - tig" ti g hu = —/ .n , hu = 0 , h22 ^Jg'2 + ti2 ' ' ^Jg'2 + ti2 ' Obecně již samy podmínky gi2 = 0, hi2 = 0 zjednodušují diferenciální rovnici hlavních křivek (9) na tvar 911 922 hu h22 dui du2 = 0 . Anulování determinantu znamená hu = egu, }%22 = cg22, takže se jedná o sférický nebo planární bod, které jsou z úvah o hlavních křivkách vyloučeny. Rovnice du\du2 = 0 pak charakterizuje parametrickou síťíii = konst. a 112 = konst. V našem případě rotační plochy to jsou rovnoběžky a poledníky. 8.16. Popíšeme vztah křivosti libovolného rovinného řezu plochy S a křivosti normálového řezu ve stejném směru. Nechť g je libovolná rovina jdoucí bodem p g S různá od tečné roviny tpS. Věta (Meusnierova). Nechť xn je křivost normálového řezu plochy S ve směru přímky g n tpS a 0 < a < ^ je odchylka, kterou normála NpS svírá s rovinou g. Pak pro křivost >cg řezu plochy S rovinou g v bodě p platí 61 Důkaz. Nechť 7(s) je parametrizace průsečné křivky obloukem, 7(0) = p. Podle věty 7.5 platí d27(0)> ds2 d2l(0) Z teorie rovinných křivek víme, že —gp— — ^e v rovině g. V naší situaci | (n, e2)\ = cos a. 8.17. >cge2, kde e2 je jednotkový vektor □ P c\ A 1 1 c Uvažujme neasymptotický směr A v tečné rovině. Označme cn střed křivosti normálového řezu a ce střed křivosti řezu rovinou g, viz obrázek, na němž je znázorněn řez rovinou kolmou na směr A. Z Meusnierovy věty plyne cos a = ■^L, takže trojúhelník p cn cg má při vrcholu cg pravý úhel. Geometricky to znamená, že středy křivostí všech rovinných řezů plochy S ve směru A leží na kružnici, pro niž je úsečka pcn průměrem. Při daném A má tedy normálový řez nejmenší křivost a křivost ostatních rovinných řezů se zvětšuje způsobem popsaným v Meusnierově větě. Jako příklad uvádíme sféru, kde tyto řezy jsou kružnice s poloměrem, který se zmenšuje uvedeným způsobem. 8.18. Závěrem se zmíníme o jedné třídě ploch, které jsou zajímavé jak z ryze geometrického, tak i aplikačního hlediska. Definice. Plocha S se nazývá minimální, jestliže její střední křivost H je nulová ve všech bodech. Netriviálním příkladem minimální plochy je helikoid, kterým se budeme zabývat v bodech 10.7 a 10.9. Přívlastek "minimálnf' má kořeny ve variačním počtu. Jedním z důležitých variačních problémů je úloha "natáhnout" na zadanou hraniční křivku v £3 plochu s minimálním plošným obsahem. Za dosti obecných předpokladů je řešením této úlohy plocha s nulovou střední křivostí. 62 9 Obálky soustav ploch V případě ploch můžeme uvažovat obálku jednoparametrické i dvouparametrické soustavy. Probereme nejprve dvouparametrický případ, který je jednodušší. 9.1. Uvažujme dvouparametrickou soustavu ploch určených rovnicí (1) F(x,y, z,u,v) = 0, (u,v) E D, kde F je funkce třídy C1 definovaná na otevřené množině U C R5. Plochu o rovnici F(x, y, z, uq,vq) = 0 značíme SUo,v0, (uq, vq) E D, takže o (1) hovoříme také jako o soustavě ploch (Su,v)- 9.2. Společné body ploch SUtV, SatV, SUtb, a ^ u, b ^ v jsou určeny soustavou rovnic F(x, y, z,u,v) = 0 , F(x, y, z, a, v) = 0 , F(x, y, z,u,b) = 0 . Taje ekvivalentní soustavě F(x,y,z,a,v) - F(x,y,z,u,v) F{x,y,z,u,v) = 0, -=0, a — u F(x, y, z, u, b) - F(x, y, z, u, v) = b — v Uvažujeme-li pevné (u, v), pak v limitě pro a —> u a b —> v dostáváme rovnice \ dF(x, y, z, u, v) dF(x, y, z, u, v) (2) F(x,y,z,u,v)=0, V ; =0, V ; =0. Definice. Body určené rovnicemi (2) nazýváme charakteristické body na ploše Množinu těchto bodů pro všechna (u,v) E D nazýváme charakteristická množina soustavy (SU:V). Stejně jako v 3.2 máme dvě základní početní možnosti vyjádření charakteristické množiny. Když v (2) vyloučíme parametry u a v, dostáváme popis charakteristické množiny rovnicí tvaru G(x, y, z) = 0. Jestliže z (2) spočteme x, y, z jako funkce u a v, dostáváme parametrické vyjádření charakteristické množiny. 9.3. Podobně jako v 3.3 řekneme, že dvě plochy se ve společném bodě dotýkají, jestliže v něm mají společnou tečnou rovinu. (Ve smyslu poznámky 7.19 jde o styk 1. řádu.) 63 Definice. Plochu E danou parametrizací f(u,v), (u,v) g D, nazýváme obálka soustavy (1), jestliže E se vbodě f(u, v) dotýká plochy SUtV pro všechna (u, v) g D. 9.4 Věta. Každá obálka soustavy (SUtV) je podmnožinou její charakteristické množiny. Obráceně, je-li f(u, v) plocha, která splňuje rovnice (2), pak je to obálka soustavy (SUtV). Důkaz. Podmínka, aby bod obálky f(u, v) ležel na ploše SUtV, zní (3) F(f1(u,v),f2(u,v),f3(u,v),u,v) =0. Tečná rovina k ploše SUtV v bodě f(u, v) je kolmá na vektor fdF dF dF\{ Tečná rovina k ploše f(u, v) je určena vektory d±f, dif ■ Podmínka splývání obou tečných rovin tedy zní d£dh + dFdh + dFdh =Q dx du dv du dz du ' (4) dFdfi + dFdh + dFdh=0 dx dv dy dv dz dv Derivováním rovnice (3) podle uav dostáváme dFdh + dFdh + dFdh + dF={) dx du dy du dz du du ' (5) ^dh + dFdf2 + dFdh + dF=0 dx dv dy dv dz dv dv Jestliže tečné roviny splývají, pak z (4) a (5) plyne ^ = 0, ^ = 0. Tedy obálka je podmnožinou charakteristické množiny. Obráceně, máme-li plochu E danou parametricky f(u,v), která splňuje rovnice (2), pak z (5) plyne (4). Tedy E je obálka. □ 9.5. Jako ilustraci početního postupu probereme nejjednodušší příklad dvoupa-rametrické soustavy sfér se středy v rovině z = 0 a konstantním poloměrem r. Máme tedy rovnice F(x, y, z, u, v) = (x — u)2 + (y — v)2 + z2 — r2 = 0 , dF dF - = -2(x-u) = 0, - = -2(y-v) = 0. 64 Dosazením z druhé a třetí rovnice do první dostáváme z2 = r2. Samozřejmě, obálka sestává z dvojice rovin z = ±r. 9.6. Uvažujme jednoparametrickou soustavu ploch určených rovnicí (6) F(x,y,z,t) = 0, t E I, kde F je funkce třídy C2 definovaná na otevřené množině U C R4. Plochu o rovnici F(x,y, z, to) = 0 značíme St0, ío E 7, a o (6) hovoříme také jako o soustavě ploch (St). Společné body ploch St a Ss, s ^ í jsou určeny soustavou rovnic F(x,y, z,ť) = 0, F(x,y, z,s) = 0, která je ekvivalentní soustavě \ F(x, z,y, s) — F(x,y, z,t) F(x,y,z,t) = 0, V ; =0. s — í V limitě pro s —> í dostáváme (7) ^,y,,,*) = 0, ^f^ = 0. Definice. Množinu určenou rovnicemi (7) nazýváme charakteristikou na ploše St- Sjednocení těchto množin pro všechna t E I nazýváme charakteristická množina soustavy (St). Rovnici charakteristické množiny získáme vyloučením í z rovnic (7). Je-li charakteristika na St křivka (jsou-li tedy splněny kvalitativní podmínky definice 1.14), mluvíme o charakteristické křivce na ploše St- 9.7. Situace u jednoparametrické soustavy ploch je taková, že po její obálce E se požaduje, aby se dotýkala každé plochy St0 podél křivky. Definice. Plochu E s parametrickým vyjádřením f(t,r), (í,r) E D C R2, nazýváme obálka soustavy (St), jestliže E se dotýká každé plochy St0 podél křivky /(í0,r). Na křivce /(ío, t), kterou značíme Ct0, je parametrem r. 9.8 Věta. Každá obálka soustavy (St) je podmnožinou její charakteristické množiny. 65 Důkaz. Nechť f(t, r) je parametrické vyjádření obálky E v souladu s definicí 7. Protože Ct leží na St, platí F{h(t,T),h(t,T),h(t,T),t)=Q. Derivací podle í dostáváme dFdh+dFdf2 + dFdh + dF={) dx dt dy dt dz dt dt Anulování součtu prvních tří členů znamená kolmost normály plochy St na vektor dt . Protože E a St mají podél křivky Ct stejné tečné roviny, tato podmínka je splněna. Platí tedy |f = 0. □ Z předchozího důkazu vidíme, že platí i toto obrácené tvrzení. Jestliže plocha E s parametrickým vyjádřením f(t, r) splňuje rovnice (7), pak i? je obálka soustavy ■j-rHM- 9.9. Probereme opět jen nejjednodušší příklad / \ / jednoparametrické soustavy sfér konstantního t~~f T poloměru r se středy na ose x. Máme tedy ^---- F(x,y,z,t) = (x - ť)2 + y2 + z2 - r2 = 0, |f = -2(x - t) = 0. Dosazení x = t do první rovnice dává y2 + z2 = r2. Samozřejmě, tato válcová plocha je obálkou uvažované soustavy. 9.10. Uvažujme průnik charakteristiky (7) s plochou Ss o rovnici F(x, y, z, s) = 0, s ^ t. Místo ní můžeme ekvivalentně připojit k (7) rovnici ev ^ ev +\ í ,^(>,2/,M) F(x,y,z,s) - F(x,y,z,t) - (s - t)- dt 0. Limitu levé strany pro s —> t spočteme tak, že dvakrát použijeme 1'Hospitalovo pravidlo. Tím dostáváme d2F(x,y,z,t) (8) -^1^ = 0. Definice. Množinu H o rovnicích d F d2 F (9) F = 0< äľ = 0' w = ° nazýváme hrana vratu soustavy (S-, t ■ 66 9.11 Poznámka. Příklad 9 je z hlediska konstrukce hrany vratu nezajímavý. Zde máme = 2, takže hrana vratu je prázdná množina. Parametrické vyjádření hrany vratu získáme výpočtem x, y, z jako funkce t z těchto rovnic. Název hrana vratu vysvětlíme v bodech 4 a 19 následující kapitoly o přímkových plochách, když budeme hovořit o ploše tečen prostorové křivky. 9.12. Dále předpokládáme, že charakteristiky Ct jsou křivky, které jsou průsečni-cemi dvou ploch F = 0a^ = 0ve smyslu 4.13. Definice. Křivku Y s parametrickým vyjádřením f(t), t E I, nazýváme obálka soustavy charakteristik (Ct), jestliže T se v bodě f (to) dotýká křivky Ct0 pro každé ío E I. 9.13 Věta. Každá obálka soustavy charakteristických křivek (Ct) je podmnožinou hrany vratu. Obráceně, jestliže křivka f(t) splňuje rovnice (9), tak je to obálka soustavy charakteristických křivek. Důkaz. Nechť/(í) je obálka. Protože f(t) E Ct, platí F(fi(ť),f2(ť),Mť),t)=0, ^(fl(t),f2(t),h(t),t)=0. Derivováním druhé rovnice dostáváme d2F dh d2F df2 d2F dh d2F (10) --— H---—H---—H--= 0. dxdt dt dydt dt dz dt dt dt2 Pro pevné í uvažujme plochu (11) dF(x,y,z,t) _ Q Její normálový vektor je dt d2F d2F d2F ( dxdt' dydt' dz dt Tento vektor je kolmý k ^ podle podmínky obálky, protože ^ leží v tečné rovině plochy (11). Součet prvních tří členů v (10) se tedy anuluje a zbývá = 0. Obrácené tvrzení získáme obráceným postupem v této úvaze. □ 67 9.14. Poznamenáváme ještě, že libovolná jednoparametrická soustava prostorových křivek nemusí mít obálku. Podobně jako dříve nalezneme, že obálka soustavy prostorových křivek F(x,y, z J) = 0, G(x,y,z,t)=Q musí splňovat také rovnice dF(x,y, z,ť) dG(x,y, z,t) dt ' dt To jsou 4 rovnice pro stanovení x, y, z jako funkcí t, což obecně je příliš mnoho. 68 10 Přímkové plochy 10.1. Jednoparametrickou soustavou přímek v E$ rozumíme zobrazení, které každému t E I přiřazuje přímku p(t), kde / je otevřený interval. Přímka p(t) se nazývá tvořící přímka soustavy. Tuto přímku určujeme pomocí jednoho bodu g(t) E p (t) a nenulového směrového vektoru h(t). Libovolný bod přímky p(t) pak má tvar (1) f(t,v)=g(t)+vh(t), vER. Podobně jako v úmluvě 1.15 nebo 4.7 budeme dále předpokládat, že g(t) a h(t) jsou funkce třídy Cr, kde řád r je dostatečně vysoký pro naše úvahy. Pak /: / xl^ E% je zobrazení třídy C'. Jde tedy v jistém smyslu o dvouparametrický pohyb. Podmínka z definice plochy vyžaduje vedle injektivnosti / ještě to, že vektory |j£ =: ft = g' + vh' a |£ =: fv = h jsou v každém bodě lineárně nezávislé. Budeme to nejprve ilustrovat na příkladech. 10.2. Nechť bod g(t) = a je pevný. Tuto jednoparametrickou soustavu přímek nazýváme obecný kužel (2) f(t,v) =a + vh(t). V tomto případě ft = v h', fv = h, ft x fv = v(h! x h). Pro v = 0 dostáváme vrchol kužele, který je zřejmě singulární. Pro i;^0 musí platit h' x h ^ o pro všechna t E I. Je-li to splněno, pak při injektivnosti / jde o plochu. Platí-li h! x h = o všude, máme Bh (3) — = k(t)h(t), kde k(t) je reálná funkce. Pokud místo h(t) uvažujeme reálnou funkci z(t), pak separací proměnných nalezneme, že naše diferenciální rovnice má obecné řešení z = l(t)c, kde Z(í) = efk(t)dt. Tuto situaci máme na každé složce vektorové funkce h(t), takže h(t) = l(t)b, kde b je konstantní vektor. V tomto případě tedy jde o dvouparametrický pohyb po přímce, ne o plochu. 10.3. Nechť h(t) = a je pevný nenulový vektor. Pak dostáváme jednoparametrickou soustavu přímek, která se nazývá obecný válec (4) f(t,v)=g(ť)+va, t E I, v E M.. Zde f t = g', f v = a. Pokud je g'(t) x a ^ o pro všechna t a / je injektivní, jde o plochu. Je-li tečný vektor g'(t) v nějakém bodě kolineární s vektorem a, jde o singulární případ. 69 10.4. Uvažujme křivku C = g (ť) zadanou parametricky a v každém bodě g (ť) sestrojme její tečnu. Tato jednoparametrická soustava přímek se nazývá plocha tečen křivky C. Její parametrické vyjádření má tvar (5) f(t,v) = g(t)+vg'(t). Máme ft = g'(t) + vg"(t), fv = g'(t), takže (6) ftxfv = -v(g'(t)xg"(t))). Dále budeme předpokládat, že C nemá inflexní body. Pak vektor (6) je nulový, právě když v = 0, což je bod výchozí křivky. V bodě cjf(ío) vezměme normálovou rovinu v(íq) krivky c a zkoumejme její průnik s plochou tečen. Rovnici v(to) zapíšeme ve tvaru skalárního součinu (7) (g'(t0),w - g(t0)) = 0, w = (x,y, z) e E3 . Tečna v bodě g (ť) má parametrické vyjádření g(t)+vg'(t). Označme v (t) parametr jejího průsečíku s v(to). Pro něj platí (8) {g'(t0),g(t) + v(t) g1 (t) - g(t0)) = 0 . Uvažovaný průnik je pohyb v normálové rovině v (to) s parametrickým vyjádřením (9) h(t) = g(t)+v(t)g'(t), v(t0) = 0. Ukážeme, že platí h'(to) = o. Máme h'(t0) = g'(t0) + v'(t0) g'(t0) + v(t0) g"(t0). Protože v (to) = 0, stačí dokázat v'(to) = — 1. Derivováním (8) dostáváme (g'(to),g'(t)+v'(t)g'(t)+v(t)g"(t))=0. Dosazení t = to dává (g (to),g (to)) + v (t0)(g'(t0),g'(t0)) =0. Protože (g1 (to), g1 (to)) + 0, musí být v'(t0) = -1. Pro pohyb h(t) podmínka h'(to) = o znamená, že h(to) je singulární bod. Obecně je to bod vratu, viz 1.9. Je užitečné si to představit na ploše tečen šroubovice, jejíž průmět ve směru osy šroubovice je na obrázku. Takto jsme geometricky objasnili, že plocha tečen není v okolí vytvářející křivky plochou ve smyslu definice 4.6. 70 10.5. Chceme-li, abychom i v případě jednoparametrické soustavy přímek uvažovali plochu ve smyslu definice 4.6, můžeme použít tento přístup. Definice. Plochu S C E3 nazýváme přímková plocha, jestliže je částí jednoparametrické soustavy přímek. Také v tomto případě hovoříme o tvořící přímce plochy S, i když to může být jen část přímky. 10.6. Probereme ještě dva příklady. Nejprve uvažujme 3 mi-moběžky q\, q2, qs- Každým bodem p E qs vedeme příčku mimoběžek qi,q2, která je průsečnicí rovin určených bodem p a přímkou qi resp. q2. V projektivní geometrii se ukazuje, že takto vzniká regulární přímková kvadrika. Vezmeme-li 3 přímky námi vytvořené soustavy a opakujeme konstrukci, dostáváme druhou jednoparametrickou soustavu přímek na téže regulární přímkové kvadrice. 10.7. Na přímkové ploše, která není regulární přímkovou kvadrikou ani částí roviny, mohou tedy vedle tvořících přímek ležet nejvýše dvě další přímky. S tím souvisí následující obecná konstrukce. Vezmeme dvě mimoběžky q\, q2 a křivku C. Každým bodem křivky C vedeme příčku obou mimoběžek. Tím dostáváme jednoparametrickou soustavu přímek. Významný pro technickou praxi je případ, kdy jedna z mimoběžek je nevlastní přímka nějaké roviny g. Máme tedy dánu rovinu g, přímku q a křivku C. Každým bodem křivky C pak vedeme přímku, která protíná q a je rovnoběžná s g. Takto vzniklá jednopa-rametrická soustava přímek se nazývá konoid. Je-li přímka q kolmá na rovinu g, hovoří se o přímém konoidu. Příklad. Je-li C šroubovice, q je její osa a jako g zvolíme rovinu kolmou na q, pak příslušný přímý konoid se také nazývá přímý šroubový konoid neboli helikoid. O této ploše jsme se zmiňovali v 8.18. Vezmeme q za osu z a o C budeme předpokládat, že leží na rotačním válci s jednotkovým poloměrem. Parametrické vyjádření C tedy je (cos í, siní, bť), b ^ 0, í 6 R. Pro naši šroubovou plochu pak dostáváme (10) f(t,v) = (v cosi, v siní, bt), b^0,veR. Snadno se nahlédne, že kinematicky tato plocha vzniká šroubováním tvořící přímky, která kolmo protíná osu q, ve směru této osy. 71 10.8 Definice. Přímková plocha se nazývá rozvinutelná, jestliže ve všech bodech libovolné tvořící přímky je tečná rovina plochy stejná. Říkáme též, že tečná rovina je pevná podél tvořících přímek. Geometricky je jasné (a početně se to snadno ověří), že tuto vlastnost mají obecné kužely a obecné válce. Ukážeme, že také pro plochu tečen křivky C je tečná rovina plochy ve všech bodech tvořící přímky stejná. Podle bodu 4, tečná rovina plochy g(t) + vg'(ť) v bodě g (to) + vog'(to), vq ^ 0, je určena tímto bodem a vektory g'(to) a g"(to). Pro pevné íq a každé vq ^ 0 tato rovina splývá s oskulační rovinou křivky C v bodě g (to), takže je pevná podél celé přímky 9 (to) +vg(t0). Na druhé straně, tečná rovina podél tvořící přímky regulární kvadriky není pevná. Tečná rovina je totiž určena danou tvořící přímkou a přímkou druhé soustavy, která uvažovaným bodem prochází. Druhá soustava je však tvořena příčkami mimoběžek, které nemohou ležet v jedné rovině. Také u šroubové plochy z bodu 7 se tečná rovina podél tvořící přímky mění. Z (10) totiž dostáváme (11) ft = (—vsint, v cosi, 6), /^ = (cosi, siní, 0), takže jednotkový vektor normály plochy je ft*fv 1 (—b siní, b cosi, -v Wft x fv\\ Vv^Tič a ten se při pevném í = íq mění v závislosti na v. 10.9. Pro další úvahy si vyjádříme koeficienty druhé základní formy pomocí vnějšího součinu. Víme, že vnější součin [a, b, c] tří vektorů orientovaného euklidovského trojrozměrného prostoru je roven skalárnímu součinu vektorového součinu prvních dvou z nich s třetím vektorem, tj. [a, b, c] = (a X b, c). Použijeme-li tuto formuli na vzorce 7.(1) a 7.(5), dostáváme ^ii = n ŕ 1 f n I/i' h Ju] > ll/l x /2II 1 ll/l x /2II 1 '1, J2,J12\ tl22 = m j v j m [fl, h J22] ll/l X /2|| 72 Příklad. Ukážeme, že helikoid z bodu 8 je minimální plocha ve smyslu 8.18, tj. platí H = 0. Derivováním (11) dostáváme ftt = (—v cosi, —v siní, 0), ftv = (— siní,cosi, 0), fvv = o. Tedy h\\ = 0, /i22 = 0. Protože také gi2 = 0, vzorec 8.(15) dává H = 0. 10.10. Protože každá přímka na ploše je asymptotická křivka, na přímkové ploše máme jen body hyperbolické, v nichž pro Gaussovu křivost platí K < 0, nebo body parabolické či planární, v nichž platí K = 0. Věta. Rozvinutelná přímková plocha S má nulovou Gaussovu křivost. Důkaz. Při parametrickém vyjádření f(t,v) = g(t) + v h(t) plochy S máme fi = g'(t) + v h'(t), f2 = h(t). Pro pevné í v zaměření tečné roviny leží vektor h(t) a tečná rovina je stejná pro všechna v, právě když pro každé v\ ^ v2 jsou vektory h(t), g'(t) + vih'(t), g'(t) + v2h'(t) komplanární. Lineární kombinace dvou posledních vektorů dávají g'(t) a h'(t), takže podmínka pro pevnou tečnou rovinu zní (13) [g'(ť),h(ť),tí(ť)]=0. Dalším výpočtem dostáváme /n = g"(t) + vh"(t), j\2 = h'(t), f22 = o. Podle (12) nalezneme nejprve h22 = 0, dále hl2 = ii^x^ii W(t)+vh'(t),h(t),h'(t)} , takže hi2 = 0 podle (13). Ze vzorce 8.(15) pak plyne K = 0 nezávisle na hn. □ 10.11. V obráceném směru platí toto tvrzení. Věta. Jestliže každý bod plochy S je parabolický, pak S lokálně je rozvinutelná přímková plocha. Důkaz. Na parabolické ploše zvolme lokální parametry tak, aby vrstva asymptotických křivek byla u\ = konst.. Tedy 0 = h\2 = (n, f 12) a 0 = h22 = (n, f22). Víme, že platí (n, fi) = 0, (n, f2) = 0, (n,n) = 1. Derivováním podle 112 dostáváme, podobně jako v 7.(8), (n2,fi) = 0, (n2,/2)=0, (n2,n) = 0. Odtud plyne n2 = o, takže normálový vektor podle křivky u\ = konst. je pevný. Podle 7.(8) z h\2 = 0 plyne (ni,/2) = 0. Derivováním tohoto vztahu podle íí2 a užitím ni2 = 0 dostáváme (ni, f22) = 0. Vektory /2 a /22 jsou tedy kolmé na vektory n a n\, které jsou lineárně nezávislé. Opravdu, vektor n\ je kolmý na n 73 a je nenulový. První z rovnic 7.(8) totiž říká (ni, /i) + (n, /n) = 0. V případě n\= o tedy platí /in = 0. Spolu s h\2 = 0 a /122 = 0 to znamená, že by se jednalo o planární bod, ale tyto body neuvažujeme. Protože vektory f2 a /22 jsou kolmé na dva lineárně nezávislé vektory, jsou kolineární. Každý bod křivky u\ = konst. je tedy inílexní, takže jde o část přímky. Tečná rovina podél této tvořící přímky je pevná, tedy S lokálně je rozvinutelná přímková plocha. □ 10.12 Definice. Tvořící přímka g (to) + vh(to) přímkové plochy (1) se nazývá cylindrická, jestliže vektor h'(to) je kolineární s h(to). Věta. Přímková plocha, jejíž každá tvořící přímka je cylindrická, je obecný válec. Důkaz.. V bodě 2 jsme ukázali, že ze vztahu ^ = k (ť) h (i) plyne h(t) = l(ť)b, kde b je konstantní vektor. Můžeme tedy psát f(t,v) = g(t)+vl(t)b, což je obecný válec s jinou parametrizací tvořících přímek. □ 10.13. Podáme přímou geometrickou charakterizaci cylindrické přímky. Při parametrickém vyjádření p(t) = g(t) + v h(t) můžeme předpokládat, že vektor h(t) je jednotkový. Pak h(t) je pohyb po jednotkové sféře, který nazýváme sférickým obrazem přímkové plochy. Derivování vztahu (h, h) = 1 dává (h, h') = 0, tedy vektor h'(t) je kolmý na h(t) pro každé t. Požadujeme-li ještě, že h'(to) je kolineární s h(to), musí být h'(to) = o. Odtud plyne Věta. Tvořící přímka p (to) přímkové plochy S je cylindrická, právě když ío je singulární bod sférického obrazu plochy S. 10.14. Význam slova "obecně" v následujícím tvrzení bude definován během důkazu. Věta. Rozvinutelná přímková plocha bez cylindrických přímek je obecně buď plocha tečen nebo obecný kužel. Důkaz. Pevnost tečné roviny znamená [ Ď je určeno dvojicí číselných funkcí p\, p2- D —> R, které nazýváme složky zobrazení 1. nazýváme Jacobián zobra- 11.2 Definice. Determinant j(p) zení p. dipi dipi dui ' du2 dip2 dip2 duj ' du2 11.3. Budeme studovat zobrazení g: S —> Š mezi dvěma jednoduchými plochami třídy C'. Předpokládejme, že S a Š jsou zadány parametricky f(u\,U2), (111,112) G D a f(v\,V2), (v\,V2) G Ď. Zobrazení g určuje jediné zobrazení ip: D —> D takové, že g o f = f o ip. Tedy ip vyjadřuje g v oblasti parametrů. Obráceně, máme-li zadáno ip, je tím určeno g. Definice. Řekneme, že g: S —> S je zobrazení třídy Cr, jestliže jím určené zobrazení ip: D —> D je třídy C'. 11.4. V předchozí definici se využívá parametrizací ploch S a Š. Ukážeme, že třída diferencovatelnosti zobrazení g nezávisí na volbě parametrizací jaj. Nejprve probereme změnu parametrizace j(111,112) plochy S, (111,112) G D. Uvažujme bijektivní zobrazení p: Ď —> D třídy Cr, p = (pi(vi,V2), P2(vi,v2)), (vi,v2) £ Ď. Pak / = / o p je opět zobrazení třídy C'. U parametrizace plochy máme ještě podmínku j\ x j2 7^ o. Označíme-li j\ = d\(j o p), 77 &2(f o p), dostáváme podle pravidla pro derivování složené funkce (D Tedy dpi d(f2 j , dpi dp- 2 ll-Z--f J2~Z-, J2 = J1 dví dví dv2 dv2 - - /dpidp2 dp2dpi\ /i x /2 = —---T^TT- )h x Í2 = J{v) h x Í2 ■ V OVi OV2 OVi OV2 / Definice. Bijektivní zobrazení p: D —> D třídy Cr nazýváme reparametrizace, jestliže J(p) 0 pro všechna «2) S Ď. 11.5. Nyní je jasné, že definice 3 nezávisí na volbě parametrizací. Na S proveďme reparametrizaci p: D\ —> D a na S reparametrizaci p: Ď\ —> Ď. Pak p-1: Ď —> Dl je také zobrazení třídy Cr (to přímo plyne ze zobecněné věty o implicitní funkci, viz skriptum [5]). V definici 3 pak místo zobrazení i/j máme p-1 o ip o p, což je rovněž zobrazení třídy Cr. 11.6. Pro pohyb na ploše budeme dále systematicky užívat název dráha, který je v této oblasti diferenciální geometrie obvyklý. Zkoumejme nejprve zobrazení^: D —> Ď,v\ = ^1(^1,^2)^2 = ^2(^17^2)-Samo D jako část roviny je plocha, takže pro každý bod u G D máme tečný prostor TUD, který splývá s R2. Jeho prvky jsou tečné vektory v nule ke dráhám h(t), h: I —> D, h(0) = u, kde předpokládáme 0 é /. Souřadnice tečného vektoru jsou , dh^t°^■ Uvažujme dráhu ip o h: I —> Ď. Souřadnice jejího tečného vektoru pro t = 0, které získáme derivováním složených funkcí ipi (/ii(í), /i2(í)) aip2{hi(t),h2(t)),jsou d^dh^O) dip1dh2(0) d^dh^O) dip2dh2(0) (2) dui dt du2 dt ' dui dt du2 dt Odtud plyne, že tečný vektor je urcen pouze vektorem dh^. S přihléd- nutím k lineárnosti výrazů (2) dostáváme Větu. Pravidlo dh^ 1—> d^°^^ určuje lineární zobrazení Tu : TUD —> T^^Ď pro každé u G D. Definice. Toto zobrazení nazýváme tečné zobrazení k zobrazení ip v bodě u. Označíme-li (dui,du2) souřadnice v TUD a (dv\,dv2) souřadnice v T^^Ď, pak (2) lze psát ve tvaru , dip! dip! dip2 , , dip2 , (3) dví = —— dui + t;— <™2 , dv2 = —— dui + —— dui ■ aui OU2 oui OU2 Jde tedy o diferenciály funkcí ipi atp2- 78 11.7. Uvažujme původní zobrazení g: S —> S a označme p = f(u) G 5. Uvažujme tečný prostor TpS a v něm vektor A, který je tečný ke dráze 7 (i) na S, A = d"'^. Pak g o 7 je dráha na 5 a tečný vektor d^90J^0^ k této dráze závisí jen na A. Opravdu, v parametrizacích jde právě o výraz (2). Tím jsme dokázali Větu. Pravidlo ^22 d(goJ(0) určuje lineární zobrazení Tp£: TpS -> T9(p)Š. Definice. Zobrazení Tpg nazýváme tečné zobrazení k zobrazení g v bodě p. 11.8 Definice. Řekneme, že zobrazení g: S —> 5 je isometrické, jestliže každé tečné zobrazení T^g: TpS —> TpŠ, p G 5, zachovává skalární součin. To znamená (a, B) = (Tpg(A),Tpg(B)) pro každé A,Bé Tp5. Je-li g bijektivní, pak hovoříme o isometrii ploch S a Š. ■OO 11.9. Bijektivní zobrazení g: S ^ S můžeme realizovat tak, že vezmeme společnou oblast parametrů D a odpovídající si body jsou/(iti, ii2) G S a f (111,112) G Š. V tomto případě říkáme, že zobrazení g je dáno rovností parametrů. V J d Věta. Bijekce g: S —> Š daná rovností parametru je isometrie, právě když první základní formy $1 a $1 ploch S a Š jsou stejné. Důkaz. Báze v T^S je dána vektory /1, /2, báze v Tg^Š je dána vektory /1, /2 a Tpg má tvar du\ = du\, du2 = du2- Podle 6.1 skalární součiny tečných vektorů k £ i Š jsou dány první základní formou. □ Podmínka $1 = $1 explicitně znamená gn = gn, g 12 = gvi, £722 = Í722? kde pruhované veličiny jsou spočteny na ploše Š v týchž parametrech (u\, 112). 11.10. Následující tvrzení zdůvodňuje název isometrie. Věta. Bijekce g: S —> S je isometrie, právě když zachovává délky křivek. Důkaz. Bijekci g můžeme zadat rovností parametrů. Protože délka křivky (u\ (t), u2(t)),t G [a, b] je (4) s=l ^n(^) +2fll2^+fl22(^) dt, 79 z věty 9 plyne, že při isometrii jsou délky odpovídajících si křivek stejné. Obráceně, jsou-li délky křivek s týmž parametrickým vyjádřením stejné, pak i délky jejich tečných vektorů jsou stejné podle (4). Tedy lineární zobrazení Tpg pro každé p G S zachovává velikosti vektorů. Z lineární algebry víme, že takové zobrazení zachovává i skalární součin. □ 11.11. Geometricky je evidentní, že rotační válcová plocha f(u) = (r cos tíi, r sin tíi, ií2), u\ G (0,2-7r), u2 G R je isometrická rovinnému pruhu (0, 2ir) x R. Fyzikálně tato isometrie vzniká rozvinutím válcové plochy do roviny. Ověříme to i početně užitím věty 9. Pro válcovou plochu máme j\ = (—r sin tíi, r cos tíi, 0), f2 = (0, 0,1), takže gu = r2, g\2 = 0, g22 = 1. Rovinu z = 0 lze parametricky vyjádřit ve tvaru f(u) = (rui,u2, 0). Tedy j\ = (r, 0,0), f 2 = (0,1, 0) a gu = r2, g\2 = 0, g22 = 1 stejně jako u válcové plochy. 11.12 Definice. Vnitřní geometrií plochy S rozumíme ty její vlastnosti, které se zachovávají při isometriích. Podle věty 9 patří tedy do vnitřní geometrie plochy ty její vlastnosti, které lze odvodit z první základní formy. O těch vlastnostech plochy S, které podstatně závisejí na druhé základní formě, se také říká, že patří do vnější geometrie plochy. 11.13. Pojem vnitřní geometrie plochy vznikl nad Gaussovými pracemi. On odvodil její nejvýznamnější tvrzení. Je to hluboký výsledek, který dokážeme v následující kapitole ve 12.14. Gauss sám si ho latinsky nazval Theorema egregium (v překladu: znamenitá věta). Nechť Ks značí totální křivost plochy S a Ks totální křivost plochy Š. Teoréma egregium (Gauss). Je-li g: S —> Š isometrie, pak K sip) = Ks[gip)) pro všechna p G S. Je třeba zdůraznit, že obě hlavní křivosti nepatří do vnitřní geometrie plochy (při jejich výpočtu se podstatně užívá druhá základní forma), jejich součin však ano. 11.14 Příklad. Otevřená množina v rovině nemůže být isometrická otevřené množině na sféře. Opravdu, totální křivost roviny je nulová a totální křivost sféry o poloměru r je ^. 11.15. Připomínáme, že okolím na ploše S bodu p G S rozumíme průnik okolí bodu p v £3 s plochou S. Definice. Plocha S se nazývá rozvinutelná, jestliže každý bod p G S má okolí, které je isometrická otevřené množině v rovině. 80 Tato isometrie se chápe jako rozvinutí příslušné části plochy do roviny, viz příklad 11, což zdůvodňuje použitý název. Na druhé straně, v 10.8 jsem zavedli pojem rozvinutelná přímková plocha. Shoda názvů je založena na tom, že oba pojmy téměř splývají, jak nyní ukážeme. Při potřebě rozlišení budeme v případě právě zavedené definice hovořit o rozvinutelnosti v metrickém smyslu. 11.16. Uvažujme obecný válec. Osu z zvolme rovnoběžně s tvořícími přímkami válce, za křivku g vezměme řez válce rovinou z = 0 a parametrizujme ji obloukem. Parametrické vyjádření našeho válce je f(s,v) = (gi(s),g2(s),v) . Tedy /i_= (g'x,g'2, 0), f2 = (0,0,1), gn = 1, g12 = 0, g22 = 1. Při parametrizaci roviny f(s,v) = (s,v,0) dostáváme stejně gn = 1, gi2 = 0, g22 = 1. Rovnost parametrů tedy dává lokální isometrii obou ploch. 11.17. Uvažujme obecný kužel s vrcholem v počátku, takže f(t,v) = g(t)v. Přitom můžeme ještě předpokládat, že křivka g je parametrizována obloukem s a \\g(s)\\ = 1 pro všechna s. Tedy /i = g'{s)v, f2 = g(s), takže gn = v2, 922 = 1 a gi2 = 0, neboť vektory g(s) a g'(s) jsou kolmé. Jestliže v rovině zvolíme za g jednotkovou kružnici k(s), můžeme rovinu lokálně parametrizovat ve tvaru f(s,v) = k(s)v. Tedy gn = v2, gi2 = 0, g22 = 1, což dokazuje lokální isometrii obecného kužele a roviny. 11.18. Uvažujme plochu tečen g(t) + vg'(t) křivky C. Jako parametr na C vezmeme oblouk. Z hlediska Frenetových rovnic můžeme psát parametrické vyjádření naší plochy ve tvaru f(s,v) = g(s) +vei(s). Tedy /i = ei(s) + vn(s) e2(s), f2 = ei(s), takže gu = 1 + v2 x2(s), gi2 = 1, g22 = 1. V rovině uvažujme křivku g(s), která lokálně má stejnou křivost jako prostorová křivka C, a zaveďme lokální parametrizaci roviny f(s,v) = g(s) + v g'(s). To lze také psát ve tvaru f(s,v) = g(s) +vě1(s) . Máme ]\ = ě\(s) + v k(s) ě2(s), f2 = ěi(s). I zde platí gn = 1 + v2x2(s), 912 = 1, 922 = 1- Sestrojili jsme tedy lokální isometrii plochy tečen s rovinou. 11.19. V 10.11 jsme dokázali, že plocha s nulovou Gaussovou křivostí, na níž nejsou planární body, je lokálně rozvinutelná plocha přímková. Z 10.15 víme, že 81 rozvinutelná plocha přímková obecně je plocha tečen nebo obecný válec nebo obecný kužel. O těchto plochách jsme nyní dokázali, že jsou rozvinutelné v metrickém smyslu. Při jiném přístupu, kterým se zde již nebudeme zabývat, se dá dokázat následující tvrzení (viz též větu 14.6). Věta. Plocha S je lokálně isometrická rovině, právě když má nulovou Gaussovu křivost. 82 12 Paralelní přenášení vektoru po ploše 12.1. Uvažujme plochu S C £3 a dráhu 7: / —> 5 na ní. Zaměření prostoru £3 značíme V". Definice. Zobrazení A: I ^ V nazýváme tečné vektorové pole plochy 5 podél dráhy 7, jestliže A(t) E T7^S pro všechna t E I. Nulové tečné vektory podél 7 tvoří pole, které značíme 07. Je-li A tečné vektorové pole podél 7 a g: / —> R je funkce, pak g(t)A(t) je opět tečné vektorové pole podél 7. Jsou-li A\&A2 dvě tečná vektorová pole podél 7, pak i A\(t) + A2 (t) je tečné vektorové pole podél 7. 12.2. Připomínáme, že NpS značí normálu plochy S v bodě p. Následující definice má pro diferenciální geometrii ploch zásadní význam. Definice. Řekneme, že tečné vektorové pole A podél dráhy 7 je tvořeno vektory paralelními na S, jestliže ^ E S pro všechna t E I. 12.3. Vektor ^ se v každém bodě dráhy 7 (í) rozkládá do směru tečné roviny T j (q S a normály N7^S. Tečné složky představují opět tečné vektorové pole plochy S podél 7. Definice. Tečné vektorové pole ^ plochy S podél dráhy 7, které je tvořeno tečnými složkami vektorů nazýváme kovariantní derivací tečného vektorového pole A plochy S podél dráhy 7. Pole A je tedy tvořeno vektory paralelními na S, právě když je nulové pole podél 7. 12.4. Nalezneme souřadné vyjádření pro Protože vektory /1, f2, n jsou v každém bodě plochy lineárně nezávislé, platí pro druhé parciální derivace rozklady /ll = rn('líl)'lí2)/l + Tl1(u1,u2) f2 + hii(ui,u2)n, (1) Í12 = T{2(ui,u2) fi + Y\2(ui,u2) f2 + hi2(ui,u2)n, Í22 = T22(ui,u2) fi + Tl2(u1,u2) f2 + h22(ui,u2)n. Skalární násobení každé z rovnic jednotkovým vektorem n kolmým na j\ a f2 ukazuje, že koeficienty při n jsou opravdu koeficienty druhé základní formy, jak označení napovídá. Definice. Funkce Yl-k, k = 1, 2, Tl21 = T\2, nazýváme Christoffelovy symboly plochy S příslušné parametrizaci f(ui,u2). 83 12.5. Nechť dráha 7(í) je dána parametricky (iíi(í),ií2(í)) a nechť A(t) (U1(t),U2(t)). Jedy (2) A(t) = ř7i (í)/i («i(í),m2(í)) +^2(í)/2(«i(í),«2(í)) Odtud přímo spočteme a upravíme užitím (1) d A _dUx dt ~ dt (7i 1 lí- cili 1 dt 112- du2 dt dU2 dt U2 '12- ~dT + rilt/l^T + ri2 l^-ďr + ^ dt/2 , r2 ír d^l dui dt r22^' 22 dí /22 ďli2\ /2 + (...)n. kde výraz u n nás nezajímá. Označíme-li ^jr1, ^r2- souřadnice tečného vektoro vého pole ^ podél 7, máme (3) V(7i d(7i dí ~~ dí V(72 _ d(72 dí ~~ dí dli,- «j=1 2 íj=i dí 12.6. Pro první seznámení se s vzorci (3) odvodíme Větu. Pro tečná vektorová pole A, B plochy S podél dráhy 7 a funkci g: I platí (4) V(A + £Q _ V A | VB V{gA) _ dg ^ | VA dí dí dí ' dí dí dí Důkaz. To přímo plyne z (3). □ 12.7. Následující tvrzení ukazuje, že paralelní přenášení podél zadané dráhy má podobné vlastnosti jako paralelní přenášení vektorů v rovině. Věta. Pro každou dráhu 7: / —> S, každé ío G I a každý vektor Aq G T7(ío)5 existuje právě jedno tečné vektorové pole podél 7 splňující A(to) = Aq, které je tvořeno vektory paralelními na S. Důkaz. Při dané dráze 7 podmínka anulování rovnic (3) tvoří soustavu dvou obyčejných diferenciálních rovnic. Hodnota Aq představuje počáteční podmínku pro tuto soustavu. Ta řešení jednoznačně určuje. □ 84 12.8 Definice. Říkáme, že tečné vektorové pole A z věty 7 představuje paralelní přenášení vektoru A podél dráhy 7 na ploše S. Předpokládejme, že dráha 7(í) je parametrizací jednoduché křivky C na S. Při reparametrizaci i = (p(r) křivky C dostáváme jinou dráhu 7 o p. Když tuto změnu parametrizace dosadíme do (3), derivace podle i se násobí Protože výrazy (3) jsou lineární v ^ a i = 1,2, diferenciální rovnice = 0, i = 1,2, pro paralelní přenášení jsou rovnocenné s v(^_0^) = 0. Geometricky to znamená, že při různých parametrizacích téže křivky C na £ dostáváme totéž paralelní přenášení vektorů. Hovoříme tedy nejen o paralelním přenášení vektorů podél dráhy na S, ale také o paralelním přenášení vektorů podél křivky na S. 12.9 Věta. Jestliže tečné vektorové pole A resp. B podél dráhy 7 představuje paralelní přenášení vektoru Aq G T^^Sresp. Bq G Ty^s, pak pole k\A + k2B představuje paralelní přenášení vektoru kiAo + k2Bo, k\, k2 G R. Důkaz. Věta 6 pro konstantní g = k dává V^-> = k^r. Tedy v(fci^+fc2g) _ ki^j^ + k2^r-. Z anulování pravé strany plyne anulování strany levé. □ Geometricky řečeno, paralelní přenášení zachovává lineární kombinace vektorů. 12.10 Příklad. Uvažujeme-li rovinu g jako plochu v E$, pak pro každé tečné vektorové pole A(t) = (Ui(ť), U2(ť)} podél libovolné dráhy 7(í) v g je normálová složka vektoru ^ nulová, takže A{t) se paralelně přenáší podle 7, právě když 7^ = 0, tedy Ui(t) a U2(t) jsou konstanty. To je klasické paralelní přenášení v rovině. Toto přenášení nezávisí na dráze. Ukážeme však, že již na sféře S paralelní přenášení vektorů na dráze závisí. Uvažujme osminu sféry podle obrázku. Hlavní kružnice v rovině z = 0 má parametrické vyjádření /(i) = (r cosi, r siní). Její ^"\c tečný vektor je v(t) = % = (—t siní, r cosi). Tedy ^ = (—r cosi, —r siní). Vektor normály sféry v bodě /(í) je Jnq£~ ^Hrf (cos í, sin í), takže ^| G ^j{t) S- Tečné vektory k hlavní kruž- 0,čtvercová (2x2)-matice (gij) je regulární. Označme (čjki) matici k ní inverzní. Věta. Platí n, rk (d9]i dgii dgij\ (7) r^-2^Mä^ + ä^-ä^J- 86 Důkaz. Derivováním vztahu (/j, fj) = gij podle ui dostáváme (8) ^ i/.,./,) ■ i/../,,). 2 Podle (1) máme fy = ^2 ^ijfm + hijn. Dosazením dostáváme m=l 2 Uihfj) = r™#m.? • m=l Tedy (8) můžeme přepsat jako (9) ^f = é(r^ + r^mi)- m=l Další dvě rovnice získáme záměnou indexů do) ^ = é QToha + r^™), m=l m=l Sečtením (10) + (11) — (9) s přihlédnutím k symetrii a Y^- v dolních indexech dostáváme (12) dga + d9il_d9ll = 2y- r„, _ duj dui dui ' lJ m J m=l Vydělíme číslem 2 a pro pevné i, j uvažujeme (r™) jako dvourozměrný řádkový vektor. Pak maticový tvar pravé strany (12) je (r™)(gm/). Neznámé T™ spočteme násobením inverzní maticí (gu). To dává (7). □ 12.13. Samozřejmě, (7) může sloužit i jako vzorec pro výpočet Christoffelových symbolů. Jednoduchým příkladem je obecný válec z 11.16. Tam jsme nalezli gn = 1, g\2 = 0, ť/22 = I- Všechny parciální derivace ve vzorci (7) jsou tedy nulové, protože jde o derivace konstant. Všechny Christoffelovy symboly obecného válce jsou tedy nulové. 87 12.14. Nyní dokážeme Gaussovu teorému egregium. Vyjdeme z rovnic (1), které budeme psát ve tvaru 2 (13) >J'!,// •/',,"• 1=1 Označíme fijk = ^^J^, 1^ = n„ = ^ = f^. Rovnice 7.(8) zapíšeme ve tvaru (14) (ni,fj) = ~hij. Derivováním (13) podle dostáváme 2 2 (15) /ljfc = Y. 1-';.;//» + S I'!'řA/ + /'„./» + /'„»/• • 771 = 1 11 = 1 Podle (13) pro druhý člen na pravé straně platí 2 2 (16) Y, = E r5(Cfe/m + KkTi) . 77=1 777,77=1 Skalárním násobením (15) vektorem // dostáváme, s užitím (14), 2 2 (17) (fijk, fl) = Y ^ij,k9ml + X] rijrnk9ml ~ hiJhM ■ 777=1 777,77=1 Protože ze symetrie třetích parciálních derivací plyne /^^ = f^k, musí (17) platit i při výměně jak. Odečtením obou vztahů získáváme 2 2 (18) hijhkl — hikhji = Y^ 9ml ^rj,k ~ ^ik,j + y^C-^r^nfc — ^ífc-^rij'; 777 = 1 77 = 1 Pro í = 1, j = 1, /c = 2, / = 2 dostáváme Větu (Gaussova rovnice). Platí 2 2 (19) /in/122 - /i?2 = E flm2 r™>2 ~ + X^r™ir™2 ~ ri2r77i) 777 = 1 77 = 1 □ 88 Podle věty 12 pravá strana závisí jen na koeficientech první základní formy a jejích parciálních derivacích prvního a druhého řádu. V 8.9 jsme nalezli K = (/in/i22 — h\2)/{911922 — 9i2)- Tedy Gaussova křivost K patří do vnitřní geometrie plochy, jak tvrdí teoréma egregium. Poznamenáváme, že při dosazení jiných indexů i, j, k, l do (18) dostáváme buď stejnou rovnici (19) nebo identitu. 12.15. Informace. Jestliže podobně rozložíme vektory n^, i = 1,2 do repéru /i, f2, n a vyčíslíme vztah f^j- = ( = d^gUj), dostáváme tzv. Codazziho rovnice (podstatné jsou dvě) 2 (20) h^k - hlkJ + Y^^iM - Akhj) = o • i=i Užitím základní techniky pro soustavy parciálních diferenciálních rovnic (kterou je věta 7.8 ve skriptu [5]) se dokáží tato dvě tvrzení o existenci ajednoznačnosti, která se někdy nazývají Základní věta teorie ploch. I. Jsou-li S resp. Š dvě jednoduché plochy s parametrizací /: D —> £3 resp. /: D —> £3 na stejné oblasti D, které mají stejnou první a druhou základní formu, pak existuje shodnost (p: £3 —> £3 taková, že p o f = f. Stručně řečeno: Plochy, které mají stejnou první a druhou základní formu, jsou shodné. II. Uvažujme dvě kvadratické formy $ia$2na£'CM2, přičemž $1 je pozitivně defmitní ve všech bodech. Jestliže $1 a $2 splňují Gaussovu a Codazziho rovnice, pak lokálně existuje plocha s parametrizací /: D —> £3 taková, že $1 a $2 jsou její první a druhá základní forma. 89 13 Geodetické křivky 13.1. Na ploše S můžeme podél každé dráhy 7: / —> S uvažovat pole jejích tečných vektorů, které označíme 7. Definice. Dráhu 7: U —> S nazýváme geodetická dráha, jestliže pole 7 jejích tečných vektorů se podél ní paralelně přenáší. V rovině g to znamená, že tečný vektor 7 = a je konstantní, takže jde o rovnoměrný pohyb p + ta po přímce, p G g. 13.2. Podmínka, aby dráha 7 byla geodetická, tedy zní ^ = o. Nechť 7(í) = (iíi(í), u2(t))- Do vzorců 12.(4) tedy musíme dosadit Ui = d^L, i = 1, 2 a anulovat je. Geodetická dráha je tedy řešením soustavy dvou diferenciálních rovnic 2. řádu d?Uj • / . . x duj duu (i) -7+yrt«í M-r = o, i = i,2. dt2 ^ ]kyy " dt dt j,k=l Takováto soustava se v mnoha směrech chová podobně jako jedna diferenciální rovnice 2. řádu. 13.3. Je známo, že řešení diferenciální rovnice 2. řádu je určeno počáteční hodnotou a počáteční rychlostí (tj. hodnotou derivace). Analogicky v případě soustavy (1) platí Věta. Pro každý bod p E S a každý vektor A G TpS existuje interval 0 G li C 1 a jediná geodetická dráha '■ Ia ~^ S taková, že 7(0) = p a 7(0) = A. Interval Ia se obecně mění v závislosti na A. 13.4. Je užitečné si uvědomit tuto jednoduchou skutečnost. Lemma. Je-li ^(t) geodetická dráha, pak i dráha 7(aí + b) je geodetická pro každá a, b e R. Důkaz. Označme j(t) = j(at + b). Máme § = ^ a, = a2. Vynásobíme-li rovnice (1) výrazem a2, pak pro ^(t) = (čti(í), ^(i)) rovněž platí d2új • / . . x duj duu ■^+ErM«(*))^^ = 0, i=l,2. j,k=i □ 90 Toto lemma má v rovině přirozenou kinematickou interpretaci: Jestliže u rovnoměrného přímočarého pohybu lineárně změníme parametrizaci, dostáváme opět rovnoměrný přímočarý pohyb. 13.5 Definice. Křivka C C S se nazývá geodetická křivka, jestliže existuje taková její parametrizace 7(í), že 7 je geodetická dráha. Stručně se hovoří o geodetice. — Geodetické křivky v rovině jsou přímky. Z bodů 3 a 4 ihned plyne Věta. Pro každý bod pGSa každý směr v TpS existuje jediná geodetika na S, která se v bodě p tohoto směru dotýká. 13.6. Z vlastností řešení soustav diferenciálních rovnic 2. řádu, které zde podrobněji nebudeme uvádět, dále plyne Věta. Pro každý bod p G S existuje takové jeho okolí Z C S, že pro každé dva body qi 7^ q2 v Z existuje jediná geodetika v Z, která prochází body q\ aq2. Tato vlastnost je analogická tomu, že každé dva různé body v rovině lze spojit jedinou přímkou. Jednoduchý příklad však ukazuje, že na ploše je požadavek lokálnosti v tomto tvrzení podstatný. Hned v následujícím bodě dokážeme, že geodetiky na sféře S jsou hlavní kružnice. Každým bodem q\ G S a každým bodem q2 různým od "opačného pólu" prochází jediná hlavní kružnice. Jestliže však za q2 vezmeme bod souměrný s q\ vzhledem ke středu sféry, pak body q\ a q2 prochází nekonečně mnoho hlavních kružnic. 13.7. Připomínáme, že oskulační rovina křivky není definována v inflexních bodech. Následující věta podává "vnější" charakteristiku geodetik. Věta. Křivka C C S je geodetická, právě když její oskulační rovina v každém bodě obsahuje normálu plochy nebo oskulační rovina není definována. Důkaz.. Podmínka ^ = o znamená, že vektor ^ leží v zaměření normály. Je-li ^ 7^ o, vektory 7 a ^ určují oskulační rovinu, která tedy obsahuje normálu plochy. Je-li 2jj = o, jde o inflexní bod. Obráceně, uvažujme křivku C parametrizovanou obloukem 7(s) . Pak (j(s), 7(s)) = 1. Derivováním dostáváme Js) = 0- Je-li 7^ o, vektory 7 a ^ určují oskulační rovinu, o níž předpokládáme, že obsahuje normálu plochy. Protože vektor ^ je kolmý na vektor 7(s), je rovnoběžný s normálou. Tedy ^ = o. Je-li = o, pak také ^1 = 0. □ 91 Příklad. Hlavní kružnice C na sféře S je kružnice, jejíž střed splývá se středem sféry. Její oskulační rovina v každém bodě splývá s rovinou, v níž tato kružnice leží, a v této rovině také leží normály sféry podél C. Každá hlavní kružnice je tedy geodetika. Na druhé straně, každým bodem p G S v každém směru v TPS prochází jediná hlavní kružnice. Podle věty 5 jiné geodetiky na S neexistují. 13.8 Důsledek. Je-li C geodetická křivka a 7(s) je její parametrizace obloukem, pak 7(s) je geodetická dráha. Důkaz. Podle věty 7 prochází oskulační rovina křivky C normálou plochy. Podle druhé části důkazu této věty je ^ = o. □ 13.9. Nechť Z C S je nějaké okolí bodu p G S s vlastností věty 6. Věta. Pro každé q G Z, q ^ p, geodetika procházející body p a q je nejkratší křivka v Z, která spojuje body paq. D ŮkaZ- Ui ^ = 1 (parametr je oblouk) a g^ = Označme C geodetiku spojující body paq. Bodem p veďme nějakou křivku Č kolmou na C. Každým bodem křivky Č veďme geodetiku kolmou na ni. To dává jednu vrstvu parametrických křivek. Jako druhou vrstvu zvolme ortogonální trajektorie. Vezmeme-li na C nějaký parametr u\ a na Č nějaký parametr U2, dostáváme tak souřadnou soustavu na jistém okolí U geodetiky C. Můžeme volit p = (0, 0), q = (a, 0), a > 0. Parametrizujeme-li křivku 112 = c obloukem s, tedy u\ = s, je to geodetická ds _ 0, ^ = 0, neboť u2 = c, a dále 0. Když to dosadíme do (1), dostáváme C i—> c q ii] dráha. Splňuje tedy rovnice (1). Máme — dzui 11 0. Protože parametrická síť je ortogonální, máme g\2 kladů 12.(1) dostáváme dg 11 dui Derivování (/i,/2) d(fi,Í2) 2(7: i) J11 d(fi,fi dui 0 dává pomocný vztah (/i,/2) 2rJ1(/i,/i) = 0. Užitím roz- 0 dui (/n, f2) + (a, /12) = 1^/2, f2) + (a, /12) = o, 92 takže (/i,. 12) 0. Nyní dostáváme dgn d(fi,fi) du2 du2 2(/: 1) .112 0. Tedy gn je konstanta /c > 0. Vezměme křivku z p do q danou parametricky u\ = t,u2 = f(t), /(O) = 0, f(a) = 0. Její délka je rovna (2) k + g22(t,f(t))^)2 dt. Délka geodetiky C je \f~k~ dt = a\[~k. Protože g22 > 0, integrál (2) je větší nebo roven a\fk a rovnost platí jedině pro = 0. Spolu s /(0) = 0 to znamená /(í) = 0 pro všechna t. □ 13.10 Poznámka. Nejstarší přístup k pojmu geodetika vycházel právě z toho, že jde o nejkratší spojnici dvou bodů na ploše. Diferenciální rovnice geodetik se tehdy odvozovaly metodami variačního počtu. 13.11. Křivost x rovinné křivky/(s) splňuje x = ||^||;ei = ^j- Analogie této vlastnosti se bere jako definice geodetické křivosti křivky C C S. Předpokládejme, že C je parametrizována obloukem 7(s). Pak 7 = ^ je jednotkový vektor. Definice. Geodetickou křivost xg křivky 7(s) na ploše S definujeme vztahem K9 = 11 ~ďT II • Geodetická křivost tedy patří do vnitřní geometrie plochy. Poznámka. Existuje i pojem geodetická torze křivky na ploše, ale ten již nepatří do vnitřní geometrie plochy. 13.12. Podáme srovnání obyčejné křivosti >c a geodetické křivosti >cg křivky C na ploše S. Věta. Nechť a je úhel, který svírá normála plochy s oskulační rovinou křivky C C S. Pak x g = >c sin a. V inflexním bodě křivky C je >c„ = 0. Důkaz.. V neinflexním bodě vektor leží v oskulační rovině. Z obrázku, na němž je nakreslen řez rovinou kolmou na oskulační rovinu tu křivky C, plyne 11 ^ 11 = 11 ^ 11 sin a. V inflexním bodě je g = o, takže také ^ □ 93 13.13 Důsledek. Křivka C na ploše S je geodetická, právě když xg = 0 ve všech jejích bodech. Důkaz. To přímo plyne z vět 7 a 12. □ V rovině jsou přímky charakterizovány vlastností x = 0. I toto ukazuje analogii některých vlastností přímek v rovině a geodetik na ploše. 13.14. Pomocí geodetik můžeme na plochu přenášet některé konstrukce z rovinné euklidovské geometrie. Nejjednodušší je pojem geodetické kružnice na ploše S. Z vlastností řešení soustavy diferenciálních rovnic 2. řádu plyne, že ke každému bodu p G S existuje takové číslo rp > 0, že pro každé 0 < r < rp na každé geodetice bodem p existují právě dva body q\ a q2, v každém směru jeden, takové, že délka oblouku geodetiky mezi body p a q\ stejně jako mezi body p a q2 je rovna r a množina K(p, r) všech těchto bodů je křivka na S. Definice. Křivku K(p, r) nazýváme geodetická kružnice o poloměru r a středu p na ploše S. Na příkladě sféry S o poloměru g ukážeme, že uvažovaná konstrukce má obecně jen lokální charakter. Je-li r < irg, pak K(p, r) je obyčejná kružnice na S, což je křivka. Pro r = irg se po geodetikách ve všech směrech dostáváme do bodu protilehlého k p na S. V jistém smyslu lze říci, že pro r = irg kružnice K(p, r) "kolabuje" v jediný bod. 13.15. V rovině mají kružnice konstantní křivost a právě jsme viděli, že i na sféře mají geodetické kružnice konstantní geodetickou křivost. Obecně to však neplatí. Již na trojosém elipsoidu (tj. elipsoidu s různými délkami os) geodetické kružnice nemají konstantní geodetickou křivost. — Jedno obecné tvrzení v tomto směru uvedeme ještě v 14.7. 94 14 Plochy s konstantní Gaussovou křivostí V této kapitole chceme především ukázat souvislosti vnitřní geometrie ploch s neeuklidovskou geometrií. Tyto poznatky jsou nejen geometricky krásné, ale hrály i významnou roli v historii matematiky. Byly to hlavně nové výsledky z vnitřní geometrie ploch, které začátkem druhé poloviny 19. století vedly přední geometry té doby k přesvědčení, že neeuklidovská geometrie tvoří matematickou teorii ve stejném smyslu jako geometrie euklidovská. — Důkazy některých tvrzení v této kapitole vyžadují buď příliš rozsáhlé výpočty nebo použití jiných prostředků, než máme k dispozici. Tyto důkazy budeme vypouštět — jde nám více o celkový pohled než o detailní zvládnutí technických záležitostí. 14.1. Nejprve budeme zkoumat lokální isometrie plochy S do sebe. V případě libovolné plochy je předpoklad lokálnosti isometrie natolik přirozený, že přívlastek "lokální' budeme dále vynechávat. Uvažujme rotační plochu S z bodu 8.15, parametr t však přejmenujeme na u. Parametrické vyjádření plochy S tedy je (1) f(u,v)= (g(u) cos v, g(u) sin v, h(u)) . V 8.15 jsme nalezli gn = g'2 + h'2, g\2 = 0, g22 = g2 ■ Rotační plocha zřejmě má jednoparametrickou soustavu isometrií, která je určena rotacemi. To vidíme i na 1. základní formě (2) $1 = gn(u)du2 +g22(u)dv2 , gn = g'2 + h'2, g22 = g2 ■ Zobrazení u = u, v = v + c tuto formu zachovává, neboť du = du, dv = dv. 14.2. Předpokládejme obráceně, že plocha S má jednoparametrickou soustavu isometrií takovou, že její trajektorie tvoří vrstvu Jšf křivek. Uvažujme ortogonální trajektorie Jšf' této vrstvy. Křivky vrstvy Jšf' přecházejí při isometriích jedna na druhou, protože isometrie zachovává úhly. Zvolme Jšf za souřadné křivky u = konst. a Jšf' za souřadné křivky v = konst. Naše isometrie pak mají tvar u = u, v = v + c. Forma $1 se při nich zachovává a máme gi2 = 0 podle ortogonálnosti souřadné sítě, takže (3) $1 = A^du2 + A2(u)dv2 , Ax > 0 , A2 > 0 . Změníme parametr u na u tak, že platí du = \fA[ du, tedy u = j \fÄ[ du, přičemž ponecháváme v = v. Pak máme $x = du2 + B(u) dv2 , B>0. To je 1. základní forma rotační plochy vytvořené grafem funkce x = y/B(z), přičemž tuto křivku parametrizujeme obloukem. Dokázali jsme tedy 95 Větu. Pokud plocha S má jednoparametrickou soustavu isometrií, pak je lokálně isometrická rotační ploše. 14.3. Víme, že Gaussova křivost se zachovává při isometriích. Pokud tedy plocha S má více než jednoparametrickou soustavu isometrií, musí mít konstantní Gausso-vu křivost. Z 11.19 víme, že plocha je lokálně isometrická rovině, právě když má nulovou Gaussovu křivost. Platí však i obecněji, že každé dvě plochy s touž konstantní Gaussovou křivostí K jsou lokálně isometrické, viz bod 14.6 dále. Základní příklad plochy s nulovým K je rovina. Základní příklad plochy s konstantní kladnou křivostí K = je sféra o poloměru r, viz 8.11. S příkladem plochy o konstantní záporné křivosti K = — ^ se nyní seznámíme. 14.4. Budeme potřebovat vzorec pro Gaussovu křivost rotační plochy (1). Koeficienty 1. a 2. základní formy jsme spočetli v 8.15. Tedy (4) K hnh22 - h22 _ ti{g'h" - tig") 911922 ~ 9\2 9Í9'2 + h'2)2 Protože rotace jsou isometriemi, K nezávisí na rotačním parametru v. 14.5. Rovinná křivka s parametrickým vyjádřením (5) asmtí g(u) a [in u, 2' cos u u e (0, tv),u 7^ se nazývá traktrix s parametrem a > 0, viz obrázek. (Pro u = | je x = a a lim h(u) = 0. Bod (a, 0) však na křivce neleží, zde jde o jistý druh singularity.) Rotací kolem osy z vzniká plocha trubkovitého tvaru, která se nazývá pseudo-sféra. Její Gaussovu křivost spočteme podle (4). Máme g' = acosu, g" = —asinu, n = a [ —--r—;----smít = a--sinu tg f cos2 f 2 smít h" cos u sin u -cos u Dosazení do (4) dává K = — \. Pseudosféra s parametrem a má tedy zápornou konstantní Gaussovu křivost — \. V tomto směru je protipólem sféry, pro niž K = \. Odtud také pochází název plochy. 96 14.6. O rovině, jejíž isometrie jsou klasická shodná zobrazení, dobře víme, že má trojparametrickou soustavu isometrií. Isometrie sféry S vznikají zúžením těch shodných zobrazení v £3, která S zachovávají. Geometricky snadno nahlédneme, že pro každé dva body p, p E S a každé dvě dvojice jednotkových kolmých vektorů e\, e2 E TpS a ě\, ě2 E TpS existuje jediná isometrie g: S —> S taková, že g(p) = p, Tpg(ei) = ě\, Tpg(e2) = ě2. Podobné tvrzení platí i pro libovolné plochy s konstantní Gaussovou křivostí. Uvádíme je bez důkazu. Věta (Mindingova). Nechť S a S jsou plochy s touž konstantní Gaussovou křivostí. Pak pro každé body p E S ap E S a každé dvojice jednotkových kolmých vektorů e\, e2 E TpS a ě\, ě2 E TpS existuje jediná lokální isometrie g z S do Š taková, že g(p) = p, Tpg(e{) = eľ, Tpg(e2) = ě2. □ Lokální isometrie každé plochy s konstantní Gaussovou křivostí tvoří tedy trojparametrickou soustavu, stejně jako shodnosti v rovině. 14.7. Uvažujme geodetickou kružnici K(p, r) na ploše S s konstantní Gaussovou křivostí. Z věty 6 plyne, že na S existuje jednoparametrická soustava lokálních isometrií, která zachovává bod p (v jistém smyslu jde o rotace kolem bodu p). Pro malá r odtud plyne, že geodetická křivost geodetické kružnice je ve všech bodech stejná. Případ sféry byl již zmíněn v 13.15. Dá se ukázat, že toto tvrzení platí i globálně, jak říká Věta. Na ploše s konstantní Gaussovou křivostí mají geodetické kružnice konstantní geodetickou křivost. 14.8. Dalším naším nástrojem bude Gaussova-Bonnetova věta. Vyložíme nejprve potřebné pojmy. Nechť C je křivka s parametrizací f(t), t E I. Definice. Úsekem U křivky C odpovídajícím uzavřenému intervalu [a, b] c I rozumíme množinu f(t), t E [a, b]. 14.9. Nechť D c M? je otevřená množina. Jednoduchou oblastí íl c D rozumíme takovou otevřenou, konvexní a ohraničenou podmnožinu, že i její uzávěr íž leží v D a její hranice <9fž je tvořena konečným počtem úseků křivek. Definice. Podmnožinu W C Snazývámejednoduchá oblast na ploše £, existuje-li taková parametrizace /: D —> £3 plochy S, že W = f(fl), kde íž je jednoduchá oblast v D. Uvědomněme si, že je třeba jasně rozlišovat mezi jednoduchou plochou a jednoduchou oblastí na ploše. 97 14.10. Nechť h je funkce definovaná na křivce C. Při dané parametrizaci /: / —> £3 křivky C jde o funkci h(t): I —> R. Uvažujme úsek ř7 křivky C, který odpovídá intervalu [a, b] C I. Pak integrál J hds definujeme výrazem (6) j hds = j Kt^utf + Utf + Utfdt. U a Tato definice nezávisí na volbě parametrizace křivky. Integrál J hds se definuje pomocí rozkladu křivky C na úseky. C 14.11. Nechť h je funkce definovaná na ploše S. Při dané parametrizaci /:£)—> £3 jde o funkci h{u\,u2) ■ D —> R. Nechť íž C D je ohraničená oblast taková, že fž C -D. Pišme = /(íí). Připomínáme, že v 6.12 jsme zavedli objemový element plochy dV = (711(722 — 9\2 dui du2- Integrál J J h dV definujeme vý- w rázem (7) j j hdV = J J h(ui, u2)\J 911922-9i2 dui du2. w n Také tato definice nezávisí na volbě parametrizace plochy. 14.12. Bez důkazu uvádíme jeden z nejzajímavějších výsledků vnitřní geometrie ploch. Věta (Gaussova-Bonnetova). Nechť W je jednoduchá oblast na ploše S, jejíž *9 hranicí je křivka C třídy C2. Nechť xg je geodetická křivost křivky C a K je Gaussova křivost plochy S. Pak platí (8) j j K dV = 2ir - j xgds . w c Příklad. Pro první seznámení se s touto větou probereme případ jednoduché oblasti fž v rovině, jejíž hranicí je křivka C třídy C2. Její geodetická křivost je obyčejná křivost a pro rovinu máme K = 0. Tedy (8) dává (9) j >cds = 2ir. C 98 Na případě kružnice f(ť) = (r cos t, r sin í), í G [0, 2ir) si to ověříme i výpočtem. Máme x = -, ds = \/r2 cos2t + r2 sin2 t dt = rdt. Tedy 2tt rcis Í2 Všimněme si ještě, že v tomto případě platí J xds = t2 — t\. ti 14.13. Gaussovu-Bonnetovu větu lze rozšířit i na některé jednoduché oblasti, jejichž hranice není diferencovatelná, ale jsou na ní "zlomy". Budeme se zabývat pouze případem křivočarého trojúhelníka na ploše S. V následující definici chápeme trojúhelník v R2 jako uzavřenou množinu, do níž se počítá i celý jeho vnitřek. Definice. Množinu W C S nazveme křivočarý trojúhelník na ploše S, jestliže existuje taková lokální parametrizace /: D —> E3 plochy S a takový trojúhelník A C D, že W = /(A) . Křivočarý trojúhelník je tedy jednoduchá oblast na S. Jeho strany jsou úseky U±, U2, U3 křivek na S. Označme (3\, (32, (3% vnější úhly jejich tečen ve vrcholech pi,p2, ps podle obrázku. Věta (Zobecněná Gaussova-Bonnetova). Platí (10) / / K dV = 2tt - > ' # w 3 i=i 3 i=i Kg dS . Ui Idea důkazu: V okolí vrcholu pi "vyhladíme" hranici W pomocí geodetické kružnice d o malém poloměru r podle obrázku. Pak lze dokázat, že lim j >cgds = fa. To můžeme říci i tak, že v limitě máme situaci podobnou rovině, o níž jsme se zmínili na konci příkladu 12. Podle (8) v limitě dostáváme formuli (10). 14.14 Definice. Křivočarý trojúhelník W nazýváme geodetický trojúhelník na ploše S, jestliže všechny jeho strany jsou úseky geodetických křivek. 99 Tento pojem je tedy přímým přenesením pojmu trojúhelníka do vnitřní geometrie ploch. V tomto případě v (10) máme x9 = 0. To dokazuje Důsledek. Pro geodetický trojúhelník W na ploše S platí (H) J J KdV = 2^-13!-fo-fo. w 14.15. Z (11) přímo plyne toto geometricky velmi zajímavé tvrzení. Věta (Speciální Gaussova-Bonnetova). Je-li W geodetický trojúhelník na ploše s konstantní Gaussovou křivostí K o obsahu V a ct\, ol2, a3 jsou jeho vnitřní úhly, pak platí (12) ai + a2 + a3 = ir + KV . Důkaz. Pro konstantní K je integrál v (11) roven AT V" a vnitřní úhly jsou s vnějšími svázány vztahem /3j = ir — on, i = 1, 2,3. □ 14.16. Příklady, a) Na rozvinutelné ploše máme stejně jako v rovině K = 0. Pak (12) dává dobře známou větu o součtu úhlů v trojúhelníku ol\ + 01.2 + ol% = ir. b) Na sféře S o poloměru r máme K = . Součet úhlů v geodetickém trojúhelníku je tedy větší než ir. Z (12) dokonce plyne, že součet úhlů zmenšený o ir je úměrný obsahu geodetického trojúhelníka. Je zábavné si uvědomit, že z (12) lze spočítat plošný obsah sféry. Protože geodetické křivky na S jsou hlavní kružnice, osmina koule je geodetický trojúhelník, jehož všechny úhly jsou pravé. Označme V jeho obsah. Protože Gaussova křivost sféry o poloměru r je \, z (12) plyne f = vr + ^V, tedy V = \vr2. 14.17. Obsahem Euklidova 5. postulátu je tvrzení, že k přímce p v rovině lze každým bodem A ^ p vést jedinou přímku, která p neprotíná. Z dnešního pohledu hovoříme o Euklidově axiomu o rovnoběžkách. Toto tvrzení je tak zásadně odlišné od ostatních Euklidových axiomů, že po řadu staletí se mnoho matematiků snažilo ukázat, že 5. postulát je důsledkem ostatních Euklidových axiomů. Nepodařilo se však dokázat, přes mnoho chybných pokusů, že z negace Euklidova axiomu o rovnoběžkách plyne spor. Jedním z důsledků negace 5. postulátu, tedy předpokladu o existenci alespoň dvou přímek bodem A neprotínajích p, je tvrzení, že součet E úhlů v trojúhelníku je menší než ir a rozdíl ir — S, tzv. úhlový defekt uvažovaného trojúhelníka, je úměrný velikosti plochy trojúhelníka. Mnoha matematikům se toto tvrzení zdálo 100 být absurdní. Speciální Gaussova-Bonnetova věta však jasně ukazuje, že tato situace nastává ve vnitřní geometrii plochy se zápornou konstantní Gaussovou křivostí. Rovněž naše věta 6 o trojparametrické soustavě lokálních isometrií na ploše s konstantní Gaussovou křivostí odpovídá shodnostem v klasické geometrii roviny, ať s platností Euklidova axiomu o rovnoběžkách, nebo při jeho negaci. — Přesné konstrukce neeuklidovských geometrií byly pak podány v 2. polovině 19. století v podstatě prostředky projektivní geometrie. 14.18. Negace 5. postulátu vede pouze k jednomu druhu neeuklidovských geometrií, který se nazývá geometrie Lobačevského či hyperbolická. Jí odpovídají plochy se zápornou konstantní Gaussovou křivostí. Přitom D. Hilbert v r. 1901 dokázal, že Lobačevského rovinu nelze globálně realizovat na ploše v £3. (To je zásadní vysvětlení k tomu, že v bodě 5 máme na traktrix, jejíž rotací pseudosféra vzniká, singulární bod.) Významné analogie mezi vlastnostmi ploch s kladnou a zápornou konstantní Gaussovou křivostí, uvedené zejména ve větách 6 a 15, vedly k tomu, že se mezi neeuklidovské geometrie začaly řadit i tzv. eliptické geometrie, někdy spojované se jménem B. Riemanna. Jejich geometrie odpovídá vnitřní geometrii ploch s kladnou konstantní Gaussovou křivostí. (Upozorňujeme, že název Riemannova geometrie se běžně užívá v jiném významu než pro eliptické geometrie. Označuje se tak mnohem významnější teorie, jejímž otcem také B. Riemann byl a která je jednou z nejdůležitějších částí dnešní diferenciální geometrie, viz např. skriptum [5] pro první informaci.) 101 Reference k části I. [1] J. Bureš, K. Hrubčík, Diferenciální geometrie křivek a ploch, Skriptum, UK Praha, 1998. [2] M. P. Do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, New Jersey, 1976. [3] M. Doupovec, Diferenciální geometrie a tenzorový počet, Skriptum, VUT Brno, 1999. [4] W. Klingenberg, A Course in Differential Geometry, Springer-Verlag, 1978. [5] I. Kolář, Úvod do globální analýzy, Skriptum, MU Brno, 2003. [6] A. Vanžurová, Diferenciální geometrie křivek a ploch, Skriptum, UP Olomouc, 1996. 102 Část II Cvičení Předmluva k druhé části Druhá část skripta obsahuje řešené příklady z diferenciální geometrie křivek a ploch. Kromě samotného vzorového řešení je většina příkladů doplněna výpočty pomocí systému počítačové algebry (CAS) Maple. Toto počítačové řešení není nezbytné k prostudování jednotlivých úloh, ale v mnohém případě dané téma objasňuje a rozšiřuje, obzvláště pak v souvislosti s uvedenými vizualizacemi. Všechny uvedené programové kódy jsou optimalizovány pro Maple verze 9.5. Tyto kódy jsou dostupné ke stažení na stejné webové adrese jako samotný text skripta. Autorka předpokládá alespoň nejzákladnější znalost softwaru Maplu, případně některého z dalších softwarů CAS. Ale i bez těchto znalostí lze programové kódy a hlavně jejich výstupy zkoumat pouhým spuštěním příslušného souboru *.mws. Příslušné výsledky lze nejsnázeji získat vyhodnocením celého zápisníku pomocí posloupnosti příkazů Edit->Execute->Worksheet v hlavním menu. Názvy veškerých uživatelských procedur a proměnných jsou odvozovány z výrazů anglického jazyka. Pro větší přehlednost jsou proměnné označující grafické plot struktury psány velkými písmeny. Pokud potřebujeme zjistit bližší informace o některém z příkazů, použijeme syntaxi > ?příkaz U složitějších programových kódů není v textu uváděn komentář, protože problematika přesahuje rámec skripta. Pokud je výstupem trojrozměrný obrázek, lze pomocí myši zobrazovaným objektem otáčet. V případě animací je nutné na obrázek kliknout a poté animaci spustit. Většina obrázků odpovídajících animaci není ze zřejmých důvodů v textu vyobrazena. 104 1 Rovinné křivky 1.1 Příklad. Parametrické vyjádření kružnice x2 + y2 = r2 je x = r cos t, y = r siní. Napište parametrické vyjádření elipsy —=■ + -=■ = 1. Rešení. Srovnáním s parametrickými rovnicemi kružnice a ze vztahů mezi goniometrickými funkcemi dostáváme parametrické vyjádření elipsy Tato parametrizace neodpovídá vyjádření pomocí polárních souřadnic! Maple. Vykreslení konkrétní elipsy (např. pro velikosti poloos a = 7, b = 3) lze provést více způsoby : > restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > plot([7*cos(t),3*sin(t),t=0..2*Pi]); Robustnější řešení dostaneme, pokud si nejdříve příslušnou elipsu nadefinujeme jako parametrickou funkci: > ellipsel:=t->[7*cos(t),3*sin (t)] : > plot ( [ellipsel(t) [1],ellipsel (t) [2],t=0..2*Pi]); Z hlediska dalšího využití je asi nejvýhodnější následující postup: > ellipse:=t->[a*cos(t),b*sin(t)]: > E:=plot(subs(a=7,b=3,[ellipse(t)[1],ellipse(t)[2],t=0..2*Pi])): > display(E); Uvažujme nyní bod elipsy (7cosi, 3siní) pro í = f • Bod zakreslíme na elipsu pomocí příkazů: > P:=pointplot([ellipsel(Pi/4)[1],ellipsel(Pi/4)[2]], symbol=cross,symbolsize=30): > display(E,P); 'V uvedeném programovém kódu jsou kvůli přehlednosti jména všech PLOT struktur označena velkým písmenem. x = a cos t,y = b sin í. 105 Daný bod í = f zcela evidentně neleží na ose prvního kvadrantu. Úhel bodu v polární parametrizaci spočítáme pomocí funkce arctan. Výsledek vyjádříme ve Stupních příkazem convert (%, degrees) : > arctan(ellipse(Pi/4) [2]/ellipse(Pi/4) [1]) : > evalf(convert(%,degrees)); 23.19859051det/rees 1.2 Příklad. ex + e x ex — e Pro hyperbolické funkce platí cosha; =---, sinha; =--— a) Dokažte, že (cosha;)2 — (sinha;)2 = 1. 2 2 x y b) Napište parametrické vyjádření hyperboly —.--~ = 1. az bz Rešení. a) Dosadíme příslušné výrazy za cosh x a sinh x: /ex + e-x\2 /ex _ e-x\ 2 ^ e2x +2 + e-2x &2x _ 2 + &-2x ^ V 2 j "(y 2 j = l l =1 b) Srovnáním s parametrickými rovnicemi kružnice a ze vztahů mezi hyperbolickými funkcemi dostáváme parametrické vyjádření hyperboly x = a cosh í, y = b sinh í. Tato parametrizace neodpovídá oběma větvím hyperboly, ale pouze jedné z nich: y / X 106 Druhá větev má parametrizaci x = —a cosh í, y = 6 sinh i. Maple. Nejdříve si zobrazíme průběh hyperbolických funkcí cosh x, sinh x. V případě funkce cosha; Maple nedává zcela přesný výsledek, pokud nepoužijeme volbu view=[xl..x2,yl.. y2]: > restart:with(plots):setoptions(scaling=constrained): > plot(cosh(x),x=-2..2,view=[-2..2,0.-4]); > plot(sinh(x),x=-2..2); V Maplu můžeme zobrazit implicitně zadané funkce příkazem implicitpiot, tento příkaz však často vykreslí nevyhovující obrázky (viz Příklad 1.3). Vykreslení hyperboly příkazem implicitpiot: > implicitpiot(x~2/49-y~2/36=l,x=-10. .10,y=-7. .7) ; Ověříme parametrické vyjádření hyperboly dosazením do její implicitní rovnice: > subs(x=a*cosh(t),y=b*sinh(t),x"2/a"2-y"2/b"2 = l);simplify(%) ; cosh2(í) — sinh2(í) = 1 1 = 1 Protože parametrické vyjádření x = a cosh t, y = sinh í odpovídá pouze jedné větvi hyperboly, vykreslíme celou hyperbolu použitím příkazu display: > Hl:=plot([7*cosh(t),6*sinh(t),t=-l..1]): > H2:=plot([-7*cosh(t),6*sinh(t),t=-l. . 1]) : > display(Hl,H2,view=[-10..10,-6.-6]); 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 10 -2 -4 -6 1.3 Příklad. Užitím polárních souřadnic napište parametrické vyjádření lemniskáty / 2 , 2\2 2/ 2 2\ (x +y ) = a (x - y ). 107 Řešení. Polární souřadnice x = p cos p,y = p sin p dosadíme do rovnice lemniskáty: P a p (cos p — sin p) => p = a cos 2p p = a\jcos 2p 3ir 5ir Maple. Lemniskátu (pro a = 2) vykreslíme prikážem implicitpiot, vykreslení je velice nepresné: > restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > lem_impl:=(x"2+y"2)'2=eĽ2* (x"2-y"2): > implicitpiot(subs(a=2,lem_impl),x=-2. .2, y=-l..1) ; Výsledek se dá sice vylepšit volbou numpoints, přesto bude pořád málo kvalitní: > implicitpiot(subs(a=2,lem_impl),x=-2..2,y=-l..1,numpoints=5000); Odvodíme vyjádření v polárních souřadnicích: > subs(x=rho*cos(phi),y=rho*sin(phi),lem_impl); (p2 cos(0)2 + p2 sin(0)2)2 = a2(p2 cos(0)2 — p2 sin(0)2) > combine(%,trig); p4 = a2p2 cos(20) > solve(%,rho); 0, 0, \/cos(20)a, —\/cos(20)a Jediné řešení vyhovující pro polární souřadnici p je p = a\/cos 2ip. V Maplu používáme pro vykreslování křivek v polárních souřadnicích volbu coords=poiar. Kvalita vykreslení bývá mnohem vyšší než v případě implicitního vyjádření. Uvažujme lemniskátu pro a = 2 a pro tp G (—f, f)- Dostaneme pouze jednu část lemniskáty, druhou část bychom dostali pro p E (^p ^p):2 Srovnejte výsledný obrázek s obrázkem odpovídajícím kódu > plot([2*sqrt(cos(2*phi)),phi,phi=-Pi/4..Pi/4],coords=polar); 108 > plot(2*sqrt(cos(2*phi)),phi=-Pi/4..Pi/4,coords=polar) ; 1.4 Příklad. Cykloida je opisována bodem P ležícím na kružnici, která se kotálí (valí) po přímce. Napište parametrické vyjádření tohoto pohybu. Ve kterých bodech není křivka regulární? Řešení. Parametrizaci lze odvodit přímo z obrázku: Bod P má pro daný parametr í souřadnice: x = rt — r siní = r(í — siní), y = r — r cosi = r(l — cosi). Takto parametrizovaná křivka opisuje trajektorii Křivka / není regulární, pokud platí — = o. V našem případě dí d/ /dx dy\ . ^ — = —, — = (r(l — cosi), r smí) = o, dí \dt' dí/ V V ; ; cos í = 1 A siní = 0, neboli cykloida není regulární v bodech í = 2kir, k G Z. To je patrné i z její trajektorie. 109 Maple. Vytvoříme animaci: a značí animaci samotné cykloidy, b značí poloměr kotálející kružnice procházející bodem Pac značí kotálející se kružnici. V tomto případě můžeme v Maplu použít proceduru pro animace křivek animatecurve. Samotné sladění všech objektů animace zajistí volba f rames=číslo. > restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > a:=animatecurve([t-sin(t), 1-cos(t),t=0..4*Pi],frames=50): > b:=animate([s-t*sin(s),1-t*cos(s),t=0..1],s=0..4*Pi, Spočítáme, ve kterých bodech není cykloida regulární. Použijeme příkaz solve pro řešení rovnic a příkaz dif f pro výpočet derivací. Předtím si ještě nastavením proměnné _EnvAiisoiutions na hodnotu true zajistíme výpis celé množiny řešení trigonometrických rovnic: > _EnvAllSolutions := true: > solve({diff(r*(t-sin(t)),t)=0,diff(r*(1-cos(t)),t)=0},t); {t = 27T.ZÍ~} 1.5 Příklad. Nechť bod P je pevně spojen s kružnicí kotálející se po přímce, ale neleží na ní. Označme d jeho vzdálenost od středu kružnice. Pro d < r, resp. d > r daný bod P opisuje zkrácenou, resp. prodlouženou cykloidu. Napište jejich rovnice. Ve kterých bodech jsou tyto křivky regulární? Řešení. Parametrizaci zjistíme stejně jako v předchozím příkladu z obrázku. Zkrácená cykloida (d < r): Bod P má pro daný parametr t souřadnice: x = rt — d siní, y = r — d cos t. 110 Takto parametrizovaná křivka opisuje trajektorii Prodloužená cykloida (d > r): o n Bod P má pro daný parametr t souřadnice: x = rt — d siní, y = r — d cos t. Takto parametrizovaná křivka opisuje trajektorii Obě křivky jsou ve všech bodech regulární, neboť vztah df fdx dy\ _ r — = —, — = (r — dcost, asiní) = o, ti. cosi = — A siní = 0, dt \dt dt J d je splněn pouze pro d = r > 0 (prostá cykloida). Maple. Vytvoříme animaci: ai(a2) značí animaci samotné cykloidy, bi(b2) značí úsečku spojující střed kotálející kružnice a bod P, c značí kotálející se kružnici. Stejně jako v předchozím příkladu použijeme proceduru animatecurve. Samotné sladění všech objektů animace zajistí volba frames=ňsto. Zkrácená cykloida (r = 1, d = |): > restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > ai:=animatecurve([t-2/3*sin(t), l-2/3*cos (t), t=0..4*Pi],frames=50): > Bl:=animate([s-t*sin(s),l-t*cos(s),t=0..2/3], s=0..4*Pi,color=blue,frames=50): > C:=animate([s+cos(t),1+sin(t), t=0..2*Pi],s=0..4*Pi, color=blue,frames=50): > display(A1,B1,C) ; 111 Prodloužená cykloida (r = 1, d = 2): > A2:=animatecurve([t-2*sin(t), l-2*cos(t),t=0..4*Pi],frames=50): > B2:=animate([s-t*sin(s),l-t*cos(s),t=0..2], s=0..4*Pi,color=blue,frames=50): > display(A2,B2,C); Obdobně jako u prosté cykloidy ověříme regulárnost bodů křivek: > solve({diff(r*t-d*sin(t),t)=0,diff(r-d*cos(t),t)=0},t); Maple nevypíše žádný výsledek, což znamená, že daná soustava rovnic nemá řešení. Neboli všechny body prodloužené (zkrácené) cykloidy jsou regulární. 1.6 Příklad. Po pevné kružnici se zvenku kotálí další kružnice. Pevný bod na ní opisuje tzv. epicykloidu. Napište její parametrické vyjádření. Řešení. Graficky znázorníme situaci, kde t bude parametrem hledané křivky: Zřejmě pak platí rt = Rs => s = —t. Nyní uvažujme úhel a podle následujícího R obrázku: 112 Platí: 7T t — a + s = —, 2' r it a = t H--1--. R 2 Hledané souřadnice bodu P jsou: x = (R + r) cos —t + r sin í t H--1-- R V R 2 /t-. \ ■ r f r it y = (R + r) sm —t — r cos t H--1-- y y 'R \ R 2 S využitím vztahů sin(/3 — f) = — cos/3, cos(/3 — f) = sin/3 můžeme psát: a; = (1 (1) r / r (R + r) cos —t — r cos I í H--í R \ R T ( T y = (R + r) sin —t — r sin 11 H--1 R \ R Maple. Následující animace epicykloidy je složitější: a značí animaci samotné epicykloidy, b značí poloměr kotálející kružnice procházející bodem P opisujícím epicykloidu, c kotálející se kružnici o poloměru r a e značí pevnou kružnici o poloměru r. Navíc se tu objevuje u animace epicykloidy volba numpoints=ňí/o, která vyhladí "kostrbatý" obrázek. Proměnná interval udává, kolikrát se bude kružnice kotálet. > restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > epicycloid:=t->[(r+r)*cos((r/r)*t)-r*cos(t+(r/r)*t), (r+r)*sin((r/r)*t)-r*sin(t+((r/r)*t))]: > r:=5:r:=2:interval:=5: > a:=animatecurve([epicycloid(t)[l],epicycloid(t)[2], t=0..interval*2*Pi],frames=50,numpoints=200): > b:=animate([(r+r)*cos(s)+t*(epicycloid(s*r/r)[1]-(r+r)*cos(s)), (r+r)*sin(s)+t*(epicycloid(s*r/r)[2]-(r+r)*sin(s)), t=0..1],s=0..(r/r)*interval*2*Pi,frames=5 0,color=blue): > C:=animate([(r+r)*cos(s)+r*cos(t),(r+r)*sin(s)+ r*sin(t), t = 0..2*Pi],s=0. . (r/r)*interval*2*Pi,frames=50,color=blue) : > e:=plot([r*cos(t),r*sin(t),t = 0..2*Pi],color=black) : > display(a,b,c,e); 113 1.7 Příklad. Uvažujme epicykloidu (1), pro kterou R = r. Taková křivka se pak nazývá kardioida (ve starší češtině srdcovka). Ve kterém bodě není regulární? Řešení. Dosazením R = r do parametrických rovnic (1) dostáváme rovnice kardioidy: x = 2r cos t — r cos 2t, y = 2r sin t — r sin 2t. Tedy pro body, ve kterých je případně porušena regulárnost, platí: (2) — = -2r siní + 2r sin 2t = 0, dí (3) — = 2r cosi - 2r cos2í = 0. dí Úpravou rovnice (2) dostáváme 0 = — siní + sin2í = — siní + 2 siní cosi = siní(—1 + 2 cosi) neboli 1 sin í = 0 V cos í = — 2 Řešením je t = klľ, t = ±- + 2/C7T, k E Z. 3 Druhé rovnici (3) z uvedeného řešení vyhovuje pouze í = 2kir, k G Z. Ve kterých bodech není kardioida regulární, je patrno také z jejího obrázku: í = 2kir 114 Maple. Programový kód v předchozím příkladu byl napsán pro vykreslení obecné epicykloidy. V případě kardioidy stačí pouze zvolit vhodné r, r a interval: > r:=1:r:=1:interval:=1: Další část kódu už stačí vložit přes schránku nebo jen znovu spustit původní kód. Výsledný obrázek bude odpovídat kardioidě. Zjistíme, ve kterém bodě není kardioida regulární: > r:='r':r:=r: > _EnvAllSolutions:=true: > solve({diff(epicycloid(t)[l],t)=0, diff(epicycloid(t) [2],t)=0 },t); {t = 27t.ZÍ~} 1.8 Příklad. Po pevné kružnici se zvnitřku kotálí další kružnice. Pevný bod na ní opisuje tzv. hypocykloidu. Napište její parametrické vyjádření. Řešení. Graficky znázorníme situaci, kde t bude parametrem hledané křivky: Zřejmě pak platí rt = Rs => s = —t. Nyní uvažujme úhel a podle následujícího R obrázku: 115 Platí: 7T 2 S + a + t = 7T, iľ r --t + —t. 2 P Hledané souřadnice bodu P jsou: x = (R — r) cos —í + r sin (--t + — t) , R V 2 R r /7T r y = (R — r) sin —í — r cos--t-\--í y y ' R \2 R S využitím vztahů sin(|- — (3) = cos(3, cos(:| — (3) = sin/3 můžeme psát: r / r x = (R — r) cos —í + r cos I í ——í P V P r / r y = (R — r) sin —í — r sin ( í ——í P V P Pro r = |P dostáváme tzv. Steinerovu křivku: 2 1 —P cos -í 3 3 2 „ 1 1 2 —P cos -í 3 3 1 „ 2 —P sin —t--P sin —t 3 3 3 3 Pro r = jR dostáváme tzv. asteroidu: (4) 3 „ 1 —P cos —t 4 4 3„ - 1 —Psm —t - 4 4 1 „ 3 —P cos -í 4 4 ln . 3 -Psm —t 4 4 Maple. Animaci vytvoříme podobně jako u epicykloidy. Zvolíme poloměr pevné kružnice P = 9 a poloměr kotálející kružnice r = 2: > restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > hypocycloid:=t->[(R-r)*cos((r/R)*t)+r*cos(t-(r/R)*t), (R-r)*sin((r/R)*t)-r*sin(t-(r/R)*t)]: 116 > R:=9:r:=2:interval:=9: > A:=animatecurve([hypocycloid(t)[1],hypocycloid(t)[2], t=0..interval*2*Pi],frames=50,numpoints=200): > B:=animate([(R-r)*cos(s)+t*(hypocycloid(s*R/r)[1]-(R-r)*cos(s)), (R-r) *sin(s)+t*(hypocycloid(s*R/r) [2]-(R-r)*sin(s)), t=0..1],s=0..(r/R)*interval*2*Pi,frames=5 0,color=blue): > C:=animate([(R-r)*cos(s)+r*cos(t),(R-r)*sin(s)+r*sin(t), t = 0..2*Pi],s=0. . (r/R)*interval*2*Pi,frames=50,color=blue) : > E:=plot([R*cos(t),R*sin(t),t = 0..2*Pi],color=black) : > display(A,B,C,E); Při všech animacích musíme při změně poloměru kružnic znovu několikrát spustit příkazové řádky, aniž bychom je měnili. Nabízí se tedy vytvoření procedury, kde vstupním parametrem budou příslušné poloměry a interval animace. Např. pro hypocykloidu uvažujme následující uživatelskou proceduru: > hypocycloid_anim:=proc(r,R,interval) local hyp,A,B,C,E; hyp:=t->[(R-r)*cos((r/R)*t)+r*cos(t-(r/R)*t), (R-r)*sin((r/R)*t)-r*sin(t - (r/R)*t)] : A:=animatecurve([hyp(t)[l],hyp(t)[2], t=0..interval*2*Pi],frames=50,numpoints=200): B:=animate([(R-r)*cos(s)+t*(hyp(s*R/r)[1]-(R-r)*cos(s)), (R-r)*sin(s)+t*(hyp(s*R/r) [2]-(R-r)*sin (s)), t=0..1],s=0..(r/R)*interval*2*Pi,frames=50,color=blue): C:=animate([(R-r)*cos(s)+r*cos(t),(R-r)*sin(s)+r*sin(t), t=0..2*Pi],s=0..(r/R)*interval*2*Pi,frames=50,color=blue): E:=plot([R*cos(t),R*sin(t),t=0..2*Pi],color=black): display(A,B,C,E); > end: Pro Steinerovu křivku (r = a asteroidu (r = jR) vystačíme s příkazy: > hypocycloid_anim(1,3,3); > hypocycloid_anim(1,4,4); 1.9 Příklad. Najděte parametrické vyjádření asteroidy (4) pro parametr r = jt. 117 Řešení. Uvažujme vzorec cos 3a + i sin 3a =(cos a + i sin a)3 = cos3 a + i3 cos2 a sin a — 3 cos a sin2 a — i sin3 a Tedy 3 1 x = -i? cos r H—i?(cos3 r—3 cos r sin2 t) 4 4 3 1 = -i? cos r H—i? cos rícos2 t — 3 sin2 r) 4 4 3 1 = —i? cos r H—iícosrícos2 r — 3(1 — cos2 r)) 4 4 3 1 =—i? cos r H—i? cos r(4cos2 r — 3) = i? cos3 r 4 4 v ' 3 1 y = -iísinr — -i?(3cos2 rsinr — sin3 r) 3 1 = —iísinr--i?sinr(3cos2 r — sin2 r) 4 4 3 1 = -iísinr — — i?sinr(3(l — sin2 r) — sin2 r)) 3 1 =—iísinr--i?sinr(3 — 4sin2 r) = i?sin3 r 4 4 v y Maple. Dosadíme \t = t pomocí příkazu subs: > restart: > asteroid:=[(3/4)*R*cos((l/4)*t)+(l/4)*R*cos((3/4)*t), > (3/4)*R*sin((1/4)*t)-(1/4)*R*sin ( (3/4)*t)] : > subs(t=4*tau,asteroid); 3 13 1 — Rcos(t) H—i?cos(3r), — Rsíií(t)--i?sin(3r) 4 4 4 4 > simplify(%); [ficos(r)3,sin(r)3fi] 1.10 Příklad. Spirály vznikají tak, že bod se pohybuje po přímce procházející počátkem, která se současně rovnoměrně otáčí kolem počátku. V polárních souřadnicích dostáváme vztah p = f ((f), v pravoúhlých souřadnicích dostáváme rovnice x = f ((f) cos (p, y = f ((f) sin (p. Určete rovnice Archimedovy spirály, která vzniká rovnoměrným pohybem po přímce začínajícím v počátku. 118 Řešení. Archimedova spirála je nejjednodušším případem spirály, rovnoměrný pohyb vyjadřuje vztah p = aip, neboli x = ap cos p,y = ap sin p. Maple. Archimedovu spirálu vyjádřenou v polárních souřadnicích p = ap vykreslíme podobně jako v případě lemniskáty s použitím volby coords=poiar. V tomto případě budeme mít p = 2(p: > restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > plot([2*phi,pni,phi=-6*Pi..6*Pi],coords=polar,numpoints=30 0, axes=frame); -30 -20 -10 0 10 20 30 V animaci znázorňující vznik spirály p = 2p značí proměnná a spirálu, b značí úsek na otáčející se přímce c ohraničený rovnoměrně se pohybujícím bodem a počátkem souřadné soustavy: > a:=animatecurve([2*phi,pni,phi=0..8*Pi],frames=80,coords=polar, color=green,numpoints=200): > b:=animate([2*phi*t,pni,t=0..1],phi=0..8*Pi,frames=80, coords=polar,color=black,thickness=3): > C:=animate([8 0*t,pni,t=0..1],phi=0..8*Pi,frames=80,coords=polar, color=grey,thickness=l): > display(a,b,C,axes=none); 1.11 Příklad. Další zajímavou spirálou je logaritmická spirála p = av, neboli x = av cos p, 119 y = av sin p. Dokažte, že tečný vektor k logaritmické spirále svírá s prävodičem konstantní úhel. Řešení. Obrázek logaritmické spirály f(p) = (av cos p, av simp) potvrzuje vlastnost plynoucí z rovnice této křivky, a to, že tato spirála má pro a > 1, p —> — oo nebo pro 0—>oo nekonečně mnoho závitů směřujících k počátku souřadné soustavy. a > 1 1 > a > 0 Tečný vektor: (af ln a cos p — df sin restart:with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > A:=animatecurve([1.0 8"pni,pni,phi=0..10*Pi],coords=polar, frames=80,color=green,numpoints=200): > B:=animate([1.0 8~phi*t,pni,t = 0..1],phi=0..10*Pi,coords=polar, frames=80,color=black,thickness=3): > C:=animate([8*t,pni,t=0..1],phi=0..10*Pi,coords=polar,frames=80, color=grey,thickness=l): > display(A,B,C,axes=none) ; Animací si znázorníme průvodiče a tečny na spirále p = 1.08^. Do proměnné tg uložíme tečný vektor a do proměnné e množinu tečen. Protože tečny neprocházejí počátkem souřadné soustavy, zvolíme pro ně raději nepolární reprezentaci: > tg:=phi->diff([1.0 8"pni*cos(pni),1.0 8"pni*sin(pni)],phi): > e:=animate([1.08"pni*cos(pni)+tg(pni) [l]*t, 1.08~phi*sin(pni)+tg(phi) [2]*t,t=-l..1], phi=0..10*Pi,frames = 8 0,color=gray, thickness=2) : > display(A,B,e,axes=none); Ověříme výpočtem v Maplu, že úhel mezi průvodičem a tečnou je na celé logaritmické spirále konstantní. K výpočtu využijeme příkaz angle z knihovny linaig, který počítá odchylku vektorů. > logspir:=phi->[a~phi*cos(phi),a"phi*sin(phi)]: > tangent:=diff(logspir(phi),phi): > cos(linaig[angle](logspir(phi),tangent)); ďť cos(<ŕ)(a^ ln(a) cos() - sin()) + sin() + cos()) ^/(a^)2 cos()2 + {a)2 sin{4>)2 {a ln(a) cos() - a sin())2 + {a ln(a) sin() + a cos(4>))2 > simplify(%); y^Tln(a) > simplify(%,sqrt,symbolic); In (a) \A + ln(a)2 121 2 Délka křivky 2.1 Příklad. Spočtěte délku oblouku (celé) asteroidy f(t) = (r cos3 i, r sin3 i), í £ [0,27r], r > 0 (obr. str. 116). Řešení. Délku s oblouku křivky f(t) = (/i(í), Í2(j)) Pr° t £ [a, b] vypočítáme ze vztahu (5) s= [b\\fXt)\\dt= t y/f?(t)+f?(t)dt J a J a V našem případě máme f'(t) = (—3r cos2 í siní, 3r sin2 í cosi) Tedy ds = 3r\lcos4 í sin2 í + sin4í cos2 ídí = 3r |siní cosí| dí s = 3r |siní cosí| dí = 12r / siní cos ídí 10 Jo ŕ 12r / udu = Qr JO siní = u cos í dí = du Maple. Výpočet délky křivky se v Maplu dá snadno realizovat procedurou ArcLength z knihovny vectorCalculus. Příkazy této knihovny potřebují jako vstup vektor zapsaný do závorek {...). Nebudeme ale načítat všechny příkazy knihovny, ale pouze příkaz ArcLength. Pro co nejjednodušší výsledky bude nutné užití příkazu as sume, resp. assuming, který přiřazuje proměnným vlastnosti, případně nastavuje závislost mezi těmito proměnnými. Použitím tohoto příkazu se proměnné zobrazují spolu se znakem ~. V našem případě bude lepší toto zobrazování potlačit příkazem interface (showassumed=0). V následujícím kódu je definováno r > 0. > restart:with(VectorCalculus,ArcLength): > interface(showassumed=0):assume(r>0): > asteroid:=t->: > 4*ArcLength(asteroid,t=0.-Pi/2); 6r Abychom se vyhnuli singulárním bodům, uvažovali jsme křivku pouze na intervalu (0, 2ir). Výslednou délku jsme pak získali díky souměrnosti křivky vynásobením čtyřmi. 122 2.2 Příklad. Spočtěte délku oblouku cykloidy f(t) = (r(t — siní),r(l — cosi)), t G [0,2-7r], r > 0. Řešení. f'(t) = (r(l - cosi), r siní) Podle vztahu (5) platí: ŕ2n i- ŕ2n / J(l - cosi)2 + sin2ídí = VŽr / \/l - cosídí JO Jo Platí (6) Můžeme tedy psát: a / sin — 2 V ' 1 — cos o. 2tt s = 2r sin - dt = Ar 2 í cos -2 2tt 8r J o Maple. Budeme postupovat obdobně jako v předchozím příkladu: > restart:with(VectorCalculus,ArcLength): > interface(showassumed=0):assume(r>0): > cycloid:=t->: > ArcLength(cycloid,t=0..2*Pi); 8r 2.3 Příklad. Spočtěte délku oblouku (celé) kardioidy (viz Příklad 1.7). Řešení. Odvodili jsme parametrizaci / = (2r cosi - r cos2í, 2r siní - r sin2í),í G [0, 2ir\. Tudíž f'(t) = 2r{— siní + sin2í, cos í — cos 2í). 123 S použitím (5), (6) a vztahu cos(qí — (3) = cos a cos (3 + sin a sin (3 dostáváme r-2-w s = 2r sin í + sin 2í)2 + (cos í - cos 2í)2 dí = = 2r \J2- 2 (sin í sin 2í + cos t cos 2í) dí = = 2r\/2 / vT 8r í cos -2 n 2tt cos tát = Ar I sin - dt Jo 2 = 16r Maple. > restart:with(VectorCalculus,ArcLength): > interface(showassumed=0):assume(r>0): > cardioid:=t-><2*r*cos(t)-r*cos(2*t),2*r*sin(t)-r*sin(2*t)>: > ArcLength(cardioid,t=0..2*Pi); Wr 2.4 Příklad. Spočtěte délku elipsy f(t) = (a cosi, b siní). Řešení. f'(ť) = (—a siní, b cosi) r-2-K - r-2-K / ^2 / v a2 sin2 t + b2 cos2 i di = a / \/sin2 í + cos2 t dí Jo Jo V a2 4a 62 cos2 í dí Pro a = b dostáváme délku 2ira kružnice o poloměru a. Pro a ^ b se ale jedná o eliptický integrál, pro který nelze elementárně stanovit primitivní funkci a jehož hodnoty jsou tabelovány. Maple. > restart:with(VectorCalculus,ArcLength): > interface(showassumed=0):assume(a>0,b>0) > ellipse:=t->: 124 > ArcLength(ellipse,t = 0 ..2*Pi); 4EllipticE I 62 I a Výsledkem je eliptický integrál reprezentovaný systémem jako EilipticE. Více se lze o tomto příkazu dozvědět v nápovědě, stačí do příkazového řádku napsat ?EiiipticE. Maple nám umožní určit přibližnou hodnotu délky elipsy pro konkrétní a, b: > subs(a=5,b=3,ArcLength(ellipse,t=0..2*Pi):simplify(%) ; 20EllipticE I - > evalf(%); 25.52699886 2.5 Příklad. Spočtěte délku oblouku logaritmické spirály f(p) = {av cos p, av siinp), a > 1 mezi body pi,p2- Řešení. f'(p) = a1/3 (ln a cos p — sin p, In a sin

— oo dostáváme <"? , a^Vl + ln2a as =---. j ln a Jde tedy o konstantní násobek prii vodiče. Maple. > restart:with(VectorCalculus,ArcLength): > interface(showassumed=0):assume(a>l): > logspiral:=phi->: > ArcLength(logspiral,phi=phi[1] , phi[2]) ; 125 -^/aVM(hi(a)2 + 1)(cos(0;l)2 +sin(01)2) ^ a^) (ln(a)2 + l)(cos(02)2 + sin(02)2) ln(a) ln(a) Protože Maple počítá nad komplexními čísly, nezjednodušil výrazy v a2^1, Va2^2. Proto je nutné příkazem assume Maplu sdělit, že proměnné (fi,(f2 jsou reálná čísla: > assume(phi[1]::real,phi[2]::real); > ArcLength(logspiral,phi=phi[1]..phi[2]):simplify(%); Vln(a)2 + l(-a4'1 +afe) In (a) Jak vidíme, procedura ArcLength vypočítala délku i na obecném intervalu. V limitním případě (pi —> — oo dostáváme: > limit(%,phi[1]=-infinity); a?2 Vln(a)2 + ! In (a) 2.6 Příklad. Určete délku oblouku hyperbolické spirály f(t) = (a cosh i, asinhi, at), a > 0 mezi body t = 0 a t = 1. Délka oblouku prostorové křivky f(t) = (fi(t),f2(t),f^(t)) je určena obdobně jako u rovinných křivek: (7) s = ŕ n/'(í)iidí = ŕ v//í2(í)+/2/2(í)+/í(í)dí V případě hyperbolické spirály máme /'(ŕ) = (asinhi, a cosh i, a) Tedy ds = a\Jcosh2 í + (sinh2 t + l) dt = ay/cosh2 t + cosh2 t dt = a\/2coshidi f1 /e1-e"1 s = a\/2 j cosh t dt = a\/2(sinh 1 — sinh 0) = a\Í2 í--0 h v 2 = a— (e-e ) 126 Maple. Pro výpočet délky prostorové křivky můžeme využít stejně jako u rovinných křivek proceduru ArcLength z knihovny vectorCalculus. > restart:with(VectorCalculus,ArcLength): > interface(showassumed=0):assume(a>0): > hypspiral:=t->: > ArcLength(hypspiral,t=0..1):simplify(%); ÍvW-1} (-1 + e2) 2.7 Příklad. Určete délku oblouku křivky f(t) = (a(í — siní), a(l — cosi), 4acos |) mezi dvěma následnými průsečíky s rovinou (x,z). Řešení. Pro průsečík s rovinou {[x, z) musí platit y = 0, neboli a(l — cosi) = 0 cos í = 1 t = 2kir, keZ Budeme uvažovat průsečíky íi = 0 a t2 = 2ir. Délku křivky na intervalu [0,2ir] spočítáme podle vzorce (7): f'(t) = a (1 — cosi,siní, —2sin- Í.27T s = a r2-w 1 - 2 cos í + cos2 í + sin2 í + 4 sin2 - dí 2 1- cos2 - + 2sin2 - + 4sin2 - dí í r27r í 8sin2 -dí = 2\/2a / sin -dí = 2\Í2 a(2 + 2) = 8\/2 a 2 Jo 2 127 Maple. Nejdříve určíme interval, na kterém budeme délku zjišťovat. Před řešením příslušné rovnice y = 0 nastavíme proměnnou _EnvAiisoiutions na hodnotu true pro vypsání všech kořenů. > restart:with(VectorCalculus,Arclength):_EnvAllSolutions:=true: > interface(showassumed=0):assume(a>0): > f :=t-xa* (t-sin (t) ) , a* (1-cos (t) ) , 4*a*cos (t/2) >: > solve (f (t) [2]=0,t) ; {2TT.Z1} Zvolíme interval [0, 2ir] a na takto zvoleném intervalu spočítáme s použitím procedury ArcLength délku zadané křivky: > ArcLength(f,t=0..2*Pi); 8aV2 128 3 Oskulační kružnice a křivost rovinné křivky 3.1 Příklad. Určete poloměr oskulační kružnice logaritmické spirály f(p) = (cľ cos p, df sin p). Řešení. Pro poloměr r oskulační kružnice křivky (/i, f2) platí: ,2 _ (/f (8) fit Pro dané parametrické vyjádření logaritmické spirály máme f'(p) = av( lna cos p — sin p, ln a sin p + cos p) f"(p) = av(\y? acosp — 2mašiny — cos restart: > interface(showassumed=0): > logspir:=t->[a~t*cos(t),a~t*sin(t)] : > df:=diff(logspir(t),t): > ddf:=diff(logspir(t),t$2): > dfdf:=df[1]"2+df[2]"2: > dfddf:=df[1]*ddf[2]-df[2]*ddf[1]: > sqrt(dfdf"3/dfddf"2):simplify(%) assuming a>0,t::real; oVl + ln(a)2 Uvedený výpočet poloměru r oskulační kružnice "zapouzdříme" do jediné procedury, kterou navíc obohatíme o výpočet středu oskulační kružnice S. Výstupem procedury oseje uspořádaná dvojice [S, r] : > ose:=proc(f, t) local tt,df,ddf,dfddf, dfdf, r, S; assurae(tt::real); df:=diff(f(tt),tt); ddf:=diff(f (tt),tt$2); dfdf:=df[1]*df[1]+df[2]*df[2]; dfddf:=df[1]*ddf[2]-df[2]*ddf[1]; r:=simplify(sqrt(dfdf"3/dfddf~2)); S:=simplify( [f(tt)[1]-df[2]*dfdf/dfddf,f(tt)[2]+df[1]*dfdf/dfddf]); simplify(subs(tt=t,[S,r])); end: Odzkoušíme proceduru pro zadanou logaritmickou spirálu. Spočítáme střed a pak poloměr oskulační kružnice: > ose(logspir,t)[1 ] ; [—a ln(a) sin(í), a ln(a) cos(í)] > ose(logspir,t)[2]:simplify(%) assuming a>0,t::real; oVl + ln(a)2 Následující kód vede k vykreslení posloupnosti oskulačních kružnic logaritmické spirály a k animaci. Detailní prozkoumání příkazů je ponecháno na čtenáři. 130 > with(plots):setoptions(scaling=constrained): > logspir2:=t->[1.8"t*cos(t),1.8~t*sin(t)]: > L0GSPIR2:=plot([logspir2(t)[1],logspir2(t)[2],t=0.-Pi], color=black,thickness=2): > S2:=osc(logspir2,t)[1]:r2:=osc(logspir2,t)[2]: > 0SC2:=seq(plot([S2[1]+r2*cos(s),S2[2]+r2*sin(s),s=0..2*Pi]), t=seq(i*Pi/24,i=0..18)): > display(L0GSPIR2,0SC2,axes=none); > logspir3:=t->[1.08~t*cos(t),1.08~t*sin(t)]: > L0GSPIR3:=plot([logspir3(t)[1],logspir3(t)[2],t=0..8*Pi], color=black,thickness=3) : > S3:=osc(logspir3,t)[1]:r3:=osc(logspir3,t)[2]: > 0SC3:=display(seq(plot([S3[1]+r3*cos(s),S3[2]+r3*sin(s), s=0..2*Pi]),t=seq(i*Pi/12,i=0..96)),insequence=true): > R3:=display(seq(plot([S3[1]+s*(logspir3(t)-S3)[1], S3[2]+s*(logspir3(t)-S3)[2],s=0..!]), t=seq(i*Pi/12,i=0..96)),insequence=true): > display(LOGSPIR3,0SC3,R3,axes=none); 3.2 Příklad. Určete množinu středů oskulačních kružnic elipsy f(t) = (a cosi, b siní). Řešení. Střed oskulační kružnice křivky (fi, f2) leží na přímce dané bodem (fi, f2) a jednotkovým směrovým vektorem — -(—f2, /{). Ze vzorce pro poloměr V fl + f2 kružnice (8) dostáváme vztah pro souřadnice středu oskulační kružnice: f2 (ň2 f22) fl fII fl fII J1J2 J2J1 A (f?+ň2) ňfZ-ňf! 131 V případě elipsy máme: f'(t) = (—a siní, b cos í) f"(t) = (—a cosi, —b siní) /ÍW/^*) " /2(*)/('(*) = (-a)(-^) siní siní - (-a)6cosí cosi = a6 Protože /'(í) a /"(í) nejsou kolineární, nemá elipsa inflexní body a tedy v každém jejím bodě existuje (právě jedna) oskulační kružnice. x = a cos í b cos í [a2 sin2 í + b2 cos2 í ab o 62 o a2 - b2 o = a cos í — a cos í sin í--cos í = -cos í a a - a sin í f a2 sin2 t + b2 cos2 í) y = b sin í H-- ab 2 . •? 62 - a2 . o o sin í — o sin í cos í--— sin í = -■-sin í Množinou středů oskulačních kružnic elipsy je asteroida po afinní transformaci (viz srovnání s parametrizací asteroidy v příkladě 1.9): Maple. Využijeme procedury ose ze strany 130 a spočítáme střed oskulační kružnice: > interface(showassumed=0) :assume(a>0,b>0) : > ellipse:=t->[a*cos(t),b*sin(t)]: > ose(ellipse,t)[1] ; cos(í)3(a2 - b2) sin(í)3(a2 - b2)' Nyní uvažujme elipsu pro a = 3, b = 2 a vykresleme několik jejích oskulačních kružnic včetně středů: 132 > with(plots):setoptions(scaling=constrained): > ellipse2:=t->[3*cos(t),2*sin(t)]: > ELLIPSE2:=plot([ellipse2(t)[1],ellipse2(t)[2],t=0.-Pi], color=black,thickness=2): > S2:=osc(ellipse2,t)[1]:r2:=osc(ellipse2,t)[2]: > 0SC2:=seq(plot([S2[1]+r2*cos(s),S2[2]+r2*sin(s),s=0..2*Pi]), t=seq(i*Pi/9,i=0..5)): > CENTERS2:=pointplot({seq(S2,t=seq(i*Pi/9,i=0..5))}, color=black,symbol=cross,thickness=2): > display(ELLIPSE2,0SC2,CENTERS2,axes=none) ; Středy oskulačních kružnic podél celé elipsy: > pointplot({seq(S2,t=seq(i*Pi/3 6,i=0..12))}, color=black,symbol=cross,thickness=2); Kód pro animaci: > ELLIPSE2b:=plot([ellipse2(t)[1],ellipse2(t)[2],t=0..2*Pi], thickness=3,color=black) : > 0SC2b:=display(seq(plot([S2[l]+r2*cos(s),S2[2]+r2*sin (s), s=0..2*Pi]),t=seq(i*Pi/3 6,i=0..72)),insequence=true): > R2:=display(seq(plot([S2[1]+s*(ellipse2(t)-S2)[1], S2[2]+s*(ellipse2 (t)-S2) [2],s = 0..!]), t=seq(i*Pi/36,i=0..72)),insequence=true): > display(ELLIPSE2b,0SC2b,R2,axes=none); 3.3 Příklad. Spočtěte křivost elipsy f(t) = (a cos t, b sin t) a dokažte, že ve vrcholech je tato křivost maximální, resp. minimální. Řešení. Křivost x křivky / = (/i, /2) je dána vztahem 1 x = -, r 133 kde r je poloměr oskulační kružnice (viz (8)).Tudíž platí: I cl cil cl rlll /Q\ „ J2J1 I (9) x = -— Využijme dílčích výsledků předchozího příkladu 3.2 a okamžitě dostáváme *(*) = -"-3 (a2 sin2 t + b2 cos2 í)2 Křivost ve vrcholech elipsy: *(0) = = ^3 = ^, x(f) = x(f) = -3 = -2 Označme g(t) = a2 sin2 t + b2 cos2 í. Pak platí x'(í) = 0, právě když fif'(í) = 0. Přitom g'(t) = 2a2 siní cosi — 2b2 siní cos í = 2 (a2 — 62) siní cosi. Protože a ^ b, tak musí platit siní = 0 nebo cosi = 0. Neboli stacionární body funkce g(t) dostáváme pro í = 0, t = tt, t = ^ at = V těchto bodech mění derivace x'(í) znaménko, jedná se tedy o lokální extrémy. Maple. Proceduru Curvature pro výpočet křivosti dané křivky najdeme v knihovně VectorCalculus. > restart:with(VectorCalculus,Curvature): > interface(showassumed=0):assume(b>0,a>b,t::real): > ellipse:=: > simplify(Curvature(ellipse,t));kappa:=unapply(%,t): ab (a2 sin(í)2 + a2 — a2 cos(í)2) Ve kterých bodech je křivost elipsy maximální či minimální zjistíme pomocí příkazu ExtremePoints Z knihovny Student [Calculusl] : > with(Student[Calculusl],ExtremePoints): > ExtremePoints(kappa(t),t=0..2*Pi); 0, — , TT, -, ZIT '2 2 Tudíž křivost elipsy má lokální extrémy ve vrcholech elipsy. Spočítejme v nich hodnotu křivosti: 134 > simplify([kappa(0),kappa(Pi/2),kappa(Pi),kappa(3*Pi/2)]) ; a b a b b2' a2' b2' a2 Je tedy zřejmé, že v protějších vrcholech jsou křivosti stejné, v případě hlavního vrcholu maximální, v případě vedlejších vrcholů minimální. Podívejme se ještě na průběh křivosti elipsy v konkrétním případě: > simplify(Curvature(ellipse,t)):subs(a=3,b=2,%); 6 > plot(%,t = 0. .2*Pi); 0.5 0 2 4 6 3.4 Příklad. Spočtěte křivost hyperboly f(t) = (a cosh i, frsinhi). Řešení. K výpočtu opět použijeme vzorec (9): /'(ŕ) = (asinhí, 6 cosh i) f"(t) = (acoshí,6sinhí) /í(*)/2 (*) " /2(*)/('(*) = ^sinh2 t - ab cosh2 t = —ab ab [a2 sinh2 t + b2 cosh2 í)2 Ve vrcholu hyperboly je x(0) = 70- = 70. 135 Maple. > restart:with(VectorCalculus,Curvature): > interface(showassumed=0):assume(a>0,b>0,t::real): > hyperbola:=: > simplify(Curvature(hyperbola,t)); ab (b2 cosh(i)2 -a2 + a2 cosh(i)2) Křivost ve vrcholu t = 0: > simplify(eval(%,t=0)); a h2 3.5 Příklad. Spočtěte křivost paraboly y = —x2. 2p Rešení. Nejprve vyjádříme vzorec pro výpočet křivosti (9) pro obecnou křivku danou explicitně y = f (x), tedy s parametrickým vyjádřením 7(2;) = (x, f (x)). I (1 f>\ " ľr\ f»\ 1 II 1 II J?" 7 =(!,/), 7 = (0,/ ),7i72 - 727i = / \f"\ (10) x (1 + f2)2 Pro f (x) = —x2 máme f (x) = —x, f "(x) = —, tedy 2p p p {(x) 1 P 1 2XÍ P . . 1 Ve vrcholu paraboly je x(0) = -. Maple. V případě explicitního vyjádření křivky použijeme jednoduchý převod na vyjádření parametrické, se kterým umí pracovat procedura Curvature: > restart:with(VectorCalculus,Curvature): > interface(showassumed=0):assume(p>0,x::real): > parabola:=: > simplify(Curvature(parabola,x)); 136 p2 (p2 + x2) Křivost ve vrcholu paraboly: > simplify(eval(%,x=0)); 3.6 Příklad. 7T Stanovte poloměr r oskulační kružnice křivky y = sin a; pro x = —. Řešení. Podle vzorce (10) v předchozím příkladu 3.5 máme I - sin f I 2 'l+cos2f)2 Maple. Využijeme již definované procedury ose ze strany 130: > sinusoid:=t->[t,sin(t)]: > S:=osc(sinusoid,Pi/2) [1] : i:-[|.0] > r:=osc(sinusoid,Pi/2) [2]; r := 1 Obrázek oskulační kružnice sinusoidy y = sin x pro x = ^: > with(plots):setoptions(scaling=constrained): > SINUSOID:=plot([sinusoid(t)[1],sinusoid(t)[2],t=0..2*Pi]): > 0SC:=plot([S[1]+r*cos(s),S[2]+r*sin(s),s=0..2*Pi]): > display(SINUSOID,OSC); Lze vytvořit animaci obdobně jako v příkladech 3.1 a 3.2. Musíme ji však omezit pouze na interval neinflexních bodů! 137 4 Obálka soustavy rovinných křivek 4.1 Příklad. Stanovte obálku soustavy kružnic F(x,y,ť) = (x — ť)2 + y2 — ^ = 0, přičemž í G (-oo,0) U (0,oo). Řešení. dF , , t 3 4 -= -2(x -t)--= -2x + -t = 0 t= -x dt v ' 2 2 3 _ 4 .A2 , ..2 dx? í *\2 , 2 4 1 F(a;,y,í) = (a;- ^x\ +y2 -^-^= (--) + y2 - -x2 ~^2+y2 = 0 -x. v 3 Obálkou dané soustavy jsou přímky y = ±-: 3 Maple. Rovnice soustavy kružnic, její parciální derivace podle parametru soustavy a charakteristická množina: > restart: > F: = (x-t)~2+y~2-t~2/4 = 0 : > dF:=diff(F,t): > sol:=allvalues(solve({F,dF},{x,y})); , 3í VŠt) ( 3í VŽt) sol := {x = —,y = — \ Ax = —,y = - — Máme dvě řešení, která přiřadíme pomocí příkazu assign do proměnných ei a e2. Vždy je následně nutné použít příkaz unassign pro uvolnění přiřazených proměnných! Vykreslení obálky zahrnuje proměnná env: > with(plots):setoptions(scaling=constrained): > assign(sol[l]):envl:=unapply([x,y],t): > unassign('x','y'): > assign(sol[2]) :env2:=unapply ( [x,y],t) : > unassign('x','y'): > env:=plot({[envl(t)[1],envl(t)[2],t=-9..9], [env2(t)[1],env2(t)[2],t=-9..9]},thickness=3,color=red): Vykreslíme obálku společně s několika kružnicemi zadané soustavy. V Maplu je příhodnější zobrazovat křivky určené parametrickými rovnicemi a ne implicitně. Proto v jednodušších případech převedeme implicitní zadání na parametrické a pak teprve objekt vykreslíme. Soustava kružnic parametricky: 138 > f: = (s,t)->[t+t/2*cos(s),t/2*sin(s)] : > SYS:=seq(plot([f(s,t/6)[l],f(s,t/6)[2],s=0..2*Pi],color=grey), t=-30..30) > display(SYS,ENV); 4.2 Příklad. Nalezněte obálku soustavy přímek, které vzniknou pohybem dané úsečky délky k, jejíž krajní body se pohybují po souřadných osách. Řešení. [0,b] k [a,0] úsekový tvar rovnice přímky: 0 a = k cos t.b = k siní x y - + f-1 a b Uvažujeme jednoparametrickou soustavu přímek: F(a;,y,í) = —í— + -^--l = 0 k cos í k sin í Nyní už můžeme určit charakteristickou množinu: F(x, y,ť) = x siní + y cos í — k cos í siní = 0 dF ,2,2 —— = x cos t — y sin í + k sin t — k cos í = 0 dt y x sin í + y cos t = k cos í sin í x cos í — y sin í = k (cos í — sin í) 139 Soustavu o neznámých x, y bude výhodné řešit pomocí Cramerova pravidla: D Dx D y sin í cos í cos í — sin í cos í sin í • 2 2 sin í — cos í cos2 í — sin2 í cos í — siní siní cos í sin í cos í cos2 í — sin2 í -/ccos í - k sin3 í Vypočítané hodnoty x = -jj- = k cosó t,y= -jy = k sin í odpovídají parametrizaci asteroidy (Příklad 1.9). Maple. Rovnice soustavy přímek, její parciální derivace podle parametru soustavy a charakteristická množina: > restart: > F : =x/(k*cos(t))+y/(k*sin(t))-l = 0: > dF:=diff(F,t): > sol:=simplify(solve({F,dF},{x,y})); sol := {x = kcos(í)3,y = fcsin(í)3} Uvažujme velikost úsečky k = 1: > k:=l: Řešení přiřadíme pomocí příkazu assign do proměnné env a následně příkazem unassign přiřazení zrušíme. Vykreslení obálky uložíme do proměnné env: > with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > assign(sol):env:=unapply([x,y],t):unassign('x','y'): > env:= plot([env(t)[1],env(t)[2],t=0..Pi/2],thickness=3,color=red): Vykreslíme obálku společně s několika přímkami zadané soustavy. Stejně jako v předchozím příkladu si přímky soustavy vyjádříme parametricky: > f:=(s,t)->[s*k*cos(t),k*sin(t)-s*k*sin(t)]: > SYS:=seq(plot([f(s,t*Pi/36)[1],f(s,t*Pi/36)[2],s=0..1], color=grey),t=0..18): > display(SYS,env); 140 4.3 Příklad. Nalezněte obálku přímek v 1. kvadrantu, které na osách vytínají trojúhelník s konstantní plochou S. Řešení. Využijeme úsekový tvar rovnice přímky: x y S ab 1 = 0 a, b > 0 ab = k = konst. => b = — a (11) (12) F(x,y,a) dF da x ay a k 1 = 0 x y x ay (lľ) _, > aii aii k F(x,y,a) = -£ + -±-1 = 0 ^2/=^ Dosazením za y do rovnice (12) obdržíme x = —. Obálku vyjádříme ve tvaru a k k soucmu xy =--= —. Jedna se o jednu větev hyperboly. 2 2a 4 Maple. Uvažujme obsah trojúhelníku S = ^ = ^, neboli k = ab. Rovnice soustavy přímek, její parciální derivace podle parametru soustavy a charakteristická množina: 141 > restart: > F:=x/a+a*y/k-l=0: > c!F:=diff (F,a) : > sol:=solve({F,dF},{x,y}); sol := íy = —,x = —} xy 2a 2s Uvažujme soustavu, kde > k:=5: Řešení přiřadíme pomocí příkazu assign do proměnné env a následně příkazem unassign přiřazení zrušíme. Vykreslení obálky uložíme do proměnné env: > with(plots) : > assign(sol):env:=unapply([x,y],a):unassign('x','y'): > env:= plot([env(t)[1],env(t)[2],t=0.05..2],thickness=3,color=red): Vykreslíme obálku společně s několika přímkami zadané soustavy. Stejně jako v předchozím příkladu si přímky soustavy vyjádříme parametricky: > f:=(s,t)->[t-t*s,k/t*s]: > SYS:=seq(plot ( [f(s,t/10) [l],f(s,t/10) [2],s=0..1], color=grey),t=l..10): > display(SYS,env); 4.4 Příklad. Vnitřní strana kružnice je osvětlena svazkem rovnoběžných paprsků. Nalezněte obálku odražených paprsků. Řešení. 142 Obrázek znázorňuje geometrickou situaci pro odražený paprsek směru u v závislosti na parame- likosti úhlu a = ir + 2t odpovídá vektor u vektoru tmí e (-|, f). Vzhledem k ve- (cos(vt + 2í), sin(vT + 2í)) = (— cos 2t, — sin 2ť). Normálovým směrem přímky odpovídající odraženému paprsku je tudíž směr (sin 2t, — cos 2ť). Uvažujeme-li jednotkovou kružnici, pak místo bodu odrazu je určeno souřadnicemi (cos í, sin i) a přímka je dána vztahem sin 2t(x — cos í) — cos 2t(y — siní) = 0 Charakteristická množina odražených paprsků: F(x,y,ť) =x sin 2í — y cos 2t — (sin 2t cos t — cos 2t sin í) =x sin 2t — y cos 2t — sin t = 0 dF —— =2x cos 2t + 2y sin 2t — cos í = 0 dt y x sin 2t — y cos 2t = sin í 2x cos 2t + 2y sin 2t = cos í Soustavu o neznámých x, y budeme řešit pomocí Cramerova pravidla: D sin 2t — cos 2t 2 cos 2t 2 sin 2t = 2 sin2 2t + 2 cos2 2t = 2 D. X sin í — cos 2t cos í 2 sin 2t = 2 sin í sin 2t + cos í cos 2t D. y sin 2t sin í 2 cos 2t cos í = sin 2t cos t — 2 sin í cos 2t 143 Obálka odražených paprsků má parametrizaci Dx 1 x = — = sin t sin 2t H— cos t cos 2t, D 2 Dv 1 y = —r = — sin 2t cos t — siní cos 2í, D 2 t e 7t 7t '2' 2 Pro í = 0 dostáváme bod vratu; stačí ověřit, že x'(0) = y'(0) = 0. Maple. Rovnice soustavy odražených paprsků, její parciální derivace podle parametru soustavy a charakteristická množina: > restart: > F:=x*sin(2*t)-y*cos(2*t)-sin(t)=0: > dF:=diff(F,t): > sol:=simplify(solve({F,dF},{x,y})); sol := {y = sin(í)3,x = —i(2cos(í)2 — 3) cos(í)} Řešení přiřadíme pomocí příkazu assign do proměnné env a následně příkazem unassign přiřazení zrušíme. Vykreslení obálky uložíme do proměnné env: > with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > assign(sol):env:=unapply([x,y],t):unassign('x','y'): > ENV:=plot ([env(t)[1],env(t)[2],t=-Pi/2..Pi/2],thickness=3,color=red): Do jednoho obrázku vykreslíme soustavu odražených paprsků společně s paprsky původními, obálku i osvětlovanou část kružnice. Kvůli hledání příhodné délky zobrazovaných parametrů bude tentokrát výhodnější pracovat s implicitním vyjádřením paprsků: > CIRCLE_PLOT:=plot([cos(s),sin(s),s=-Pi/2..Pi/2], color=black,thickness=2): > RAYS:=seq(implicitplot(y=sin(t),x=0..1,y=-l.2..1.2, color=grey),t=seq(i*Pi/40,i=-l9..19) ) : > SYS:=seq(implicitplot(F,x=0..l,y=-1.2..1.2, color=grey),t=seq(i*Pi/40,i=-l9..19)) : > display(CIRCLE_PLOT,RAYS,SYS,ENV,view=[0..1,-1.2..1.2]); 144 4.5 Příklad. Určete evolutu cykloidy f(t) = (r(t — siní), r(l — cosi)). Řešení. Evolutu cykloidy spočítáme jako obálku soustavy jejích normál. f'(t) = (r(l - cosi), r siní) Protože je důležitý pouze směr f'(t), v dalších výpočtech r vykrátíme. Normála v bodě /(i) je dána rovnicí (z — f(t), —f'(t)) = 0, kde z = (x,y). Vyjádříme r soustavu normál: F(x, y,ť) = {x — rt + r siní)(l — cos í) + {y — r + r cos í) siní = x(l — cos í) + y sin í + rt (cos í — 1) = 0 dF -^j- = a; siní + ycosí + r(cosí — 1) — rt siní = 0 x(l — cos í) + y sin í = rt (1 — cos í) a;siní + ycosí = r(l — cosi) + rt siní Soustavu o neznámých x, y vyřešíme Cramerovým pravidlem: D 1 — cos í sin í sin í cos í = cos í — cos í — sin í = cos í - 1 D. D X rt(l — cos í) siní r(l — cosi) + rt siní cosi 1 — cos í rt(l — cos í) r(cosí — l)(í + siní) r(l — cosi)2 y siní r(l — cosi) + rísiní 145 Obálka normál má parametrizaci D. x r (sin í + t) x D y Dy D r (cos t — 1). Proveďme reparametrizaci t = r + tt: x = r(sin(r + tt) + r + tt) = r(r — sinr) + 7rr, y = r (cos(r + tt) — 1) = r(l — 1 — cos r — 1) = r (1 — cos r) — 2r. Evolutou cykloidy je tedy cykloida posunutá o vektor (irr, —2r). Na obrázku je evoluta vykreslena čárou větší tlouštky: Maple. Výpočet evoluty v Maplu nebudeme implementovat jakožto hledání obálky normál, ale jako určení množiny středů oskulačních kružnic. Následující procedura evolute má za vstupní parametr křivku. Lokální proměnná r_osc reprezentuje spojnici středu oskulační kružnice s bodem dotyku, lokální proměnné df, ddf, dfdf, dfddf mají stejný význam jako v proceduře ose (str. 130): > restart: > evolute:=proc(f) local df,ddf,dfdf,dfddf,r_osc; df:=diff(f(t),t); ddf:=diff (f (t),t$2); dfdf:=df[1]*df[1]+df[2]*df[2]; dfddf:=df[1]*ddf[2]-df[2]*ddf[1]; r_osc:=t->[-df[2]*dfdf/dfddf,df[1]*dfdf/dfddf] ; simplify(evalm(f(t)+r_osc(t))); end: Evoluta cykloidy: > cycloid:=t->[r*(t-sin(t)),r*(1-cos(t))]: > evolute(cycloid); ! irr 146 [(sin(í) + t)r,r(-l + cos(í))] Následující kód implementuje proceduru piot_evoiut e zobrazující normály křivky. Obálkou těchto normál je hledaná evoluta, která je patrná i bez jejího vlastního znázornění. Procedura má za vstupní parametry křivku f, interval vykreslení (tl,t2) a číslo k udávající počet vykreslovaných normál n_piot: > with(plots):setoptions(scaling=constrained): > plot_evolute:=proc(f,tl,t2,k) local df,ddf,dfdf,dfddf,r_osc,n_par,N_PLOT,F_PLOT; df:=diff(f(t),t) ; ddf:=diff(f(t),t$2); dfdf:=df[1]*df[1]+df[2]*df[2]; dfddf:=df[1]*ddf[2]-df[2]*ddf[1]; r_osc:=t->[-df[2]*dfdf/dfddf,df[1]*dfdf/dfddf]; n_par:=evalm(f(t)+s*r_osc(t)); N_PLOT:=seq(plot([n_par[1],n_par[2],s=-l..1],color=blue), t=seq(tl+(t2-tl)*i/k,i=0.-k)): F_PLOT:=plot([f(t) [1],f (t) [2],t=tl.-t2],thickness=3,color=red) : display(N_PLOT,F_PLOT); end: Obálka normál cykloidy: > r:=1: > plot_evolute(cycloid,0.1,8*Pi,60) ; 4.6 Příklad. Nalezněte obálku normál elipsy f(t) = (a cosi, b siní). Řešení. Budeme postupovat obdobným způsobem jako v předchozím příkladu 4.5. /'(ŕ) = (—a siní, b cosi) Normála v bodě f(t) je dána rovnicí (z — f(t),f'(t)) = 0, kde z = (x,y). 147 Vyjádříme soustavu normál: F(x,y,t) =(x — a cosi) (—a siní) + (y — 6siní)6cosí 9 9 = — xasmt + ybcost + a siní cosi — b siní cos i = — xa sin í + yb cos i + (a2 — 62) sin í cos i = 0 r„2 <9F - = —a;acosí — wosmí dt b2) (cos2í - sin2í) / 9 9 \ a;a sin í — yb cos í = (a — b j sin í cos í a2 - b2) (cos2 t - srn2 t) xacost + yb siní Soustavu o neznámých x, y vyřešíme Cramerovým pravidlem: D a siní —b cosi a cos í b sin i afr sin2 í + ab cos2 t = ab Dx = b(a2- b2) = b(a2- b2) Dy = a (a2 - b2) sin í cos i cos i cos2 i — sin2 í sin i (sin2 i cos í + cos3 i — sin2 í cos í) = b (a2 — 62) cos3 i siní sin í cos i cos i cos2 í — sin2 i (sin i cos2 í — sin3 i — sin í cos2 í) = a (b2 — a2) sin3 i Obálka normál má parametrizaci Dx _ a2 £y = bl D ■ cos i, ■ snr i. Dostáváme asteroidu po afinní transformaci. Tento výsledek odpovídá výsledku při hledání středů oskulačních kružnic (viz Příklad 3.2). Maple. Použijeme stejných procedur jako v předešlém příkladě: > ellipse:=t->[a*cos(t),b*sin(t)]: > evolute(ellipse); "cos(ž)3(-62 + a2) sin(ž)3(-62 + a2)' a ' b 148 > a:=5:b:=3:plot_evolute(ellipse,0,2 *Pi,32); 4.7 Příklad. Evolventu E(p) orientované křivky C určenou bodem p G C dostaneme tak, že na tečnu v bodě g G C naneseme (orientovanou) délku oblouku mezi p a q. Z mechanického hlediska jde tedy jako by o odvíjení nitě namotané na dané křivce (vždy ve směru tečny). Dokažte, že křivka C je evolutou každé své evolventy E(p). 149 Řešení. Na následujících obrázcích je znázorněn mechanický popis evolventy kružnice: Uvažujme křivku danou parametrizací obloukem /(s) a příslušné jednotkové vektory ei(s) = a e2(s) || ^jj. Potom pro parametrické vyjádření g(s) evolventy E{p) v bodě p platí: ff(s) = /(s) - sei(s) Hledáme evolutu křivky E{p), proto si nejdříve najdeme rovnici soustavy normál E{p) a potom určíme jejich obálku: 3^ = ei(s) - ei(s) - s/í(s)e2(s) ^ || e2(s) ds ds Charakteristická množina normál evolventy (pro z = {x,y))\ F(x,y,s) = (e2(s),z - /(s) +sei(s)) = (e2(s),z - /(s)) + (e2(s), sei(s)) = (e2(s),z-/(S))=0 9f — = (-/í(s)ei(s),z as (s)) + (e2(s), -ei(s)) = (-/c(s)ei(S), z - /(s)) = 0 Odtud plyne, že z — /(s) musí být kolmé na ei(s) i e2(s). Tudíž z — /(s) = o, neboli z = /(s). Obálkou normál (evolutou) evolventy dané křivky je tedy křivka sama. Maple. Pro jednoduchost uvažujme pouze křivky parametrizované obloukem. Procedura pro výpočet evolventy křivky /(s) v bodě /(c): > restart: > involute:=proc(f,c) local s,df; df:=s->diff(f(s),s); s->evalm(f(s)+(c-s)*df(s)); end: 150 Mějme kružnici parametrizovanou obloukem a vykresleme několik jejích evolvent: > circle:=s->[r*cos(s/r),r*sin(s/r)]: > inv:=involute(circle,c):inv(s); > with(plots):setoptions(scaling=constrained): > r:=2: > CIRCLE_PLOT:=plot([circle(s) [1],circle(s) [2],s=0..2*Pi*r], thickness=2,color=red): > INVOLUTE:=seq(plot([involute(circle,c)(s)[1], involute(circle,c)(s)[2],s=c..c+5*r], color=blue),c=seq(j*Pi*r/3,j=0..6)): > display(CIRCLE_PLOT,INVOLUTE); 151 5 Prostorové křivky 5.1 Příklad. Napište parametrické vyjádření trajektorie bodu P, který se pohybuje rovnoměrným otáčivým pohybem kolem osy rotační válcové plochy a zároveň a) konstantní rychlostí, b) rychlostí úměrnou proběhnuté dráze, po tvořící přímce této rotační válcové plochy. Řešení. Uvažujme rotační válcovou plochu, jejíž podstavou je kružnice se středem v počátku souřadné soustavy a poloměrem a. Tudíž pro souřadnice (x,y, z) hledané křivky platí, že x = a cos í a y = a sin í. a) Vztah pro souřadnici z: dz — = b, kde b = konst. dt dz = bdt z = bt + c Výsledná parametrizace má tedy tvar f(t) = (a cos í, a siní, bt). Tato křivka se nazývá šroubovice. b) Vztah pro souřadnici z: dz — = kz, kde k = konst. dt dz , , — = kát z ln z = kt + ln b z = bekt Výsledná parametrizace má tedy tvar f(t) = ^acosí, a siní, bekt Tato křivka se nazývá válcová spirála. 152 Maple. Podívejme se, jak parametr b ovlivňuje tvar šroubovice f(ť) = (a cos í, a siní, bť). Nejdříve si vykreslovanou křivku nadefinujeme: > restart:with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > helix:=t->[a*cos(t),a*sin(t),b*t]: V Maplu slouží pro znázorňování prostorových křivek příkaz spacecurve z knihovny plots. Zobrazíme jednu ze šroubovic samostatně a poté obě do jediného obrázku. Proměnné hi, h2 představují křivky, přesněji jejich vykreslení, pro různé hodnoty a a b. Volba numpoints v příkazu spacecurve zjemňuje znázornění křivek: > HI:=spacecurve(subs(a=7,b=l,helix(t)),t = 0..4*Pi,thickness=2, color=blue,numpoints=500): > H2:=spacecurve(subs(a=5,b=2,helix(t)),t = 0..4*Pi,thickness=2, color=red,numpoints=500): > display(Hl,axes=frame); > display(Hl,H2,axes=frame); Slabší čárou je zobrazena křivka pro a = 7, b = 1 a silnější čárou je zobrazena křivka pro a = 5, b = 2. Význam hodnoty a jakožto poloměru podstavy válce šroubovice je evidentní. Hodnota b udává, jakou rychlostí se bod křivky pohybuje podél tvořící přímky válce, tj. „jak rychle se otáčí" kolem jeho osy. V případě válcové spirály už není „rychlost otáčení" konstantní, ale s rostoucím í se zmenšuje. Vykreslíme si příklad válcové spirály pro a = 15, 6 = 1 afc = 0.1: > cylindrical_spiral:=t->[a*cos(t),a*sin(t),b*exp(k*t)]: > spacecurve(subs(a=15,b=l,k=0.1,cylindrical_spiral(t)), t=0..12*Pi,thickness=2,color=blue,numpoints=500,axes=normal); 153 5.2 Příklad. Napište parametrické vyjádření trajektorie bodu P, který se pohybuje rovnoměrným otáčivým pohybem kolem osy rotační kuželové plochy a zároveň a) konstantní rychlostí, b) rychlostí úměrnou proběhnuté dráze, po tvořící přímce této rotační kuželové plochy. a) a = ct, p = at, z = bt, přičemž b2 = c2 — a2. Křivka má tedy parametrizaci Nazývá se kuželová šroubovice. b) a = cekt,p = aekt,z = bekt, přičemž b2 = c2 — a2. Křivka má tedy parametrizaci Nazývá se kuželová spirála. Maple. Znázorníme si obě kuželové křivky obdobně jako v příkladu 5.1: Řešení. Uvažujme rotační kuželovou plochu s vrcholem v počátku souřadné soustavy. Velikost a můžeme odvodit stejně, jako jsme v předchozím příkladě .1 odvodili vztah pro souřadnici z. Z podobnosti trojúhelníků můžeme tedy psát: f(t) = (at cos t, at siní, bt). 154 > restart:with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > conic_helix:=t->[a*t*cos(t),a*t*sin(t),b*t]: > conic_spiral:=t-> [a*exp(k*t)*cos(t),a*exp(k*t)*sin(t),b*exp(k*t)] ; > CH:=spacecurve(subs(a=l,b=l.5,conic_helix(t)), t=-4*Pi..8*Pi,numpoints=500,thickness=2,color=blue): > CS:=spacecurve(subs(a=l,b=l.5,k=0.1,conic_spiral(t)), t=-4*Pi..8*Pi,numpoints=500,thickness=2,color=blue): > display(CH,axes=normal); > display(CS,axes=normal); Projekcí těchto prostorových křivek do roviny (x,y) dostáváme Archimedovu a logaritmickou spirálu. Znázornění projekce v Maplu realizujeme procedurou pro ject z balíku piottools. Tato procedura má jako vstupní parametr zobrazovaný objekt a dalším parametrem je seznam bodů projekční přímky nebo roviny: > with(piottools,project): > PROJ_CH:=project(CH, [[0,0,0], [1,0,0], [0,1,0]]): > PROJ_CS:=project(CS, [[0,0,0], [1,0,0], [0,1,0]]): > display(CH,PROJ_CH,axes=normal); > display(CS,PROJ_CS,axes=normal) ; 5.3 Příklad. Bicylindrická křivka je průnikem dvou rotačních válcových ploch o různých poloměrech a a b, jejichž osy se kolmo protínají. Napište parametrické vyjádření této křivky. 155 Řešení. Zvolme válcové plochy tak, že jejich osami jsou souřadnicové osy xaya mějme a < b. Tudíž válcové plochy jsou určeny rovnicemi (13) y2+z2 = b2 (14) x2 + z2 = a2 Válcovou plochu (14) o menším poloměru a promítneme do roviny (x,z). Výsledná kružnice má parametrické rovnice x = a cos t,z = a sin t, které dosadíme do rovnice válcové plochy (13): y2 + a2 sin2 t = b2 y = ±Vb2 — a2 sin2 t Výsledná parametrizace zahrnuje obě části bicylindrické křivky: f(t) = (a cos t, ±Vb2 — a2 sin2 í, asini^ Maple. Bicylindrická křivka vzniká jako průnik dvou rotačních válcových ploch jistých vlastností: > restart:with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > cylinderl: = [x=a*cos(t),y=y,z=a*sin (t)] : > cylinder2:=y~2+z~2=b~2: > subs(cylinderl,cylinder2): > solve(%,y); V-a2 sin(í)2 + b2, - V-a2 sin(í)2 + b2 Nyní už můžeme zapsat parametrické vyjádření bicylindrické křivky. Křivka je rozdělena na dvě části, které parametrizujeme zvlášť. Množinové závorky nám umožní nadefinovat obě části do jedné proměnné bicylinder. Křivku vykreslíme spolu s válcovými plochami CYLiNDERia, c YLiNDERib, jejichž průnikem je křivka definována. Pro zobrazení válcových ploch daných parametricky použijeme příkaz piot3d spolu s volbou styie=wiref rame a grid= [50,2]. První volba umožní zobrazit válcové plochy jako síť parametrických křivek, druhá volba udává hustotu této sítě. > bicylinder:=t->{[a*cos(t),sqrt(b~2-a~2*sin(t)~2),a*sin(t)], [a*cos(t),-sqrt(b~2-a~2*sin(t)"2),a*sin(t)]}: > CYLINDERla:=plot3d(subs(a=2,[a*cos(u),v,a*sin(u)]),u=0..2*Pi, v=-7..7,style=wireframe,grid=[5 0,2],color=green): > CYLINDERlb:=plot3d(subs(b=3,[v,b*cos(u),b*sin(u)]),u=0..2*Pi, v=-6..6, style=wireframe,grid=[50,2],color=gray) : > BICYLINDER1:=spacecurve(subs(a=2,b=3,bicylinder(t)),t=0..2*Pi, thickness=3,color=brown): > display(CYLiNDERia,CYLINDERlb,BICYLINDER1); 156 V případě a = b se křivka mění v protínající se elipsy ležící v rovinách x = y a x = -y: > CYLINDER2a:=plot3d(subs(a=2,[a*cos(u),v,a*sin(u)]),u=0..2*Pi, v=-6. . 6, grid=[75,2],style=wireframe,color=green) : > CYLINDER2b:=plot3d(subs(b=2,[v,b*cos(u),b*sin(u)]),u=0..2*Pi, v=-6..6, grid=[75,2] , style=wireframe,color=gray) : > BICYLINDER2:=spacecurve(subs(a=2,b=2,bicylinder(t)),t=0..2*Pi, thickness=3,color=brown): > display(CYLINDER2a,CYLINDER2b,BICYLINDER2); 5.4 Příklad. Vivianiho křivka (viz str. 32) je průnikem sféry a rotační válcové plochy o polovičním poloměru, přičemž jedna z tvořících přímek válcové plochy prochází středem sféry. Napište parametrické vyjádření této křivky. Řešení. 157 Dále uvažujme parametrizaci sféry (viz sférické souřadnice) kde u G 7t 7t '2' 2 a; = r cos tí cos v, y = r cos tí sm v, z = r sm tí, ,u E [0,2ir]. Teď už stačí dosadit parametrické rovnice sféry do rovnice válcové plochy: r2 (cos2 u cos2 v — cos u cos v + cos2 u sin2 v) 0 cos íí(cos u — cos v) = 0 Pokud cos u 7^ 0, pak musí platit cos u = cos v => u = ±v. Tedy parametrické rovnice Vivianiho křivky jsou f (v) = (r cos2 v, r cos v sin v, ±r s Vzhledem k průběhu funkcí sin a cos lze Vivianiho křivku vyjádřit jednoduššeji: f (v) = (r cos2 v, r cos v sin v, r sin v) , v E [0, 2tt] . " 7t 7t" ) ,ve -- — - 2' 21 Maple. Budeme postupovat obdobně jako v případě bicylindrické křivky. Vyjádříme si v parametrických souřadnicích sféru a implicitní rovnicí válcovou plochu tak, aby situace odpovídala předchozímu popisu Vivianiho křivky. > restart:with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > sphere:=[x=r*cos(u)*cos(v),y=r*cos(u)*sin(v),z=r*sin(u)]: > cylinder:=(x-r/2)~2+y~2=(r/2)'2: > subs(sphere,cylinder): > solve(%,u); 7T 7T> v Nyní už můžeme zapsat parametrické vyjádření Vivianiho křivky a stejně jako v předchozím příkladu 5.3 ji znázornit jako průnik dvou ploch: > viviani:=v->[r*cos(v)"2,r*sin(v)*cos(v),r*sin(v)]: > SPHERE:=plot3d([cos(u)*cos(v),cos(u)*sin(v),sin(u)], u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,style=patchnogrid,color=gray): > CYLINDER:=plot3d([l/2+l/2*cos(v),l/2*sin(v),u], u=-5/4..5/4,v=0..2*Pi,style=wireframe,color=green) : > VIVIANI:=spacecurve(subs(r=l,viviani(t)),t=0..2*Pi, thickness=3,color=brown): > display(SPHERE,CYLINDER,VIVIANI); 158 Projekcí Vivianiho křivky do souřadných rovin dostáváme kružnici, část paraboly a "osmičku" . Následující kód vykreslí projekci Vivianiho křivky do všech souřadných rovin: > with(plottools,project): > PROJÍ:=project(VIVIANI, [[0,0,0], [1,0,0], [0,1,0]]): > display(VIVIANI,PROJÍ,axes=frame); > PROJ2:=project(VIVIANI, [[0,0,0], [1,0,0], [0,0,1]]): > display(VIVIANI,PROJ2,axes=frame); > PROJ3:=project(VIVIANI, [[0,0,0], [0,1,0], [0,0,1]]): > display(VIVIANI,PROJ3,axes=frame); 3Křivka má v rovině parametrizaci [siní, siní cosi] a tvarem připomíná číslici 8. Její český název není ustálen, ale v angličtině se často používá označení figure eight. 159 6 Frenetův repér prostorové křivky 6.1 Příklad. Popište Frenetův repér šroubovice f(t) = (a cos t, a sin t,bť). Řešení. f'(ť) = (—a siní, a cosi, b) f"(t) = (—acosi, —asiní, 0) /'(ŕ) X f" (t) = a(bsmt,-b cos t, a) (/'(*) x f" (t)) x /'(í) = a(a2 + 62)(- cost, -siní, 0) Pro tečný vektor t, binormálový vektor b a vektor hlavní normály n tedy platí: t b n f (t) 1 ll/'(í)ll /'(í) x f"{t) 1 II/'(í)x/"(í)|| y^tf (f (t) x /"(í)) x /'(í) ||(/'(í)x/"(í))x/' (—a sin í, a cos í, b) (b sin t, —b cost, a) (— cos í, — siní, 0) Tečny křivky tedy svírají s každou rovinou kolmou k ose šroubovice konstantní úhel (tzv. úhel stoupání šroubovice), konstantní úhel s touto rovinou svírají i binormály. Hlavní normály jsou kolmé na osu šroubovice. Normálová rovina v prostorové křivky je určena hlavní normálou a binormálou, tj. je kolmá na tečnu. Pro body X = {x, y, z) normálové roviny šroubovice tedy platí v : {X — /(í),t) = —asiní(a; — acosí) + acost{y — asiní) + b (z — bt) = 0 —ax sin t + ay cos t + bz — b2t = 0. Oskulační rovina tu prostorové křivky je určena tečnou a hlavní normálou, tj. je kolmá na binormálu, pro body X = {x, y, z) oskulační roviny šroubovice tedy platí tu : {X — f(t), b) = bs'mt(x — acost) — bcost(y — asiní) + a(z — bt) = 0 bx sin t — by cos t + az — abt = 0. 160 Rektifikační rovina p prostorové křivky je určena tečnou a binormálou, tj. je kolmá na hlavní normálu, pro body X = (x, y, z) rektifikační roviny šroubovice tedy platí p : (X — f (t), n) = — cost(x — acost) — sini(y — a siní) + 0(z — bt) = 0 —x cos t — y sin t + a = 0. Rektifikační rovina je tečnou rovinou válcové plochy, na které šroubovice leží. Maple. Nadefinujeme šroubovici, přičemž pro konstanty a, b musí platit určitá omezení, která vymezíme příkazem assume (další podrobnosti na straně 122). > restart:with(VectorCalculus): > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > interface(showassumed=0):assume(a>0,b::real): > helix:=: Vypočítáme Frenetův repér (tečný vektor, vektor hlavní normály, binormálový vektor) pomocí procedury TNBFrame z knihovny VectorCalculus. Tato procedura vrací jednotkové vektory v uvedeném pořadí. Zápis pomocí bázových vektorů není moc přehledný, proto si ještě výsledek upravíme pomocí příkazu evalm: > evalm(TNBFrame(helix,t)[1]); > evalm(TNBFrame(helix,t)[2]); > evalm(TNBFrame(helix,t)[3]):simplify(%); asin(í) acos(í) b V62 + a2 ' V62 + a? ' . [— cos(í), — sin(í), 0] 6sin(í) 6cos(í) a _Vb2 + a2'' Vb2 + a2 ' ^b2 + a2_ Vektor binormály šroubovice pro t = ir: > subs(t=Pi,simplify(evalm(TNBFrame(helix,t) [3]))) : > simplify(%); . ' sjb2 + a2 ' sjb2 + a2 _ Znázornění vektorů Frenetova repéru pro konkrétní šroubovici helix (a = 5, b = 1) na intervalu [0,6ir]: > hel:=subs(a=5,b=l,helix): > helix:=spacecurve(evalm(hel),t=0..6*Pi, thickness=3,color=black,numpoints=200) : > tangent_line:=evalm( evalm(hel)+u*(TNBFrame(hel,t) assuming t::real)[1]): 161 > principal_normal_line:=evalm( evalm(hel)+u*(TNBFrame(hel,t) assuming t::real)[2]): > binormal_line:=evalm( evalm(hel)+u*(TNBFrame(hel,t) assuming t::real)[3]): > frames:=64:tl:=0:t2:=6*Pi: > T:=seq(spacecurve(tangent_line,u=-7. . 7,color=blue), t=seq(tl+(t2-tl)*i/(frames+1),i=l..frames)): > PN:=seq(spacecurve(principal_normal_line,u=-3..3,color=green) , t=seq(tl+(t2-tl)*i/(frames+1),i=l..frames)): > B:=seq(spacecurve(binormal_line,u=-2..2,color=red), t=seq(tl+(t2-tl)*i/(frames+1),i=l..frames)): t, pn, b představují posloupnosti tečen, hlavních normál a binormál. Proměnná frames určuje, kolik takových přímek se v daném intervalu vykreslí. Čím vyšší číslo, tím pomalejší bude výpočet (v závislosti na výkonu počítače). > display(T,HELIX); > display(PN,HELIX); > display(B,HELIX); Spuštěním následujícího kódu dostáváme animaci pro tečny, hlavní normály, bi-normály i kompletní Frenetův repér: > T_ANIM:=display(T,insequence=true): > display(HELIX,T_ANIM); > PN_ANIM:=display(PN,insequence=true): > display(HELIX,PN_ANIM); > B_ANIM:=display(B,insequence=true): > display(HELIX,B_ANIM); > display (HELIX, T_ANIM,PN_ANIM,B_ANIM) ; 6.2 Příklad. Určete směrové vektory tečny, hlavní normály a binormály v libovolném bodě křivky f(t) = (t,t2,t + 1). 162 Řešení. Použijeme stejný postup jako v příkladu 6.1, jen už nemusíme vektory normovat, zjišťujeme pouze směr. směr tečny: f'(t) = (1, 2í, 1) /"(i) = (0,2,0) směr binormály: f'(t) x f"(t) = (-2,0,2) směr hlavní normály: (/'(í) x f" (ť)) x f (t) = (-4í, 4,-4í) Směr binormály je konstantní, křivka tudíž leží v rovině. Normálový vektor této roviny má směr /' x /".V obecné rovnici roviny — x + z + c = 0 dopočítáme c tak, že dosadíme do rovnice bod křivky /(í): -í + (í + 1) + c = 0 c = -1 Křivka /(í) leží v rovině x — z + 1 = 0. Maple. Pro zjednodušení výpočtů nám v mnohém případě stačí uvažovat pouze směry vektorů Frenetova repéru, které získáme pomocí procedur knihovny VectorCalculus: > restart:with(VectorCalculus) : > f:=: > evalm(simplify(TangentVector(f,t))); > evalm(simplify(PrincipalNormal(f,t))); > evalm(simplify(Binormal(f,t))); [1, 2í, 1] 2í 2 2t (1 + 2í2) V2 + 4í2 ' (1 + 2í2) V2 + 4í2 ' (1 + 2í2) V2 + 4í2 1 + 2í2 ' ' 1 + 2í2 Jedná se opravdu o rovinnou křivku ležící v rovině x — z + 1 = 0: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > F:=spacecurve(evalm(f),t=-2..2,color=black,thickness=2): > PLANE:=implicitplot3d(x-z+l=0,x=-2..2,y=0..4,z=-l..3, style=wireframe): > display(F,PLANE,axes=frame); 163 6.3 Příklad. Najděte tečnu ke křivce f(t) = (í2,í, e*) rovnoběžnou s rovinou x — 2y — 5 = 0. Řešení. Směr tečného vektoru křivky je f'(t) = (2í, 1, e*), normálový směr zadané roviny odpovídá n = (1,-2,0). Má-li tečný vektor ležet v zaměření dané roviny, musí platit (/'(í), n) = 2t - 2 = 0, tj. í = 1. V bodě /(l) = (1,1, e) má tedy tečný vektor směr /'(l) = (2,1, e) a tečna má parametrické vyjádření (1 + 2s, 1 + s, e + es). Maple. Skalární součin určíme příkazem DotProduct z knihovny vectorCalculus Směr tečného vektoru vypočítáme voláním procedury Tangent vector a příkazem solve zjistíme, kdy je tento vektor kolmý na normálový vektor (1,-2,0) zadané roviny: > restart:with(VectorCalculus): > f:=: > solve(DotProduct(TangentVector(f,t),)=0,t); 1 Daný předpoklad je splněn pouze pro t = 1. Tudíž parametrické vyjádření (pro parametr u) hledané tečny má tvar: > subs(t=l,evalm(f+u*TangentVector(f,t))); [1 + 2u, 1 + u, e + ue] 6.4 Příklad. Dokažte: Jestliže na binormály šroubovice f(t) = (a cos í, a siní, bť) nanášíme úsečku konstantní délky /, dostaneme opět šroubovici. 164 Řešení. Spočítáme směrový vektor binormály f'(t) x f "(t): f'(t) = (—a sin t, a cos t, b) f" (t) = (—a cos t, —a siní, 0) /'(í) x f" (t) = a(b sin í,-b cos í, a) Potom pro hledanou křivku platí (15) g(í) = (acosí + kbs'mt, asiní — kbcost, bt + ka), kdek= \\r(t)xnt)\\l- A B Pro libovolné přípustné A, B a cosw = — , tj. sinw V A2 + B2 ' V A2 + B2 ' lze psát: A . B A sin í + B cos í = + B2 í , sin t H--, cos t \VA2+B2 V A2 + B2 = \/A2 + B2 (cos w sin t + sin to cos t) = \J A2 + B2 sm(t A cos t — B sin t = \/A2 + B2 ( = cos t-- : sin t \VA2+B2 V A2 + B2 = y/A2 + B2(cos w cos t — sin w sin t) = V'A2 + B2 cos(í Dosadíme A = a a B = —kb do parametrického vyjádření (15) hledané křivky: g (t) = (Ví^-Kfc2^2 cos(í + w), \/a2 + k2b2 sin(í + w),bt + ka) Provedeme reparametrizaci t + w = r. Pak bt + ka = br — bw + ka. Výsledná parametrizace hledané křivky g (t) = (\/ a2 + k2b2 cos r, \/ a2 + k2b2 sin r, br + konst.) je opět šroubovice (viz obrázek na str. 162). 6.5 Příklad. Dokažte, že všechny normálové roviny křivky f(t) = (a sin2 í, a sin í cos í, a cos t) procházejí počátkem souřadnic. 165 Řešení. f'(t) = (2a sin í cost, a(cos2 í — sin2 í), —a sin í) Normálovou rovinu křivky vypočítáme stejně jako v příkladu 6.1. Pro body normálové roviny X = (x, y, z) platí, že (X — f(t),f'(t)) = 0. Po dosazení: 2a siní cosi (a; — a sin2 í) + a(cos2 í — sin2 t)(y — a siní cosi) — a siní (z — a cos í) = 2ax sin í cos í + a(cos2 í — sin2 ť)y — az sin í + (—2a2 sin3 í cos t — a2 sin í cos3 í + a2 sin3 í cos í + a2 sin í cos í) = 2aa; siní cos í+a(cos2 í—sin2 ť)y—az siní+a2(— sin2 í—cos2 í+1) siní cosi = 2aa; sin í cos í + a(cos2 í — sin2 ť)y — az sin í = 0 Absolutní člen rovnice je nulový, tudíž každá normálová rovina prochází počátkem souřadnic. Maple. V následujícím kódu budeme potřebovat příkaz collect, který uspořádá sčítance prvního vstupního parametru tak, jak předepisuje druhý vstupní parametr. Zadaná křivka a rovnice její normálové roviny (kolmé na tečný směr): > restart:with(VectorCalculus): > viviani:=; > evalm(DotProduct(-viviani,TangentVector(viviani,t))); > normal_plane:=unapply(collect(%,[x,y,z])=0,t): > normal_plane(t); 2a sin(í) cos(t)x + a(2 cos(í)2 — l)y — asin(í)z — 2a2 sin(í)3 cos(í) — a2 sin(í) cos(í)(2 cos(í)2 — 1) + a2 sin(í) cos(í) = 0 Ověříme, že každá taková rovina prochází bodem [0,0, 0]: > subs(x=0,y=0,z=0,%);simplify(%) ; —2a2 sin(í)3 cos(í) — a2 sin(í) cos(í)(2cos(í)2 — 1) + a2 sin(í) cos(í) = 0 0 = 0 Následující kód, který znázorňuje animaci normálových rovin, je ponechán čtenáři k samostatnému prozkoumání: 166 > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > a:=2: > VIVIANI:=spacecurve(evalm(viviani),t=0..2*Pi, color=black,thickness=3,numpoints=200): > frames:=72:tt:=i->i*2*Pi/frames: > NORMAL_PLANE:=seq(implicitplot3d(normal_plane(tt(i)),x=-l..3, y=-2..2,z=-3..3,style=wireframe,color=grey),i=0..frames): > NORMAL_PLANE_ANIM:=display(NORMAL_PLANE,insequence=true): > P:=seq(pointplot3d(subs(t=tt(i),viviani),color=red, symbol=circle,symbolsize=25),i=0..frames): > P_ANIM:=display(P,insequence=true): > display(VIVIANI,NORMAL_PLANE_ANIM,P_ANIM,axes=normal) ; 6.6 Příklad. Dokažte, že oskulační rovina křivky f(t) = (i,i2,i3) obsahuje přímku, která prochází bodem křivky, je rovnoběžná s rovinou {[x, y) a protíná osu z. Řešení. Oskulační rovinu tu křivky f(t) můžeme spočítat obdobně jako v příkladu 6 tak, že nejdříve zjistíme směr binormály. Pokud ovšem není součástí příkladu určit směr binormály, je jednodušší výpočet bodů X = (x,y,z) oskulační roviny provést přímo: [X-f(t),f'(t),f"(t)} = 0 Protože f'(t) = (1, 2t, 3í2) a f"(t) = (0, 2,6í), dostáváme rovnici x — t y - t2 z - t3 2t 2 3t2 6í 0, neboli oj : 3t2x - 3ty + z - t3 = 0. Spočítáme průnik oskulační roviny tu a osy z (x = 0, y = 0): 3í2 ■ 0 - 3r ■ 0 + z - t3 0. Bodem hledané přímky tedy musí být bod (0,0, i3). Protože přímka obsahuje také příslušný bod křivky, je určena bodem (t,t2,t3). Směrový vektor přímky je tedy (í, t2,t3) — (0, 0, i3) = í(l, í, 0), což je směr patřící do zaměření roviny (x, y). Maple. Pomocí procedury Binormal vypočítáme binormálový vektor, z něhož určíme rovnici oskulační roviny. Obdobně jsme v předchozím příkladu počítali rovnici normálové roviny. 167 > restart:with(VectorCalculus): > f:=: > simplify(evalm(DotProduct(-f,Binormal(f,t)))): > oscul_plane:=unapply(collect(%,[x,y,z]),t)=0: > oscul_plane(t); 6t2x 6ty 2z 2t3 1 + 4í2 + 9í4 ~ 1 + 4í2 + 9í4 + 1 + 4í2 + 9í4 ~ 1 + 4í2 + 9r4 Průsečík s osou z: > subs(x=0,y=0,oscul_plane(t));solve(%,z); 2z 2ŕ _ 1 + 4í2 + 9í4 1 + 4í2 + 9í4 j-3 Hledaná přímka je tedy určena body /(í) a [0,0, i3]. Ještě ověříme, že je kolmá na směr (0,0,1): > evalm(DotProduct(f-[0,0,t"3],<0,0,1>)); 0 6.7 Příklad. Dokažte, že křivka / (í) = (e* cos i, e* sin í, 2t) leží na ploše F : x2 +y2 — ez = 0 a že její oskulační rovina v každém bodě splývá s tečnou rovinou plochy. Řešení. Dosadíme parametrické rovnice křivky x = e*cosi,y = e*siní,z = 2í do rovnice plochy F: (e* cos í)2 + (e* siní)2 - e2í = e2í (cos2 í + sin2 í - 1) = 0. Křivka teda opravdu leží na zadané ploše. Další část úlohy bude výpočetně nejsnažší řešit tak, že určíme zaměření oskulační roviny, tj. spočítáme f'(t), f"(t), a ověříme, že se jedná o směry kolmé na normálový vektor plochy d F o f: dF: (2x,2y,-ez), dF o f: (2e* cos í, 2e* siní,-e2í) /' (í) = (e* (cos í - sin í), e* (sin í + cos í), 2) f"(t) = (eí(-2siní),eí(2cosí),0) (dF,f'(t)) = 2e2í cosí(cosí - siní) + 2 e2í siní (siní + cosi) - 2e2í = 0 (dF,f"(t)) = -4e2í sin í cos í + 4e2ísiní cosi+ 0 = 0 168 Maple. Spočítáme rovnici oskulační roviny zcela analogicky příkladu 6.6: > restart:with(VectorCalculus): > f:=: > simplify(evalm(DotProduct(-f,Binormal(f,t)))): > oscul_plane:=unapply(collect(%,[x,y,z]),t)=0: > oscul_plane(t); 2etcos(t)x 2eÉ sin(í)j/ (e')2z et(2et - 2eH) 2 + e(2ť> 2 + e(2ť> + 2 + e(2t) H 2 + e(2ť> Nyní ověříme, že křivka leží na zadané ploše F a spočítáme směr normálového vektoru n plochy podél křivky f(t): > F:=x~2+y~2-exp(z): > subs(x=f[1],y=f[2],z=f[3],F);simplify(%); (eÉ)2cos(í)2 + (e'fsm^)2 - e(2t) 0 > n:=subs(x=f[1],y=f[2],z=f[3],[diff(F,x),diff(F,y),diff(F,z)]): Teď už jen ověříme, že směr n je kolmý na zaměření oskulační roviny: > simplify(evalm(DotProduct(n,TangentVector(f, t) ) ) ) ; 0 > simplify(evalm(DotProduct(n,PrincipalNormal(f,t)))); 0 169 7 Křivost a torze prostorové křivky 7.1 Příklad. Určete křivost a torzi křivky f(t) = (t, t2, i3) Řešení. Pro křivost x a torzi r křivky / platí: (16) ; (17) V našem případě máme: II/' x /" ll/'ll3 / rll fllľ\ i v f" II2 II/' x / /'(i) = (1, 2í, 3t2) , /"(í) = (0, 2, 6í), f"'(ť) = (0,0,6) ||/'(í)|| = Vl + 4í2 + 9í4, /'x/"=(6í2,-6í,2) 1 2í 3í2 0 2 6r = 12 0 0 6 Tedy r(í) 2\/9í4 + 9t2 + 1 3 ' 2 (9í4 + 4í2 + 1) 12 _ 3 4 (9í4 + 9í2 + 1) ~ 9í4 + 9í2 + 1 Protože je křivost, resp. torze nenulová, nemůže na křivce existovat inflexní, resp. planární bod. Maple. V knihovně vectorCalculus se nachází procedura Torsion pro výpočet torze, ale je definována jakožto kladná hodnota, což je pro naše účely nevýhodné. Ukážeme si, že si lze vytvořit vlastní proceduru přesně dle naší definice. V rámci jednotnosti vytvoříme i proceduru pro výpočet křivosti prostorové křivky kappa. Procedury pro výpočet křivosti kappa a torze t au vytvoříme podle vzorců (16) a (17). V proceduře t au použijeme příkaz det z knihovny linaig počítající determinant. > restart:with(linaig): 170 > kappa:=proc(f,t) local df,ddf,dfdf,dfddf,cross_dfddf; df:=diff(f(t),t) ; ddf:=diff(f(t),t$2); dfdf:=simplify(sqrt(dotprod(df,df,orthogonal))); cross_dfddf—simplify([df[2]*ddf[3]-df[3] *ddf[2] , df[3]*ddf[1]-df[1]*ddf[3], df[1]*ddf[2]-df[2]*ddf[1]]); dfddf:=simplify( sqrt(dotprod(cross_dfddf,cross_dfddf,orthogonal))); unapply(simplify(dfddf/dfdf"3),t); end: > tau:=proc(f, t) local df,ddf,dddf,dfddf,dfdddf,cross_dfddf; df:=diff(f(t) ,t) ; ddf:=diff(f(t),t$2); dddf:=diff(f(t),t$3); dfdddf:=simplify(det([df,ddf,dddf])); cross_dfddf—simplify([df[2]*ddf[3]-df[3]*ddf[2] , df[3]*ddf[1]-df[1]*ddf[3], df[1]*ddf[2]-df[2]*ddf[1]]); dfddf:=simplify( sqrt(dotprod(cross_dfddf,cross_dfddf,orthogonal))); unapply(simplify(dfdddf/dfddf"2),t); end: > f:=t-> [t,t~2,t~3] : > kappal:=kappa(f,t); 2V9Í4 + 9t2 + 1 k1 := t —> - (1 + 4Í2 +9i4)V2 > taul:=tau(f,t) ; rl := í —> 9i4 + 9t2 + l Zadanou prostorovou křivku a její křivost a torzi si vykreslíme: > with(plots) : > setoptions(scaling=constrained): > setoptions3d(scaling=constrained): > tubeplot(f(t),t=-l.2..1.2,radius=0.2,axes=boxed): > plot( [kappal(t),taul(t)],t=-1.2..1.2, color=black,thickness=[3,2]); 171 Pokud při vykreslování více objektů do jednoho obrázku použijeme místo složených závorek závorky hranaté, potom můžeme pomocí těchto závorek přesně určit např. barvu jednotlivých objektů nebo tlouštku vykreslované čáry. 7.2 Příklad. Určete křivost a torzi křivky f(t) = (a cosh t, a sinh t, ať), kde a > 0. Řešení. f'(ť) = (a sinh t, a cosh t, a) f"(t) = (a cosh t, a sinh í, 0) f"'(t) = (a sinh í, a cosh í, 0) ll/'(í)ll f(t) x f"[t) ll/'(í)x/"(í)ll a V sinh2 í + cosh2 í + 1 = a V 2 cosh2 í = a\/2coshí a2 (— sinh í, cosh í, — 1) a2 V sinh2 í + cosh2 í + 1 = a2\/2coshí [/'(i),/"(i),/"'(i)] sinh í cosh í 1 a3 cosh i sinh i 0 = a3 sinh í cosh í 0 Tedy podle (16) a (17) a2\/2coshi 1 a3 2\/2cosh3 í 2acosh2 í r(í) 2a4 cosh2 í 2a cosh2 í 172 Vidíme, že platí u = r. Maple. Ověříme naše výpočty užitím procedur kappa a t au definovaných v chozím příkladu: > interface(showassumed=0):assume(a>0): > f:=t->[a*cosh(t),a*sinh(t),a*t]: > kappa(f,t);tau(f,t); 2 acosh(í)2 2acosh(í)2 7.3 Příklad. Určete křivost a torzi křivky fit) = (r cos t, r sin t, t2), kde r > 0. Řešení. /'(i) = (-r siní, r cos i, 2í) /"(i) = (-r cos i,-r sin i, 2) /"'(í) = (rsiní, -rcosí,0) ||/'(í)|| = Vr2 sin2 / + r2 cos2 t + 4i2 = v7^2 + 4/2 /'(í) x /"(i) = r (2(cosí + ísiní),2(siní - t cos t),r) ||/'(í)x/"(í)||= 7-^4 + 4*2+^ sin í cos í 2/ [/,(í)J"(í),/,"(í)]=r-2 - cos í — sin í 2 sin t — cos t 0 2trz Tedy podle ( ) a ( ) *(*) r(í) r\/4 + 4í2 + r2 (r2 + 4í2)t 2ír2 r2 (4 + 4í2 + r2) ~ 4 + 4í2 + r2 2t Maple. Využijeme procedur kappa a tau (str. 171): 173 > interface(showassumed=0):assume(r>0): > f:=t->[r*cos(t),r*sin (t),t~2] : > kappa(f,t);tau(f,t); r\/4t2 + 4 + r2 ~* (r2+4í2)(§) 2t ~^ 4í2 + 4 + r2 Křivost je na intervalu kladných čísel klesající, na intervalu záporných čísel rostoucí (její průběh můžeme vykreslit podobně jako v příkladu 7.1), čemuž odpovídá i tvar křivky: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > tubeplot(subs(r=16,f(t)),t=-10..10,radius=3,axes=frame, thickness=2,numpoints=100); 7.4 Příklad. Určete křivost a torzi křivky f(t) = (cos3 í, sin3 í, cos 2í). Řešení. f'(ť) = (—3 cos2 í sin í, 3 sin2 í cos t, —2 sin 2í) = sin 2t ( — — cos í, — sin í, —2 f"(i) = sin2í -siní,-cosí,0 +2cos2í —cosi, - siní,-2 V 2 2 J V 2 2 '"(í) = 2cos2t ( — siní, — cosí,0 ) + sin2í ( — cosi, ——siní,0 +2cos 2í ( - siní, — cosí, 0 — 4sin2í ( — cosi, - siní, —2 V2 '2 ' J \ 2 '2 /3 3 \ f 15 15 \ = 4 cos 2í - sin í, — cos í, 0 + sin 2í — cos í,--sin í, 8 174 9 9 5 ||/'(í)|| = |sin2í|Ai/-cos2í + - sin2í + 4 = -|sin2í| /'(ŕ) x f"(t) = sin22í (3cos i,-3sini, 16 15 ||/'(í) x /"(í)|| = 3sin2 2ÍWCOS2 i + sin2 í H--= — sin2 2í [/'(i),/"(i),/'"(i)] sin 2t 2 cos 2t I cosi, I siní, I cosi, I siní, sin2í (# siní, # cosi, 0) 4cos2í (f siní, f cosi, 0) + sin2í cosi, siní, 8) sin2í (—|cosí, |siní, —2 2 cos 2t (-1 cos í, j sin i, -4cos 2t (f siní, f cosi, 0) sin2í (-§ cosi, fsiní, -2) 2 cos 2t (-§ cosi, fsiní, -2 sin2í cosi,siní, 8) sin2í (-| cosi, | siní, -2 sin2í (|siní, |cosí,0) 4cos2í (| siní, | cosi, 0) sin 2í cosi, 4 siní, —2) sin2í (I siní, | cosi, Oj sin2í (^cosí, siní, 8) Tedy podle (16) a (17) ^ sin2 2í ■ siná 2í ±f|sin2í|3 25|sin2í| - cos í sin i — 1 sin i cos í 0 cos í — sin i 0 t(í) ■ sin° í ; sind 2í ^sin42í 25sin2í Maple. Pomocí námi nadefinovaných procedur kappa a t au (str. 171) jednoduše určíme křivost a torzi. > f:=t->[cos(t)"3,sin(t)"3,cos (2*t)] : > kappa1:=kappa(f,t);taul:=tau(f,t); _ 3 ^/sin(í)4cos(í)4 K 25sin(í)2Cos(í)Vsin(í)2cos(í)2 4 1 Tl — t _>__ 25 cos(í) sin(í) 175 Výsledný tvar funkce yc\ není ideální. Ovšem hledat vhodnou transformaci je zbytečně komplikované, základní znalost trigonometrických funkcí postačí k ověření, že výsledky jsou identické s předchozím výpočtem. Projekcí křivky do roviny (x,y) dostáváme asteroidu, což bude patrné i po vykreslení křivky. Stejně tak můžeme z obrázku nebo také výpočtem najít singulární body (pro í = k^,k G Z). V těchto bodech není křivost ani torze definována: > with(plots) : > setoptions(scaling=constrained): > setoptions3d(scaling=constrained): > spacecurve(f(t),t=0..2*Pi,color=black,axes=boxed); > plot(kappal(t),t=0..2*Pi,y=-2..2,discont=true); > plot(taul(t),t=0..2*Pi,y=-2..2,discont=true) ; Pro správné vykreslení průběhu křivosti a torze jsme v příkazu plot uvedli volbu discont=true, která umožňuje zobrazení nespojitých funkcí. Je ovšem třeba omezit hodnoty na ose y, aby nedocházelo ke zkreslení. 7.5 Příklad. Nalezněte funkci g(t) tak, aby křivka f(t) = (acosí,asiní,g(í)), kde a > 0, byla rovinná. Řešení. Na rovinné křivce je každý bod planární, tj. torze křivky je v každém bodě nulová. Vzhledem ke vzorci (17) musí tedy platit [/', /", /'"] = 0. f'(t) = (—a siní, a cosi, f:=t->[a*cos(t),a*sin(t),g(t)]: > torsion:=tau(f,t) :torsion (t); g"'(t)+g'(t)=0 Výslednou diferenciální rovnici r = 0 vyřešíme příkazem dsolve, který právě k řešení diferenciálních rovnic slouží: > dsolve(torsion(t)=0,g(t)); g{ť) = .Cl + .Cžsin(í) + .CScos(í) 177 8 Parametrické vyjádření plochy 8.1 Příklad. HelikoicT může být definován jakožto plocha hlavních normál šroubovice g(u) = (cosu,smu,u), u E (—00,00). Určete parametrické vyjádření této přímkové plochy a ukažte, že tečná rovina plochy se podél tvořící přímky mění. Řešení. ,. . . . g (u) = (— sin u, cos u, 1) g" (u) = (— cosíi, — siníi, 0) g' x (g x g") = (2 cos u, 2 sin u, 0) Hlavní normála šroubovice má tedy směrový vektor (cos it, sinw, 0) a pro t ER jsou její parametrické rovnice n g (u) = g (u) + t ■ (cos u, srnu , 0) = (cos u + t cos u, sin u + t srnu, u) = ((1 + t) cos u, (1 + t) sin u, u) Použijeme-li transformaci (1 + t) <-> v, dostáváme obvyklou parametrizaci heli-koidu f (u, v) = (v cos u, v srnu, u), kde u, v E (—00, 00). Z předchozího je zřejmé, že parametrickými křivkami je pro uq = konst. přímka a pro vq = konst. šroubovice. Vypočítáme normálový vektor plochy: fl = —— = (—v srnu, v cos u, 1), fi = tt- = (cos u, srnu, 0) au av fl x h = (-smu,cosu,-v), ||/i x /2|| = Vl + 2 n f = — (— siníi, cos u, —v) Normálový vektor nf(uo) = 1 1 0(-sin^0,cos^o,-^) V 1 + vz podél tvořící přímky u = uq mění svůj směr v závislosti na v, tudíž se tečná rovina podél tvořící přímky mění. 4Kinematicky tato plocha vzniká šroubovým pohybem přímky, která kolmo protíná osu šroubového pohybu. 178 Maple. Nakresleme si nejdříve danou plochu (viz také obrázek na str. 162): > restart:with(plots):with(linalg): > setoptions3d(scaling=constrained,axes=frame): > helicoid:=(u,v)->[v*cos(u),v*sin(u),u]: > plot3d(helicoid(u,v),u=-5..5,v=-3..3, grid=[50,10]); Volba grid nám určuje počet zobrazovaných parametrických w-křivek a w-křivek. Pro v = konst. máme šroubovici a pro u = konst. dostáváme přímku (odpovídající právě směru hlavní normály šroubovice: > HELIC0ID:=plot3d(helicoid(u,v),u=-5..5,v=-3..3,,style=wireframe, grid=[50,10],color=grey): > U_CURVE:=spacecurve(helicoid(u,2),u=-5..5,thickness=3, numpoints=100,color=blue): > V_CURVE:=spacecurve(helicoid(2,v),v=-3..3,thickness=3, color=red): > display(HELICOID,U_CURVE); > display(HELICOID,V_CURVE); Lze si vyzkoušet také příslušné animace: > for i from -30 to 30 do U_CUR[i]:=spacecurve(helicoid(u,i/10),u=-5..5,,numpoints=100 thickness=3,color=blue): end do: > ANIM1:=display([seq(U_CUR[i], i=-30..30)],insequence=true): > display(HELICOID,ANIM1); > for i from -50 to 50 do V_CUR[i]:=spacecurve(helicoid(i/10,v),v=-3..3,thickness=3, color=red): end do: > ANIM2:=display([seq(V_CUR[i], i=-50..50)],insequence=true): > display(HELICOID,ANIM2); 179 Spočítáme ještě jednotkový vektor normály n a určíme rovnici tečné roviny: > f1:=diff(helicoid(u,v),u): > f2:=diff(helicoid(u,v),u): > fIf2:=simplify(crossprod(fl,f2)): > n:=evalm(fIf2/simplify(sqrt(dotprod(flf2,flf2,orthogonal)))); sin(íi) cos(íi) v > simplify(dotprod([x,y,z]-helicoid(u,v),fIf2,orthogonal))=0; — sin(u)x + cos(u)y + uv — vz = 0 8.2 Příklad. Obecná kuželová plocha je dána pevným bodem a proměnným vektorem. Určete její parametrické vyjádření a dokažte, že tečná rovina se podél tvořící přímky nemění. Řešení. Uvažujme pevný bod P a proměnný vektor b(u). Potom parametrické vyjádření přímky se směrovým vektorem b(u) a procházející bodem P je vzhledem k parametru v tvaru f(u,v) = P + v b(u). Tím jsme také obdrželi dvouparametrické vyjádření obecné kuželové plochy. Vypočítáme směrový vektor normály této plochy: fl(u,v) = v ■ b'(u), h(u,v) = b(u), (/i X h)(u,v) = v ■ b'(u) X b(u) Směrové vektory normál v ■ b'(uo) x b(uo) jsou podél tvořící přímky u = uq kolineární v závislosti na v, tudíž se tečná rovina podél tvořící přímky nemění. Maple. Zvolme si jako pevný bod [0, 0,0] a proměnný vektor (u cos u, u sinu, 25): > restart:with(plots):with(linalg): > setoptions3d(scaling=constrained,axes=frame): > cone:=(u,v)->[v*u*cos(u),v*u*sin(u),v*25]: > plot3d(cone(u,v),u=0..6*Pi,v=-0.7..1, grid=[90,20]); Pro v = konst. dostáváme Archimedovu spirálu a pro u = konst. dostáváme přímku (tzv. tvořící přímku obecné kuželové plochy). 180 Zobrazme si takovou tvořící přímku pro u = 5tt a také její animaci: > CONE:=plot3d(cone(u,v),u=0..6*Pi,v=-0.7..1, grid=[90,20],color=grey,style=wireframe) > V_CURVE:=spacecurve(cone(5*Pi,v) , v=-0.7..1,thickness=3,color=blue) > display(CONE,V_CURVE); > for i from 0 to 40 do V_CUR[i]:=spacecurve(cone(i/20*3*Pi,v),v=-0.7..1,thickness=3, color=blue): end do: > ANIM:=display([seq(V_CUR[i],i=0..40)],insequence=true): > display(CONE,ANIM); Další zajímavou animací může být > animate3d(cone(u*t/100,v),u=0..6*Pi,v=-0.7..l,t=0..100, frames=25,grid=[90, 20],style=wireframe,thickness=2) ; Spočítáme ještě směr normály dané kuželové plochy > f1:=diff(cone(u,v),u):f2:=diff(cone(u,v),v): > simplify(crossprod(f1,f2)); [25u(sin(íi) + ucos(u)), 25u(— cos(it) + u sin(it)), —u2v\ Pro pevné u a libovolné v se směr normály nemění. 8.3 Příklad. Obecná válcová plocha je určena křivkou a pevným směrem. Určete její parametrické vyjádření a ukažte, že tečná rovina se podél tvořící přímky nemění. Řešení. Uvažujme pevný směr g a rovnici křivky ~f(u). Potom parametrické vyjádření přímky se směrovým vektorem g a procházející bodem křivky ~f(u) je vzhledem k parametru v tvaru f(u,v) = 7(ií) + v-q. Tím jsme také obdrželi dvouparametrické vyjádření obecné válcové plochy. Vypočítáme směrový vektor normály této plochy: fl(u,v) = 7 (V), f2(u,v) = q, (/i X f2)(u,v) = 7'(it) X q 181 Směrové vektory normály 7(^o) x g podél tvořící přímky u = uq nezávisí na v, tudíž se tečná rovina podél tvořící přímky nemění. Maple. Zvolme si jako pevnou křivku Archimedovu spirálu (u cos u, u sin u, 0) a pevný vektor (^, — ^, l): > restart:with(plots):with(linalg): > setoptions3d(scaling=constrained,axes=frame): > cylinder:= (u,v)->[u*cos(u)+v/2,u*sin(u)-v/2,v] : > plot3d(cylinder(u,v),u=0..6*Pi,v=-10..20, grid=[80,10]); Pro v = konst. dostáváme Archimedovu spirálu a pro u = konst. dostáváme přímku (tzv. tvořící přímku obecné válcové plochy). Zobrazme si na dané válcové ploše tvořící přímku pro u = bir: > CYLINDER:=plot3d(cylinder(u,v),u=0..6*Pi,v=-10..20,grid=[80, 10] , style=wireframe,color=grey): > V_CURVE:=spacecurve(cylinder(5*Pi,v),v=-10..20,thickness=3, color=blue): > display(CYLINDER,V_CURVE); Animace tvořících přímek: > for i from 0 to 40 do V_CUR[i]:=spacecurve(cylinder(i/20*3*Pi,v),v=-10..20, thickness=3,color=blue): end do: > ANIM:=display([seq(V_CUR[i],i=0..40)],insequence=true): > display(CYLINDER,ANIM); Další zajímavou animací může být > animate3d(cylinder(u*t/2 0 0,v),u=0..6*Pi,v=-10..20,t=0..200, frames=25,grid=[80,10],style=wireframe,thickness=2) ; Spočítáme ještě směr normály dané válcové plochy > f1:=diff(cylinder(u,v),u):f2:=diff(cylinder(u,v),v): > crossprod(f1,f2); sin(it) + ucos(u), — cos(it) + itsin(it), — i cos(it) + ^usm(u) — i sin(it) — ^ucos(u) Je zřejmé, že směr normály je pro pevné u zcela nezávislý na parametru v. Tečná rovina se podél tvořící přímky nemění. 182 8.4 Příklad. a) Určete parametrické vyjádření rotační plochy, která je dána rotací křivky x = g (u) > 0, y = 0, z = h(u),u G / kolem osy z. Kdy rotací dané křivky dostáváme opravdu plochu? b) Co vznikne rotací polokružnice x = r cos u, y = 0, z = r sin u, u G kolem osy zl c) Napište rovnici plochy určené rotací křivky A(x, z) A leží v polorovině (x, z), x > 0. 2' 2 0 kolem osy z. Křivka Řešení. a) (g(u), 0, h(u)) X y Uvažujme parametr v G (0,27r). Potom rotační plocha je dána dvouparamet-rickým vyjádřením: (18) f(u,v)= (g(u) cos v, g(u) sin v, h(íí)) Aby uvedená parametrizace odpovídala parametrizaci plochy, musí platit fl = (g'(u) ■ cos v, g'(u) ■ sin v, h'(u)) h = ( - g(u) -sinv, g(u) - cos v, 0) fl x Í2 = g(u) ( - h'(u) ■ cos v, -h'(u) ■ sin v, g'(u)) Protože g(u) > 0, je pro existenci rotační plochy postačující podmínka: (19) ( — h'(u) cos v, —h'(u) sin v, g'(u)} ^ 6 Velikost tohoto vektoru je rovna \Jh'2(u) + g'2(u) ^ 0, neboť (g(u),h(u)) je parametrizací rovinné křivky. Proto se pro každé přípustné u G / jedná o parametrizaci plochy. 183 b) Výslednou parametrizací bude parametrizace sféry bez pólů: x = r cos u cos v y = r cos u sin v z = r sin u c) Pro implicitní vyjádření rotační plochy stačí provést dosazení a; <—> y/'x2 + y2: y j x Rotační plocha má rovnici F(x, y, z) = A(\/x2 + y2, z) = 0. Určitě se jedná o implicitní vyjádření plochy, neboť platí: d A dx dF dF \dF\\ f d A dx /-r.-r i ——Vr + yz \ dx dx í d A x ' dx dy dA y \J x2 + y2 dA dA dž dx + yl ' dx ^/x2 + y2 ' dž 2 / ci a \ 2 > 0 dA dx dA dž Maple. Zavedeme si proceduru surf rev pro parametrizaci rotační plochy určené křivkou a(u) = (g(u), 0, h(u)), g(u) > 0: > restart:with(plots):with(linalg): > setoptions3d(scaling=constrained): > surfrev:=proc(alpha,u,v) [cos(v)*alpha(u) [1] , sin(v)*alpha(u) [1],alpha(u) [3]] end: > alpha:=u->[g(u),0,h(u)]: > surfrev(alpha,u,v); [cos(r)g(u), sm(v)g(u), h(u)\ Existence plochy závisí na vektoru f\ x f2' > f1:=diff(surfrev(alphal,u,v),u): > f2:=diff(surfrev(alphal,u,v),v): > simplify(crossprod(f1,f2)); 184 du h(u) ) caa(v)g(u) h{u) \ sin(v)g(u), (-jj- g(u) ) g(u) Protože g(u) ^ 0, dostáváme podmínku (19). Sféra vzniká rotací půlkružnice: > circle:=u->[cos(u),0,sin(u)]: > sphere:=(u,v)->surfrev(circle,u,v): > SPHERE:=plot3d(sphere(u,v),u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,grid=[20, 4 0] , style=wireframe,color=grey): > U_CURVE:=spacecurve(sphere(u,0),u=-Pi/2..Pi/2,thickness=3, color=blue): > display(SPHERE,U_CURVE,axes=frame); > plot3d(sphere(u,v),u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,grid=[20,40], axes=frame); Animace k vyzkoušení: > for i from 0 to 40 do U_CUR[i]:=spacecurve(sphere(u,i*Pi/20),u=-Pi/2..Pi/2, thickness=3,color=blue): end do: > ANIM:=display([seq(U_CUR[i],i=0..40)],insequence=true): > display(SPHERE,ANIM,axes=normal,view=[-2..2,-2..2,-2..2]); > animate3d(sphere(u,v*t/100),u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,t=0..100, frames=50,grid=[20, 40],axes = frame,style=wireframe,thickness=2) ; 8.5 Příklad. Určete parametrické vyjádření a rovnici anuloidu, který vznikne rotací kružnice x = a + b cos u, y = 0, z = b sin u,u G [0, 2ir) ,a > b kolem osy z. 185 Řešení. z 0 I a j x Podle předchozího příkladu dostáváme parametrické vyjádření (20) f(u,v) = ((a + frcosíi) cosv, (a + bcosu) sin v, bsinuj Implicitní vyjádření kružnice v rovině (x, z) je dáno rovnicí (x — a)2 + z2 = b2. Tento tvar ještě upravíme: x2 + z2 + a2 - b2 = 2ax 2^2 Ted už můžeme použít dosazení x <—> yj'x2 + y2: (^2 + y2 + z2 + a2 _ b2ý = 4a2 ^2 + y2^ Výsledná rovnice plochy 4. stupně je rovnicí anuloidu. Maple. Použijeme proceduru surf rev z předchozího příkladu: > circle:=u->[5+2*cos(u),0,2*sin(u)]: > torus:=(u,v)->surfrev(circle,u,v): > TORUS:=plot3d(torus(u,v),u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,,grid=[20, 4 0] , style=wireframe,color=grey) > U_CURVE:=spacecurve(torus(u,0),u=0..2*Pi,thickness=3, color=blue) > display(TORUS,U_CURVE,axes=frame); > plot3d(torus(u,v),u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,grid=[20,40],axes=frame); Animace k vyzkoušení: > for i from 0 to 40 do U_CUR[i]:=spacecurve(torus(u,i*Pi/20),u=0..2*Pi,thickness=3, color=blue): end do: > anim:=display([seq(U_CUR[i],i=0..40)],insequence=true): > display(TORUS,ANIM,axes=normal,view=[-8..8,-8..8,-5..5]) ; 186 > animate3d(torus(u,v*t/100),u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,t=0..100, frames=50,grid=[20,40],axes=frame,style=wireframe,thickness=2); 8.6 Příklad. Rotací řetězovky x = a cosh —, y = 0, z = u kolem osy z vzniká plocha nazývaná a katenoid (a > 0). Napište parametrické vyjádření této plochy. Řešení. Z parametrického vyjádření obecné rotační plochy (viz (18)) dostáváme rovnice: x = a cosh — cos v a y = a cosh — sin v a z = u Tečnou rovinou katenoidu v bodě [a, 0,0] je rovina x = a rovnoběžná s rovinou y z. Maple. Použijeme proceduru surf rev z příkladu 8.4: > catenary:=u->[cosh(u),0,u]; > catenoid:=(u,v)->surfrev(catenary,u,v): > CATENOID:=plot3d(catenoid(u,v),u=-2..2,v=0..2*Pi,grid=[30, 30] , style=wireframe,color=grey): > U_CURVE:=spacecurve(catenoid(u,0),u=-2..2,thickness=3, color=blue): > display(CATENOID,U_CURVE,axes=frame); > plot3d(catenoid(u,v),u=-2..2,v=0..2*Pi,grid=[30,30],axes=frame); Animace k vyzkoušení: 187 > for i from 0 to 40 do U_CUR[i]:=spacecurve(catenoid(u,i/20*Pi),u=-2..2,thickness=3, color=blue): end do: > ANIM:=display([seq(U_CUR[i],i=0..40)],insequence=true): > display(CATENOID,ANIM,axes=normal); > animate3d(catenoid(u,v*t/100),u=-2..2,v=0..2*Pi,t=0..100, frames=50,grid=[30,30],axes = frame,style=wireframe,thickness=2) ; 8.7 Příklad. Křivka x = a sinu, y = 0,z \ í u\ ■ a ľn tg - + COS u , u _ V 6 2/ ,u e (o,f) u (f,7r) a > 0 se nazývá traktrix . Její rotací kolem osy z vzniká plocha zvanápseudosféra. Napište její parametrické vyjádření. Řešení. 5Pro u = — platí x = a, z = 0, dx dz du' du Osa z je pro u —> 0+ asymptotou, neboť lim x = 0, lim z = —oo u->0+ u^0 + Uvažujme interval (0, ^. Funkce x = a sin u je evidentně rostoucí funkce. Pro z{u) platí: z (u) = a tg 2 7T 1 1 _ ,, •--sin u > 0 Funkce z je tedy na (0, — j také rostoucí. Křivka traktrix je symetrická podle osy x: x =g(u) = cismií g(n — u) = asin(7r — u) = asin(u) = g(it) z = /i(it) = a |^ln h(n — u) = a tg + COS li , S1H [t7 — t7 ln 1 -^-^ ln + C0S(7T — u) ln tg -a |ln ^tg ^ + cos itj = —h(u) 188 Z parametrického vyjádření obecné rotační plochy (viz (18)) dostáváme rovnice: x y a srnu cos v a sin ii sinu \ í u\ z = a ln tg - + COS u _ V B 2 Maple. Použijeme proceduru surf rev z příkladu 8.4: > traktrix:=u->[sin(u),0,log(tan(u/2))+cos(u)]: > pseudosphere: = (u,v)->surfrev(traktrix,u, v) : > PSEUDOSPHERE:=plot3d(pseudosphere(u,v),u=Pi/18..17*Pi/18, v=0..2*Pi,style=wireframe,color=grey) > U_CURVE:=spacecurve(pseudosphere(u,0),u=Pi/18..17*Pi/18, thickness=3,color=blue) > display(PSEUDOSPHERE,U_CURVE,axes=frame); > plot3d(pseudosphere(u,v),u=0..Pi,v=0..3*Pi/2,axes=frame); / Animace k vyzkoušení: > for i from 0 to 40 do U_CUR[i]:=spacecurve(pseudosphere(u,i/20*Pi),u=Pi/18..17*Pi/18, thickness=3,color=blue): end do: > ANIM:=display([seq(U_CUR[i],i=0..40)],insequence=true): > display(PSEUDOSPHERE,ANIM,axes=normal); > animate3d(pseudosphere(u,v*t/100),u=Pi/18..17*Pi/18,v=0..2*Pi, t=0..100,frames=50,style=wireframe,axes=normal, tickmarks=[0,0,0]); 189 8.8 Příklad. Napište rovnici plochy dané parametricky x = xq + a cos u cos v, y = yo + b cos u sin v, z = zq + c sin u Řešení. x — xq y - yo . z - zq cosíícosw, -= cos ií srnu, -= srnu (x - xq)2 (y - yo)2 (z - zQf b2 cos2 u cos2 v + cos2 u sin2 v + sin2 u 2 i 2 , ■ 2 \ , ■ 2 i = cos íí(cos v + sin + sin u = 1 Jedná se o elipsoid se středem [xq, yo, zq], jehož poloosy mají velikosti a, bac. Maple. Při grafickém znázorňování ploch v Maplu téměř vždy upřednostňujeme parametrické vyjádření před implicitním. Nakreslíme si elipsoid se středem v počátku soustavy souřadné a s velikostmi poloos a = 5, b = A a c = 3. > restart:with(plots): > setoptions3d(scaling=constrained,axes=frame): > plot3d([5*cos(u)*cos(v),4*sin(u)*cos(v),3*sin(v)], u=0..2*Pi,v=-Pi/2..Pi/2,grid=[4 0,20]); Můžeme si zobrazit i další kvadriky: Jednodílný hyperboloid (a cos u cosh v, b sin u cosh v, c sinh v): > plot3d([5*cos(u)*cosh(v),4*sin(u)*cosh(v),3*sinh(v)], u=0..2*Pi,v=-2..2); Dvoudílný hyperboloid (±a cosh u cosh v, b sinh u cosh v, c sinh v): > plot3d({[3*cosh(u)*cosh(v),4*sinh(u)*cosh(v),5*sinh(v)], [-3*cosh(u)*cosh(v),4*sinh(u)*cosh(v),5*sinh(v)] }, u=-l..l,v=-l. . 1); 190 Kuželová plocha (av cos u, bv sin u, cv): > plot3d([5*v*cos(u),4*v*sin(u),3*v],u=0..2*Pi,v=-3..3); Eliptická válcová plocha (a cos u, b sin u,v): > plot3d([5*cos(u),5*sin(u),v],u=0..2*Pi,v=-3..3) ; 191 Hyperbolická válcová plocha (±a cosh u, b sinh u, v): > plot3d({[3*cosh(u),4*sinh(u),v],[-3*cosh(u),4*sinh(u),v]}, u=-l..l,v=-3..3); Parabolická válcová plocha (2au, au2, v): > plot3d([u,1/2*u~2,v],u=-3..3,v=-2..2); 192 9 První základní forma plochy 9.1 Příklad. Ukažte, že při vhodné volbě parametru u má první základní forma rotační plochy (18) tvar du2 + g2(u)dv2. Řešení. fl= (g (u) cos v, g'(u) sin v, h'(u)), f2 = ( - g{u) sin v, g(u) cos v, 0) 9ll = (fl,fl)= ŕ (u)+h'2(u) Sl2 = (/l,/2) = 0 g22 = {h,h) = g2(u) Pro rotační plochu vždy platí gi2 = 0, můžeme tedy pro první kvadratickou formu plochy psát: $1: gndu2 + 2gi2dudv + g22dv2 = gndu2 + g22dv2. g li = 1 pro křivku C parametrizovanou obloukem. Maple. Napíšeme si proceduru g pro výpočet koeficientů první základní formy plochy, která vrací jejich uspořádanou trojici. Prvním vstupním parametrem procedury je samotná plocha, druhým a třetím vstupním parametrem jsou jména parametrů plochy nebo jejich konkrétní hodnoty: > restart: with(linalg): > g:=proc(surf,u,v) local fl,f2,gll,gl2,g22; fl:=(u,v)->subs(uu=u,diff(surf(uu,v),uu)); f2: = (u,v)->subs(vv=v,diff(surf(u,vv),vv)) ; gll:=simplify(dotprod(fl(u,v),fl(u,v),orthogonal)) ; gl2:=simplify(dotprod(fl(u,v),f2(u,v),orthogonal)); g22:=simplify(dotprod(f2(u,v),f2(u,v), orthogonal) ) ; [gll,gl2,g22]; end: Vypočítáme koeficienty první základní formy plochy: > rev: = (u,v)->[g(u)*cos(v),g(u)*sin(v),h(u)] : > g(rev,u,v); 193 (£^))a+(£Ä(u))a»o»^)a Z výsledku je zřejmé, že první koeficient gn = 1, pokud křivka (g(u), 0, /i(it)) je parametrizována obloukem. 9.2 Příklad. Určete délku křivky u(t) = í, v(t) = 2í, í G [0, ^] na ploše, která má první základní formu plochy $1: du2 H— cosvdv2. 4 Pro délku s oblouku křivky na ploše mezi body o parametrech t\, t2 platí Í2 díi dv ( dv \dt íi ' V našem případě tedy dostáváme 9ii -rr +291217 17 + 922 -r: dí • dí dí V dí s = Vl + cos 2í dí = \/2 / cosídí = \Í2 siní Maple. Sestavíme proceduru curve_iength pro výpočet délky křivky curve na ploše pro interval [íi, Í2]- Prvním vstupním parametrem _G je uspořádaný seznam koeficientů první základní formy plochy. > restart: > curve_length:=proc(_G,curve,t1,t2) > local cl,c2,G; > cl:=diff(curve(t) [1],t);c2:=diff(curve(t) [2],t); > G:=subs(u=curve(t)[1],v=curve(t)[2],_G): > int(sqrt(G[1]*cl"2+2*G[2]*cl*c2+G[3]*c2"2),t=tl..t2); > end: Pro zadanou křivku a plochu dostáváme > G:=[1,0,l/4*cos(v)]:curve:=t->[t,2*t]: > curve_length(G,curve,0,Pi/2); 6Tento seznam můžeme získat také voláním procedury G nadefinované v předchozím příkladu. 194 9.3 Příklad. Najděte ve společných bodech odchylku křivek C\ a C2 na ploše f(u,v) = (cosh cos v, cosh sin v, u),u £ [—2,2],« G [0,27r], přičemž C\: u + v = 0, C2 ■ u2 — v = 0. Řešení. Určíme nejdříve koeficienty první základní formy plochy: fl = (sinh.7iCOSw,sinh.7iSÍni;, 1), f2 = (— cosh. tí sin v, cosh. tí cos v, 0) 911 = (fl, fl) = sinh2 u + l = cosh2 u Sl2 = (/l,/2)=0 922 = C/2,/2) = cosh2íi Pro průsečíky křivek musí platit u2 = —u, neboli u\ = 0, u2 = — 1. Společné body tedy mají souřadnice (0, 0) a (—1,1). Uvažujme následující parametrické vyjádření křivek: C1:g(t) = (t,-t),g'(t) = (1,-1) C2:h(ť) = (t,t2),h'(ť) = (l,2ť) Pro odchylku a platí, že (21) cos a 912 922 T) «®)T\h'® (T fW))T \912 922/ V V #12 522 cos a 1(1 - 2í) cosh2J V 2 cosh2 uJ (1 + 4í2) cosh2 |1 - 2í| \/2 + 8í2 V bodě (0, 0) dostáváme odchylku a = axccos —= = arccos = —. 3 3 v 10 V bodě (—1,1) dostáváme odchylku a = arccos /_ = arccos ^ . 10 195 Maple. Sestavíme proceduru curve s_angie pro výpočet odchylky křivek curve i a curve2 na ploše v bodě point. Prvním vstupním parametrem _G je uspořádaný seznam koeficientů první základní formy plochy. Druhým vstupním parametrem point jsou souřadnice bodu na ploše v oblasti parametrů. > restart:with(linalg): > curves_angle:=proc(_G,point,curvel,curve2) > local f1,f2,G,t1,t2,del,dc2,aa,ab,bb; > fl: = (u,v)->diff(surf(u,v),u);f2: = (u,v)->diff(surf(u,v) ,v) ; > G:=subs(u=point[1],v=point[2],_G); > solve({point[1]=curvel(tl)[1],point[2]=curvel(t1)[2]},t1); > assign(%); > solve({point[1]=curve2(t2) [1],point[2]=curve2(t2) [2] },t2); > assign(%); > del:=subs(t=tl,diff(curvel(t),t)); > dc2:=subs(t=t2,diff(curve2(t),t)): > ab:=evalm(dcl&*[[G[1],G[2]],[G[2],G[3]]]&*transpose([dc2]))[1]: > aa:=evalm(dcl&*[[G[1],G[2]],[G[2],G[3]]]&*transpose([del]))[1]: > bb:=evalm(dc2&*[[G[1],G[2]], [G[2],G[3]]]&*transpose([dc2])) [1] : > arccos(evalm(abs(ab)/(sqrt(aa)*sqrt(bb)))); > end: Pro zadanou plochu a křivky dostáváme > catenoid:=(u,v)->[cosh(u)*cos(v),cosh(u)*sin(v),u]: > _G:=G(catenoid,u,v): > curvel:=t->[t,-t]:curve2:=t->[t,t"2]: > solve( {curvel(t)[1]=curve2(s)[1],curvel(t)[2]=curve2(s)[2]},{t,s}): > point1:=curvel(0);point2:=curvel(-1); pointl := [0, 0] poinťl := [—1,1] Ve vypočítaných průsečících najdeme odchylku křivek: > curves_angle(_G,point1,curvel,curve2); 7T 4 > curves_angle(_G,point2,curvel,curve2); arccos Křivky na ploše si zobrazíme: 7Tento seznam můžeme získat voláním procedury G nadefinované v příkladu 9.1. 196 > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained,axes=frame): > CATEN0ID:=plot3d(catenoid(u,v),u=-1.5..1.5,v=0..2*Pi,color=grey, style=wireframe): > CURVE1:=spacecurve(subs(u=t,v=-t,catenoid(u,v)),t=-l.5..1.5, color=blue,thickness=3): > CURVE2:=spacecurve(subs(u=t,v=t"2,catenoid(u,v)),t=-l.5..1.5, numpoints=200,color=red,thickness=3): > display(CATENOID,CURVE1,CURVE2); 9.4 Příklad. Nalezněte ortogonální trajektorie vrstvy křivek u = cev na ploše f(u, v) = (u cos v, US\Tí v,u + v). Řešení. Určíme nejdříve koeficienty první základní formy plochy: fl = (cos v, sin v, 1), fi = (—usmv,ucosv, 1) 911 = (/l, fl) = cos2 v + sin2 v + 1 = 2 gi2 = (fi, f2) = —u cos v sin v + u sin v cos v + 1 = 1 922 = (Í2,Í2) = u sin v + u cos v + 1 = u +1 Jako tečný vektor k uvažované vrstvě můžeme vzít např. (u, 1), neboť platí: VA ÚV 1 1 ce dv = du => — = - = — du cev u 197 Potom podle (21) musí platit: (2u + l)du + (uz + u+ l)dv = 0 dv =--g-—-du uz + u + 1 2u + 1 l2 i -dtí = — m kí + it + 1 + konst. u2 + tí + 1 Maple. Nalezení rovnic ortogonální trajektorie budeme realizovat dvěma procedurami. Vpřípadě procedury orthogonai_u (g, dcurve) bude hledanou funkcí první parametr plochy a v případě procedury orthogonai_v (g, dcurve) bude hledanou funkcí druhý parametr plochy. Prvním vstupním parametrem g je uspořádaný seznam koeficientů první základní formy plochy. Druhým vstupním parametrem dcurve je tečný vektor křivek v oblasti parametrů. > restart:with(linalg): > orthogonal_u:=proc(g,dcurve) local eq; > eq:=diff(u(v),v)=subs(u=u(v),-(g[2]*dcurve[1]+g [3]*dcurve [2]) /(g[l]*dcurve[1]+g[2]*dcurve[2])): > dsolve(eq,u(v)); > end: > orthogonal_v:=proc(g,dcurve) local eq,dc; > eq:=diff(v(u),u)=subs(v=v(u),-(g[1]*dcurve[1]+g[2]*dcurve[2]) /(g[2]*dcurve[1]+g[3]*dcurve[2] ) ) : > dsolve(eq,v(u)); > end: Pro zadanou plochu tedy dostáváme > f:=(u,v)->[u*cos(v),u*sin(v),u+v]: > _g:=g(f,u,v): > orthogonal_u(_g,[u,1]); 11 / 4e("t>) , , 11 / 4e("t>) «(«) = " 2 + 2 V "3 + —MV) = " 2 " 2 V "3 + — > orthogonal_v(_g,[u,1]); v{u) = - \n(u + 1 + u2) + .Cl Vykreslíme si několik vypočítaných křivek v(u): 8 Při tvorbě procedury byl využit vztah (12) ze strany 45. 9Tento seznam můžeme získat voláním procedury g nadefinované v příkladu 9.1. 198 > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained,axes=frame): > SURFACE:=plot3d([f(u,v)],u=-3..3,v=-5*Pi/12..5*Pi/12, style=wireframe,color=grey): > for i from -21 to 21 do > if i<>0 then upper_limit:=min(5*Pi/12,In(6/abs(i))) else upper_limit:=5*Pi/12 fi; > CURVE[i]:=spacecurve(subs(u=i/2*exp(t),v=t,f(u,v)), t=-5*Pi/12..upper_limit,color=black,thickness=2): > od: > for i from -3 to 3 do > ORTHOGONAL[i]:=spacecurve(subs(u=t,v=-ln(t~2+t+l)+i/3,f(u,v)), t=max(-3,solve(t"2+t+l-exp(5*Pi/12+i/3)=0,t)[2]) solve(t"2+t+l-exp(5*Pi/12+i/3)=0,t)[1], color=red,thickness=3): od: > display(SURFACE,seq(CURVE[i],i=-21..21), seq(ORTHOGONAL[i],i=-3..3)); 9.5 Příklad. Určete plošný obsah části obecné rotační plochy (18). Na základě vypočítaného vzorce určete plošný obsah rotační válcové plochy, rotační kuželové plochy a anuloidu. Řešení. Plošný obsah je určen vzorcem (22) Jgng22 - g{2 dudv d 199 Z příkladu 9.1 plyne, že gilg22 - g\2 = 92(u)(g'2(u) + h'2(u)). Obsah rotační plochy pro u G [u\, u2], v G [0,2ir]: P 2tt g(u) \Jg'2 (u) + h!2 (u) du «1 dv = 2ir g(u)^g'2(u) +h'2(u) du J Ul Rotační válcová plocha (a je poloměr podstavy, b je výška): f(u, v) = (a cos v, a sin v, bu),g(u) = a, h(u) = bu, g'(u) = 0, h'(u) = b P = 2ir / a VO + b2 du = 2ir / ab du = 2nab Jo Jo Rotační kuželová plocha (a je poloměr podstavy, b je výška): f (u, v) = (au cos v, au srn v, bu),g(u) = au, h (u) = bu, g'(u) = a, h'(u) = b ŕl P = 2ir / au V a2 + b2 du = 2ira\f'a2 + b2 Jo -, 1 i\Ja2 + b2 Anuloid (uvažujme parametrické vyjádření (20) ze strany 186): f (u, v) = ((a + 6 cos íí) cos v, (a + bcosu) sin v, bs'mu) g (u) = a + b cos u, h (u) = bs'mu, g (u) = —bshiu, h! (u) = b cos u P = 2tt / (a + b cos u) \Jb2 sin2 u + b2 cos2 u du = Jo = 2irb [au + 6 sin tí]= 27r6(27ra) = 4ir2ab Maple. Sestavíme proceduru area pro výpočet plošného obsahu na dané množině parametrů [u±, u2] x [v±, v2]. Prvním vstupním parametrem g je uspořádaný seznam koeficientů první základní formy plochy. > restart:with(linalg): > area:=proc(g,ul,u2,vl,v2) int(int(sqrt(G[1]*G[3]-G[2]"2),u=ul..u2),v=vl..v2); simplify(%); end: °Tento seznam můžeme získat voláním procedury g nadefinované v příkladu 9.1. 200 Plošný obsah rotační plochy: > interface(showassumed=0):assume(g(u)>0): > rev:=(u,v)->[g(u)*cos(v),g(u)*sin(v),h(u)]: > G_rev:=G(rev,u,v): > area(G_rev,ul,u2,0,2*Pi); Rotační válcová plocha: > assume(a>0,b>0): > cylinder:=(u,v)->[a*cos(v),a*sin(v),b*u]: > G_cylinder:=G(cylinder, u, v) > area(G_cylinder,0,1,0,2*Pi); 2abn Rotační kuželová plocha: > cone:=(u,v)->[a*u*cos(v),a*u*sin(v),b*u]: > G_cone:=G(cone,u,v): > area(G_cone,0,1,0,2*Pi); a\/b2 + a2ir Anuloid: > torus:=(u, v) -> [(a+b*cos(u))*cos(v),(a+b*cos(u))*sin(v),b*sin(u)]; > G_torus:=G(torus,u,v): > area(G_torus,0,2*Pi,0,2*Pi); Aan2b 9.6 Příklad. Najděte obsah křivočarého čtyřúhelníka na ploše f (u, v) = (v cos u, v sin u, au) ohraničeného křivkami u = 0, u = 1, v = 0, v = a. Řešení. Obsah budeme počítat pomocí vzorce \J911922 - g22 dudv, kde D = [0,1] x [0, a] d fl = (—v sinu, v cos u, a), f2 = (cos u, srnu, 0) 201 r r r \ 2-2 ,2 2 .2 2,2 gu = (Jl, Jl) = v sm tí + v cos tí + a = v +a <7i2 = (/i 5/2) = — f sin it cos tí + v sin u cos tí + 0 = 0 g22 = (f2, f2) = cos2 u + sin2 u = l y/ v2 + a2 dudv Vo2 j2 du dv d ^ ra _ -y p [tí] 0 / \/a2 + v2 dv = — v\/a2 + v2 + a2 ln\v + \/a2 + ■ a ■ a V2 + a2 ľn(a + a\Í2) — a In a \/2 + ln(l + y/2) Maple. S využitím procedury area ze strany 200 dostáváme: > interface(showassumed=0):assume(a>0): > helicoid:=(u,v)->[v*cos(u),v*sin(u),a*u]: > G_helicoid:=G(helicoid,u,v): > area(G_helicoid,0,1,0,a); ia2(v^ + ln(v^+l)) Helikoid s vyznačenou částí, jejíž plošný obsah jsme pc čítali: > with(plots) : > setoptions3d(scaling=constrained): > PL0T1:=plot3d(subs(a=l,helicoid(u,v)), u=0..l,v=0..2, style=patchnogrid,color=blue): > PL0T2:=plot3d(subs(a=l,helicoid(u,v)), u=-5..5, v=-3..3, grid=[4 9,13],style=wireframe,color=grey) > display(PL0T1,PL0T2,axes=frame); 9.7 Příklad. Určete obsah horní poloviny části sféry ohraničené Vivianiho křivkou. Řešení. Podle zadání uvažujeme horní polosféru, tj. iie[0, |],»é [0, 2ir]: f(u,v) = (r cos ucos v, r cos u sin v, r srnu) fl = r{— sycíucosv , — siníiSÍnw,cosíi), f2 = r{— cosíiSÍnw,cosíiCOSw, 202 (7ii = (f i, /i) = r (sin" u cos" v + sm" u sm" tj + cos" u) = r g 12 = (fi, f2) = t1 (sin tí cos u sin v cos v — sin tí cos u sin v cos v + 0) = 0 922 = (f2, f2) = t2(cos2 u sin21; + cos2 u cos21; + 0) = r2 cos2 tí Vivianiho křivka je podle příkladu 5.4 ze strany 157 určena vztahem: cos tí(cos u — cos Tj) = 0 cos u — cos tj = 0 Při výpočtu využijeme toho, že stačí uvažovat jenom poloviční obsah plochy, a to pro tj e [0, |]. Podle vzorce (22) platí P = 2 j j V r4 cos2 u dudv = 2r2 j / cos u dudv d ň = 2r2 ľ Jo if / cos u du r~ dv = 2r2 1 shiTi 7T dv Jv Jo V = 2r2 / (1 — shiTj) dv = r Jo u U — 7T 2 D / , V 0 1 7T Maple. Výpočtem Vivianiho křivky a jejím zobrazením jsme se zabývali již v kapitole o prostorových křivkách. Co se pak týče daného plošného obsahu, využitím procedury area ze strany 200 dostáváme: > interface(showassumed=0):assume(r>0): > sphere:=(u,v)->[r*cos(u)*cos(v),r*cos(u)*sin(v),r*sin(u)]: > G_sphere:=G(sphere,u,v): > 2*area(G_sphere,v,Pi/2,0,Pi/2); -2r2 + r2ir 203 10 Druhá základní forma plochy, asymptotické křivky 10.1 Příklad. Nalezněte planární body na ploše z = xA + y3. Řešení. Označme n = -f—~-—2— jednotkový vektor normály a hij = (n, fy) koeficienty Wh x /2II druhé základní formy plochy. Potom pro planární body platí: hu = hu = h22 = 0 Parametrické vyjádření plochy dané explicitně z = x'i + y3 má tvar f(u,v) = (u,v,u3 +v3) /i = (l,0,3u2) fi x f2 = (-3u2,-3v2,l) /2 = (0,1,3í;2) x/2|| = V&í4 + 9u4 + 1 f u = (0,0, Qu) , f , . 6íí f 12 (0,0,0) V9u4 + 9w4 + 1 22 = (0, 0,6v) hi2 = (n, /12) = 0 ,= , 1 = (-3^2,-3t;2,l) h22 = (n,/22) = , 4 " = ^/9íi4 + 9u4 +! ^ ) V9^4 + 9i;4 + l ^11=^12=^22 = 0 <=> íí = 0Aw = 0 Planárním bodem na dané ploše je tedy bod (0, 0) 11 Maple. Sestavíme proceduru h pro výpočet koeficientu druhé základní formy plochy, která vrací jejich uspořádanou trojici. Prvním vstupním parametrem procedury je samotná plocha, druhým a třetím vstupním parametrem jsou jména parametrů plochy nebo jejich konkrétní hodnoty: > restart:with(linalg): > H:=proc(surf,u,v) local fl,f2,n,nn,f11,f12,f22,hli,hl2,h22; uJe zřejmé, že pro výpočet planárních bodů stačí pouze směrový vektor normály libovolné velikosti. 204 f1: = (u, v)->subs(uu=u,diff(surf(uu,v),uu)); f2:=(u,v)->subs(vv=v,diff(surf(u,vv),vv)); fll:=(u,v)->subs(uu=u,diff(f1(uu,v),uu)); fl2:=(u,v)->subs(vv=v,diff(f1(u,vv),vv)); f22:=(u,v)->subs(vv=v,diff(f2(u,vv),vv)); nn:=crossprod(fl(u,v), f 2(u,v)); n:=nn/sqrt(dotprod(nn,nn,orthogonal)); hli:=simplify(dotprod(n,fll(u,v),orthogonal)); hl2:=simplify(dotprod(n,f12(u,v),orthogonal) ) ; h22:=simplify(dotprod(n,f22(u,v) , orthogonal) ) ; [hll,hl2,h22]; > end: Určíme koeficienty druhé základní formy plochy pro zadanou plochu vzhledem k jejímu parametrickému vyjádření: > surf: = (u,v)->[u,v,u"3+v~3] : > H(surf,u,v); Planárním bodem je tedy bod (0, 0): > with(plots): > setoptions3d(scaling=constrained): > SURF:=plot3d(surf(u,v),u=-l..l,v=-1.2..1.2, color=grey,style=wireframe): > PLANAR_P0INT:=pointplot3d(surf(0,0), symbol=cross,symbolsize=10, color=red,thickness=3): > display(SURF,PLANAR_POINT,axes=frame); 10.2 Příklad. Nalezněte planární body na ploše dané explicitně z = (p{[x,y). Řešení. Budeme postupovat analogicky předchozímu příkladu: f(u,v) = (u,v,ip(u,v)) fl = (l,0,(fx), /2 = (0, l,V3y) fl X Í2 = (~fx, -fy, 1), \\fl X Ml = xjfx + fl + l 205 f (n n ^ kll = (n'/n) = - : ' ^ J 11 = (O, 0, surf : = (u, v)-> [u, v, g (u, v) ] : > h(surf,u,v); d2 g(u,v) dudv dv 2 g(u,v) Z výsledku vidíme, že na explicitně zadané ploše planární body existují pouze v případě, že všechny druhé parciální derivace jsou nulové. 10.3 Příklad. Nalezněte sférické body na ploše z = x2 +y2. 206 Řešení. Ve sférickém bodě je druhá základní forma plochy nenulovým konstantním násobkem první základní formy plochy. Vypočítejme nyní tyto kvadratické formy pro zadanou plochu, jejíž parametrické vyjádření má tvar f(u,v) = (u,v,u2 +v2) /i = (1,0,2íí) fi x Í2 = (-2u, -2v, 1) /2 = (0,1,2*;) ||/ix/2|| = ^Au2+Av2 + l 9ll = l+Au2 /n = (0,0,2) hn= , 2- a t ín n n\ V Au2 + 4v2 + 1 gf^ = 4lfl> /i2 = (0, 0, 0) g22 = l+Av2 /22 = (0,0,2) /ii2 = 0 (-2tí, -2tj, 1) ^22 \/Au2 + Av2 + 1 \/4if2 + 4v2 + 1 Ve sférickém bodě musí platit c ■ (712 = c ■ Auv = h\2 = 0, kde 0. Proto (23) u = 0 V v = 0 A protože musí také platit c ■ gn = /in a c ■ (722 = h22, můžeme psát hu _ ffn ^22 £722 1 +4ií2 1 + 4v2 2 2 li = V U = ázV Vzhledem k (23) je jediným sférickým bodem na ploše bod (0, 0). Maple. Při hledání sférických bodů využijeme toho, že kolineárnost první a druhé základní formy plochy je ekvivalentní podmínce (911,912,922) X (hn,h12,h22) =0. Koeficienty základních forem plochy vypočítáme pomocí dříve uvedené procedury G(str. 193) a procedury H(str. 204): 12Stejně jako v příkladech 10.1 a 10.2 by stačilo uvažovat normálový vektor libovolné velikosti. 207 > surf: = (u,v)->[u,v,u~2+v"2] : > c:=crossprod(G(surf,u,v),H(surf,u,v)): > solve({c[l]=0,c[2]=0,c[3]=0},{u,v}); {u = 0,v = 0},{u = 0,v = 0} Plochou je rotační paraboloid: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained) > SURF:=plot3d(surf(u,v),u=-l..l,v=-l..1, color=grey, style=wireframe) : > UMBILIC_POINT:=pointplot3d(surf(0,0), symbol=cross,symbolsize=50, color=red,thickness=3): > display(SURF,UMBILIC_POINT,axes=frame); 10.4 Příklad. Nalezněte asymptotické křivky helikoidu f(u, v) = (v cos u, v sinu, au). Řešení. fl = (—v sinu, v cos u, a) f2 = (cos u, s™ u, 0) X f2 = (—asinu,acos', ||/l X/2|| = Va2+v2 fll = (—v cos u, — v sinu, 0) f 12 = (— sinu, cosu, 0) Í22 = (0,0,0) 1 n \/ a2 + v'' (—a sinu, a cos u, —v) Pro body asymptotické křivky platí a hu = (n,/n) = 0 hi2 = (n,f12) ®2(u,v) = 2 \/ a2 + v2 dudv = 0 dudv = 0 \/a2 +' h-22 = (n,Í22) = 0 du = 0 V dv = 0 = Cl v = C2 Asymptotické křivky odpovídají parametrickým křivkám plochy u = c\ (přímka) av = C2 (šroubovice). Maple. Nalezení diferenciálních rovnic asymptotických křivek budeme realizovat dvěma procedurami. V případě procedury asymptotic_eqi (surf ,u, v) bude hledanou funkcí první parametr plochy (tj. druhý vstupní parametr procedury) a 208 v případě procedury asymptotic_eq2 (surf ,u, v) bude hledanou funkcí druhý parametr plochy (tj. třetí vstupní parametr procedury). Koeficienty druhé základní formy plochy budeme nahrazovat novými koeficienty označenými jako all, ai2 a a22. Jejich výpočet nebude zatížen hledáním jednotkového vektoru normály, bude stačit pouhý směr (tj. j\ x /2). > restart:with(linalg): > asymptotic_eql:=proc(surf,u,v) local fl,f2,f11,f12,f22,all,al2,a22,sol; f1: = (u, v)->subs(uu=u,diff(surf(uu,v),uu)); f2: = (u, v)->subs(vv=v,diff(surf(u,vv),vv)); fll:=(u,v)->subs(uu=u,diff(f1(uu,v),uu)); fl2: = (u,v)->subs(vv=v,diff(f1(u,vv),vv)) ; f22: = (u,v)->subs(vv=v,diff(f2(u, vv) , vv) ) ; all :=simplify(det([f11(u,v),f1(u,v),f2(u,v)])); al2 :=simplify (det ( [ f 12 (u, v) , f 1 (u, v) , f 2 (u, v) ] ) ) ; a22 :=simplify (det ( [ f 22 (u, v) , f 1 (u, v) , f 2 (u, v) ] ) ) ; sol:=[solve(all*x~2+2*al2*x+a22=0,x)]; if nops(sol)=2 then diff(u(v) ,v) =subs(u=u(v),simplify(sol[1])), diff(u(v),v)=subs(u=u(v),simplify(sol[2])) elif nops(sol)=l then diff(u(v),v)=subs(u=u(v),sol[1]) fi: V proceduře byla užita konstrukce if-then-elif-f i, která rozlišuje počet řešení kvadratické rovnice hledající asymptotické směry. Pro dvě řešení dostáváme dvě diferenciální rovnice, pro jedno řešení jedinou diferenciální rovnici. Výstup procedury je uveden v takovém tvaru, že jej lze rovnou použít pro příkaz dsolve řešící diferenciální rovnice (neznámou je funkce u(v)). Pro případ, že je nutné, příp. i výhodnější hledat vyjádření asymptotické křivky jakožto v(u), budeme používat analogickou proceduru: > asymptotic_eq2:=proc(surf,u,v) local fl,f2,f11,f12,f22,all,al2,a22,sol; f1: = (u, v)->subs(uu=u,diff(surf(uu,v),uu)); f2:=(u,v)->subs(vv=v,diff(surf(u,vv),vv)); fll:=(u,v)->subs(uu=u,diff(f1(uu,v),uu)); fl2:=(u,v)->subs(vv=v,diff(f1(u,vv),vv)); f22: = (u,v)->subs(vv=v,diff(f2(u,vv),vv)) ; all :=simplify(det([f11(u,v),f1(u,v),f2(u,v)])); al2 :=simplify (det ( [ f 12 (u, v) , f 1 (u, v) , f 2 (u, v) ] ) ) ; a22 :=simplify (det ( [ f 22 (u, v) , f 1 (u, v) , f 2 (u, v) ] ) ) ; end: 209 sol:=[solve(a22*x~2+2*al2*x+all=0,x)]; if nops(sol)=2 then diff(v(u),u)=subs(v=v(u),simplify(sol[1])), diff(v(u),u)=subs(v=v(u),simplify(sol[2])) elif nops(sol)=l then diff(v(u),u)=subs(v=v(u),sol[1]) fi: end: Uvažujme helikoid a hledejme jeho asymptotické křivky: > helicoid:=(u,v)->[v*cos(u),v*sin(u),a*u]: > al:=asymptotic_eql(helicoid,u,v); al := —u(v) = 0 av > a2:=asymptotic_eq2(helicoid,u,v); a2 := —v(u) = 0 au Tyto jednoduché rovnice nám okamžitě dávají výsledek, jedná se o parametrické křivky (obr. na straně 179). V Maplu se dá výpočet realizovat procedurou dsolve: > dsolve(al);dsolve(a2); u(v) = _C*1 v(u) = _C*1 10.5 Příklad. Nalezněte asymptotické křivky katenoidu (viz příklad 8.6). Řešení. f(u,v)= (acosh — cos v, acosh — sin v, u V a a ( u u \ / U 7i^ ji = sinh — cos v, sinh — sin v, 1 , ji = — a cosh — sin v, a cosh — cos v, 0 \ a a / V a a ) 210 h x f 2 ll/l x u u u u^ -a cosh — cos v, —a cosh — smv, a cosh — sinh — a a a a> a cosh ■ u ■ cos v. — sin v. sinh ■ u a2 cosh2 — (cos2 v + sin2 v + sinh2 — az cosh — 1 + sinh — a2 cosh2 — cosh2 — a cosh2 n = k (u) ^— cos v, — sin v, sinh —^ , kde /c (tí) cosh - 1 11 = — a 12 = 22 = — hu = —k(u) ( — cosh ■ a \ hu = k (u) 0 = 0 / u u , cosh — cos v, cosh — sin v, 0 V a a u u — sinh — sin v, sinh — cos v, 0 a a ( u u \ ( u\ a cosh — cosv, cosh — sinw, 0 «22 = — ak(u) — cosh — V a a / V a) Pro body asymptotické křivky platí 1 $20, o) '-(du)2 + a(dv)2 0 ^ dw du v 1 J dw 1 = ±- díi a a) b) dw _ 1 du dv du — => v = — ■ u + ci (přímka), a a ■— => v =---ÍÍ + c2 (přímka). a a Asympt. křivky pro a = Maple. Použijeme procedury z předchozího příkladu: > catenoid:=(u,v)->[a*cosh(u/a)*cos(v),a*cosh(u/a)*sin(v),u] > al:=asymptotic_eql(catenoid,u,v); 211 al := —u(v) = —a, —u(v) = a av av > a2:=asymptotic_eq2(catenoid,u,v); d , , ld,, 1 a2 := r"M = —> ~j~v(u) = - au a au a Asymptotické křivky lze snadno ze získaných rovnic vyjádřit, stejně tak i v Maplu např. ze soustavy a2: > dsolve(a2[1]);dsolve(a2[2]); v(u) = -- + .C1 a ii v(u) = - + _C1 a Na množině parametrů se tedy jedná o přímky. Asymptotické křivky na katenoidu vykreslíme: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > a:=l: > CATENOID:=plot3d(catenoid(u,v),u=-2..2,v=0..2*Pi, style=wireframe,color=grey): > ASYMP1:=spacecurve(catenoid(u,-l/a*u),u=-2..2,thickness=3, color=blue): > ASYMP2:=spacecurve(catenoid(u,l/a*u),u=-2..2,thickness=3, color=blue): > display(CATENOID,ASYMP1,ASYMP2); > for i from 0 to 20 do ASYMP_CURVE1[i]:=spacecurve(catenoid(u,l/a*u+2*Pi*i/20), u=-2..2,color=red); ASYMP_CURVE2[i]:=spacecurve(catenoid(u,-l/a*u+2*Pi*i/2 0), u=-2..2,color=red); end: > ASYMP_CURVES1:=seq(ASYMP_CURVE1[i],i=0..20): > ASYMP_CURVES2:=seq(ASYMP_CURVE2[i],i=0..20): > display(CATENOID,ASYMP_CURVES1,ASYMP_CURVES2); 212 10.6 Příklad. Nalezněte asymptotické křivky pseudosféry (viz příklad 8.7). Řešení. a sin u cos v, a sin u sin v, a n I u ln (g COS Ti iíG 0 i'71" U(-)7r a cos u cos v, a cos u smv, a a cos u cos v, a cos u smv, tg f cos2 f 2 — a sin u 1 1 --sin tí sinu a cos2 tí a cos tí cos v, a cos u smv,- sin tí f 2 = (—a sin tí sinv, a sin tí cos v, 0) Pro výpočet asymptotických křivek není orientace normály podstatná, proto můžeme absolutní hodnotu ve výrazu |cos u\ vynechat: fi x f 2 = (—a2 cos2 tí cos v,—a cos Tismw.a smTiCOSTi sin2 tí cos2 tí = a21 cos tí I ||/i x /2|| =a2Vcos4Ti + n = (— cos tí cos v, — cos tí sin v, sin tí lil -2a cos tí sin2 tí — acos3TíN -asmtí cos v, —asinTíSinv, . o sin tí -a sin tí cos v, — a sin tí sin v, —a 2costí cos3 Tí . o sin tí f 12 = (—a cos tí sin v, a cos tí cos v, 0) f22 = (—asmucosv, — a sin tí sin v, 0) 213 Koeficienty drahé základní formy plochy: .3 111 a sin u cos u cos v + a sin tí cos u sin v — 2asiniiCOSii — a- cos li Sinti cos3 u sin2 tí + cos2 u cos tí -asmucosu — a- = —acosii- sm u sin u sin u hi2 = a cos2 u cos w sin v — a cos2 it cos v sin w + 0 = 0 /122 = a sm ^ cos u cos2 w + a sin li cos u sin2 i; + 0 = a sin li cos u Pro body asymptotické křivky platí — a cos u ., ., &2{u,v) = —:- (dtí) + a sin u cos u (du) = 0 <=> / dľ sin li \ duj sin ii dli dv = ±- sintí Asymptotické křivky jsou tedy dány rovnicemi13 u = m(ťg^)+cl' u = ~ln (tg ^) +c2- Maple. Diferenciální rovnice určující asymptotické křivky získáme pomocí procedur z příkladu 1 i.4. Před výpočtem uvedeme definiční obor pro parametr u pomocí příkazu assume. Stejné označování takto "omezené" proměnné zajistíme pomocí příkazu interface (showassumed=0) : > interface(showassumed=0):assume(u>0,u pseudosphere:=(u,v)-> [a*sin(u)*cos(v),a*sin(u)*sin(v),a*(log(tan(u/2))+cos(u))]: > al:=asymptotic_eql(pseudosphere,u,v); al := -^-u(v) = —siníuív)), -^-u(v) = sin(it(u)) dv dv > a2:=asymptotic_eq2(pseudosphere,u,v); a2 := —v(u) =--——, -t-v(u) = , . , dlí sm(ií) dlí sm(ií) Pro hledání explicitního vyjádření bude lepší řešit rovnice a2: > simplify(dsolve(a2[1]));simplify(dsolve(a2[2])); 13Uvedený tvar rovnic získáme použitím vzorce tg a = 1 — cos 2a 1 + cos 2a 214 (24) v(u) = - ln(l - cos(m)) + ln(sin(íi)) + -Cl v(u) = ln(l — cos(íí)) — ln(sin(íi)) + _C1 Podívejme se, jak vypadají tyto asymptotické křivky na množině parametrů. Uvedený tvar rovnic získáme z (24) použitím vzorce tg ! 1—cos a > with(plots) :setoptions(scaling=constrained) : > contourplot({v+log(tan(u/2)),v-log(tan(u/2))}, u=Pi/18..17*Pi/18,v=0..2*Pi,contours=20); Asymptotické křivky na pseudosféře v jednom bodě a celá soustava asymptotických křivek: > setoptions3d(scaling=constrained): > a:=l: > PSEUDOSPHERE:=plot3d(pseudosphere(u,v),u=Pi/18..17*Pi/18, v=0..2*Pi,style=wireframe,color=grey): > ASYMP1:=spacecurve(pseudosphere(u,log(tan(u/2))), u=Pi/18 . .17*Pi/18,thickness=3,color=blue) : > ASYMP2:=spacecurve(pseudosphere(u,-log(tan(u/2) )) , u=Pi/18..17*Pi/18,thickness=3,color=red): > display(PSEUDOSPHERE,ASYMP1,ASYMP2); > for i from 0 to 14 do ASYMPT0TIC_CURVE1[i]:=spacecurve(pseudosphere( u,log(tan(u/2))+Pi*i/7),u=Pi/18..17*Pi/18,color=blue) ASYMPT0TIC_CURVE2[i]:=spacecurve(pseudosphere( u,-log(tan(u/2))+Pi*i/7),u=Pi/18..17*Pi/18,color=red) end: > ASYMP_CURVESl:=seq(ASYMPTOTIC_CURVEl[i],i=0..14): > ASYMP_CURVES2:=seq(ASYMPT0TIC_CURVE2[i],i=0..14): > display(ASYMP_CURVES1,ASYMP_CURVES2); 215 10.7 Příklad. Určete eliptické, hyperbolické a parabolické body na rotační ploše, která vznikne rotací explicitně dané funkce z = g(x), x > 0 kolem osy z. Řešení. Parametrické vyjádření křivky: x = u,z = g(u) Rotační plocha: f(u,v) = (u cos v, usití v, g(u)) f i = (cos v, sin v,g'(u)) fi X f2 = (-ug'(u) cos v, -ug'(u) sin v, u) f2 = (-usmv,ucosv,0) ||/i X f2\\ = g'2(u) + 1 /ii = (0,0,ff») /12 = (— sin v, cos v, 0) f 22 = (—u cos v, — usmv, 0) 111 h12 = 0 ug'(u) l ug (u) n = — = (—q'(u) cos v, —q'(u) sin v, l) "22 = , „ == ^g'2{u) +1 V V ' V ' ' ^/g'2{u) + l Klasifikaci bodů na ploše provedeme pomocí determinantu ug'(u)g"(u) hn h12 h\2 h22 hnh22 - h\2 g'2{u) + l eliptické body {h > 0): g'{u)g"(u) > 0 a) g'(u) > 0,g"(u) > 0 rostoucí, konvexní b) g'(u) < 0,g"(u) < 0 klesající, konkávni Křivka leží mezi tečnou a osou rotace, hyperbolické body (h < 0): g'{u)g"{u) < 0 a) g'(u) > 0,g"(u) < 0 rostoucí, konkávni 216 b) g'(u) < O, g"(u) > O klesající, konvexní Tečna leží mezi křivkou a osou rotace. parabolické body (h = 0): g'{u)g"{u) = 0 a) g'(u) = 0 tečna je kolmá na osu rotace b) g" (u) = 0 např. inflexní body funkce g (x) Je zřejmé, že se nemusí vždy jednat o inflexní body, pokud g" (u) = 0. Maple. Uvažujme rotační plochu, která vznikne rotací explicitně dané křivky, a určeme koeficienty druhé základní formy plochy pomocí procedury h z příkladu 10.1. Hledejme výraz /in/122 — ^12: > surfrev:=(u,v)->[u*cos(v),u*sin(v),g(u)]: > h(surfrev,u,v) [1]*h(surfrev,u,v) [3]- h(surfrev,u,v) [2]'2; Protože uvažujeme u > 0, dostáváme stejný závěr jako v předchozím výpočtu, tj. klasifikace bodů na eliptické, hyperbolické a parabolické je dána znaménkem výrazu g"'{u)g''(u). 10.8 Příklad. Ukažte, že všechny body plochy x+y = z3 jsou parabolické. Určete asymptotické křivky na ploše. Řešení. Parametrické vyjádření plochy: f(u, v) = (u3 - v, v, u), h = (3u2,0,1), h = (-1,1, 0) /ix/2 = (-l,-l,34 ||/i x/2|| = ^2 + 9^ 1 (-1,-1, 3u2) n = V2 + 9u4 217 /ii = (6u,0,0) /i2 = (0,0,0) hl = (0,0,0) ^11 = (ra, /ll) V2 + 9vÄ h\2 = (n, f u) = 0 ti22 = (n, f22) = 0 Protože výraz h\\h22 — h22 je pro každý bod na ploše nulový, všechny body na ploše jsou parabolické. $2(u,v) = ~6U (du)2 + 0 dudv + 0(dv)2 = 0 v 2 + 9íí4 (díi)2 = 0 du = 0 Asymptotickými křivkami jsou parametrické křivky tí = c, tedy přímky x+y = c3 rovnoběžné s rovinou xy (z = konst.). Maple. Při hledání parabolických bodů budeme postupovat podobně jako v předchozím příkladu pomocí koeficientů druhé základní formy plochy: > surf:=(u,v)->[u"3-v,v,u]: > H(surf,u,v)[1]*H(surf,u,v)[3]-H(surf,u,v)[2]"2; h\\h,22 - h 0 všechny body plochy jsou parabolické Hledejme asymptotické křivky s použitím procedury asymptotic_eqi z příkladu 10.4: > al:=asymptotic_eql(surf,u,v); al := -~r-u(v) = 0, -^-u(v) = 0 av av Okamžitě vidíme, že se jedná o parametrické íi-křivky: > dsolve(al[1]); u(v) = .Cl Plocha společně s asymptotickou křivkou: > with(plots) : > setoptions3d(scaling=constrained): > SURF:=plot3d(surf(u,v),u=-l..l,v=-l..1, style=wireframe,color=grey): > ASYMP:=spacecurve(surf(0,v),v=-l..1, thickness=3,color=blue): > display(SURF,ASYMP,axes=frame); -V 14V každém bodě plochy je tedy právě jeden asymptotický směr. 218 11 Hlavní křivosti, Gaussova a střední křivost plochy 11.1 Příklad. Nalezněte hlavní směry a hlavní křivosti helikoidu f(u, v) = (v cos u, v sin u, au). Řešení. Podle příkladu a příkladu platí 912 =0 922 = 1 2 , 2 gn = a +v h 11 0 hi2 = V'a2 + v2 h22 =0 Diferenciální rovnice sítě hlavních křivek : gildu + gľ2dv gudu + g22cg22 - h22 + \J a2 + v2 x(a2 + v2) a \/ a2 + v2 \fa2 +v2 \a2+v2) Kio = ±- Střední křivost H = xi + X2 = 0 Gaussova křivost K = yti>í2 a2 + v2 a2 + v2 (a2 + v2)2 Maple. Pro výpočet hlavních křivostí potřebuj eme řešit kvadratickou rovnici ur- 15Ekvivalentní způsob vyjádření hlavních směrů je pomocí rovnice 16 viz důkaz věty ze strany 58 dv2 — dudv du2 911 912 922 hu h\2 219 cenou koeficienty první základní formy plochy g (viz příklad 9.1) a druhé základní formy plochy h (viz příklad 10.1): > principál:=proc(surf,u,v) local g,h,gg,hh,eq; g:=G(surf,u,v):gg:=g[1]*g[3]-g[2]"2: h:=h(surf,u,v) :hh:=h[1]*h[3]-h[2]"2 : eq:=kappa~2-kappa*(g[1]*h[3]-2*g[2]*h[2]+g[3]*h[1])/gg+hh/gg; [solve(eq,kappa)]: end: Uvažujme helikoid a jeho hlavní křivosti: > helicoid:=(u,v)->[v*cos(u),v*sin(u),a*u]: > kappa:=principal(nelicoid,u,v); a a a2 + v2 ' a2 + v2 Gaussova křivost k a střední křivost h helikoidu: > k:=kappa[1]*kappa[2]; h:=kappa[1]+kappa[2]; {a2+v2)2 h:=0 Znázorníme si průběh funkce Gaussovy křivosti helikoidu a také barevným odstínem Gaussovu křivost odlišíme přímo na dané ploše. Gaussova křivost je všude záporná, ale čím více se hodnoty blíží k nule, tím více přechází barevný odstín od modré barvy k barvě červené17: > with(plots):setoptions3d(axes=frame): > a:=l: > plot3d(k,u=0..2*Pi,v=-3..3); > plot3d(helicoid(u,v),u=0..2*Pi,v=-3..3,grid=[40,10] , color=C0L0R(rgb,k,0,-k)); Obrázek v černobílém provedení představuje přechod od černé k bílé barvě. 220 V našem příkladu se budeme soustředit rovnou na vykreslení hlavních křivek. Pro výpočet těchto křivek je možné sestrojit vlastní procedury, stejně jako tomu bylo u asymptotických křivek (viz příklad 10.4). Hlavní křivky na oblasti parametrů: > contourplot({u+log(v+sqrt(a~2+v~2)), u-log(v+sqrt(a~2+v~2))}, u=0..2*Pi,v=-3..3, contours=20); Znázornění hlavních křivek na ploše: > HELIC0ID:=plot3d(helicoid(u,v),u=-Pi..Pi,v=-3..3, style=wireframe,color=grey): > PRINCIPAL1:=spacecurve(helicoid(log(v+sqrt(a~2+v~2)),v), v=-3..3,thickness=3,color=red): > PRINCIPAL2:=spacecurve(helicoid(-log(v+sqrt(a~2+v~2)),v), v=-3..3,thickness=3,color=blue) : > display(HELICOID,PRINCIPAL1,PRINCIPAL2); > for i from 0 to 20 do > PRINCIPAL_CURVE1[i]:=spacecurve( helicoid(log(v+sqrt(a~2+v~2))+Pi*i/10,v),v=-3..3, color=red) : > PRINCIPAL_CURVE2[i]:=spacecurve( helicoid(-log(v+sqrt(a~2+v~2))+Pi*i/10,v),v=-3..3,color=blue): > end: > display(seq(PRINCIPAL_CURVE1[i],i=0..20), seq(PRINCIPAL_CURVE2[i],i=0..20)); 221 11.2 Příklad. Nechť je dána první a drahá kvadratická forma plochy (gij), (hij). Dokažte, že parametrické křivky jsou hlavními křivkami, právě když platí g\2 = ^12 = 0. Řešení. Uvažujme parametrické křivky u = c\ a v = c2, které se dotýkají směrů (0, dv) a (du, 0). "=>" Hlavní směry jsou kolmé, musí tedy platit guaih + #12 (Ml + aib2) + 322^2 = 0 0 + g12(dudv + 0) + 0 = 0 gu = o Hlavní směry jsou sdružené, musí tedy platit hiiaibi + hi2(a2bi + 12162) + /i22«2^2 = 0 0 + /ii2(díidi; + 0)+0 = 0 hn =0 =" Diferenciální rovnice sítě hlavních křivek: gnh22dudv — g22hndudv = 0 gildu + g12dv gi2du + g22dv hudu + h^dv h\2du + h,22dv (gnh22 ~ g22hn)dudv = 0 du = 0 V dv = 0 = Cl v = c2 giih-22 = Í722^ii -—■ = -—■ = c jedná se o sférický bod g22 gu hu = h-22 = 0 jedná se o planární bod 11.3 Příklad. Nalezněte hlavní křivosti anuloidu f(u,v) = ((a + b cos u) cos v, (a + b cos u) sin v, b sin u) a pomocí Gaussovy křivosti určete eliptické, hyperbolické a parabolické body. 222 Řešení. fl = b(— sin u cos v, — sin u sin v, cos u) Í2 = (a + bcosu)(— sin v, cos v, 0) Koeficienty první základní formy plochy: 9/9 9 9 9 9\9 <7ll = b (sm íícos v + sin usm v + cos u) = b 912 =b(a + b cos u) (sin u sin v cos v — sin u sin v cos v + 0) = 0 <722 = (a + b cos íí)2 (sin2 v + cos2 v + 0) = (a + b cos u)2 flxÍ2= b (a + bcosu)(— cos cos v, — cos sin v, — sinu) II fi x /2II = b(a + 6 cos u) \Jcos2 tt cos2 v + cos2 it sin2 v + sin2 tt = = b (a + bcosu) n = (— cos it cos v, — cos u sin v, — sin u) f 11 = b(— cos u cos v, — cos u sin v, — sin u) f 12 = b(sin u sin v, — sin u cos v, 0) J22 = (a + b cos it)(— cos v, — sin v, 0) Koeficienty drahé základní formy plochy: hu = b(cos2 u cos2 v + cos2 u sin2 v + sin2 u) = b hv2 = b(— sin u cos u cos v sin v + sin u cos u cos v sin v + 0 = 0 ^22 = (a + b cos u) (cos u cos2 v + cos u sin2 v + 0) = (a + b cos u) cos u ngii - hu ngí2 -ngi2 ~ hí2 Kg22 - h22 nb2 -b 0 _ 0 k (a + bcosu)2 — (a + bcosu) cos u K2b(a + b cos u) + k(—a — 2b cos u) + cos u = 0 a + 2b cos u ± \fä? 1 cos u 2b[a +bcosu) b a + bcosu 223 Z Gaussovy křivosti K = k\k2 cos u (a > b => (a + bcosu) > 0) b (a + bcosu) vidíme, že na anuloidu můžeme rozlišit všechny tři typy bodů (výsledek srovnejme s příkladem 10.7): a) eliptické body (K > 0) pro u E (o, ^ U ( 2ir b) hyperbolické body (K < 0) pro u E c) parabolické body (K = 0) pro u E 7T 37T 2' T 7T 37T 2' T K=0 K>0 K=0 Maple. Pro výpočet hlavních křivostí budeme potřebovat proceduru principal z příkladu 11.1 a kvůli zjednodušování výsledků potřebujeme explicitně sdělit, že pracujeme v reálných číslech: > _EnvAllSolutions:=true: > interface(showassumed=0):assume(a>b,b>0): > torus:=(u,v)->[(a+b*cos(u))*cos(v), (a+b*cos(u))*sin(v),b*sin(u)]: > kappa:=principal(torus,u,v); b ' a + 6cos(íí) Gaussova křivost anuloidu: > k:=kappa[1]*kappa[2]; b(a + b cos(it)) Parabolické body: > solve(k,{u,v}); v = v, u = —7T + 7T_ Zl Znázorněme si průběh funkce Gaussovy křivosti anuloidu a také barevným odstínem klasifikujme eliptické (zelená barva) a hyperbolické (červená barva) body přímo na dané ploše: > with(plots):setoptions3d(axes=frame): > plot3d(subs(a=5,b=2,k),u=0..2*Pi,v=0..2*Pi); > plot3d(subs(a=5,b=2,torus(u,v)),u=0..2*Pi,v=0..2*Pi, color=COLOR(RGB,max(-signum(k),0),max(signum(k),0),0) grid=[20,30],scaling=constrained); 8Černobflý obrázek znázorňuje eliptické body v bílé barvě a hyperbolické body v černé barvě. 224 11.4 Příklad. Určete Gaussovu křivost libovolné rotační plochy f(u,v) = (g(u) cos v, g(u) sin v, h(u)),g(u) > 0. Řešení. V příkladu 9.1 jsme spočítali: fi = (g (u) cos v, g'(u) sin v, h'(u)), f2 = g(u)( - sinv,cosv,0) 911 = g'2{u) + h/2(u), g12 = 0, g22 = g2(u) fl x Í2 = g{u) (-tí(u) cos v,-tí(u) sin v, g'(u)) Wh X Í2\\ = g{u)^g'\u)+h'\u) 1 ^Jg'2(u) + h/2(u) {—h!{u) cos v, —h'(u) sin v, g'(u)) f 11 = (g"(u) cos v, g"(u) sin v, h"(u)) f 12 = g'{u)(-sinv,cosv,ti) f22 = g (u) (-cos v, -sinv,0) Koeficienty druhé základní formy plochy:19 hl1 = i fíi ^1 , pŤŤŤ {9'{u)h"{u) - g"{u)tí{u)) y*g'2 (u) + h'2 (u) h\2 = -. g'(u) (h'(u) sin v cos v — h'(u) sin v cos v + 0) = 0 \J g'2 (u) + h'2 (u) h22 = i } g{u)h'{u) 19Protože g\2 = hn = 0, odpovídají hlavním křivkám parametrické křivky rotační plochy, tzv. rovnoběžky a poledníky (viz příklad 11.2). 225 Pro Gaussovu křivost platí: K ^11^22 - h\2 911922 - 9\2 g'2{u)+h'\u)9{u)h'{u)^{u)h"{u) ~ g2(u) (g'2(u)+h'2(u)) (25) K h'{u){g'{u)h"{u)-g"{u)h'{u)) g{u){g'2{u)+h'2{u)f Maple. Nejdříve si sestavíme procedura gaussian počítající Gaussovu křivost. Předpokládejme, že už máme nadefinované procedury g a h pro výpočet koeficientů první základní formy plochy (viz příklad 9.1) a druhé základní formy plochy (viz příklad 10.1). Potom výpočet Gaussovy křivosti lze realizovat následovně: > gaussian:=proc(surf,u,v) local g,h; g:=G(surf,u,v):h:=H(surf,u,v): (h[l]*h[3]-h[2]'2)I(g[l]*g[3]-g[2]'2); simplify(%); end: Výpočet křivosti už nebude složitý: > surfrev:=(u,v)->[g(u)*cos(v),g(u)*sin(v),h(u)]: > gaussian(surfrev,u,v); du h(u] du2 u + du 9W du2 h(u) 9KU) du 9{u) + du h(u) du h(u] 11.5 Příklad. Určete Gaussovu křivost pseudosféry (viz příklad 8.7). Řešení. Parametrické vyjádření pseudosféry: a sin u cos v, a sin u sin v, a ln tg cos u «G(0^)u(|>ír Gaussovu křivost budeme počítat podle vzorce (25) z přechozího příkladu, pro výpočet jednotlivých derivací můžeme použít mezivýsledky příkladu 10.6: g(u) = a sin u, g'(u) = acosu, g"(u) = —asmu 226 h(u) h'{u) h"{u) m (*g g a cos u smít -a ( 2cosii -a cos u . o sin u COS tí cos3 u . 2 sm tí a cos it -2a cos u sin2 u — a cos3 it ! ô sin it h'{u){g'{u)h"{u)-g"{u)h\u)) g(u)(g>2(u)+h>l(u))2 a cos2 it / a2 cos2 it sinii . 2 sin it a2 cos2 u + a2 cos2 it 4 \ 2 , cos u . 2 sin it cos4 u sin3 tí aJ sin tí cos4 tí ■ 4 sin tí Pseudosféra má tedy konstantní zápornou Gaussovu křivost 20 Maple. Využijeme proceduru gaussian z předchozího příkladu: > pseudosphere:=(u,v)->[a*sin(u)*cos(v), a*sin(u)*sin(v),a*(log(tan(u/2))+cos(u))]; > gaussian(pseudosphere,u,v); Konstantní zápornou Gaussovu křivost mají také dvě zajímavé plochy, Diniho plocha a Kuenova plocha: > dini:=(u,v)-> [a*sin(u)*cos(v),a*sin(u)*sin(v),a*(cos(u)+ln(tan(u/2)))+b*v]: > kuen:=proc(u,v) [2*(cos(v)+v*sin(v))*sin(u)/(l+v~2*sin(u)'2), 2*(sin(v)-v*cos(v))*sin(u)/(l+v~2*sin(u)'2), logttan(u/2))+2*cos(u)/(l+v~2*sin(u)'2)] end: > gaussian(dini,u,v); b2 + a2 °Svůj název dostala tato plocha právě proto, že sféra o poloměru r má konstantní kladnou křivost 227 > gaussian(kuen,u,v); -1 Maple nám umožňuje jednoduše tyto plochy zobrazit: > with(plots):setoptions3d(axes=boxed): > plot3d(subs(a=l,b=0.2,dini(u,v)),u=0.001..2,v=0..4*Pi, grid=[15,60],view=[-l..1,-1..1,-3..3]); > plot3d(kuen(u,v),u=0.01..Pi-0.01,v=-4..4,scaling=constrained, grid=[15,60],view=[-l..2,-1..2,-2..2]); Diniho plocha Kuenova plocha 11.6 Příklad. Najděte střední a Gaussovu křivost rotační válcové plochy. Řešení. Parametrické vyjádření rotační válcové plochy s podstavou o poloměru r: f(u,v) = (r cos v, r sin v, u) Protože pro rotační plochy platí gi2 = hyi = 0 a hlavními křivkami jsou parametrické křivky (viz příklad 11.4), jsou hlavní křivosti: k\ = — pro hlavní křivku odpovídající kružnici (rovnoběžka) r «2=0 pro hlavní křivku odpovídající přímce (poledník) H = Ki + K2 = —, K = K\K2 = 0 r Naši úvahu rozšiřme o výpočet pomocí vzorce j, hnh22 - h\2 gnh22 - 2g12h12 + #22^11 K =-2—, H = -k-, 011022 - 012 011022 - 012 228 přičemž změníme tradiční orientaci normály na směr f2 x /1: fl = (0,0,1), /2 = (-rsint; r cos w 0) x/i = - (r cos v, rsmv,0), H/2 X/i|| = r, n - = (cos v , sinw 911 = 1 f 11 = (0,0,0) hu = 0 912 = 0 fi2 = (0,0, 0) hi2 = 0 922 = r2 f 22 = (—r cos v, —r sin v ,0) h22 = — r K = = 2=0, H = 2 -0 1 r ,0) Je třeba si uvědomit, že druhá základní forma plochy je závislá na orientaci plochy! Maple. K procedurám pro výpočet hlavních křivostí (viz příklad 11.1) a Gaussovy křivosti (viz příklad 11.4) přidáme proceduru pro výpočet střední křivosti. Opět předpokládáme existenci procedur pro výpočet koeficientů první základní formy plochy (str. 193) a druhé základní formy plochy (str. 204). > mean:=proc(surf,u,v) local g,h; g:=G(surf,u,v):h:=H(surf,u,v): (g[l]*h[3]-2*g[2]*h[2]+g[3]*h[l])/(g[l]*g[3]-g[2]-2); simplify(%); end: Křivosti rotační válcové plochy: > interface(showassumed=0):assume(r>0): > cylinder:=(u,v)->[r*cos(u),r*sin(u),v]; > principál(cylinder,u,v); > gaussian(cylinder,u,v); 0 > mean(cylinder,u,v); _1 r 229 11.7 Příklad. 2 2 x y Vypočtěte první a druhou základní formu paraboloidu--1--= 2z,p ^ 0,q ^ 0. p q Určete jeho Gaussovu křivost. Dále určete hlavní směry a hlavní křivosti v bodě (0,0,0). Řešení. Parametrické vyjádření paraboloidu a parciální derivace: ( u2 v2\ „ ( u\ „ ( v /(«.«) =(«.^ + žJ. /i=(m,-j, /2 = (o,i,-/ii=ro,0,^V /i2 = (0,0,0), /22 = To, o, i fix/2=(--,--,l),||/ix/2|| = «/^ + ^ + l Pij y £' i u v -,—,1 lu2 v2 V P 1 — + — + 1 Koeficienty první základní formy plochy: 2 2 u uv v 911 = 1 + -ň, 912 = -, 922 = 1 + -Ö Koeficienty druhé základní formy plochy: 1 /ll2 = 0, h22 j£ _ ^11^22 - h12 1- \ -Ö + -Ö 911922 - 9l2 / u2 v2 u2v2\ u2v2 ( u2 W2N [1 + p2 + ť + p2ť~p2ť pq\l + -^+^ 230 Parabolické body (K = 0) na dané ploše neexistují. Pro pq > 0 se jedná o eliptický paraboloid (ve všech bodech platí K > 0). Pro pq < 0 se jedná o hyperbolický paraboloid (ve všech bodech platí K < 0). Hlavní křivosti v bodě (u,v) = (0,0): 211(0,0) = 1, ffi2(0,0) = 0, 522(0,0) = 1 /in(0,0) = -, h12(0,0) = 0, /i22(0, 0) = -p q ngii - hn Kg12 -agu ~ hi2 Kg22 - h22 1 k-- P 0 1 1\ 11 - + - K+---=0 p q i p q Hlavní křivosti v bodě (0, 0) tedy jsou k± = - a K2 = —. V případě p = q se p q jedná o sférický bod21. Hledejme hlavní směry odpovídající křivostem k\, «2- Platí: (ngu - hn)du + (ng12 - h12)dv = 0 (ngi2 - h12)du + (ng22 - h22)dv = 0 Pro ki = - v bodě (0,0) platí P Pro K2 = - v bodě (0,0) platí q p p 0-du du + 0 ■ dv = 0 dv = 0 0 ■ díi Odpovídajícím směrem je směr (du,0) ~ (1,0) díi + 0 ■ dw = 0 dw = 0 Odpovídajícím směrem je směr (0,dv) ~ (0,1) Maple. S pomocí dříve vytvořených procedur pro výpočet koeficientů první základní formy plochy (str. 193), druhé základní formy plochy (str. 204), hlavních křivostí (str. 220) a Gaussovy křivosti (str. 226) dostáváme tyto výsledky: V takovém případě dostáváme rotační paraboloid. 231 > paraboloid:=(u,v)->[u,v,u"2/(2*p)+v~2/(2*q)] > G(paraboloid,u,v):expand(%); u2 uv v2 l + — -! + — > H(paraboloid,u,v):expand(%); ,0, 2 2 / 2 2 1 + ^ + ^ I + U + V > gaussian(paraboloid,u,v); 3 3 p q (p2q2 + u2q2 + v2p2) > principal(paraboloid,0,0); 1 1 _ restart: > env:=(p,q)->(x-p)'2+(y-q)~2+z~2-r~2=0: > dl: =dif f (env (u, v) , u) ; d2 : =dif f (env (u, v) , v) ; dl := -2x + 2u = 0 (26) v d2 := -2y + 2v = 0 Vyřešíme soustavu zahrnující spolu s rovnicemi (26) ještě rovnici env (u, v): > solve({env(u,v),dl,d2},{x,y,z}); 233 {x = u, y = v, z = —r}, {z = r, x = u, y = v} Získali jsme dvě parametrické rovnice rovin. Pro jejich implicitní rovnice vyjádříme ze soustavy (26) neznámé u a v a dosadíme do rovnice soustavy ploch: > assign(solve({dl,d2},{u,v})); > env(u,v); z — r = U Abychom i nadále mohli pracovat s proměnnými u a v, zrušíme jejich přiřazení k řešení soustavy rovnic: u:='u':v:='v': Následující příkazy nám umožní vykreslit několik sfér ze zadané soustavy: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained,axes=boxed): > for i from 1 to 5 do for j from 1 to 5 do SPHERE[i,j] : = plot3d([i+cos(u)*cos(v),j+cos(u)*sin(v),sin(u)], u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi) od:od: > display(seq(seq(SPHERE[t,s],t=l..5),s=l..5), style=wireframe,shading=zhue); 234 Řešení. dF dF — = -2(x -u)-u = 0 — = -2(y -v)-v = 0 ou ov u = 2x v = 2y Po dosazení do rovnice soustavy F dostáváme: x2 + y2 + z2 - AX ~^Ay = -x2 - y2 + z2 = 0 x2 + y2 - z2 = 0 Charakteristickou množinou je rotační kuželová plocha. V případě obálky soustavy vynecháme vrchol kuželové plochy, ve vrcholu se totiž nejedná o plochu. Maple. Sestavíme si proceduru, která se bude pokoušet nalézt implicitní vyjádření charakteristické množiny zadané dvouparampetrické soustavy ploch. Vstupním parametrem je soustava eq, která musí být vyjádřena jako funkce dvou proměnných (těmi jsou právě parametry soustavy ploch). Postup výpočtu odpovídá postupu v předchozím příkladu: > restart: > env_2par_implicit:=proc(eq) local u,v,diff_u,diff_v; diff_u:=diff(eq(u,v),u); diff_v:=diff(eq(u,v),v); solve({diff_u,diff_v},{u,v}); assign(%); eq(u,v); end: Pro naši soustavu sfér platí: > env:=(u,v)->(x-u)'2+(y-v)~2+z~2-(u~2+v~2)/2=0: > env_2par_implicit(env); —x2 — y2 + z2 = 0 Nakresleme si několik sfér soustavy (sféry mají střed [u, v, 0] a velikost poloměru TTv2 —- ) společně s její charakteristickou množinou. Znázorníme si také několik řezů soustavy sfér pomocí příkazu contourpiot. Nejdříve určíme parametrizaci sfér v soustavě a také zavedeme proměnné par_min a par_max určující interval pro parametry u, v: 235 > sphere:=[i+sqrt((i~2+j~2)/2)*cos(u)*cos(v), j+sqrt((i"2+j"2)12) *cos(u)*sin(v), sqrt((i"2+j"2)/2)*sin(u)],u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi: > par_min:=-3:par_max:=3: Nyní vytvoříme PLOT struktury cone pro charakteristickou množinu (rotační kuželovou plochu), sphere pro jednotlivé sféry acoNTOUR_0, contour_i, contour_2 pro jednotlivé řezy: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > CONE:=plot3d([v*cos(u),v*sin(u),v],u=0..2*Pi,v=-4..4,color=grey, style=hidden): > for i from par_min to par_max do for j from par_min to par_max do SPHERE[i,j]:=plot3d(sphere, color=COLOR(RGB, (abs(i)+abs(j))/10, (abs(i)+abs(j))/10,1)) : CONTOUR_0[i,j]:=contourplot(sphere,contours=[0],color=red): C0NT0UR_1[i,j]:=contourplot(sphere,contours=[1],color=blue): C0NT0UR_2[i,j]:=contourplot(sphere,contours=[2],color=green): od: od: Volba coior=C0L0R (RGB, ...) nám vytvoří různě barevná provedení sfér vzhledem k parametrům soustavy (různé odstíny modré). Nyní uvedené plot struktury vykreslíme: > display(seq(seq(SPHERE[t,s],t=-l..1),s=-l..1),axes=frame); > display(CONE,seq(seq(SPHERE[t,s],t=par_min..par_max), s=par_min..par_max)); Řezy soustavou sfér: > setoptions(scaling=constrained,axes=frame): > display(seq(seq(CONTOUR_0[t,s],t=par_min..par_max), s=par_min..par_max),view=[-6..6,-6. .6]); > display(seq(seq(C0NT0UR_1[t,s],t=par_min..par_max), s=par_min..par_max),view=[-6..6,-6. .6]); > display(seq(seq(C0NT0UR_2[t,s],t=par_min..par_max), s=par_min..par_max),view=[-6..6,-6..6]); 236 12.3 Příklad. Nalezněte obálku rovin v I. oktantu, které na souřadných osách vytínají čtyřstěn o konstantním objemu. Řešení. Obecnou rovnici roviny můžeme psát jako ax + by + cz — 1 = 0. Tato rovina pro a,b.c ^ 0 vy tíná čtyřstěn s vrcholy [0,0,0], [i,0,0], [0,i,0] a [0,0, i]. Pro objem čtyřstěnu platí V i 0 0 a 1 o \ o o o \ 6abc konst. Pro c QabV dostáváme dvouparametrickou soustavu rovin (27) F(x. y, z, a, b) = ax + by + Zderivujeme podle parametrů soustavy 0 dF da z 6a2bV x 6a2bV a dosadíme do rovnice soustavy z QabV OF ~db 6a2bV 6ab2V QabV z 2abV ~ 6ab2V y 6ab2V 237 Dostáváme parametrické rovnice obálky z _ 2abV 1 _ z 2abV _ 1 z_2a V,y - - - —,x - - - — a rovnici obálky 11 2 xy z =--2abV = —V. y 3a 3b 9 Maple. Sestavíme si procedura, která se bude pokoušet nalézt parametrické vyjádření charakteristické množiny (parametry charakteristické množiny budou pojmenovány u a v) dané dvouparampetrické soustavy ploch. Vstupním parametrem je soustava eq, která musí být vyjádřena jako funkce dvou proměnných (těmi jsou právě parametry soustavy ploch). > restart: > env_2par_parametric:=proc(eq) local u,v,diff_u,diff_v; diff_u:=diff(eq(u,v),u); diff_v:=diff(eq(u,v),v); solve({eq(u,v),diff_u,diff_v},{x,y,z}); end: Uvažujme soustavu (27) a vypočítejme její charakteristickou množinu: > env:=(a,b)->a*x+b*y+z/(a*b*6*V)-1=0: > env_2par_parametric(env) ; {x = T-, 2/ = ij-;z = 2uvV} óu óv Znázorníme si jednu rovinu dané soustavy a obálku daných rovin pro v = : > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > V:=l/48; > implicitplot3d(env(2,2),x=0..0.6,y=0..0.6,z=0..0.6,axes=normal, style=wireframe); > plot3d([1/(3*u),1/(3*v),2*u*v*V],u=0.5..4,v=0.5..4,axes=normal); Zobrazení více rovin soustavy můžeme realizovat pomocí následujícího kódu: 238 > for i from 1 to 8 do for j from 1 to 8 do PLANE[i,j]:=plot3d([l/i-l/i*u-l/i*v,1/j*u,6*i*j*V*v], u=0..1,v=0..1); od: od: > display(seq(seq(PLANE[a,b],a=l..8),b=l..8),axes=frame, view=[0..0.5,0.-0.5,0..0.5]); 12.4 Příklad. 2 2 2 x y z Určete obálku dvouparametrické soustavy elipsoidů + + = l,a,b,c > 0 az bz cz takových, že a ■ b ■ c = konst. Řešení. Protože k = abc je konstantní, lze vyjádřit c pomocí parametrů a, b (c = ^) a dosadit vztah do rovnice elipsoidu. Tím získáme rovnici soustavy: j,2 y2 ^2 ^2 2 n2]^2 v2 (28) F(x,y,z,a,b) = — + ^ + —-1 = — + y— b2 k2 a2 b2 k2 a2b2 Zderivujeme podle parametrů soustavy dF 2 o 2ab2 0 dF 2 0 2a2b 0 _ =__xz -|__z = o _ =__yz -|__z = 0 da a3 k2 db b3 k2 2 _ 2 2 _ 2 X ~ k2 Z y ~ k2 Z a dosadíme do rovnice soustavy (28) a2b2 2 a2b2 2 a2b2 2 a2b2 k2 z2 z2 = l k 2 3a2 b2 Potom můžeme psát ~k2 3a2b2 ~ 3~ y ~ k2 3a2b2 2 a4b2 k2 1 2 2 a2b4 k2 I, x = —t;--= -« V = --ÔT7T = ~b 239 Protože k = abc, pak Rovnice obálky 2 _ a2b2c2 _ 1 2 2 2 2 d b C k x ■ y ■ z 27 27 Maple. Uvažujme soustavu (28): > restart: > env:=(a,b)->x~2/a~2+y~2/b~2+z~2*a~2*b~2/k~2-l=0: Pro hledání charakteristické množiny nedávají procedury env_2par_impiicit (viz příklad 12.2) a env_2par_paramet r ic (viz příklad 12.3) uspokojivé výsledky. Proto budeme postupovat po jednotlivých krocích stejně jako v příkladu 12.1: > dl: =dif f (env (a, b) , a) ; d2 : =dif f (env (a, b) , b) ; 2x2 2z2ab2 dl + ■ k2 - 0 2y2 2z2a2b Vzhledem k tomu, jak vypadají parciální derivace soustavy, bude výhodné řešit příslušnou soustavu vzhledem k x2, y2, z2 namísto vzhledem kx,y, z: > solve({env(a,b),dl,d2},{x"2,y"2,z"2}); 2 a2 2 b2 2 k2 3 'y 3 ' 3a2b2 Uvažujme k = 6 a vykresleme několik elipsoidů. Aby obrázky byly názorné, můžeme pomocí volby view znázornit řezy souřadnými rovinami, např. rovinou z = 0. Poté vykreslíme samotnou charakteristickou množinu: > with(plots):setoptions3d(axes=frame,style=hidden): > k:=6:X:=[red,blue]: > ENVELOPE:=plot3d({[u/sqrt(3),v/sqrt(3),k/(u*v*sqrt(3))], [u/sqrt(3),v/sqrt(3),-k/(u*v*sqrt(3))], [u/sqrt(3),-v/sqrt(3),k/(u*v*sqrt(3))], [-u/sqrt(3),v/sqrt(3),k/(u*v*sqrt(3))], [u/sqrt(3),-v/sqrt(3),-k/(u*v*sqrt(3)): [-u/sqrt(3),v/sqrt(3),-k/(u*v*sqrt(3)) : [-u/sqrt(3),-v/sqrt(3),k/(u*v*sqrt(3)): [-u/sqrt(3),-v/sqrt(3),-k/(u*v*sqrt(3): u=l..10,v=l..10): 240 > for i from 1 to 3 do for j from 1 to 2 do ELLIPSOID[i,j]:=plot3d([i*cos(u)*cos(v),j*cos(u)*sin(v), k/(i*j)*sin(u)],u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi,color=X[j]): od: od: > display(seq(seq(ELLIPSOID[a,b],a=l..3),b=l..2), view=[-3..3,-4 . .4,-6.-0],scaling=constrained); > display(ENVELOPE,shading=ZHUE,projection=0.8); 12.5 Příklad. Nalezněte obálku sfér konstantního poloměru r, jejichž středy leží na dané ploše S.1 Řešení. Máme plochu S danou parametricky f(u,v). Označme w = (x,y,z). Rovnice soustavy sfér je určena skalárním součinem F(x, y, z, u, v) = (w- f(u, v), w - f(u, v)) - r2 = 0 Její parciální derivace podle parametrů soustavy (tj. parametrů plochy): OF — = 2(w-f,-fu)=0^(w-f)±ti OF — = 2(w - f, -fv) =Q=>(w-f)Lfv 22Tato obálka je označována jako tzv. ekvidistantní plocha. 241 Tedy (w — /) || n, tj. obálka je dána rovnicí w = f + t ■ n. Dosazením do rovnice soustavy dostáváme rovnici obálky (tn, tn) = r2, neboli t = ±r. Obálku vytvoříme tak, že na normály plochy naneseme úsečky délky r (na obě strany). Odtud plyne název ekvidistantní plocha. 12.6 Příklad. Určete obálku jednoparametrické soustavy rovin F(x, y,z,ť) = x + t2y + z - 2t = 0. Řešení. Obálkou musí být rozvinutelná přímková plocha. = 2ty - 2 = 0 t = -,y^0 y Dosadíme do rovnice soustavy: 1 2 x H---V z--=0 y y i x---h z = 0 y xy + zy = 1 Obálkou dané soustavy rovin je tedy hyperbolická válcová plocha. Maple. Stejně jako v případě dvouparametrické soustavy ploch (viz příklad a příklad ) sestrojíme procedury pro hledání charakteristické množiny: > restart: > env_lpar_implicit:=proc(eq) local t,diff_t; diff_t:=diff(eq(t),t); solve(diff_t,{t}); assign(%); eq(t); end: > env_lpar_parametric:=proc(eq) local t,diff_t; diff_t:=diff(eq(t),t); solve({eq(t),diff_t},{x,y,z}) end: 23 n značí normálový vektor plochy / 242 Daná soustava rovin a její charakteristická množina: > env:=t->x+t~2*y+z-2*t=0: > env_lpar_implicit(env);env_lpar_parametric(env); x - - + z = 0 y í 1 1 < z = —x + t,y = —,x = x> Vzhledem k parametrickému vyjádření charakteristické množiny je zřejmé, že charakteristickou křivkou je přímka rovnoběžná s rovinou y = 0. Bez dalšího komentáře je uveden kód pro vykreslení soustavy rovin a její obálky: > with(plots):setoptions3d(style=patchnogrid,axes=frame): > color_env:=t->COLOR(RGB,t/10,t/10, 1) : > ul:=-2:u2:=2: > for i in [seq(i,i=2..9),seq(i,i=-9..-2)] do P LANE[i] :=plot3d([u,v,2*i-u-i"2*v],u=ul. .u2,v=-0.04*i. .3/i, color=color_env(abs(i)-1)): CHARACTER[i]:=spacecurve([u,l/i,-u+i],u=ul..u2,thickness=2, color=black): od: > PLANE[-1]:=plot3d([u,l/v,-u+v],u=ul..u2,v=-2 0..-1,color=grey): > PLANE[1]:=plot3d([u,l/v,-u+v],u=ul..u2,v=l..25,color=grey): > display(seq(CHARACTER[t],t=2. .9),seq(CHARACTER[t],t=-9. .-2) , seq(PLANE[t],t=l..9),seq(PLANE[t],t=-9..-1)); 243 12.7 Příklad. 2 2 x y Nad tětivami elipsy —- H—- = 1 v rovině z = 0 rovnoběžnými s osou y jako bz průměrem sestrojujeme sféry. Najděte jejich obálku. Řešení. S= [í, 0,0] _ podmínka pro poloměr: t2 r2 a2 ^ b2 ,2 2 -t = r Soustava sfér: F(x, y, z, t) = (x - ť)2 +y2 + z2 - r2 = 0 b2 F(x, y, z, t) = (x - ť)2 +y2 + z2 - b2 + -^t2 =0 i£ (-a, a) Parciální derivace podle parametru t: OF ~dt -2{x - ť) + 2^t = 0 -X + t+ -^rt = 0 -X + í ( 1 + ~2 I = 0 a2 + 62' Dosadíme do rovnice soustavy: x2 I 1 a2 + 62 + y2 + z2 - b2 + b2 a4x2 a2 (a2 + b2f a2 + b2 b2 + y2 + z2 + a2b2x2 (a2 + b2)2 (a2 + b2)2 (a2+b2f xz + y2 + z2 = b 2 2 y , z a2 + b2 b2 b2 Obálkou soustavy je tedy rotační elipsoid. 244 Maple. Obálku soustavy sfér najdeme pomocí procedury env_ipar_impiicit z předchozího příkladu: > env:=t->(x-t)~2+y~2+z~2-b~2+b~2/a~2*t~2=0: > env_lpar_implicit(env) ; 2 \ 2 j, 2 2 2 Xa \ i 2 , 2 ,2 , o a X + y + z - b + ■ -n a2 + b2 ) (a2 + b2)2 Výsledný tvar uspořádáme podle mocnin x2, y2 a z2: > collect(%,[x"2,y~2,z"2]); 2 \ 2 > 2 2 \ a \ i břI 12,2,2,2 n a2 + b2 ) (a2 + b2)2 Zjednodušení koeficientu u členu x2 provedeme pomocí následujícího příkazu: > subs(op([1,1,1],%)=simplify(op([1,1,1],%)),%); J,2 2 b x a2 + b2 + y2 + z2 - b2 = 0 Po vydělení rovnice výrazem b2 dostáváme typický zápis rovnice elipsoidu. Příkaz expand nám zachová vyjádření pomocí jednotlivých zlomků, tj. nepřevede levou stranu rovnice na společného jmenovatele: > expand(%/b~2) ; y2 z2 + TT + TT — 1 = 0 a2+ 62 62 b2 Několik sfér soustavy spolu s charakteristickými křivkami a obálkou (obalovou plochu znázorníme jen částečně) a řez rovinou z = 0: > a:=30:b:=20: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > color_env:=t->COLOR(RGB, (t + 4)/8, (t + 4)/8,1) : > sphere:=[a*i/3+b/a*sqrt(a~2-(a*i/3)~2)*cos(u)*cos(v), b/a*sqrt(a"2-(a*i/3)'2) *cos(u)*sin(v), b/a*sqrt(a"2-(a*i/3)"2)*sin(u)], u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi: > for i from -3 to 3 do SPHERE[i]:=plot3d(sphere,style=hidden,color=color_env(i)): CONTOUR[i]:=contourplot(sphere,contours=[0],numpoints=900): CHARACTER[i]:=spacecurve([a*i/3,b/a*sqrt(a"2-(a*i/3)"2)*cos(u), b/a*sqrt(a"2-(a*i/3)'2)*sin(u), 24Příkaz op nám umožní přistupovat k jednotlivým částem výrazu. Další popis najdeme v nápovědě Maplu. 245 u=0..2*Pi],color=yellow,thickness=3) : od: > ENVEL0PE_1:= plot3d([sqrt(a~2+b~2)*cos(u)*cos(v),b*sin(u)*cos(v),b*sin(v)], u=Pi/6..7*Pi/6, v=-Pi/2..Pi/2,style=patchnogrid, color=navy) : > ENVEL0PE_2:= plot3d([sqrt(a~2+b~2)*cos(u)*cos(v),b*sin(u)*cos(v),b*sin(v)], u=Pi/6..7*Pi/6,v=-Pi/2..Pi/2,style=wireframe,color=navy): > C0NT0UR[4]:=plot([a*cos(t),b*sin(t),t=0..2*Pi],thickness=3, color=black): > display(seq(SPHERE[t],t=-3..3),ENVEL0PE_1); > display(seq(CHARACTER[t],t=-3..3),ENVEL0PE_2); > display(seq(CONTOUR[t],t=-3..4),axes=frame,scaling=constrained); 20 10 v 0 -10 -20 -30 -20 -10 0 10 20 30 u 12.8 Příklad. Najděte obálku jednoparametrické soustavy ploch [(x - t)2 + {y- r)2 + z2 - r2] [{x - t)2 + {y + r)2 + z2 - r2] = 0, ,kde r = konst. 246 Řešení. Označme levou stranu zadané rovnice jako F(x, y, z, t). Potom dF — = -2{x - t) [{x - tf + {y + rf + z2 - r2] OF ~dt - 2{x - t) [{x - ť)2 + {y- r)2 + z2 - r2)] -A(x - t) [(x - ť)2 + y2 + z2] = 0 dF Rovnost --—■ = 0 platí ve dvou případech: I. x-t = 0 Potom pro F(x, y, z, t) platí: [(y - r)2 + z2 - r2] [(y + r)2 + z2 - r2] =0 Obálku tvoří dvě válcové plochy, jejichž osy jsou rovnoběžné s osou x. II. (x - ť)2 + y2 + z2 = 0 Rovnice x = t, y = 0, z = 0 vyhovují rovnici soustavy a jedná se o osu x. Tudíž toto řešení nám nedává obálku . Maple. Uvažujme danou soustavu ploch: > restart: > env:=t->((x-t)'2+(y-r)~2+z~2-r~2)*((x-t)'2+(y+r)~2+z~2-r~2)=0: > dt:=diff(env(t),t):factor(%); -4(x - t)(x2 - 2xt + z2 + t2 + y2) = 0 Charakteristická množina je obálkou pouze v případě, že x — t = 0 (nulovost druhého činitele dává osu x): Charakteristická množina není obalovou plochu také např. pro soustavy: (x - t)2 + y2 - t2 = 0 (x - t)2 + j/ + z - ť = 0 247 > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained,axes=box): > r:=1: > sphere: = [abs(.8*i)+r*cos(u)*cos(v),signum(i)*r+r*cos(u)*sin(v) , r*sin(u)],u=-Pi/2..Pi/2,v=0..2*Pi: > for i in [seq(i,i=-6..-1),seq(i,i=l..6)] do SPHERE[i]:=plot3d(sphere,grid=[10,30]) od: > ENVELOPE1:=plot3d([v,-r+cos(u),sin(u)], u=-3*Pi/4..2*Pi/3,v=-0.5..6,style=patchnogrid, color=grey) : > ENVELOPE2:=plot3d([v,r+cos(u),sin(u)], u=Pi/3..7*Pi/4,v=-0.5..6,style=patchnogrid,color=grey): > display(seq(SPHERE[t],t=-6..-1),seq(SPHERE[t],t=l..6), ENVELOPEl,ENVELOPE2); Je zřejmé, že charakteristikami budou kružnice. 12.9 Příklad. Nalezněte obálku sfér konstantního poloměru r, jejichž středy leží na dané prostorové křivce C. Jedná se o tzv. rourovou plochu určenou křivkou C a poloměrem r. Řešení. Máme křivku C danou parametrizací obloukem f(s). Označme w = (x,y,z). Rovnice soustavy sfér je určena skalárním součinem F(x, y, z, s) = (w - f(s),w - /(s)) - r2 = 0. Její parciální derivace podle parametru soustavy (tj. parametru křivky): dF — = -2(w - f(s), ei) = 0 => w = f(s) + Ae2 + /Je3 Dosadíme do rovnice soustavy sfér: (Ae2 + /Je3, Ae2 + /je3) = r2 A2(e2,e2) +2A/j(e2,e3) +/j2(e3,e3) = r2 \2 . 2 2 A + /j = r 248 V normálové rovině křivky C se tedy jedná o kružnici se středem v bodě křivky a poloměrem r, obálkou je tedy trubovitá plocha určená křivkou C a poloměrem r. 12.10 Příklad. Dokažte, že obálkou oskulačních rovin prostorové křivky bez planárních bodů je její plocha tečen. Řešení. Máme křivku C danou parametrizací obloukem /(s). Označme w = (x,y,z). Rovnice soustavy oskulačních rovin je určena skalárním součinem F(x, y, z, s) = (w - /(s), e3) = 0 (Í63 Z Frenetových vzorců plyne, že-= — re2, r 7^ 0, proto můžeme psát as dF — = (w - /(s), -re2) = 0 Musí proto platit, žew — /(s) je kolmé na e2, e^, neboli (w — /(s)) || e\ a obálkou je plocha tečen dané křivky. 12.11 Příklad. Určete obálku a hranu vratu jednoparametrické soustavy sfér F(x, y, z, t) = (x - t)2 + y2 + z2 - 1 = 0. Řešení. F(x, y, z, t) = (x - t)2 + y2 + z2 - 1 = 0 dF - = -2(x-t) = 0 Řešením uvedených rovnic je válcová plocha y2 + z2 = 1. d2F Hrana vratu neexistuje, neboť ——= —2^0. otz 12.12 Příklad. Určete obálku a hranu vratu jednoparametrické soustavy rovin F(x, y, z,t) = x sin t — y cos í + z — bt = 0. 249 Řešení. Nejdříve budeme hledat parametrické vyjádření hrany vratu: F(x, y, z,t) = x siní — y cos í + z — bt = 0 dF —— = x cos í + y sin í — o = 0 dt y d2F —r- = — x sin í + y cos í = 0 otz Položme z = bt, potom první a třetí rovnice jsou ekvivalentní a společně s druhou rovnicí dávají soustavu: x sin t — y cos í = 0 a; cosi + y siní = 0, jejímž řešením je a; = 6 cosi, y = b sin i. Hrana vratu je tedy křivka s parametrizací (6 cos i, b sin i, 6í). Z teorie diferenciální geometrie ploch vyplývá, že obálkou je plocha tečen hrany vratu: x = b cos i — vb sin i y = b sin t + vb cos i z = 6í + w6 Ověříme dosazením parametrizace obálky do rovnic F = 0 a = 0: F = sin i (6 cos t — vb sin i) — cos i (6 sin i + vb cos t) + bt + vb — bt = 9 9 6 sin i cos i — vb sin i — b sin i cos i — vb cos i + vb = —vb + vb = 0 -7^- = cos t(b cos i — vb sin i) + sin i(6 sin t + vb cos i) — b = 9 9 6 cos t — vb sin i cos t + b sin i + w6 cos i sin i — b = b — b = 0 Maple. Uvažujme zadanou jednoparametrickou soustavu rovin: > restart:with(linalg): > env:=t->x*sin(t)-y*cos(t)+z-b*t=0: Soustava je regulární, neboť pro normálový vektor soustavy platí: 250 > n: = [ sin(t),cos(t),1] :dn:=diff(n,t) :ddn:=diff(n,t,t) : > simplify(det([n,dn,ddn])); Spočítáme hranu vratu: > d_env:=diff(env(t),t):dd_env:=diff(env(t),t,t): > simplify(solve({env(t),d_env,dd_env},{x,y,z})) ; {z = bt, y = 6sin(í), x = b cos (í)} Hranou vratu je šroubovice a obálkou dané regulární soustavy rovin je tedy plocha tečen šroubovice. Obálka společně s hranou vratu: > with(plots) : > setoptions3d(scaling=constrained): > b:=l: > ENVELOPE:=plot3d([b*cos(t)-v*b*sin(t), b*sin(t)+v*b*cos(t),b*t+b*v], t=0..4*Pi,v=0..5,grid=[200,50], style=wireframe): > CUSP_EDGE:=spacecurve([b*cos(t),b*sin(t), b*t,t=0..4*Pi],thickness=3, color=red): > display(ENVELOPE,CUSP_EDGE,axes=frame); Obálka společně s hranou vratu a jednou rovinou soustavy (pro t = 5): > t: =5: > PLANE:=implicitplot3d(env(i), x=-5..5,y=-5..5,z=0..4*Pi, color=grey,style=wireframe): > CHARACTER:=spacecurve([b*cos(t)-s*sin(t) , b*sin (t)+s*cos(t), b*t+s*b,s=-5..5], color=black,thickness=3): > display(ENVELOPE,CUSP_EDGE, PLANE,CHARACTER,axes=frame); 6Šroubovice je křivka bez inflexních bodů. 251 13 Isometrická zobrazení 13.1 Příklad. Rozhodněte, zda zobrazení (x,y,z) i—> (x,y,0), které každému bodu rotačního kužele x2 + y2 = z2, z > 0 přiřadí bod v rovině z = 0, je izometrií. Řešení. Uvažujme například část tvořící přímky kužele (í, 0, í) pro t G (1,2). Tato úsečka má délku \pí a v daném zobrazení se zobrazí na úsečku v rovině (í, 0, 0), která má pro t G (1, 2) délku 1. Tudíž zobrazení není izometrií, neboť nezachovává délky křivek. 13.2 Příklad. Nechť je dána část katenoidu (po vyjmutí jednoho poledníku) f(u, v) = (cosh cos v, cosh sin v, u), u G [0, 2ir), v G (0, 2ir) a část helikoidu f(u,v) = {u cos v, u sin v, v), u G [0,2tv),v G (0,27t). Ukažte, že zobrazení f(u,v) f (sinh u, v) je izometrií. Které křivky na helikoidu odpovídají v tomto zobrazení rovnoběžkám a poledníkům katenoidu? Řešení. Pro katenoid platí (viz příklad 9.3) 2 2 gn = cosh u, gi2 = 0, g22 = cosh u Pro helikoid v reparametrizaci ip(u, v) = (sinhw, v) platí fl = (cosh u cos v, cosh u sin v, 0), f 2 = (— sinh u sin v, sinh it cos v, 1) — 9 9 9 9 9 (711 = cosh íícos v + cosh wsin v + 0 = cosh u čjl2 = — sinh u cosh u sin w cos v + sinh it cosh u sin w cos w + 0 = 0 9 9 9 9 9 9 ff22 = sinh u sin w + sinh u cos w + 1 = sinh u + 1 = cosh it 27Uvědomme si, že platí J(tp) 7^ 0. 252 Koeficienty prvních základních forem plochy jsou stejné, tudíž se jedná o izometrické plochy a dané zobrazení je izometrií. Rovnoběžky na katenoidu u = c = konst. se zobrazí na křivku u = sinh c = konst., což na daném helikoidu představuje šroubovici. Poledníky na katenoidu v = c = konst. se zobrazí na křivku v = c = konst., což na daném helikoidu představuje tvořící přímku. Maple. Nejdříve ověříme izometrii ploch pomocí procedury g pro výpočet koeficientů první základní formy plochy (viz strana 193): > catenoid:=(u,v)->[cosh(u)*cos(v),cosh(u)*sin(v),u]: > g(catenoid,u,v); [cosh(ií)2, 0, cosh(ií)2] > helicoid:=(u,v)->[u*cos(v),u*sin(v),v]: > g(unapply(subs(u=sinh(u),helicoid(u,v)),u,v),u,v); [cosh(ií)2, 0, cosh(ií)2] Nyní ověříme, že i plochy uvedené izometrické deformace dávají tutéž první základní formu plochy: > f:=evalm( cos(t)*catenoid(u,v+t)+sin(t)*helicoid(sinh(u),v+t-Pi/2)): > surf:=unapply([f[l],f[2],f[3]],u,v): > g(surf,u,v); [cosh(ií)2, 0, cosh(ií)2] Následující programový kód vytváří animaci izometrické deformace mezi kate-noidem a helikoidem. Na obrázku je několik kroků znázorněno: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > for i from 0 to 50 do P[i]:=plot3d( evalm(cos(i*Pi/100)*catenoid(u,v+i*Pi/100)+ sin(i*Pi/100)*helicoid(sinh(u),v+i*Pi/100-Pi/2)), u=-2..2,v=0..2*Pi): od: > display(seq(P[i],i=0..50),insequence=true); 28Bijekce je dána rovností parametrů. Příslušná izometrická deformace (viz např. [1]) má pro t e (0, f) tvar f1 (u, v) = cos t ■ f (u, v + t) + siní • / ^sinhií, v + í — —^ , přičemž f°(u,v) = /'(u, v) a /"2 (u, v) = /(sinh m, v). Izometrii ploch f* (u, v) lze snadno ověřit výpočtem první základní formy plochy. 253 Další programový kód po spuštění znázorňuje, jak se postupně mění parametrické křivky na zadaných plochách: > for i from 0 to 50 do P[i]:=plot3d( evalm(cos(i*Pi/100)*catenoid(u,v+i*Pi/100)+ sin(i*Pi/100)*helicoid(sinh(u),v+i*Pi/100-Pi/2)), u=-2..2,v=0..2*Pi,color=grey,style=wireframe): u_CURVE[i]:=spacecurve( evalm(cos(i*Pi/100)*catenoid(u,Pi+i*Pi/100)+ sin(i*Pi/100)*helicoid(sinh(u),Pi+i*Pi/100-Pi/2)), u=-2..2,thickness=2,color=blue): v_CURVE[i]:=spacecurve( evalm(cos(i*Pi/100)*catenoid(1,v+i*Pi/100)+ sin(i*Pi/100)*helicoid(sinh(1),v+i*Pi/100-Pi/2)), v=0..2*Pi,thickness=2,color=blue) : od: > ANIM:=display([seq(p[i],i=0..50)],insequence=true): > ANIM1:=display([seq(u_curve[i],i=0..50)],insequence=true): > ANIM2:=display([seq(v_curve[i],i=0..50)],insequence=true): > display(ANIM1,ANIM);display(ANIM2,ANIM); 13.3 Příklad. Uvažujme plochu f(u,v) = (íícos v, usmv, lnu) a helikoid f(u,v) = (ucosv,usmv,v). Ukažte, že Gaussovy křivosti v bodech f(u, v) a f(u, v) jsou stejné, ale že zobrazení f(u,v) i—^ f(u,v) není izometrické. Dokažte, že neexistuje mezi danými plochami izometrické zobrazení. 29 V angličtině se tato plocha nazývá „the funnel surface". V češtině se používá název „trychtýřová plocha". 30Obrácená implikace k Theorema Egregium obecně neplatí. Speciálním případem jsou plochy s konstantní Gaussovou křivostí, kde opačné tvrzení platí. 254 Řešení. Vzhledem k příkladu 1 1 je Gaussova křivost zadaného helikoidu — --^ (1 + uz)z a koeficienty první základní formy plochy jsou 511 = 1, 012 = 0, 522 = 1 + u2. Dále pro plochu f(u, v) platí fl = (cos v, sin v, —), f 2 = (—u sin v, u cos v, 0) u 1 o 911 = ^ + -r, 012 = 0, 022 = tí /l x f2 = (— cos v, — sin v, u),n = —==={— cos v, — sin v, u) Vl + u2 /n = (0,0,-^2) hn 1 f 12 = (— sin v, cos v, 0) /112 = 0 ^22 = (—íxcosí7,—iŕ.sint;,0) /122 ,2 _ /in/122 - ^12 _ 011022 -912 1+^2 (l-—'2^ Gaussovy křivosti obou ploch se tedy rovnají, ale vzhledem ke koeficientům první základní formy plochy není dané zobrazení izometrické. Nynípředpokládejme,že existuje nějaké izometrické zobrazení f(u, v) 1—> f(u, v). Potom se musí rovnat Gaussovy křivosti, tj. 1 _ 1 ~ {l + u2)2 ~~ {l + ú2)2 ^ u~±u Nechť v = p(u,v), čímž dostáváme parametrizaci f(+u,p(u,v)) = (+ucos p(u, v),+usmp(u, v), p(u, v)) fl = (± cos p + upi sin p, + sin p + upi cos p, pi) f2 = (+up2 sin p, +up2 cos p, p2) 011 = 1 + (1 + u2){pi)2, 012 = (1 + u2)pip2,g22 = (1 + u)2(p2)2 Vzhledem k rovnosti koeficientů první základní formy plochy musí platit soustava: l + (l+^2)(^i)2 = 1 + 4 (1 + u2)pip2 = 0 (l+^)2(^2)2=^ 255 Z drahé rovnice dostáváme, že ipi = 0 nebo ip2 = 0, což po dosazení do první a třetí rovnice soustavy vede ke sporu. Tím jsme dokázali, že izometrické zobrazení daných ploch nelze sestrojit. Maple. Zobrazíme si nejdříve uvedenou rotační plochu a určíme její Gaussovu křivost. K výpočtu použijeme dříve naimplementovanou proceduru gaussian (viz strana 226): > with(plots) : > funnel:=(u,v)->[u*cos(v),u*sin(v),ln(u)]: > plot3d([funnel(u,v)],u=0..10,v=0..2*Pi) ; > gaussian(funnel,u,v); 1 ~(l + u2)2 Výsledek odpovídá Gaussově křivosti helikoidu (viz příklad 11.1). 256 14 Geodetické křivky na ploše 14.1 Příklad. Spočítejte Christoffelovy symboly helikoidu f{u\,U2) = (ii2 cos tíi, ií2 sin lil, lil) a určete rovnice geodetik na této šroubové ploše. Jsou parametrické křivky geodetické? /n = (-U2 cos tíi, —U2 sin lil, 0) f 12 = (— sin tíi, cos ui, 0) Í22 = (0, 0, 0) Řešení. fl = (-U2 sin lil, U2 COS lil, 1) f2 = (cos tíi, sin tíi, 0) Odvodíme Christoffelovy symboly: fn = rJi/i + r2nf2 + hlin (29) /i2 = T\2h + T22/2 + h12n f22 = r22/i + r^2/2 + h12n (-U2 cos tíi, -ií2 sintíi, 0) = rj^/i + r2x/2 + hun (-sintíi, cos tíi, 0) = T\2h +T?2/2 + /ii2« (0,0,0) =ri2/1 + r22/2 + /i22n Skalární součin s/ia/2 (využijeme mezivýsledků z příkladu 9.6): o = (u| +1) ■ r{ľ + o ■ r2x -íí2 = o ■ r{ľ +1 ■ r2x íí2 = («i +1) ■ r{2 + o ■ r22 o = o ■ v\2 +1 ■ r22 o = («| +1) ■ y\2 + o ■ r22 o = o ■ y\2 +1 ■ r rii = r?2 = ^22 = = o> r2x = _,u2, = 2 ^2 + 257 Výpočet lze také provést jen z koeficientů první základní formy plochy pomoci vzorce nm r* - 1 V*ň (dg>1 + dgik d9:>k\ - V^ň r (30) r^fe" 2 ^ + ^ " äíTJ " £í kde matice G 1 = f £n £12 ) je inverzní k matici G = f 911 912 ). Zřejmě \912 922/ \912 922/ platí Pro helikoid dostáváme dgn = dg12 = dg12 = dg22 = dg22 = Q dffn = ^ <9lii <9lii <9li2 9líi du2 ' <9lí2 rm = i(o + o - o) = o rn2 = i(o + o - 2u2) = -u2 Tl21 = ]^{2u2 + 0 - 0) = u2 Ti22 = i(0 + 0 - 0) = 0 r22i = ^(o + o-o) = o r222 = ^(0 + 0-0) = 0 (r^ri) = (rm,r112) ■ g-1 = (o,-«2) ^ ^ rJi = o, r2! = -u2 (rj2,r22) = (r121,r122) ■ g-1 = («2,o) ^ ^ =^ r1 - ^2 r2 - n ^il2" i + ^2' il2"° (ri2,r22) = (r221,r222) ■ g-1 = (0,0) ^ =^ ^22 = 0' -^22 = 0 Vzhledem k rovnicím pro paralelní přenos 2 2 dř7i \ - i dít,- d t/o \ - „9 dii, 3'Uvědomme si, že kovariantní derivování patří do vnitřní geometrie plochy. 258 jsou geodetické křivky dány rovnicemi: nu ála± .i. Y" r1 ^1^2. _ n d^2 x ^ 2 du, duj { ' dt2 + ^ v dt dt ' dt2 + ^ v dt dt d27il 7i2 dlíl d?i2 d27i2 /d?ii^2 dt2 ' ~l + u2 dí dí °' dt2 U2 V dí dtíi d2íii Uvazujme parametrické krivky u\ = konst. => - = 0, —~- = 0. Potom rovnice geodetických křivek jsou tvaru d2ti2 dt 1 dť2 Tedy u± = c, u2 = at + b jsou geodetické dráhy. Jedná se o tvořící přímky. du2 d2íi2 Uvazujme parametrické krivky u2 = konst. => - = 0, —^- = 0. Potom dí dt2 rovnice geodetických křivek jsou tvaru no, dV n fduiY n (32) -T7T = °> ^2 —rr =0 dí2 ~ z\dt J Pro u2 = 0 dostáváme přímku u\ = at + b. Pro u2 = c2 ^ 0 dostáváme u\ = c\. To je ale stacionární pohyb, který nedává křivku. Sroubovice 7(í) = f(t, c2 ^ 0) není geodetickou křivkou, tudíž její geodetická křivost je nenulová. Určeme si její geodetickou křivost pomocí vztahu xg = 11 ^ 11 (viz definice na straně 93). Tento vztah platí pouze pro křivky parametrizované obloukem: l(t) = (c2cost,c2s'mt,t),j'(t) = (-c2 siní, c2 cosi,!)), ||7'(í)|| = \Jl + c\ c; Ze vztahu pro kovariantní derivaci (viz strana 84) a ze vztahu (32) dostáváme vektor geodetické křivosti V7 /. c2 \ dui 1 dV i~ = ( —2 ' nebot -^r = —==^' "n~ = 0 32vždy geodetický pohyb 259 Tudíž V7 ds O, C2 1 + 4 c2 1 + 4 T \c2\ 1 + 4 Maple. Pro vlastní výpočet Christoffelových symbolů sestavíme uživatelskou proceduru christof fel. Přitom využijeme vzorců dui "+ 912 QU2 rl g22f^-2gl2tf 2 (511522 - 5i2) 522 3^7 -gl2 7^T r1 -r1 -112 —121 — 2 (gllg22 y12; 0„ 5.912 „ 9.922 _ 5.922 rl = 2g22jfe- ~ 5227J77 ~ 22 2 (511522 - 5i2) r2 111 r2 1 12 ■ 22 2511 dui 511 0U2 512 <9ui 2 (511522 - 5i2) r2 121 Oil ^2 9ll dui 912^ n ď922 911 du2 ~ 9I2) 2512 7^7 +9l2^f [911922 dt 0U2 (511522 92n) Zároveň využijeme již nadefinovanou proceduru g (viz strana 193) pro výpočet koeficientů první základní formy plochy: > Christoffel:=proc(surf,u,v) local g,detG,diffG_u,diffG_v,gamma_lll,gamma_112,gamma_121, gamma_l2 2,gamma_2 21,gamma_2 2 2; g:=evalm(G(surf,uu,vv)); detG:=det([[_G[1],_G[2]],[_G[2],_G[3]]]); diffG_u:=[diff(_G[1],uu),diff(_G[2],uu),diff(_G[3],uu)]; dif fG_v: = [diff (_G[1] ,vv) ,diff (_G[2] ,w) ,diff (_G[3] ,vv) ] ; gamma_lll—simplify((_G[3]*diffG_u[1]- 2*_G[2]*diffG_u[2]+_G[2]*diffG_v[l])/(2*detG)) ; gamma_112:=simplify((-_G[2]*diffG_u[1]+ 2*_G[1]*diffG_u[2]-_G[1]*diffG_v[l])/(2*detG)); gamma_121:=simplify((_G[3]*diffG_v[1]- _G[2]*diffG_u[3])/(2*detG)) ; gamma_122:=simplify((_G[1]*diffG_u[3]- _G[2]*diffG_v[l])/(2*detG)); gamma_221:=simplify((-_G[2]*diffG_v[3]+ 2*_G[3]*diffG_v[2]-_G[3]*diffG_u[3])/(2*detG)); gamma_222:=simplify((_G[1]*diffG_v[3]- 2*_G[2]*diffG_v[2]+_G[2]*diffG_u[3])/(2*detG)); subs(uu=u,vv=v,[gamma_lll,gamma_112,gamma_121, gamma_l2 2,gamma_2 21,gamma_2 22]); end: 3Tyto vzorce můžeme najít např. v [1]. 260 Teď už vypočítáme Christoffelovy symboly bez zdlouhavého výpočtu v obecném i konkrétním bodě křivky: > helicoid:=(u,v)->[v*cos(u),v*sin(u),u]: > Christoffel(helicoid,u[1],u[2]); 779 0, -U2,—?-2, 0,0,0 Sestrojíme proceduru pro nalezení diferenciálních rovnic geodetických křivek: > geodesic_eq:=proc(f,u,v) local eql,eq2; eql :=dif f (u (t) , t, t) -fChristof fel (f, u (t) , v (t) ) [1] *dif f (u (t) , t) ~2 +2*Christoffel(f,u(t),v(t))[3]*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) +Christoffel(f,u(t),v(t))[5]*diff(v(t),t)"2=0; eq2:=diff(v(t),t,t)+Christoffel(f,u(t),v(t))[2]*diff(u(t),t)'2 +2*Christoffel(f,u(t),v(t))[4]*diff(u(t),t)*diff(v(t),t) +Christoffel(f,u(t),v(t))[6]*diff(v(t),t)"2=0; eql,eq2; end: > geodesic_eq(helicoid,u[l],u[2]); (d2 ,,\ 2u2{t) {íUl{t)) {íU2{t)) (<ř ,A ,,(d ,A2 n w)+—i+4)2—= °' {^Mt)) -Mt) Uui(í)) =0 Maplu využijeme k vykreslení geodetických křivek v daném bodě. První procedura geodesic_piot bude vykreslovat geodetickou křivku v daném směru. Vstupní parametry u0, vO, DuO, DvO udávají počáteční podmínky pro soustavu diferenciálních rovnic neboli bod a směr, pro který geodetickou křivku chceme vykreslit. Posledních šest parametrů určuje rozsah parametrů u a v vykreslované plochy a rozsah parametru t vykreslované křivky na ploše: > with(plots):setoptions3d(scaling=constrained): > geodesic_plot:= proč(f,uO,vO,DuO,DvO,ustart,uend,vstart,vend,tstart,tend) local sys,desys,ul,vl,G0,porn,GEO,SURF; sys:=geodesic_eq(f,u,v);G0:=G(f,uO,vO) ; pom:=evalm([DuO,DvO]&*[[G0[1],G0[2]],[G0[2],G0[3]]] &*[[DuO],[DvO]]); desys:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0, D(u)(0)=Du0/sqrt(pom[l]),D(v)(0)=Dv0/sqrt(pom[l])}, {u(t),v(t)},type=numeric,output=listproceduře); ul:=subs(desys,u(t));vl:=subs(desys,v(t)); GEO:=spacecurve(subs({u='ul'(t),v='vl'(t)},f(u,v)), t=tstart..tend,color=red,thickness=3): SURF:=plot3d(subs({u=u(t),v=v(t)},f(u,v)),u=ustart..uend, 261 v=vstart..vend,color=grey,style=wireframe): display(GEO,SURF): end: Další procedura geodesics_piot zobrazí libovolný počet geodetických křivek v různých směrech v daném bodě. Jako vstupní parametr nebude směr, ten si procedura postupně zadá podle vstupního parametru n určujícího počet vykreslovaných křivek: > geodesics_plot:= proč(f,uO,vO,ustart,uend,vstart,vend,tstart,tend,n) local i,sys,desysl,desys2,ul,vl,u2,v2,G0,porn,bl,b2, soli,sol2,sol,GE01,GE02,SURF,POINT; sys:=geodesic_eq(f,u,v);GO:=G(f, uO, vO) ; porn:=evalm([1,1]&*[[GO[1],GO[2]] , [GO[2],GO[3]]]&*[[1 ] , [1] ] ) ; for i from 0 to iquo(n,2)+l do bl:='bl':b2:= (cos (i*2*Pi/n) *sqrt (pom[l] ) - (GO [1] +G0 [2] ) *bl) / (GO [2] +G0 [3] ) ; sol:=solve(evalm([bl,b2]&*[[GO[1],GO[2]],[GO[2],GO[3]]] &* [ [bl], [b2]]) [l]=l,bl); soll:=sol[1];sol2:=sol[2] ; desysl:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0,D(v)(0)=subs(bl=soll,b2), D(u)(0)=soll},{u(t),v(t)},type=numeric,output=listprocedure); desys2:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0,D(v)(0)=subs(bl=sol2,b2), D(u)(0)=sol2},{u(t),v(t)},type=numeric,output=listprocedure); ul:=subs(desysl,u(t));vl:=subs(desysl,v(t)); u2:=subs(desys2,u(t));v2:=subs(desys2,v(t) ) ; GEOl[i]:=spacecurve(subs({u='ul'(t),v='vl'(t)},f(u,v)), t=tstart..tend,color=red,thickness=2): GE02[i]:=spacecurve(subs({u='u2'(t),v='v2'(t)},f(u,v)), t=tstart..tend,color=red,thickness=2): od; POINT:=pointplot3d(f(uO,vO),color=black,symbol=circle, symbolsize=15,thickness=3): SURF:=plot3d(subs({u=u(t),v=v(t)},f(u,v)), u=ustart..uend,v=vstart..vend,color=grey,style=wireframe): display(seq(GE01[i],i=0..iquo(n,2)), seq(GE02[i],i=0..iquo(n,2)),POINT,SURF); end: Uvažujme například geodetickou křivku v bodě u = ir, v = 1 pro směr du = 0, dv = 1, pro směr du = 1, dv = 1 a v tomtéž bodě v různých směrech patnáct geodetických křivek: > geodesic_plot(helicoid,Pi,l,0,l,0,2*Pi,-4,4,-5,3); > geodesic_plot(helicoid,Pi,l,l,l,0,2*Pi,-4,4,-4,3); > geodesics_plot(helicoid,Pi,1,0,2*Pi,-4,4,0,3,15); 262 14.2 Příklad. Spočítejte Christoffelovy symboly anuloidu f(ui, 112) = ((a + bcosui) cosíí2í (a + bcosui) smii2, 6sintíi) a určete rovnice geodetických křivek. Řešení. fl = (—bsmui cosíí2> —bsmui sinit2, bcosui) f2 = (—(a + b cos iti) s'mii2, (a + b cos u\) cosit2, 0) /n = (—6cosííi cosíí2í — bcosui sm.112,—bsiTíiii) f 12 = (bsiniti s\tíU2,—bsm.uiCOSU2,tí) f22 = (—(a + cos tíi) cosíí2> — (a + b cos ui) sinicí 0) Odvodíme Christoffelovy symboly podle (29): (—bcosui cosíí2í — bcosui sinicí —bsmui) = T\ifi + T2if2 + hun (b sin iti shiíi2; —sin iti cos 112,0) = r^/i + ri.2/2 + ^12^ (—(a + b cos iti) cosíí2> — (a + 6cosííi) sinit2,0) = T^/i + F22f2 + ^22"- Skalární součin s/ia/2 (využijeme mezivýsledků z příkladu 11.3): o = fc2 ■ + o ■ r2x o = b2 ■ v\2 + o ■ r22 6siniti(a + bcosui) = b2 ■ V\2 + 0 ■ T22 0 = 0 ■ + (a + 6cosííi)2 —bsmui(a + bcosu{) = 0 ■ V\2 + (a + bcosui)2 0 = 0 ■ V\2 + (a + frcosíii)2 263 ri -r2 _ ri - r2 _ n r2 - bsinni ri _ siimi(a + bcos^i) 1 11 — 1 11 — 1 12 — 1 22 — u>1 12 — . > )1 22 — 7 a + o cos ui b Podle (31) jsou geodetické křivky dány rovnicemi: d2ui i (a + b cos tíi) sin u\ f du2\2 d2u2 bsmui du±du2 I T- 1 = 0, 7-7; 2 ; — 7— = 0 dt2 b \ dt J ' dt2 a + bcosui dt dt dui d2ui —- = 0 - dí ' di rovnice geodetických křivek jsou tvaru Uvažujme parametrické křivky u\ = konst. => —— = 0, —tjtj- = 0. Potom (a + 6cos tíi) siníii ^díi2^2 q d2íi2 g Uvažujme parametrické křivky u2 = konst. => —-- = 0, n 2 = 0. Potom x dí ; ' dt2 a) —- = 0 => íí2 = c, tj. nejedná se o křivku, dí b) sinici = 0 => tíi G {0,7r}. Pak 2 = 0 dává u2 = kt + q. Jedná se dtz o vnitřní a vnější kružnici anuloidu. Jiné rovnoběžky nejsou geodetikami. du2 d2u2 ~ď7 = °'^í2 rovnice geodetických křivek jsou tvaru dV ďťT=0' °=° Tedy u\ = kt + q, u2 = c. Poledníky jsou geodetickými křivkami.34 Maple. Využijeme procedur z předchozího příkladu: > torus:=(u,v)-> [(a+b*cos(u))*cos(v),(a+b*cos(u))*sin(v),b*sin(u)] > geodesic_eq(torus,u[1],u[2]); ,2 \ (a + 6cos(ui(í)))sin(ui(í)) í ^u2(í)j ďr^)+-i---~ = °« M*)--„ \ ^-- = 0 §-<'>)ľ dt2 J a + 6cos(iti(í)) Uvažujme například geodetickou křivku v bodě u = ir, v = 0 pro směr du = 1, dv = 0, pro směr du = 0, dv = 1 a v bodě u = 0, v = 0 v různých směrech deset geodetických křivek: 34platí pro každou rotační plochu 264 > geodesic_plot(unapply(subs(a=3,b=l,torus(u,v)),u,v), Pi,0,1,0,0,2*Pi,0,2*Pi,-Pi/2,Pi/2); > geodesic_plot(unapply(subs(a=3,b=l,torus(u,v)) ,u,v) , Pi, 0, 0, 1, 0,2*Pi,0,2*Pi,0,2*Pi); > geodesics_plot(unapply(subs(a=3,b=l,torus(u,v)),u,v), 0,0,0,2*Pi,0,2*Pi,0,Pi/2,10); 14.3 Příklad. Určete rovnice geodetických křivek rotační válcové plochy. Řešení. Uvažujme rotační válcovou plochu f(ui,u2) = (cosiíi,siniíi,ií2),/i = (-siniíi,cosiíi,0),/2 = (0,0,1). Tudíž gn = sin2 u\ + cos2 u\ = 1, gi2 = 0, g22 = 1. Protože koeficienty první základní formy plochy jsou konstanty, všechny jejich parciální derivace jsou nulové, neboli podle vzorce (30) jsou Christoffelovy symboly ■pl _ "p2 _ "pl _ "p2 _ "pl _ "p2 _ n 1 11 — 1 11 — 1 12 — 1 12 — 1 22 — 1 22 — u Rovnice geodetických křivek na rotační válcové ploše jsou vzhledem k vzorci (31): d2ui d2u2 -- = 0-- = 0 dt2 ' dí2 ui = c±t + c2, u2 = d\t + d2, kde c\, c2, d\, d2 jsou konst. Pro ci = 0, di = 0 nedostáváme křivku. Pro c\ = 0, d\ ^ 0 dostáváme tvořící přímky válcové plochy. Pro ci ^ 0 můžeme dosadit u2 = d\--h d2 do parametrického vyjádření Cl válcové plochy a potom parametrické vyjádření geodetik je m ( ■ dl dlc2 , ,1 g(t) = cos iti, smiti, —ui---r- d2 V Cl Cl 35Vzhledem k vlastnostem izometrie lze tvrdit, že Christoffelovy symboly libovolné rozvinutelné plochy jsou nulové. 265 Přičemž pro d\ = 0 dostáváme kružnice a pro d\ ^ 0 jsou geodetikami šroubo- vice.36 Maple. Opět využijeme procedur z příkladu 14.1 > cylinder:=(u,v)->[cos(u),sin(u),v]: > geodesic_eq(cylinder,u[1],u [2]); Uvažujme například geodetickou křivku v bodě u = 1, v = 0 pro směr dw = 3, dv = 1, v bodě it = 0, v = 2 pro směr dw = 1, dv = 0 a pro směr du = 0, dw = 1 a v bodě u = 0, v = 2 v různých směrech dvanáct geodetických křivek: > geodesic_plot(cylinder,l,0,3,l,0,2*Pi,0,4,0,12); > geodesic_plot(cylinder,0,2,l,0,0,2*Pi,0,4,0,4); > geodesic_plot(cylinder,0,2,0,l,0,2*Pi,0,4,-2,2); > geodesics_plot(cylinder,0,2,0,2*Pi,0,4,0,2,12); V Maplu lze numericky zpracovat další související pojmy, např. geodetickou kružnici. Výsledné obrázky pro rotační válcovou plochu, sféru, helikoid, anuloid a plochu37 z = íi3 — 3uv2 mohou vypadat následovně: Šroubovice na helikoidu ovšem geodetikou není, viz příklad V angličtině je tato plocha známá pod označením "the monkey saddle". 266 Obrázky byly nakresleny pomocí procedury > geodesic_circles:=proc(f,uO,vO,ustart,uend,vstart,vend,max,n) local i,j,sys,p,desysl,desys2,bl,b2,sol,soll,sol2,ul,vl,u2,v2, GO,pom,geol,geo2,POINT,SURF,CIRC; sys:=geodesic_eq(f,u,v);p:=50;GO:=G(f,uO,vO) ; porn:=evalm([1,1]&*[[GO[1],GO[2]],[GO[2],GO[3]]]&*[[1],[1]]); for i from 1 to iquo(p,2) do bl:='bl':b2:= (cos (i*2*Pi/p) *sqrt (pom[l] ) - (GO [1] +G0 [2] ) *bl) / (GO [2] +G0 [3] ) ; sol:=solve(evalm([bl,b2]&*[[GO[1],GO[2]],[GO[2],GO[3]]] &* [ [bl], [b2]]) [l]=l,bl); soll:=sol[1];sol2:=sol[2] ; desysl:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0, D(u)(0)=soll,D(v)(0)=subs(bl=soll,b2)},{u(t),v(t)}, type=numeric,output=listprocedure) ; desys2:=dsolve({sys,u(0)=u0,v(0)=v0, D(u) (0)=sol2,D(v) (0)=subs(bl = sol2,b2) },{u(t),v(t)}, type=numeric,output=listprocedure); ul:=subs(desysl,u(t));vl:=subs(desysl,v(t)); u2:=subs(desys2,u(t));v2:=subs(desys2,v(t)); for j from 1 to n do geol [i,j] : = unapply(subs({u='ul'(t),v='vl'(t)},f(u,v)),t)(j*max/n); geo2 [i,j] : = unapply(subs({u='u2'(t),v='v2'(t)},f(u,v)),t)(j*max/n); od:od; POINT:=pointplot3d(f(uO,vO),color=black,symbol=circle, symbolsize=15,thickness=3): SURF:=plot3d(subs({u=u(t),v=v(t)},f(u,v)), u=ustart..uend,v=vstart..vend,color=grey,style=wireframe): for j from 1 to n do CIRC[j]:=spacecurve([geol[1,j],seq(geol[i,j],i=l..iquo(p,2)), seq(geo2[iquo(p,2)+l-i,j],i=l..iquo(p,2))], color=red,thickness=2) od: 267 display(seq(CIRC[j],j=l..n),POINT,SURF); end: 14.4 Příklad. Dokažte, že křivka je současně geodetická a asymptotická, právě když je to přímka. Řešení. " Pro body asymptotické křivky platí, že oskulační rovina v nich splývá s tečnou rovinou nebo není definována. Pro body geodetické křivky platí, že oskulační rovina v nich obsahuje normálu nebo není definována. Pro body ležící na křivce, která je zároveň asymptotická a geodetická, tedy platí, že oskulační rovina v nich není definována, tj. jedná se o přímku. " Přímka je asymptotickou i geodetickou křivkou. 14.5 Příklad. Dokažte, že geodetická křivka je současně hlavní křivka, právě když je to rovinná křivka. Řešení. >" Nechť křivka 7 parametrizovaná obloukem je hlavní a geodetickou křivkou na ploše. Potom dn7 d7 a d 7 2, A -—f II n~, dí " dí " dí2 11 7' kde rij jsou normály plochy podél křivky 7. Tedy platí d27 d37 dc dn7 _ = C(s)n7, _ = _n7 + c_ d37 , v. ■ v v . d7 d27 v. . . , 38 ——r lezi v rovme urcene — a ——r-, tedy krivka 7 je rovmna. dsó as dsz 3[7',7",7"']=0 268 Nechť geodetická křivka je rovinnou křivkou. Máme Frenetovy vzorce ďy dei de2 — = ei, — = ne2, — = -«ei as as as „ d27 „ V této rovině leží —— \\ n7 (neboť 7 je geodetická křivka). Tedy . . dnT dc n7 = c(s)e2,—= T~e2 - CKCi as as dn7 n7 = ±e2,—— = TKei as Takže se jedná o hlavní křivku. 269 Reference k části II. [1] Gray A.: Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathe-matica, CRC Press,Boca Raton, 1998 [2] Pressley A.: Elementary Differential Geometry, Springer-Verlag, London, 2005 [3] Rovenski V.: Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE, Birkhauser, Boston, 2000 270