Obsah I Parciální diferenciální rovnice 1 1 Rovnice prvního řádu 3 Vývoj věkově strukturované populace ............................ 3 Model procesu umírání.............................. 3 Model procesu rození............................... 6 „Seminumerické" řešení modelu věkově strukturované populace........... 8 1.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných......................... 10 1.1.1 Lineární rovnice ................................. 10 Řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0.................... 12 1.1.2 Kanonický tvar a řešení rovnice lineární v prvních derivacích........ 14 1.1.3 Okrajové úlohy.................................. 21 Okrajová úloha pro rovnici a(x,y)ux + b(x,y)uy = f(x,y,u)......... 21 Okrajová úloha pro obecnou rovnici...................... 25 Quasilineární rovnice a její geometrická interpretace............. 30 1.2 Rovnice v n nezávisle proměnných........................... 33 Rovnice lineární v derivacích s nulovou pravou stranou............ 33 Quasilineární rovnice............ ................... 39 Okrajová úloha pro obecnou rovnici...................... 40 1.3 Evoluční rovnice ..................................... 41 1.3.1 Počáteční úloha pro evoluční lineární rovnici v jedné strukturní proměnné . 42 Homogenní rovnice............. ................... 42 Nehomogenní rovnice .............................. 43 1.3.2 Okrajové podmínky............................... 45 1.3.3 Autonomní rovnice............. ................... 46 Cvičení ............................................. 48 2 Rovnice druhého řádu 51 Jednorozměrná rovnice difúze / vedení tepla......................... 51 Speciální případy a okrajové podmínky ........................ 54 Nejjednodušší řešení.............. ...................... 56 2.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných lineární ve druhých derivacích....... 58 2.1.1 Charakteristiky a kanonický tvar rovnice.................... 59 2.2 Lineární parabolická rovnice s konstantními koeficienty................ 63 2.2.1 Kanonický tvar.................................. 64 2.3 Evoluční rovnice (rovnice difúze, rovnice vedení tepla)................ 65 2.3.1 Nehomogenní rovnice .............................. 66 2.3.2 Parabolická rovnice na kružnici......................... 67 2.3.3 Parabolická rovnice na přímce ......................... 70 Homogenní rovnice s nenulovou počáteční podmínkou............ 70 Nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou............ 73 Nehomogenní rovnice s nenulovou počáteční podmínkou........... 73 Vlastnosti zřídlové funkce............................ 76 i 2.3.4 Parabolická rovnice na polopnmce....................... 77 Úlohy s nulovou okrajovou podmínkou..................... 77 Úlohy s nenulovou okrajovou podmínkou ................... 79 2.3.5 Parabolická rovnice na úsečce.......... ................ 81 Dirichletova úloha................................ 81 Obecná Robinova úloha............................. 86 2.3.6 Počáteční úlohy pro parabolické rovnice - shrnutí............... 89 2.3.7 Úloha bez počátečních podmínek........................ 90 Teplotní vlny................................... 94 2.4 Rovnice reakce-difúze .................................. 96 2.4.1 Lineárni rovnice ............. .................... 96 A. Rovnice na úsečce............. .................. 96 B. Rovnice na přímce - putující vlna...................... 100 2.4.2 Fisherova-Kolmogorovova rovnice......... ............... 101 A. Rovnice na úsečce............. ................... 101 B. Rovnice na přímce - putující vlna...................... 108 2.4.3 Systém rovnic reakce-difúze - Turingův jev.................. 110 A. Rovnice na jednorozměrném prostom s lineární reakcí .......... 110 B. Rovnice na jednorozměrném prostom s nelineární reakcí......... 114 II Diferenciální rovnice se zpožděním 117 3 Jednočlenná lineární rovnice 119 Nejjednodušší model zpětnovazební regulace......................... 119 3.1 Rovnice s diskrétním zpožděním ............................ 121 1. transformace.................................. 121 2. transformace.................................. 122 3.1.1 Řešení metodou kroků.............................. 122 3.1.2 Řešení pomocí Laplaceovy transformace.................... 125 3.1.3 Charakteristická rovnice........... .................. 126 3.2 Rovnice s distribuovaným zpožděním.......................... 129 3.2.1 Distribuované zpoždění typu T......................... 131 Rovnice s diostribuovaným zpožděním typu T v bezrozměrném tvaru .... 132 Příklad: Řešení rovnice (3.22) s parametrem p = 1.............. 133 Charakteristická rovnice a nestabilita ..................... 134 Ekvivalence rovnice (3.22) se systémem obyčejných lineárních rovnic .... 135 III Aplikace 137 4 Model věkově strukturované populace 139 Řešení úlohy (4.1), (4.2), (4.3) ......................... 139 Lotkova rovnice obnovy............................. 141 Specifická míra přežití a specifická úmrtnost.................. 143 Věkově stabilizované řešení rovnice (4.1).................... 145 Demografické charakteristiky populace..................... 147 Omezená adekvátnost model .......................... 150 4.1 Dvojpohlavní populace.................................. 151 Dynamika párů.................................. 152 Funkce partnerství................................ 152 4.2 Populace s porodností nebo úmrtností závislou na její velikosti........... 154 4.2.1 Porodnost i úmrtnost závislé pouze na velikosti populace, nikoliv na věku . 155 Porodnost větší než úmrtnost a vnitrodruhová konkurence.......... 155 ii Vnitrodruhová konkurence a Alleho efekt................... 157 4.2.2 Úmrtnost závislá pouze na věku, plodnost klesající s věkem......... 157 4.2.3 Populace složená z jedinců juvenilních a plodných .............. 160 5 Modely prostorově strukturované populace 163 5.1 Model biologické invaze ................................. 166 5.2 Šíření populace v omezeném prostoru.......................... 168 5.2.1 Malthusovská populace v jednorozměrnému prostoru............. 168 5.2.2 Malthusovská populace ve dvojrozměrném prostoru, radiálně symetrická . . 169 5.2.3 Malthusovská populace v nehomogenním prostoru.............. 172 5.2.4 Verhulstovská populace na prostoru se „smrtící" hranicí........... 174 Shrnutí:...................................... 175 5.3 Prostorové šíření epidemie typu SIR.......................... 175 6 Modely šíření vzruchu v neuronu 181 6.1 Model........................................... 181 6.1.1 Redukce modelu................................. 183 6.1.2 Excitace „bodového neuronu".......... ................ 184 A Distribuce 187 A.l Základní pojmy...................................... 187 A.2 Konvergence v prostoru distribucí............................ 191 A.2.1 <5-vytvořující posloupnosti............................ 191 A. 3 Derivování distribucí................................... 192 Cvičení ............................................. 196 B Integrální transformace 197 B. l Fourierova transformace a konvoluce.......................... 197 B. 2 Laplaceova transformace................................. 201 Cvičení ............................................. 201 C Okrajové úlohy pro obyčejné lineární rovnice druhého řádu 203 Cl Formulace úloh...................................... 203 Diferenciální operátor.............................. 203 Okrajové podmínky............................... 204 Symetrický diferenciální operátor........................ 205 C. 2 Homogenní okrajová úloha s parametrem ....................... 206 Sturmova-Liouvilleova úloha........................... 209 C.3 Nehomogenní rovnice s homogenními okrajovými podmínkami............ 210 Fourierova metoda................................ 210 Metoda variace konstant............................. 212 Greenova funkce................................. 213 C. 4 Úloha s nehomogenními okrajovými podmínkami................... 214 Cvičení ............................................. 215 D Speciální funkce 217 D. l Čebyševovy-Hermiteovy polynomy........................... 217 D.l.l Definice...................................... 217 D.l.2 Rekurentní vztahy pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy.......... 217 D.l.3 Diferenciální rovnice pro Čebyševovy-Hermiteovy polynomy......... 218 D.l.4 Rekurentní vztahy pro koeficienty Čebyševových-Hermiteových polynomů . 219 D.2 Besselovy funkce..................................... 219 D.2.1 Řešení rovnice (D.4) Frobeniovou metodou .................. 220 D.2.2 Vlastnosti Besselovy funkce prvního druhu .................. 222 iii Část I Parciální diferenciální i Kapitola 1 Rovnice prvního řádu Vývoj věkově strukturované populace Uvažujme nějakou populaci tvořenou jedinci různého věku. Předpokládejme, že známe složení této populace v nějakém čase a zajímá nás, jak se bude vyvíjet její velikost a věkové složení. K vyjádření velikosti populace můžeme používat dvě veličiny. Můžeme ji vyjadřovat jednak jako množství1 jedinců, kteří mají v čase t věk v rozmezí od a do a + t, přesněji jedince, kteří mají v čase t věk z intervalu [a, a + r); tuto veličinu označíme N(t, a, t). Velikost populace však můžeme vyjádřit také jako tzv. hustotu populace věku a v čase t, kterou označíme symbolem u{t, a). Hustota populace u a velikost populace N jsou vázány vztahem O hustotě u budeme předpokládat, že je to spojitě diferencovatelná funkce2. Obě funkce u a N jsou nezáporné. Procesy probíhající v populaci jsou rození a umírání. Model procesu umírání Označme symbolem D(t, a, t) množství jedinců, kteří zemřou během časového intervalu (í, t + t] a v čase t mají věk v rozmezí [a, a + r). Jedinci, kteří během časového intervalu délky t nezemřeli, zestárli o t. Tuto triviální skutečnost (zákon zachování) vyjádříme rovností -•-Slovo „množství" může označovat počet všech jedinců. Může to však také být počet jedinců vztažený k nějaké ploše, počet nějak „reprezentativně" vybraných jedinců (např. plodných samic) a podobně. 2 Tento předpoklad není realistický. Bezprostředně z něho totiž plyne, že funkce N je spojitá. Přitom ale N nabývá hodnot celočíselných (pokud vyjadřuje počet jedinců) nebo racionálních (pokud vyjadřuje populační hustotu, tj. počet jedinců vztažených k nějaké ploše). Tato poznámka zdůrazňuje skutečnost, že se nesnažíme přesně popsat skutečnost, ale konstruujeme její idealizovaný (abstraktní, zjednodušený) model. a N(t + T,a + T,r) = N(t, a, t) - D(t, a, t). (1.1) Vyjádříme levou stranu této rovnosti a upravíme pomocí substituce rj = £ — t, 3 S využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkce dvou proměnných můžeme psát N(t + T,a + T,r) - N(t, a, t) = a+r a+r a+r a kde ůi, $2 jsou nějaká čísla z intervalu [0, 1]. K vyjádření množství umírajících jedinců budeme předpokládat, že podíl zemřelých jedinců jistého věku za krátký časový interval délky Ar mezi všemi jedinci téhož věku je přímo úměrný trvání Ar procesu umírání, D(t,a,Ať) N(t,a,At) y ' O koeficientu úměrnosti /i předpokládáme, že závisí pouze na věku a, nikoliv na čase t. Uvažujeme tedy vývoj populace v podmínkách, které se v čase nemění. Koeficient /i nazýváme specifická úmrtnost (mortalita) ve věku a. Výraz na levé straně poslední rovnosti můžeme také interpretovat jako klasickou pravděpodobnost, že jedinec, který má v čase ŕ věk v rozmezí od a do a + Ar, zemře v průběhu časového intervalu (ŕ, ŕ + Aŕ]. Hodnotu /i(a) proto můžeme chápat jako pravděpodobnost, že jedinec věku a zemře během jednotkového časového intervalu3. Specifickou úmrtnost budeme považovat za spojitou nezápornou funkci /i definovanou na intervalu [0, oo). Typický průběh funkce /i je znázorněn na Obrázku 1.1 a): Úmrtnost novorozenců je relativně velká. Pak až do jistého věku (většinou do dospělosti, ukončení individuálního vývoje) klesá. Dále zůstane na nějaké nízké úrovni a po dosažení hranice stáří opět roste; zpočátku lineárně a nakonec jako konvexní funkce. Z uvedeného předpokladu dostaneme vyjádření množství umírajících jedinců ve tvaru a+At D(t, a, At) = fi(a)N(t, a, Aŕ)Aŕ = Aŕ I fi(a) / u(t, £)d£; I . (1.3) Položíme t = Aŕ a dosadíme rovnosti (1.2) a (1.3) do relace (1.1). Dostaneme a+At í — (ŕ + 0! Aŕ, C + Aŕ) + — (ŕ, C + 02 At) + n(a)u(t, 0Ut = 0. a Tato rovnost má platit pro libovolná a > 0, t > 0 a Aŕ > 0. To je možné jen tak, že integrovaná funkce (která je podle předpokladu spojitá) je nulová, tj. pro všechna přípustná a, ŕ, Aŕ platí — (ŕ + 0iAŕ, a + At) + —(ŕ, a + ů2Ať) + /i(a)u(t, a) = 0 ot oa a odtud limitním přechodem Aŕ —> 0 dostaneme McKendrickovu-von Foersterovu rovnici — (t,a) + —(t,a) = -n(a)u(t,a). (1.4) ot oa Znávné složení populace na počátku vyjádříme počáteční podmínkou u(0, a) = ip(a) (1-5) příslušnou k rovnici (1.4). Funkce ip se nazývá počáteční funkce; vyjadřuje hustotu populace v počátečním čase ŕ = 0 a je to podle předpokladu spojitá funkce. 3Přesnější vyjádření je „intenzita pravděpodobnosti". Hodnota fi má totiž rozměr převrácené hodnoty času a pravděpodobnost je bezrozměrná; navíc fi může být větší než 1. 4 aj ax a) b) Obrázek 1.1: Typický průběh a) specifické úmrtnosti /i a b) specifické porodnosti /3 v závislosti na věku. Hodnota aj označuje věk počátku plodnosti (dospělosti), hodnota ax věk ukončení plodnosti. Popíšeme, jak se vyvíjí část populace tvořená jedinci, kteří se narodili před časem t = 0. V takto vymezené části populace má v čase t každý jedinec věk větší než t. Zajímá nás tedy hustota u, jejíž definiční obor je zúžen na množinu Ax = {(t,a) e M2 : a > t > 0} . (1.6) Zvolíme libovolné ao > 0 a pro a > ao položíme x (a) = u{a — ao, a). Pak podle řetězového pravidla pro výpočet derivací složené funkce a podle rovnice (1.4) platí . d du d(a — ao) du da x \a) = -Tu\a - ao, a) = -7rr(a - ao, a)-ô--1- tt(a - «o, a)— = da ot da oa oa díl díl = Tr{a — ao, a) + — (a — ao, a) = —fj,(a)u(a — ao, a) = — n(a)x(a). ot oa Z počáteční podmínky (1.5) dostaneme x(a0) = u(a0 - a0, a0) = u(0, a0) = ip(a0). (1.7) Funkce x je tedy řešením obyčejné lineární homogenní rovnice x'(a) = — n{a)x{a) s počáteční podmínkou (1.7). To znamená, že - / M(«)d« x{a) = (p(ao)e a° a poněvadž u{t,a) = u{a — (a — ť),a), můžeme psát řešení rovnice (1.4) s počáteční podmínkou (1.5) na množině A dané rovností (1.6) ve tvaru u{t, a) = ip(a — t)e - I M(«)d« (1.8) Ze spojitosti funkce u dále plyne, že takto definovaná funkce je řešením počáteční úlohy (1.4), (1.5) na množině Ax = {(t,a) e M2 : a > t > O}. 5 Model procesu rození Nejprve si uvědomíme, že v populaci nemohou být jedinci neomezeného věku. V časovém okamžiku t je v populaci nějaký maximální věk amax; hodnota amax závisí na čase t. Pro hustotu u tedy platí u{t, a) = 0 pro každé a > amax. Vezmeme libovolné celé kladné číslo n a položíme Aa = max , cti = iAa, i = 0,1,2,... ,n. n O jedincích, kteří v čase t mají věk a takový, že aj_i < a < cii, řekneme, že jsou v čase t v i-té věkové třídě. Množství jedinců v i-té věkové třídě je rovno N(t, Aa); to plyne z předpokládané spojitosti hustoty u. Označme Bi(t, t) množství novorozenců, kteří se narodili v časovém intervalu (ŕ, t + t] a jsou potomky jedinců4, kteří v čase t byli v i-té věkové třídě. K vyjádření množství novorozených jedinců budeme předpokládat, že v krátkém časovém intervalu délky Ar je množství narozených potomků jedinců z nějaké věkové třídy úměrný velikosti této věkové třídy a délce časového intervalu Ar, tj. CLi Bi(t,Ať)=piN(t,ai-1,Aa)At = piAt J u(t,£)d£, a.i-1 koeficienty úměrnosti ji i jsou nezáporné. Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existují čísla cii, o-i-i < (%i < cii, taková, že CLi u{t, £)dí; = u{t, oii)Aa. a.i-1 Dostáváme tak vyjádření Bl(t,At) = At Piu{t,a.i)Aa, i=l,2,...,n. (1-9) Zavedeme nyní spojitou nezápornou funkci /3 nezávisle proměnné a, pro niž platí P{olí) = Pí. Funkční hodnotu /3(a) interpretujeme jako očekávaný (typický) počet potomků, které má jedinec věku a během jednotkového časového intervalu. Funkci /3 budeme proto nazývat věkově specifická porodnost. Typický průběh specifické porodnosti /3 je znázorněn na Obrázku 1.1 b). Novorození jedinci žádné potomky nemají, mohou je mít až po dosažení jistého věku cij (dospělosti). Pak porodnost naroste do jisté maximální hodnoty po nějaké době začne klesat a ve věku cit (po menopauza) vymizí. Většina organismů je plodná až do smrti, přežívání po menopauze se objevuje jen u některých primátů nebo kytovců; hodnota cit tedy může být větší než maximální možný věk dosahovaný v populaci. Pravou stranu rovností (1.9) nyní můžeme psát ve tvaru /3(ai)u(t,oii)Aa; zřejmě pro ni platí nerovnosti min (p(Í)u(t,Í))Aa °> Aí) = u(t + Aŕ, £)d£ = u(í + Aŕ, 6>Aŕ)Aŕ, i=i 0 kde 0 G (0,1) je nějaké číslo; poslední rovnost plyne z věty o střední hodnotě integrálního počtu. Uvedené vyjádření dosadíme do nerovností (1.10) a dostaneme n n V min (f3(£)u(t, £)) Aa < u (ŕ + Aŕ, 6 Ať) < V] max (/3(£Mŕ, £)) Aa. 2—1 2 — 1 Výraz na levé straně konverguje pro Aa —^ 0 (tj. pro n —> oo) k dolnímu (Riemannovu) integrálu z funkce fi(-)u(t, •) na intervalu [0,amax], výraz na pravé straně k integrálu hornímu. V limitě n —> oo tak dostáváme rovnost O. max u(t + At, 6Ať) = J /3(£)ií(ŕ,£)de o Nyní provedeme další limitní přechod Aŕ —> 0. Nakonec si ještě uvědomíme, že pro £ > amax je /3(£)u(t,£) = 0 při libovolném ŕ. V horní mezi integrálu tedy můžeme psát oo. Dostaneme tak oo u(t,0) = J /3(£Mŕ,£)d£; (1.11) o to je okrajová podmínka pro rovnici (1.4), která bývá také nazývána podmínka obnovy. Popíšeme, jak se vyvíjí část populace tvořená jedinci, kteří se narodili po čase ŕ = 0. V takto vymezené části populace má v čase ŕ každý jedinec věk menší než ŕ. Zajímá nás tedy hustota u, jejíž definiční obor je zúžen na množinu A2 = {(ŕ, a) eR2: ŕ > a > 0} . Zřejmě je A2 U Ai = [0, oo) x [0, oo), takže hledáme řešení rovnice (1.4) na zbytku definičního oboru hustoty u. Výraz na pravé straně rovnosti (1.11) závisí pouze na proměnné ŕ. Proto ho označíme symbolem ip(t). Zvolíme libovolné íq > 0 a pro a > 0 položíme y (a) = u (a + ro, a). Pak platí y(0) = ip(t0), y'(a) = -n(a)y(a), takže funkce y je řešením této Cauchyovy úlohy pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici, tj. -/M(«)d« u(a + to, a) = y(a) = ip(to)e 0 Poněvadž hodnota ro byla libovolná a platí u(t,a) = u (a + (t — a), a), řešení rovnice (1.4) na množině A2, které splňuje okrajovou podmínku (1.11), dostaneme ve tvaru -/M(«)d« u(t,a) =tp(t-a)e 0 , (1.12) kde funkce ip je definována integrálem oo m= I m>(ťí)ät (i.i3) 7 „Seminumerické" řešení modelu věkově strukturované populace Model vývoje věkově strukturované populace je dán rovnicí (1.4) spolu s počáteční podmínkou (1.5) a s okrajovou podmínkou (1.11). Zapíšeme ho v kompaktnějším tvaru Ou Ou — + — = -n(a)u, í>0, a>0, (1.14) Ot cla u(0,a) = ip(a), a > 0, (1-15) oo u(t,0) = J f3(0u(t,0dt í>0. (1.16) o Hledaná funkce u = u{t, a) vyjadřuje hustotu populace věku a v čase t. Poznamenejme, že v rovnici (1.14) nepíšeme explicitně nezávisle proměnné t, a jako argumenty funkce u, neboť jsou zapsány v operátorech parciálních derivací. Počáteční funkce ip = ip(a) vyjadřuje strukturu populace (tj. její hustotu) v čase t = 0, funkce /3 = /3(a) vyjadřuje věkově specifickou porodnost a funkce H = /i(a) věkově specifickou úmrtnost. Z dosud provedených výpočtů, tj. podle (1.8), (1.12) máme řešení úlohy (1.14), (1.15), (1-16) ve tvaru u{t, a) Pro zjednodušení zápisu označme - / M(«)d« ip(a — i) e a~* , t < a, , -/Mí)dí ^(ŕ — a) e 0 , t > a. £(a) = e 0 Řešení úlohy (1.14), (1.15), (1-16) pak zapíšeme ( , x ^(a) u(t,a) = i £(a-t) (L17) \ip(t — a)i(a), t > a. Problémem tohoto vyjádření je skutečnost, že funkce ip není v zadání úlohy; je dána integrálem (1.13), v němž vystupuje hledaná funkce u. Proto se pokusíme najít alespoň přibližné řešení úlohy na nějaké konečné množině bodů {(U,aj) : 2 = 0,1,2,..., N, j =0,1,2,..., M} . Konkrétně: zvolíme časový interval Ar, maximální uvažovaný věk aM a čas vývoje populace íjy; věk aM i čas íjy volíme jako násobky „časového měřítka" Ar, věk cim navíc tak, že /3(a) = 0 pro a _ o-m- Pak položíme U = iAt, i = 0,1, 2,..., a3= jAt, ] = 0,1, 2,.... Pro libovolné nezáporné celé číslo j podle (1.17) platí u(u,a3+l) = j > 0 platí l(a) i- Uí+ij « u(ti+1,aj) = ip(ti+1 - aj)l(aj) = ip(U - aj-\)í(aj-\)-f,—« Uij-1T^—. l[a,j-\) Pro libovolné i > 0 a j > 0 tedy platí Dále Označíme-li nyní m-l m-l m-2 ii+i,o« At PkUi+i,k ~ Aí Pky^—Ui,k-i = A* /3fe+i-^— «íife. ^ = ^, F3=/33+i^ÍAí 9 a povšimneme si, ze Ím-i můžeme schéma výpočtu zapsat jako Fm-i =/3M7^-Aí = 0, Fm =/3((M + 1)Aí)^±íAí = 0, «o,j = o\ "0,1 = \«o,m/ «í+i,o = X! FjUíj, 3=0 «í4 1,3 — Pj — lUij- -i, 3 = 1,2,.. ,M, 1 «i+l,0 \ F2 .. ím-l FM\ / «í,0 \ «i+l,l Po 0 0 .. 0 0 «í,i «i+l,2 = 0 Pi 0 .. 0 0 «i,2 «i+l,m- 1 0 0 0 .. 0 0 «i,m- 1 \ «i+l,m ) 0 0 .. Pm-i 0 J V «i,m / Tento zápis ukazuje, že počáteční úloha (1.14), (1.15), (1.16) pro McKendrickovu-vonFoersterovu rovnici je analogií Leslieho modelu vývoje věkově strukturované populace. V McKendrickově-vonFoersterově modelu jsou čas i struktura spojité, v Leslieho modelu jsou diskrétní. 1.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných Jedná se o rovnice tvaru =°- (L18) kde F je spojitá funkce pěti proměnných definovaná na nějaké množině G C R5 s neprázdným vnitřkem G°. Klasické (silné) řešení rovnice (1.18) je funkce u definovaná na množině O C l2 takové, že Í2 = Í2°, přitom funkce u je na vnitřku množiny fž diferencovatelná, na uzávěru množiny fž je spojitá a splňuje vztahy (W(.,y),^,^)eG a /•(,.,.ř,:..,,^.^) 0 pro všechny body (x,y) z vnitřku množiny fž. Graf řešení rovnice (1.18) se nazývá inteyrální plocha této rovnice. 1.1.1 Lineární rovnice Lineární rovnice je tvaru a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = g(x, y), (1.19) kde a, b, c, g jsou spojité funkce dvou proměnných definované na podmnožině fž prostoru M2, která má vlastnost Í2 = Í2°. O funkcích a, b budeme navíc předpokládat, že jsou v každém bodě Í2° nenulové. Kdyby totiž byla například funkce a nulová, rovnice by nabyla tvaru b(x, y)uv + c(x, y)u = g(x, y) a mohli bychom ji považovat za rovnici obyčejnou - proměnnou y bychom chápali jako nezávisle proměnnou, proměnnou x bychom považovali za parametr. 10 Pokud je funkce g na pravé straně rovnice (1.19) nulová, tj. pokud rovnice je tvaru a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0, (1-20) řekneme, že tato rovnice je homogenní Množina řešení rovnice (1.20) splňuje princip superpozice: Lineární kombinace řešení rovnice (1.20) je opět řešením této rovnice. Podrobněji: • Je-li funkce u řešením rovnice (1.20) a a je libovolné reálné číslo, pak také funkce au je řešením této rovnice. Důkaz: Poněvadž d (au) du d (au) du x dx dy dy platí d (au) d (au) . f du du □ „ + b—---h c(au) = a a—--h b—--h cm = 0 äx Oy \ dx Oy J • Jsou-li funkce u\, u^ řešením rovnice (1.20) se stejným definičním oborem, pak také funkce Mi + U2 je řešením této rovnice. Důkaz: Poněvadž d(u\ + U2) du± du2 d(u\+U2) du± du2 dx dx dx dy dy dy platí d(ui + u2) , ,d(ui + u2) , , . b----hc(íi1+ti2) dx dy du\ du\ du2 du2 a—--h b—--h cui + a—--h b—--h cu2 = 0 + 0 = 0. dx dy dx dy □ Protože funkce u — 0 je zřejmě řešením rovnice (1.20), plyne z principu superpozice, že množina všech řešení rovnice (1.20) definovaných na jedné množině fž tvoří reálný vektorový prostor. Nyní se podívejme na strukturu množiny řešení nehomogenní rovnice (1.19). Pro ni platí: • Jsou-li funkce u\ a U2 řešením nehomogenní rovnice (1.19), pak jejich rozdíl je řešením homogenní rovnice (1.20). Důkaz: d(ui - u2) , ,d(ui -u2) , . b-^--h c(ui - u2) = dx dy dux dux ( du2 du2 , = a—--h b—--h cui - a—--h b—--h cu2 = g - g = 0. dx dy \ dx dy □ • Je-li funkce un řešením nehomogenní rovnice (1.19), pak pro každé řešení ujj homogenní rovnice (1.20) je součet funkcí un + ujj také řešením nehomogenní rovnice (1.19). Důkaz: d(uN+uH) d(uN + uH) a----h b----h c(uN + uH) = dx dy duN duN duH , duH a—--h b—--h cuN + a—--h b—--h cuH = g + 0 = g. dx dy dx dy □ Množinu řešení nehomogenní lineární rovnice (1.19) tedy můžeme chápat jako afinní prostor. Přesněji, řešení nehomogenní rovnice (1.19) jsou body afinního prostoru, jehož zaměřením je vektorový prostor všech řešení lineární homogenní rovnice (1.20). 11 Řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0 Tato rovnice je speciálním případem lineární homogenní rovnice. Představme si, že její řešení známe. Nechť tedy funkce u = u(x, y) je řešením rovnice a(x,y)ux + b(x,y)uy = 0. (1-21) Tuto funkci dvou proměnných můžeme znázornit pomocí vrstevnic. Nechť vrstevnice funkce u mají parametrické vyjádření tvaru x x(s), , . y = y(s), kde parametr s probíhá nějaký reálný interval I. Poněvadž funkce u je diferencovatelná, jsou její vrstevnice hladké křivky, tj. funkce x = x (s), y = y (s) jsou diferencovatelné. (Poznamenejme, že pokud má funkce u ostré lokální extrémy, pak v bodech těchto extrémů vrstevnice degeneruje v jediný bod; tato skutečnost však další úvahy neovlivňuje.) Na vrstevnicích platí u(x(s), y(s)) = const (pro libovolnou hodnotu parametru s E I). Derivováním této rovnosti podle parametru dostaneme rovnost 0 = —u(x(s) y(s)) = °Mg) + du(x(s),y(s)) dy(s). ds dx ds dy ds ' použili jsme řetězové pravidlo pro derivování složené funkce. Porovnáním s rovnicí (1.21) vidíme, že poslední rovnost bude splněna, pokud x'{s) = ^ = a(x{s),y{s)), y\s) = ^ = b(x{s),y{s)). Toto pozorování vede k rozhodnutí, že k parciální diferenciální rovnici (1.21) přiřadíme dvourozměrný autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic x' = a{x,y), ^ y' = b(x,y). Tento systém se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (1.21), jeho trajektorie se nazývají charakteristiky rovnice (1.21). Charakteristiky jsou vrstevnicemi řešení m rovnice (1.21). Dělením rovnic charakteristického systému (1.23) dostaneme charakteristickou rovnici příslušnou k rovnici (1.21); charakteristická rovnice má tvar ^ = bj^yl dx a(x, y j a je to obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Budeme předpokládat, že tato rovnice má řešení. Poněvadž se jedná o rovnici prvního řádu, závisí její obecné řešení na jedné konstantě. Tuto konstantu osamostatníme na pravé straně rovnosti vyjadřující řešení charakteristické rovnice (1.24) a dostaneme v(x,y) = const; (1-25) přitom v je diferencovatelná funkce definovaná na množině fž. Tuto skutečnost můžeme vyjádřit také jinak: charakteristickou rovnici (1.24) přepíšeme ve tvaru b(x, y)dx — a(x, y)dy = 0; (1-26) funkce v je tedy kmenovou funkcí diferenciálu na levé straně. Funkce v se nazývá první integrál rovnice (1.21). První integrál rovnice (1.21) lze také najít eliminací parametru s v řešení charakteristického systému (1.23), jinak řečeno převedením parametrické rovnice křivky na rovnici obecnou. Vrstevnice řešení u parciální diferenciální rovnice (1.21) mají tedy implicitní vyjádření (1.25), konstanta 12 na pravé straně představuje hodnotu funkce u na příslušné vrstevnici. Označme tuto hodnotu symbolem <ř(t> (x, y)). Provedenými úvahami jsme vlastně našli algoritmus hledání řešení parciální diferenciální rovnice (1.21): K rovnici přiřadíme charakteristický systém (1.23) nebo charakteristickou rovnici (1.24), který (nebo kterou) vyřešíme a najdeme první integrál rovnice (1.21) ve tvaru (1.24). Pak vezmeme libovolnou diferencovatelnou funkci <í> jedné proměnné a položíme u(x,y)=Q(v(x,y)). (1.27) Ještě je potřeba udělat zkoušku, že takto nalezená funkce u je skutečně řešením parciální rovnice (1.21). Jinak řečeno, dokázat následující: Tvrzení 1. Nechť v : Q —>• R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (1.25) je implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (1.23) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení charakteristické rovnice (1.24)). Je-li <í> libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné taková, že její definiční obor obsahuje obor hodnot funkce v, pak funkce u definovaná vztahem (1.27) je řešením rovnice (1.21). Důkaz: Pro řešení x = x (s), y = y (s) charakteristického systému platí v (x(s), y(s)) = const. Derivováním této rovnosti podle parametru s dostaneme o = —v(x(s) y (s)) = dv(x(s^y(s^ daľ(g) _|_ dv(x(s)>y(s)) dy(s) = ds dx ds dy ds dv(x(s),y(s)) dv(x(s),y(s)) =--a(x(s),y(s)) +-—-b(x(s),y(s)), stručně a(x,y)vx(x,y) + b(x,y)vy(x,y) = 0. Dále du(x, y) d(v(x,y)) . w du(x, y) , . —dx— = — dx— = í^^'^))^^^)' —~Q~y— = * {v\x,y))vy\x,y), takže du(x ?y) du(x ?y) a(-x'y^—dx—hĎ(a;'y)—— = (a(x>y)v*(x>y) + b(x,y)vy(x,y))®' (v(x,y)) = °- □ Dostali jsme množinu řešení rovnice (1.21) ve tvaru (1.27). Prvky této množiny závisí na diferencovatelných funkcích, nikoliv na konstantách, jak tomu je v případě obyčejných diferenciálních rovnic. Odtud plyne, že (vektorový) prostor řešení lineární homogenní parciální diferenciální rovnice nemůže mít konečnou dimensi. Navíc zatím nevíme, zda rovnice (1.21) nemá nějaké další řešení, které není uvedeného tvaru. Příklad. 6x Uy = 0. dy Charakteristická rovnice je — = — 6x2 a její řešení je bezprostředně dáno integrací pravé strany, dx y = — 2x3 + const. První integrál dané rovnice tedy můžeme zapsat ve tvaru 2x3 + y = const 13 a její řešení je dáno rovností u(x,y) = $(2x3+y), kde <ř je libovolná diferencovatelná funkce. Zkouška: = iU(2x3 +y) = <ř'(2x3 + y) ■ 6x2, = JU(2x3 + y) = <ř'(2x3 + y) takže y) - 6x2^^ = 6x2&(2x3 + 2/) - 6x2a>'(2x3 + y) = 0. dx dy 1.1.2 Kanonický tvar a řešení rovnice lineární v prvních derivacích Uvažujme parciální diferenciální rovnici prvního řádu ve tvaru a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u). (1.28) Budeme hledat nějakou transformaci nezávisle proměnných, která tuto rovnici nějak zjednoduší. Současně budeme chtít, aby tato transformace nebyla příliš komplikovaná. Ponecháme tedy první souřadnici (nezávisle proměnnou x) beze změny a transformujeme pouze souřadnici druhou (nezávisle proměnnou y). Jinými slovy, původní souřadnice x,y transformujeme na nové souřadnice £, rj tak, že £ = x, rj = v(x,y), (1.29) Přitom v je diferencovatelná funkce dvou proměnných. Aby se jednalo skutečně o transformaci prostoru W2 do W2, musí být zobrazení • M2, definované vztahem *(*'")=(0=U*»))' regulární (invertovatelné). Existuje tedy inversní zobrazení (f)^1 : R2 —> R2; jeho druhou složku označíme je to diferencovatelná funkce dvou proměnných. Přitom funkce v a x splňují rovnosti X(L V) = V, v(x, V) = V, podrobněji x(x,v(x,y)) = y, v(£,x(£,v)) = V- (1-30) Poznamenejme, že k tomu, aby zobrazení , která ovšem sama závisí na parametru rj. Řešení rovnice (1.31) tak zapíšeme ve tvaru ^{í,fi,u) = *0?); přitom ip je diferencovatelná funkce tří proměnných, <í> je diferencovatelná funkce jedné proměnné. Návratem k původním nezávisle proměnným x,y dostaneme implicitní tvar řešení rovnice (1.28) tp(x, v(x, y),u) = $(v(x, y)) . 5 Poznamenejme, že zápis sin2 a označuje druhou mocninu funkční hodnoty goniometrické funkce sinus v bodě a, nikoliv dvakrát iterovanou funkci sinus; podobně pro funkce cosinus a tangens. 16 Nejjednodušší je situace v případě lineární rovnice. Kanonický tvar rovnice (1.19) je ue = P(Z,v)u + Q(£,v); (1-32) přitom -r,,, s c(£,X(£,??)) ff(C,X(C,??)) a(C,X(C,??)) a(C,X(C,??)) kde funkce % je definována rovnostmi (1.30). Hledáme tedy řešení obyčejné lineární diferenciální rovnice prvního řádu s nezávisle proměnnou £ a parametrem 77: d£ Její řešení je tvaru u(£,r]) = const ■ exp | y P((r/). Řešení lineární parciální diferenciální rovnice v kanonickém tvaru (1.32) je tedy dáno formulí =*fa)exp I J P{ je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné, £0 Je nějaké reálné číslo; ve většině případů lze položit £0 = 0. Řešení lineární rovnice (1.19) dostaneme z formule (1.33) návratem k původním nezávisle proměnným x,y pomocí rovností (1.30). Výsledek nyní můžeme zformulovat ve tvaru věty: Věta 1. Nechi v : íl —> R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (1.25) je implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (1.23) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení charakteristické rovnice (1.24)) a % : fž —> M je funkce taková, že jsou splněny podmínky (1.30). Označme , \ c(s,x(s,v(x,y))) g(s,x(s,v(x,y))) p[x,y,s) =---.--.---1 q(x,y,s) = —----- a{s,x{s,v{x,y))) a{s,x{s,v(x,y))) Je-li <í> diferencovatelná funkce jedné proměnné, jejíž definiční obor obsahuje obor hodnot funkce v, pak funkce u definovaná rovností í X \ x í X \ u(x, y) = $(v(x, y)) exp í jp(x, y, a)d(j J + j q(x, y, s) exp í Jp(x, y, a)d(j J ds Vo / a;o \s / je řešením rovnice (1.19); číslo xq je libovolné takové, že integrály na pravé straně jsou konečné pro všechny dvojice (x,y) G Í2. Důkaz není potřeba provádět, věta plyne z předchozích výpočtů. Lze ji ovšem také dokázat přímým výpočtem. Je to pěkné cvičení na derivování vícenásobně složených funkcí více proměnných. □ Výpočty provedené před Větou 1 ukazují, že z existence řešení charakteristické rovnice (1.24) plyne existence řešení lineární parciální rovnice (1.19) a toto řešení má tvar uvedený ve Větě 1. Existence řešení lineární parciální rovnice v tomto tvaru je tedy důsledkem existence řešení příslušné charakteristické rovnice, tj. obyčejné diferenciální rovnice. 17 Důsledek 1. Lineární nehomogenní rovnice s konstantními koeficienty u prvních derivací, tedy rovnice aux + buy + c(x, y)u = g(x, y) má řešení definované rovností x X s -Í f c(x-a,y-(b/a)a)da \ ľ / i \ / c(x-a,y-(b/a)a)da u(x, y) = $(ay — bx)e 0 H— g x — s, y--s I e 0 ds = a o , , 1 f f b\ i fc(x-a,y-(b/a)a)da \ -± f c{x-a,y-{b/a)a)da $(ay — bx) H— j g x — s, y--e 3 ds e 0 , a J \ a o kde <ř je libovolná diferencovatelná funkce. Důkaz. V tomto případě je charakteristická rovnice tvaru dy _ b dx a a její řešení v implicitním tvaru je ay — bx = const. Tedy v(x, y) = ay — bx, rj) = —(b£ + rf), a takže c(s,x(s,v(x,y))) = c (s, ^(bs + ay - bx)^j =c(s,y - \x - s)^j , a g(s,x(s,v(x,y))) =g(s,y- ^(x - s)^j . Dále platí c^cr,y--(x — cr)^ der = J c(^x — (j,y--a ) der, o o , b. ,\ -iJc(a,y-(b/a)a)da 9 [s,y--[x - s) e - ds o a b \ ~Í S c{a,y-{b/a){x-a)da g[x — s,y--se ds b \ ~i ]'c{x-a,y-{b/a)a)da g x — s,y--se 0 ds. □ Při řešení konkrétní lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných s nekonstantními koeficienty u prvních derivací bývá přehlednější rovnici transformovat na kanonický tvar, rovnici v kanonickém tvaru vyřešit a zpětně transformovat nezávisle proměnné, než používat vzorec z Věty 1. 18 Příklad. yux - xuy = x2 + y2 Rovnici budeme uvažovat na množině G = {(x,y) E R2 : x > 0,y > O}, na jejímž vnitřku jsou oba koeficienty a(x,y) = y, b(x,y) = —x nenulové. Příslušná charakteristická rovnice je dy x dx y Je to obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými a její řešení je implicitně dáno rovností x2 + y2 = const. Zavedeme tedy transformaci £ = x, r/ = x2 + y2. Pak na množině G je V= Vv-e, 6 = 1, 6 = 0, Vx = 2x = 2t ?lv = 2y = 2x/?1-e, takže Ux = ^6 + UnT]x = U£ + 2£ltn, Uy = U^y + UnT]y = 2\A? - 6 Uv. Po dosazení do řešené rovnice dostaneme Vv-e(u6+2duv) - 2^Vv-euv = e+v-r a odtud snadnou úpravou získáme kanonický tvar V Tuto jednoduchou obyčejnou rovnici řešíme integrací podle proměnné £, V ■ í, — d£ = ri arcsin —— + const. Integrační konstanta závisí na parametru rj, řešení rovnice v kanonickém tvaru je u(£, rf) = r/ arcsin--h $(í/), kde rj je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Návratem k původním proměnným dostaneme řešení dané rovnice ve tvaru u(x, y) = (x2 + y2) arcsin X + §{x2 + y2). Ještě můžeme využít skutečnosti, že pro x > 0, y > 0 je V2 x x arctg —, \Jx2 + y2 y a výsledek zapsat v trochu kratším tvaru u(x, y) = (x2 + y2) arctg - + §{x2 + y2). y Ukážeme ještě řešení dané rovnice přímým dosazováním do formulí ve Větě 1. Máme a (x,y)=y, b(x,y) = -x, c(x,y)=0, g(x,y) = x2+y2 19 Implicitní zápis řešení charakteristické rovnice je x2 + y2 = const a tedy v(x,y) = x2 + y2. Tvar funkce x dostaneme ze druhé rovnosti (1.30). Má platit v = v(tx(tv)) =í,2 + x(tvf, takže x(í,, v) = V V ~ £2- Dále p(x, y, s) = 0 a g(s, x(s, v(x, y))) _ s2 + x(s, v(x, y))2 _ s2 + (v(x, y) - s2) _ x2 + y2 q{x,y,s) a(s,x(s,v(x,y))) x(s,v(x,y)) \/v(x,y) - s2 ^ x2 + y2 - s2 Zvolíme xq = 0 a řešení dané rovnice rovnice dostaneme podle Věty 1 ve tvaru x2 + y2 u(x, y) = §(x2 + y2) + j ds = (x2 + y2) + (x2 + y2) arcsin ■ o \Jx2 -\- y2 — s2 \Jx2 + y2 tedy až na pořadí sčítanců ve stejném, jako při předchozím způsobu řešení rovnice. Rovnici (1.28) jsme transformovali do nových nezávisle proměnných tak, že jsme ponechali první souřadnici nezměněnu a za druhou jsme vzali funkci vyjadřující charakteristiku rovnice. To není jediná možnost, jak parciální rovnici (1.28) transformovat na kanonický tvar, tj. na obyčejnou rovnici s parametrem. Stejně dobře můžeme ponechat druhou souřadnici a první nahradit charakteristikou. Příklad. 2ux + 3uy — xu = 0 Charakteristická rovnice je dy 3 dx 2' její řešení y = |x + const můžeme přepsat ve tvaru 3x — 2y = const; to je zápis charakteristiky. Zavedeme transformaci £ = 3x-2y, rj = y. Pak ux = 3it£, uy = —2it£ + uv, x = ^(£ + 2n). Levá strana dané rovnice se tedy transformuje na tvar 2ux + 3uy — xu = 6it£ — 6it£ + 3un — i(£ + 2n)u = 3 (un — |(£ + 2n)uj . Kanonický tvar dané rovnice je du dn Tato rovnice má řešení = \{í + 2n)u. — = \ I (£ + 2?7)dí7, tj. In m = h(í,n + rj2) + const, neboli u = const ■ e9^v+v h Řešení rovnice v kanonickém tvaru je tedy u = 'J/(£)e9'7^+'7) a návratem k původním proměnným dostaneme řešení dané rovnice i(x, y) = ^(3x - 2y)ei^3x-2y+^ = (3a; - 2y) Š/e^y-y* = = V(3x - 2y)e-i((y-ix)2-ix2) = V(3x - 2y)e-^^-3x^ ei3 20 Podle Důsledku 1 Věty 1 je řešení dané rovnice dáno formulí I / ada 1 2 u(x,y) = <ř(2y - 3x)e 0 = <ř(2y - Zx)e*x . 1 2 ^| Vidíme, že se obě vyjádření shodují, $(£) = vř(—£)e~3š£ . 1.1.3 Okrajové úlohy Řešení rovnice (1.28), které lze najít pomocí transformace nezávisle proměnných, je vyjádřeno pomocí nějaké diferencovatelné funkce <í> jedné proměnné. Jedná se tedy o množinu řešení dané rovnice. Nějaký prvek z této množiny, partikulární řešení, dostaneme konkrétní volbou funkce <í>. V této části budedeme hledat řešení, které splňuje nějakou předem danou podmínku. Okrajová úloha pro rovnici a(x,y)ux + b(x,y)uy = f(x,y,u) Uvažujme parciální diferenciální rovnici (1.28) lineární v prvních derivacích a jednu konkrétní charakteristiku rovnice (1.21) s nulovou pravou stranou; tato charakteristika má parametrické vyjádření (1.22) a je partikulárním řešením autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.23), které splňuje podmínky x(0)=x0, y(0)=y0. Nechť funkce u je řešením rovnice (1.28). Pak na uvažované charakteristice platí d / / \ / \\ r i \ i \\dx(s) trs i \\dy(s) —u{x(s),y(s)) = ux{x(s),y(s))—j— + uy [x(s), y(s)) —— = = a(x(s),y(s))ux(x(s),y(s)) + b(x(s),y(s))uy(x(s),y(s)) = f (x(s),y(s),u(x(s),y(s))). Odtud vidíme, že prostorová křivka, jejíž parametrické vyjádření je řešením autonomního systému =a(x,y), du -^ = J{x,y,u) s počátečními podmínkami x(0) =x0, y(0) = y0, u(0) = u0 = u(x0,y0), (1.35) je incidentní s grafem řešení rovnice (1.28), tj. leží na grafu funkce u. Zadáme-li tedy hodnotu uq řešení u rovnice (1.28) v nějakém bodě (xo,yo) charakteristiky, máme hodnoty řešení u rovnice (1.28) ve všech bodech této charakteristiky jako řešení autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.34) s počátečními podmínkami (1.35). Systém (1.34) charakterizuje řešení rovnice (1.19), proto se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (1.19), jeho trajektorie můžeme nazvat charakteristické křivky rovnice (1.28). Jedno konkrétní řešení (partikulární řešení) rovnice (1.28) získáme tak, že na každé charakteristice zadáme právě jednu funkční hodnotu. Jinak řečeno, zadáme hodnoty řešení na nějaké rovinné křivce, která protíná každou charakteristiku právě jednou. Takové křivce říkáme okraj pro rovnici (1.28). Okraj může být zadán parametricky rovnicemi x = X(cr), V = Y(o-), 21 kde parametr cr probíhá nějaký interval J. Pro každou hodnotu parametru cr G J zadáme hodnotu řešení u = g (u). Rovnosti x = X{a), y = Y{a), u = g{a), a e J (1.36) lze interpretovat jako parametrické vyjádření prostorové křivky, která má ležet na grafu řešení u rovnice (1.28). Tyto rovnosti nazýváme okrajová podmínka pro rovnici (1.28). Okrajová úloha pro rovnici (1.28) je úloha najít řešení u = u(x, y) rovnice (1.28), které splňuje okrajovou podmínku (1.36), tj. řešení, pro které platí u(X(a),Y(a))=g(a) pro každou hodnotu parametru cr G J. Okrajovou úlohu můžeme řešit tak, že metodami popsanými v 1.1.2 najdeme řešení rovnice závisející na obecné funkci <í> a dosadíme do něho okrajovou podmínku. Dostaneme tak funkcionální rovnici pro neznámou funkci <í>; tuto funkci lze v některých případech z příslušné rovnice uhodnout. Příklad Hledejme řešení rovnice 2ux + Zuy = xu, které splňuje podmínku u(x, 0) = x2 pro každé i£l. Zadáváme tedy hodnoty řešení na ose x. Okrajovou podmínku můžeme parametricky zapsat jako x = cr, y = 0, u = cr2, cr G M. Řešení dané rovnice jsme našli v příkladu na str. 20 ve tvaru u(x, y) = ^(3x - 2y) \/e3xy-y2. Aby toto řešení splnilo okrajovou podmínku, musí platit x2 = u(x, 0) = y(3x)\/(Ä = W(3x). Funkce 'ř je tedy řešením jednoduché funkcionální rovnice ^(32;) = x2 a snadno uhodneme, že funkci 'ř můžeme zadat předpisem W(^) = Q£) = \Č,2'■ Pro řešení dané okrajové úlohy tak dostáváme formulku u(x, y) = \{3x - 2y)2 \/e3xy-y2. Řešení funkcionální rovnice však obecně není snadná úloha. Proto může být výhodné při řešení okrajové úlohy (1.28), (1.36) postupovat jinak. Najdeme konkrétní charakteristiku, která protíná okraj v bodě daném konkrétní hodnotou parametru cr. To znamená, že rovnosti v (1.36) chápeme jako počáteční podmínky pro autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.34), tj. najdeme řešení systému rovnic dx dy du — = a(x,y), — = b(x,y), — = f(x,y,u) ds ds ds s počátečními podmínkami x(0)=A», y(0) = Y(a), u(0) = g(a). Takové řešení počáteční úlohy pro autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic tedy závisí na nezávisle proměnné s a na parametru cr, je obecně tvaru x = x(s,cr), y = y(s,a), u = u(s,a). 22 Pro řešení okrajové úlohy představuje parametr a i nezávisle proměnná s pouze pomocné parametry, které je potřeba eliminovat. Proto budeme první dvě rovnosti chápat jako dvě rovnice pro dvě neznámé s a tr; tyto neznámé vyjádříme pomocí proměnných x,y, tj. najdeme s = s(x,y), a = u(x, y), a dosadíme je do třetí rovnosti. Dostaneme tak řešení okrajové úlohy ve tvaru u(x,y) = u(s(x,y),a(x,y)). Příklad Hledejme řešení rovnice yux - xuy = x2 + y2, (což je lineární rovnice řešená v příkladu na str. 19) s okrajovou podmínkou u(x, 0) = x2, x > 0. Zadáváme tedy hodnoty řešení na kladné poloose x. Všechny funkce, které se objevují v dané rovnici, jsou definovány na celém prostoru M2. Budeme hledat řešení, které je definované na co největší podmnožině R2, nikoliv pouze v prvním kvadrantu jako v zmíněném příkladu. Parametrické vyjádření okrajové podmínky je x = a, y = 0, u = tr2, a > 0. Řešíme charakteristický systém dx ~ďš dy ds du ď7 = y, --x2 + y2 s počátečními podmínkami x(0) = a, y(0) = 0, u(0) = a2 První dvě rovnice představují lineární systém obyčejných diferenciálních rovnic pro neznýmé funkce x a y. Tento systém vyřešíme a řešení dosadíme do třetí rovnice, kterou pak vyřešíme prostou integrací. Dostaneme tak řešení charakteristického systému ve tvaru y = íTcos(s + |), u = (s + í)c72. (1.37) x = a sm První dvě rovnosti nejprve umocníme na druhou a sečteme, dostaneme (T = X +y , poté je vydělíme a dostaneme x sin (s + f) / 7T Tato jednoduchá goniometrická rovnice pro neznámou s + -| má řešení 7T x s H— = arctg —h ktt, kde k e Z, 2 y x tedy s = arctg —h (2k — 1)-^. Dosazením do pravé strany třetí rovnosti v (1.37) dostaneme y (x2 +y2) i 1 + (2k - 1)^ + arctg - V 2 y 23 Obrázek 1.2: Řešení rovnice yux — xuy = x2 + y2 s okrajovou podmínkou u(x, 0) = x2, x > 0. Řešení je dáno parametricky rovnostmi (1.37), hodnoty parametrů na obrázku jsou s G [—6,6], cr G [0 3 2J V tomto vyjádření však zůstává neurčený parametr k a navíc tato formule je pro y = 0 nedefinovaná, dokonce ani nemá limitu pro y —> 0. Pro x > 0 totiž platí x 7T X 7T hm arct e — = — a hm arct e — =--. V^0+ y 2 y^O- y 2 Aby byla splněna okrajová podmínka, mělo by pro x > 0 platit x2 = hm+ (x2 + y2) (\ + (2Jfc - 1)| + arctg ^ = x2 (l + (2k - 1)| + |) = ^2(1 + ^), tedy k = 0, a současně x2 lim (x2+y2) ( l + (2fc-l)-+arctg - ) = x2 (l + (k - 1)? tedy = 1. Jinak řečeno, na množině {(x, y) eR2 : x > 0,y > 0} je řešení dané okrajové úlohy tvaru u(x, y) = (x2 + y2) ^1 - | + arctg ^ a na množině £l2 : x > 0, y < 0} tvaru u(x, y) = (x2 + y2) ( 1 + ^ + arctg - tt x - + arctg - 2 y Tato vyjádření lze jednotně zapsat formulí u(x, V) = (x2 + V2) ( 1 + arctg - - ^ sgny Takto definovaná funkce je řešením dané okrajové úlohy na množině M2 \ {(x, 0) : x < 0}. Podívejme se ještě jednou na parametrické vyjádření řešení dané úlohy. Rovnosti (1.37) jsou parametrickým vyjádřením plochy v prostoru, která může připomínat šroubovou plochu s osou šroubování u (při fixované hodnotě a se jedná o šroubovici, tj. prostorovou křivku, která „obíhá" osu u, celou ji oběhne při nárůstu parametru s o hodnotu 2tt a po jedné „otočce" vystoupá o hodnotu cr2). Plocha je znázorněna na Obrázku 1.2 Řešení charakteristického systému s počátečními podmínkami tedy vyjadřuje diferencovatelnou varietu, která je lokálně grafem řešení rovnice, křivka vyjadřující okrajovou podmínku přitom na této varietě leží. ■ 24 Okrajová úloha pro obecnou rovnici Budeme hledat řešení rovnice (1.18) s okrajovou podmínkou (1.36). Abychom zjednodušili zápis, zavedeme označení du du dx dy a rovnici zapíšeme jako F(x,y,u,p,q)=0. (1.39) Pro řešení rovnic lineárních v prvních derivacích se ukázal jako užitečný pojem charakteristiky. Je to rovinná křivka s parametrickým vyjádřením x = x(s), y = y(s), sel, která je řešením charakteristického systému, tj. autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic dx dy — = a(x,y), — =b(x,y). ds ds V případě rovnice (1.21) je na charakteristice řešení konstantní. V případě rovnice (1.28) s nenulovou pravou stranou jsme zavedli charakteristickou křivku v prostoru. Je to křivka, která leží na grafu řešení rovnice (1.28) a její průmět do roviny souřadnic x,y je charakteristikou. Jinak řečeno, charakteristická křivka určuje v každém bodě (x(s), y(s)) charakteristiky funkční hodnotu u(x(s),y(s)^ řešení rovnice (1.28). Charakteristická křivka je trajektorií autonomního systému ^T = a(x,y), ^- = b(x,y), ^- = f(x,y,u). ds ds ds Rovnici (1.28) lineární v derivacích přepíšeme s použitím označení (1.38) ve tvaru a(x, y)p + b(x, y)q - f(x, y, u) = 0. V případě této rovnice je tedy F(x, y, u,p, q) = a(x, y)p + b(x, y)q — f(x, y, u) a platí dF dF a(x,y) = -r^(x,y,u,p,q), b(x,y) = —(x,y,u,p,q), z čehož dále plyne dF dF f(x,y,u) = p—(x,y,u,p,q) + q—(x,y,u,p,q), Op Oq neboť je splněna rovnice (1.28). Charakteristický systém příslušný k rovnici (1.28) tedy můžeme stručně zapsat dx „ dy „ du „ „ , ď7=F- ďJ = F" Ts-vFP + qFq. (1.40) Tyto výsledky zobecníme pro rovnici (1.18). Řešení obecné rovnice vyjádříme tak, že každému bodu charakteristiky přiřadíme hodnotu řešení u a hodnoty obou parciálních derivací p a q. Dostaneme tak křivku v pětirozměrném prostoru, která má parametrické vyjádření x = x(s), y = y(s), u = u(s), p = p(s), q = q(s), sel; (1.41) nazýváme ji charakteristický pruh rovnice (1.18). Ten samozřejmě splňuje rovnici (1.39), tj. F(x(s),y(s), u(s),p(s), q(s)) = 0, (1.42) 25 a budeme požadovat, aby funkce x = x (s), y = y (s), u = u(s) také splňovaly systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.40). Derivováním rovnosti (1.42) podle parametru s dostaneme d _/ . . , . , . , . , . N „ dx „ dy „ du „ dp „ dq 0 = —F(x(s),y(s), u(S),p(S), q(s)) = Fx— + Fyfg + Fu— + Fpfg + Fqfg = = FxFp + FyFq + Fu(pFp + qFq) + Fp^ + Fq^- = Fx +PFU + ^)fp+ (fv + qFu + ^s) Fq. Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když fs=- (Fx +PFU), g = - (Fy + qFu). (1.43) Provedené úvahy naznačují, že za charakteristický systém příslušný k rovnici (1.39) můžeme považovat systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.40), (1.43). Ještě určíme počáteční podmínky tak, aby řešení charakteristického systému vyjadřovalo řešení počáteční úlohy (1.18), (1.36). Stejně, jako v případě rovnice lineární v derivacích položíme x(0)=x0 = X(ct), y(0) = y0 = Y(cr), u(0) = u0 = g{a). Počáteční hodnota charakteristického pruhu musí splňovat rovnici (1.39), tj. F(x0,y0,u0,p0,q0) = 0. (1.44) Dále pro počáteční hodnoty souřadnic p a q charakteristického pruhu platí Po = ux(x0,y0) = ux(X((t),Y((t)), q0 = uy(x0,yo) = uv(X((t),Y((t)). Nyní přepíšeme třetí rovnost z okrajové podmínky (1.36) ve tvaru g(u) = u(X( které splňuje okrajovou podmínku it(cos řj, sin er) = cos 2a 26 V tomto případě je F(x, y, u, p, q)=p2 - q2 - 4u, takže Fx=Fy=0, Fu = -4, Fp = 2p, Fq = -2q, PFp + qFq = 2p2 - 2q2, Fx + PFU = -4p, Fy + qFu = -4q. To znamená, že charakteristický systém je dx ^ dy n du . 9 9. dp dq — =2p, / = -2g, — = 2{p2-q2), /=4p, ^=4g. ds ds ds ds ds Dvě poslední rovnice jsou obyčejné lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem. Jejich řešení s obecnými počátečními podmínkami tedy je p = p(s) = p0e4s, q = q(s) = q0e4s. Tyto výrazy dosadíme do prvních tří rovnic charakteristického systému. Dostaneme a po integraci x = x0 + ±Po(e4s -1) , y = y0 - \q0 (e4fl - l) , u = u0 + \{p2 - q2) (e8fl - l) . (1.47) Parametrické vyjádření počátečních podmínek je X(cr) = coscr, l^(cr) = sine, g(cr) = cos2cr, takže počáteční hodnoty xq , yo a Mo jsou dány rovnostmi 2ľo = coscr, yo = sincr, m0 = cos2cr (1-48) a počáteční hodnoty po a 9o splňují rovnice (1.44), (1.45), konkrétně 4cos2cr = Pq — <7q, 2sin2cr = po sin cr — (jo coscr. (1.49) Bezprostředním dosazením ze třetí rovnosti (1.48) a první rovnosti (1.49) do třetí rovnosti (1.47) dostaneme m = e8scos2cr. (1.50) Soustava rovnic (1.49) je tvořena jednou lineární a jednou kvadratickou rovnicí pro dvě neznámé Po a (jo- Má tedy dvě řešení. První řešení soustavy (1.49) je po = 2 cos a, qo = —2sin a. Dosazením do prvních dvou rovností (1.47) dostaneme x = e4s cos cr, y = e4s sin a. Umocněním těchto rovností na druhou a jejich odečtením dostaneme x2 - y2 = e8s cos 2cr. Porovnáním se vztahem (1.50) vidíme, že jedno řešení dané okrajové úlohy je dáno výrazem u(x,y) = x2 - y2. Druhé řešení soustavy algebraicko-goniometrických rovnic (1.49) je 2 cos cr(l + 2 sin2 cr) 2 sin cr(l + 2 cos2 cr) Po =--ô-' qo =--ô-■ COS 2cr COS 2cr Po dosazení těchto výrazů a výrazů (1.48) do rovností (1.47) dostaneme 1 + 2 sin2 cr x = COS cr [ 1 cos 2 n C i 4« ,\\ COSCr , q . 4„n -(e4s - 1) =-(2 - (1 + 2 sin2 cr)e4s) cr v ') COs2cr v ' 27 Obrázek 1.3: Řešení rovnice u2 —u2 = 4u s okrajovou podmínkou w(cos a, sin a) = cos 2a. Okrajová podmínka je vyznačena černou křivkou na „sedle", tj. na grafu řešení daného rovností u = x2 — y2. / 1 + 2cos2ít , . ,\ sincr , n .„ n 9 , .s y = sin a H--(e4s - l) =-(-2 + (1 + 2 cos2 cr)e4s) . \ cos 2a K ') cos 2a K ' Spolu s rovností (1.50) tak máme vyjádřeno druhé řešení dané úlohy v parametrickém tvaru. Vzhledem k tomu, že ve jmenovateli zlomků je výraz cos2er, omezíme se na hodnoty parametru a z intervalu (—^7r, ■j7r)- Obě řešení dané úlohy jsou znázorněny na Obrázku 1.3. Tento příklad také ukazuje, že okrajová úloha nemusí být jednoznačně řešitelná. ■ Příklad (geometrická aplikace obecné rovnice) Najdeme plochu, která prochází přímkou zadanou obecnými rovnicemi x + y = 1, z = 1, a která má vlastnost: průsečík roviny souřadnic xy a normály k této ploše v nějakém bodě M a průmět bodu M do roviny xy má konstantní vzdálenost a. Hledanou plochou bude graf funkce z = z(x,y), pro kterou platí z(x,l-x) = l. (1.51) Z geometrie víme, že směrový vektor normály v bodě M = [x, y, z(x, yf) má souřadnice / dz dz \ \dx' dy' ) ' takže parametrická rovnice normály v bodě M je dána parametrickými rovnicemi X = x + dz^ dx ' Y = y + dz dy Z = z — 28 t, kde t je parametr. Průsečík normály s rovinou xy je bod této přímky, kde Z = 0, tj. t = z. Průmět bodu M do roviny xy má souřadnice (x, y, 0). Pro euklidovskou vzdálenost těchto bodů ma platit Í)2+(2I)2 = «2 To už je parciální diferenciální rovnice pro hledanou funkci z = z(x,y). Příslušná okrajová podmínka je (1.51). Řešení této úlohy je však poněkud obtížné, proto zavedeme novou neznámou funkci u = u(x, y) = z(x, y)2. Pak du 2 ^z ®u 2 ^Z dx dx' dy dy a úlaha (1.52), (1.51) se transformuje na tvar du\2 (du\2 2 , dx) +{d-y) =4a< !-*) = !■ Máme tedy F(x, y, u,p, q)=p2 + q2- 4a2, Fx = Fy = Fu = 0, Fp = 2p, Fq = 2q, charakteristický systém s počátečními podmínkami je dx ~ďš dy ds du ~ďš dp ďš dg ďš --2p, x(0) = a = 2g, 2/(0) = 1- 0 a dostaneme, že hledaná plocha je dána jednou ze dvou rovností = Jí±aV2(x + y-í). 29 Quasilineární rovnice a její geometrická interpretace Významným speciálním případem obecné rovnice (1.18) je rovnice tvaru du du a{x, y,u)— + b{x, y,u)— = f(x, y, u), (1.53) dx dy kde a, b jsou spojité funkce tří proměnných. Koeficienty a, b u prvních parciálních derivací hledané funkce na této funkci závisí. Proto výraz na pravé straně rovnice (1.53) nevyjadřuje lineární operátor na množině diferencovatelných funkcí dvou proměnných, ale je pouze „lineárnímu podobný" nebo „jakoby lineární". Proto se rovnice (1.53) nazývá quasilineární. V případě quasilineární rovnice (1.53) je F(x, y, u,p, q) = a(x, y, u)p + b(x, y, u)q - f(x, y, u), takže Fp = a(x, y, u), Fq = b(x, y, u), pFp + qFq = f(x, y, u). První tři rovnice charakteristického systému (1.40) příslušného k rovnici (1.53) jsou proto tvaru dx dy du — = a(x,y,u), — = b(x,y,u), — = f(x,y,u). (1.54) Tyto rovnice nezávisí na (pomocných) souřadnicích p, q charakteristického pruhu. Pro řešení quasilineární rovnice (1.53) tedy nepotřebujeme rovnice (1.43). Řešení rovnice (1.53) s okrajovou podmínkou (1.36) v parametrickém tvaru tedy dostaneme jako řešení systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.54) s počátečními podmínkami x(0) = X(a), y(0) = Y(a), u(0) = g(a). Příklad Budeme hledat řešení rovnice . .du du (y + U>ďx' + (U + X>ďy~ =X + y' které splňuje okrajovou podmínku u(x, —x) = 2x. Charakteristický systém řešené rovnice je tvaru ds=X dx ďs~ dy ds du ďTs=x+y- Jedná se tedy o systém lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí '0 1 1N 1 0 1 ,1 1 0; Její vlastní čísla a příslušné vlastní vektory jsou Ai 2 = —1, A3 = 2 í M 1 i í 0 ) 1 i l\ 0 < V2=\ 1 < V3=\ 1 V-i 1 i -1 1 i 1/ 30 To znamená, že obecné řešení charakteristického systému je x(s) = Ae2s + Be~s, y(s) = Ae2s + Ce-s, u(s) = Ae2s - (B + C)e-S. Okrajovou podmínku přepíšeme do tvaru x = c, y = —c, u = 2er, ze kterého dostaneme počáteční podmínky pro charakteristický systém x(0) = cr, y(0) = -a, u(0) = 2a. Řešení charakteristického systému s těmito počátečními podmínkami je x(s) = |cre2s + icre-s = ±ae-s (2e3s + l) , y(s) = |cre2s - §cre-s = ±ae-s (2e3s - 5) , u(s) = |cre2s + |cre-s = ±ae-s (2e3s + 4) . Z prvních dvou rovností postupně vyjádříme 2e3.= 5£+» \m-> = SĽ-V x — y á 6 a dosadíme do rovnosti třetí. Po úpravě pak dostaneme řešení dané úlohy 3x - y u{x,y) = —ô—■ Nechť G je diferencovatelná funkce tří proměnných taková, že v každém bodě definičního oboru je aspoň jedna z jejích parciálních derivací nenulová. Z věty o implicitní funkci pak plyne, že rovnost G(x, y,z) = c (1.55) vyjadřuje soustavu ploch v prostoru. Normálový vektor k některé z těchto ploch v jejím libovolném bodě (xo,yo, zq) má souřadnice /QQ QQ QQ v\ = i-^(xo,yo,z0), —(x0,y0,z0), —(x0,y0,z0) Uvažujme nyní další plochu danou rovností z = g(x,y), (1.56) tj. graf funkce g dvou proměnných, která také prochází bodem (xq, yo, zq). Normálový vektor k této ploše má souřadnice Pokud vjv2 = 0, pak plocha (1.56) protíná plochu ze soustavy (1.55) kolmo. Pokud tedy v každém přípustném bodě (x,y) platí dG , .dg , . dG , ..dg , dG , — {x, y, g(x, y)) — (x, y) + — {x, y, g(x, y)) — (x, y) = — {x, y, g(x, y)), pak plocha (1.56) protíná každou plochu ze soustavy (1.55) kolmo. Jinak řečeno: Integrální plocha quasilineární rovnice Gx(x,y,u)— +Gy{x,y,u)— = Gu{x,y,u) du du )— +Gy(x,y,u) — dx dy protíná kolmo soustavu ploch (1.55). 31 Obrázek 1.4: Plocha ortogonální k soustavě ploch xyz = c procházející přímkou o parametrických rovnicích x = u, y = 2a, z = 0. Zeleně je zobrazena plocha odpovídající c = 1. Příklad Najdeme plochu, která kolmo protíná plochy soustavy xyz = c a prochází přímkou y = 2x, z = 0. Podle předchozího je hledaná plocha integrální plochou quasilineární rovnice du du yu— +xu— = xy ox oy s okrajovou podmínkou u{x, 2x) = 0. Příslušný charakteristický systém s počátečními podmínkami je dx dy du -i- = yu, — =xu, — = xy, ds ds ds x(0) = a, y(0) = 2cr, u(0) = 0. Vydělením prvních dvou rovnic se zahrnutím počátečních podmínek dostaneme počáteční úlohu dy x dx y Její řešení je implicitně dáno rovností y2 - x2 = 3cr2. (1.57) Podobně ze druhé a třetí rovnice s počátečními podmínkami dostaneme úlohu du y , dy u s řešením u2 - y2 = -4cr2. (1.58) Vydělením rovností (1.57) a (1.58) dostaneme implicitní vyjádření hledané plochy ve tvaru u2 2 ^-z-^77 = —I, neboli u2 = \x2 — \y2 32 a z něho dvě explicitní vyjádření u(x,y) = ±\J^x2 - \y2. Řešení dané úlohy je znázorněno na Obrázku 1.4. I 1.2 Rovnice v n nezávisle proměnných Budeme se zabývat rovnicí F (x1,x2, ...,xn,u, -^-) = 0, (1.59) V oxi dx2 oxn) kde F je spojitá funkce 2n + 1 proměnných definovaná na nějaké množině G C R2rt+1, která má neprázdný vnitřek. Při označení vektoru nezávisle proměnných6 x = (x\, x2, ■ ■ ■, xn)T a gradientu Vti = můžeme rovnici (1.59) zapsat úsporněji du du du \T dxi'dx2 ' 'dxn F(x,u,\7u) = 0. (1.60) Klasické (silné) řešení rovnice (1.59) je spojitě diferencovatelná funkce u definovaná na množině fž C R™ takové, že Ú = fž°, přitom funkce u je na vnitřku Í2° množiny fž diferencovatelná, na uzávěru fž množiny fž spojitá a pro všechny body x G fž platí (i,n(i),Vu(íc))eG a F(x, u(x), X7u(x)) = 0. Rovnice lineární v derivacích s nulovou pravou stranou Rovnice du du du a1(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn)---h a2{x1,x2, ■ ■ ■ ,xn)---1-----h an(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn)-— = 0, dxi dx2 dxn stručněji n dx J2ai(x)-^ = 0 (1.61) nebo ve vektorovém zápisu a(x)TX7u = 0 je nejjednodušším speciálním případem obecné rovnice (1.59). Jedná se o bezprostřední zobecnění rovnice (1.21) do vícerozměrného prostoru. Proto budeme její řešení hledat způsobem, který je analogií metody charakteristik popsané v 1.1.1. Rovnici (1.61) přiřadíme autonomní systém n obyčejných diferenciálních rovnic tvaru dx —— = al(x1,x2,. .. ,xn), i = í,2,...,n. (1-62) ds Tento systém se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (1.61) a jeho trajektorie se nazývají charakteristiky rovnice (1.61). Charakteristika je hladká křivka v n-rozměrném prostoru, lze ji zapsat parametrickými rovnicemi Xi = Xi(s), se/, i = í,2,...,n, (1.63) 0 Pokud budeme n-tici reálných čísel považovat za vektor, vždy půjde o vektor sloupcový. 33 kde I je nějaký reálný interval. Nechť funkce u = u(x±, x2, ■ ■ ■, xn) je řešením rovnice (1.62). Pro derivaci funkce u na charakteristice (1.63) podle parametru s platí d , . . . . ... J^du(x1(s),x2(s),...,xn(s)) dxi -u(Xl(s),x2(s),xn(s)) = ^-—-— = i—l =0. i—l 1 To znamená, že na charakteristikách je řešení rovnice (1.61) konstantní. Odtud plyne, že řešení rovnice (1.61) můžeme získat tak, že na každé charakteristice zadáme hodnotu funkce u. Charakteristika rovnice (1.61) je hladkou křivkou v n-rozměrném prostoru. Takovou křivku můžeme zapsat buď parametricky rovnostmi (1.63) nebo obecně jako průnik n — 1 nadploch (tj. (n — l)-rozměrných diferencovatelných variet) v n-rozměrném prostoru, tedy rovnostmi vl(x1,x2,... ,xn) = ct, í = 1,2,...,n - 1, (1.64) kde Ví jsou diferencovatelné funkce n proměnných. Rovnosti (1.64) někdy můžeme získat z parametrického vyjádření (1.63) charakteristik eliminací parametru s. Jiná možnost, jak získat obecné vyjádření (1.64) charakteristik rovnice (1.61) spočívá ve vydělení rovnic charakteristického systému (1.62); dostaneme tak n—1 obyčejných diferenciálních rovnic, např. dxl+1 al+1(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn) —- =---r-, n = l,2,...,n- 1, daľj al(x1,x2,. .. ,xn) nebo dxt _ al(x1,x2,.. . ,xn) dxi a1(x1,x2,.. ., xn)' Obecné řešení těchto systémů rovnic, které závisí na n — 1 konstantách, zapíšeme v implicitním tvaru (1.64). Předchozí obyčejné diferenciální rovnice můžeme také jednotně zapsat ve tvaru rovností diferenciálů dx\ dx2 dxn n = 2,3, «1 [xi,x2,... ,xn) a2(x1,x2,. .. ,xn) an(x1,x2,. .. ,xn) (1.65) Hodnotu funkce u, která je řešením lineární rovnice (1.61), vyjádříme na charakteristikách pomocí diferencovatelné funkce <í>, která je funkcí n—1 proměnných. Řešení rovnice (1.61) tedy píšeme ve tvaru u(x) = $(v1(x),v2(x),... ,u„_i(a;)). (1.66) Provedené úvahy ukazují, že pro rovnici (1.61) lze zformulovat výsledek, který je bezprostředním zobecněním Tvrzení 1 platného pro rovnice ve dvou nezávisle proměnných. Tvrzení 2. Nechť funkce Ví : fž —>• R, í = 1, 2,..., n — 1, jsou diferencovatelné funkce takové, že rovnosti (1.64) jsou implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (1.62) příslušného k rovnici (1.61) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení sytému obyčejných diferenciálních rovnic (1.65)). Je-li <í> libovolná diferencovatelná funkce n—1 proměnných taková, že její definiční obor obsahuje kartézský součin oborů hodnot funkcí Ví, pak funkce u definovaná rovností (1.66) je řešením rovnice (1.61). Důkaz: Na řešení (1.63) charakteristického systému (1.62) jsou splněny rovnosti (1.64). Tedy pro každý index j platí 0 = ±Vj(Xl(s),X3(s),. . .,xn(s)) = ± ^(^iW,^),...,^))^) = i—l 1 ^dvj(x1(s),x2(s),...,xn(s)) =--al{x1(s),x2(s),. . .,xn(s)), i—l 1 34 stručně Dále du(x) d , , , , , , 72-^d^(v1(x),v2(x),...,vn^1(x)) dvj(x) ~dx~ = az*(Mx)Mx), ■ ■ ■,«»-!(*)) = E —-^- i=i takže E, , dw(a;) -A ^ 9$(í;i(a;),í;2(a;), ■ ■ ■ ,vn-i(x)) dvAx) ^)^—= Ea*wE-qt--j— i—l i—l i—1 \^d$(v1{x),v2{x),...,vn-1{x)) ^ ,dvj(x) ^-^-S = °- j=l J i=l □ Povšimněme si, že na levé straně rovnice (1.61) je skalární součin vektoru a s gradientem hledané funkce u. Gradient je lineární zobrazení, skalární součin také. Složení lineárních zobrazení je lineární. Odtud plyne, že rovnice (1.61) také splňuje princip superpozice: Jsou-li u\,U2, ■ ■ ■ , itfc řešení rovnice (1.61), pak také jejich libovolná lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak řečeno, množina všech řešení rovnice (1.61) tvoří reálný vektorový prostor. Příklad / „ ,9m , „ „ . du , . du (y-2x- 2z) — + (x-2y + 2z)— + (x - y + y)— = 0 dx dy dz Příslušný charakteristický systém dx — = -2x+ y-2z, dy „ -f = x-2y + 2z, ds dz — = x- y+ z je lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí. Můžeme tedy explicitně napsat jeho řešení x = (2 As + 2B)e-s, y = {-2As + 2C)e-s, z = (-2As + C-B- A)e-S; přitom A, B,C jsou integrační konstanty. Druhou rovnost vydělíme rovností první a dostaneme y -As + C x + y B + C x As + B x As + B třetí rovnost vydělíme první a dostaneme z _ -2As + C -B-A . x + z _C + B- A x~ As + B ' tj' x ~ 2{As + B) ' tyto rovnosti navzájem vydělíme a dostaneme x + y - = const. x + z 35 Analogicky (první a třetí rovnost tentokrát dělíme druhou) dostaneme x + y const. z-y Řešení je tedy tvaru u(x,y) = <ř ^fqžf ,§řr^), kde <ř je libovolná diferencovatelná funkce dvou proměnných. Na charakteristikách je řešení rovnice (1.61) konstantní. Proto konkrétní řešení (partikulární řešení) této rovnice můžeme získat tak, že na „začátku" každé charakteristiky určíme funkční hodnotu řešení. „Začátky" charakteristik lze určit tak, že v prostoru zavedeme nějakou nadplochu ((n— l)-rozměrnou varietu), která protíná každou charakteristiku právě jednou; průsečík této nad-plochy s charakteristikou budeme považovat za „začátek charakteristiky". Nadplocha s uvedenou vlastností se nazývá okraj pro rovnici (1.61). Okraj může být zadán parametrickými rovnicemi; poněvadž se jedná o (n — l)-rozměrnou nadplochu, závisí na n — 1 parametrech. Parametrické rovnice okraje tedy jsou xt = Xl(o1,o2, . . . , er„_i), i = 1, 2, . . . , n, kde parametry 01, a2, ■ ■ ■, 0n-i jsou z nějaké podmnožiny prostoru R™-1, která má neprázdný vnitřek. Průsečík konkrétní charakteristiky s okrajem je určen konkrétní sadou parametrů. Hodnoty řešení u rovnice (1.61) tedy zadáváme pro tuto sadu parametrů. Jinak řečeno, zadáváme okrajovou podmínku ve tvaru u(Xi(cti, a2,.. ., crn-i),X2(cri,(T2, ■ ■ ■, c„-i),.. ., Xn{a\, a2,. .. , 0„-i)) = = ff(ci,er2,. .. ,er„_i). C1-67) Okrajovou úlohu, tj. rovnici (1.61) s podmínkou (1.67), řešíme tak, že k charakteristickému systému (1.62) přidáme počáteční podmínky Xi(0) = Xl(o-1,o-2,... ,un-i), í = l,2,...,n. (1.68) Jednotlivé složky řešení Cauchyovy úlohy (1.62) závisí na nezávisle proměnné s a na parametrech 01, £r2,... , 0„-i, tj. xt = xl(s, 0i,02,..., 0„-i). (1.69) Rovnosti (1.69) a rovnost (1.67) přepsaná do tvaru u = g(o~i, a2,..., 0„) představují parametrické vyjádření (grafu) řešení okrajové úlohy (1.61), (1.67). Na rovnosti (1.69) se také můžeme dívat jako na systém n rovnic pro n neznámých, kterými jsou parametry s, o\, a2,... , on-\. Pokud se z něho podaří explicitně vyjádřit parametry okraje 01, 02,... , er„_i v závislosti na souřadnicích a j = o-j(x1,x2,. .. ,xn), j = 1, 2,. .. ,n - 1, pak je lze dosadit do okrajové podmínky (1.67). Takovým způsobem dostaneme řešení okrajové úlohy (1.61), (1-67) ve tvaru u(xx,x2,.. . ,xn) = g((Ti(xi,.. .,xn),. .. ,0„_i(xi,. .. ,xn)). Příklad Budeme hledat řešení rovnice . .du du du {z + y-x)dx- + {z + X-y)dy-+Zd-z=° s okrajovou podmínkou u(x, y, a) = 4a4xy, 36 kde a je nějaká reálná konstanta. Charakteristický systém (1.62) je v tomto případě tvaru dx — = -x+y+z, ds dy — = x-y+z, dz ďJ = Jedná se o lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty jeho obecné řešení je tvaru x = Aes + Be-2s + C, y = Aes - Be-2s + C, z = Aes. Počáteční podmínky (1.68) odpovídající dané okrajové podmínce jsou x(0) = eri, y(0) = c2, z(0) = a. Pro integrační konstanty A, B, C tak dostáváme soustavu lineárních rovnic A+B+C = cr1, A-B+C = <72, A = a, která má řešení A = a, B = ^ (01 — je libovolná diferencovatelná funkce n proměnných. Rovnici (1.72) s okrajovou podmínkou (1.67) řešíme tak, že najdeme řešení charakteristického systému (1.74) s počátečními podmínkami (1.68) doplněnými o podmínku u(0) = g(u1,u2, ■ ■ ■ ,er„_i). Toto řešení závisí na nezávisle proměnné s a parametrech o\, 02,. .., on-i, tj- xt =xl(s, tri, o-2, ■ ■ ■, £r„), i = 1,2,...,n u = u(s, (Ti, 0-2, ■ ■■, On). Těmito rovnostmi je parametricky zadáno řešení okrajové úlohy (1.72), (1.67). V některých jednoduchých případech lze parametry s, o\, 02, ■ ■ ■, Cn-i eliminovat a řešení úlohy vyjádřit explicitně. Povšimněme si, že algoritmus řešení okrajové úlohy (1.72), (1.67) je bezprostředním zobecněním postupu při řešení úlohy (1.53), (1.36) pro funkci ve dvou nezávisle proměnných. Okrajová úloha pro obecnou rovnici Dosud provedené úvahy napovídají, že řešení obecné rovnice (1.59) pro funkci u y n nezávisle proměnných s okrajovou podmínkou (1.67) by bylo možné hledat stejným postupem, jako řešení úlohy (1.39), (1.36). Pro zjednodušení zápisu zavedeme označení du T Pi = —, i = i,2,...,n, p = (p1,P2,...,Pnj =vu, dxl v = {0-1,0-2, cr„_i)T, X(er) = (Xi(er),X2(er),. .. ,Xn(cr))T. Rovnice (1.59), nebo ekvivalentní rovnice (1.60), s okrajovou podmínkou (1.67) je pak tvaru F(x,u,p) = 0, u(X(tr)) = g(tr). (1.75) K rovnici přiřadíme charkteristický systém obyčejných diferenciálních rovnic ^- = FPz{x,u,p), i = í,2,...,n, du . . i=i dpi —- =-FXi(x,u,p) - plFu(x,u,p), í=í,2,...,n. ds Věta 2. Nechi x = x(s, er), u = u(s, er), p = p(s, er) je řešení charakteristického systému (1.76) splňující počáteční podmínky xl(Q)=Xl( + F«EE^+ p^) = o. i—l i—l i—l i—l i—l To znamená, že F(x(s, cr), u(s, cr),p(s, er)) = 0 pro všechny přípustné hodnoty proměnné s. □ Prvních n+1 složek řešení počáteční úlohy (1.76), (1-77) jsou funkce jedné proměnné san-1 parametrů 01,02, ■ ■ ■ ,0n-i- Jako parametrické vyjádření řešení okrajové úlohy (1.75) však tyto funkce považujeme za funkce n proměnných, xi =x1(s, 01, 02, ..., 0„-l), x2 =x2(s, 01, 02,..., 0„-l), Xn = Xn(s,0-1,CJ2, u =m(s,0i,02,. ■ ■ ■, f„_l), ■ ■, f„_l). 1.3 Evoluční rovnice Za evoluční rovnice považujeme takové parciální diferenciální rovnice, u nichž jednu z nezávisle proměnných hledané funkce interpretujeme jako čas; tuto proměnnou budeme považovat za první a značit ji symbolem t. Evoluční rovnice prvního řádu jsou tedy obecně rovnice tvaru / du du du du \ t I í, x\, x2,..., xn, u, ——, — ,— ,..., — I 0. \ ot dxi dx2 dxn) Reálné proměnné x\, x2,.. ., xn budeme nazývat strukturní; obecně se totiž nemusí jednat o prostorové souřadnice, ale o nějaké jiné veličiny. V případě McKendrickovy-von Foersterovy rovnice se jednalo o věk. Pro zjednodušení zápisu opět označíme vektor strukturních proměnných x\, x2,. .. , xn symbolem x a vektor parciálních derivací hledané funkce podle strukturních proměnných označíme jako gradient \7u. Předchozí rovnici tedy stručněji zapíšeme ve tvaru / du \ F U,x,u,—,Vu \ =0. Dále budeme předpokládat, že derivaci hledané funkce podle času můžeme z této rovnice vyjádřit. Budeme se tedy zabývat rovnicemi tvaru du — = f(t,x,u,Vu). (1.79) (Klasické) řešení rovnice (1.79) je diferencovatelná funkce u : J x fž —> R, která pro všechna (ŕ, x) e J x fž splňuje rovnost — (í, a;) = f(t,x,u(t,x),\7u(t,x)); 41 přitom J C M je interval a fž C R™ je množina s neprázdným vnitřkem. Počáteční podmínka pro rovnici (1.79) je tvaru u(t0, x) = ip(x), x G Cl, kde to G J. 1.3.1 Počáteční úloha pro evoluční lineární rovnici v jedné strukturní proměnné Lineární rovnice byly již obecně zavedeny v 1.1.1. Tam byly také uvedeny jejich základní vlastnosti. Uvažujme nyní specielně lineární evoluční rovnici, tj. rovnici tvaru díl díl — = a(t,x)— + b(t,x)u + f(t,x), (1.80) kde a,b, f : [0, oo) xR->l. Tuto obecně nehomogenní rovnici lze řešit transformací na kanonický tvar, sr. 1.1.2. Tento standardní postup použijeme pouze pro rovnici homogenní. Pro řešení rovnice nehomogenní ukážeme alternativní způsob řešení, který umožňuje interpretovat některé rysy procesu, který je rovnicí modelován. Nakonec využijeme skutečnosti, že množina řešení nehomogenní rovnice tvoří afinní prostor, tj. že řešení nehomogenní rovnice lze zapsat jako řešení homogenní rovnice s obecnou počáteční podmínkou a řešení nehomogenní rovnice s nějakou speciální počáteční podmínkou. Homogenní rovnice Nejprve tedy budeme řešit homogenní rovnici s obecnou počáteční podmínkou, tj. úlohu díl díl — = a(t,x)— + b(t,x)u, pro t > 0, x e R, (1-81) ot ox u(0, x) = ip(x), pro x e R. (1.82) Charakteristická rovnice příslušná k uvažované parciální diferenciální rovnici je dx -^ = -a(t,x). Řešení této obyčejné diferenciální rovnice vyjádříme v implicitním tvaru v(t, x) = const. Transformace £ = v(t, x) převede rovnici (1.81) na její kanonický tvar — = b(t,X(t,Í))u, kde funkce x(t, ■) je inversní k funkci v(t, ■) pro každé t > 0. Řešení této rovnice (což je v podstatě obyčejná lineární homogenní rovnice závislá na jednom parametru £) je dáno rovností u(t,0 = tt(0,£)exp l J b(s,x(s,0)ds Podle podmínky (1.82) je u(0,£) = . (1.83) Integrál v exponentu je vlastně křivkovým integrálem z funkce b přes úsek charakteristiky spojující body (t,x) a (0,v(t,x)^. Povšimněme si ještě speciálního případu rovnice (1.81), kdy funkce a je konstantní. Charakteristická rovnice dx —— = —a dt má obecné řešení x{ť) = —at + const, tedy v(t, x) = x + at a x(t, £) = £ — ar. Úloha 9m du — = a——h bít, xju, pro ŕ > 0, x g R, dt dx u(0,x) = p(x), pro igR. má proto řešení J b(s,x-\-at — as)ds J b(t—s,x +as)ds u{t, x) = (p(x + at)e 0 = (p(x + at)e 0 Pokud je také funkce b konstantní, rovnice du du — = a— + bu dt dx s počáteční podmínkou (1.82) má řešení u(t, x) = ip(x + at)ebt. Hodnotu x + at můžeme interpretovat jako polohu bodu na prostorové ose, který má v čase t = 0 souřadnici x a pohybuje se rovnoměrně rychlostí a. Výraz ip(x + at) si tedy můžeme představit jako graf funkce ip pohybující se rovnoměrně nad vodorovnou osou. Výraz ebt tento graf deformuje ve svislém směru. Pro b < 0 je lim u(t, x) = 0 pro každé x a každou ohraničenou počáteční funkci ip. Řešení počáteční úlohy pro lineární homogenní rovnici s konstantními koeficienty tedy v tomto případě modeluje postupující a postupně mizející vlnu; tato vlna postupuje při a > 0 v záporném směru osy x (tj. doleva), při a < 0 doprava. Pro b > 0 rovnice naopak představuje rostoucí postupující vlnu, Snadno ověříme, že řešení počáteční úlohy pro homogenní rovnici s počáteční podmínkou v obecném okamžiku t = a, tj. řešení úlohy du du — = a(t,x)—- + b(t,x)u, pro t > a, x g R, (1-84) dt dx u{ 0, i g 1, (1.86) dt dx u(0,x)=0, proiet. (1.87) 43 Můžeme si představovat, že počáteční nulový stav veličiny u, jejíž vývoj by se řídil homogenní rovnicí, je v průběhu času narušován nějakým vlivem, který je popsán nehomogenitou /. Tyto vlivy se postupně nasčítají (integrují) do veličiny u. Přesněji řečeno, očekáváme, že řešení počáteční úlohy (1.86), (1.87) je tvaru t u(t,x) = / w(t,x,cr)dcr, (1.88) kde w je zatím neznámá funkce; budeme předpokládat, že w je diferencovatelná. Tato myšlenka se nazývá Duhamelův princip. Funkce u definovaná rovností (1.88) splňuje počáteční podmínku (1.87) pro libovolnou funkci w. Funkci w budeme hledat tak, aby funkce u splnila také rovnici (1.86). Podle věty o derivaci integrálu podle parametru platí t t díl ľ dvo díl ľ dvo — (t,x)=w(t,x,t) + I — (t,x,a)da, är^) = / "^ľ^'x'cr)dcr' o o takže po dosazení do rovnice (1.86) dostaneme t dw dw \ -7^-(t, x, cr) — a(t, x)-Q—(t, x, cr) — b(t, x)w(t, x, cr) j der = f(t, x) — w(t, x, t). (1.89) Na výraz w(t, x, cr) se můžeme dívat jako na funkci dvou proměnných t a x s parametrem cr. Pokud tato funkce splní pro každou kladnou hodnotu cr podmínky dw(t,x,cr) dw(t,x,cr) , . ^ „ --- = alt, x)----h bit, x)wit, x, cr), pro t > cr, x g K, ot ox w(cr, x, cr) = f(cr, x), pro iěR, pak splní také rovnost (1.89). Funkce w tedy může být zvolena jako řešení počáteční úlohy pro homogenní lineární rovnici s počáteční podmínkou v okamžiku t = cr. To je stejná úloha jako (1.84), (1.85). Z provedených úvah plyne, že funkci w lze vyjádřit ve tvaru w(t, x, cr) = /(cr, v(t — cr, x)) exp ^ J ď(s, x(s, v(t — c, x)))ds Dosazením do rovnosti (1.88) dostaneme řešení úlohy (1.86), (1-87) } í 7 1 u(t,x)= / /(cr, v(t — cr, x)) exp < / 6(s, x(s, v(t — cr, x)))ds > der = 0 t f(t-cr,v(cr,x))exp< / b(s,x(s,v(cr,x)))ds > der. Řešení nehomogenní rovnice s obecnou počáteční podmínkou je nyní součtem řešení úlohy pro homogenní rovnici s obecnou počáteční podmínkou a řešení úlohy pro nehomogenní rovnici s nulovou počáteční podmínkou. 44 Dostáváme tak závěr: řešení počáteční úlohy (1.80), (1-82) je dáno předpisem i(t,x) = ip(v(t,x)) exp <( / b(s,x(s,v(t,x)))dsj + + / f(t- a,v{a,x)) exp l I b(s, x(s, v (a, x)))ds \ der, kde v = v{t,x) je kmenovou funkcí diferenciálu a(ŕ, x)dr + dx (neboli prvním integrálem rovnice (1.80)) a funkce x(t, ■) je inverzní funkcí k funkci v(t, ■). Ve speciálním případě - konstantním koeficientu u prostorové derivace - můžeme tento výsledek zjednodušit: t t a J b(t — s,x-\-as)ds ľ J b(a—s,x+as)ds u(t, x) = (f(x + ať) e 0 + / f (t — (T, x + acr)e 0 der. Pokud je také funkce b konstantní, dostaneme if(x + at)ebt + / f(t-cr,x + acj)ehad(j = \ ip(x + ať) + I f(t-cr,x + acr)eb(cr_t)d(T ebt. 1.3.2 Okrajové podmínky Přirozeným okrajem oboru fž strukturních proměnných x je jeho hranice díl. Obecněji budeme však okrajem T rozumět (n— l)-rozměrnou nadplochu v Í2, kterou můžeme popsat parametrickými rovnicemi T : xt = Xl(o-1, o-2, ■ ■ ■, er„_i), i = í,2,...,n. Parametry o\, 02, ■ ■ ■ , • R je funkcionál. Promyslete si, že podmínka ve tvaru (1.90) je speciálním případem podmínky (1.91) s c = 0. Příklad. Nechť íl = (0,oo) C1J: (0,oo) —>• R je integrovatelná funkce, a nechť zobrazení ty přiřazuje každé diferencovatelné funkci v : [0, 00) —> R hodnotu 00 ty(v) = v(0) - / /3(s)v(s)ds. o Okrajová podmínka (1.11) v úvodním modelu vývoje věkově strukturované populace je tedy podmínkou tvaru ty(u(t, •)) = 0. I 45 Množina diferencovatelných funkcí definovaných na oboru fž tvoří vektorový prostor nad polem reálných čísel. Pokud také množina B všech funkcí u : J x fž —> R, které splňují okrajovou podmínku tvoří vektorový prostor, řekneme, že okrajová podmínka je homogenní Podrobněji: okrajová podmínka (1.90), resp. (1.91), je homogenní, pokud ji splňuje nulová funkce u = 0 a dále 1. jestliže funkce u splňuje podmínku (1.90), resp. (1.91), pak také funkce au splňuje tutéž podmínku pro libovolné ael; 2. jestliže funkce u, v splňují podmínku (1.90), resp. (1.91), pak také funkce u + v splňuje tutéž podmínku. Pokud je funkcionál 'ř v podmínce (1.91) lineárním zobrazením a c = 0, pak je okrajová podmínka (1.91) homogenní. Je-li funkce ip v podmínce (1.90) nulová, ip = 0, pak je také okrajová podmínka (1.90) homogenní. To jsou obvyklé případy homogenní okrajové podmínky. 1.3.3 Autonomní rovnice df Pokud pravá strana rovnice (1.79) nezávisí explicitně na čase t, tj. pokud — = 0, pak řekneme, že tato rovnice je autonomní Autonomní evoluční parciální diferenciální rovnice prvního řádu je tedy rovnice tvaru Ou — =g(x,u,Vu). (1.92) Autonomní rovnice popisují procesy, které jsou invariantní vzhledem k posunutí v čase. Tuto vlastnost přesněji vyjadřuje následující: Tvrzení 3. Nechť funkce u = u(t,x) je řešením autonomní rovnice (1.92) a to e R je libovolné. Pak funkce v definovaná rovností v(t, x) = u(t + tg, x) je také řešením rovnice (1.92), pro které platí f(0, x) = u(to, x). Důkaz: Nejprve si povšimněme, že pro libovolné i G {1, 2,.. ., n} je dv du a tedy Vi>(t, x) = Wu(t + to, x). Dále, poněvadž funkce u je řešením rovnice (1.92), platí ~gl(t'x) = -Q^{t + to,x) = g(x,u(t + t0,x),Wu(t + t0,x)) = g(x,v(t,x),Wv(t,x)), takže funkce v je také řešením rovnice (1.92). □ Z uvedeného tvrzení plyne, že počáteční podmínku pro autonomní rovnici (1.92) lze bez újmy na obecnosti vždy uvažovat ve tvaru u(0,x) = (f(x), xett. (1.93) Okrajová podmínka pro autonomní rovnici (1.92) je opět tvaru (1.90) nebo obecněji (1.91). Stacionární (nebo rovnovážné) řešení autonomní evoluční rovnice je takové, které nezávisí na Ou čase. Pro stacionární řešení tedy platí — = 0, což vzhledem k (1.92) znamená, že stacionární řešení rovnice (1.92) je funkce u = u(x) definovaná na množině fž, která je současně řešením implicitní diferenciální rovnice g(x, u, \7u) = 0. Strukturně (nebo prostorově) stabilizované řešení autonomní evoluční rovnice je takové, které v průběhu času nemění tvar. Přesněji řečeno, je to takové řešení u = u(t, x), pro které jsou grafy 46 funkcí u{t\, ■), u(Í2, •) podobné geometrické útvary pro každá dvě ŕi,Í2 G J- Ještě jinak řečeno, strukturně stabilizované řešení rovnice (1.92) je řešení tvaru u(t,x) = T(t)X(x), kde T : J —> R, X : íl —> R jsou diferencovatelné funkce. Stacionární řešení autonomní evoluční rovnice je pak strukturně stabilizovaným řešením s konstantní časovou složkou T. Uvažujme nyní speciálně rovnici (1.92) takovou, že její pravá strana je homogenní funkce ve druhé a třetí proměnné; to znamená, že pro všechna kéI, a£Ra^£ R™ platí g(x, na, k/3) = ng(x, a, (3). Prostorově stabilizované řešení u = TX dosadíme do rovnice (1.92) a upravíme její pravou stranu, T'X = g(x, TX, X7TX) = Tg(x, X, VI); přitom ' označuje obyčejnou derivaci podle proměnné t. Předchozí rovnost vydělíme součinem TX a dostaneme V = g(x,X,\7X) T X Výraz na levé straně této rovnosti závisí pouze na nezávisle proměnné t, nikoliv na x, výraz na pravé straně rovnosti závisí pouze na proměnných x, nikoliv na t. Na obou stranách rovnosti je tedy nějaká konstanta; označme ji A. Pro prostorovou složku X řešení u v uvažovaném případě platí g(x, X, VX) = XX. (1.94) Pokud tedy existuje konstanta A, že rovnice (1.94) má řešení X\, pak existuje strukturně stabilizované řešení rovnice (1.92). Přitom časová složka T splňuje rovnici T Řešením této obyčejné lineární homogenní rovnice je funkce daná předpisem T(ť) = eAt. Strukturně stabilizované řešení je proto tvaru u{t,x) = extXx{x). (1.95) Pokud A = 0 a příslušná funkce Xq vyhovují rovnosti (1.94), pak stacionární řešení je dáno vztahem u(t, x) = Xo(x). Příklad. Uvažujme lineární homogenní autonomní rovnici ve dvou nezávisle proměnných s konstantním koeficientem u derivace podle strukturní proměnné du du , . . Tt=a- + b{x)u (1.96) definovanou pro x G R t > 0. Tato rovnice má vždy nulové řešení, které je řešením stacionárním. Navíc pro každé reálné číslo A má obyčejná lineární homogenní rovnice aX' + b(x)X = XX, tj. X' = -X~b(x">x a (nyní ' označuje obyčejnou derivaci podle proměnné x) řešení í l( f X(x) = const ■ exp <--\ Xx — / 6(£)d£ 47 tedy rovnice (1.96) má strukturně stabilizovaná řešení u{t,x) = C*eAtexp l--\\x- I 6(£)d£ a o kde C = u(0, 0). Pro A = 0 je toto řešení stacionární. ■ Uvažujme nyní rovnici (1.92) s okrajovou podmínkou (1.90) nebo (1.91). Strukturně stabilizované řešení této počáteční úlohy definujeme jako strukturně stabilizované řešení rovnice (1.92), které navíc pro každé t splňuje příslušnou okrajovou podmínku. V případě homogenní okrajové podmínky tvaru (1.91) s c = 0 a lineárním funkcionálem 'ř platí 0 = W(T(r)X( •)) = T(t)^(X). Strukturní složka X strukturně stabilizovaného řešení tedy splňuje okrajovou podmínku V(X) = 0. (1.97) Pokud existuje číslo A a k němu existuje nenulová funkce X\ takové, že splňují homogenní podmínku (1.97) a rovnici (1.94) s funkcí h homogenní v proměnných u a Víi, pak má okrajová úloha (1.92), (1.79) prostorově stabilizované nenulové řešení tvaru (1.95). Podívejme se na tento výsledek z obecnějšího hlediska. Množina diferencovatelných funkcí definovaných na množině fž, které splňují homogenní okrajovou podmínku (1.91) tvoří vektorový prostor (podprostor prostoru C1(Í2) diferencovatelných funkcí). Dále máme zobrazení A z tohoto prostoru do prostoru spojitých funkcí definované vztahem A(w)(x) = g(x,w{x), \7w(x)); přitom funkce g je homogenní ve druhé a třetí proměnné. S tímto označením můžeme rovnici (1.94) přepsat do tvaru A(w) = \w. Okrajová úloha (1.94), (1.97) je tak vlastně úlohou najít vlastní číslo a příslušný vlastní vektor operátoru A ve vektorovém prostoru funkcí splňujících okrajovou podmínku. Cvičení V úlohách 1-6 najděte obecné řešení rovnice. 1. x2ux + y2uy = 0 2. (1 + x2)ux + xyUy = 0 uv + z uz = 0 x — y y — x du 2 du 3 du „ du c2^— + x3- ' -ľ1^ ' "fe ' -"fe-''^ " 5. yux - xuy = y2 - x2 6. xuux + yuuy + xy = 0 V úlohách 7-12 najděte řešení okrajové úlohy. 7. 2^ + 3^ = 0, u(0,y)=4y 8. (z - y)ux + (x — z)uy + (y - x)uz = 0, u(0, y, z) = yz 48 9. u(x + u)ux - y (y + u)uy = O, u(í,y) = y/y 10. (x + u)ux + yuy = u + y2, u(x, 1) = x 11. m2 - m2 =m, tt(l,y) = 1 12. mt = — (ux)2, u(0,x) = ax Výsledky ' x-y 1. u(x, y) = $ ,,2 2. ^,^ = $1^^ 3. «(a;, ?/, z) = $(a; + y, (x — y)2 — ln z4) 4. u(a;i,a;2,.. = $--hln^i, —---, -5—3 — — ' 2:2 22:3 X2 íx% 2x 5. «(a;, y) = xy + $(x2 + y2) 6. $ y — ,xy + u J = 0 (implicitní popis) 7. u(x,y) = 4y — 6x 8. u(x,y, z) = xy + yz + zx 9. u(a;,2/) = yS/ / \ a; + iv2 ln y 11. (4m — (a; — 3)2) (Au — (x — l)2) =0 (implicitní popis) 12. u(t,x) = ax — a21 49 50 Kapitola 2 Rovnice druhého řádu Jednorozměrná rovnice difúze / vedení tepla Uvažujme tenký dlouhý válec, v němž proudí kapalina. Poloměr válce je vzhledem k jeho výšce (délce) tak malý, že válec s kapalinou můžeme považovat za jednorozměrný objekt a jeho jediný rozměr (délku) za nekonečný. Osu válce ztotožníme se souřadnou osou x. Představme si, že v proudící kapalině je nějaká látka, která je jednak unášena proudem, jednak v kapalině difunduje. Navíc může probíhat i nějaká chemická reakce - látka se může v kapalině rozkládat nebo tvořit. Množství látky vyjádříme její hustotou (koncentrací); za hustotu budeme považovat hmotnost látky vztaženou k délce úseku válce, na kterém se nachází. Přesněji: označíme-li symbolem u{t,x) hustotu látky v čase ŕ a v bodě x a symbolem m(t, a, f3) množství látky v úseku válce mezi souřadnicemi a a /3, pak budou tyto veličiny vázány vztahy m(t,a, /3) = / u(t, x)dx, u(t,x) lim Aa:->0 m{t, x, x + Ax) Ax Probíhající chemické reakce budeme charakterizovat nějakou veličinou /, kterou můžeme nazvat intenzita reakce a charakterizovat jako množství látky, které se příslušnou reakcí vytvoří (nebo rozloží) za jednotku času v části válce o jednotkové délce. Pokud látka vzniká, je intenzita kladná, / > 0, pokud se rozkládá, je / < 0. Intenzita reakce ovšem může záviset na množství (tj. koncentraci) látky a být v každém bodě a v každém čase jiná, tedy / = f(t,x,u). Pak množství látky, které vznikne (nebo se rozloží) za časový interval [ŕ, t + Aŕ] v úseku válce mezi souřadnicemi a a P je dáno výrazem t+At f3 j f(s, x, u(s, x))dxds; (2-1) t a znaménko tohoto výrazu určuje, zda se jedná o tvorbu nebo rozklad látky. Difúzi vyjádříme veličinou g = g(t,x), kterou nazveme difúzni tok. Můžeme si ho představit jako rychlost difundující částice. Přesněji ho definujeme tak, že množství látky (tj. hmotnost), které se dostane difúzí přes bod o souřadnici x za časový interval [ŕ, t + Aŕ], je rovno t+At J g(s,x)ds; t je-li tato veličina kladná, jedná se o pohyb zleva doprava, je-li záporná, pak o pohyb zprava doleva. Do úseku válce, jehož levý krajní bod má souřadnici a a pravý krajní bod souřadnici /3, se tedy 51 za časový interval [ŕ, í + Aŕ] difúzí dostane přes levý okraj množství látky o hmotnosti t+At g(s, a)ds a přes pravý okraj se z něho dostane množství látky o hmotnosti t+At g(s,fi)ds. Tato interpretace předpokládá, že g(t, a) > 0, g(t, /3) > 0; kdyby tyto nerovnosti nebyly splněny, odpovídajícím způsobem bychom vyměnili slova „do úseku" za „z úseku" a naopak. Celková změna hmotnosti látky v úseku válce od a do /3 způsobená difúzí za časový interval [ŕ, í + A ŕ] tedy je t+At t+At t+At g(s,a)ds- / g(s,fi)ds= / (g(s, a) - g(s, /3))ds. (2.2) Celkovou změnu hmotnosti drogy v úseku žíly od bodu a do bodu /3 způsobenou reakcí a difúzí během časového intervalu [í, í + Aí] můžeme nyní vyjádřit jako součet výrazů (2.1) a (2.2). S využitím Newtonovy-Leibnizovy formule a první věty o střední hodnotě integrálního počtu ji upravíme na tvar t+At 13 t+At f{s,x,u(s,x))áxás+ \ (g(s,a) - g(s,P))ds = t+At / 13 13 f(s,x,u(s,x))dx- j —g(s,x)dx ] ds (f(s,x,u(s,x)) - -^-g(s,x)j dxj ds = (j(t + ůíAt, x, u(t + ůíAt, x)) - ^-g(t + ůíAt, x)^ Aí dx, (2.3) kde ůi G (0,1) je číslo, jehož existence je zaručena první větou o střední hodnotě integrálního počtu. Nyní se budeme zabývat změnou hmotnosti látky ve válci vlivem jejího proudění; tento proces nazýváme advekce. Předpokládejme na okamžik, že délková hustota u unášené látky a rychlost v proudění kapaliny jsou konstantní. V takovém případě je vzdálenost, kterou urazí částice látky od nějakého bodu za časový interval délky Aí, rovna f Aí a celková hmotnost látky, která za tento čas proteče přes uvažovaný bod, je rovna uvAt. V realističtějším případě, kdy hustota u i rychlost proudění v závisí na čase a na místě, je celkové množství látky, které proteče přes bod x, dáno stejným součinem, ovšem funkce u a v vyčíslíme v nějaké „mezihodnotě" dvojrozměrného intervalu [í, í + Aí] x [x, x + Ax], kde Ax = vAt. Toto množství (hmotnost) je tedy dáno výrazem u(t + /iiAí, x + h2Ax)v(t + /iiAí, x + h2Ax)At, kde hi,h2 G [0,1]. Avšak podle věty o střední hodnotě platí u(t + /iiAí, x + h2Ax)v(t + hxAt, x + h2Ax) = u(t, x)v(t, x) + h3At, 52 kde /13 je nějaká konstanta1. Celková hmotnost látky, která proteče přes levý krajní bod a uvažovaného úseku válce během časového intervalu [ŕ, ŕ + A ŕ] je tedy dána výrazem u(t,a)v(t,a)At + ů2(At)2, (2.4) kde ů2 je nějaká konstanta. Analogicky, hmotnost látky, která proteče během uvažovaného časového intervalu přes pravý krajní bod /3, je dána výrazem u(t,p)v(t,p)At + vl3(At)2. (2.5) Pokud je rychlost v proudění kladná, tj. kapalina proudí zleva doprava, přiteče do úseku s krajními body a, přes levý krajní bod celková hmotnost látky (2.4) a odteče z něho přes pravý krajní bod látka o hmotnosti (2.5); pokud by rychlost byla záporná, tj. kapalina by proudila zprava doleva, zaměníme slova „přiteče" za „odteče" a naopak. Změna hmotnosti látky za časový interval [ŕ, ŕ + Aŕ] v úseku válce od bodu o souřadnici a po bod o souřadnici /3 způsobená advekcí je rovna rozdílu u(t, a)v(t, a)At + ů2(At)2 - (u(t, j3)v(t, j3)At + ů3(At)2) = = (u(t,a)v(t,a) -u(t,/3)v(t,l3))At + Ů4(At)2, kde Ů4 = ů2 — ů3. Tento rozdíl můžeme pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule vyjádřit ve tvaru dx d —u(t,x)v(t,x)dx I At + ůA{Ať)2. (2.6) Celková změna hmotnosti drogy v uvažovaném úseku žíly za čas od t do t + Aŕ je součtem výrazů (2.3) a (2.6), 5(t,a,j3,Ai) = (^f(t + $1At,x,u(t + ů1At,x)) - ^-(g(ŕ + ?9iAŕ,aľ) - u(t,x)v(t,x)Ýj Aŕ dx+ a + ů4(At)2. Ze zákona zachování hmoty nyní můžeme vyjádřit celkovou hmotnost látky v úseku válce od a po /3 za časový interval délky Aŕ fí fí u(t + Aŕ, x)dx = / u(t, x)dx + ó(t, a, /3, Aŕ). Po dosazení a zřejmé úpravě dostaneme fu(t + Aŕ,x) — u(t,x) d , , „ . . , , , ,> { —At— + m (ff(í + 1 'x)+u{t'x)v{t'x)) ~ - f (t + ůxAt, x,u(t + ůxAt, x))^j dx = ů4At d d -'-Tuto konstantu lze podrobněji vyjádřit výrazem /13 = —uv + v — uv, kde hodnoty funkcí u, v jsou vyčísleny dt dx v nějakém bodu dvojrozměrného intervalu [i, i + At] x [x, x + Ax]. 53 a limitním přechodem Ar —> 0 (í ( d d d \ [ dtU^'X^ + 'ďx9^'X^ + 'dxU(t' x^v^' x^ ~ (*' x' x)) j dx = °- Usek válce od souřadnice a do souřadnice p byl vybrán libovolně, stejně tak i časový okamžik t. To znamená, že pro všechna x a všechna t musí platit d d d —u(t,x) = -—g(t,x) - —v(t,x)u(t,x) + f(t,x,u(t,x)). (2.7) Tato relace váže neznámou funkci u (hustotu) a neznámou funkci g (difúzni tok), intenzita / probíhající chemické reakce je dána charakterem reakce. Potřebujeme tedy ještě nějak funkci g určit. Předpokládejme tedy, že difúzí se částice přesunuje z místa s větší koncentrací na místo s koncentrací menší (to je předpoklad celkem přirozený) a že rychlost difundující částice je přímo úměrná rozdílu koncentrací (přesněji gradientu, tj. derivaci koncentrace). Tento předpoklad bývá nazýván Fickův zákon. Tedy d g(t,x) = -D—u(t,x). dx Kladný koeficient úměrnosti D se nazývá difuzivita; může se měnit s časem i s místem, tedy D = D(t,x). Dosazením do rovnosti (2.7) dostaneme rovnici reakce-advekce-difúze d d í d \ d diu=dx' \D(í'x)d^uJ ~ ä^*'x)u + /(í'X}u)' (2'8) Tato rovnice má být splněna pro každý čas t > 0 a každý bod x G M. K rovnici přidáme počáteční podmínku vyjadřující koncentraci difundující látky v počátečním čase t = 0 u(0,x) = (f(x), (2.9) která má platit pro každé i£R. Speciální případy a okrajové podmínky Budeme nyní předpokládat, že uvažovaná látka v kapalině nereaguje, tj. / = 0, kapalina je homogenní, v čase se nemění, tj. D(t,x) = a2 = const, a proudí konstantní rychlostí v(t,x) = const. Obecnou rovnici reakce-advekce-difúze (2.8) tak můžeme zjednodušit na rovnici advekce-difúze s konstantními koeficienty d d2 d mu = a2^2U-vYxu- (2'10) V tomto případě můžeme prostorovou souřadnici transformovat - zavést novou souřadnou soustavu, která je „unášena rychlostí t>". Zavedeme tedy novou prostorovou souřadnici £ vztahem £ = x — v t. Pak podle řetězového pravidla pro výpočet parciálních derivací složených funkcí platí d d dt d d£(t x) d d -u(t, £) = -u(t, £(í, x)) = -u(t, £(í, x)) - + j-u(t, £(í, x)) -^-L = -u(t, £) - v—u(t, £) d_ i analogicky a stručněji (bez psaní nezávisle proměnných) du du dt du d£ du d2 d ídu\ d2 dx dt dx d£ dx d£' dx2 dx \d£ J d£2 54 Dosazením do rovnice (2.8) dostaneme rovnici difúze du 9<92w „ „N Tt=aW (2'n) Tato rovnice vlastně modeluje difúzi látky v neproudící kapalině, případně difúzi plynu v nějakém dlouhém válci naplněném vzduchem nebo jiným plynem. Také si můžeme uvědomit, že vedení tepla v tělese je proces analogický difúzi - teplo také přechází z místa teplejšího na chladnější a přechod tepla můžeme považovat za úměrný teplotnímu spádu (tj. gradientu nebo derivaci teploty) a orientovaný opačně. Jinak řečeno, Fickův zákon popisuje i vedení tepla. Proto se rovnice (2.11) nazývá také rovnice vedení tepla. V takovém případě interpretujeme hledanou funkci u = u(t, x) jako teplotu malého okolí bodu x (malého kousku tyče, v níž je teplo vedeno) v čase t. Poněkud přesněji vyjádřeno: v časovém okamžiku t je celková tepelná energie úseku tyče od bodu se souřadnicí a po bod se souřadnicí /3 dána výrazem u(t, x)dx, f3 — a a kde k = 1,38 • 10_23JK_1 je Boltzmanova konstanta. Zatím jsme neuvažovali o délce trubice, v níž probíhá difúze. Jedna z možností je uvažovat ji tak dlouhou, že „na její konec nedohlédneme", matematicky řečeno, pravý konec oboru, na němž difúze probíhá je v nekonečnu. Ale i v tak dlouhé trubici budeme uvažovat jen konečné množství látky. Tuto podmínku vyjádříme tak, že u(t,x)dx < oo; (2.12) přitom xq je nějaké číslo. Tato podmínka říká, že uvedený nevlastní integrál konverguje, neboť hustota u je nezáporná. Odtud dále plyne, že lim u(t, x) = 0 x —>oo pro každý čas í, neboť funkci u považujeme za spojitou. Podmínka (2.12) se nazývá podmínka integrability nebo integrovatelnosti. Pravý konec válce (trubice, žíly) však může být v nějaké konečné vzdálenosti, mít konečnou souřadnici xq. Tento pravý konec může být pro difundující látku uzavřený, žádná přes něj neprostupuje, tedy Fin j-(t,x0) = 0 (2.13) ox pro každý čas t. Jiná možnost je, že na tomto konci je nějak dán tok (probíhá na něm nějaký proces, který tok určuje). Ten se může v čase měnit. Dostáváme tak podmínku Fin ^(t,x0) = v(ť). (2.14) Podmínky tvaru (2.13) nebo (2.14) se nazývají Neumannovy okrajové podmínky. Jiná možnost je, že na pravém otevřeném konci válce se látka rozptyluje do volného prostoru. V takovém případě je napravo od krajního bodu xq koncentrace (prakticky) nulová a tok, tj. derivace hustoty podle prostorové proměnné, je podle Fickova zákona úměrný koncentraci nalevo od bodu xq (uvnitř válce). Tedy du — (t,x0) = -hu(t,x0) (2.15) pro každé t; přitom h je kladný koeficient úměrnosti (převrácená hodnota „difusivity přes hranici"). V okolním prostoru ale nemusí být jen nulová koncentrace látky. Napravo od krajního bodu 55 xq může koncentrace mít v každém okamžiku t nějakou hodnotu /i(í) nezávislou na koncentraci v trubici, např. v důsledku nějakého vnějšího probíhajícího procesu. V takovém případě je difúzni tok přes hranici úměrný rozdílu koncentrací nalevo a napravo od hranice, tedy — (t,x0) = -h(u(t,x0)-n(t)). (2.16) Podmínky tvaru (2.15) nebo (2.16) se nazývají Robinovy okrajové podmínky. Pokud rovnici (2.11) interpretujeme jako model vedení tepla v dlouhé tenké tyči (drátu) po stranách tepelně izolované, můžeme na jejím konci udržovat nulovou teplotu (konec tyče přiložíme k ledu). V takovém případě dostaneme podmínku u(t,x0) = 0 (2.17) pro každý čas t. Nebo teplota na konci tyče může být určována nějakým vnějším nezávislým procesem; pak dostaneme podmínky tvaru u(t,x0) = n(t)- (2-18) Podmínky (2.17) a (2.18) se nazývají Dirichletovy okrajové podmínky. Podmínky (2.13), (2.15) a (2.17) můžeme zapsat jednotným způsobem au(t,x0)+P7-(t,xo) = 0; (2.19) ox pro a = 0, P = 1 se jedná o podmínky Neumannovy, pro a = h, P = 1 o podmínky Robinovy a pro a = 1, P = 0 o podmínky Dirichletovy. Podobně i podmínky (2.14), (2.16) a (2.18) můžeme souhrnně zapsat ve tvaru au(t,xo)+P7-(t,x0) = g(t). (2.20) ox Podmínky (2.19) a (2.20) nazýváme Robinovy okrajové podmínky. (Ve starší evropské nebo ruské literatuře tyto byly podmínky nazývány Newtonovy okrajové podmínky.) Analogicky můžeme zformulovat okrajové podmínky pro levý okraj oboru, na němž modelujeme difúzi nebo vedení tepla. Jediný rozdíl je v Robinových podmínkách, kde se změní znaménko u koeficientu h. Obor prostorové proměnné x ale nemusí žádné okraje mít, může jít o nějaký uzavřený prstenec. V takovém případě po proběhnutí celého prstence (uzavřené křivky) se dostaneme do stejného bodu, koncentrace látky v něm musí být stejná. Trochu přesněji: označíme-li délku křivky £, pak v každém časovém okamžiku t musí platit u(t,x) = u(t,x + £) (2.21) pro libovolnou hodnotu x. Podmínku (2.21) nazýváme podmínka periodičnosti nebo periodická okrajová podmínka. Ještě si všimněme jedné skutečnosti. Pokud nějaké funkce u\,U2 splňují některou z podmínek (2.12), (2.21) nebo (2.19), pak také libovolná lineární kombinace těchto funkcí splňuje stejnou podmínku. Podmínky (2.12), (2.21), (2.19) splňují princip superpozice a proto je souhrnně nazýváme homogenní okrajové podmínky. Nejjednodušší řešení Uvažujme jednoduchou situaci: v jednom bodě (který můžeme považovat za počátek souřadnic) do kapaliny v počátečním okamžiku „umístíme" nějaké množství A látky, která se bude v neproudící kapalině šířit difúzí. Vývoj koncentrace difundující látky bude popsán rovnicí du 9 d2u m - = a2 —, t>0,xeR. (2.22) 56 V průběhu procesu žádnou látku z kapaliny neodebíráme, ani ji do ní neřidáváme, její množství je stále stejné jako na začátku. Musí tedy platit j u{t,x)áx = A pro všechna t > 0. (2.23) — oo Tato rovnost však musí platit i na počátku, v čase t = 0, tj. oo A = / u(0,x)dx. Přitom ale předpokládáme, že na počátku je hustota nulová všude s výjimkou bodu x = 0, neboť veškerá látka je koncentrována v jediném bodě. Hustotu na počátku tedy při této idealizaci nemůžeme považovat za „normální" reálnou funkci a poslední integrál za „normální" integrál (Rie-mannův nebo nějaký obecnější). Počáteční rozložení látky, její „distribuci" (v hovorovém významu tohoto slova), budeme považovat za distribuci ve smyslu Dodatku A. Počáteční podmínku pro rovnici (2.22) tedy napíšeme ve tvaru u(0,x) = AS(x), xeR, (2.24) kde S je Diracova distribuce. Pokusíme se „uhodnout" řešení rovnice (2.22) s počáteční podmínkou (2.24). Můžeme si představovat, že difúze probíhá tak, že jednotlivé molekuly látky se náhodně pohybují a že pravděpodobnost pohybu nalevo je stejná jako pravděpodobnost pohybu napravo. Koncentrace látky po jistém čase by tedy mohla mít tvar normálního (Gaussova) rozložení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0. Rozptyl se však s časem mění - na počátku je nulový a s postupem času se zvětšuje. Pro rozptyl a2 = cr(ť)2 tedy platí cr(0) = 0. (2.25) Řešení rovnice (2.22) s počáteční podmínkou (2.24) tedy budeme hledat ve tvaru 1 u(t, x) = A-=-e 2-(')2 . ^ ' V^cr(í) Z vlastností rozložení pravděpodobností je vidět, že při této volbě v každém čase t platí oo oo / u(t,x)dx = A / -==-e~ ^o2 dx = A, J V ' J y/Ť^a(ť) /2Ťřcr(r) — oo —oo takže podmínka (2.23) je splněna. Má být splněna také rovnice (2.22). Proto vyjádříme t *> = £ (-^'(í»+ W) ("T (-2'<""> -,(í»)) ^ = = -7=e -<"2 2 (x2 - 0, tj. funkce A, B, C nejsou současně nulové. Pro každý bod (x, y) G G můžeme zavést matici M^V)-{B(x,y) C(x,y))- Tato matice je evidentně symetrická. Nechť (x0,y0) G G. Rovnice (2.27) se nazýva hyperbolická v bodě (xo,yo), je-li matice M(aľo,yo) indefinitní, parabolická v bodě (xo,yo), je-li matice M(aľo,yo) pozitivně nebo negativně semidefinitní, 58 eliptická v bodě (xo,yo), je-li matice M(aľo,yo) pozitivně nebo negativně definitní. Rovnice (2.27) se nazývá hyperbolická, resp. parabolická, resp. eliptická, na otevřené množině H Q G, je-li hyperbolická, resp. parabolická, resp. eliptická, v každém bodě množiny H. Ze známých vět z lineární algebry plyne, že rovnice (2.27) je hyperbolická parabolická eliptická B(x0,y0)2 > A(x0,y0)C(x0,y0), > v bodě (x0,y0) G G právě tehdy, když { B(x0,y0)2 = A(x0,y0)C(x0,y0), B(x0,y0)2 < A(x0,y0)C(x0,y0). 2.1.1 Charakteristiky a kanonický tvar rovnice Budeme hledat transformaci nezávisle proměnných, která rovnici (2.27) převede na nějaký jednodušší tvar; v ideálním případě na takový, aby bylo možné najít nějaké její řešení. Nechť H C G je otevřená množina. Buďte dále p, tp : H —>• R takové funkce, že px(x,y)tpy(x,y) - py(x,y)tpx(x,y) ^ 0 pro všechna (x,y) G H. Pak transformace £ = tp(x,y), V = ^(x,y) (2-28) bijektivně zobrazí množinu H na otevřenou podmnožinu R2 a rovnici (2.27) transformuje na tvar (využíváme formule pro druhé parciální derivace složené funkce) a(L v)uíí + 2b(L v)uín + c(£, i])unn = F(£, tj, u, u^, un), (2.29) kde 2 Api + 2Bpxpv + Cpy = py \A (-^) - 2B (-^) + G j , ApXljjX + B(px1py + Py1pX) + Cpylpy, (2.30) 2 c = Ayj2x + 2Byjxyjv + Cyj2y=yj2y[A[-^) -2B[-^)+C naznačenou úpravu výrazu pro funkce a nebo c lze samozřejmě provést pouze v případě, že py =/= 0 nebo tpy 7^ 0. Při hledání inversní transformace k transformaci (2.28) řešíme soustavu rovnic (2.28) pro neznámé x, y. Přitom první, resp. druhou, z rovnic je implicitně dána funkce y\ = y\{x), resp. V2 = y2{x), pro jejíž derivaci platí , x Vi =--, resp- V2 = —r Py iPy (podle vzorce pro derivaci implicitně zadané funkce, viz např. Z Došlá, O Došlý: Diferenciální poěet funkcí více proměnných. MU 1999, str. 96). Obyčejná diferenciální rovnice v implicitním tvaru (nerozřešená vzhledem k derivaci) A{x>v) (S) -2B(^y)^ + c(^y) = o (2.3i) se nazývá charakteristická rovnice parciální diferenciální rovnice (2.27). Její řešení se nazývají charakteristiky této rovnice. 59 Z předchozích úvah je vidět, že platí: Je-li rovnice (2.27) hyperbolická, má dvě jednoparamet-rické množiny charakteristik, které jsou řešeními obyčejných diferenciálních rovnic , B(x, y) +^{B{x, y)Y - A(x, y)Čfayj , B(x, y) -^{B{x, y))* - A(x, y)Čfay) y =---—-r- a y =---—---. A(x,y) A(x,y) (2.32) Je-li rovnice (2.27) parabolická, má jednu jednoparametrickou množinu charakteristik, která je řešením obyčejné diferenciální rovnice , B(x,y) y=Ä&v)- (2'33) Je-li rovnice (2.27) eliptická, nemá reálné charakteristiky. Jsou-li ip(x,y) = const a ip(x,y) = const implicitní popisy řešení obyčejných diferenciálních rovnic (2.32), tedy charakteristik hyperbolické rovnice (2.27), pak a (fy li!. v jsou kořeny charakteristické rovnice (2.31), takže v (2.30) dostaneme a = c = 0. Kanonický tvar hyperbolické rovnice (2.27) je Příklad Uvažujme rovnici ^-»v=o- (2-34) V této rovnici je A{x,y) = x2, B{x,y) = 0, C{x,y) = —y2. To znamená, že pro každou dvojici (x, y) e M2 takovou, že xy ^ 0, platí B(x, y)2 = 0> -x2y2 = A(x, y)C(x, y) a rovnice je tedy hyperbolická na vnitřku každého z kvadrantů. Charakteristická rovnice příslušná k rovnici (2.34) je tvaru 2 (áy \2 2 n ^dx / Z ní vyjádříme derivaci a dostaneme dvě explicitní rovnice ^y =±y dx x' které mají separované proměnné a jejich řešení jsou implicitně dána rovnostmi ln \y\ =p ln |x| = const. Charakteristiky tedy splňují rovnosti if(x,y) = xy = const, if)(x,y) = — = const. x Zavedeme proto nové nezávisle proměnné £, n vztahy Š = xy, ??=-■ (2.35) x 60 Uvnitř prvního kvadrantu je x > 0, y > 0 a pro tyto hodnoty je také £ > 0, rj > 0. Transformace (2.35) tedy převádí vnitřek prvního kvadrantu na sebe. Inversní transformace je dána rovnostmi Dále platí d£ v/£~~ d£ / £ dr/ y ířj dr] 1 ířj dx ' dy \ v' 9x x2 \ dy x y £ takže podle řetězového pravidla je du du d£ ^ du dr] r^-du ířj du dx i9£ dx drj dx ^i9£ ^dr/1 d2u d / r^-du ířj du\ 9£ ^ d / r^-du ířjdu\ drj dx2 9£ V d£ \ £ dr] J dx dr] \ <9£ \ ^ dr] J dx (1 ířj du r—d2u 1 ry ířj du ířj d2u \ /— = Uvě^ + V^ + 2£Vě^_í?VěW Veí? + M /£<9w r—d2u 3 /ít"i9m ířjd2u\í ířj\ _ ^ 92m ^ 2 ^2?i _|_ í?3 ^2?i _|_ ^M d£2 i9£i9í7 £ dr]2 £ Č3r/' du du d£ du dr] £ du ířjdu dy <9£ <9y dr] dy y r? <9£ y Č, dr]' d2u dy2 d_ 9£ /£ 77 <9£ 77 9m £ 9r/ 1 9m ^ 9£ I £ du ířj du \ dr] r] <9£ \ í dr] j dy I £ <92w 1 /ř/ <9w fřj d2 \ di dy d_ dr] 1 2£ 2í71 /£ du r] <9£ Tyto výrazy dosadíme do rovnice (2.34) i v a upravíme * d2u n - d^dt] rf d2u £ drj2 r] du £ dr] íl d2u £ dr]d^ J y r/ r/ (9£(9?7 1 9m £77 dr] r] d2u ^rj2 du £ dr] - Íri £ď2M r/ d£2 £ or?2 £ď2M r] i9£2 d^dt] d^dt] r] d2u £ d?72 r/ 92m £ d?72 = 0 -4£?? d2u d£dr] 2 ^U dr] d^dr] 0, 1 du 2£ dřj' 61 díl Tato rovnice je kanonickým tvarem dané rovnice (2.34). Zavedeme v ní substituci v = — a on dostaneme dv 1 d£ = 2£,V' Tuto parciální diferenciální rovnici můžeme považovat za obyčejnou, neboť se v ní objevuje jediná derivace podle proměnné £. Řešení této obyčejné lineární homogenní rovnice je v = \/Č(p(n); přitom (p je „integrační konstanta", která nezávisí na proměnné £, ale může záviset na proměnné n. Dostáváme tak rovnost | = ^(,>. kterou zintegrujeme podle proměnné 77 a dostaneme Funkce <ř je primitivní k funkci (p a funkce W je „integrační konstanta", která může záviset na nezávisle proměnné £. Návratem k původním proměnným dostaneme obecné řešení rovnice (2.34) ve tvaru u{x, y) = y/xy$ (y^J + i&(xy); přitom <í>, W jsou libovolné dvakrát diferencovatelné funkce jedné proměnné. ■ Je-li rovnice (2.27) parabolická, pak je B2 = AC. Pokud je v tomto případě řešení rovnice (2.33) implicitně zapsáno rovností ip(x,y) = const, pak v rovnostech (2.30) dostaneme c = 0 a platí ipx B . , B -~y=Ä' *-^ = -Ä^ Je-li tedy (p(x, y) libovolná funkce nezávislá na funkci ip, pak v rovnostech (2.30) dostaneme / B \ ( B2\ AC — B2 b = -B(fxll)y + B í (fxll)y - -^fytPy } + Cífytpy = [C ^ ^V^V = -^-f V ^ V = 0" Většinou stačí volit ip(x,y) = x nebo ip(x,y) = y. Kanonický tvar parabolické rovnice (2.27) je Příklad Uvažujme rovnici 2d2u d2u 2d2u du du x ~ 2xyinr + y in + xir + y~ň~ = °- ox* oxoy Oy^ Ox Oy V této rovnici je A(x, y) = x2, B{x, y) = —xy, C{x, y) = y2, takže B(x, y)2 = x2y2 = A(x, y)C(x, y) a rovnice je parabolická. Příslušná charakteristická rovnice je tvaru 2 (áy \2 , o áy , 2 n (pozor na znaménko koeficientu u první derivace). Z charakteristické rovnice vyjádříme dy _ y dx x 62 Tato obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými má řešení dané implicitně rovností xy = const. Zavedeme tedy nové nezávisle proměnné £, r/ vztahy Pak je dále Í = V, r/ = xy. _ V _ ř £!Í _ n — i — e dr/ _ r/ 4 dx dy dx dy £ du ^du du du ^ rj du dx dr/' dy 9£ £ dr]' d2u ^2.d2u d2u ^2 ^2?i _|_ ^2?i _|_ ®u d2u d2u _|_2^ ^2?i + ^2 ^2?i (9x2 dr]2' (9xi9y c^dry ^ dr/2 dr/' dy2 9£2 £ (9£i9í7 £2 ôry2 Po dosazení do rovnice a úpravě dostaneme kanonický tvar dané rovnice d2u 1 du W = ~£ d£' Tuto rovnici můžeme považovat za obyčejnou diferenciální rovnici, neboť se v ní vyskytují derivace podle jediné proměnné £. Položíme du a dostaneme cfc 1 Tato rovnice má řešení takže Integrací podle proměnné £ dostaneme u = (r/) ln£ + ^(í/). Návrat k původním proměnným dá řešení dané rovnice ve tvaru u(x,y) = <&(xy)\ny + ty(xy), kde $ a$ jsou dvakrát diferencovatelné funkce jedné proměnné. ■ 2.2 Lineární parabolická rovnice s konstantními koeficienty Budeme se zabývat lineární parabolickou rovnicí ve dvou nezávisle proměnných s konstantními koeficienty, která je tvaru A2^ + 2ACp^- + C2^ + Dp+E^+Fu = f(x, y), (2.36) dx2 dxdy dy2 dx dy kde A,C, D, E, F jsou reálné konstanty takové, že \ A\ + \C\ > 0. Pokud je funkce / na pravé straně rovnice nulová, mluvíme o homogenní rovnici, v opačném případě o nehomogenní. Rovnice (2.36) je parabolická v celé rovině W2. 63 2.2.1 Kanonický tvar Charakteristická rovnice dy = C dx A příslušná k rovnici (2.36) má řešení implicitně dané rovností Cx — Ay = const. Transformace nezávisle proměnných Í = x, r) = Cx — Ay převede rovnici (2.36) na tvar +D% + (CD AE)% + Fu = /K. V) (2-37) (symboly f (x, y) a f (Í,r/) chápeme jako obrazy bodu, který má v původní soustavě souřadnice (x, y) a v transformované (£, r/), nikoliv jako předpisy pro výpočet funkční hodnoty). Je-li CD = AE, můžeme rovnici (2.37) považovat za obyčejnou - na hledanou funkci u se dívat jako na funkci jedné nezávisle proměnné £ s parametrem rj. Je to lineární rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, tedy rovnice řešitelná v kvadraturách. Předpokládejme, že CD ^ AE a označme A2 b= D c= F mv)= hm CD-AE' CD-AE' CD - AE' J ^' " CD - AE Rovnici (2.37) tedy přepíšeme ve tvaru d2u du du . adť+bdž+fr]+cu = f^v)- (2-38) Tuto rovnici ještě dále upravíme. Zavedeme novou neznámou funkci v = v(£,??) vztahem v(£, rj) = exp ^£ + - r^j w(£, rj). Pak platí du ( dv b \ ( b í b2 du (d2v b dv b2 \ ( b „ Ti = [W~ TaTi + ^v)exp{-2-J-{c--^ du (dv ( b2\ \ ( b . Po dosazení do rovnice (2.38) a snadné úpravě dostaneme rovnici pro neznámou funkci v ve tvaru d adě + Trí=g[Lll)' (2'39) kde g(Í, rj) = /(£, rj) exp (J?~Í + - rj Rovnici (2.39), v níž se vyskytuje jediný parametr a prohlásíme za kanonický tvar lineární parabolické parciální diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty. (c b2" \c~ 4a / b2 N 4a, 64 2.3 Evoluční rovnice (rovnice difúze, rovnice vedení tepla) Evoluční parciální diferenciální rovnice je taková, v níž jednu z nezávisle proměnných interpretujeme jako čas. Budeme se nyní zabývat rovnicemi, v nichž je derivace hledané funkce podle času prvního řádu. Uvažujme tedy lineární homogenní parabolickou evoluční parciální diferenciální rovnici s konstantním koeficientem v kanonickém tvaru du d2u . . äi = aäŕ- (2'40) Snadno ověříme, že tato rovnice splňuje princip superpozice, tj. funkce u = 0 je jejím řešením a lineární kombinace jejich řešení je řešením. Vskutku, jsou-li funkce u\ = u\{t,x), u2 = u2(t,x) takové, že dui d2ui du2 d2u2 dt dx2 ' dt dx2 a ci,c2 jsou libovolné konstanty, pak d , \ dui du2 d2ui d2u2 d2 di (ClMl + C2U2^ = Cl^r+C2^r =cia^+C2a^ = ad^2ÍClUl+C2U2)- Znaménko koeficientu a souvisí se „směrem plynutí času". Vyjádříme to poněkud přesněji: Uvažujme čas t, který „plyne opačným směrem", tj. t = —t. Pak dr _ _ dí ďT ~~ ~~ ďř' Pro řešení u = u{t,x) rovnice (2.40) platí d du dí du d2u dr dt dr dt dx2 To znamená, že změna znaménka konstanty a představuje nahrazení času plynoucího z přítomnosti do budoucnosti časem plynoucím z přítomnosti do minulosti. Dále se budeme věnovat pouze rovnicím s kladným koeficientem a. Můžeme ho proto psát ve tvaru druhé mocniny. Jinak řečeno, budeme se věnovat rovnici difúze neboli rovnici vedení tepla, sr. (2.11). Řešení rovnice jsme dosud chápali v obvyklém intuitivním významu: řešením rovnice je funkce, která tuto rovnici splňuje ve všech bodech svého definičního oboru. Toto pojetí nejprve mírně rozšíříme. Za řešení homogenní evoluční parabolické rovnice du ryd2u . äí = flV< (2-41) pro t > 0 a x G J, kde J je nějaký otevřený interval reálných čísel, budeme považovat funkci u = u{t,x) definovanou na množině H = (0,oo) x J, která splňuje rovnici pro skoro všechna (t,x) G H. Podrobněji řečeno, první derivace funkce u podle času a druhá derivace funkce u podle proměnné x jsou integrovatelné na každé kompaktní podmnožině množiny H (zejména tedy množina bodů, v nichž některá z derivací neexistuje, má míru nula) a pro každou dvojici intervalů (h,t2) C (0,oo), (a,(3) C J platí du(t,x) 2d2u(t,x)\ dt a ďšč2 = Řešení nehomogenní evoluční parabolické rovnice du 2 d2u 65 zavádíme analogicky. Řešení evoluční parabolické rovnice s počáteční podmínkou u(0,x) = (f(x) (2.43) pro x G J je takové řešení u = u(t, x), že lim u(t, x) = ld(x) pro skoro všechna x G J. 2.3.1 Nehomogenní rovnice Nehomogenní rovnici (2.42) s nulovou počáteční podmínkou u(0,x) = 0 (2.44) můžeme interpretovat jako popis změny teploty v dlouhé tenké tyči, která měla na počátku teplotu nulovou a je v každém čase t > 0 a každém bodě x G J zahřívána nějakým zdrojem s „intenzitou" f(t, x). Tato představa napovídá, že teplota tyče v čase t je určena množstvím tepla, které se v ní ze zdroje naskládalo, nasčítalo, naintegrovalo za časový interval od 0 do t. Trochu přesněji řečeno, budeme předpokládat, že řešení takové počáteční úlohy je dáno integrálem t u(t,x)= J w(t,x,cr)dcr, (2-45) o kde w je nějaká, zatím neznámá funkce tří proměnných. Tato myšlenka je známa jako Duhamelův princip. Funkce u definovaná rovností (2.45) splňuje počáteční podmínku (2.44). Dále pro ni platí t t =)2 r r Qiw d2u d2 f f dx^{t'x)=d^2Jw{t'X''7)d'7 = J d x2 (t, x, er)der, a podle věty o derivaci integrálu závislého na parametru platí t t dii d ľ ľ Ow 'dt o a x G J, w{a, x, a) = /(cr, x), pro x G J. 66 Zdůrazněme ještě, že z provedených úvah nijak neplyne, že by řešení úlohy (2.42), (2.44) nutně muselo mít tvar daný rovností (2.45) a dále rovnostmi (2.46). Pouze jsme ukázali, že pokud bude funkce w splňovat rovnosti (2.46), pak funkce (2.45) je řešením úlohy (2.42), (2.44). Proto vyvstává otázka, zda neexistuje i nějaké jiné řešení úlohy (2.42), (2.44). Problematice jednoznačnosti řešení se nebudeme věnovat obecně, ale až později pro rovnice s různými speciálními doplňujícími podmínkami. Nehomogenní rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.43) má řešení u = u{t, x), které je tvaru u(t,x) = v(t,x) + w(t,x), (2.47) kde funkce v je řešením homogenní rovnice (2.41) s počáteční podmínkou (2.43) a funkce w je řešením nehomogenní rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.44). Jinak řečeno, řešení počáteční úlohy pro nehomogenní rovnici je součtem řešení homogenní rovnice s původní počáteční podmínkou a nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou. Vskutku, d d d d2 d2 —u(t, x) = -~v{t, x) + -~w{t, x) = a2—v(t, x) + f (t, x) + a2—w(t, x) = ot Ot Ot Oxz oxz a d2 d2 u(0, x) = v(0, x) + w(0, x) = ip(x) + 0 = p(x) funkce u = v + w tedy splňuje rovnici (2.42) i počáteční podmínku (2.43). 2.3.2 Parabolická rovnice na kružnici Budeme řešit nehomogenní parabolickou rovnici (2.42) pro í>0aieMs počáteční podmínkou (2.43). O počáteční funkci p a „prostorové části" nehomogenity f (t, •) budeme předpokládat, že mají stejnou periodu £. Budeme požadovat, aby řešení splňovalo periodickou podmínku (2.21). Obor prostorové proměnné x tedy můžeme chápat jako kružnici délky £, tj. kružnici o poloměru Takto formulovanou úlohu lze interpretovat jako model difúze v trubici délky £ stočené do prstence. Víme, že každou po částech spojitou funkci p s periodou £ můžeme vyjádřit jako trigonometrickou Fourierovu řadu ao / 2/j7T . 2/j7T , I _ , L _x ip(x) = — + I ak cos ——x + bk sin —— í fe=i kde £ £ 2 ľ 2kn 2 ľ 2kn ak = jj ^(Ocos— £d£, k = 0,í,2,..., bk = -J ý(Z)sm—td£, k = l,2,.... o o Řešení úlohy budeme hledat ve tvaru Fourierovy řady. Tento postup se nazývá metoda Fourierových řad. Nechť tedy pro skoro všechna x e M a všechna t > 0 platí . , $o 2/jtt . 2kir p{x) = — + I $fc cos ——x + Wfe srn ——x k=l ^ ,/ , F0(t) 2,. .. ,b\,b2, ■ ■ ■ jsou zatím neurčené funkce jedné proměnné. Platí du a' (t) ( 2kn 2kn -řz(t, x) = + J2 ( a'k(t) cos —x + b'k(t) sin —x k=l ^ ? 00 / n í \ 2 . . / 2/J7T \ / . . 2/J7T , . . . 2/J7T (í^) = ( ~T~ ( afe(í)cos—x + 6fe(ŕ)sm—x k=l v symbol ' přitom označuje obyčejnou derivaci podle proměnné t. Uvedené řady formálně dosadíme do rovnice (2.42) a počáteční podmínky (2.43), k=l + ( — ) Ofe(í) J cos— x+ \b'k(t)+ í —— J 6fe(í) 1 srn— x fe=l ^ ao(0) >^ / 2kn , . . . 2kn \ $0 ^ / 2/jtt t . 2kn -^ + Zľ («fe(0)cos— x + Ďfe(0)sm— xj = -f + z2 " fe=i ^ ' fe=i Věta o jednoznačnosti Fourierových řad říká, že rovnají-li se součty dvou Fourierových řad, pak se rovnají také jejich koeficienty Odtud plyne, že pro funkce ciq, a\, a2,... ,b\,b2, ■ ■ ■ musí platit a'0(t) = F0(t), a0(0) = $0, / 2kira \ 2 + —T- a*(*) = Fk(t), ak(0) = $fe, k = 1,2 V 1 1 ^ 1 w w w 1 í Jhira \ 2 b'k(t)+{—) bk(t) = Hk(t), Bk(0) = tyk, k = 1,2,.... To jsou počáteční úlohy pro obyčejné lineární diferenciální rovnice. Jejich řešení je t ak(t) = ^e-^)2* + / F^e-i^T^ds, k = 0,1,2,..., o t bk(t) = vPfee-C2^)2* + / Hk(S)e-W^ds, k = 1,2, 68 Tyto funkce dosadíme do tvaru (2.50) řešení dané úlohy. Po úpravě dostaneme $0 -(M™.\2f (^ 2kir . 2kir u(t,x) = — + 2^ e l « > ( $fecos— x + Wfesm— x fe=i ^ + / (^ + |>-ma<«-'> (Ffe(.)cos^ + Hfe(.)sin^^d.. Výsledek vyjádříme jen pomocí objektů, které jsou v zadání úlohy, tj. konstanty a a funkcí p, f. Jinak řečeno, do pravé strany předchozí rovnosti dosadíme vyjádření (2.48) a (2.49) koeficientů 'řfc a funkcí Fk, H]~. Po úpravě (přehození integrálu a sumace) dostaneme 1 . 2r^ -(2hfi.ft ( 2kiv _ 2kiv . . 2fc?r ^ . 2fc?r = / e « ^ cos—— £cos—— z + sin—— £sin—— a; d£+ o t / £ + / I / ( i + J22e 1 CTMcos—£cos—z + sm—£sm—z) ] d£ ) da. Tento výsledek ještě upravíme pomocí součtového vzorce na tvar *cos—(x-£) d£+ + / (i + f Ee-W^cos^(a;-o)díj d.. Dosažený výsledek lze zapsat v přehlednějším tvaru: Řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.21) je dáno součtem integrálů í t / í \ u(t, x)= í p{í)G{x, i, t)ái + í í í /(• R daná výrazem G(*,č,f) = ± l + 2£e-mS V fe=i * 2kir, >N cos—(x-£) je tzv. funkce vlivu okamžitého bodového zřídla nebo zdroje2, stručně zřídlová nebo zdrojová funkce, také Greenova funkce nebo fundamentální řešení. Řešení (2.51) dané úlohy vyšlo jako součet řešení homogenní rovnice (2.41) s nenulovou počáteční podmínkou (2.43) a řešení nehomogenní rovnice (2.42) s nulovou počáteční podmínkou (2.44); jedná se tedy o zvláštní případ obecného výsledku (2.47). Ještě si povšimněme několika vlastností funkce G, které jsou bezprostředně evidentní, nebo je lze ověřit přímým výpočtem. • Funkce G je spojitá na množině R2 x (0, oo). • Je symetrická v prvních dvou proměnných, tj. G(x,£,t) = G(£,x,t) pro všechny trojice (x,£,t) G R2 x (0,oo). 2Pokud rovnici (2.41) interpretujeme jako model vedení tepla v nějakém prstenci, pak funkce G(-, £,t) udává rozložení teploty v časovém okamžiku i, vzniká-li v tomto okamžiku v bodě £ jisté množství tepla. 69 • Funkce jedné proměnné G(-,£,r) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice parametrů (£,ŕ) G M x (0,oo). • Funkce dvou proměnných G(-,£, •), je pro všechna £ G R řešením rovnice (2.41), které splňuje podmínku periodičnosti (2.21) pro každou hodnotu t > 0. • Pro všechny hodnoty x, £ G R platí lim G{x,tt) = - t^oo £ Z poslední uvedené vlastnosti funkce G plyne, že pro řešení u = u{t, x) homogenní parabolické rovnice (2.41) s počáteční podmínkou (2.43), které splňuje podmínku periodičnosti (2.21), platí í lim u{t,x) = - / v?(£)d£. t^oo £ J 0 Řešení konverguje pro t —>• oo ke konstantní funkci. Pokud tedy úlohu (2.41), (2.43), (2.21) interpretujeme jako model difúze nějaké látky v uzavřeném prstenci délky £, dostáváme, že po dostatečně dlouhém čase se difundující látka stejnoměrně rozptýlí po prstenci a její lineární hustota bude podílem její celkové hmotnosti a délky prstence. To není nikterak překvapivý výsledek; ukazuje však, že se model chová realisticky. 2.3.3 Parabolická rovnice na přímce Budeme hledat řešení homogenní rovnice (2.41) nebo rovnice nehomogenní (2.42), které je definováno na množině [0, oo) x M a pro x G R splňuje počáteční podmínku (2.43). Navíc budeme požadovat, aby řešení splnilo podmínky u(t, x) \dx < oo, J \u(t, x) \dx < oo (2.52) -oo 0 pro t > 0. O počáteční funkci ip a o nehomogenitě / budeme předpokládat, že mají po částech spojitou derivaci a splňují podobné podmínky 0 oo |y(x)|dx < oo, j \ip{x)\áx < oo, (2.53) o 0 oo |/(í, x)|dx < oo, j\f(t, x)\dx < oo, pro všechna t > 0. (2-54) o Jinak řečeno, funkce ip, f(t, ■) a u{t, ■) jsou v definičním oboru Fourierovy transformace pro každou hodnotu t > 0; viz Dodatek B.l. Homogenní rovnice s nenulovou počáteční podmínkou Úlohu (2.41), (2.43), (2.52) můžeme podle předpokladu (2.53) nejprve transformovat na Fourierův obraz a pak hledat obraz (spektrum) jejího řešení. Tento způsob hledání řešení bývá nazýván metoda Fourierovy transformace. 70 Při transformaci úlohy čas t zafixujeme, budeme ho považovat za parametr. Fourierův obraz funkce u{t, ■) je komplexní funkce jedné reálné proměnné definovaná předpisem oo F(u(t, ■))(£) = / u(t,x)e-ix^dx; tuto hodnotu budeme stručně označovat symbolem ů(t,£). Fourierův obraz derivace podle parametru t je oo oo —oo —oo Poněvadž Fourierova transformace převádí derivaci na násobení výrazem i£ (sr. formuli (B.l) a její odvození), je Fourierův obraz druhé derivace funkce u{t, ■) roven Kdx2 Fourierův obraz rovnice (2.41) a počáteční podmínky (2.43) je tedy tvaru ^-ú(t,0 = -a2eú(t,0, ů(0,O = Č(O. (2-55) kde p je Fourierův obraz počáteční funkce p. Nyní budeme na chvíli považovat proměnnou £ za parametr a čas t za nezávisle proměnnou, tj. na rovnosti (2.55) se budeme dívat jako na počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici, kde hledanou funkcí je funkce «(-,£). Jedná se o úlohu pro lineární homogenní rovnici s konstantním koeficientem, její řešení je dáno formulí ů(t,o = p(0^a2ft- To je současně Fourierův obraz řešení počáteční úlohy (2.41), (2.43). Označme ještě g(t,0=e-a2í2t (2.56) a Fourierův obraz řešení úlohy (2.41), (2.43) dostáváme ve tvaru ú(t,0 = p(0a(t,0- Vzhledem k souvislosti Fourierovy transformace a konvoluce funkcí (B.3) můžeme nyní řešení úlohy (2.41), (2.43) zapsat ve tvaru u(t,x)= (p*g(t, -))(x). (2.57) Reálná funkce g(t, •) je vzorem spektrální funkce g(t, •) dané formulí (2.56). Získáme ji tedy inversní Fourierovou transformací (B.2): oo — oo Pravou stranu nejprve upravíme oo / oo oo \ oo Y í e-a2«2*eia;«d£ = y j í e-a2«2tcosx£d£ + i í e^2* sin:r£d£ J =- /Va2«2t cos:r£d£, 71 neboť integrovaná funkce v imaginární části je lichá a integrovaná funkce v reálné části je sudá. Ve výsledném integrálu zavedeme substituci a označení T] = V a?t £, q = Dostaneme e a 4 cosx£d£ = 'a2t e 17 cos qrjárj. Poslední integrál označíme I(q). Tedy I(q) = J e V cos1rldrii o zejména pro q = 0 platí OO OO "2 OO J(0)2 = J e-^drj J e-«2d£= J J e-^-^drjd^ J J re^árdý = [0,oo): 7t / 1 0 o —2re r ) dr = —- = 7> tj. / O r=0 4 2 při výpočtu dvojného integrálu jsme použili transformaci do polárních souřadnic. Dále derivováním podle parametru q obdržíme OO OO OO —I(q) = — / e~n cos qrjdrj = / e~n (—rysin qnfjdrj = — / \—2rie~n ]siníjí7dí7 = dq dq J J 2 J \ J 0 0 o 2 OO f e~v sin qq -q \ - n=o J 0 Integrál I(q) je tedy řešením počáteční úlohy pro obyčejnou lineární homogenní diferenciální rovnici to znamená, že I(q) = —e 4 Návratem k proměnné x dostaneme vyjádření funkce g, , x 11 I X g{t,x) =--f=J Ti" VaH KVaHJ 2\J-ko?í (2.58) Nyní můžeme uzavřít, že řešení počáteční úlohy (2.41), (2.43) je dáno formulí (2.57), kde funkce g je definována rovností (2.58), po dosazení tedy u{t, x) = 2^ 72 Pro zjednodušení zápisu ještě zavedeme funkci G (opět jí budeme říkat zřídlová funkce) předpisem G^'^dm^(-[^af) (2-59) a řešení úlohy vyjádříme jako nevlastní integrál oo u(t,x)= í (p(£)G(x,U)dZ- (2-60) Úlohu můžeme mírně zobecnit. Budeme hledat řešení rovnice (2.41) pro t > a a x G M, kde a je nějaké reálné číslo. Počáteční podmínku (2.43) v takovém případě nahradíme podmínkou u{a, x) = p(x). (2-61) Nechť funkce u je řešením takové úlohy. Položíme v(t, x) = u{t + a, x). Funkce v je tedy definovaná pro t > 0, x G M. a splňuje podmínky Ov Ou 02v 02u ~b~i^'^ = ~dt ^ + a,X^ dx2^'^ = dx2^ + a,x^ v(0,x) =u(a,x) =ip(x). To znamená, že funkce v je řešením úlohy (2.41), (2.43) a je tedy dána integrálem na pravé straně rovnosti (2.60). Poněvadž u{t,x) = v(t — o,x), je řešení rovnice (2.41) na množině t > a, x G M, které splňuje počáteční podmínku (2.61) dáno nevlastním integrálem oo u(t,x)= J (p(Z)G(x,U-o)dt- (2-62) —oo Nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou Podle 2.3 má rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.44) řešení tvaru (2.45) a funkce w je řešením úlohy (2.46) s J = (—00,00). Podle předpokladu (2.54) a výpočtů v předchozí části, konkrétně podle vztahu (2.62), je funkce w splňující rovnosti (2.46) dána nevlastním integrálem 00 ■j(t,x,(T)= J /(<7,í)G(l,í,í- dt(' ' dt(' ' = a2^-(t,x) + f(t,x)- (a2^-(t,x)+f(t,x)] =a2^{t,x), dx2 ' ' \ dx2 ' ' J dx2 u(0, x) = iti(0, x) — u2(Q, x) = tp(x) — tp(x) = 0, takže funkce u = u(t, x) je řešením úlohy du 9 d2u m ~QÍ = a ~d~r~2> pro í > 0, x e R, u(0,x) = 0, pro Přitom je funkce u(t, ■) v definičním oboru Fourierovy transformace. Z výpočtů provedených dříve plyne, že tato funkce u je definována formulí (2.60) s ip = 0, tedy u = 0. To znamená, že funkce Mi a u2 splývají na svém definičním oboru. Příklad Najdeme řešení rovnice du 2 d2u Tt=adx-2+ru na oblasti {(ŕ, x) : í>0,i£ M}, které splňuje počáteční podmínku u(0, x) a, \x\ < 0, jinak, kde e > 0. Nejprve se zbavíme reakčního členu ru na pravé straně rovnice tak, že zavedeme novou neznámou funkci v = v(t,x) vztahem v(t,x) = e~rtu(t,x), tj. provedeme speciální případ transformace rovnice na kanonický tvar uvedené v 2.2.1. Pak je u(t,x) =ertv(t,x), ^-(t,x) = (^(t,x) + rv(t,x)^ ert, |^(í, x) = |-J(í, x)ert a po dosazení do rovnice dostaneme ^■(t,x) + rv(t, x)^j ert = a2^(t,x)ert + rv(t,x)ert. 74 Výraz ert je nenulový, proto ho můžeme vykrátit. Funkce v je tedy řešením homogenní rovnice di ,d2v dt dx2 s počáteční podmínkou f (0, x) = u(0, x)e r-0 a, \x\ < 0, jinak. Podle (2.60) a (2.59) je funkce v dána integrálem v(t, x) = 2VŤw2i e 4a2t d£. Zavedeme v něm substituci Pak je V = V2a7t d£ = -V2a~2tdn. v(t, x) e 2 drj = a / 2x + e\ / 2x-e \2V20Jt) \2V2~0Ji kde <í> je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Dostáváme tak řešení dané úlohy u(t, x) = ertv(t, x), tj. u{t, x) = a / 2x - e í 2x + i \2V2~0Ji ) ' \2\Í2aTt V počáteční podmínce nyní zvolíme speciálně a = —. Pak je s u(0, x)dx = A dx = A pro každé s > 0. Pokud tedy danou rovnici interpretujeme jako model autokatalytické reakce (rychlost tvorby reagující látky je úměrná jejímu množství) a difúze, je počáteční množství di-fundující látky rovno A a toto množství je koncentrováno v malém okolí počátku, na intervalu délky e. Pro e —> 0 proto můžeme počáteční funkci považovat za distribuci, tj. zobecněnou funkci, konkrétně za A-násobek Diracovy distribuce. Dále platí lim — e^o e ( 2x + e ( 2x-e \2V2aJt) \2V2aJt x 1 — A ,_ lim V2aH ^0 A V2oJi 2V2oJi) \V2oJi 2V2oJi ,_ lim V2aH v^o x rj 2 V2oJi x rj VM 2 A V2oJi \V2oJi 75 a poněvadž derivace distribuční funkce normovaného normálního rozložení pravděpodobnosti je hustotou tohoto rozdělení, dostáváme řešení dané úlohy pro e —> 0 ve tvaru u(t,x) = -^- /Le~rf^Iert = —í==ert-ik. (2.65) Pro r = 0 dostáváme řešení ve stejném tvaru, jaký mělo „uhodnuté" řešení (2.26) úlohy (2.22), (2.24). Podívejme se ještě na interpretaci získaného výsledku. Funkce u daná rovností (2.65) je kladná pro každé t > 0 a každé iel. Jinak řečeno, za libovolně krátký čas a v libovolně velké vzdálenosti od počátku je koncentrace difundující látky nenulová. To by znamenalo, že nějaké částice látky se pohybují nekonečnou rychlostí, což samozřejmě není fyzikálně možné. Toto pozorování ukazuje, že zjednodušující předpoklady přijaté při vytváření modelu vedou k jeho neadekvátnosti. Fyzikální nesprávnost modelu je však jen teoretická. Vzhledem k tomu, že exponenciální funkce ex s rostoucí hodnotou x velice rychle klesá k nule, je nenulová koncentrace v dostatečné vzdálenosti od počátku prakticky nedetekovatelná. Pokusme se stanovit pozorovatelnou rychlost, jakou se v prostředí šíří difundující látka vznikající autokatalytickou rekcí. Nechť S označuje minimální koncentraci látky, kterou lze v prostředí detekovat, a R = R(t) časově závislou vzdálenost od počátku, v níž je koncentrace rovna hodnotě S, tj. u(t, R(t)) = S. Dosazením do (2.65) dostaneme Aert ( R(t) 2V^rf' V 4a2í R(t)2 9 2a2, ATra2S2t —^-L. = Aazr--—ln-—— ť2 t A2 lim (M)2 = Aa2r. Z této rovnice vyjádříme a dále í—>oo \ t Odtud plyne, že pro dostatečně velký čas t je R(ť)&2Va?řt, (2.66) což znamená, že pozorovatelná rychlost šíření látky je přibližně konstantní a rovna 1\Ja?r. ■ Vlastnosti zřídlové funkce Funkce G : R2 x (0, oo) —>• (0, oo) definovaná vztahem (2.59) má evidentně následující vlastnosti: • Je spojitá na svém definičním oboru. • Je symetrická v prvních dvou proměnných, tj. G(x,^,t) = G(^,x,t) pro všechny trojice (x,£,t) eR2x (0,oo). • Funkce G( •, £, ť) (tj. funkce G chápaná jako funkce jedné proměnné x se dvěma parametry £ a ť) má spojité derivace druhého řádu pro všechny hodnoty (£,í) G M x (0, oo). • Funkce G(-,£, •) je pro všechna £ G R řešením rovnice (2.41), které splňuje podmínky integrovatelnosti 0 -oo \G(x, £, ť)\dx < oo, / \G(x, £, ť)\dx < oo o pro každou hodnotu t. 76 Pro jakékoliv hodnoty £ e R a t > 0 platí lim G(x, £, ŕ) = 0. £—>oo Funkce jedné proměnné G(0, ■, ŕ) je pro jakoukoliv hodnotu ŕ sudá. 9G Funkce jedné proměnné (0, ■ ,í), tj. funkce daná předpisem dG(ne+-\ e ( í2 9x 's' 4V,7r(a2í)3 V 4a2í je lichá pro jakoukoliv hodnotu ŕ. Z posledních dvou vlastností, z toho, že součin sudé a liché funkce je funkce lichá a že integrál z liché funkce na intervalu symetrickém kolem nuly je roven nule, plyne: Tvrzení 4. Jsou-li i/>, % : R —> R ohraničené funkce integrabilní na každém kompaktním intervalu, přičemž funkce ip je lichá a funkce x Je sudá, pak pro funkce v, w definované vztahy oo oo v(t,x) = J W)G(x,Z,ť)dt, w(t,x)= J x(Z)G(x,Z,ť)dt — oo —oo platí oo oo — oo —oo 2.3.4 Parabolická rovnice na polopřímce Budeme hledat řešení nehomogenní parabolické rovnice (2.42) definované na oboru [0, oo) x [0, oo), které splňuje podmínku integrovatelnosti \u(t,x)\dx < oo (2.67) a pro každé x > 0 počáteční podmínku (2.43). O počáteční funkci ip a nehomogenitě / budeme předpokládat, že splňují „pravou" část podmínek integrovatelnosti (2.53) a (2.54). K řešení těchto úloh využijeme výsledky získané při řešení parabolických rovnic na přímce metodou Fourierovy transformace v 2.3.3. Úlohy s nulovou okrajovou podmínkou Budeme požadovat, aby řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.67) v levém krajním bodě intervalu [0,oo) proměnné x splňovalo pro každou hodnotu t > 0 Dirichletovu w(í,0) = 0 (2.68) nebo Neumannovu £ = 0 (2.69) ox nulovou (homogenní) podmínku. Tvrzení 4 ukazuje, jak tyto úlohy řešit. Při řešení rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.43) pro x > 0 a okrajovými podmínkami (2.67), (2.68) pro t > 0 prodloužíme počáteční funkci p a nehomogenitu /(ŕ, •) na celý interval (—oo, oo) tak, aby to byly funkce liché. Položíme tedy ~í \ í^)' x^0' tí+ \ J/C*^)' x - °> vu i -+^n p{x) = i f(t,x) = < clj_ . n , pro libovolné t > 0. [-(p(-x), x<0, [-J(t,-x), x<0, 77 Řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.67), (2.68) je pak podle (2.64) dáno formulí OO t / OO \ u(t,x)= J 0, x > 0, x > 0, u(t, 0) = 0, J \u(t, x)\dx < oo, r>0 o psát ve tvaru oo t / oo u(t,a;) = J x)> u(0, x) = p(x), du dx t > 0, x > 0, x > 0, (ŕ, 0) = 0, J \u(t,x)\dx < oo, ŕ > 0, tj. úlohy s Neumannovou okrajovou podmínkou v levém krajním bodě, je tvaru oo t / oo u(t,x) = jp(OGN(x,H,t)dH + j íjf(cr,Z)GN(x,Z,t- [0, oo) mají následující vlastnosti: • Jsou spojité na svém definičním oboru. • Jsou symetrické v prvních dvou proměnných. • Funkce Gjv (■,£,£) a G£>(■,£, ŕ) mají spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice parametrů (£,ŕ) G (0,oo) x (0, oo). • Funkce Gd( ■, £, ■), resp. Gjv( ■, £, ■), je pro všechna £ G (0, oo) řešením rovnice (2.41), které splňuje okrajové podmínky (2.67) a (2.68), resp. (2.69), pro každou hodnotu t. • Pro jakékoliv hodnoty x,£ > 0 platí lim Gd{x,£,í) = 0 = lim Gn(x, £,í). Úlohy s nenulovou okrajovou podmínkou Budeme hledat řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.67) na oboru [0,oo) x [0,oo), které navíc splňuje nenulovou (nehomogenní) Dirichletovu u(t,0) = n(t) (2.72) nebo Neumannovu S = (2-73) podmínku; přitom /i, i/ jsou nějaké funkce definované skoro všude na intervalu [0, oo) a na tomto intervalu integrovatetelné; funkce /i je navíc skoro všude diferencovatelná . Řešení budeme hledat ve tvaru u{t, x) = U(t, x)+v(t, x), kde funkce U je skoro všude diferencovatelná podle první proměnné a dvakrát diferencovatelná podle druhé a splňuje příslušnou okrajovou podmínku, funkce v je zatím neurčená. Pak platí du dU dv d2u d2U d2v , , , m=^ + Tť d^ = ^ + ^ <^ *) = m x) + -(o, x). Po dosazení do rovnice a počáteční podmínky dv 2d2v 2d2U dU = a + f + a!TY-^7> v(0,x) = (p(x)-U(0,x) dt dx2 dx2 dt dostaneme, že funkce v = v(t,x) je řešením úlohy dv d2v ~ dt=a2dx2+ ffo x^ 1 > °' x > °' f (0, x) = tp(x), x > 0 s nulovou Dirichletovou nebo Neumannovou podmínkou. Přitom funkce (p a / jsou dány výrazy d2U dU (p{x) = if(x) - U(0,x), f(t,x) = f(t,x) + a2-—(t,x) - —(t,x). dxz dt Snadno ověříme, že funkce U daná vztahem U(t, x) = e-xn(t) (2.74) 79 splňuje Dirichletovu podmínku (2.72). V takovém případě je p(x) = p(x) - mok1', f (t, x) = f (t, x) + (a2M(í) - m'WK*- Pokud tedy funkce p a f (t, ■) splňují podmínky integrovatelnosti (2.53) a (2.54), pak také funkce p a f (t, ■) splňují tytéž podmínky. To znamená, že funkce v je řešením známé úlohy; je dáno formulí (2.70), v níž jsou funkce paf psána s vlnkou. Funkce U daná vztahem U (t, x) = xe-xv{ť) (2.75) splňuje Neumannovu podmínku (2.73). V tomto případě je p{x) = p(x), f (t, x) = (a2(x - 2) u (t) - xv'(ť))e~x a funkce v je dána formulí (2.71), v níž píšeme~nad symboly paf. Volit funkci U splňující nehomogenní okrajovou podmínku pomocí rovnosti (2.74) nebo (2.75) je jen jednou z obecných možností. V konkrétních úlohách může tvar nehomogenity napovědět „vhodnější" tvar funkce U; „vhodnost" může spočívat v tom, že nehomogenita / v rovnici pro neznámou funkci v je nějakým způsobem jednoduchá (nejlépe nulová), nebo v tom, že funkci U lze nějak (např. fyzikálně) interpretovat. Příklad Uvažujme úlohu du „d2u ~QÍ = dŽ2> t>0, x>0, u(0, x) = 0, x > 0, oo u(t, 0) = sin t, j \u(t, x)\dx < oo, t > 0. o Tuto úlohu můžeme interpretovat jako popis vedení tepla v dlouhé tyči, která je na povrchu izolovaná, na počátku má nulovou teplotu a na jednom konci ji periodicky zahříváme a ochlazujeme. Lze očekávat, že v každém bodě tyče se bude teplota měnit se stejnou periodou. Ovšem vliv kolísání teploty na konci tyče na teplotu ve vzdálenosti x od něho se projeví s nějakým zpožděním, které je tím větší, čím je vzdálenost x větší; v nejjednodušším případě by zpoždění mohlo být vzdálenosti přímo úměrné. Amplituda kolísání teploty se musí s rostoucí vzdáleností od konce zmenšovat, a to tak, aby byla splněna podmínka integrovatelnosti. Tato úvaha vede k nápadu, že funkce U by mohla být tvaru U(t,x) =e-axsin(t- fix), kde a, jsou zatím neurčené kladné konstanty. Při této volbě je ^L(t,x)=e-axcoS(t-f3x), d2U -—r (t, x) = e~ax ((a2 - P2) sin(í - fix) + 2a/3 cos(í -fix)), oxz takže d2U dli a2—^r(t,x) - -z-(t,x) = e^ax(a2(a2 - fi2) sin (ŕ - P x) + (2a2 a/3 - 1) cos(í - fix)). oxz ot Aby byl poslední výraz nulový, budeme požadovat a2 = /32, 2a2a/3 = 1, tedy zvolíme a = P= \ItT2, U(t, x) = exp (--^= ) sin ( t 2«2 ' v ' ' V V2a2 J V V2a- 80 Dostáváme tak řešení dané úlohy ve tvaru u{t,x) = U(t,x) +v(t,x), kde v je řešením počáteční úlohy pro homogenní parabolickou rovnici na polopřímce s homogenními okrajovými podmínkami dv ,02 dt dx2' f (0, x) = exp /2a2 /2a2 v(t, 0) = 0, J \v(t, x)\dx < oo, o Podle (2.70) je tedy řešení úlohy dáno formulí t > 0, x > 0, x > 0, t > 0. u{t, x) = exp /2a2 sin t /2a2 exp x2+e AaH /2a2 /2a2 cosh —f-d£. 2a2í ^ Ještě si můžeme povšimnut, že lim (u(t,x) - U{t,x)) = 0; řešení dané úlohy je asymptoticky ekvivalentní s „uhodnutou" funkcí U. V odstavci 2.3.7 uvidíme, že funkce U vyjadřuje speciální případ prvních dvou Fourierových zákonů vedení tepla. ■ 2.3.5 Parabolická rovnice na úsečce Nyní budeme hledat řešení parabolické rovnice homogenní (2.41) nebo nehomogenní (2.42) na oboru {(t,x) : t > 0, 0 < x < £}. O hledané funkci u budeme předpokládat, že pro každou hodnotu x G (0,£) splňuje počáteční podmínku (2.43). Dále budeme pro t > 0 požadovat splnění homogenních (2.19) nebo nehomogenních (2.20) Robinových okrajových podmínek v krajních bodech intervalu (0,£). Takovou úlohu můžeme interpretovat jako model difúze ve válci konečné délky £ nebo jako model vedení tepla v tyči délky £. Základní myšlenkou při řešení těchto úloh je oddělení času a prostorové proměnné, tj. předpoklad, že řešení lze hledat ve tvaru součinu dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na čase t a druhá pouze na prostorové proměnné x. Podle tohoto postupu se tato metoda nazývá separace proměnných, podle svého objevitele se nazývá Fourierova metoda. Užití metody nejprve ukážeme na jednodušší úloze - řešení rovnice s Dirichletovými okrajovými podmínkami. K jejímu řešení stačí znalost základů teorie Fourierových řad. Pro řešení úlohy s obecnými Robinovými okrajovými podmínkami se využívá Sturmova teorie řešení okrajových úloh pro obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu, viz Dodatek C. Dirichletova úloha Uvažujme nejprve úlohu pro homogenní rovnici s nulovými Dirichletovými okrajovými podmínkami du 2 d = a u t > 0, x G (0,£), dt dx2' u(0,x) = (f(x), xe(0,£), (2-76) u(t,0) = 0 = u(t,£), ŕ>0. O počáteční funkci ip budeme předpokládat, že je nenulová3. Pak také řešení u musí být nenulová funkce. 3 Poznamenejme, že počáteční funkce ip nemusí splňovat okrajovou podmínku 0. Musí tedy být A = 0 a v důsledku toho i B = 0. To znamená, že v případě A < 0 má úloha (2.78), (2.79) pouze nulové, tj. nevyhovující řešení. Pokud je A = 0, pak je řešením rovnice X" = 0 lineární funkce X(x) = Ax + B. První z podmínek (2.79) dá B = 0 a druhá z nich následně A = 0. V případě A = 0 opět nemá úloha (2.78), (2.79) vyhovující řešení. 82 Pokud je A > 0, pak má rovnice (2.78) obecné řešení X (x) = A cos y/Xx + B sin x. Podmínka X (0) = 0 dá A = 0. Poté podmínka X (£) = 0 vede k rovnosti 0 = BsinVxe. Abychom dostali nenulové řešení, musí být B^Oa tedy sin \f~X£ = 0. Z této goniometrické rovnice plyne, že \f~X£ = kir, kde k je nějaké celé číslo. Poněvadž A > 0 a £ > 0, musí být také k > 0. Dostáváme tak možné hodnoty konstanty A. Označme je kirx 2 Afe = ^— ) , fc= 1,2, Úloha (2.78), (2.79) má nenulové řešení pouze pro hodnoty A = Afe; zapišme ho v obecném tvaru Xk(x) = Ak sin ^-x. Nalezenou hodnotu Afe dosadíme do první rovnice (2.77). Dostaneme obyčejnou lineární homogenní rovnici . / kira \ 2 m T=-{—) která má obecné řešení Tfe(í) = Sfee-(^)2*. Součin funkcí Xk, Tk označíme u^. Dostáváme tak nekonečnou spočetnou množinu řešení / k-Ka A2+ klľ uk(t,x) = Cke-y — > sin— x, k = 1,2,.... Každá z těchto funkcí splňuje rovnici a okrajové podmínky v úloze (2.76). Poněvadž je řešená rovnice homogenní, platí princip superpozice, a proto také lineární kombinace funkcí uk splňuje rovnici a okrajové podmínky uvažované úlohy. Řešení tedy můžeme formálně zapsat ve tvaru řady i(í, x) = ]T Uk(t, x) = J2 Cke-^)2t sin ^-x. (2.80) _ kir (Jke y 1 i " sin fe=i fe=i Z počáteční podmínky v úloze (2.76) dostaneme nyní rovnost OO (2-81) fe=i můžeme řešení úlohy (2.76) psát ve známém tvaru í u(t,x) = í (p(Z)G(x,Z,t)dt. (2.82) o Opět zformulujeme několik evidentních vlastností funkce G : [0,£]2 x [0, oo) Funkce G je spojitá na množině (0,^) x (0, oo) Je symetrická v prvních dvou proměnných. • Funkce jedné proměnné G(-,£,r) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice parametrů (£,ŕ) G (0,£) x (0,oo). • Funkce dvou proměnných G(- •), je pro všechna £ G (0,£) řešením rovnice (2.41), které splňuje nulové Dirichletovy okrajové podmínky pro každou hodnotu t. • Pro všechny hodnoty x, £ G [0, £] platí lim G(x, £, t) = 0. £—>oo Řešení úlohy pro nehomogenní rovnici s nulovými Dirichletovými okrajovými podmínkami du = a 2 k dt dx2 + f(t,x), í>0, x e (0,1), u(0,x) = ip(x), x G (OJ), u(t,0) = 0 = u(t,£), t>0. je podle Duhamelova principu dáno součtem í t / e u(t,x) = j ^(£)G(x,£,í)d£ + J i J í(cj,S)G(x,Í,t-cj)áAácj. o o \0 V případě úlohy pro nehomogenní rovnici s obecnými Dirichletovými okrajovými podmínkami dii Q2u ~dt=a2d^ + f(t>x')> t>0,xe(0,£), u(0,x) = (p(x), x G (0,£), u(t,0) = fi0(t), u(t,£) = m(t), t>0 84 můžeme řešení hledat ve tvaru u{t, x) = U(t, x) + v(t, x), kde funkce U splňuje okrajové podmínky. Zřejmě stačí funkci U volit jako lineární v proměnné x, tj- U{t, x) = no(t) H----x. Funkce v je pak řešením úlohy s nulovými Dirichletovými okrajovými podmínkami dv 9d2v „. . ... u\(ť) — Un(t) „ .„ „. dl = a q^2 + /(*.x) - MÓ(*) + £ ° ^ * > 0, x G (0, £), i;(0,x) = y(x)-Mo(0)-Ml(0)~Mo(0)x, i£(0,í), u(r,0) = 0 = «(í,f), r>0. Příklad Najdeme řešení homogenní parabolické rovnice du 2^2?i dt dx2 pro í>0ai£ (0, £), které splňuje konstantní počáteční podmínku u(0, x) = Uq pro x G (0,£) a konstantní Dirichletovy okrajové podmínky u(t,0)=0, u(t,£) = u1 pro ŕ > 0. Tuto úlohu lze interpretovat jako model chladnutí tyče délky £, která byla na počátku zahřátá na teplotu uq, na jejím levém konci udržujeme nulovou teplotu a na pravém teplotu u\. Tyč je na svém povrchu tepelně izolovaná, takže na jejím povrchu nedochází k výměně tepla s okolním prostředím. V daném případě okrajové podmínky splňuje funkce U(t,x) = yl. Hodnoty této funkce nezávisí na čase, takže řešení úlohy je tvaru u(t, x) = —x + v(t, x), kde funkce v je řešením úlohy dv d2v m=a^ í>o,^(o,£), v(0,x) = u0 - ^-x, x G (0,£), v(t,0) = 0 = v(t,£), t>0. Podle obecných výsledků je 1 oo v(t,x)= / (u0 - —-tiJ - 2^ e V <■ > srn — £ srn — xdx 2 A -(hm\\2f .ku f f U\ \ . ku ^ ^ l < ) sin—a; / (u0 - —sm —£d£. fe=i i 85 Integrál vypočítáme „per partes" uo - -TÍ cos — Í £ V £ £ £ — ((U0 - Ml)cOS/j7T - M0) = — (u0 - (U0 - Wl)(-l)fe) Dostáváme tak řešení dané úlohy vyjádřené ve tvaru . . Mi 2 Un — (tin — Ui)(— í)k (k^a^, klT v tt '-^ k £ k=l Obecná Robinova úloha Uvažujme nejprve úlohu homogenní, tj. homogenní rovnici (2.41) s homogenními okrajovými podmínkami (2.19) na intervalu (0,£). Hledáme tedy řešení úlohy du „d2u n ,n „. - = fl2_ * > 0.x e M) u(0,x)=p(x), x e (0,1), (2.83) du du a0u(t, 0) + Po-^it, 0) = 0 = alU(t,£) + ft-(í, £), t > 0. O počáteční funkci p opět předpokládáme, že je nenulová, a proto i řešení úlohy musí být nenulové. Nejprve separujeme proměnné, tj. předpokládáme, že řešení má tvar u(t,x) = T(t)X(x). (2.84) Toto vyjádření dosadíme do dané rovnice a upravíme tak, že na pravé straně ponecháme pouze funkci X a její derivaci. Dostaneme rovnost T' _ X" ~ďIŤ~^X' jejíž levá strana nezávisí na proměnné x a pravá nezávisí na proměnné t; výrazy na obou stranách jsou tedy rovny nějaké konstantě, kterou opět označíme —A a dostaneme dvě rovnice 1ČŤ~ ' ~X 2rr = -A, — = -A. (2.85) Druhou z nich přepíšeme do tvaru obyčejné lineární homogenní rovnice druhého řádu s konstantním koeficientem X" + \X = 0. (2.86) Vyjádření (2.84) řešení úlohy (2.83) dosadíme do okrajové podmínky. Dostaneme rovnosti a0T(t)X(0) + p0T(t)X'(0) = 0 = aiT(t)X(£) + ^T(t)X'(£), které mají být splněny pro libovolnou hodnotu t > 0. Odtud plyne, že řešení X rovnice (2.86) splňuje okrajové podmínky a0X(0) + P0X'(0) = 0 = aiX{£) + PiX'{£). (2.87) Úloha (2.86), (2.87) pro obyčejnou lineární rovnici druhého řádu s parametrem A a homogenními okrajovými podmínkami je Sturmovou-Liouvilleovou úlohou, sr. Dodatek C.2. Podle 86 Věty 3 existuje rostoucí posloupnost vlastních čísel, z nichž nejmenší je větší nebo rovno 0. Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že 0 je vlastním číslem úlohy (2.86), (2.87) právě tehdy, když V takovém případě označíme Ao = 0; příslušná vlastní funkce vq je lineární, vq(x) = Ct\x — ct\l — Pro zjednodušení (sjednocení) zápisu zavedeme množinu indexů {0,1,2,...}, ai/3o - aoA = a^í, {1,2,3,...}, alfo - oíqP-í a^a-íi. (2.88) Řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (2.86), (2.87) dostaneme posloupnost vlastních čísel Xk a k nim příslušné vlastní funkce vk, kel. Dostáváme tak spočetně mnoho řešení xk(x) = vk(x), kel okrajové úlohy (2.86), (2.87). Nalezené hodnoty \k, kel dosadíme do první rovnice (2.85). Dostaneme tak obyčejné lineární homogenní rovnice T' = -a2\kT, kel, jejichž obecné řešení je tvaru Tfe(í) = C7fee-a2Afct. Po dosazení funkcí Xk, Tk do vyjádření (2.84) hledaného řešení úlohy pro parciální diferenciální rovnici dostaneme spočetný systém funkcí uk(t, x) = Tk(t)Xk(x) = Cke-^v^x), kel, z nichž každá je řešením dané rovnice a splňuje příslušné okrajové podmínky z úlohy (2.83). Poněvadž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní, a tedy splňují princip superpozice, můžeme řešení této úlohy psát ve tvaru nekonečné řady u(t, x) = J2 Cke-^^v^x) (2.89) kel se zatím neurčenými koeficienty Ck, kel. Ty získáme z dosud nevyužité počáteční podmínky ip(x) = u(0,x) = ^Ckvk(x). kel Z tohoto vyjádření je vidět, že konstanty Ck jsou Fourierovými keficienty funkce ip vzhledem k ortogonálnímu systému vlastních funkcí {vk}keI, tedy \\Vk\\ J o Tyto koeficienty dosadíme do rovnosti (2.89) vyjadřující řešení a upravíme ji na tvar u(t,x)= f p(£)J2Vj^^e-^d£. J ,.^T \\Vk\\ kel 87 Dosažený výsledek shrneme: Řešení úlohy (2.83) je dáno integrálem í u(t,x)= í ^(£)G(x,£,í)d£; přitom funkce G : [0, £]2 x [0, oo) —> R je definována nekonečnou řadou kei IMI kde Afe jsou vlastní hodnoty a vk jsou příslušné vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (2.86), (2.87), indexová množina / je zavedena vztahem (2.88). Zřídlová funkce G má vlastnosti: • Funkce G je spojitá na množině (0,£)2 x (0,oo). • Je symetrická v prvních dvou proměnných. • Funkce jedné proměnné G(-,£,t) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice parametrů (£,t) G (0,£) x (0,oo). • Funkce dvou proměnných G( • ,£, •) je pro všechna £ G (0,£) řešením rovnice (2.41), které splňuje homogenní Robinovy okrajové podmínky BG BG a0G(0, £, í) + /30 — (0, £, í) = 0 = aiG(£, £, t) + — (£, £, t) pro každou hodnotu t > 0. • Pro všechny hodnoty x, £ G [0, £] platí 3 (a\xí -ai(x + £)(ai + /3i) + (ai + Ä)2) lim G(x,£,í) = <( £(a{£2+ 3p1(a1+pi)) 0, o;i^o ~~ Q^oA 7^ olqOl\£. t—>oo Řešení úlohy pro nehomogenní rovnici s homogenními Robinovými okrajovými podmínkami <9w B2u ~Bt=a2Bx^ + f^x^ t>0,xe(0,l), u(0,x) = ip(x), x G (0,£), du du a0ií(í,0) + /30 — (í,0) =0 = alU(t,£) + fr — (t,£), t>0 je podle Duhamelova principu dáno součtem í t / í \ u(t,x) = J ^(£)G(x,£,í)d£ + j U f(a,OG(x,tt-*)dAda. o o \o ) V případě úlohy pro nehomogenní rovnici s nehomogenními Robinovými okrajovými podmínkami Bii B2i± -^ = a2in + f^x^ t>o,xe(o,i), Bt Bx2 u(0,x) = ip(x), x G (0,f), du du a0ií(í,0) + /30 — (í,0) =Mo(í), cnu(t,£) + p1 — (t,£) = ii1(t), t>0 Bx Bx můžeme řešení hledat ve tvaru u{t, x) = U(t, x) + v(t, x), kde funkce U splňuje okrajové podmínky. Funkce v je pak řešením úlohy pro nehomogenní rovnici s homogenními Robinovými okrajovými podmínkami dv 0d2v nd2U, N dU, . „ .„ „. ^=o.2-^+a2—T(t,x)-—(t,x) + f(t,x), t>0, x e (0,1), Ot Oxz oxz ot v(0,x) = ip(x) - U(0,x), a0v(t, 0) + Po-£(t, 0) = 0 = alV(t, t) + Pi-£(t, t), Funkci U lze volit ve tvaru x - Poal — filOío — OíqOí\Í Č7(í,x) = < /30£(a1£ + 2/31) Po aiHo(t) - a0Hi(t) (a0 \ /zi(r) 2qíoQíi aiMo(í) - aoMi(í) , Mi(*) QíqQíI exPi- xe (0,£), t > o. /3oQíi — PiOíq a^ctil, Poai ~ /3iQío = ct^ctil, /30 ^ 0 = /30ai + Aao, /30 = 0 = Ä + aiť. Zejména pro a§ = ct\ = 1, /3q = /?i = 0 (Dirichletovy podmínky) dostaneme Mi(*) - Mo(í) (2.90) Č7(í, x) = a pro ao = ct\ = 0, Po = P\ = 1 (Neumannovy podmínky) U(t,x) =-^-^ + Mo(r)^- V případě ao = —a.\, /3q = [5\ = 1 (Robinovy podmínky) lze položit U (t, x) = —--—-—x--——--——-, pokud cto ý 21, 2 - a0£ a0(2 - a0£) U{t} x) = Moft) + Mift)eao, _ W(t) ^ pokud aQ = 2L Je-li možné funkci U volit jako lineární ve druhé proměnné x (tj. pokud Poa.\ — PiOíq =/= a^ctií), dU pak je —— = 0 a nehomogenita řešené rovnice se poněkud zjednoduší. Pokud navíc okrajové Oxz , dU podmínky nezávisí na čase, tj. u,q = const, ll\ = const, pak také —— = 0 a funkce v je řešením ot původní rovnice. 2.3.6 Počáteční úlohy pro parabolické rovnice — shrnutí V odstavcích 2.3.2-2.3.5 jsme našli řešení nehomogenní parabolické rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.43) v několika speciálních případech. Nalezené řešení úlohy = a"^—r: + f(t, x), t > 0, x G J, dt dx2 u(0, x) = ip(x), (2.91) x e J, 89 kde J je nějaký omezený nebo neomezený interval reálných čísel, které navíc splňuje nějaké homogenní okrajové podmínky, je tvaru u(t, x) = J R je určena intervalem J a okrajovými podmínkami. V Tabulce 2.1 jsou uvedeny zřídlové funkce v některých speciálních případech. Řešení úlohy (2.91) s nehomogenními okrajovými podmínkami lze hledat ve tvaru u(t, x) = U(t, x) + v(í, x), kde funkce U : (0, oo) x J —> R splňuje okrajové podmínky a funkce v je řešením úlohy dv "9 = a 2 ' + f(t,x), t > 0, x G J, 9ŕ dx2 w(0, x) = (p{x), x e J, s homogenními podmínkami stejného typu; přitom d2U dU f (t,x) = f (t,x) + o2-— (t,x) - —(t, x), p(x) = if(x) - U(0,x). oxz ot Volba funkce U není nijak apriori dána, tvary zavedené rovnostmi (2.74), (2.75) nebo (2.90) pro speciální intervaly J a speciální okrajové podmínky jsou jenom jednou z možností. Ještě si připomeňme, že pro téměř všechny zřídlové funkce G uvedené v Tabulce 2.1 (výjimkou je funkce G pro homogenní Neumannovu úlohu na úsečce), platí vztah lim G(x, £, ŕ) = 0 pro všechna (x, £) eR2. To znamená, že po „dostatečně dlouhém čase" bude hodnota prvního integrálu na pravé straně rovnosti (2.92) zanedbatelná. Jinak řečeno, řešení úlohy (2.91) v „dostatečně dlouhém časovém horizontu" nezávisí na počáteční podmínce, v průběhu času vymizí informace o počátku. Systém s takovou vlastností - jeho vývoj za dlouhý časový interval nezávisí na počátečním stavu - se nazývá ergodický. 2.3.7 Úloha bez počátečních podmínek Dosud jsme hledali řešení parabolické rovnice (2.41) nebo (2.42), které splňovalo nějakou počáteční podmínku, tj. znali jsme stav v počátečním čase t = 0. Tato informace však nemusí být vždy dostupná - pokud navíc proces popsaný parabolickou rovnicí pozorujeme v čase dlouho od jeho začátku. Vzhledem k ergodičnosti však počáteční stav nemá na vývoj systému už nějaký podstatný vliv. Konkrétně: Teplota na zemském povrchu v průběhu dne i v průběhu roku kolísá. Toto kolísání lze v prvním přiblížení považovat za periodické. Budeme modelovat šíření periodických teplotních změn v zemi, kterou budeme považovat za homogenní poloprostor; budeme ho charakterizovat jedinou souřadnicí x, hloubkou pod povrchem. Při mnohonásobném pravidelném opakování teplotních změn na povrchu bude vliv počáteční teploty menší, než vlivy, které zanedbáváme (např. nehomogennost půdy, odchylky od přesné periodičnosti průběhu povrchové teploty a podobně). Teplotu v čase íav hloubce x označíme u{t, x). Vnitřní zdroje tepla v půdě (např. geotermální energii) neuvažujeme. Proto bude vývoj teploty popsán homogenní parabolickou rovnicí du ryd2u 90 interval J okrajová podmínka (—00, 00) (—00, 00) (0,oo) (0,oo) (OJ) (OJ) (OJ) (OJ) u(t, x) = u(t, x + í) J \u(t, x) \dx < 00, J \u(t, x) \dx < 00 -00 o u(t, 0) = 0, J \u(t, x)\dx < 00 o du 001 — (ŕ, 0) = 0, f \u(t,x)\dx < 00 dx o u(t,0) = 0 = u(tj) du, . n du, „. -(t,o) = o = -(M) u(t,0) = 0=°—(tj) du dx (t,0) = 0 = u(tj) G(x,U) 7 ( 1 + 2 Ee"1 4 } ťcos—(a;-0 G 4a2ŕ 2vWí e 4a2t _ 2ľ£ ■ sinn ■ e 4a2t x£ ■cosn ■ V^27 2aH 2 22, ŕí^o2 A;7T^ kiľ — > e v « / sm —f sm —x 7 (1 + 2 Ee"1 4 j *Cos—£cos—x 2 22 _((2k±i)_±Ýt ■ (2/j + 1)tt . (2k+l)ir 2í j 'sm--—£sm--—x ^fe=o 2£ 2£ 2 22 /(2fc+i)^af. (2/j + 1)7t (2/j + 1)tt - Y, e v 2í J cos--—£cos--—x e to 2í 2í (OJ) (OJ) (OJ) 3u u(t,0) = O, —(tj) = -hu(tj) ox ^(í,0) = 0, ^-(tJ) = -hu(tJ) (lil (lil ^(t,0) = hu(t,0), ^(tJ) = -hu(tJ) ~ (fr2 + Afc) ,xu ti £(h2 + Afe) + 2h sin V^fe£ sin V^XfeX, Afe jsou kladné kořeny rovnice y/\ = -h tg (VXl 2E feti ^2 + Afe) + 2h e a Afc* cos vAfe£cos vAfeX, Afe jsou kladné kořeny rovnice y/\ = h cotg (\/X£ -a Xut E ■ fe=i h cos vÄfe£ H---j= sin vAfe£ cos vAfeX -|—__ sm y/X^x h £ h2£ + 2h - A-- 2 Afe jsou kladné kořeny rovnice 2Afe VÄ h h ~ x/Ä = 2 cotg ( kde a2 vyjadřuje koeficient teplotní vodivosti půdy. Teplota na povrchu bude vyjádřena okrajovou podmínkou «(í,0) = m(í), (2-94) kde n je nějaká spojitá periodická funkce. Jakožto spojitá periodická funkce je /i také ohraničená, tj. existuje nějaká hodnota M, že \n(t)\ < M pro tel. Teplota půdy v dlouhodobém časovém horizontu nemůže překračovat nejvyšší teplotu na povrchu a nemůže klesnout pod jeho nejnižší teplotu (poněvadž neuvažujeme žádné vnitřní zdroje tepla nebo chlazení). Proto budeme hledat řešení, které splňuje podmínku ohraničenosti \u(t,x)\ < M pro t e R, x > 0. (2.95) Hledáme tedy funkci u : [0,oo) xM-íl, která splňuje rovnici (2.93) a podmínky (2.94), (2.95). Poněvadž funkce /i je spojitá a periodická, můžeme ji vyjádřit ve tvaru absolutně a stejnoměrně konvergentní Fourierovy řady4 oo fj,(ť) = + (ak cos kujt + bk sin kujt); fe=i přitom 2-it/ĺu 2-it/u. ak = — ir o Je zřejmé, že pokud funkce ví splňují rovnici (2.93) s okrajovými podmínkami Vi(t,0) = fi(t), i = 1,2, pak také jejich součet v = v i + v 2 splňuje rovnici (2.93) a navíc okrajovou podmínku v(t, 0) = ipi(ť) + 0' (2.99) v(t,0) = akeikut, teR s komplexní okrajovou podmínkou. Snadno ověřme, že reálná část řešení této úlohy je také řešením úlohy (2.93), (2.97). Řešení úlohy (2.99) budeme hledat v exponenciálním tvaru v(t,x) = akeat+^. Pak je v(t,0) = akeat a porovnáním s okrajovou podmínkou v úloze (2.99) vidíme, že a = ikuj. Dále ^(t,x) = aake^*, ^(t,x) = ^ak^\ 4 Pokud uvažujeme roční kolísám teploty, je w = 2-ľr/rok. 93 takže po dosazení do rovnice v úloze (2.99) a snadné úpravě dostaneme a = a2 j32. Odtud a2/32 = iku. Z této kvadratické rovnice s komplexními koeficienty vypočítáme ß = ±(l + i) Dostáváme tak řešení pomocné úlohy (2.99) ve tvaru kuj 2^2 v(t, x) = ak exp [ ikujt ± (1 + í)\j ^—^ x J = ak exp | ± kuj \ 2a^X 6XP i kut ± k u 2^2 Z tohoto vyjádření je zřejmé, že řešení se znaménkem „+" je neohraničené; vyhovuje tedy tedy pouze funkce se znaménkem „—". Proto omezené řešení úlohy (2.93), (2.97) je reálnou částí posledního výrazu, v němž místo symbolu „±" píšeme znaménko „—", tj. vk(t, x) = ak exp ( -\l ^ x ) cos [ kut - kuj 2^2 Analogicky najdeme ohraničené řešení úlohy (2.93), (2.98) ve tvaru kuj wk(t, x) = bk exp -\ — x sin kut - \ — x 2a kuj 2a2 Celkem tak dostáváme řešení úlohy (2.93), (2.94), (2.95) ve tvaru nekonečné řady fe=i kuj 2a2 kuj ak cos kut — \ —- x + bk sin kut — \ —- x 2a ku 2a2 kde koeficienty akl bk jsou dány integrály (2.96). Výraz v hranatých závorkách můžeme upravit5 a výsledek zapsat ve tvaru u(t,x) = ^ + ^2Ak(x)cosku(t - Sk(x)), k=l kde Ak(x) = < exp ku 2^2 V4 + bt -, 4 + biro, jinak, 5k(x) = 1 2ka2u 1 +. bk a. o — arctg—, ak Ý 0, ku ak 7T ak = 0. Teplotní vlny Úloha o vedení tepla v půdě je jedním z prvních příkladů užití matematické teorie tepla. Za zjednodušujících předpokladů ji řešil již Joseph Fourier6. Předpokládal, že teplota na povrchu 5 Při výpočtu používáme vzorce cos(to — arctg Ě) = — cos ip H--, sin to. 6J. Fourier: Theorie analytique de la chaleur. Firmin Didot Pere et Fils, Paris 1822. 94 v průběhu roku (čas vyjadřoval ve dnech) je rovna součtu průměrné roční teploty a teploty specifické pro den, která je úměrná výšce Slunce nad obzorem za poledne. Pokud se tedy čas t počítá od okamžiku letního slunovratu, je povrchová teplota vyjádřena funkcí Li(ť) = T + jcosujt, kde T je průměrná roční teplota, 7 je příslušná konstanta úměrnosti a frekvence uj má hodnotu ^ A -1 uj = -den 365,26 Při této volbě tedy je ciq = 2T, a\ = 7, a2 = &3 = • • • = 0 = b\ = b2 = ■ ■ ■ a řešení úlohy du n d2u m ~dt= dx^' * ' X > ' u(t,0)=T + jcosujt, \u(t, ■ )| < \T\ + \-y\ íeK je dáno výrazem u(t, x) = T + 7e V x cos ( — \ I —- x ) = T + je V 2^ x cos uj I t — 2a2 ' \ V 2a2uj Označme A(x) = 7e v x^ s(x) = Řešení nyní můžeme zapsat ve tvaru 1 ■ x. 2a2uj u(t,x) = T + A(x) cos oj{t- 5(x)) a interpretovat ho jako šíření teplotních vln v půdě. Přitom A(x) vyjadřuje amplitudu kolísání teploty v hloubce x, S(x) vyjadřuje opožďování S(x) maxim (minim) teplot v hloubce x od příslušných 2tt okamžiku na povrchu. Výsledek lze také přepsat pomocí periody t = — kolísání povrchové teploty uj jako 2tt u(t, x) = T + A(x) cos — (ŕ - S (x)); při tomto zápisu je A(x) =ie-i^x, ó(x) = ^-J-x. 2a y ir Mění-li se po dlouhou dobu periodicky teplota na povrchu, nastává v půdě kolísání teploty s toutéž periodou. Přitom platí: 1. Amplituda A(x) kolísání teploty v hloubce x klesá exponenciálně s hloubkou; rostou-li hloubky s aritmetickou posloupností, klesají amplitudy s geometrickou posloupností (první Fourierův zákon). V hluboké studni nebo v jeskyni je dlouhodobě téměř konstantní teplota přibližně se rovnající průměrné roční teplotě na povrchu. 2. Teplota v půdě kolísá s jistým fázovým zpožděním za kolísáním teploty na povrchu; opožďování S(x) teplotních extrémů v hloubce x je úměrné této hloubce (druhý Fourierův zákon). V hloubce x se teplotní extrém projeví za čas S(x) od jeho výskytu na povrchu, což lze chápat i tak, že teplo se v půdě šíří konstantní rychlostí ó(x) V2a2uj = 2Ja2- Poznamenejme, že tato rychlost má formálně stejné vyjádření, jako rychlost difundující látky vznikající autokatalytickou reakcí (viz str. 74nn), přičemž reakční rychlost odpovídá poloviční frekvenci kolísání teploty. 95 3. Hloubka pronikání teploty do půdy závisí na periodě kolísání teploty na povrchu. Relativní změna amplitudy v hloubce x je rovna 7 při kolísání povrchové teploty o periodách t\ a t2 budou hloubky x\ a x2, ve kterých dochází ke stejným relativním změnám teploty, v poměru Xl V Tl ' (třetí Fourierův zákon). 2.4 Rovnice reakce-difúze 2.4.1 Lineární rovnice Uvažujme lineární parabolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných u du dt dx2 s kladnými parametry D, r. Pro zjednodušení zápisu změníme měřítko nezávisle proměnných, tj. zavedeme bezrozměrný cas 7" a bezrozměrnou prostorovou proměnnou £ vztahy £=W—x, t = rt. Pak je du dr du du d2u d£ d (d£ du\ j~~F d / PFdu\ r d2u ~ďt ~~díd7~rd7' ďx2 ~ Ihiďí, vaíoěj ~ \~D~dl, vv^^ěj ~ ĎT^' po dosazení do rovnice a vykráčení parametru r dostaneme lineární parabolickou rovnici bez parametrů ve tvaru du d u dr de Bez újmy na obecnosti se tedy můžeme zabývat rovnicí bez parametrů du d2u dt dx 2 , ~, (2.100) v níž opět čas označujeme t a prostorovou proměnnou x. Tato rovnice je lineární a splňuje princip superpozice (o tom se lze přesvědčit přímým výpočtem) - množina jejích řešení tvoří vektorový prostor. Zejména nulová funkce uq = 0 je řešením rovnice (2.100). Toto řešení je současně stacionární (nezávisí na čase ť) a prostorově homogenní (nezávisí na prostorové proměnné x). Pokud k rovnici (2.100) přidáme nějaké homogenní okrajové podmínky, bude množina řešení příslušné okrajové úlohy také tvořit vektorový prostor; ten je průnikem prostoru řešení rovnice (2.100) a prostoru funkcí, které splňují okrajové podmínky. A. Rovnice na úsečce Budeme vyšetřovat některé kvalitativní vlastnosti řešení rovnice (2.100) uvažované pro t > 0 a x G (0, £), kde £ je nějaké kladné číslo. Přitom budeme požadovat splnění homogenních okrajových 96 podmínek. Abstraktněji řečeno, budeme se zabývat některými vlastnostmi zaměření afinního prostoru řešení okrajových a počátečních úloh pro rovnici (2.100). Rovnice s Neumannovými okrajovými podmínkami Uvažujme rovnici (2.100) na intervalu (0,1) prostorové proměnné s homogenními Neumannovými okrajovými podmínkami £m) = 0=£(M)' í>0. (2.101) Podle 2.2.1 a 2.3.6 je řešení úlohy (2.100), (2.101) dáno řadou u(t, x) = ape* + afe exp fe=i cos ~xi kde konstanty ao,&i,&2,-.. závisí na počáteční funkci u(0, ■); také lze říci, že volba konstant ao, ai, &2, ■ ■ ■ určuje počáteční funkci. Zejména tedy vidíme, že úloha (2.100), (2.101) má prostorově homogenní řešení tvaru uh(t,x) = a0e*. Pro tato řešení platí m^(0, •) = ao, a pokud ao 7^ 0, pak lim |u/i(r,x)| = 00, pro všechna x G (0,£). Úloha (2.100), (2.101) má vždy řešení, které roste nade všechny meze pro t —> 00, i když je jeho počáteční hodnota jakkoliv malá (ale nenulová). Rovnice s Dirichletovými okrajovými podmínkami Rovnice (2.100) na intervalu (0, £) prostorové proměnné s homogenními Dirichletovými okrajovými podmínkami u(t,0) = 0 = u(t,£), t>0, (2.102) má podle 2.2.1 a 2.3.6 řešení ve tvaru řady 00 u(t, x) = afe exp fe=i 1 ~ 1 T srn — x, (2.103) kde konstanty jsou určeny počáteční funkcí u(0, ■), nebo ji určují. Budeme o ní předpokládat, že je ohraničená a integrabilní. Ve výrazu na pravé straně rovnosti (2.103) se objevuje poměr tt/£. Proto rozlišíme tři možnosti velikosti délky £. • £ < 7r: V tomto případě pro každé k = 1, 2, 3,... platí i-(f)2 00 klesají k nule, takže lim u(t,x) = 0 pro všechna x G (0,£). • £ = 7r: Řešení (2.103) můžeme přepsat do tvaru 00 u(t, x) = cii sin x + afe exp fe=2 1 - kir T . kiľ sin ~x- 97 Opět všechny exponenciální funkce monotónně konvergují k 0 pro t —> oo, takže lim u(t, x) = a>i smx pro všechna x G (0, i). Ještě si můžeme všimnout (a přesvědčit se o tom přímým výpočtem), že pro libovolnou hodnotu a>i je funkce un daná vztahem un(t, x) = a>i smx řešením úlohy (2.100), (2.102). Toto řešení je stacionární (nezávisí na čase ť) a prostorově nehomogenní (závisí na prostorové proměnné x). i > ir: Úloha (2.100), (2.102) má (mimo jiné) řešení dané formulí . 2 u{t, x) = a>i exp Přitom sin —x. takže pro libovolnou hodnotu a\ ^ 0 (ať je absolutní hodnota a\ sebemenší) platí lim |it(t,2ľ)| = oo pro všechna x G (0,£). Rovnice s Robinovými okrajovými podmínkami Rovnice (2.100) s homogenními Robinovými okrajovými podmínkami uu uu — (t,0)=au(t,0), —(t,£) = -au(t,£), t > 0, (2.104) ox ox kde a > 0 má podle 2.2.1 a 2.3.6 řešení ve tvaru řady u(t, x) = Y] afee(1-Afc)t ( cos ^/\f,x + sin x) , (2.105) fe=i V Afe / kde vlastní hodnoty Ai, A2, ■ ■ ■ jsou kladné kořeny rovnice — -^ = 2cotgVA£ (2.106) uspořádané podle velikosti, Ai < A2 < A3 < • • •. Konstanty jsou opět určeny počáteční funkcí u(0, ■), nebo ji určují. Z vyjádření (2.105) vidíme, že hodnota Ai určuje chování řešení úlohy (2.100), (2.104). Pokud Ai > 1 (a tedy všechna Afe > 1), pak lim u{t,x) = 0 pro všechna x G (0,£). í—>oo Pokud Ai < 1, pak má úloha (2.100), (2.104) řešení u(t,x)=e(-1 Al)t ^cos \/%_x + ^- sin \f\[x^j pro něž platí lim u(t,0) = 00. Úloha tedy má neokraničené řešení. í—>oo Pokud Ai = 1, pak má úloha (2.100), (2.104) neomezeně mnoho stacionárních prostorově nehomogenních řešení tvaru un(í, x) = a>i (cos x + a sin x), 98 kde a>i jsou nenulové konstanty. Na rovnici (2.106) se můžeme dívat jako na implicitní zápis funkce A jedné reálné proměnné £, A = X(£). Najdeme její derivaci A'. Platí d f y/X a \ ,,X + a2 d n r-n w i 2y/X —----=■ =A'-= a —2cotg VAľ = —A-?--— dé\a 2a VA3 VxUVXt) UnVXt 2 1 Porovnáním výrazů na pravých stranách těchto rovností vypočítáme 4aX2 X' 2aX£ + (A + a2) ^sin a to znamená, že A' < 0, takže funkce A je klesající. Je-li tedy A = 1 pro nějakou hodnotu nezávisle proměnné £, pak nalevo od této hodnoty je A > 1 a napravo od ní je A < 1. Pro analýzu chování řešení úlohy (2.100), (2.104) při í^oov závislosti na délce i definičního intervalu tedy stačí najít kritickou hodnotu ľ^rit takovou, že A(^krit) = 1; pak pro £ < ľ^rit všechna řešení úlohy při ŕ —> oo vymizí, pro £ > ľ^rit bude existovat neohraničené řešení. Dosazením ľ^rit za £ v rovnici (2.106) dostaneme rovnici í-a2 —-= cotg4rit, 2a která má řešení ľ^rit = 2arctga, jak se snadno přesvědčíme přímým dosazením. Shrnutí Ještě si povšimněme, že Neumannovy podmínky (2.101) jsou speciálním případem Robinových podmínek (2.104) pro a = 0. Robinovy podmínky s a > 0 můžeme přepsat na tvar 1 Fin 1 Fin u(t,0) = -?-(t,0), u(t,£) = —^-(t,£), í>0; (2.107) a ox a ox z něho vidíme, že Dirichletovy podmínky (2.102) jsou limitním případem Robinových podmínek pro a —> oo. Výsledky provedené diskuse řešení úlohy (2.100), (2.104)/(2.107) s £ > 0 můžeme zapsat: Nechť 0 < a < oo. • Je-li £ < 2 arctg a, pak pro každé řešení u úlohy platí lim u{t,x) = 0, pro všechna x G [0,£], tj. nulové řešení rovnice (2.100) je atrahující. • Je-li £ = 2 arctg a, pak existují prostorově nehomogenní stacionární řešení úlohy; tato řešení jsou tvaru un(t,x) = ai(cos:r + asinx) = a\ y/1 + a2 cos(x — arctg a), kde ai ^ 0. • Je-li £ > 2 arctg a, pak existuje neohraničené řešení úlohy; podrobněji, existuje řešení u takové, že pro libovolné s > 0 je max {|it(t, x)\ : x G [0,ľ]} < s a lim max {|it(í, x)\ : x G [0,ľ]} = oo. í—>oo 99 B. Rovnice na přímce putující vlna Přímým výpočtem se můžeme snadno přesvědčit, že rovnice (2.100) má řešení v exponenciálním tvaru u(t, x) = Ae-fíX+^1+^t, (2.108) která jsou definována pro všechna t, x G M; parametry A a /i jsou libovolná reálná čísla. Je-li H = 0, dostaneme prostorově homogenní řešení (nezávisející na prostorové proměnné x) ve tvaru exponenciální funkce. Nechť /i 7^ 0 a označme Pak řešení (2.108) můžeme přepsat jako u{t,x) = U{x-ct) (2.109) a interpretovat tak, že graf počáteční funkce u(0, ■) = U se pohybuje konstantní rychlostí c; je-li H > 0, pohybuje se doprava (v kladném směru osy x), je-li /i < 0, tak doleva. Proto se řešení rovnice (2.100), které lze zapsat ve tvaru (2.109) někdy nazývá putující vlna (travelling wave). Rychlost c postupu putující vlny závisí na parametru /i. Vyšetřením průběhu funkce 1+M2 c = c(/z) = - m zjistíme, že pro /i > 0 je c > 2, pro /i < 0 je c < —2. Minimální rychlost putující vlny tvaru (2.108) (bez ohledu na směr postupu) je c = cm;n = 2. K rychlosti putující vlny se lze dopracovat i jiným, obecnějším, způsobem. Hledejme, pro jaké hodnoty c má rovnice (2.100) řešení tvaru (2.109), kde U je monotónní funkce jedné proměnné. Řešení musí splňovat rovnici (2.100). Jinak řečeno, poněvadž dii d2ii — (t, x) = -cU'(x -ct), —(t,x) = U"(x- ct), musí funkce U splňovat obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu -cU' = U" + U, po úpravě U" + cU' + U = 0. Aby tato rovnice měla monotónní řešení, musí být kořeny její charakteristické rovnice A2 + cA +1 = 0 reálné, tj. c2 - 4 > 0. Minimální rychlost putující vlny (bez ohledu na orientaci) je opět cm;n = 2. Rovnice s podmínkami integrability Řešení rovnice (2.100) definované pro x G M ve tvaru (2.108) nesplňuje podmínky integrovatelnosti 0 oo \u(t,x)\dx < co, / \u(t,x)\dx < co, pro t > 0. (2.110) Můžeme ho však modifikovat. Připustíme pouze nezáporné hodnoty parametru /i, položíme u(t, x) = Ae-^+^+^t = Ae^+ľ'^e-ľW (2.111) 100 a lehce ověříme, že se skutečně jedná o řešení úlohy (2.100), (2.110). Můžeme ho interpretovat jako dvě putující vlny symetrické kolem počátku, které se od něho vzdalují rychlostí c=I±ií>2. M Ještě připomeňme, že v 2.3.3 jsme také našli jedno explicitní řešení úlohy (2.100), (2.110); konkrétně se jedná o řešení (2.65) s a = r = 1, tj. řešení tvaru u(t,x) = Aé —^=e-£. (2.112) 2V^rf Ukázali jsme tam také, že pro dostatečně velký čas t se hodnota x prostorové proměnné, pro niž platí \u{t, x)\ = S > 0, pohybuje konstantní rychlostí 2, tj. tou nejmenší možnou (sr. formuli (2.66) s a = r = 1). Obě formule (2.111) a (2.112) jsou vlastně stejného typu - nějaká exponenciální funkce času násobená hustotou nějakého rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0; ve formuli (2.112) se jedná o normální rozdělení s časově proměnným rozptylem \t2, ve formuli (2.111) se jedná o Laplaceovo (dvojitě exponenciální) rozdělení s konstantním rozptylem l//i2. 2.4.2 Fisherova-Kolmogorovova rovnice Jedná se o rovnici reakce-difúze s nelineárním reakčním členem du d2u .„ „ „ „n Tt = dx~2+U{l-U)- (2'113) Tato rovnice modeluje šíření výhodné allely v populaci7, nebo šíření populace v prostoru, přičemž velikost populace roste logisticky. Nebudeme hledat řešení rovnice (2.113) splňující obecné počáteční nebo okrajové podmínky. Omezíme se na některá speciální řešení a jejich některé vlastnosti, které jsou užitečné pro aplikace. A. Rovnice na úsečce Budeme hledat nezáporné stacionární, tj. na čase nezávislé, řešení rovnice (2.113) definované na konečném intervalu (0,1), které splňuje Dirichletovy okrajové podmínky u(t,0) = 0 = u(t,e), t>0. (2.114) Jinak řečeno, hledáme takové řešení u : [0,oo) x [0,£] —>• [0,oo) úlohy (2.113), (2.114), že pro libovolné časové okamžiky t\,t^ > 0 a libovolný bod x G [0,1] platí u{t\,x) = u{t2,x) (nebo ekvivalentně, pro všechna t > 0, x G [0,ľ] platí -^u(t,x) = 0). Pak lze zřejmě psát u{t, x) = U (x) pro t > 0, 0 < x < i, kde U je dvakrát diferencovatelná funkce definovaná na intervalu [0, £], která splňuje obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu U" + U (í - U) = 0, 0 0. Tato funkce má splňovat okrajové podmínky (2.116) a nemá být identicky nulová; to znamená, že v nějakém bodě musí být kladná, někde nalevo od takového bodu pak bude rostoucí (a tedy její derivace tam bude V kladná), někde napravo klesající. Za stavový prostor systému (2.117) lze tedy vzít množinu fž = [0, oo) x R. Systém (2.117) má jedinou č7-nulklinu V = 0, nad osou U jsou trajektorie orientovány doprava (v kladném směru osy U), pod ní doleva. Dále má systém dvě y-nulkliny U = 0 (tvořící hranici stavového prostoru Í2) a U = 1, pro 0 < U < 1 jsou trajektorie orientovány dolů (v záporném směru osy V), pro U > 1 jsou orientovány nahoru. Stavový prostor je znázorněn na obr. 2.2(a). Vidíme, že systém (2.117) má dva rovnovážné body (0, 0) a (1, 0). Jeho variační matice je m v) o 2U 1 1 0 takže platí det J(1,0) = = -1< 0, tr J (0,0) = tr -1 = 0. To znamená, že rovnovážný bod (1,0) je sedlo (což je vidět i z obrázku), rovnovážný bod (0,0) ležící na hranici stavového prostoru fž není hyperbolický. Vydělením rovnic systému (2.117) dostaneme obyčejnou rovnici prvního řádu se separovanými proměnnými dV _ U(U-Í) áU ~ V ' která má obecné řešení 3(V2 + U2) - 2U3 = const. (2.118) Touto rovností jsou implicitně zadány trajektorie systému (2.117), výraz na její levé straně je jeho invariantem; označíme ho 0 trajektorie skončí v sedle (1, 0). Odpovídající řešení rovnice (2.115) je tedy kladné pro každé x > 0 a nemůže proto splnit druhou okrajovou podmínku (2.116) pro konečnou hodnotu £; také můžeme říci, že řešení rovnice (2.115) s počáteční podmínkou U(0) = 0, U'(0) = Vkrit je pro x > 0 kladné a platí pro ně lim U(x) = 1. x—>oo Trajektorie systému (2.117), které začínají v bodě (0, Vo) takovém, že 0 < Vo < Vkrit, skončí pro jistou konečnou hodnotu xq > 0 na hranici stavového prostoru fž v bodě (0,—Vo). Těmto trajektoriím odpovídají řešení okrajové úlohy (2.115), (2.116) s £ = xq. Pro taková řešení vždy platí U(x) < 1 pro všechna x G (0,£); přitom maximální hodnota řešení U roste s rostoucí počáteční hodnotou V(0) = U'(0). Poněvadž hodnoty funkce U jsou menší než 1, plyne z rovnice (2.115), že U"(x) = U(x)(U(x) - 1) < 0 pro x G (0,£), takže funkce U je ryze konkávni. Nekonstantním řešením okrajové úlohy (2.115), (2.116) odpovídají právě takové trajektorie systému (2.117), které začínají uvnitř úsečky {(0, V) : 0 < V < Vkrit}- Trajektorie systému (2.117), které zanikají v sedle (1, 0) nebo z něho vycházejí, jsou implicitně dány rovnicí (2.118) s const = 1. Odtud vypočítáme, že Vkrit = \J\ = 0,57735. Dále můžeme upřesnit, že stavový prostor systému (2.117), v němž jsou trajektorie odpovídající řešením úlohy (2.115), (2.116) je množina (U, V) G R2 : 0 < U < 1,\V\ < (1 + 2ř73 — 3ř72) Ještě vyšetříme trajektorie systému (2.117) v okolí počátku. Je-li hodnota U „malá", U 0 je „malé" číslo, je dáno rovností U(x) = esinx. Tato funkce je kladná pro x G (0, tt) a pro xq = £ = tt je nulová. Z tohoto výsledku nahlédneme, že řešení rovnice (2.115), které „startuje" v bodě 0 se sebemenší kladnou derivací (tj. řešení s počáteční podmínkou U(0) = 0, U'(0) = s) „skončí" v 0 až ve vzdálenosti tt. Jinak řečeno, okrajová úloha (2.113) , (2.114) může mít prostorově nehomogenní nezáporné stacionární řešení pouze pro £ > tt. Stabilita stacionárních řešení Našli jsme dvě nezáporná stacionární řešení Dirichletovy okrajové úlohy (2.113), (2.114) pro Fisherovu-Kolmogorovovu rovnici. Jsou to triviální konstantní řešení uq = 0 a nekonstantní řešení Un = Un(t, x) = U(x), kde U je řešení okrajové úlohy (2.115), (2.116) pro obyčejnou diferenciální rovnici. Vyšetříme stabilitu těchto stacionárních řešení, tj. podíváme se, jak se v čase chová řešení úlohy (2.113), (2.114) , které se na počátku „liší málo" od stacionárního. Prostorově homogenní řešení: Nejprve uvažujme „malou" odchylku v od nulového řešení. Funkce v musí splňovat rovnici (2.113) a poněvadž v je „malá", zanedbáme v ní kvadratický člen 103 v2. Funkce v je tedy řešením počáteční úlohy dv d2v = g^2+v> t>0, 00. Jedná se tedy o Dirichletovu úlohu pro lineární rovnici reakce-difúze na úsečce, kterou jsme vyšetřovali v 2.4.1. Můžeme tedy říci, že nulové řešení úlohy (2.113), (2.114) je asymptoticky stabilní pro £ < tt a nestabilní pro l > tt. Prostorově nehomogenní řešení: Pokud je £ > tt, pak má úloha (2.113), (2.114) nekon-stantní stacionární řešení un. Uvažujme řešení této úlohy, které se „málo" liší od un, tedy řešení tvaru U(x)+w(t,x), (2.120) kde odchylka w je nějaká „malá" funkce. Platí podle (2.115). Po dosazení funkce (2.120) do pravé strany rovnice (2.113) tak dostaneme PP"1Í) PP"1Í) U(U - 1) + ^— + (U + w)(í -U-w) = ^— + (l- 2U)w - w2. ox^ ox^ Poněvadž odchylku považujeme za „malou", zanedbáme kvadratický člen w2. Odchylku w tedy považujeme za řešení okrajové úlohy dw d2w m=^ + (í-2U^ *>°.°<*«. (2.121) w(t,0) = 0 = w(t,£), t>0. Tuto úlohu budeme řešit Fourierovou metodou, tj. řešení budeme hledat ve tvaru w{t,x) = T(t)X(x). Po dosazení do rovnice dostaneme T'X = TX" + (1 - 2U)TX, neboli ? = ^—..... Výraz na levé straně nezávisí na prostorové proměnné x, výraz na pravé straně nezávisí na čase t; oba výrazy jsou tedy rovny nějaké konstantě, řekněme —A. Funkce T je tedy řešením obyčejné lineární rovnice prvního řádu T' = -\T, (2.122) a funkce X je řešením obyčejné lineární rovnice druhého řádu -X" - (1 - 2U)X = XX. (2.123) Aby byly splněny okrajové podmínky pro funkci w v úloze (2.121), musí platit X(0) = 0 = X(£). (2.124) Funkce X je tedy řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (2.123), (2.124). Podle Věty 3 v C.2 existují vlastní hodnoty Ai < A2 < A3 < • • • a k nim příslušné vlastní funkce X\,X2, X%, 104 Přitom funkce X\ na intervalu (0, £) nemění znaménko. Ukážeme, že Ai > 0 (a v důsledku toho jsou všechny vlastní hodnoty kladné). Funkce Xi splňuje rovnici (2.123) s A = Ai, tedy pro ni platí X"(x) + (Ai + 1 - 2U(x))X1(x) = 0. Tuto rovnost vynásobíme výrazem U(x) a upravíme na tvar U{x)X'{{x) - U"(x)X1(x) = UixfX^x) - \1U{x)X1{x); využili jsme toho, že funkce U splňuje rovnici (2.115). Levou stranu zintegrujeme v mezích od 0 do £ a využijeme faktu, že funkce U, resp. X\ splňuje okrajové podmínky (2.116), resp. (2.124). Dostaneme (U{x)X'{{x) - U"{x)X1{x))dx = = [U(x)X[(x)]Q - j U'(x)X'1(x)dx - [U'(x)X1(x)]Q + j U'(x)X'1(x)dx = 0. o o To znamená, že po integraci pravé strany ve stejných mezích obdržíme rovnost UixyX^dx = Ai J U(x)X1(x)dx. o o Funkce U je uvnitř intervalu (0,£) kladná, funkce X\ je zde nenulová a nemění znaménko. To znamená, že oba integrály v poslední rovnosti jsou nenulové a mají stejné znaménko. Z toho dále plyne, že Ai > 0. Sturmova-Liouvilleova úloha (2.123), (2.124) má tedy všechny vlastní hodnoty kladné. Jelikož řešení rovnice (2.122) s A = A& je dáno rovností Tfe(í) = bke-x«\ kde bk je nějaká konstanta (závislá na počáteční hodnotě), dostáváme řešení okrajové úlohy (2.121) ve tvaru řady }{t,x)=Ydbke-x*tXk{x). k=l Poněvadž jsou všechna A& kladná, jsou všechny exponenciální funkce e~Afct klesající s limitou 0, a proto platí lim w(t, x) = 0 pro všechna x G [0, £]. To znamená, že „malá" odchylka od stacionárního řešení un v průběhu času neroste a v limitě t —> oo vymizí. Řešení un je tedy asymptoticky stabilní. Bifurkace v úloze (2.113), (2.114) Na úlohu (2.113), (2.114) se můžeme dívat jako na úlohu s jedním kladným parametrem £. Dosažené výsledky shrneme: • Je-li £ < tt, pak má úloha (2.113), (2.114) jediné stacionární řešení uo = 0, které je asymptoticky stabilní. • Je-li £ > tt, pak má úloha (2.113), (2.114) dvě stacionární řešení. Prostorově homogenní řešení uq = 0 je nestabilní. Prostorově nehomogenní řešení un je dáno výrazem un(t,x) = U(x), 105 Obrázek2.3: Stavový prostor autonomního systému (2.117) a trajektorie odpovídající stacionárním řešením úlohy (2.113), (2.125) kde funkce U je řešením okrajové úlohy (2.115), (2.116). Je to nezáporná ryze konkávni funkce taková, že max{ř7(x) : 0 < x < £} < 1. Stacionární řešení un je asymptoticky stabilní. Rovnice s Robinovými nebo Neumannovými podmínkami Nyní se podívejme na řešení rovnice (2.113) na intervalu (0,1), které splňuje okrajové podmínky uu uu — (í,0) = au(t,0), —(t,£) = -au(t,£), t > 0, (2.125) ox Ox kde a je nezáporné číslo. Pokud a > 0, jedná se o Robinovy podmínky, pokud a = 0, jedná se o Neumannovy podmínky. Opět budeme hladet stacionární, prostorově homogenní nebo nehomogenní, řešení rovnice (2.113) s okrajovou podmínou (2.125). V podstatě můžeme opakovat provedenou analýzu úlohy (2.113), (2.114). Prostorově homogenní řešení je nulové. Prostorově nehomogenní řešení bude opět řešením obyčejné rovnice (2.115), tentokrát s okrajovou podmínkou U'(0) = aU(0), U'{£) = -aU{£). (2.126) Počáteční podmínky pro řešení systému (2.117) proto budou V(0) = aU(0), V{£) = -aU{£). (2.127) Trajektorie systému (2.117) odpovídající stacionárním řešením úlohy (2.113), (2.125) leží proto v jistém zúžení stavového prostoru pro systém (2.117), konkrétně v množině {(U,V)-.Q 0 s počáteční podmínkou tvaru U(0) = -, V(0)=s. (2.128) a První složka řešení úlohy (2.119), (2.128) je dána rovností s . . eyl 2 U(x) = — (cos x + a sin x) = -cos(x — arctg a) a Odtud plyne, že hodnota U(xq) je stejná jako U(0) pro xq = 2 arctg a (tj. trajektorie začínající v bodě (s/a, s) skončí v bodě (s/a, —e) pro xq = 2 arctg a). Z toho je vidět, že minimální hodnota £, pro niž má úloha (2.113), (2.125) prostorově nehomogenní stacionární řešení je větší než 2 arctg a; použijeme označení ^krit(c*0 = 2 arctg a. Pro a = 1 je 4rit = \k. Ještě si připomeňme, že Dirichletovy podmínky (2.114) jsou mezním případem Robinových podmínek (2.125) pro a —> oo. Platí lim ľkrit (&) = 2 lim arctg a = tt v souladu s předchozím výsledkem pro Dirichletovu úlohu (2.113), (2.114). V případě Neumannových podmínek (2.125) s a = 0 zdegeneruje stavový prostor systému (2.117) na úsečku {(U,0) :0 0, pak má úloha (2.113), (2.125) jediné prostorově homogenní stacionární řešení uq = 0. Toto řešení je pro £ < 2 arctg a asymptoticky stabilní, pro £ > 2 arctg a je nestabilní. • Je-li a > 0 a £ > 2 arctg a, pak má úloha (2.113), (2.125) prostorově nehomogenní stacionární řešení un(t,x) = U(x), kde U je řešením okrajové úlohy (2.115), (2.126); je to nezáporná konkávni funkce taková, že max{ř7(x) : 0 < x < £} < 1. Toto řešení je asymptoticky stabilní. 107 B. Rovnice na přímce putující vlna Budeme hledat nezáporné řešení rovnice (2.113) definované pro každé t > 0 na neomezeném intervalu (—00,00), které má tvar putující vlny u(t,x) = U(x-ct), (2.129) kde c je nějaká kladná konstanta, vyjadřující rychlost této vlny. Funkce U jedné proměnné vyjadřuje tvar putující vlny. Budeme po ní požadovat U(0 > 0, lim [/(£) = 1, lim [/(£) = 0. (2.130) Takové řešení modeluje invazi populace do neobsazeného prostředí o jednotkové kapacitě (úživ-nosti), nebo šíření výhodné allely v prostorově rozložené populaci. Řešení tvaru (2.129) musí splňovat rovnici (2.113), tedy dii ô d2u ô2 — (t,x) = —U(x - ct) = -cU'(x - ct), — = q^U(x - ct) = U"(x - ct), a po dosazení do rovnice (2.113) -cU'(x - ct) = U"(x - ct) + U(x - ct) (1 - U(x - ct)). To znamená, že funkce U je řešením autonomní rovnice druhého řádu U" = -cU' + U(U -1). Tuto rovnici přepíšeme standardním způsobem jako dvojrozměrný systém prvního řádu, tj. zavedeme novou novou funkci V vztahem V(£) = U'(£) pro (£l. Dostaneme tak systém jj' = y v = u(u -1) - cv. (2-131) Tento systém má dva rovnovážné (stacionární) body (0,1) a (0, 0). Řešení systému (2.131), jehož první složka má požadované vlastnost (2.130), je ve ve stavovém prostoru reprezentována hetero-klinickou trajektorií, která vychází z bodu (1,0), vstupuje do bodu (0,0) a neopustí polorovinu U > 0. Budeme hledat podmínky, za jakých taková heteroklinická trajektorie existuje. Variační matice systému (2.131) je Konkrétně 0 1 2U-Í -c -1(1,0)=^ , det J(1,0) = -1< 0, což znamená, že stacionární bod je sedlo. Při každé hodnotě c tedy existuje konečně mnoho trajektorií, které z bodu (1, 0) vychází. Dále J(0,0)=^_°1 ^ , det J(0,0) = 1 > 0, trJ(0,0) =-c< 0. Stacionární bod (0,0) je tedy stabilní uzel (pro c > 2) nebo ohnisko (pro c < 2). Trajektorie do bodu (0,0) vstupují; fázové portréty systému (2.131) pro dvě různé hodnoty parametru c jsou znázorněny na Obrázku 2.4. Pokud by stacionární bod (0, 0) byl ohniskem, libovolná trajektorie by ho obíhala a tak se dostala nalevo od osy V; tím by byl porušen první z požadavků (2.130). Touto úvahou dostáváme nutnou podmínku c>2 (2.132) 108 Obrázek 2.4: Fázové portréty systému (2.131) pro dvě různé hodnoty parametru c; c = 1 vlevo a c = 2 vpravo. pro existenci heteroklinické trajektorie systému (2.131) v polorovině U > 0, tj. pro existenci řešení rovnice (2.113) ve tvaru putující vlny. Ukážeme, že podmínka (2.132) je také dostatečná pro existenci heteroklinické trajektorie systému (2.131) spojující stacionární body (1,0) a (0,0). Ve stavovém prostoru systému (2.131) uvažujme trojúhelník P=\(U,V): 0 < U < Í,--U < V < 0 viz Obrázek 2.5. V jeho vrcholech (0,0) a (1,0) jsou stacionární body. Ve vrcholu ^1,—-^ má vektorové pole určené systémem (2.131) směr ^— — ,2^, je tedy orientováno dovnitř trojúhelníka P. Na vnitřku „horní" odvěsny je toto vektorové pole orientováno „dolů", na vnitřku „pravé" « 2 odvěsny „doleva". Vektor vnitřní normály k trojúhelníku P na přeponě V =--U má souřadnice (2,c). Pro 0 < ř7 < 1, V = --U, c>2 c nyní platí (2, c) • (U>, V) = (2, c) • (-IU, U(U - 1) + 2t/) = --U + cU(U - 1) + 2cU = c = cU2 + c - - )U > cU2 + 2 - - )U = cU2 > 0; 4\ „ . ... 4 c skalární součin vektoru vnitřní normály a vektorového pole je kladný. To znamená, že úhel, který svírá vnitřní normála s vektorovým polem je ostrý, takže vektorové pole je orientováno dovnitř trojúhelníka P. Celkem tak dostáváme, že trojúhelník P je positivně invariantní množinou systému (2.131). Uvnitř trojúhelníka P není žádný stacionární bod. Podle Bendixsonova kriteria ÍjV+W(U(U-l)-cV)=-c<0 8Přesněji: Pro U £ (0,1) a V = 0 je V = 0, V = U(U — 1) < 0, takže vektorové pole určené systémem (2.131) í 2\ 2 je orientováno v záporném směru osy V. Pro ľ = 1 a ľ é ÍO,--J je ř/' <--<0, takže vektorové pole je orientováno v záporném směru osy U. cl c 109 v Obrázek 2.5: Positivně invariantní množina systému (2.131) tam není ani žádný cyklus. Trajektorie vycházející z okolí bodu (1,0) uvnitř trojúhelníka P tak musí skončit ve stacionárním bodě (0,0), tj. existuje heteroklinická trajektorie spojující stacionární body (1, 0) a (0, 0). Ta representuje řešení rovnice (2.113) ve tvaru putující vlny. Na konci oddílu 2.4.2 jsme viděli, že c = 2 je rychlost putující vlny v lineární rovnici reakce-difúze (2.100) s počáteční podmínkou tvaru Diracovy distribuce. Tato úloha je modelem šíření malthusovsky rostoucí populace v prostoru, která na počátku byla koncentrována v jediném bodě, tedy zaujímala omezenou oblast. Populace rostoucí logisticky se z omezené oblasti těžko může šířit do prostoru rychleji, než populace rostoucí exponenciálně. Proto také pro rychlost c postupu putující vlny v rovnici (2.113) bude platit c < 2. Spolu s (2.132) tak dostáváme c = 2 jako rychlost putující vlny rovnice (2.113) s počáteční podmínkou u(0,x) = ip(x) > 0 takovou, že (p(x) = 0 při |x| > R pro nějakou hodnotu R. 2.4.3 Systém rovnic reakce-difúze — Turingův jev A. Rovnice na jednorozměrném prostoru s lineární reakcí Uvažujme soustavu dvou rovnic reakce-difúze s lineárními reakčními členy dui d2ui ° ÚX (2.133) du2 d2u2 -QJT = D2~Q^2 + a2\u\ + a22«2, kde Di, D2 jsou kladné konstantní difuzivity, a^, i, j = 1,2, jsou reálné parametry. Spolu s tímto systémem uvažujme soustavu obyčejných lineárních diferenciálních rovnic dui -— = auui + a12u2, (2.134) du2 —— = a21ux + a22u2, dt který popisuje reakci. Můžeme si představovat třeba homogenní reakci dvou kapalin o koncentracích u\ a u2, v případě systému (2.133) jsou v nějaké vodorovné trubici, v případě systému (2.134) protřepávaných v kádince. Při označení A=fai1 ai2V d=(dta, «=K Va21 «22/ \D2 \U2, 110 lze systémy (2.133) a (2.134) zapsat vektorově 9 x a2 , d —u d —^u + Au a — u = Au. dt oxz dt Systém obyčejných rovnic (2.134) má stacionární nulové řešení {u\,u2) = (0,0). Budeme o něm předpokládat, že je asymptoticky stabilní, tedy že jsou splněny podmínky |A|=det[ai1 fll2 ) = ana22 - ai2a2i > 0, tr [ &11 &12 ) = au + a22 < 0. (2.135) Vfl21 a22/ Vfl21 fl22/ Difúze je proces, kterým dochází k vyrovnávání koncentrací v uvažovaném prostoru. Lze tedy očekávat, že nulové řešení systému (2.133) bude stabilní - reagující látky jsou spotřebovány, reakce ustala v celém prostoru. Alan Turing však dokázal9, že tento intuitivní závěr není vždy správný. Ukážeme, za jakých podmínek je nulové řešení systému (2.133) s koeficienty splňujícími podmínky (2.135) nestabilní. Nejprve systém přepíšeme do mírně vhodnějšího tvaru. Zavedeme kladný bezrozměrný parametr 7, transformujeme nezávisle proměnné a zavedeme označení: r=-t, t = nL=x, d=^. (2.136) Pak je dui dr dui 1 dut dt dt dr 7 dr d£ d (d£ dui \ 1 d ( 1 dui \ 1 i = 1,2, i = 1,2. dx2 dx dx \dx dx J ^J^Di dS, °£, ) lD\ dS, Po dosazení do systému (2.133) a jednoduché úpravě dostaneme soustavu rovnic dui d2ui dr d^2 + 7 (aiiMi + ai2u2) . du2 d2u2 ~Q~ = ~Ô~£2~ + ^ (fl21Ml + fl22^2) . (2.137) Spolu s touto soustavou uvažujme homogenní okrajové podmínky *j(«i(r, •)) =0 = *J-(«2(r, ■)), J = 1,2,..., m (2.138) kde $i, $2, ■ ■ ■, jsou lineární funkcionály. Předpokládejme dále, že okrajové podmínky jsou takové, že Sturmova-Liouvilleova rovnice -X"=XX s okrajovými podmínkami *jPO = 0, j = 1,2,...,m má spočetně mnoho nezáporných vlastních hodnot Ai, \2,.. . s příslušnými vlastními funkcemi Xi, X2,.... Můžeme si představovat např. rovnice na konečném intervalu s homogenními Ro-binovými nebo s periodickými okrajovými podmínkami. V takovém případě lze řešení systému (2.137) hledat ve tvaru oo oo ui(r,0 = J2w^)Xk(0, u2(T,0 = J2w^(r)Xk(0- (2.139) fe=i fe=i 9 A. Turing: The Chemical Basis of Morphogenesis, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B, Biological Sciences 1952, vol. 237, no. 641, p. 37-72. Autor tohoto článku o morfogenezi je tentýž Alan Turing (1912—1954), který dosáhl významných výsledků v teorii pravděpodobnosti, teorii grup, kvantové fyzice, teorii počítačů a umělé inteligence, v kryptografii a který také prolomil kód používaný německým zařízením Enigma v době druhé světové války. To vše do 41. roku svého života. 111 Takto definované funkce splňují okrajové podmínky. Dále pro ně platí -£(t,0 = J2^k(r)Xk(0, -g7T(t,£) = J2wik(t)Xfä) = -J2 *kWik(r)Xk(Z), 1 = 1,2, fe=i fe=i fe=i takže po dosazení do systému (2.137), dostaneme 00 S \w'ik - (7an - ^fc) wik - ia12w2k] Xk = 0, fe=i 00 Y, iw2k - 7a2iwife - (71222 - dXk) w2k] Xk = 0. fe=i Odtud a z lineární nezávislosti vlastních funkcí X\, X2,... plyne, že bázové funkce Wik, i = 1,2, k = 1,2,..., jsou řešením lineárního systému obyčejných diferenciálních rovnic w'lk = (7all - ^fc) wlk + 7a12W2fe, (2.140) w2k = 7a2iwife + (7a22 - d\k) w2k, k = 1,2,3,.... Tento systém sice obsahuje nekonečně mnoho rovnic, ale ty nejsou mezi sebou vzájemně provázané. Můžeme ho proto chápat jako spočetně mnoho systémů dvojrozměrných. Každý z nich je jednoznačně řešitelný. To znamená, že systém (2.137) s uvažovanými okrajovými podmínkami skutečně má řešení tvaru (2.139). Nulové řešení systému (2.137) bude nestabilní, pokud alespoň jeden z dvojrozměrných systémů (2.140) bude mít nestabilní řešení. Z předpokládané nezápornosti vlastního čísla \k a ze druhé z podmínek (2.135) plyne tr ľ/ai1 Xk -"/ai* ) = 7(an + «22) - Afe(l + d) < 0, V a2i 7a22 -dXkJ neboť oba parametry 7 a d jsou kladné. Determinant fc-tého dvojrozměrného subsystému (2.140) je dán formulí j +. ílall - ^fe 7a12 \ 2 ti , N\ , .,2 2 det = 7 ana22 - "/{dan + a22)\k + d\k - 7 a12a21 = \ "/a21 7a22 - d\k J = d\l - "/{dan + a22)\k + "/2{aX\a22 - a12a21) = d\\ - "/{dan + a22)\k + 72|A|. Pokud je tento determinant kladný, pak je nulové stacionární řešení tohoto subsystému stabilním uzlem nebo ohniskem. Nulové řešení proto může být nestabilní pouze tehdy, pokud je tento determinant záporný a tedy stacionární bod je sedlem. Označme F{\) = d\2 - -/{dan + a22)\ + 72|A| (2.141) a V = {dan + a22f - 4d|A|. (2.142) Funkce F je kvadratická funkce proměnné A, její průběh na kladné poloose závisí na znaménkách výrazů T> a dan + a22, viz Obrázek 2.6. Funkce F může mít záporné hodnoty pouze tehdy, když dan + a22 > 0, da\2 + a22 > 4d|A|. Tyto záporné hodnoty leží mezi kořeny funkce F, tj. mezi hodnotami ^ ^dan + a22 ± Dosažené výsledky můžeme shrnout: Tvrzení 5. Nechť an + a22 < 0 a |A| > 0. Pokud platí 1. dan + ai2 > 0, 112 72|A| dan + «22 < O 72|A 7(don +a22)/(2d) dan + «22 > O (dan + a22)2 < 4d|A| dan + «22 > O (dan + a22)2 > 4d|A| Obrázek 2.6: Průběh funkce F dané formulí (2.141) pro různé vztahy mezi parametry. 2. (dan + a22)2 > 4d|A|, 3. existuje vlastní číslo A& operátoru — Trpj na prostoru funkcí {X : $>j(X) = 0, j = 1, 2,..., to} takové, že <9£2 dan + «22 — Afe dan + «22 2d < ~ < 2ČT V kde T> je dáno formulí (2.142), pak je nulové řešení úlohy (2.137), (2.138) nestabilní. Věnujme ještě trochu pozornosti interpretaci parametrů. Z nerovností an + «22 < 0 < dan + «22, d > 0 (2.143) plyne, že právě jedno z čísel an, a22 je kladné a druhé je záporné. Odtud a z podmínky |A| = «n«22 > «i2«2i dále plyne, že čísla a\2, «21 mají opačná znaménka. Z nerovností (2.143) také plyne, že pro an > 0 je d > 1, tj. vzhledem definici (2.136) symbolu d platí D\ < D2, a pro «22 > 0 je d < 1, tj. D2< Di. Pokud veličiny u\ a u2 interpretujeme jako koncentrace nějakých chemických látek, pak koeficienty a\2 a «21 vyjadřující jejich vzájemný vztah mají opačná znaménka, což znamená, že jedna z nich je aktivátorem (katalyzátorem) druhé, která je naopak inhibitorem první. Poněvadž i koeficienty an a a22 mají opačná znaménka, je jedna z látek autoaktivátorem a druhá autoinhibitorem. Autoaktivátor má menší difúzi vitu než autoinhibitor, proto se v prostoru šíří pomaleji. Umělý parametr 7 můžeme interpretovat přinejmenším třemi způsoby: (i) Bezprostředně z tvaru systému (2.137) jako relativní sílu reakčních členů vzhledem k difúzi; zvětšení 7 způsobí zvětšení koncentrace první látky, pokud an?ii + a\2u2 > 0, a podobně. (ii) Pokud je oborem prostorové proměnné x v systému (2.133) úsečka délky £, pak je podle transformačního vztahu (2.136) oborem prostorové proměnné £ v systému (2.137) úsečka délky L = í/^/^D\. Zvolíme-li transformaci tak, aby oborem prostorové proměnné v transformovaném systému byla úsečka jednotkové délky, L = 1, pak V7 = To znamená, že ^/j je úměrná velikosti původního prostoru. Se zvětšováním prostoru se zvětšuje 7. (iii) Z transformačních vztahů (2.136) můžeme také odvodit D2 113 To znamená, že parametr 7 je také úměrný poměru difuzivit d, s jeho zvětšením se také zvětšuje. Aby mohla být splněna podmínka 3. v Tvrzení 5, je potřebné, aby podíl Afe/7 byl „dostatečně malý". To vzhledem k interpretaci parametru 7 znamená, že difúze může destabilizovat stabilní rovnováhu reakce, pokud je reakce „dostatečně intenzivní", neboje prostor, v němž látky difundují „dostatečně velký", nebo se autokatalyzátor šíří „s výrazně menší" difuzivitou než autoinhibitor. B. Rovnice na jednorozměrném prostoru s nelineární reakcí Uvažujme soustavu dvou rovnic reakce-difúze s nelineárními reakčními členy dux d2Mi . , , ° (2.144) du2 d2u2 , . ^ = 0^+h(uuu2), kde Di,D2 jsou kladné konstantní difuzivity a fi, f2 jsou diferencovatelné funkce dvou proměnných. Tuto soustavu budeme uvažovat pro časovou proměnnou t > 0. Prostorová proměnná x bude buď z konečného intervalu (0,1) nebo bude libovolná reálná. V prvním případě budeme spolu se soustavou (2.144) uvažovat homogenní Neumannovy okrajové podmínky ve druhém periodické okrajové podmínky u1(t,x)=u1(t,x + £), u2(t,x) = u2{t,x + í), t > 0, x e R. (2.146) Soustavu rovnic (2.144) lze opět zapsat vektorově Pokud existuje nulový bod u* = {u\,u2) zobrazení / = (f\,f2), tj. fi(ul,u2) = 0 = f2(u\,u2), pak jsou konstantní funkce u\ = u\ a u2 = u*2 prostorově homogenním stacionárním řešením soustavy. Současně je bod u* stacionárním bodem autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic — =Ji{u1,u2), du2 -^r=j2{ui,u2). Předpokládejme, že se jedná o asymptoticky stabilní rovnováhu. Opět se ptáme, za jakých podmínek může prostorově homogenní stacionární řešení u = u* systému (2.144) být nestabilní. Proto budeme vyšetřovat chování řešení v okolí řešení stacionárního (rovnovážného). Zavedeme odchylku v = u — u* od stacionárního řešení. Podle Taylorovy věty platí dvi dut d2ut -m=^t- = D^ + Mui'U2) = = D^ + M«) + ||k,^)K - O + ^«,u*)(u2 - u*) + 0( \\u - u*f) = d Vi dfi . ^ +. dfí , % +, /.. M2 \ = Di-Qtf + ä^(Ul'U2>l + ä^(Ul'U2>2 + 0( \\V\\ ) pro i = 1,2. Výraz 0(||-u||2) označující Taylorův zbytek, je „zanedbatelně malý", pokud je odchylka od stacionárního řešení „malá". Při označení fliJ = ^K'M2) 114 tak dostáváme, že malé odchylky od prostorově homogenního stacionárního řešení systému se vyvíjejí jako řešení lineárního systému rovnic reakce-difúze dví d2vi ~~Qt = 1~0~^2 + ailVl + a12^2, du2 d2v2 -7TT = ÍJ2^TT + «21^1 + »22^2- To je stejný systém jako (2.133), stabilitu jeho stacionárního nulového řešení jsme již vyšetřovali. 115 116 Část II Diferenciální rovnice se zpožděním 117 Kapitola 3 Jednočlenná lineární rovnice Nejjednodušší model zpětnovazební regulace Představme si, že máme zregulovat nějaký proces k nějakému žádoucímu výsledku. Jako „paradigmatický" příklad bývá v této souvislosti uváděna regulace teploty vody ve sprše, viz obr. 3.1. Pro sprchující se osobu je nějaká teplota optimální. Pokud na ni teče voda chladnější, vychýlí páku baterie směrem k teplé vodě, pokud teče voda teplejší, vychýlí ji naopak. Čím je voda ledovější, (nebo naopak horčejší), tím víc páku vychýlí. Tuto situaci popíšeme matematicky. Označme y teplotu vody proudící ze sprchy. Tato teplota se s časem může měnit, neboť sprchovaná osoba manipuluje s pákou baterie; tedy y = y (t). Označme dále a teplotu optimální. Budeme předpokládat, že změna teploty (tj. derivace funkce y podle času) způsobená regulací (tj. vychýlením páky) je přímo úměrná rozdílu aktuální teploty od teploty optimální; koeficient úměrnosti označíme ji. Dostáváme tak jednoduchou rovnost ^L=/3(a-y). (3.1) Je-li teplota nižší než optimální, tj. a — y > 0, teplotu zvětšujeme. To znamená, že koeficient /3 je kladný. V rovnosti (3.1) není uveden čas. Zamysleme se nad ním. Nechť t označuje časový okamžik, ve kterém voda o teplotě y = y (t) protéká baterií. V temže okamžiku ze sprchy vytéká voda, která tekla přes baterii před nějakou dobou; označme tuto dobu t. Časová prodleva t představuje čas, za který voda proteče od baterie k růžici sprchy. Osoba reaguje na vodu ze sprchy, tedy na vodu o teplotě y(t — t). Rovnost (3.1) tedy musíme upřesnit, psát ji ve tvaru Ml=t)(a-y(t-T)). (3.2) Na tuto rovnost se můžeme dívat jako na model vývoje teploty vody v čase, tj. teplotu y považovat za neznámou a (3.2) chápat jako rovnici pro tuto funkci. Jedná se o obyčejnou lineární diferenciální rovnici prvního řádu s jedním diskrétním zpožděním. Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu je to proto, že se v ní vyskytuje první derivace hledané funkce podle její jediné proměnné, lineární je proto, že hledaná funkce je na pravé straně v první mocnině, s jedním diskrétním zpožděním proto, že zpoždění (časová prodleva) t je přesně určeno a je jediné. Ale ani rovnice (3.2) ještě nemusí být adekvátním modelem uvažované regulace. Zpoždění může být nějak „rozmazané". Voda nemusí proudit úplně rovnoměrně, její rychlost se může s teplotou nebo nastavením regulační páky nějak měnit; osoba nemusí na změnu teploty reagovat okamžitě a přesně. Trochu techničtěji řečeno, zpoždění t nemusí být „klasická veličina", ale může to být veličina náhodná. Budeme ji považovat za spojitou a její hustotu označíme w. Diskrétní zpoždění t můžeme považovat za náhodné s nulovým rozptylem, za jeho hustotu 119 cold hot water Obrázek 3.1: Regulace teploty vody ve sprše. Symbol s označuje dráhu, kterou voda urazí od baterie (mixer), £ označuje délku trubky od baterie po růžici sprchy. (Obrázek je z knihy V. KOL-MANOVSKII, A. MYSHKIS: Applied Theory of Functional Differential Equations. Springer, 2010 reprint.) můžeme považovat Diracovu distribuci soustředěnou v bodě t a psát y(t — t) = / y(t — s)S(s — r)ds = / y(s)S(t — s — r)ds = / y(s)S(t — t — s)ds Je-li tedy zpoždění náhodnou veličinou s hustotou w, nahradíme v rovnici (3.2) výraz y(t — t) výrazem t y(s)w(t — s)ds. Dostaneme tak obyčejnou lineární diferenciální rovnici s distribuovaným zpožděním dy(t) dt = f3 \ a — I y(s)w(t — s)ds (3.3) Tuto rovnici můžeme také číst tak, že aktuální změna veličiny y závisí na celé předchozí historii této veličiny, od času —oo (času v temné minulosti, kam nedohlédneme, času od stvoření světa nebo Velkého třesku, případně času, před kterým můžeme vliv modelované veličiny na její změnu v současnosti zanedbat) po přítomný okamžik t. Funkce w pak vyjadřuje váhu, s jakou má minulost vliv na současnost; přesněji: w(o~) je váha (intenzita, podíl) vlivu okamžiku a před aktuálním časem t na změnu velikosti v čase t. Budeme předpokládat, že přítomnost je zcela výsledkem minulosti a budoucnost na ni nemá 120 žádný vliv. Funkce w tedy má vlastnosti w(s) = 0 pro s < 0, / w(s)ds = 1. (3.4) o Rovnice (3.3) s funkcí w splňující podmínky (3.4) se nazývá kauzální nebo neanticipativní. Vzhledem k první z vlastností (3.4) můžeme rovnici (3.3) zapsat ve tvaru konvoluce dí nebo stručněji dy(í) =/3(a-y*w(ť)) y' = f3(a — y *w). 3.1 Rovnice s diskrétním zpožděním V rovnici s diskrétním zpožděním (3.2) jsou tři parametry a, f3, t; parametr a má stejný rozměr jako veličina y, t má rozměr času a /3 převrácené hodnoty času. Vhodnou změnou měřítek (jednotek) veličiny y i času můžeme počet parametrů zredukovat o dva, tedy rovnici (3.2) transformovat na rovnici s jediným parametrem. Konkrétně, začátek sledování nebo regulace procesu zvolíme za počátek času a změníme jeho měřítko tak, aby čas byl bezrozměrný; to můžeme udělat dvěma přirozenými způsoby - čas vynásobit parametrem /3 nebo vydělit parametrem t. „Cílovou" hodnotu a veličiny y zvolíme za počátek (nulovou hodnotu) a měřítko neměníme; místo regulované veličiny uvažujeme její odchylku od požadované hodnoty, ta má stejný rozměr jako původní veličina . Označme na chvíli čas symbolem s a dále označme sq okamžik, v němž začínáme pozorování veličiny y. Rovnici (3.2) přepíšeme y'(s) = P(a - y(s - T))> s>s0 (3.5) a označíme a = j3r; (3-6) bezrozměrný parametr a je kladný, a > 0. 1. transformace Zvolíme novou jednotku času tak, že položíme 1 / t = -{s - s0); t čas t je bezrozměrný a proces regulace začne v čase t = 0. Dále zavedeme novou stavovou proměnnou x vyjadřující absolutní odchylku regulované veličiny od požadované hodnoty a v čase t, x{ť) = y(rt + so) — a. Pak je x'{t) = Ty'(Tt + s0) = T/3(a - y(rt + s0 - t)) = r/3(a - y(r(t - 1) + s0)) = = rj3{a - (x(t - 1) + a)) = -Tj3x(t - 1). Vzhledem k (3.6) tedy můžeme rovnici (3.5) zapsat ve tvaru x' = -ax(t - 1), t > 0. (3.7) -'-Jinak řečeno, za novou regulovanou veličinu bereme y — ct, tj. posunutou starou. Bezrozměrnou veličinu můžeme „přirozeně" získat jen v případě a ^ 0; pak by za novou veličinu bylo možné zvolit y/a (relativní odchylku od požadované hodnoty) nebo y/a — 1. 121 2. transformace Alternativně můžeme zavést bezrozměrný čas vztahem t = j3(s - s0). Vzdálenost regulované veličiny od požadované hodnoty a v čase t je tedy dána výrazem x(t) = V ( jjt + s0 ) - a. Dále je P \ a-y\-t + sq-t = a-y[-(t- Pt)+s0) = takže rovnici (3.5) můžeme také přepsat ve tvaru x'(t) = -x(t-a), t>0. (3.8) Oběma transformacemi získáme rovnici v bezrozměrných veličinách s jediným parametrem a. Tento parametr v rovnici (3.7) vyjadřuje jakousi sílu regulace, v rovnici (3.8) zpoždění. Toto pozorování ukazuje, že zpoždění „je v podstatě totéž", jako síla řízení. Násilné řízení, byť s „optimalizovaným časem získání informace", má stejné důsledky, jako řízení s velkým zpožděním. 3.1.1 Řešení metodou kroků Hledáme řešení rovnice (3.7) spojité na intervalu [0, oo), které splňuje počáteční podmínku x(0) = 1. (3.9) O funkci x(-), která je řešením této úlohy budeme dále předpokládat, že je definována na celém intervalu (—00,00) a splňuje podmínku x(ť) = 0 pro t < 0. (3.10) Tato úloha popisuje situaci, kdy uvažovaná veličina byla v počátečním čase t = 0 nějakým impulsem vychýlena z požadovaného stavu a příslušnou výchylku považujeme za jednotkovou. Pro t G [0, 1) je funkce x{ ■) řešením počáteční úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici x'(t)=0, x(0) = l, tedy x(ť) = 1. To znamená, že pro t G [1, 2) je x (t — 1) = 1. Dále lim x(t) = 1. t->i- Na intervalu [1, 2) je tedy funkce x{-) řešením počáteční úlohy x'(t) = —a, x(l) = 1, tedy x(ť) = 1 — a(t — 1). Pro t G [2, 3) nyní platí x(t — 1) = 1 — a(t — 2) a je lim x(ť) = lim (l — a(t — 1)) = 1 — a. t->2- t->2- v ' Na tomto intervalu je tedy funkce x(-) řešením počáteční úlohy x'(t) = -a(l - a(t - 2)) = -a + a2(t - 2), x(2) = 1 - a, 122 coz znamená, ze t x 2 2 (ŕ) = 1 - a + / ( - a + a2(s - 2))ds = 1 - a - a(r - 2) + y (ŕ - 2)2 = 1 - a(t - 1) + y (ŕ - 2)s 2 Analogicky postupujeme dále. Pro t G [3,4) je c'(t) = -a + a2(í - 2) - y (í - 3)2, a2 x(3) = lim [ 1 - a(t - 1) + y (í - 2)2 1 = 1 - 2a + -, x (i) = 1 - 2a + y + y ^-a + a2(s - 2) - y (s - 3)2^j ds = = l-2a+y-a(í-3) + y((í-2)2-l)-^(í-3)3 = l-a(í-l) + y(í-2)2-y(í-3) 3 Z dosavadních výsledků můžeme hádat, že pro t G [n, n + 1), kde n G N, platí x(t) = l-a(í-l) + ^(í-2)2-^(í-3)3 + ^(í-4)4 + . • . + (-l)«^(í-n)« = ^(-I^í-í)* ,■ a1 i=0 kde [£] označuje celou část z reálného čísla £. Ověříme, že tato funkce je skutečně řešením úlohy (3.7), (3.9), (3.10). Pro t G [0,1) je x(ť) = 1 a to je podle provedených výpočtů řešením úlohy. Pro každé t > 1, t g N platí ffl^B-^-^í '+B-')'j('-«' = i=l ^ i=0 Dále je lim x(ť) = lim 1 = 1, lim x(ť) lim (1 — a(s — 1)) = 1, S->1- S->1- s->l+ s->l+ v 7 takže funkce x( ■) je v bodě í = 1 spojitá. Pro í > 1, t G N platí t = [t] a lim x(í)= lim 2(-l)«£l(a-i)« = 2(-l)«£l(í-i)«, i=0 i=0 lim x(í) = hm V(-1)^(S - i)* = £(-1) TÍ* - *ľ = Eí-1)^^ - ^ i=0 i=0 i=0 tedy lim x (ŕ) = lim x(t) s->t- s->t+ 123 a = 0.2 a = 0.367879441171442 a = 0.6 10 -r 15 10 -r 15 10 -r 15 a = 1 a = 1.57079632679490 a = 2 i 10 r 15 10 ~~r 15 10 ~~r 15 Obrázek 3.2: Fundamentální řešení (3.11) rovnice (3.7) pro různé hodnoty parametru a. , funkce x( ■) je v bodě t G N spojitá. Dále = V(-l)% a „(t-iý-1 = lim x'(í) i=0 ->t+ což znamená, že funkce x( •) má v bodě t G N spojitou derivaci. Celkem je tedy funkce x{ ■) spojitá pro každé ŕ > 0 a s výjimkou jediného bodu t = 1 má spojitou první derivaci a splňuje diferenciální rovnici (3.7). Analogickými výpočty se lze přesvědčit, že řešení x{ ■) úlohy (3.7), (3.9), (3.10) má v každém bodě t = n G N spojitou derivaci až do řádu n — 1. Řešení je tedy funkce, která je po částech polynomem. V každém z intervalů tvaru [n, n + 1) se však jedná o polynom jiného stupně; stupeň polynomu se zvětšuje s rostoucí hodnotou nezávisle proměnné t. Navíc s rostoucím t také vzrůstá hladkost funkce, roste řád derivace, kterou má funkce spojitou. Řešení úlohy (3.7), (3.9), (3.10) nazveme fundamentální řešení rovnice (3.7) a označíme ho k{ ■). Je tedy k(t) = j2(-iy^(t-iy- (3-11) i=0 Průběh fundamentálního řešení rovnice (3.7) pro několik různých hodnot parametru a je zobrazeno na obr. 3.2. Vidíme, že řešení může k nule konvergovat monotónně ale různě rychle (s parametrem a rostoucím od nuly k jisté hodnotě roste i rychlost konvergence), může k ní konvergovat s více či méně tlumenými oscilacemi (s parametrem a rostoucím v jistých mezích roste i amplituda 124 tlumených oscilací), ale také může kolem ní oscilovat s konstantní nebo rostoucí amplitudou (pro dostatečně velkou hodnotu parametru a). 3.1.2 Řešení pomocí Laplaceovy transformace Přestavme si, že známe vývoj uvažované veličiny po jistou dobu v minulosti a chceme ho určit pro budoucnost. Přesněji řečeno, předpokládejme, že známe řešení rovnice (3.7) na intervalu [—1, 0] a chceme znát řešení pro t > 0. Hledáme tedy řešení úlohy x'(ť) = -ax(t- 1), t > 0, x(t) = (p(t), —1 < * < 0, (3.12) kde (f : [— 1, 0] —>• R je integrabilní funkce. Integrací rovnice v mezích od 0 do t a s využitím počáteční podmínky x(0) = (p(0) dostaneme t t-i o t-i x(ť) = if(0) — a x(s — l)ds = if(0) — a x(s)ds = ip(0) — a (f(s)ds — a x(s)ds. Označme M = if(0) — a (f(s)ds Při tomto označení dostaneme pro řešení úlohy odhad 0 t-1 if(0) — a (f(s)ds — a x(s)ds < if(0) — a (f(s)ds t-i + a J \x(s)\ds < o ŕ > 1, pak řešená úloha (3.12) je již vyřešenou úlohou (3.7), (3.9), (3.10). V takovém případě je Cx{s) =--— = Ck{s), (3.14) s + ae s kde k{ ■) je fundamentální řešení rovnice (3.7) dané formulí (3.11). Označme na chvíli V(í-l), 0 < ŕ < 1, 0, jinak. Pak je p(t) = 0 1 oo e~s J p(t)e-stdt = e-s J p(t - l^^^dí = J p(t)e-stdt = £p(s). -10 o Dosazením tohoto výsledku a (3.14) do vyjádření (3.13) dostaneme £x(s) = £k(s)(p(0) - a£p(s)) = p(0)£k(s) - a£p(s)£k(s). Poněvadž součin Laplaceových obrazů funkcí je Laplaceovým obrazem konvoluce funkcí, platí £x(s) = p(0)£k(s) — a£p * k(s) = £(p(0)k — ap * k)(s). To znamená, že řešení úlohy (3.12) je dáno formulí x(t) = p{(í)k(ť) - ap* k(t). Ještě upravíme konvoluci na pravé straně rovnosti: oo 1 p * k (ť) = J p(s)k(t — s)ds = J p(s — í) k (t — s)ds. o o Dostáváme tak řešení úlohy (3.12) ve tvaru i x(t) = p(0)k(t) - a J k{t- s)p(s - l)ds. (3.15) o 3.1.3 Charakteristická rovnice Rovnice (3.7) je lineární homogenní, splňuje princip superpozice. To napovídá, že by mohla mít řešení tvaru x (ť) = eAt, kde A je zatím neznámá hodnota. Dosadíme toto vyjádření do rovnice (3.7), AeAt = -ae^*-1) a po vynásobení výrazem e~At dostaneme charakteristickou rovnici \ + ae-x = 0; (3.16) její řešení se nazývá charakteristický kořen. Připomeňme, že číslo £ je n-násobným kořenem rovnice /(£) = 0, pokud platí f'(0 = o, f"(0 = o, ..., /("-^(O = 0, + 0; je-li n = 1, mluvíme o jednoduchém kořenu. 126 Tvrzení 6. Funkce x (ť) = eAt je řešením rovnice (3.7) právě tehdy, když A je kořenem charakteristické rovnice (3.16). Funkce x(ť) = teAt je řešením rovnice (3.7) právě tehdy, když A je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice (3.16). Charakteristická rovnice (3.16) s parametrem a =/= 0 má kořeny nejvýše násobnosti 2. Důkaz: Je-li x(ť) = eAt řešením rovnice (3.7), pak A rovnici (3.16) splňuje, neboť charakteristická rovnice byla z tohoto předpokladu odvozena. Nechť A je řešením charakteristické rovnice. Pak pro funkci x(ť) = eAt platí x'(t) = AeAt = -ae-AeAt = -aeA(*-1) = -ax(t - 1). Hodnota A je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice právě tehdy, když A = — ae~A a 1 = ae~A. Odtud plyne, že rovnosti x'(t) = (íeAt)' = eAt + AíeAt = (1 + Aí)eAt = (ae-A - ae^í) eAt = -a(t - l)ex(-*-V platí právě tehdy, když A je dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice. Trojnásobný kořen A charakteristické rovnice by musel splňovat rovnost ae~A = 0, ale e~A ^ 0 pro každou komplexní hodnotu A. □ Důsledek 2. Má-li charakteristická rovnice (3.16) jednoduchý nebo dvojnásobný komplexní kořen A = a + pak má také kořen A = a — P'\ stejné násobnosti a funkce definované rovnostmi x(ť) = Peat cos pt, x(ť) = Peat sin pt, j = 0,1, jsou řešením rovnice (3.7) Důkaz: Je-li a + P'\ kořenem charakteristické rovnice (3.16), pak 0 = a + P'i + ae~ae~1/3 = a + P'i + ae~"(cos P — i sin P) = a + ae~a cos P + i (/3 — e~a sin 0) a proto také a- Pi + ae-aeil3 = a + ae~a cos P - i (p - e"a sin 0) = 0. Je-li a + P'\ dvojnásobným kořenem charakteristické rovnice (3.16), pak navíc 0 = 1 - a(a + pi)e-(-a+<3i) = í-a(a + Pi)e-a (cos P-isinP) = 1 - sae"tt cos P + iafi sin P a tedy také 1 - a(a - Pije-^-W = 1 - a(a - /3i)e""(cos/3 + isin/3) = 1 - acttT" cos/3 + ia/3sin/3 = 0. Jsou-li a ± \p kořeny charakteristické rovnice, pak podle Tvrzení 6 a již dokázané vlastnosti má rovnice (3.7) dvojici řešení Zi (t) = e(a+/3i)t = eat (cos pt + i sin pť), z2 (ť) = e^-^ = eat (cos pt - i sin pť) a podle principu superpozice má také řešení aľi(ŕ) = ^(zi(ŕ)+ z2(í)) = eQtcos/3ŕ a x2(ť) = (zi(í) - z2(ť)) = eat sin/3r. Platnost tvrzení pro dvojnásobný kořen se ukáže stejně. □ Charakteristickou rovnici (3.16) můžeme přepsat ve tvaru ae~A = -A. Grafem pravé strany je osa druhého a čtvrtého kvadrantu, grafem levé strany je klesající ex-ponenciála. Ta může osu druhého kvadrantu protínat ve dvou bodech (charakteristická rovnice má dva reálné různé kořeny Ai, \2), může se jí dotýkat (charakteristická rovnice má dvojnásobný 127 Obrázek 3.3: Grafické znázornění charakteristické rovnice (3.16) pro různé hodnoty parametru a. reálný kořen A*), nebo s ní nemít žádný společný bod (charakteristická rovnice nemá reálný kořen), viz obr. 3.3. Najdeme kritickou hodnotu a^rit parametru a, pro kterou má charakteristická rovnice dvojnásobný reálný kořen A*. Hodnoty a^ňt a A* jsou řešením soustavy rovnic «krite A = —A*, — ftkrite A = — &krite A = —1-dA Tedy A* = -1, akrit = e_1. Nyní můžeme zformulovat první výsledek: Pokud parametr a splňuje podmínky 0 < a < e_1, pak existuje monotónní řešení x = x(ť) rovnice (3.7) takové, že lim x(ť) = 0. Charakteristická rovnice (3.16) může také mít komplexní kořeny tvaru A = a + jíi. Ty samozřejmě rovnici splňují, tj. a + /3i + ae~"(cos /3 — i sin /3) = 0. Porovnáním reálné a imaginární části dostaneme soustavu rovnic a = — ae~"cos/3, , , j3 = ae~a sin j3 pro reálné hodnoty a, ji. Bezprostředně je vidět, že s každým řešením (a, jí) je také dvojice (a, — jí) řešením této soustavy. Stačí se tedy omezit na hledání řešení s /3 > 0. Přímým výpočtem ověříme, že pro a = ^tt má soustava (3.17) řešení a = 0, /3 = -^tt. Pro hodnotu parametru a = -^tt tedy existují periodická řešení rovnice (3.7) x(t) = cos i"7rf a x(t) = sin ^ttí. Soustavu rovnic (3.17) můžeme dále upravit na tvar a = — /3 cotg/3, P --/í cotg /3 ^e sin jí v jehož pravých stranách se objevuje pouze neznámá jí. Vyšetříme průběh pravých stran, které budeme považovat za funkce nezávisle proměnné jí. Výsledek je na obr. 3.4. Tento obrázek můžeme využít tak, že pro zvolenou hodnotu parametru a najdeme příslušné hodnoty jí (jako první 128 371 10 5tc 15 ct = -pcotg(p) sin(p) «xp(-pcotg(p)) 20 25 Obrázek 3.4: Grafické řešení soustavy rovnic (3.17), tj. hledání komplexních kořenů charakteristické rovnice (3.16). souřadnice průsečíků přímky rovnoběžné s vodorovnou osou ve výšce a s červenými čarami). K těmto hodnotám /3 najdeme hodnoty a (jako druhou souřadnici modré čáry v příslušné hodnotě (3). Na obrázku 3.4 je takto znázorněna nejmenší hodnota /3 odpovídající hodnotě a = -^ir a k němu příslušná hodnota a = 0. Z obrázku 3.4 je vidět, že pro libovolnou hodnotu a > 0 existuje nekonečně mnoho dvojic (a, /3), které vyhovují rovnicím (3.17). To znamená, že rovnice (3.7) má nekonečně mnoho nezávislých oscilatorických řešení. Dále pro hodnoty a > ^tt existuje dvojice (a, (3) vyhovující rovnicím (3.17) taková, že a > 0. To znamená, že pro a > -^ir existuje řešení rovnice (3.7), které osciluje s rostoucí amplitudou. Poněvadž rovnice (3.7) splňuje princip superpozice, množina jejích řešení tvoří vektorový prostor. Provedené úvahy však ukazují, že tento prostor nemá konečnou dimenzi. 3.2 Rovnice s distribuovaným zpožděním Uvažujme rovnici (3.3) s váhovou funkcí w splňující podmínky (3.4) s nezávisle proměnnou (časem) dy(s) ds /3 a y((j)w(t — er)der Parametr /3 má rozměr převrácené hodnoty času a parametr a má týž rozměr jako regulovaná veličina y. „Váha minulosti" w má rozměr převrácené hodnoty času a je současně hustotou nezáporné náhodné veličiny „zpoždění signálu, který určuje regulaci veličiny y". Předpokládejme, 129 že hustota w náhodné veličiny je leptokurtická, tj. že existuje konečná střední hodnota zpoždění oo oo t = J sw(s)ds = J sw(s)ds. -oo 0 Přitom samozřejmě platí t > 0; hodnota t má rozměr času a představuje očekávané zpoždění signálu potřebného k regulaci veličiny y. Podobně jako v případě rovnice s diskrétním zpožděním zavedeme bezrozměrný čas t a bezrozměrnou stavovou veličinu x = x (ť) vztahy t = —, x (ť) = y (tí) — a. T Stavová proměnná x vyjadřuje (absolutní) odchylku regulované veličiny y od cílové hodnoty a. Dále zavedeme hustotu k bezrozměrného zpoždění změnou měřítka k (t) = Tw(rt). Pak je 17 \ í 7 * \ x'(t) = ry '(tí) = t/3 J a — / y(a)w(Tt — u)du J = t/3 J a — / y( 0, — oo x(0) = 1, í = 0, x(t) = 0, t < 0 pro diferenciální rovnici s distribuovaným zpožděním je současně řešením integrální rovnice t «0+ „/*)*(»-.Id. = i. o Jedná se o speciální případ Volterrovy integrální rovnice druhého druhu. 3.2.1 Distribuované zpoždění typu T V rovnici (3.18) zvolíme speciální váhovou funkci w, konkrétně hustotu gama rozdělení pravděpodobnosti, 131 n = 1 n = 2 n = 4 n = 10 1 2 s 1 2 s 1 2 s 1 2 s Obrázek 3.5: Hustota gama rozdělení pravděpodobnosti s parametry p = a = n G N pro několik hodnot n. kde a a p jsou kladné parametry. Tato funkce má vlastnosti (3.4). Náhodnou veličinu T s hustotou gP interpretujeme jako zpoždění signálu. Očekávaná (střední) doba zpoždění t je ET= / Sgpa(s)ds = T (p) T(p) 1 --e s'' a oo oo a J r (p) aj a druhý moment náhodné veličiny T je s2gP(s)ds T (p) e sľ 1 cls r(P) a p+l e-asspds p+l aP a T (p) OO OO J se-^s^ds = y sffP(s)dí P+ 1 ET = (P 4- 1)P takže rozptyl zpoždění je roven varT = ET2-(ET)2 = ^^ ' ' ^~ P (p + l)p f p Zejména pro p = a = n G N platí (n - 1)! o; / a E T = 1, lim var T = lim — = 0. n—>oo n—>oo 77, To znamená, že posloupnost funkcí {gn}^=i Je vytvořující posloupností Diracovy distribuce soustředěné v bodě 1. Grafy hustot g™ pro několik hodnot parametru n jsou zobrazeny na obrázku 3.5. Rovnice s diostribuovaným zpožděním typu T v bezrozměrném tvaru Vzhledem k tomu, že t = E T = p ja, je hustota k bezrozměrného zpoždění dána rovností k(s) = rw(rs) = PgP(Ts) = £ " e^rs)*-1 a a L (p) a rovnice (3.18) získá tvar -^—e-ps (-y s13-1 = -^—e-^sP-1 = qP(s) '(t) = -a x(s)gP(t- s)ds (3.22) 132 s bezrozměrným časem í a s bezrozměrnými parametry a, p. Také tuto rovnici lze přepsat v kratším tvaru s konvolucí na pravé straně x' = —ax * g?. Pokud zvolíme p G N, můžeme rovnici (3.7) s diskrétním zpožděním považovat za limitní případ rovnice (3.22) s distribuovaným zpožděním pro p —> oo. Příklad: Řešení rovnice (3.22) s parametrem p = 1 Hustota gama rozdělení pravděpodobnosti s parametry p = a = 1 je klesající exponenciální funkce, g\(s) = e~s, tedy hustota náhodné veličiny s exponenciálním rozdělením a střední hodnotou 1. Uvažujme tedy počáteční úlohu t x'(t) = -a J x(s)e-^-s^ds, t > 0, — OO x (t) = (p(t), t < 0. Zavedeme pomocnou funkci y = y (t) vztahem y (t) = / x(s)e-t+sds Pak je y'(ť) = x (t) - / x(s)e~t+sds = x (t) - y (t) a dále platí x(0) = (p(0), 2/(0)= / A = ip(0) -2a if(s)esds 133 Tato funkce je současně řešením dané úlohy. Platí pro ni lim x{ť) = 0 a funkce x je v okolí nekonečna monotónní (pro a < j), nebo osciluje kolem 0 (pro a > j). Z výsledků výpočtu vidíme, že regulace pomocí zpětné vazby s exponenciálně klesajícím vlivem minulosti, vede vždy k dosažení žádaného cílového stavu; při jeho dosahování se mohou objevit tlumené oscilace - pokud „intenzita regulování" je příliš velká, nebo regulaci ovlivňuje příliš vzdálená minulost. Charakteristická rovnice a nestabilita Rovnice (3.22) splňuje princip superpozice, jak se můžeme snadno přesvědčit přímým výpočtem. Proto zkusíme hledat její řešení ve tvaru exponenciální funkce x(t) = eAt. Takové řešení musí splňovat rovnost t -At - x'(t) = -a í eXsgP(t- s)ds, Ae tedy pro A e 1, A > — p a p > 1 bude platit A = —a 3-A(ť-fl)s£(í - s)ds = -a / e-XsgPJS)ds = —app e-(A+P)Ssp-lds = apľ x + p s=0 x + p j ] ap'J (A + P)r(p-i) e-(A+P)Ssp-2ds = _a x + p (x + P)p-1 r(p-i) ' P ^ ~a(úi) J9^>)ás = -a(xT-p neboť g\_^p je hustotou rozdělení pravděpodobnosti. Analogickým výpočtem se lze přesvědčit, že odvozená rovnost platí i pro p = 1 a také pro A komplexní s reálnou částí větší než —p. Dostáváme tak charakteristickou rovnici příslušnou k rovnici (3.22) ve tvaru A(A + p)p + app = 0. (3.24) Z provedených výpočtů je zřejmé, že pro každý kořen A této rovnice je exponenciální funkce x, x(ť) = eAt řešením diferenciální rovnice s distribuovaným zpožděním (3.22). Pokud je parametr p přirozené číslo, pak je charakteristická rovnice (3.24) rovnicí algebraickou stupně p+í. V takovém případě můžeme vyšetřit standardními metodami, např. užitím Hurwitzova kritéria, za jakých podmínek má kořeny s kladnou reálnou částí, tedy za jakých podmínek je nulové řešení rovnice (3.22) nestabilní. Výsledky pro několik hodnot parametru p jsou shrnuty v následující tabulce: p dostatečná podmínka nestability a > 4 8 a > 32 (5V^ - 7) 2,2742 a > 16 (7-^5 - 15) = 2,0879 134 Ekvivalence rovnice (3.22) se systémem obyčejných lineárních rovnic Nechť p G N a uvažujme počáteční úlohu pro rovnici s distribuovaným zpožděním t x'(t) = -a j x(s)gP(t - s)ds, t > 0, —oo x(t)=(fi(t), t<0. (3.25) Pro funkce gp definované vztahy ff^)= (-^e-^V"-\ j = í,2,...,p, platí g1p(Q)=P, 4(0) = 0, j = 2,3,...,p, ^<7» = ^pe-"fl = -P2e-Ps = -pg^s), Í9P(s) = í /-ř ' + Í3 1)SJ-2) e"" = Nechť nyní funkce x = x (ť) je řešením úlohy (3.25). Položme t y0(t)=x(t), Vj(t) = J x{s)g3p{t - s)ds, j = í,2,...,p. — oo Pak platí o 2/o(0) = v(0), yj(0)= J 0 0 .. p -p j \Vp j ( yo(o) \ 2/i(0) 2/2(0) Vp-i(0) V 2/p(0) j ( f(0) \ ^*ffp(0) ^*ffp(0) f*gp-1(o) V ^*Í7?(0) j (3.28) Nultá složka řešení tohoto systému je řešením počáteční úlohy (3.25). Ještě si můžeme všimnout, že charakteristická rovnice příslušná k systému obyčejných lineárních rovnic (3.28) je tvaru (3.24). 136 Část III Aplikace Kapitola 4 Model věkově strukturované populace V úvodu ke Kapitole 1 jsme jako model vývoje věkově strukturované populace zkonstruovali McKendrickovu-von Foersterovu rovnici du du — + — = -n(a)u, ŕ > 0, a > 0 (4.1) dt da s počáteční podmínkou u(0,a) = (fi(a), a>0 (4.2) a okrajovou podmínkou oo u(t,0) = J /3(£Mí,£)d£, *>0. (4.3) o Hodnota u(t, 0) vyjadřuje hustotu jedinců (nebo samic) věku a v čase t, kladná funkce /i je věkově specifická úmrtnost a nezáporná funkce y3 je věkově specifická porodnost. Řešení úlohy (4.1), (4.2), (4.3) Rovnice (4.1) je lineární homogenní parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou nezávisle proměnných. Můžeme ji tedy řešit postupem uvedeným v části 1.1.2. Okrajová podmínka má pravou stranu ve tvaru integrálu, tj. lineárního funkcionálu. „Okrajovou funkci" u( ■, 0) pro zjednodušení zápisu označíme symbolem x, tj. u(t,0) = x(t). (4.4) Charakteristická rovnice příslušná k parciální rovnici (4.1) je da _^ ďT ~~ a má obecné řešení v implicitním vyjádření a — t = const. Charakteristiky rovnice (4.1) jsou tedy polopřímky rovnoběžné s osou prvního kvadrantu. Z toho je také vidět, že charakteristiky určené kladnou konstantou na pravé straně této rovnosti protínají osu a; na charakteristikách s kladnou konstantou jsou tedy hodnoty funkce u určeny počáteční podmínkou (4.2). Podobně, charakteristiky určené zápornou konstantou na pravé straně uvedené rovnosti protínají osu t a hodnoty funkce u jsou na nich určeny okrajovou podmínkou (4.3). Situace je znázorněna na Obrázku 4.1 a). 139 (f (a) a o A a) b) Obrázek 4.1: K řešení McKendrickovy-von Foersterovy rovnice. a) charakteristiky rovnice (4.1), b) možný průběh funkce <í>, tj. pravé strany rovnice (4.19). Pro t < a zavedeme nové souřadnice t a £ vztahy t = t, £ = a — t. Po této transformaci rovnice (4.1) s počáteční podmínkou (4.2) nabude tvar Fin %- = -i*(Z + t)u, «(0,0 = ^(0- ot Řešení této počáteční úlohy pro obyčejnou lineární homogenní rovnici je - / M(o")do" «(r,0 = v(í)e 5 Návratem k původním proměnným dostaneme - / M(«)d« u(t,a) = (p(a — t)e a~* . (4.5) Pro t > a zavedeme nové souřadnice t a £ vztahy t = t — a, £ = a; transformaci tohoto tvaru volíme proto, aby transformovaný čas t plynul od minulosti do budoucnosti, tj. rostl s rostoucím původním časem t. Nyní dostaneme rovnici (4.1) v kanonickém tvaru a k ní příslušnou transformovanou okrajovou podmínku --r = u(t,0)=x(t). d£ Řešením této Cauchyovy úlohy je funkce u definovaná vztahem u(t, £) = x(t) e 0 V původních proměnných tedy -/M(«)d« u(t,x) = x(t - a) e 0 . (4.6) Pro zjednodušení zápisu dosud dosažených výsledků zavedeme podobně jako v úvodu Kapitoly 1 označení -j>(«)d« £(a)=e ° . (4.7) 140 Zřejmě je í(a) > O pro každé a > 0. Řešení úlohy (4.1), (4.2), (4.3) rozepsané rovnostmi (4.5), (4.6) můžeme jednotně zapsat jako ,Lp(a — t)—--, t < a, u(t,a) = {*K 't(a-ty ~ (4.8) c(t — a)£(a), t > a. V tomto zápisu zůstává neurčená „okrajová funkce" x, jejíž hodnota vyjadřuje hustotu novorozenců v čase t. Funkce x zavedená vztahem (4.4) je definována integrálem na pravé straně rovnosti (4.3), v němž vystupuje funkce u, která je definována vztahem (4.8). Z toho je vidět, že je potřebné integrál z rovnosti (4.3) rozdělit na součet dvou integrálů, x{ť) = J I3{s)u{t,s)ás = J I3{s)u{t,s)ás + J /3(s)u(t, s)ds. o o t Každý z těchto integrálů upravíme: t t «.w«..)d. = / - .ywd. = / ««- w - íWťW. 0 0 o oo oo P(3)u(t,3)d3= j P(s)o, 0, ŕ<0. V prvním integrálu na pravé straně rovnice (4.9) tak dostaneme konvoluci, oo x(t)= í k(t-Z)x(Z)dt + F(ť), o takže integrálni rovnici (4.9) můžeme přepsat jako rovnici konvolučního typu x = k * x + F. • Rovnici (4.12) zderivujeme podle času. S využitím vztahu d d í M(s)ds f M(«)ds , , átí[t _ 0 = ďt* =G (~ ~ ^ = ~M(Í ~ m 0 dostaneme t x'(t) = /3(0)£(0)x(í) + í ±(/3(t-Z)£(t-Z))x(Z)dt = = /3(o)x(í)+ j (p>(t-z)-n(t-z)p(t-z))e(t-z)x(t)dz. — oo Označíme w(s) = (/3'(s) — /z(s)/3(s))^(s) a výsledek přepíšeme: t x'(í) =/3(0)x(í) + / w(í - £M£)d£. (4.10) To je obyčejná diferenciální rovnice s distribuovaným zpožděním. Příslušná počáteční podmínka je (4.13). Také řešení úlohy (4.1), (4.2), (4.3) můžeme vyjádřit i jinak. Povšimněme si, že řešení této úlohy je zúžením řešení okrajové úlohy díl díl -777 + tt~ = —u(a)u, tel, a > 0, ot da '^tŘ t<0 (4-n) u(t, 0) = { J a > 0. / P{s)u{t, s)ds, t>0, ■ o Jedná se o úlohu pro stejnou rovnici na širším oboru, tvar okrajové podmínky plyne z tvaru řešení původní úlohy na charakteristikách. Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že řešení pomocné úlohy (4.11) je tvaru u{t, a) = u{t — a, 0)£(a) = x(t — a)£(a). Pro okrajovou funkci x = x (ť) = u{t, 0) nyní platí: pro t > 0 je oo oo t ,(,) = /«.),*.» = / - .Jd. = / ««- o* - íWťW. 0 0 -oo 142 pro t < 0 je x (ť) = ip(—ť)/£(—ť). Funkce x je tedy řešením integrální rovnice t x(t)= f P(t-Z)£(t-Z)x(Z)dt, t>0 (4.12) s podmínkou ^) = fp|, *<0. (4.13) Rovnice (4.12) bývá nazývána homogenní Lotkova rovnice obnovy. Specifická míra přežití a specifická úmrtnost Úloha (4.1), (4.2), (4.3) má řešení dané rovnostmi (4.8), (4.7) a (4.9). Podívejme se podrobněji na interpretaci tohoto výsledku. Nejprve si povšimněme, že pro funkci £ definovanou rovností (4.7) platí 0 a - />(í)dí - />(Č)dČ £(0) = e f =1, ť (a) = -n(a)e 0 = -fi(a)£(a). Funkce £ je tedy řešením Cauchyovy úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici ^- = -»(a)£, 1(0) = 1. (4.14) cla Věnujme se interpretaci této funkce. Za novorozence budeme považovat jedince, který má věk z intervalu [0, a), kde a je nějaké „malé" kladné číslo. Množství novorozenců v čase t je tedy a N(t,0,a) = J u(t,s)ds. o Množství jedinců, kteří byli v čase t novorozenci a dožili se věku a je a+cn N(t + a,a,a)= J u(t + a,s)ds. a Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existují čísla ůi,Ů2 <= [0, 1] taková, že u{t,s)6s = au{t,a*i), j «(*, *)6s = au(t, a + atf2). a Klasickou pravděpodobnost, že se jedinec dožije věku a nyní vyjádříme podílem N(t + a,a,a) u(t,a + aŮ2) N(t,0,a) ~ u(t,aŮ!) Pomocí řešení (4.8) úlohy (4.1), (4.2), (4.3) a s využitím počáteční podmínky v úloze (4.14) vypočítáme limitu N(t + a,a,a) u(t + a,a) x(t)£(a) lim -;--— = -;--— = ———-— = £(a). a^o N(t,0,a) u(t,0) x(t)£(0) y ' Funkce £(a) tedy vyjadřuje pravděpodobnost, že se jedinec dožije věku a. Pro ciq g [0, a] vyjadřuje podíl £(a) ~£\W) 143 podmíněnou pravděpodobnost, že se jedinec dožije věku a za podmínky, že se již dožil věku ag. Proto se funkce £ nazývá specifická míra přežití (age-specific survivorship). Řešení (4.8) úlohy (4.1), (4.2), (4.3) pro a > t lze tedy číst tak, že (očekávaná) hustota jedinců věku a v čase t je rovna hustotě jedinců, kteří měli před časem t věk a — t a časového okamžiku t se dožili. Slovo „hustota" v předchozí větě lze nahradit poněkud vágním slovem „množství". Hodnota a#, pro kterou platí £(an) = \, představuje jakýsi „poločas přežití", tj. věk, do kterého vymře polovina jedinců narozených ve stejném čase1. Můžeme ho také vyjádřit pomocí věkově specifické úmrtnosti ii jako hodnotu, která je řešením rovnice aH J /4»ds = ln2. (4.15) o Obvyklý průběh věkově specifické úmrtnosti ii pro přirozenou lidskou populaci je znázorněn na Obrázku 1.1 - poměrně velká úmrtnost novorozenců rychle klesne na nějakou malou kladnou hodnotu, řekněme /zq, po většinu života na této hodnotě zůstává a v seniu prudce naroste (po šedesátce se holt umírá i bez koronaviru)2. Dobu vysoké novorozenecké úmrtnosti budeme považovat za zanedbatelně krátkou a podíváme se na průběh úmrtnosti od dosažení minima /zq. V aplikacích (v pojišťovnictví) bývá používána Gompertzova úmrtnost iiq, která je definována vztahem iiG{a) = Li0eKa, (4.16) kde k je kladný koeficient. Příslušná Gompertzova míra přežití je £G(a) = exp Moe^dČ J = exp (1 - eKa)} . Hodnoty konstant n a /zq se obvykle volí jako 1 ln 2 k =-, fi0 = aH aH(e-l) Gompertzova míra přežití pak závisí na jediném parametru an ■ Při této volbě platí £G{aH) = exp \ ^ (l - ea-/a- U = I 2 v souladu s definicí hodnoty an- Průběh Gompertzovy úmrtnosti a míry přežití je znázorněn na Obrázku 4.2 a). U populace jiných živočichů může průběh specifické míry přežití vypadat i jinak. Rozlišíme tři její typy, viz Obrázek 4.2 b). I. Většina jedinců se dožije jistého věku a pak ve velké míře umírají. Typickým představitelem takových populací jsou velcí savci (včetně člověka), příkladem je zmíněná Gompertzova míra přežití. II. Úmrtnost je konstantní po celou dobu života, /i(a) = const. To je typické např. pro malé ptáky. III. Úmrtnost je na začátku života velká a s postupujícím věkem klesá. Tato situace je typická pro ryby (mnoho potěru, málo vzrostlých ryb) nebo některé plazy. -'Množina jedinců narozených ve stejném čase bývá, zejména v analýze přežití, nazývána kohorta. 2 Tato poznámka zůstala jako památka na dobu, kdy tato část textu vznikala. 144 a) b) Obrázek 4.2: a) Průběh Gompertzovy specifické úmrtnosti /aq a příslušné míry přežití Íq. b) Možné průběhy specifické míry přežití (stupnice na svislé ose je logaritmická). Věkově stabilizované řešení rovnice (4.1) Okrajová funkce x = u(t,0) je řešením Lotkovy rovnice (4.9). Počáteční funkce p se vyskytuje pouze ve druhém sčítanci na pravé straně této rovnice. Pokud má specifická porodnost /3 tvar uvedený na Obrázku 1.1 b), tedy pokud funkce /3 má kompaktní nosič, je pro dostatečně velkou hodnotu proměnné t její hodnota + ŕ) nulová při libovolném £ > 0. To znamená, že řešení úlohy po dostatečně dlouhém čase nezávisí na počáteční hustotě p. V tomto smyslu je tedy McKendrickova-von Foersterova rovnice (4.1) ergodická. Uvažujme nyní populaci, která se dostatečně dlouho vyvíjela; její počátek je v nedohledné minulosti. Vývoj hustoty takové populace můžeme modelovat homogenní okrajovou úlohou díl díl -777 + tt = —a(a)u, íel, a > 0, ot da oo u(t, 0) = / P(£)u(t£)d£, t e R. o Tato úloha má podle výsledků uvedených části 1.3.3 řešení tvaru u(t, a) = extA(a), kde funkce A je v obecném případě řešením obyčejné diferenciální rovnice (1.94). V našem konkrétním případě se tedy ptáme, zda existuje číslo A takové, že úloha -A' - n(a)A = XA, a> 0, OO A(0) = J p(s)A(s)ds, o (4.17) (4.18) má nějaké „zajímavé" řešení. Tato úloha samozřejmě má triviální nulové řešení A = 0 pro libovolnou hodnotu A. Takové řešení zajímavé není; lze ho interpretovat jako model populace s nulovou hustotou, tedy nepřítomnost populace. Obyčejná lineární homogenní rovnice (4.17) má obecné řešení -Aa-j>(£)d£ , A(a) = C exp 5 = ce(a)e-Xa. Řešení je nenulové, pokud C ^ 0. Po dosazení do podmínky (4.18) a vydělení konstantou C dostaneme 1 = / P{s)í{s)e-Xsás. o (4.19) 145 Číslo A má být řešením této rovnice. Označme její pravou stranu symbolem *ř(A). Předpokládejme, že funkce /3 a /i splňují přirozené podmínky kladené na věkově specifickou plodnost a úmrtnost, tedy že jsou to funkce integrabilní a nezáporné; funkce /3 je navíc ohraničená a kladná na nějakém uzavřeném intervalu [01,02]. Za těchto předpokladů je £ nerostoucí funkce splňující nerovnosti 0 < £(s) < 1 pro každé s > 0 a integrál na pravé straně rovnosti (4.19) je kladný. Dále odvodíme: $'(A) = - J s/3(s)£(s)e-Xsds < 0, pro každé A; o označíme /3* = sup {/3(s) : s > 0} a dostaneme 00 0 < $(A) < P* /VAsds = lim ^- (l - e~As) = lim ^- = 0, tj. lim $(A) = 0; J s—>oo A A A—s-oo A A—s-oo 0 nakonec označíme minimum funkce /3 na uzavřeném intervalu [a>i, a2] symbolem /3*, tj. /3* = min {/3(s) : a\ < s < a2} > 0, a pro A < 0 dostaneme OO (22 a2 1„ x / fl/.'lWnU-^J. \ / Ql„\tll„\n — As $(A) = / /3(s)£(s)e"Asds > / P(s)£(s)e-Äsds > j /3(s)£(s)e-Xsds > > p,£{a2) e-x^ fds = pj(a2) e-x^\a2 - ai), z čehož plyne lim $(A) > (a2 - ai) /3* £(a2) lim e~Aai = 00. A—> —00 A—> —00 Celkem vidíme, že <í> je klesající funkce, která na intervalu (—00, 00) klesne od nekonečna k nule. To znamená, že rovnice 1 = $(A) má právě jedno reálné řešení. Existuje tedy jediné reálné číslo A takové, že okrajová úloha (4.17), (4.18) má nenulové řešení tvaru A(a) = C£{a)e-Xa. Vzhledem k faktu, že funkce <í> je klesající, znaménko vlastního čísla A je určeno hodnotou výrazu 00 $(0) = J P(s)£(s)ds, o viz Obrázek 4.1 b). Je-li $(0) > 1, pak A > 0; je-li $(0) < 1, pak A < 0. Dosažené výsledky nyní můžeme shrnout: Rovnice (4.1) s okrajovou podmínkou (4.3) má řešení tvaru u(t,a) = C£(a)e-Xaext; přitom C je nějaké kladné číslo, které vyjadřuje hustotu novorozenců v čase t = 0, C = u(0, 0), parametr A je řešením rovnice (4.19). Celková velikost věkově stabilizované populace v čase t je dána integrálem 00 u(t,Od^ = Cext í £(0e-X^dt 146 To znamená, že celková velikost takové populace roste exponenciálně. Hodnota A tedy vyjadřuje (Malthusovský) koeficient růstu (growth rate). Viděli jsme, že pro vlastní hodnotu A platí $(0) > 1 => A > 0 (populace roste), $(0) < 1 => A < 0 (populace vymírá). Odtud plyne, že hodnota oo i?0 = $(0)= [ f3(s)e(S)ds, o zvaná čistá míra reprodukce (net reproduction rate)3 určuje, zda populace vymírá nebo roste. Integrovaná funkce je specifická porodnost „diskontovaná" pravděpodobností přežití. Vyjadřuje tedy očekávaný počet potomků, který jedinec (samice, pár) „vyprodukuje" za celý svůj život. Demografické charakteristiky populace Funkce w daná předpisem w(a) = £(a)e-Xa (4.20) popisuje stabilizovanou strukturu populace (distribuci věku). Trochu podrobněji: Množství jedinců ve věku od a\ do a2 a množství všech jedinců v čase t je dáno integrály oo C*eAtw(£)d£ a J C*eAtw(£)d£. a± 0 To znamená, že (klasická) pravděpodobnost jevu „náhodně vybraný jedinec z populace bude mít věk mezi a\ a a2u je dána podílem těchto integrálů a tedy je rovna J ' w(a) , f e(a)e-Xa , --da = / —-da. fw(Z)d£ Jaí fw(Z)d£ Jaí M£)e-A«d£ 0 0 o Z této úvahy plyne, že funkce nezávisle proměnné a daná předpisem i{a)e-Xa _ w(a) OO OO / £(£)e-A«d£ / w(0dcl o o je hustotou spojité náhodné veličiny „věk jedince ze strukturně stabilizované populace". Pro funkci w danou předpisem (4.20) podle (4.14) dále platí w'{a) = ťe-Xa - \£(a)e-Xa = -(n(a) + \)£(a)e-Xa. Pokud tedy A > 0 (populace nevymírá), je w'(a) < 0 a funkce w je klesající. To znamená, že v nevymírající populaci jsou novorozenci nejpočetnější skupinou, s rostoucím věkem zastoupení jedinců klesá. Nebo naopak, nejsou-li novorozenci nejpočetnější skupinou v populaci, tato populace vymírá. Zvolme nyní pevně čas t a věk a. Při následující úvaze budeme předpokládat, že populace má stabilizovanou věkovou strukturu a roste, tj. A > 0. Hodnota /3(a), zhruba řečeno, vyjadřuje množství novorozenců, které „vyprodukuje" jedinec věku a za jednotku času. Hodnota 3 Nezaměňovat s populárním koeficientem Rg používaným v epidemiologických modelech! 147 vyjadřuje očekávaný (střední) počet novorozenců, které tento jedinec „vyprodukuje" v čase t+s—a, kdy bude mít věk s; jedná se o počet novorozenců „vyprodukovaných" za jednotku času jedincem věku s násobený pravděpodobností, že tento jedinec v čase t žil a měl v něm věk a. V čase t + s — a však bude populace eA(s~a)krát větší, než v čase t; relativní příspěvek těchto novorozenců v čase t + s — a k velikosti populace tedy bude eA(s~a)krát menší, než by byl v čase t. Z těchto úvah uzavřeme, že hodnota Ks)'-®-^— P( >£{a) eHs--) vyjadřuje očekávaný relativní příspěvek jedince, který měl v čase t věk a k reprodukci populace (k „produkci" potomstva). Z těchto důvodů definujeme reprodukční hodnotu jedince věku a (reproductive value of an individual of age a) jako oo oo oo v(a) = í /3(S)§4e~A(S~a)ds = jr~J m^)e-Xsds = -L- í P(s)£(s)e-Xsds, J t(a) £{a) J w(a) J a a a tj. očekávaný relativní počet novorozenců, kterým jedinec věku a přispěje k velikosti populace až do konce svého života. V teorii přežití (teorii spolehlivosti) je základním pojmem náhodná veličina T vyjadřující čas do smrti (poruchy) zvaná doba přežití (survival Ume). Funkce £ je pravděpodobnost, že se jedinec z populace popsané McKendrickovou-von Foersterovou rovnicí dožije věku a. Proto distribuční funkce náhodné veličiny T pro tuto populaci je PÍT < a) = 1 - PÍT > a) = 1 - £{a). Funkce £ je v teorii přežití nazývána funkce přežití (survivor function), specifická úmrtnost /i se a nazývá riziková funkce (hazard function) a její integrál J /i(£)d£ je nazýván kumulativní riziková o funkce (integrated hazard). Hodnota an definovaná rovností (4.15), tj. £(an) = ^, se nazývá medián přežití (medián survival Ume). Derivace distribuční funkce náhodné veličiny T, tedy její hustota, je podle (4.14) rovna ji£. Střední hodnota veličiny T nazývaná střední délka života nebo očekávaná doba dožití (life ex-pectancy) je dána výrazem oo e0 = ET = J an(a)£(a)da. (4.21) o Obě veličiny - medián přežití a střední délka života - nějak vyjadřují pravděpodobnou délku života. Je ovšem potřebné zdůraznit, že žádnou z nich nelze chápat jako předpověď délky života. Byly totiž odvozeny za předpokladu, že vývoj věkově strukturované populace je popsán autonomní rovnicí (4.1). Veličiny an a ET lze tedy interpretovat jako střední nebo očekávanou délku života pouze za předpokladu, že se nemění základní charakteristiky populace, tedy plodnost /3 a úmrtnost /i. Stručně řečeno, hodnoty an a ET nejsou predikcí délky života, ale pouze projekcí nebo extrapolací současného stavu. Střední hodnotu (4.21) náhodné veličiny T lze podrobněji charakterizovat jako dobu dožití očekávanou při narození. Můžeme však také vyšetřovat náhodnou veličinu Ta vyjadřující čas do smrti jedince ve věku a > 0. Distribuční funkce a hustota této náhodné veličiny jsou P(T<í|r>o) = I_|> . ,„(í)í|. To znamená, že očekávaná doba dožití ve věku a je dána výrazem oo ea = ETa = J ^(^ííílda. 148 Medián náhodné veličiny Ta se nazývá pravděpodobná délka života ve věku a a značí se symbolem ea. Je to hodnota, která splňuje rovnost i{ea) = 1 - \i{a). Samozřejmě, že také platí an = £q- Stojí za povšimnutí, že obě veličiny ea i ea jsou kladné pro každé a > 0. To znamená, že o jedinci v libovolně vysokém věku lze racionálně očekávat, že se dožije věku ještě vyššího. Jinak řečeno, každá smrt je předčasná. Jinou náhodnou veličinou charakterizující délku života může být věk při úmrtí (úhynu) jedince v jisém čase. Klasická pravděpodobnost P, že jedinec, který zemřel v časovém intervalu od t do t + Aí, mměl věk z intervalu od a do a + Aa, je dána podílem t+At / a+Aa \ P t+At /oo \ / (j/i(£Ms,£)d£jdS to jednoduše plyne z definice specifické úmrtnosti 11 a hustoty populace u. S využitím první věty o střední hodnotě integrálního počtu tento výraz postupně upravíme, t+At / a+Aa \ t+At M(£MS, £)dí; ) ds = J Aa(fi(a + ů1Aa)u(s,a + ů1Aa))ds = = Atfi(a + ů1Aa)u(t + ů2At, a + ů1Aa)Aa, t+At / oo \ oo M(ČMs,0dČ dS = Aí J M(0«(í + i?3Aí,0de, t \o Jo H(a + Ů!Aa)u(t + t)2At, a + ůxAa) p =-55^-Aa; o přitom r)i,ľ)2,ľ)i3 jsou nějaká čísla z intervalu (0,1). Pro Aí —>• 0 dostaneme jita + ůiAa)u(t, a + ůiAa) p =-^-aa- o To znamená, že hustota f m spojité náhodné veličiny M „věk jedince při úmrtí v čase í" je n(a)u(t, a) f M (a) o Střední hodnota této veličiny, tedy očekávaný věk při úmrtí v čase t (expected age of death) je dán integrálem oo °? r \ n \ f aii(a)u(t,a)da EM = /fl M(°M*,°) da=o^-_ o f fJ>(0u(t,0d£ f ii(a)u(t,a)da o o Pokud má populace stabilizovanou věkovou strukturu, je tato hodnota rovna oo oo J aextw(a)da J a/j,(a)e~Xa£(a)da EM = ^-= ^-. (4.22) J /j,(a)extw(a)da J /j,(a)e~Xa£(a)da o o 149 Vidíme, že očekávaný věk při úmrtí závisí na růstovém koeficientu A. Porovnáním s rovností (4.21) dostáváme, že v případě, kdy A = 0, tj. populace má stabilizovanou i velikost, je očekávaný věk při úmrtí shodný s očekávanou délkou života. Podívejme se ještě na charakter závislosti očekávaného věku při úmrtí na růstovém koeficientu. oo oo / oo - J a2ii(a)e-Xa£(a)da J Li(a)e^Xa£(a)da + J aLi(a)e^Xa£(a)da ďEM _ _o_o_Vo_. dX ~ / °° ^ 2 ^J /j,(a)e-Xa£(a)da Jmenovatel tohoto zlomku je kladný, pro jeho čitatel platí )2 oo oo - J a2[i(a)e~Xa£(a)da J [i(a)e~Xa£(a)da = o o oo \ 2 oo oo a\J'Li{a)e-Xa£{a) SMax a libovolný čas t by mělo platit u{t, a) = 0. Ovšem v případě, že počáteční funkce ip je nenulová (což je jediný rozumný případ), existuje nějaký věk ciq takový, že p(a>o) > 0. Pak také pro libovolné a > SMax a pro t = a — ciq platí £(a) u(t,a) = p(a0)jT—r > 0. Model tedy není plně realistický a jeho použitelnost je omezená. Tento nedostatek však není nikterak zásadní. Pro dostatečně velké a totiž platí u(t,a) = p(ao)P- = píe~Í^ < píe-^, £(a0) £(a0) £(a0) kde Umiň = min {/i(a) : a > 0} . Funkce ii je kladná a v okolí nekonečna neklesající. Proto /im;n > 0 a lim u{t, a) = 0. a—>oo Pro dostatečně velký věk a je hodnota u{t, a) malá a pravděpodobnost, že nějaký jedinec bude mít tento veliký věk a > &Max, Je zanedbatelná. Závažnějším problémem modelu (4.1), (4.2), (4.3) je použitý předpoklad, že jeho základní funkcionální parametry ii a /3 závisí pouze na věku. Tento předpoklad může být splněn pouze v neomezeném prostředí s neomezenými zdroji. V reálných podmínkách dojde ke konkurenci o omezené, tj. vzácné, zdroje mezi jedinci populace. Porodnost a úmrtnost proto mohou záviset na složení populace nebo přinejmenším na její velikosti. Tedy ji = /i((a, m(í, a)), j3 = j3(a, u(t, a)), nebo ji = /z((a, N{ťj) , j3 = (i(a, u{ťj), 150 kde OO N (t) = J (u,t)da. o Modelům tohoto typu se budeme věnovat v části 4.2. 4.1 Dvojpohlavní populace Uvažujme populaci složenou ze samic a samců rozmanitého věku. Samice a samci mohou vytvořit páry, spárovaná dvojice může „vyprodukovat" potomky. Jedinec může být součástí nejvýše jednoho páru. Označme Uf = Uf(t,x) hustotu samic věku x v čase t, Sf = Sf(t,x) hustotu nespárovaných (single) samic věku x v čase t, um = um(t,y) hustotu samců věku y v čase t, sm = sm(t,m) hustotu nespárovaných samců věku y v čase t, c(t,x,y) hustotu párů tvořených samicí věku x a samcem věku y v čase t. Integrály OO c(t,x,y)dy, resp. J c(t,x,y)dx o o vyjadřují hustotu párů, v nichž je samice věku x, resp. samec věku y. Stavové veličiny jsou tedy vázány vztahy st(t,x) = Uf(t,x) - J c(t,x,y)áy, sm(t,y) = um(t,y) - j c(t,x,y)áx. (4.23) o o Zavedeme dále věkově specifickou úmrtnost samců /zm = /im(y) a samic m = m (x), specifickou plodnost P = j3{x,y) páru tvořenou samicí věku x a samcem věku y a primární poměr pohlaví p. Funkce /zm a m jsou kladné, funkce /3 je nezáporná. Parametr p je z intervalu (0,1) a interpretujeme ho tak, že podíl samiček mezi všemi novorozenci je roven p. Analogicky jako v případě jednopohlavní populace je vývoj hustoty samic popsán rovnicí ^ + = -Mf (*K t > 0, x > 0 (4.24) ot oa s počáteční podmínkou uf(0,x) = ipf(x), x>0 (4.25) a okrajovou podmínkou uf(t,0)=pj J P(x, z)c(t, x, z)dxdy, t > 0; (4.26) o o funkce tpf vyjadřuje počáteční hustotu samic. Podobně pro hustotu samců můžeme napsat rovnici s počáteční a okrajovou podmínkou: + ^ = -Mm(2/)«m, t > 0, x > 0, (4.27) ot Oa um(0,y) = 0, (4.28) OO OO „,(«,0)^(1^)//«,,*«,,.^*. <>». (4.») o o Ještě zbývá popsat vývoj hustoty párů c. 151 Dynamika párů Je zřejmé že pro krátký časový interval délky Ar platí c(r +Ar, x + At, y + At) = c(t, x, y) — zaniklé páry + vzniklé páry = c(t, x, y) — ac{t, x, y)At + MAt, kde a je koeficient zániku párů a M je funkce manželství (marriage function) nebo funkce partnerství (mating function). Koeficient zániku a závisí na věku partnerů tvořících pár. K zániku páru dochází proto, že jeden z partnerů zemře nebo se partneři rozejdou. Tedy cr = a(x, y) = Lif(x) + /J,m(y) + S(x, y). (4.30) funkce S = S(x,y) je specifická míra rozchodu (divorse rate), vyjadřuje pravděpodobnost, že se pár tvořený samicí věku x a samcem věku y rozejde během časového intervalu jednotkové délky. Funkce partnerství M vyjadřuje hustotu (a tím i množství) párů vzniklých za jednotku času. Závisí jednak na věku samců a samic, kteří pár vytvoří, a také na jejich „dostupnosti", tj. na množství volných samic a samců příslušného věku.4 Tedy M = M(x,y,st,sm) = M(x,y,st(t,x),sm(t,y)). Pro časovou změnu hustoty párů tak dostáváme rovnost c(t + At, x + At, y + At) = c(t, x, y) - cr(x, y)c(t, x, y)At + M(x, y, Sf, sm)At. Současně podle Taylorovy věty platí (připomeňme si, že At = Ax = Ay) c(t + At,x + At, y + At) = c(t, x,y) + ^(t, x, y)At + |^(í, x, y)At + |^(í, x, y)At + 0(At2). at ax ay Odtud dostáváme, že hustota párů splňuje parciální diferenciální rovnici |^ + |^ + |^ = -v(x,y)c +M(x,y,sf,sm), t > 0, x > 0, y > 0. (4.31) Spolu s touto rovnicí uvažujeme počáteční podmínku c(0, x, y) = i>(x, y), x > 0, y > 0, (4.32) kde funkce ip vyjadřuje počáteční hustotu párů. Dále budeme předpokládat, že novorozenci páry netvoří. Tento předpoklad zapíšeme jako okrajovou podmínku c(t, 0,y) = 0 = c(t, x,0), t > 0, x > 0, y > 0. (4.33) Model vývoje věkově strukturované dvoupohlavní populace je tedy tvořen systémem tří parciálních diferenciálních rovnic (4.24), (4.27), (4.31) s počátečními podmínkami (4.25), (4.28), (4.32) a s okrajovými podmínkami (4.26), (4.29), (4.33). Funkce s f a sm jsou dány rovnostmi (4.23), funkce a je dána rovností (4.30). Funkce partnerství M je dosud neurčena. Funkce partnerství Funkce M vystupující v rovnici (4.31) musí mít následující „přirozené" vlastnosti. Pl) Nemůže vznikat méně než žádný pár (rozpad párů je popsán lineárním členem na pravé straně rovnice (4.31)), hustoty samic i samců také nemohou být záporné: M : [0,oo)4 [0,oo). 4Funkce M je funkcí čtyř proměnných x,y, Sf,sm. Ovšem hodnota Sf závisí na i a x, hodnota Sycí závisí riä t d, y. Hodnota M tedy závisí na třech proměnných x, y, t. 152 P2) Pokud v populaci nejsou žádné „volné" samice nebo žádní „volní" samci, pak nemůže žádný pár vzniknout: M(x,y,0,sm) = 0 = M(x,y,3i,0) P3) Pokud se stejně změní počet „volných" samic i samců, množství nově vzniklých párů se změní „nějak úměrně" této změně. Jednoduše uvažováno, pokud se zdvojnásobí počet volných samic věku x a volných samců věku y, pak se také zdvojnásobí množství párů vyjádřených hustotou c(x, y). Trochu obecněji zapsáno M(x, y, asf, asm) = aM(x, y, Sf, sm). U skutečných populací tento vztah nemusí být takto jednoduchý. Je-li populace velká, může být snazší setkání jedinců opačného pohlaví a nárůst počtu párů je větší než zvětšení a množství „volných" jedinců (projeví se Alleho efekt). Nebo naopak, ve velké populaci jsou již zdroje spotřebované natolik, že je málo energie na tvorbu párů a nárůst je menší než a (projeví se vnitrodruhová konkurence). Obecně postulujeme, že funkce M je homogenní řádu r > 0 ve třetí a čtvrté proměnné: M(x, y, ast, asm) = arM(x, y, st, sm). P4) Celkové množství nově vzniklých párů, v nichž je samice věku x, nemůže být větší, než bylo množství „volných" samic tohoto věku. Analogické tvrzení platí pro samce, tj. oo M(x, y, sf (ŕ, x),sm(t, y))áy < sf(t, x), J M (x, y, sf(t, x),sm(t, y))dx < sm(t, y), o o Těmto postulátům vyhovují (a v aplikacích byly používány) např. funkce - minimum M(x, y, Sf, sm) = g(x, y) min {sf, sm}, - harmonický průměr M(x,y,S{, sm) = 2g(x,y)- f m Sf Sixi - vážený harmonický průměr M(x, y, Sf, sm) = g(x, y)-----, 0 < q < 1. qsf + (1 - q)sm Přitom g je nějaká funkce s hodnotami mezi nulou a jedničkou. Lze ji interpretovat jako pravděpodobnost, že potenciální pár skutečně vznikne. Všechny tyto funkce jsou homogenní řádu 1. Funkce minimum v případě g = 1 vyjadřuje skutečnost, že žádný jedinec, pro něhož existuje partner/ka příslušného věku, nezůstane nespárován/a. Pod pojmem „pár" si nemusíme představovat páry trvalé. Může jít o krátkodobé spojení jen za účelem produkce potomků. V takovém případě lze v případě váženého harmonického průměru připustit i hodnoty q = 0 (všechny samice jsou oplozeny) nebo q = 1 (všichni samci realizují své geny). Postuláty Pl)-P4) ještě plně nevystihují „fungování manželského trhu". „Volné" samice a „volní" samci představují nabídkovou stranu tohoto „trhu", vzniklé páry poptávkovou. A na tomto „trhu" existuje konkurence. Z těchto důvodů přidáme dva další požadavky: P5) Zvýšení nabídky vyvolá zvýšení poptávky. Podrobněji, pokud se zvětší množství „volných" samic a samců jistých věkových kategorií, pak se zvětší (nebo aspoň nezmenší) množství vzniklých párů těchto věkových kategorií. Tj. pokud pro nějaké hodnoty xi,X2,yi, y2 takové, že x\ < X2 a yi < y2, pro nějaké t a pro funkce Sf, sm, Sf, šm platí ,\<šf(t,x) pro x G [x1,x2], , ,\ J J M (x,y, sf(t, x),sm(t,x))dxdy. Vi a,'! yx a,'! Příkladem funkce, která splňuje všechny postuláty Pl)-P6) je Hadelerova funkce Sf(t, x)sm(t, x) M(x,y,sf,sm) = M(t,x,y) = 2g(x,y)—---. JSf(í,£)d£ + /Sm(í, rfiáq o o Jedná se o analogii harmonického průměru; k označení nezávisle proměnných sr. poznámku 4 pod čarou na str. 152. 4.2 Populace s porodností nebo úmrtností závislou na její velikosti Celková velikost populace N = N (t) v čase t je dána integrálem hustoty oo N (t) = / u(t,a)da. (4.34) o V populaci se mohou projevovat nějaké vnitrodruhové vztahy, konkurence nebo mutualismus. Tuto skutečnost lze vyjádřit tak, že základní charakteristiky populace - specifická plodnost a specifická úmrtnost - závisí kromě věku na celkové velikosti populace. Místo rovnice (4.1) s podmínkami (4.2), (4.3) pak modelujeme vývoj populace rovnicí Trr + tt = -fi(a, N)u, t > 0, a > 0, (4.35) s počáteční podmínkou u(0,a) = (fi(a), a>0, (4.36) a okrajovými podmínkami u(t,0) = j j3(s,N)u(t,s)ds, N(t) = j u(t,a)da, t > 0. o o Podíváme se podrobněji na tři speciální případy této úlohy pro nelineární parciální diferenciální rovnici prvního řádu. 154 4.2.1 Porodnost i úmrtnost závislé pouze na velikosti populace, nikoliv na věku Uvažujme porodnost P = P(N) a úmrtnost /i = n(N) nezávislé na věku (nejsou věkově specifické), ale závislé na celkové velikosti populace. V tomto případě se rovnice (4.35) zjednoduší na tvar díl díl -t- + t- = -fi(N)u, t > 0, a > 0. (4.37) ot oa Počáteční podmínkou je rovnost (4.36), jedna okrajová podmínka je oo u(t,0) = J P(N)u(t,s)ds, t>0 (4.38) o a jako druhá zůstává (4.34). Je přirozené předpokládat, že lim u(t,a) = 0 pro každé t, tj. že v populaci neexistují nesmrtelní a—>oo jedinci. Za tohoto předpokladu integrujme levou strany rovnice podle věku a s využitím okrajových podmínek dostaneme oo oo oo /du(t,a) du(t,a)\ f du(t,a) ^ d f . . , . n. [—df1 + -^r) da = J —irráa + H'>fl)] a=0 = ^ y u&a)da - u&°) = u o o oo = ?-N{ť) - J f3(N(t))u(t, a)da = N'(t) - p (N(í)) N(í). o Integrace pravé strany rovnice (4.37) dává oo -J n(N(t))u(t,a)da =-n(N(t))N(t). o Celkem dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici pro neznámou funkci N N' = (P(N) - n(N))N. (4.39) Tato rovnice má evidentně stacionární řešení N(ť) = 0, tzv. extinkční rovnováhu, kdy žádný jedinec neexistuje a tedy se populace nijak nevyvíjí. Konkrétní modely dostaneme specifikací funkcí /3 a/i. Porodnost větší než úmrtnost a vnitrodruhová konkurence Porodnost převyšující úmrtnost při malých populačních hustotách zajistí růst populace. Naproti tomu vnitrodruhová konkurence zmenšuje porodnost nebo zvětšuje úmrtnost při zvětšující se populaci („nebo" je samozřejmě klasická logická spojka, není vylučovací). Tyto předpoklady zapíšeme formálně jako relace M(0)0. (4.40) Z monotónnosti funkcí /3 a /i nyní plyne existence jejich limit v nevlastním bodě oo; limita funkce H může být nevlastní. Pokud /3oo = lim /3(N) > Hoo= hni n(N), N—s-oo N—s-oo pak S = — /íqo > 0 a N' > SN a tedy N(ť) > NoeSt, což znamená, že řešení rovnice (4.39) neomezeně roste, lim N(t) = oo. 155 Pokud naopak pak existuje hodnota N* > 0 taková, že px = lim P(N) < Moo = hni n(N), (4.41) N—>oo N—>oo P(N*) = n(N*) (4.42) (nakreslete si obrázek). Pokud je navíc tato hodnota určena jednoznačně (a k tomu stačí, aby všechny nerovnosti v podmínce (4.40) byly ostré), pak platí (P(N) - fi(N))(N -N*)<0 pro každé N > 0. V takovém případě má rovnice (4.39) asymptoticky stabilní stacionární řešení N(ť) = N*, oblast přitažení tohoto řešení je celý interval (0, oo). Extinkční rovnováha N = 0 je v tomto případě nestabilní. Tento výsledek můžeme interpretovat tak, že hodnota N* představuje kapacitu prostředí (úživnost) pro modelovanou populaci. Pro jakoukoliv počáteční hodnotu N(0) > 0 má řešení rovnice (4.39) vlastnost lim N(t) = N*. t—>oo Počáteční velikost populace je dána integrálem z počáteční funkce p vystupující v počáteční podmínce (4.36) k původní rovnici (4.34), tj. oo N(0) = N0 = J p(s)ds. (4.43) o Vidíme, že populace modelovaná okrajovou úlohou (4.37), (4.34), (4.38) může mít řešení se stabilizovanou velikostí N*. Nyní budeme hledat takové řešení, které má navíc stabilizovanou věkovou strukturu w* = w*(a). Toto řešení musí splňovat rovnici (4.35), v tomto případě tedy oa což je obyčejná lineární homogenní rovnice pro neznámou funkci w*. Její řešení je dáno formulí w*(a) =Ce-^N'^a, kde C je integrační konstanta. Funkce w* musí dále splňovat okrajovou podmínku (4.34), v tomto případě oo o neboť /j,(N*) > 0. Odtud dostaneme C = N*/i(N*), tedy w*(a) = N*/i(N*)e-^N')a. (4.44) Ještě ověříme, že takto definovaná funkce splňuje okrajovou podmínku (4.38). Platí oo oo w*(0) = N*fi(N*), a J P(N*)w*(a)da = N*P(N*)fi(N*) Je-^N')ada = N*/3(N*), o o oo což vzhledem k první rovnosti (4.42) znamená, že w*(0) = J /3(N*)w*(a)da. o Dosažené výsledky můžeme shrnout: Jsou-li splněny podmínky (4.40) a (4.41), pak má okrajová úloha (4.37), (4.34), (4.38) stacionární řešení w* definované rovností (4.44), kde N* je definováno rovností (4.42). Pokud je navíc hodnota N* urěena jednoznačně a číslo Nq definované rovností (4.43) je kladné, pak pro řešení u = u{t, a) této okrajové úlohy s počáteční podmínkou (4.36) platí lim u{t,a) =w*(a). t—>oo 156 Vnitrodruhová konkurence a Alleho efekt Předpokládejme, že vnitrodruhová konkurence se stejně jako v předchozím případě projevuje zvětšováním úmrtnosti při zvětšování populace. Plodnost ale ovlivňuje vnitrodruhová konkurence až od jisté velikosti populace. Při malé populaci je plodnost nízká, neboť je malá pravděpodobnost, že se potkají partneři pro rozmnožování, s rostoucí velikostí populace tato pravděpodobnost a tedy i plodnost roste, při velké populaci u plodnosti převáží vliv vnitrodruhové konkurence. Předpokládáme tedy, že existuje jistá velikost populace N, že wxmo), ^>o, ^(n)^°> n<ň>. HK ' PW' dN ~ ' dNy 1<0, N>N, Za těchto předpokladů je extinkční rovnováha N(ť) = 0 rovnice (4.39) asymptoticky stabilní (promyslete si, proč). Pokud navíc P(Ň) > fi(Ň) a, p00= lim p{N) > Moo = lim fi(N), pak existují hodnoty B a TV* splňující rovnosti /3(9) = M(e), /3(N*) = n(N*) takové, že 0 < O < N < N*. V tomto případě jsou funkce N(ť) = O a N(ť) = N* stacionárními řešeními rovnice (4.39). Pokud jsou navíc hodnoty O a N* určeny jednoznačně, pak P(N) - n(N) >0, Q N* To znamená, že rovnováha O je nestabilní a rovnováha N* je asymptoticky stabilní. Hodnota O představuje jakousi prahovou hodnotu velikosti populace nutnou pro její přežití. Je-li N(0) < O, populace vymře, je-li N(0) > O, populace přežívá a její velikost se ustálí na hodnotě N*. Stabilizovaná věková struktura populace při stabilizované velikosti N* je opět dána formulí (4.44). 4.2.2 Úmrtnost závislá pouze na věku, plodnost klesající s věkem Budeme uvažovat populaci organismů s potenciálně neomezenou dobou života, které se rodí březí a jejich věkově specifická plodnost klesá s věkem5. Přesněji, jejich kladná úmrtnost \x závisí pouze na velikosti populace, plodnost /3 exponenciálně klesá s věkem, tedy li=li{N), p = p{o) = /30e-Ta, kde 7 jsou kladné konstanty. Rovnice (4.35) nabývá tvaru (jíl (JU -7^ + 7T = -V(N)U> * > 0, a > 0. (4.45) ot oa Okrajovou podmínku zapíšeme ve tvaru oo u(t, 0) = A) J e-^au(t, a)da, t > 0. (4.46) o Hustotu novorozenců u{t, 0) v čase t označíme jako x{ť). Pak integrací rovnice (4.45) podle věku dostaneme podobně jako v 4.2.1 obyčejnou diferenciální rovnici N' = -n(N)N + x. (4.47) 'Populace s těmito vlastnostmi se objevuje v epizodě „The Trouble with Tribles" ságy Star Trek. 157 x" = (Po - 1 /x = n(N)N (A - 7)JV iV =řl-1(/30-7) a) b) Obrázek 4.3: Kvalitativní analýza systému obyčejných diferenciálních rovnic (4.47), (4.48), který popisuje dynamika velikosti populace N a množství novorozenců x: a) „fázový portrét" systému, b) trajektorie a invariantní množina systému. Pro konstrukci obrázku byla použita úmrtnost tvaru fi(N) = fi0 + ■ V této rovnici jsou dvě neznámé funkce, N a x. Potřebujeme tedy ještě jednu rovnici. Tu získáme tak, že rovnici (4.45) vynásobíme výrazem /3oe~7a a poté ji zintegrujeme podle věku. Počítejme postupně: OO du(t, a) , d „ ľ ~n , % . d , . /30e'7a K' 'áa = -B0 / e-T°u(í,a)da = —x(t), dt dt' / v ' ' dt 0 00 /30u(í, 0) + 7/30 / e-7aw(í, a)da = -/30x(t) + 7x(r) = (7 - /30)x(r), o P0e~ian{N)u{t, a)da = -fi(N)x(t). o Celkem tak dostáváme x'(t) + (7 — /3o)x(r) = —/a(N)x. Druhá obyčejná diferenciální rovnice tedy je x' ={pQ-1-n(N))x (4.48) Celková velikost populace N a hustota novorozenců x jsou řešením dvojrozměrného nelineárního systému obyčejných diferenciálních rovnic (4.47) a (4.48). Vyšetříme jeho kvalitativní vlastnosti za předpokladu, že v populaci se projevuje vnitrodruhová konkurence, tj. ^>0. (4.49) Pravá strana rovnice (4.47) je nulová právě tehdy, když x = /x(N)N. Křivka o této rovnici je tedy jedinou A^-nulklinou systému. Z předpokladu (4.49) plyne, že takže Af-nulklina je grafem rostoucí funkce vycházejícím z počátku souřadnic, viz Obrázek 4.3 a). Systém má vždy jednu x-nulklina danou rovností x = 0. Pokud platí nerovnosti 0 O takové, že n(N*) = Po — 7. Má-li navíc funkce /i v libovolném takovém bodě N* kladnou derivaci, H'(N*)>0, kde fi(N*) = p0 - 7, (4.51) pak je toto N* určeno jednoznačně a přímka N = N* je druhou x-nulklinou systému, viz Obrázek 4.3 a). V takovém případě má systém (4.47), (4.48) dvě stacionární řešení - (0, 0), které odpovídá extinkční rovnováze, a (N*,x*). Variační matice systému je J^'x)-{ -^(N)x Po-j-^N))-Konkrétně, pro extinkční rovnováhu platí J(0, 0) = (~M0(0) Ä _ j_ ^ , det J(0, 0) = -M(0) (Po - 7 - M(0)) < 0, což znamená, že stacionární bod (0, 0) je sedlo. Pro stacionární bod (N*,x*) = (jV*, (Po — l)N*) platí T(N* (-lS(N*)N* -Po+l 1 J[ ' > ~ \-ii>(N*)N*(po-"f) 0y det J(N*,x*) = fi'(N*)N*(Po -7) > 0, tr J(N*,x*) = ~n'(N*)N* - (Po - 7) < 0, (tr J(N*,x*))2 - 4det J(N*,x*) = (n'(N*)N* + (p0 - 7))2 - ^'(N*)N*(p0 - 7) = = ^'(N*)N*-(p0-"f))2>0. To znamená, že stacionární bod (N*,x*) je stabilní uzel. Ještě ukážeme, že přímka p o rovnici x = (Po — 7)N je invariantní množinou systému (4.47), (4.48). Za x v rovnici (4.47) dosadíme (Po—"f)N a rovnici (4.48) vydělíme rovnicí (4.47). Dostaneme dx x x - = —, a tedy — = const. dN N' N Směr trajektorie začínající na přímce p je incidental se směrovým vektorem této přímky, tj. p je invariantní množinou. Stacionární bod (N*,(Po — j)N*) leží na invariantní přímce. Z toho usuzujeme, že uvnitř prvního kvadrantu neexistuje cyklus systému (4.47), (4.48), který by měl tento bod ve svém vnitřku. Odtud dále plyne, že oblast přitažení vnitřního stacionárního bodu (N*, x*) je celý vnitřek prvního kvadrantu. Trajektorie systému jsou zobrazeny na Obrázku 4.3 b). Vývoj populace modelované parciální diferenciální rovnicí (4.45) s okrajovou podmínkou (4.46) směřuje ke konstantní velikosti N*, která závisí na tvaru úmrtnosti /i a parametrech porodnosti Po, "f- Poměr množství novorozenců a celkové velikost populace směřuje k číslu ^7 = A) - 7- Stacionární řešení u(t,a) = w*(a) rovnice (4.45) s podmínkou (4.46), tj. hustotu modelované populace se stabilizovanou věkovou strukturou a konstatní velikostí, dostaneme jako řešení obyčejné rovnice ^l = -^(N*)w* = -(p0-"f)w* da s podmínkou 00 x* = Po J e-~faw* (a)da, o 159 tedy w*(a) = x*e-^J°-^a = (p0 - j)N*e-^°-^a = (p0 - 7)/i~1(A) - i)^{pJ°^)a. (4.52) Dosažené výsledky můžeme shrnout: Jsou-li splněny podmínky (4.49), (4.50) a (4.51), pak má okrajová úloha (4.45), (4.34), (4.46) stacionární řešení w* definované rovnostmi (4.52). Pokud je navíc ěíslo Nq definované rovností (4.41) kladné, pak pro řešení u = u(t, a) této okrajové úlohy s poěáteění podmínkou (4.36) platí lim u(t,a) =w*(a). t—>oo 4.2.3 Populace složená z jedinců juvenilních a plodných Nyní budeme předpokládat, že jedinci jsou plodní až od určitého věku t. Můžeme si to také představovat tak, že v populaci jsou jedinci dvou stádií - larvy a dospělci. Dospělí (plodní) jedinci si konkurují a tato konkurence se projevuje zmenšením plodnosti s rostoucím množstvím dospělých jedinců. O úmrtnosti budeme předpokládat, že je stejná pro obě stadia a je konstantní. Celková velikost dospělé populace je dána integrálem oo NA = NA(t) = / u(t, a)da. (4.53) Úmrtnost /i je konstantní, porodnost je dána rovností P = p(a, NA) = 0, a < t, kde Po a 7 jsou kladné konstanty. Rovnice (4.35) je nyní tvaru Ou Ou -r- + -7- = -fiu, t > 0, a > 0 (4.54) ot oa u(t, 0) = / Poe^^^uit, a)da a okrajová podmínka vzhledem k (4.53) je u(t, 0) = /30e"7ÍVA(t)iVA(í), t > 0. (4.55) Opět označíme x(ť) = u(t,a), podrobněji x(t)=p0e^N^NA(t). Poněvadž je úmrtnost konstantní, věkově specifická míra přežití je dána rovností í(a) = e~Ma. Podle výsledku (4.8) je pro t > t řešení rovnice (4.54) dáno formulí u(t, t) = x(t - t)£(t) = p0e-'lN^t-^-^NA{t - t). (4.56) Rovnici (4.54) nyní zintegrujeme podle věku a v mezích od t do 00. Při výpočtu využijeme rovnosti (4.53), (4.56) a postulovanou vlastnost hustoty lim u(t,a) = 0: 00 ídu(t,a) du(t,a)\ d ľ . . , r /. m°° ' ' 'jdo=- /u(í,o)(k+[u(í,o)]a=r = T = NA(t) - u(t, r) = NA(t) - poe-^-^-^NAit - r), V dt da 160 ( — fj,u(t, a))da = — /zíVa(í). Celkem tak dostáváme, že velikost plodné části populace ÍVa(í) v čase t je řešením nelineární obyčejné diferenciální rovnice s jedním konstantním zpožděním Ní(ť) = -mJVa(í) + p^^-^-^N^t - r). (4.57) Najdeme nenulové stacionární řešení N(t) = N^. Hodnota NA musí splňovat rovnici tedy N*A = - (ln ^ - /ít) . (4.58) 7 v m Tedy, pokud /3q > /ieMT, pak existuje kladné stacionární řešení rovnice (4.57), které je dáno rovností (4.58). Příslušná stabilizovaná věková struktura w* je řešením obyčejné diferenciální rovnice d * —w = —fiw da s počáteční podmínkou W*(0) = PoNte-l"' =Ěl(hlĚl-flT)e- HPoM+^r = m a ^0 _ \ 7 v m / 7 v m / tedy w*(a) = 7 V 7 161 162 Kapitola 5 Modely prostorově strukturované populace Představme si nějakou populaci tvořenou jedinci, kteří se nějak pohybují v prostoru. Těmi jedinci mohou být nějaké organismy, prostor si můžeme představovat jako jednorozměrný (např. členovci v potoce), dvourozměrný (např. kopytníci v savaně), nebo trojrozměrný (např. ryby ve vodě). Takovou populaci můžeme charakterizovat její hustotou u, která může být jiná v každém časovém okamžiku t a v každém bodě prostoru x, tedy u = u{t,x). Vyberme nějakou oblast fž v uvažovaném prostoru. Na této oblasti se v časovém okamžiku t nachází populace o velikosti N{t, Í2); velikostí populace může být počet jedinců, jejich celková biomasa a podobně. Hustota a velikost populace jsou vázány vztahem1 N(t, n) = j u(t, x)dVx = j u(t, ■ )dV. Q Q Zvolme nyní libovolně délku časového intervalu Ar. Označme na chvíli T(t, Í2, Ar) čistou velikost části populace, která v čase od t do t + At přešla z oblasti fž přes její hranici, a R(t, Í2, Ar) velikost populace, která v tomto časovém intervalu v oblasti fž vznikla nebo zanikla. Pokud přes hranici prošlo více jedinců dovnitř oblast Í2, bude mít veličina T záporné znaménko, v opačném kladné. Podobně, pokud více jedinců v oblasti vzniklo než zaniklo, bude mít veličina R kladné znaménko, v opačném případě záporné. Při tomto označení je N(t + At, n) = N(t, n) - T(t, n, At) + R(t, n, At). (5.1) -'Abychom zachovali obecnost, tj. aby formule nezávisely na dimenzi uvažovaného prostoru, budeme integrály zapisovat pomocí symboliky, obvyklé ve fyzice. Objemový integrál zastupuje integrál z funkce / přes oblast íí, tj. J f(x)dVai, stručněji J fdV fdV: ( b f f(x)dx, íí = (a,b)C: a JI f(x> V) = dxdy, n c n III ffa'V'Z) = dxdydz, Q C n j. 2 Podobně pro povrchový integrál přes hranici oblasti Q (křivkový integrál v E2, plošný integrál v i?3) budeme používat symbol J f(x)dSv = J fdS. an an 163 (Ib'I^COStf)!/ 3 on Obrázek 5.1: K procesu přechodu jedinců přes hranici oblasti fž. Symbol || • ||2 označuje eukleidovskou normu vektoru, v je jednotkový vektor vnější normály k hranici oblasti. Proces vzniku nebo zániku jedinců bývá obvykle nazýván „reakce". (Tato terminologie pochází z chemické kinetiky - za jedince populace jsou považovány molekuly, které vznikají nebo zanikají nějakou reakcí.) Vyjadřujeme ho pomocí funkce /, zvané intenzita reakce. Ta se může měnit s časem, může být v každém bodě jiná, může také záviset na hustotě v daném čase a v daném bodě, tedy / = f(t, x, u) = f(t, x, u(t, a;)). Pro krátký časový interval Ar vyjádříme Proces přechodu jedinců přes hranici oblasti fž charakterizuje vektor toku j, o kterém budeme předpokládat, že závisí na čase i na bodu hranice, v němž k přechodu dochází, tj. j = j (t, x). Zavedeme jednotkový vektor fi stejného směru, jako je vektor toku j, tj. kde || . ||2 označuje eukleidovskou normu vektoru. Jednotkový vektor vnější normály v bodě x označíme v{x). Předpokládejme, že přes vybraný malý úsek hranice o míře (délce, obsahu) AS přechází více jedinců z oblasti fž, než do ní (při opačné orientaci by úvaha byla analogická). Dále označme •& orientovaný úhel od vektoru v k vektoru j. Pro celkové množství jedinců AT přecházejících přes tento úsek hranice za jednotkový čas platí (viz Obrázek 5.1) kde • označuje skalární součin. Celkové množství jedinců přecházejících přes hranici oblasti fž za jednotku času je tedy dáno povrchovým integrálem kde V označuje vektor parciálních derivací. Pro množství jedinců přecházejících přes hranici oblasti fž tak dostáváme (5.2) AT = ||j||2costfAS = ||j||2/x.i/A5 = j -vAS, Ten můžeme přepsat pomocí Gaussovy věty jako integrál objemový, (5.3) 164 Výrazy (5.3) a (5.2) dosadíme do rovnosti (5.1). Dostaneme u(t + At, - )dV = J u(t, ■ )dV + í - J V • j(t, ■ )dV + J f (t, ■, u(t, ■ ))dV At Q Q \ Q Q ) a po úpravě (U(ŕ + A^""(V^V.i(t, ■)-/(*,-,«(*, -^clV^O. Oblast fž byla zvolena libovolně. Proto za předpokladu, že integrovaná funkce je spojitá, může být poslední rovnost splněna jen tehdy, když u(t + At, x) — u(t, x) „ . „, , ,N -i-^-+ \7 ■ j(t,x) - f(t,x,u(t,x)) = 0 pro všechna x G Í2. Limitním přechodem Ar —> 0 odtud dostaneme parciální diferenciální rovnici ^ = -\7-j(t,x) + f(t,x,u). (5.4) V této rovnici zůstává neurčený vektor toku j. Jedinci mohou přecházet přes hranici oblasti buď proto, že jsou unášeni mediem, v němž žijí (proudění vzduchu nebo vody), nebo proto, že se sami přemisťují. První proces se nazývá advekce, druhý disperse. Předpokládejme, že tyto procesy jsou aditivní, tj. že pro vektor toku platí 3 = J a + J ď kde vektor ja vyjadřuje advekci a vektor jd dispersi. Předpokládejme dále, že jedinci jsou unášeni rychlostí v = v(t, x), tedy že ja(t, x) = u(t, x)v(t, x). Budeme uvažovat pouze nejjednodušší dispersi, konkrétně takovou, že jedinci vyhledávají volný prostor, tj. přechází z místa s větší hustotou do místa s hustotou menší. Jednoduše budeme předpokládat, že čisté množství jedinců, přecházejících z jednoho místa do jiného je úměrné gradientu hustoty. Tedy id = -DVu. Předchozí rovnost se nazývá Fickův zákon, disperse, která se jím řídí se nazývá difúze. Koeficient úměrnosti D se nazývá difuzivita. Může být v každém bodě jiná a také se může měnit s časem, D = D(t,x). Dosazením do (5.4) s využitím aditivity skalárního součinu dostaneme rovnici reakce-advekce-difúze — = V • D(t, x)Vu - V • uv(t, x) + f(t, x, u). (5.5) Povšimněme si, že v případě jednorozměrného prostoru tato rovnice splývá s rovnicí (2.8). Reakční i advekční člen mohou být nulové, / = 0 nebo v = o. V případě, že difuzivita D je konstantní, je rovnice tvaru — =DAu-V-uv{t,x) + f{t,x,u); (5.6) přitom A = V • V je Laplaceův operátor - součet druhých parciálních derivací. V populační dynamice se nejčastěji používají reakční členy nezávislé na čase a často i nezávislé na prostorové proměnné. Konkrétně / = f(u) = ru vyjadřující exponenciální růst populace (Malthusovskou populaci), nebo / = f(u) = ru (i - ^ 165 vyjadřující logistický růst (Verhulstovskou populaci), případně f = f (x, u) = r(x)u | 1--—— logistický růst s prostorově nehomogenními parametry, růstovým koeficientem a/nebo kapacitou prostředí. Samozřejmě, že je možné použít libovolné funkce známé z modelování nestrukturovaných populací. 5.1 Model biologické invaze Uvažujme populaci, v níž se neprojevuje vnitrodruhová konkurence, tj. jejíž velikost roste exponenciálně. Tato populace se pohybuje v dvojrozměrném homogenním prostoru (na povrchu Země) a není unášena nějakými vnějšími silami. Navíc si představme, že v počátečním čase byla vysazena populace o velikosti M na nějakém místě. Zavedeme souřadnou soustavu tak, že její počátek je v bodě, kde byla počáteční populace vysazena. Vývoj takové populace je modelován rovnicí reakce-difúze du — = DAu + ru, (x,y) G R2, t > 0 (5.7) ot s počáteční podmínkou u(0,x,y) = M5{x,y), (x,y) G M2, (5.8) kde S označuje Diracovu distribuci soustředěnou v počátku. V nekonečnu, tj. „velice daleko" od počátku souřadnic, je v konečném čase hustota populace nulová. Můžeme tedy uvažovat okrajovou podmínku r r u(t, x, y)áxáy < oo, t > 0. (5-9) Rovnice (5.7) bývá v ekologické literatuře nazývána KiSS, tj. Kierstead&Slobodkin-Skellam model.2 Řešení úlohy (5.7), (5.8), (5.9) lze najít buď metodou Fourierovy transformace, nebo úvahou analogickou úvaze při intuitivním řešení rovnice (2.22) na konci úvodní části Kapitoly 2. Toto řešení je dáno formulí Xj y) = Jí- exp (rt- xí±y_\\ = Mert— exp (-^ + y2\ ■ (5.10) 4nDt V 4Dr ) 4nDt \ 4Dt jedná se tedy o Mert-násobek hustoty dvojrozměrného normálního (Gaussova) rozložení pravděpodobnosti se střední hodnotou (0,0) a s kovarianční maticí 2Dt\, kde I označuje jednotkovou matici. Tento výsledek ukazuje, že model nepopisuje skutečnost úplně přesně. Pro jakkoliv malou kladnou hodnotu t a pro libovolně velké hodnoty x a y je totiž u{t, x, y) > 0. To by znamenalo, že jedinci se do prostoru šíří neomezenou rychlostí, což není možné. Reálně ale hustota blízká nule prakticky znamená, že se „široko daleko" žádný jedinec nevyskytuje, tedy že tam po modelované populaci „není ani potuchy". Pro studium populační invaze zavádíme „efektivně nulovou hustotu", tj. takovou kladnou hodnotu e, že relaci u{t,x,y) < e interpretujeme jako nepřítomnost populace v okolí bodu (x,y) v čase t. Jako „čelo populační vlny" definujeme kružnici se středem v počátku a poloměrem R(t) takovým, že u(t, x, y) = e na této kružnici; formálně x2 + y2 = R{ť)2 =>• u(t, x, y) = e. Platí tedy M ( R(t)2 e = -exp rt — AirDt V ADt 2H. Kierstead, L.B. Slobodkin: The size of water masses contauning plankton blooms. Journal of Marine Research 1985, vol. 12, p. 141-147. J.G. Skellam: Random dispersal in theoretical populations. Biometrika 1951, vol. 38, p. 196—218. 166 Obrázek 5.2: Rozšíření ondatry pižmové v Evropě: (a) areál rozšíření do roku 1927; (b) odmocnina z plochy osídlené ondatrami v závislosti na čase. (Obrázek je z knihy N. Shigesada, k. kawasaki: Biological Invasions: Theory and Practice. Oxford University Press, 1997, Fig. 2.1.) Z této rovnosti vyjádříme R{tf = ADt [rt - lni - ln ■ Poněvadž platí v lní n 1 i ^De n lim - = 0, lim — ln- = 0, t^oo t t^oo t M 4-7T De tak pro „veliké" t isou lni i konstanta ln- vzhledem k němu „zanedbatelně malé". To zna- M mená, že R(ť)2 « ArDt2. Poloměr R(ť) je tedy po dostatečně dlouhém čase roven R(t) « 2Vr~Ď~t. To znamená, že rychlost populační vlny je konstantní. Prostor považujeme za homogenní, proto areál zaujímaný populací v čase t je kruh o poloměru R(ť), jeho obsah je tedy S(t) = ttíí(í)2 « AirrDt2. Odmocnina z plochy rozšíření populace je tedy přímo úměrná času šíření. Tento výsledek byl již dávno ověřen pozorováním. Někdy kolem roku 1906 kníže Colloredo-Mannsfeld nechal do Cech z Ohia dopravit deset párů „bobříků pižmových" (ondatra pižmová, Ondatra zi-bethicus). Vysadil je do Charvátova rybníka u Voznice na Dobříšsku. Zde zvířata rychle zdomácněla a začala se množit. První hlodavci mimo Dobříš byli objeveni v roce 1908 u Chrástu na Plzeňsku. Od té doby se rozšířili prakticky do celé Eurasie. Počáteční velikosti areálu rozšíření jsou v následující tabulce: Rok t 1907 1908 1909 1910 1911 plocha rozšíření S(t), km2 550 2 250 5 550 9450 14100 23,5 47,4 74,5 97,2 118,7 y/S(t) - y/S(t - 1) 23,9 27,1 22,7 21,5 Rozšíření ondatry do roku 1927 je znázorněno na Obrázku 5.2. 167 5.2 Šíření populace v omezeném prostoru Uvažujme populaci tvořenou jedinci, kteří zaujímají nějakou omezenou část prostoru (nějaký „potravní ostrůvek", habitat, biotop, patch), na ní se jednak pohybují difúzí, jednak se rodí a hynou. Stav této populace samozřejmě vyjadřujeme její hustotou u = u(t,x), rození a úhyn „reakční" funkcí / = f(x,u), její rozšíření v prostoru vyjadřujeme jako difúzi s konstantní difuzivitou D. „Životní prostor" populace je nějaká část prostoru o příslušné dimenzi fž C R™. Budeme o ní předpokládat, že má nějak „rozumnou" hranici dfl (spojitou, konečné délky/obsahu). Jinak řečeno, populaci modelujeme rovnicí (5.6) s nulovou advekční rychlostí, tj. rovnicí f)u — = DAu + f(x,u). (5.11) Ot Tato rovnice má být splněna pro každý čas t > 0 a pro každý bod x z vnitřku oblasti fž. Zajímá nás, zda taková populace v oblast fž přežívá, případně za jakých podmínek kladených na funkci /, difúzi vitu D, velikost oblasti fž, podmínky na hranici fž a podobně. 5.2.1 Malthusovská populace v jednorozměrnému prostoru V tomto případě je „reakční" funkce tvaru f(u) = ru, kde r > 0. „Životní prostor" budeme považovat homogenní, tj. že v každém jejím vnitřním bodě jsou pro populaci stejné podmínky, reakční člen nezávisí na prostorové souřadnici. Dostáváme tak KiSS rovnici du d2u — = D—+ru, t>0,00. (5.13) Dále uvažujeme obecnou počáteční podmínku u(0,x) = p(x), 0 0, (5.15) o tj. populace je v uvažovaném prostoru na počátku přítomna. Snadno ověříme, že řešení rovnice (5.12) je tvaru u(t,x) = ertv(t,x), kde funkce v je řešením rovnice difúze -4- = DAv, t > 0, 0 < x < e, Ot s počáteční podmínkou v(0, x) = p(x), 0 < x < £, a okrajovou podmínkou v(t,o) = o = v(t,e), í>o. S využitím výsledků části 2.3.5, konkrétně formulí (2.81) a (2.81), dostaneme řešení úlohy (5.12), (5.13), (5.14) ve tvaru oo í u(t,x) = H^eí-ÍW^)*^^ j „(flain^dí. (5.16) fe=l n 168 Je-li výraz r — (kir/' £)2D z exponentu kladný alespoň pro jedno k, pak lim u(t, x) = oo pro každé x G (0, £), pokud je záporný pro všechna k, pak lim u(t,x) = 0 pro každé x G (0,£). Ještě si uvědomíme, že pokud existuje kg takové, že r — (koir/£)2D < 0, pak je výraz na levé straně záporný pro každé k > kg. Dostáváme tak výsledek: Je-li £ > tt^, (5.17) pak populace modelovaná rovnicí (5.12) s okrajovou podmínkou (5.13) přežívá a její velikost roste nade všechny meze; je-li e<7T\[jj> (5-18) pak populace modelovaná rovnicí (5.12) s okrajovou podmínkou (5.13) vyhyne. 5.2.2 Malthusovská populace ve dvojrozměrném prostoru, radiálně symetrická Uvažujme populaci obývající homogenní kruhový prostor, na jehož hranici jedinci hynou. Označme průměr této oblasti £. Vývoj takové populace je opět modelován KiSS rovnicí d u — = DAu + ru, t > 0, x2 +y2 < \£2 (5.19) dt s okrajovou podmínkou u(t,x,y)=0, t > 0, x2 + y2 = \£2. (5.20) Pro jednoduchost se omezíme na takové populace, jejichž hustota závisí pouze na vzdálenosti od středu, nikoliv na konkrétní poloze (hustota je radiálně symetrická). K takové situaci dojde tehdy, pokud na počátku byla populace koncentrovaná ve středu, nebo (obecněji) její hustota byla na počátku radiálně symetrická. Tento předpoklad zapíšeme druhou okrajovou podmínkou u(t,xi,yi) = u(t,x2,y2), t > 0, xxy2 = x2yi- (5-21) Z takto uvažované symetrie plyne, že při vyjádření prostorových bodů v polárních souřadnicích g, ip bude hustota záviset pouze na průvodiči g, nikoliv na úhlu p, tj. u = u(t, g), —— = 0. Proto op při transformaci rovnice (5.19) do polárních souřadnic dostaneme tedy rovnici na úsečce. Okrajová podmínka v pravém krajním bodě g = \£ plyne bezprostředně z podmínky (5.20). Dále ze symetrie řešení plyne, že funkce u musí být v proměnné g sudá, a proto její derivace podle této proměnné v nule, tj. v levém krajním bodě, musí být nulová. Okrajové podmínky k rovnici (5.22) tedy jsou du dg [t,Q) = Q = u{t,\í), t>0. (5.23) Rovnici (5.22) vyjádříme v bezrozměrných veličinách, tedy změníme měřítko času i prostorové proměnné, a dále zavedeme novou neznámou funkci v vztahy Pak je 2 r = rt, £ = -g, v = e~Tu. (5-24) du dr d T ( dv \ T du d£ d T 2 dv T 2eT dv ~ďi = ~ďtlhe v = r{v + ďr')e ' ďg'= ď~gďČe V = l~ďf = T 169 d í du\ _ 2 d íl 2eT dv\ _ 2eT d í dv dg \0dg) ~ 1 dí, \2^~ľdí,) ~ ~T dí, \ *d£ Tyto výrazy dosadíme do rovnice (5.22) a vydělíme společným nenulovým faktorem eT. Dostaneme rovnici / dv\ „419 /dv r{v+&?)=Dpm{cdi po úpravě dv _ A Dl d í dv Ještě označíme 2 /TJ 5=-0\-. (5.25) í r Rovnice (5.22) se pomocí vztahů (5.24) a (5.25) transformuje na rovnici ^ = -Ä{&\> r>0,0<í 0. (5.27) Úlohu (5.26), (5.27) budeme řešit pomocí separace proměnných, tj. řešení budeme hledat ve tvaru v(t, £) = T(t)X(£). Po dosazení do rovnice a vydělení součinem TX dostaneme rovnost 1 dT _ 1 d / dX ~š2~ď~Ť~ ~ Ixďš, y~ďj Výraz na levé straně nezávisí na proměnné £, výraz na pravé straně nezávisí na proměnné t. Oba tedy musí být rovny nějaké konstantě, označme ji —A. Dostáváme tak dvě obyčejné lineární rovnice. Rovnici prvního řádu dT 9 ď7 = která má řešení T(t) = const ■ e-xs2r, (5.28) a rovnici druhého řádu Okrajovou podmínku k této rovnici dostaneme z podmínky (5.27) X'(0) = 0, X(í) = 0. (5.30) Tuto okrajovou úlohu budeme řešit Frobeniovou metodou, tj. budeme hledat řešení ve tvaru mocninné řady x(o = J2a^n- n=0 Podle první z podmínek (5.30) musí být a\ = 0. Postupně tak vypočítáme oo oo oo X' = J2^nC-\ ^X' = J2^nC, {ÍX')' = Yjn2anC-\ n—1 n—1 n—1 1 oo oo -(tX)' = J2 n2anC-2 = J2(n + 2)2an+2C ^ n=l n=0 170 Tyto výrazy dosadíme do rovnice (5.29), dostaneme oo J2 [(n + 2)2an+2 + Xan] C, n=0 takže koeficienty an mocninné řady musí splňovat rekurentní vztah «n+2 = 7—T~ô\?a™' n = 1,2,.... (n + 2y Z rovnosti a\ = 0 plyne, že všechny koeficienty s lichými indexy jsou nulové. Pro koeficienty se sudými indexy platí -A fl2(fe+l) - A[k+lya^ tedy (-l)fe /VA\,2fe a2fe = -Tj^p- í — J a0, k = 0,1,2,... (odvoďte tento výsledek nebo ho dokažte indukcí). Dostáváme tak řešení rovnice (5.29) ve tvaru mocninné řady Porovnáním s definicí 2 v dodatku D.2 vidíme, že je to Besselova funkce prvního druhu řádu 0, X(0 = a0J0 (VXč) . (5.31) Z okrajové podmínky (5.30) v pravém krajním bodě plyne 0 = X(1) = ciq Jq (y^j ■ T° znamená, že \f\ je kořenem Besselovy funkce Jo ■ Odtud a z rovností (5.28), (5.31) dostáváme řešení úlohy (5.26), (5.27): oo fe=i kde /3fe jsou kořeny Besselovy funkce Jo a konstanty závisí na počáteční podmínce. Zpětnou transformací (5.24) a (5.25) dostaneme řešení úlohy (5.22), (5.23) 2 v t ) r ) I "u V i fc=i k \ v 7 / ) v Z tohoto vyjádření je vidět, že pokud / 2fík \ 2 D t) 7<0 pro všechna k = 1, 2, 3,..., pak lim u(t, g) = 0 pro každé g E [1, \í\. Populace tedy může přežívat í—>oo a šířit se v prostoru pouze tehdy, když i > 2/3i = 4,8096 171 5.2.3 Malthusovská populace v nehomogenním prostoru Homogenní Dirichletovy podmínky (5.13) - na hranici jsou všichni jedinci zabíjeni - je velice krutý způsob, jak populaci udržet uvnitř oblasti. Alternativní přístup k omezení „životního prostoru" použili Gourney a Nisbet.3 Uvažovali populaci na nekonečném prostoru, jejíž růstový koeficient klesá s druhou mocninou vzdálenost od středu a je kladný pouze na úsečce délky i. Jinak řečeno, reakční funkce je tvaru f(x) = r (l — (2x/£)2). Populaci tedy budeme modelovat rovnicí du d2u dt dx2 1 - 2xx 2 t > 0, x e R. (5.32) e Populace samozřejmě nemůže být rozšířená do nekonečna. Proto zavádíme okrajovou podmínku lim u(t,x) = 0 = lim u(t,x), t > 0. (5.33) x—> — oo x—>oo Položíme 2 t = rt, £ = —x, v = e~Tu, (5.34) tj. změníme měřítko obou nezávisle proměnných a zavedeme novou neznámou funkci v. Pak je du dr d ( dv du_d£d_T _2Tdv d2u _ d£, d (2 Tdv\ _ 4 Td2v dx ~ dxdč* V~ ŕ dC dx2 ~ dx d£, \ŕ d£,) ~ i2& di2' Po dosazení do rovnice (5.32) a snadné úpravě dostaneme dv _ 4 D d2v 2^ dr i2 r d£2 Ještě označíme dostaneme rovnici 5 = iV7 (5'35) |^ = 520-^' t>0, £eM. (5.36) K této rovnici ještě přidáme okrajovou podmínku lim v(t,Í) = 0 = lim v(t,£), t > 0, (5.37) > —oo >oo která zaručí splnění původní okrajové podmínky (5.33). V rovnici (5.36) budeme separovat časovou a prostorovou složku, tj. řešení budeme hledat ve tvaru u(t,0 = T(t)S(0- Po dosazení do rovnice dostaneme T'S = S2TS" — £2TS, kde ' označuje obyčejnou derivaci dané funkce podle příslušné nezávisle proměnné. Rovnici vydělíme výrazem ô2TS a dostaneme T' _ S" j2 ~PŤ ~ T ~ Ô2' 3W.S.C. Gourney, R.M. Nisbet: The regulation of inhomogeneous populations. Journal of Theoretical Biology 1975, vol. 52, p.441-457. 172 Výraz na levé straně závisí pouze na čase t, výraz na pravé straně pouze na prostorové proměnné £. To znamená, že na obou stranách rovnosti je nějaká konstanta; označme ji —A. Dostáváme tak dvě obyčejné lineární diferenciální rovnice, rovnici prvního řádu pro funkci T 4~T = -\Ó2T (5.38) dr a rovnici druhého řádu pro funkci 5 d2 / £2\ ;S+ A-|t 5 = 0. (5.39) d^2 V s2 j Aby byla splněna okrajová podmínka (5.37), budeme požadovat, aby funkce 5 splňovala okrajovou podmínku lim 5(0 = 0= lim 5(0- (5.40) £—> — OO £—5-00 Ještě jednou změníme měřítko nezávisle proměnné, položíme 77=^16 (5.41) Pak d^ d^ dr? V 5 dr? ' d^2 de dr) [\l 5 drj j ó dr?2 a po dosazení do rovnice (5.39) a snadné úpravě dostaneme d2 — 5+ (5A-í72)5 = 0. dr/2 Ještě zavedeme označení P=SJY1- M2) Okrajová úloha (5.39), (5.40) pro obyčejnou diferenciální rovnici se tedy transformuje na rovnici4 d2 — 5+(2p+l-í?2)5 = 0 (5.43) s okrajovou podmínkou lim S(r]) = 0 = lim S(r]). Tj—^ — OO Tj—>OG Okrajová podmínka bude splněna zejména tehdy, když funkce 5 bude tvaru S (ti) =e-"2/2ií(í?), (5.44) kde H je polynom. Při této substituci je d25 d??2 iř( dH + d2ff dry dr/2 . , dH -vH(ti) + — d2H dri2 - 2ti- dH dri (ti2 - Í)H e 4To je Schrôdingerova rovnice pro jednorozměrný kvantový harmonický oscilátor. Z jejího řešení jsou převzaty následující poněkud podivné triky. 173 takže polynom H je řešením rovnice d2H dH - 2rj— + 2pH = 0. dr/2 drj To je stejná rovnice jako (D.3), která má řešení ve tvaru polynomu pro p = 0,1, 2, 3,... a těmito řešeními jsou Hermiteovy-Cebyševovy polynomy Hp. Řešení rovnice (5.39) jsou vzhledem k (5.44) a (5.41) dána vztahy SP(0 = ^e/2SHp (-j=) , p = 0,1,2,... 2p + 1 Ze vztahu (5.42) vidíme, že A = —-—, p = 0,1,2,.... Příslušné časové složky jsou řešením o rovnice (5.38), tedy Tp{r) = cpe-^+^, kde cp jsou integrační konstanty, takže řešením pomocné úlohy (5.36), (5.37) je funkce v(t,0 = f2cpe-(2^-ť^Hp(j= Řešení původní úlohy v bezrozměrných proměnných t, £ je vzhledem k třetí rovnosti v (5.34) dáno rovností u(r, £) = e-«V2á f; c^-te+mr Hp (± p=0 Pokud tedy 1 > ô pak má úloha (5.32), (5.33) řešení takové, že jeho limita pro t —> oo není nula. V původních proměnných dostaneme podmínku přežití modelované populace ve tvaru í>2#. V r 5.2.4 Verhulstovská populace na prostoru se „smrtící" hranicí Malthusovská populace je nerealistická, neboť roste do nekonečna. Skutečné prostředí je však schopno uživit jen populaci do jisté konečné velikosti, má omezenou úživnost, kapacitu. V prostředí omezených zdrojů si jedinci vzájemně konkurují, soupeří o tyto zdroje. Proto růst populace popisujeme „reakční" funkcí ve tvaru f(u) = ru[l- — kde r a. K jsou kladné konstanty, r je růstový koeficient populace bez vnitrodruhové konkurence, K je kapacita (úživnost) prostředí. Opět předpokládáme, že na hranici populace přežít nemůže. Za těchto předpokladů je vývoj populace modelován rovnicí w = ^ + ™('-#) <™> s okrajovou podmínkou (5.13). Abychom rovnici zjednodušili, změníme měřítko u nezávisle proměnných i u hustoty, tj. zavedeme nové nezávisle proměnné a novou neznámou funkci vztahy PF u t = rt, c = \ —x, v = —. y d k 174 (Promyslete si, že nezávisle proměnné t, £ i závisle proměnná v jsou bezrozměrné.) Platí du dr d dv dt dt dr dr' du d£ d ^ PF dv d2u d£ d ( PF dv\ r d2v dx dx dr y D dl;1 dx2 dx dr \ y D dí; j D d£2 Tyto výrazy dosadíme do rovnice (5.45) a po snadné úpravě dostaneme rovnici dv d2v To je Fisherova-Kolmogorova rovnice (2.113), která byla studována v části 2.4.2. Okrajová podmínka (5.13) se transformuje na podmínku v(t,o) = o = v (t, ), í>o. Z analýzy rovnice (2.113) s okrajovou podmínkou (2.114) provedené v 2.4.2 nyní můžeme vyvodit závěr: Je-li splněna podmínka (5.17), pak populace modelovaná rovnicí (5.45) s okrajovou podmínkou (5.13) přežívá a pokud je splněna i počáteční podmínka (5.14), (5.15), pak se hustota populace ustálí; je-li splněna podmínka (5.18), pak populace modelovaná rovnicí (5.12) s okrajovou podmínkou (5.13) vyhyne. Shrnutí: Ve všech vyšetřovaných případech jsme dostali výsledek, že přežití populace závisí na velikosti prostoru £ (délka, průměr) a na poměru koeficientu růstu r a difuzivity D. Konkrétně pf £ > 2i / —, KiSS ID s kvadratickým poklesem růstového koeficientu. PF £ > 7T. / —, KiSS ID, Fisher-KolmogorovlD, £> 4,8096y/^, KiSS 2D. Připomeňme, že ve všech případech se jednalo o prostor, na jehož hranici se populace nemůže množit (porodnost na hranici není větší než úmrtnost). 5.3 Prostorové šíření epidemie typu SIR Epidemii typu SIR bez vitální dynamiky popisuje systém tří obyčejných diferenciálních rovnic — = -pis, — = pis - 7/, — = 7/ dr dr dr s počátečními podmínkami 5(0) = S0, I(0) = N-S0, i?(0) = 0, kde N = S + I + R je celková velikost populace. Analýza tohoto systému (provedená např. ve skriptech Kalas J., Pospíšil Z. Spojité modely v biologii, MU, Brno 2001, str. 87-91.) ukazuje, 7 že pokud 5o > —, pak pro řešení platí P lim 5(t) = 5oo > 0, lim J(t) = 0, lim R{t) = = N - S^ > 0. 175 Uvažujme situaci, kdy se v prostorově homogenní populaci citlivých jedinců objeví jeden infekční. Jako konkrétní epidemii si můžeme představit vzteklinu v populaci lišek. Zdravá liška žije ve svém teritoriu, v prostoru se nepřemisťuje. Nemocné lišky naopak v důsledků vznikajících konfliktů svá teritoria opouštějí, a vyhledávají oblasti, v nichž je menší pravděpodobnost setkání s jedinci nemocnými (vzteklými). Vzteklina je choroba letální, nemocné lišky po nějakém čase umírají. Nechť nyní S = S(t,£), I = J(t, £), R = R(t,£) označuje hustotu zdravých, infekčních a uhynulách lišek v čase t a v místě £. Model uvažované epidemie můžeme vyjádřit rovnicemi 9S OTO 91 OTO T T,921 9R ot ot oiz ot V tomto systému rovnic reakce-difúze nejprve změníme měřítko všech proměnných tak, aby všechny veličiny byly bezrozměrné, tj. zavedeme substituci u = ňs> v = ňt> w = ňw> Í = 7T' x=yô^ Ro = —- Pak je du _ 1 dS dr _ 1 1 j3N S I _ dw _ 1 dR dr _ 1 1 dt~ NOt dt~ N~fdr~ N~f\P ~ 7 + de J3N 1 d ( d „ dx\ „ Bdí p-fdv\ = —uv-v + i^Dďi {-d-xNvď-0=RoUV-v + -ďč Kíďt) = D P-f d2v dx D 7 d2v d2v = R0uv -v-\--1/7:7^77 = Rouv - v H--— 7-^ = Rquv -v + —. 7 y D dx dt, 7 D dxz dxz Dostáváme tedy systém rovnic reakce-difúze ve tvaru du dv d2u dw - = -i?0™, - = R0uv-v+—, —=v. (5.46) V analogii s modelem epidemie bez prostorové závislosti očekáváme, že výsledkem bude prostorově homogenní populace lišek zmenšená o ty, které uhynuly během epidemie, tedy že pro řešení systému (5.46) bude platit lim u(t, x) = u\ = lim v(t, x) = 0, lim w(t, x) = 1 — u\ = —— (5-47) pro každé i£l. Budeme hledat takové řešení systému (5.46), že v okolí místa v prostoru, v němž se epidemie objevila je populace zredukovaná, ve vzdáleném místě má populace původní hustotu a přechod mezi těmito stavy putuje v prostoru zleva doprava (tj. v kladném smyslu osy x) jako vlna rychlostí c. Přesněji řečeno, budeme hledat řešení systému (5.46), které splňuje podmínky u{t, x) = u(0, x — ■ct), lim u(t,x) = 1, lim u(t, x) = Ul, t—>—00 v(t, x) = v(0, x — ct), lim v(t,x) = 0, lim v(t, x) = 0, t—>—00 w{t, x) = w(0, x - -ct), lim w(t, x) = 0, lim w(t, x) = = 1 — Ml (5.48) pro všechna t > 0, x e R. Zavedeme novou nezávisle proměnnou z a nové funkce této proměnné vztahy 176 U (z) = u(0, z) = u(0, x-ct), V (z) = v(0, z) = v(0, x-ct), W(z) = w(0, z) = w(0, x-ct). Pak podle (5.46) platí ^ = U'(z)^ = -cU'(z) = -R0U(z)V(z), ^ = V'(z)^ = -cV'(z) = -R0U(z)V(z) V(z) + V"(z), ^ = W'(z)% = -cW'(z) = V(z). Dostáváme tedy systém obyčejných diferenciálních rovnic U' = ^UV, V = -^UV+-V --V", W' = --V (5.49) c c c c c s podmínkami ]imU(z) = í, lim U(z) = u1, lim V(z) = 0, ]imW(z) = 0, lim W(z) = 1 - ult z—>oo z^ — oo z—>-±oo z—>oo z^ — oo (5.50) neboť lim z (x — ct) = =poo. Dále budeme požadovat, aby funkce V byla v okolí oo i v okolí —oo í—>±oo monotónní. V opačném případě by totiž funkce V nabývala pro velké absolutní hodnoty nezávisle proměnné z záporných hodnot, což není realistické (infikovaných jedinců nemůže být méně, než žádný). Na řešení systému (5.49) tedy klademe další podmínku lim V'(z) = 0. (5.51) z—>±oo Druhou z rovnic (5.49) vydělíme první z nich. Dostaneme dV 1 l V" -l dU R0U R0UV Vyjádříme poslední člen pravé strany této rovnosti. Poněvadž d^V = d_dV dU = dT = ROrrydT dz2 dU dz dz dU c dU' platí Máme tedy rovnost R°-uváv' V" ~ 7TŤT l dV dU R0UV R0UV c dU dV i l ldV dU R0U c dU ' kterou můžeme integrovat podle U. Obdržíme V = -U + 4- In U - - V + A, Ro c kde A je integrační konstanta. Její hodnotu určíme z podmínek (5.50) a (5.51) limitním přechodem z->oov poslední rovnosti. Dostaneme 0 = —1 + 0 — 0 + A, tedy A = 1. Nyní můžeme vyjádřit V. Spolu s první z rovnic (5.49) dostaneme dvourozměrný autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic U' = — UV, V = c[\-U -V + ^-\nu] . (5.52) c V Ro J 177 Ve druhé z nich provedeme limitní přechod z —> — oo a s využitím podmínek (5.50), (5.51) dostaneme 0 = c | 1 -tti ' 1 i?, ■ ln Mi ■o tedy Rn — ln Mi Mi — 1 (5.53) Na pravé straně je výraz, který je pro u\ G (0,1) větší než 1. Z tohoto pozorování plyne, že systém rovnic reakce-difúze (5.46) může mít řešení splňující podmínky (5.48) pouze tehdy, když i?o > 1- (To je stejná podmínka, jako podmínka pro vypuknutí epidemie v prostorově homogenním případě.) Stavový prostor systému (5.52) je množina fž = {(U, V) e R2 : U > 0, V > 0, U + V < í}. V této množině má za podmínky Rq > 1 systém dva stacionární body (1,0) a (mi, 0), sr. obr. 5.3. Aby systém (5.46) měl řešení splňující podmínky (5.48), tj. aby systém (5.52) měl řešení splňující podmínky (5.50), (5.51), musí existovat heteroklinická trajektorie systému (5.52) vycházející ze stacionárního bodu (mi, 0) a končící v bodě (1,0), která je celá v množině fž. Obrázek 5.3: Fázový portrét a) a trajektorie b) systému (5.52). Nulkliny funkce U jsou úsečky (0, V), V e [0,1], (U, 0), U G [0,1], nulklina funkce V má rovnici V = 1 - U + nU Ro Variační matice systému (5.52) v obecném bodě je J(U,V): c c -1 RaU takže J(1,0) = 0 Rq det J(1,0) = R0 Rn E0-1>0, TJ(1,0) =-c< 0, TJ(1,0)2 -4det J(1,0) = c2 -4(i?0 - 1), 178 což znamená, že pro _ c>y/4(Ro-l) (5.54) je stacionární bod (1, 0) stabilním uzlem a v opačném případě je stabilním ohniskem. Pokud by tento bod, který leží na hranici stavového prostoru fž, byl ohniskem, trajektorie v jeho okolí by opustila stavový prostor. To není realistické, takže nerovnost (5.54) je nutnou podmínkou pro existenci řešení systému (5.46) splňujícího podmínky (5.48). Dále 0 *V J(iti,0)= | / 1 \ C |. det J(iti,0) = i?oiti-l. Rqu Podle rovnosti (5.53) je neboť 1 „ 1 ln Mi --Ro = — + i-- > 0, Ml Ml 1 — Ml lim|- + ) = 1 + lim ?± = 0 V Ml 1 — Ml / —1 1 ln Mi \ 1 — (1 — Ml) + ln Ml 1 -(1 — Ml) — (1 — Ml) Ml < 1 , Ml dMl \Ml 1 — Ml J u\ (1 — Ml)2 _ M2 (1 — Ml)2 1 1 — Ml Ml — 1 M2 Ml(l — Ml) M2 < 0 pro Mi G (0,1), což znamená, že J{u\, 0) < 0 s stacionární bod (u\, 0) je sedlo. Provedená analýza ukazuje, že v případě Rq > 1 může mít systém rovnic reakce-difúze (5.46) řešení ve tvaru putující vlny. Rychlost c jejího postupu je zdola omezena nerovností (5.54). Minimální rychlost šíření modelované epidemie tedy je c = 2^R0 - 1, nebo v původních jednotkách c = 2^D{pN - 7) Rychlost postupu epidemie závisí na velikosti populace. 179 180 Kapitola 6 Modely šíření vzruchu v neuronu Představme si idealizovaný neuron, specifičtěji axon, jako válec, jehož průměr je vzhledem k délce zanedbatelný. Lze ho tedy považovat za jednorozměrný objekt. Uvnitř i vně je kapalina, v níž jsou rozptýleny různé ionty, zejména Na+, K+, Cl-. Jejich koncentrace je jiná vně a uvnitř neuronu a tedy uvnitř neuronu je jiný elektrický potenciál než vně, neuron je tak polarizován. (Konkrétně, iontů K+ je v neuronu více než v okolí, iontů Na+ méně; přitom celkové množství kladných iontů v neuronu je menší než v okolním prostředí.) Povrch neuronu (plášť válce) je tvořen membránou, v níž jsou specifické iontové kanálky schopné propouštět ionty. Tyto kanálky se mohou uzavírat nebo otevírat, jinak řečeno, počet kanálků se může měnit. Přes membránu se ionty pohybují působením elektrostatické síly, uvnitř neuronu difúzí. Vedení impulsu v neuronu začíná depolarizací — změnou elektrického potenciálu. Je-li depo-larizace malá, neuron se téměř bezprostředně vrátí do svého obvyklého stavu. Větší depolarizace (změna potenciálu asi o —25mV) však vyvolá následující změny: - Iontové kanálky pro sodík se vlivem depolarizace otevřou a kladné sodíkové ionty proudí do neuronu, čímž dále zvětší polarizaci. Tento proces způsobí, že neuron má kladný náboj, je opačně polarizován. Tato fáze je fází zdvihu (upstroke phase). - Po delší době (řádově ms) se otevřou iontové kanálky pro draslík a draslíkové ionty vytékají z neuronu. Sodíkové ionty jsou s nimi po jistou dobu v rovnováze a potenciál se proto téměř nemění. To je fáze excitace. - Nakonec vytékající draslíkové ionty převáží přitékající sodíkové ionty, takže neuron bude mít opět záporný náboj a ten uzavře iontové kanálky pro sodík. Záporný náboj bude dokonce větší, než je rovnovážná polarizace, a neuron je tak hyperpolarizován. Tato fáze je fází poklesu (downstroke phase). - Většina iontových kanálků pro sodík je uzavřena a potřebuje nějaký čas k zotavení, než mohou být opět otevřeny. To je období netečnosti (refractory period), v němž má neuron více než obnovenou polarizaci, ale nereaguje na žádný další podnět. - Postupně se iontové kanálky pro draslík uzavřou a iontové kanálky pro sodík opět začnou být aktivní. To je fáze obnovy (recovery phase). 6.1 Model Nezávisle proměnnými budou čas t a poloha na neuronu x. Jako stavovou proměnnou zavedeme napětí na membráně V = V(t, x) v čase t a v místě x. Membránové napětí V (rozdíl potenciálů uvnitř a vně neuronu) je určeno koncentrací iontů uvnitř neuronu; koncentraci iontů ve vnějším prostředí považujeme za konstantní. Pohyb iontů přes membránu neuronu a v neuronu (a tedy vývoj napětí V) bude popsán rovnicí rekce-difúze. 181 Obrázek 6.1: Schématické znázornění časového průběhu membránového potenciálu Reakce vyjadřuje změnu koncentrací iontů v určitém místě neuronu, tedy elektrický proud. K celkovému proudu Ia přispívá jednak tok jednotlivých iontů li, jednak kapacitance membrány, která je úměrná změnám membránového napětí. Tedy Ia = C^r+Ii, dt kde kladná konstanta C označuje kapacitu membrány. Proud li vyjádříme ve tvaru součtu li = ÍNa + Ik+ II, kde /Na a Ik vvJadřují příslušné toky sodíkových a draslíkových iontů, člen II vyjadřuje příspěvek iontů ostatních. Označme dále to = m{t, V) hustotu aktivačních kanálků pro sodíkové ionty (propouští Na+ dovnitř neuronu) v čase t při membránovém napětí V, h = h(t, V) množství inak-tivačních kanálků pro sodíkové ionty (propouští Na+ z neuronu do vnějšího prostředí) a n = n(t, V) množství aktivačních kanálků pro draslíkové ionty (propouští K+ dovnitř neuronu). Veličiny m,h,n nabývají hodnot z intervalu [0,1]. Alan Hodgkin a Andrew Huxley1 na základě měření získali vztah li = h{V,, to, h, n) = -(g^m3h{V - VNa) + ffKn4(V - VK) + gL(V - VL)); přitom Vns, Vk, Vl vyjadřují rovnovážná napětí, (/Na, <7k, 9l jsou nějaké kladné empirické konstanty; např. g^am3h vyjadřuje konduktanci sodíku. Pro tyto konstanty platí nerovnosti VK —oo V—>oo V—> — oo lim moc (V) = lim hoo(V) = lim n^V) = 1. y—>oo y—>—oo V—>oo Budeme předpokládat, že hodnoty funkcí to, h, n se ke svým rovnovážným hodnotám přibližují exponenciálně. Jinak řečeno, vývoj hustoty iontových kanálků je popsán obyčejnými lineárními rovnicemi djTi -y- = am(V)(m00(V) - to), ^=ah(V)(hOQ(V)-h), dn , , — = an(V) (riooCV) - n) . Nyní stačí přidat difúzni člen a dostaneme slavné Hodgkinovy-Huxleyho rovnice, což je systém jedné parciální diferenciální rovnice a tří obyčejných lineárních diferenciálních rovnic dV d2V C~dt = D~o~x^ ~ g^mZh(y ~ V^ ~ 5Kn4(V - Vk) - 9l(V - VL) + /„, í > 0, x e R, dm ~ďT dh ďí dn ďí Q 771 (V)(tooc(V) — to), ah(y)(/iooW-/i), í>0, a™(V)(noc(V) - n). (6.1) 6.1.1 Redukce modelu Veličiny C a am(V) jsou řádově menší než veličiny ah(V) a an(V), tj. změny veličin Varn jsou rychlejší než změny veličin han. Jinak řečeno, veličiny han můžeme považovat za konstantní parametry modelu. Soustava rovnice (6.1) se tak redukuje na rovnice dvě, dV d2V c~qI = d~q~2 - 7i™3(^ - vna) - 72V + 73+4, í > 0, x e R, (6.2) dm — = am (TOoo(V) - to) , ŕ > 0, kde 7i = gw&h, 72 = ŕ/k"-4 — <7l, 73 = Sk^Vk + g lVi. Tento model obsahuje dvě stavové proměnné - napětí V a hustotu aktivačních kanálků pro sodíkové ionty to. Přitom proměnná V se mění rychleji než proměnná to. Na základě těchto úvah lze sestavit abstraktnější, ale jednodušší model, obsahující pouze dvě stavové proměnné: rychlou proměnnou v vyjadřující excitaci (lze si ji představit jako membránové 183 napětí) a pomalou proměnnou w vyjadřující obnovu (lze si ji představit jako vodivost membrány pro sodíkové ionty). Tento model sestává z jedné parciální a jedné obyčejné diferenciální rovnice dv d2v dw e¥ = (fe + /("'w)' -dl = 9{v'w)- Tyto rovnice se nazývají zobecněné FitzHughovy-Nagumovy. Rychlost g obnovy aktivačních kanálků roste s růstem napětí, při jejich větší hustotě se naopak zmenšuje. Nejjednodušší tvar takové funkce je g(v, w) = v — bw Tok iontů přes membránu roste s klesajícím napětím, tj. s napětím v absolutní hodnotě rostoucím (připomeňme si, že membránové napětí je v polarizovaném stavu záporné) a také klesá s poklesem hustoty aktivačních kanálků. Navíc, pokud je membránové napětí vyšší než jistá excitační hodnota, tok iontů se zvětší. Reakční člen / tedy můžeme vyjádřit ve tvaru po částech lineární funkce f(v,w) = c + Popsanou závislost můžeme také vyjádřit pomocí kubického polynomu, tj. spojitě diferencovatelné funkce f (v, w) = v (v — a)(l — v) — w + c. (Nakreslete si obrázek pro 0 < s « 1.) Tradiční tvar zobecněných FitzHughových-Nagumových rovnic tedy je dv d2v s—- = S—r + v(v - a)(í - v) -w + c, t > 0, x e R, ot dxz (6.3) dw —— = v — bw, t > 0. dí Tyto rovnice již nelze považovat za model konkrétního procesu - vedení vzruchu v neuronu. Jeho parametry e, a, b, c nemají jasnou interpretaci, tvar funkce / vyjadřuje závislost proudu na napětí a hustotě aktivačních kanálků pouze kvalitativně, totéž lze říci o závislosti g rychlosti obnovy kanálků na těchto veličinách. Ale v této abstraktnosti je i jejich síla - rovnice (6.3) slouží jako základ modelování excitabilních systémů nejen v neurobiologii, ale i v mnoha jiných oblastech. 6.1.2 Excitace „bodového neuronu" Provedeme další krok abstrakce: neuron si nebudeme představovat jako axon (dlouhý útvar), ale jako bezrozměrný objekt, který však má jakousi „hranici" (membránu), „vnitřek" a „vnějšek". Napětí na membráně v takovém případě nezávisí na žádné prostorové proměnné, ale pouze na čase, V = V(t). Takový abstraktní neuron je je základem neuronových sítí (vrcholem v grafu). Hodgkinovy-Huxleyho rovnice (6.2) se zjednoduší na dvě, obecně nelineární, obyčejné diferenciální rovnice di> , £-t- = Ia- l\má(V - UNa) - 72V + 73, dí ^ = otmim^V) - to). Zobecněné FitzHughovy-Nagumovy rovnice (6.3) v prostorově nezávislém tvaru jsou systémem nelineární a lineární obyčejné diferenciální rovnice v {v — a){\ — v) — w + c, (6.4) v — bw. dv dw ~ďl = 184 Systém (6.4) představuje původní FitzHughovy-Nagumovy rovnice2. Dvě numerická řešení systému (6.4) pro stejné hodnoty parametrů, ale pro různé počáteční podmínky jsou na Obrázku 6.2. Můžeme na něm vidět, že první složka v řešení obyčejných FitzHughových-Nagumových rovnic (tedy potenciál na membráně neuronu) má všechny kvalitativní vlastnosti pozorované u skutečného neuronu: při malé depolarizaci se polarita vrátí do klidového stavu. Při větším počátečním stimulu napětí na membráně prudce vzroste, nějakou dobu zůstane v excitovaném stavu, posléze klesne na nižší než klidovou hodnotu a postupně se na klidové hodnotě ustálí. Rozdíl počátečních stimulů pro tato dvě kvalitativně odlišná řešení přitom nemusí být nijak velký. Systém autonomních rovnic (6.4) lze považovat za matematický model fyzikálního modelu (6.1) excitace neuronu a vedení vzruchu v něm. o ó m o ö Obrázek 6.2: Numerické řešení obyčejných FitzHughových-Nagumových rovnic (6.4) s parametry e = 0,003, a = 0,1, b = 0,5 a c = 0. Počáteční podmínky jsou v(0) = 0,12, w(0) = 0 (modré křivky) a v(0) = 0,15, w(0) = 0 (červené křivky). Vlevo trajektorie a nulkliny (černá křivka - v-nulklina, zelená křivka - w-nulklina), vpravo časový průběh napětí v. 2R. FlTzHuGH: Impulses and Physiological States in Theoretical Models of Nerve Membrane, Biophysical Journal 1961, vol. 1, no. 6, p. 445-466. J. Nagumo, S. Arimoto, S. Yoshizava: An Active Pulse Transmission Line Simulating Nerve Axon, Proceedings of the IRE 1962, vol. 50, no. 10, p.2061-2070. 185 186 Příloha A Distribuce A.l Základní pojmy Nechť p : R™ —> R je funkce n proměnných definovaná na celém prostoru R™. Nosič funkce p definujeme jako uzávěr množiny {x G R™ : p(x) =/= 0} a značíme ho Supp. Na množině T> definujeme metriku p vztahem p(p,ip) = sup Qil+í2-\-----M dx1^ dx%2 ■ ■ ■ dx%n (p(x) -ip{xj) x e (h,i2,...,in) e (Nu{0})r Množinu T> s touto metrikou nazýváme prostor testovacích funkcí, jeho prvky nazýváme testovací funkce. Příklady testovacích funkcí. Položme 10, x < 0. Funkce A má spojité derivace všech řádů, neboť dfe i /„,2 polynom v x , /n,2 , dfe , /n,2 e-iA = __i-e-iA a z tono plyne lim e-iA = o. dxfc polynom v x a;^o+ dxfc Funkce y> definovaná vztahem p(x) = A(x)A(l — x) má kompaktní nosič [0,1] a má derivace všech řádů. Pro libovolné reálné c > 0 položme nc{x) = w . --. (A.l) x ' X(x) + A(c- x) x ' Pak kc je neklesající nezáporná funkce, která má derivace všech řádů a platí pro ni K(*)-/°' kc[x) — < II, x > c. 187 Funkce nc tedy na intervalu délky c vyhlazuje skok funkčních hodnot. Funkce ip definovaná vztahem i>(x) = 1 - KC {\x\ - \) je nezáporná funkce, která má derivace všech řádů a tp(x) 0, |x|>i + c, a tedy má kompaktní nosič [— ^ — c, ^ + c]. Funkce p, tp jsou typické testovací funkce z prostoru V(R). Testovací funkce z prostoru V(Rn) můžeme získat jako součin funkcí jednorozměrných", např. pn{x1,X2, ...,Xn) = p(x1)p(x2) ■ ■ ■ p{xn), 1pn(xi,X2, ...,Xn)= 1p(x1)lp(x2) ■ ■■1p(xn). Operace v prostoru testovacích funkcí Kromě standardních operací součtu a součinu funkcí a násobení funkce číslem zavádíme operace: • Posunutí (translace) testovací funkce o vektor y je definována vztahem py{x) = p(x + y). • Změna měřítka (přeškálování) nezávisle proměnné faktorem a > 0 je definováno vztahem pa(x) = p(ax). Pomocí těchto operací můžeme snadno vytvářet další testovací funkce ze známých. Lineární funkcionál Zobrazení T : T> —> R, pro které platí nazýváme lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Obraz funkce p při zobrazení T, tj. číslo T(p), budeme stručně značit Tip. Množinu všech lineárních funkcionálů T> —> R, která je zase vektorovým prostorem, nazýváme (algebraický) duální prostor k T> a značíme ji T>'. Definice distribuce Spojitý lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí se nazývá distribuce. Podrobněji: Zobrazení T : T> —> R nazveme distribuce, jestliže (Vp, tpeV) T(p + -4>)=Tp + Ty, (VV> e V) (Vc e R) T (op) = cTp, (V{) (\/p G T>) pn —y p v prostoru (D, p) => Tpn —> Tp y R s přirozenou metrikou. Množinu všech lineárních funkcionálů T> —> R nazýváme topologický duální prostor k T> a značíme ji V*. Příklady distribucí 1. Nechť / : Rn —>• R je funkce taková, že pro každou kompaktní množinu K C Rn existuje konečný integrál J f(x)dx (tzv. lokálně integrabilní funkce na Rn). Definujme distribuci T(p + ip)= T(p) + T(iP), T(cp) = cT(p), ceR K Tf e V* vztahem (A.2) R' 188 Distribuce T G T>* taková, že existuje lokálně integrabilní funkce / pro niž Tip= / f{x)p(x)dx pro všechny p G T>, se nazývá regulární distribuce. Distribuce, která není regulární, se někdy nazývá singulární. Každá lokálně integrabilní funkce určuje distribuci, můžeme tedy lokálně integrabilní funkce považovat za distribuce1. Z tohoto důvodu se distribuce někdy nazývají zobecněné funkce. 2. Funkce f(x) = — je lokálně integrabilní na otevřeném intervalu (0,oo), ale není lokálně x, integrabilní na celém R. Avšak pro všechna a, b, a < 0 < b je v / 7dx }dx\ v / s h\ v b h lim /--h / — = lim in -—- + in - = lim in -—- = in -—-. \ J x j i e^o+ \ \a\ e J e^o+ \a\ \a\ b dx Tuto limitu označíme vp f — a nazveme integrál ve smyslu Cauchyovy hlavní hodnoty. a x7 Tuto úvahu zobecníme. Nechť funkce / je lokálně integrabilní na R™ \ {xo}. Položme K0 = ix- \x- x0\ < r} (otevřená koule se středem Xq a poloměrem r). Integrál z funkce / ve smyslu hlavní hodnoty definujeme jako vp J f(x)dx = lim J f(x)dx, pokud limita na pravé straně existuje. Má-li funkce / pro každou kompaktní množinu K C R™ integrál ve smyslu hlavní hodnoty, pak zobrazení T f : T> —> R definované vztahem Tfp = vp J f(x)p(x)dx (A.3) je distribucí. 3. Diracova distribuce S přiřadí každé testovací funkci p G T> hodnotu ip(0). Diracova distribuce není regulární. Výrazy na pravých stranách rovností (A.2) a (A.3) formálně připomínají skalární součin. Proto hodnoty těchto distribucí zapisujeme ve tvaru ( f(x) | p(x) ) , nebo stručně ( / | p ) Přestože Diracova distribuce není regulární ani není definována pomocí nějaké (klasické) funkce, používáme pro ni zápis (S\p) = (S(x)\p(x)) = f 5{x)p{x)dx = p(0). -'-Povšimněme si, že dvě různé funkce mohou určovat tutéž distribuci; konkrétně jde o funkce, které se od sebe liší na množině nulové míry. Funkce / a g takové, že j f(x)dx = j g(x)dx pro každou kompaktní K C 1" jsou K K pro určení regulární distribuce ekvivalentní. Přesněji bychom tedy měli říkat, že ztotožňujeme distribuce a třídy ekvivalentních funkcí. 189 Podobným způsobem budeme zapisovat jakékoliv distribuce. V Diracově terminologii je tedy distribuce bravektorem a testovací funkce ketvektorem. Diracovu distribuci (S budeme jednoduše psát jako S, případně 6(x) pro zdůraznění nezávisle proměnné testovacích funkcí. Symbolem LjLoc(]Rrt) označme množinu lokálně integrovatelných funkcí na Rn (přesněji, množinu tříd ekvivalentních lokálně integrabilních funkcí). Testovací funkce jakožto spojité funkce jsou lokálně integrabilní. Určují tedy regulární distribuce. Platí tedy V(Rn) C Llc(Rn) C V*(Rn). Nosič distribuce Řekneme, že distribuce T G T>* je na množině A C Rn nulová, jestliže Tp = 0 pro každou testovací funkci p G T> takovou, že Supp p C A. Nosič distribuce T je nejmenší (vzhledem k množinové inklusi) uzavřená množina taková, že na jejím komplementu je T nulová. Nosič distribuce T označíme Supp T. Nosič Diracovy distribuce je jednoprvková množina {0}. Základní operace v prostoru distribucí • Součet distribucí T, S G T>*: T + S G T>* je distribuce, která splňuje rovnost (T + S)p = Tp + Sp pro každou testovací funkci p G T>. • Násobení distribuce T G T>* funkcí a : Rn —> R třídy C°°: Je-li p G T> testovací funkce, pak p má kompaktní nosič. To znamená, že také funkce ap má kompaktní nosič, tedy ap G T>. aT G T>' je distribuce, která splňuje rovnost (aT)p = T{ap) pro každou testovací funkci p G T>. • Posunutí (translace) distribuce T G T> o vektor y G Rn: yT G T>* je distribuce, která splňuje rovnost VTp = Tpy pro každou testovací funkci p G T>. Pro regulární distribuci určenou funkcí / platí (yTf)p = J f(x)p(x + y)dx = J f(z-y)p(z)dz; R" R" v integrálu jsme použili substituci z = x + y. S pomoci Diracovy symboliky můžeme definice operací s distribucemi zapsat ve tvaru: • Součet: (f + g\p) = (f\p) = (f\p) + (g\p) • Násobek funkcí: (af \p} = ^ / | ) • Translace: ( f(x — y) | p(x) ) = ( f(x) | p(x + y)) 190 Zejména pro Diracovu distribuci platí ( S(x - y) I p(x) ) = ( S(x) \p{x + y)) = p(y), J ô (x - y)p(x)dx = p(y); R™ ( S(y - x) I p(x) ) = J 5(y- x)(p{x)dx = j 5(z)p(y - z)dz = p(y). R™ R" Translace Diracovy distribuce o vektor y, tedy distribuce zapisovaná jako S(x — y) se nazývá Diracova distribuce soustředěná v bodě y. Přitom platí S(x-y) =S(y -x). (A.4) A.2 Konvergence v prostoru distribucí Řekneme, že posloupnost distribucí {Tfc}fcLi ^= 'D* konverguje pro k —> oo k distribuci T G T>* a píšeme lim Tk = T, k—>oo jestliže pro každou testovací funkci ip G T> je lim Tkp = T p (v tomto případě jde o konvergenci k—>oo číselných posloupností). Definici lze zapsat také v Diracově symbolice: Řekneme, že posloupnost distribucí {(/fe}feLi konverguje pro k —> oo k distribuci (/ a píšeme lim (fk = (/, jestliže pro každou testovací funkci k—>oo peV* je lim ). Pro konvergenci v prostoru distribucí platí následující věty: Věta 1: Nechť {Ife}^^ C T>* je posloupnost distribucí taková, že pro každou testovací funkci p G T> existuje limita posloupnosti čísel {Tkp}^^ - Definujme zobrazení T : T> —> R předpisem T(p) = lim Tkp. k—>oo Pak T je distribuce, T e V*. Linearita plyne z linearity každé z distribucí Tk a z linearity operátoru limity posloupností), spojitost je dokázána např. v knize: Laurent Schwartz. Théorie des distributions, Paris 1973. Věta 2: Ke každé distribuci T E V* existuje posloupnost testovacích funkcí {pk}^^ C V, že lim (pk = T, neboli (V G T>) lim (pk\p)= Tp. tj. že tato posloupnost testovacích funkcí konverguje k T ve smyslu distribucí. Každou distribuci lze aproximovat pomocí posloupnosti testovacích funkcí. A.2.1 5-vytvořující posloupnosti Nechť {/fe}feLi je posloupnost lokálně integrabilních funkcí na R™ takových, že posloupnost regulárních distribucí {í/fc}^_1 konverguje k Diracově distribuci, tj. lim (fk\p) = p(0) k—>oo pro každou testovací funkci p G T>. Pak posloupnost {/fe}feLi se nazývá 5-vytvořující posloupnost, funkce fk se nazývají impulsní funkce. 191 Příklady 5-vytvořujících posloupností: Následující posloupnosti funkcí konvergují k Diracově distribuci na prostoru D*(R). ík, \x\<±- \k-P\x\, \x\<- [0, \x\>- [O, \x\>- V 2ir irx fk(x) =--g—~—2 ' ^de í^felfcLi Je libovolná posloupnost kladných čísel taková, že lim ak = 0 , f 1 2 27TTO . . , „ [O, |x|>±£ Na obrázcích A.l je znázorněno několik prvních členů některých 5-vytvořujících posloupností. A.3 Derivování distribucí Nechť / : Rn —>• R je diferencovatelná (a tedy lokálně integrabilní) funkce, p G 2? je testovací funkce. Pak platí oo oo oo / oo y -^-(x)ip(x)dx = J J ■■■ J í y ■^(x)ip(x)dx1 j dx2 .. .dx„_idx„ = M.11' —oo —oo —oo \—oo / 000000/ oo \ = / /•••/ í [/(»M»)]~=-oo - / /(x)^-(a:)da;1Jda;2...da;n_1da;n = oo \ —oo / oo oo oo j j ■■■ j f(x)-^-(x)dx1dx2 ■ ■ .dx„_idx„ = - J f(x)-^-(x)dx . -oo —oo —oo oo oo oo -oo —oo —oo poněvadž Supp p je kompaktní. Provedený výpočet motivuje následující definici. Definice derivace distribuce d Parciální derivace distribuce T G T>* podle první proměnné je distribuce ——T, pro niž platí oxi dxi ^) ^ ^ (ydxi ) pro každou testovací funkci p G T>. Obecně definujeme parciální derivace distribuce podle libovolných proměnných libovolného řádu rovností ---:-—T ) p = (_1)Í1+Í2+-*»T [ -%-:- pro každou testovací funkci p a každý multiindex (ii,ij,..., in) G (NU{0})™. Je zřejmé, že parciální derivace distribuce je lineární operátor na prostoru distribucí T>*. 192 193 Každá distribuce má derivace libovolného řádu. Každá lokálně integrabilní funkce / určuje regulární distribuci. Tato distribuce má derivaci libovolného řádu definovanou rovností íl+Í2 + -"ín QÍl+í2 + ---Ín dx^dxí? ■■■dx% ■p V tomto smyslu lze říci, že každá lokálně integrabilní funkce / má derivaci libovolného řádu. Tato distribuce však obecně není funkcí ale distribucí. Nazýváme ji distributivní derivací funkce f. Příklady distributivních derivací funkcí • Derivace absolutní hodnoty: Pro každou testovací funkci p G T> platí oo (|:M | • R definovaná vztahem 1, x > 0 0, x < 0 H(x) = je lokálně integrabilní. Určuje tedy regulární distribuci, pro niž platí oo oo (iř|) = / H{x)p{x)dx = l p{x)dx. Povšimněme si, že Heavisidova funkce je limitou funkcí Ki/k definovaných vztahem (A.l); tuto limitu můžeme chápat tak, že lim K1/fc(x) = H{x) pro každé x^O, nebo, při použití k—>oo Diracovy symboliky, že lim (/íi/fc = (H ve smyslu distribucí. Dále platí (H'\p) = -{H\p') = - / p'(x)dx = -{p(x)}™ = p(0) = (S\p) tedy distributivní derivací Heavisidovy funkce H je Diracova distribuce, H' = S, podrobněji H'(x) = S(x). Analogicky lze ukázat, že H'(x — xq) = S(x — xq) a H'(xq — x) = —5(x — xq). Obecně: Funkce H : Rn —>• R definovaná vztahem H(xi,x2, ...,xn) 1, X\ > 0, X2 > 0,... xn > 0 0, jinak 194 určuje regulární distribuci: oo oo (H\f) = J J "J H(x1,x2,...,xn)p(x1,x2,...,xn)dx1dx2---dxn = oo oo oo — oo —oo —oo oo oo oo Z výpočtu 0 0 0 Qn dx\dx2 ■■ ■ dxn H (-1) dx\dx2 ■■ ■ dxn p(x1,x2,. .. ,x„)dxidx2 • • • dxn . OO OO oo 0 0 0 oo oo oo = (-1) = -(-1) oo o dx\dx2 ■ ■ ■dxj{ Qn- 1 _dx2dx3 ■ ■ ■ oxn oo f dn -i ip(xi,x2,. .. ,x„)dxidx2 • • • dxn daľ2daľ3 • • • dxn = a; i=0 dx2dxz■■ ■ dxn oo o = (-1)2)V(0,0,...,0) = 0+ x—>0— Pak je tato funkce lokálně integrabilní na R, určuje tedy regulární distribuci Tf. Pro každou testovací funkci p G T> platí oo 0 oo T> = -(f(x)\p'(x)) = - J f{x)p'{x)dx = - J f{x)p'{x)dx- J f{x)p'{x)dx = — OO —OO 0 0 oo = -[f(x)p(x)]°_oo + í f(x)p(x)dx-{f(x)p(x)}™ + íf'(x)p(x)dx = lim f(x)(p(x) — lim f(x)íp(x) + / ff(x)íp(x)dx x—>0-\- x—>0 — oo = ^(0) ( lim f(x) - hm f(x))+ í f(x)p(x)dx = \x—>0+ x—>0— J J — oo oo = cw(0)+ / f'(x)p(x)dx = cr0 ( ó | p) + (/' | p) = cr0 ( ó | p ) + Tfip , 195 (V^eO)^Í/ • M je třídy C°° na každém z intervalů (—00, 0), (0, 00) a nechť každá její derivace je lokálně integrabilní. Tato funkce určuje regulární distribuci Tf. Označme am = lim f^(x) - lim f^\x) a T'f = |-T, T'/ = ..., T{k) = |^T. a;^0+ x-*0- J OX J OXA 1 OXK Pak pro každou testovací funkci p G T> platí , fe-i _f ,„\ = dx dk - p) = J2(-l)k~m~1°™{5\ oo. „Dostatečně rychlou konvergencí" budeme rozumět, že \f(x) \dx < oo. Fourierova transformace T převádí reálnou funkci / jedné reálné proměnné na komplexní funkci T{f) = f jedné reálné proměnné definovanou vztahem /(O = / f(x)e-'^dx. Obraz funkce / při Fourierově transformaci (Fourierův obraz funkce) můžeme také vyjádřit jako součet reálné a imaginární části, f(0 f(x) cos x£dx — i / f(x) sin x£dx Poznámka 1. Fourierův obraz funkce / bývá v (technických) aplikacích nazýván spektrum (signálu) /, někdy také spektrální funkce nebo spektrální hustota. Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární, tj. ^(Cl/l + C2f2)(Í) = ClA(0 + c2/2(0- Příklady: • Najdeme Fourierův obraz funkce / dané předpisem f(x) = e-"'2-'', kde a > 0. oo 0 oo oo oo — oo —oo p-x(a-i£) p-x(a+i£)- a — i£ a + i£ x=0 e xa (cos x£ + i sin x£) e 21 a (cos x£ — i sin x£) a — i£ a + i£ 1 1 a — i£ a + i£ a:2 + £' a;=0 2a 2 i f 2 ■ 197 Najdeme Fourierův obraz funkce / dané předpisem ti \ ía> \x\< ^ i a a ^ n f (x) = i . kde p > 0. L), jmak, Při výpočtu využijeme skutečnosti, že funkce cos je sudá a funkce sin je lichá. Dostaneme (3 (3 * ' 2a -13 0 oo p p /(£) = j f(x)e~lx^dx = a J (cos:rí;+isin:rí;)d:r = 2a J cos xíjdx = 2c sin x£ x=0 sin/3^ = 2a—-—. Pro Fourierův obraz derivace funkce / dostaneme integrací per partes a s využitím vlastnosti lim f{x) = 0 vztah \x\ —>oo 1 X — — 00 — oo Hf')(0= / f'(x)e-^dx=[f(x)e-^}™=_oo- I f(x)(-iOe-ixidx = OO = ií J f(x)e-^dx = i^(f)(0, /'(0=*/(0- (B.l) Fourierova transformace převádí infinitesimální operaci, derivaci funkce, na operaci aritmetickou, na násobení. Fourierova transformace není prostá - dvě funkce, které se liší na množině míry nula mají stejný Fourierův obraz. Pokud však ztotožníme funkce, lišící se na množině míry nula, tj. provedeme rozklad uvažované třídy funkcí podle ekvivalence oo f = g / \f(x)-g(x)\dx = 0, můžeme na těchto třídách ekvivalence považovat Fourierovu transformaci za prostou a v tomto smyslu mluvit o transformaci inversní. Inversní Fourierova transformace J7-1 převádí komplexní funkci / zpět na reálnou funkci / na celém oboru R; funkce / je dána vztahem oo m = ± J /(Oe^de; (B.2) — oo nevlastní integrál na pravé straně přitom chápeme ve smyslu hlavní hodnoty. Příklad: Najdeme vzor funkce f sin p£, /(£) = 2a—-—, jinak řečeno, najdeme funkci / jejíž spektrum je /. í í f(x) = lim //(Oeia:ídÉ = - lim / ^^(cos^ + isinOd£. 2tT i^rco J 7T ^—>oo J £ 198 Imaginární část integrálu se rovná nule, neboť integrovaná funkce je lichá. V reálné části integrujeme sudou funkci, počítáme tedy integrál í í 2 J ^^cos:r£d£ = J i(sin(/3 + x)£ + sin(/3-a;)£)de o o Tento integrál rozdělíme na součet dvou. V prvním z nich substitucí (/3 + x)£ = s dostaneme |SÍn(/3 + ^= J -^ds = Si(/3 + xK o o kde Si označuje funkci integrálsinus1. Podobně najdeme í sin(/3 — x)£ -d£ = Si(/3 - x)i. Celkem tedy máme f(x) = - lim (Si(/3 + x)i + Si(/3 - x)i). a Pokud je —[5 < x < /3, jsou oba výrazy f3 + x & f3 — x kladné a tedy lim (Si(/3 + x)£ + Si(/3 - = 2 lim Si(y) = tt. i—s-oo s-oo Pokud je x < —/3 nebo x > f3, mají výrazy /3 + x a /3 — x opačná znaménka a protože je funkce Si lichá, platí lim (Si(/3 + x)i + Si(/3 - x)i) = lim Si(y) + lim Si(y) = £ - £ = 0. Pokud je x = —/3 nebo x = f3, platí ^lim (Si(/3 + x)£ + Si(/3 - x)í) = hm Si(2/3£) = |. Tyto výpočty ukazují, že (a, xe{-p,p), \a, xe{-p,p\, 0, jinak. Porovnáním s předchozím příkladem vidíme, že funkce / se shoduje s funkcí, která byla „původním" vzorem funkce /, ve všech bodech spojitosti. V bodech nespojitosti nabývá hodnot, které jsou průměrem limity zprava a zleva. ■ Poznámka 2. Vzorce pro Fourierovu transformaci a pro inversní Fourierovu transformaci jsou poněkud nesymetrické, rušivě působí faktor l/(27r). Proto v někteých (teoretičtěji zaměřených) publikacích bývá Fourierova transformace definována vztahem oo /(O = 4= / />.'• H' ;'Nl.r. -'-Funkce Si je definována vztahem í . oo , . / Slil X ^-^ , Si(í) = / -dx=J2(-1Y (2n + 1) - (2n+ 1)! u " Tato funkce je lichá a splňuje rovnosti Si(0) = 0, lim Si(r) = Í7r. 199 Inversní transformace v takovém případě vyjde Tyto vzorce se liší jen znaménkem u výrazu ix£. /'(Oe^de Konvoluce funkcí f, g definovaných na M je funkce / * g daná vztahem oo f*g(x) = i f(y)g(x-y)dy. Příklad: Vypočítáme konvoluci funkcí / a g daných předpisem f(x) = e-"'2"'', g(x) = e-'3'2'''; konstanty /3 jsou kladné. Konvoluce je dána nevlastním integrálem Pro x < 0 tento integrál upravíme, OO X 0 oo e-a\y\e-P\x-y\áy = J eaye-/3(x-y)dy + J e*y e(S(x-y) áy + J Q-ay eP{x-y) áy oo —oo x 0 -fix a + P ^fjx y=-oo a — P A<*-P)v y=x a + P -(a-P)y oo y=o -I3xe{a+I3)x ef3x ^ _ e{u-f3)x^ ef3x Qax _|_ eax _|_ ef3x ef3x _ eax a + P a — P a + P a + P a — P 2a 2p a2 -p2 a2- p2 a2 - p2 Analogicky vypočítáme, že také pro x > 0 je e-<*\y\e-P\x-y\ dy a2 - P2 Výrazem na pravé straně této rovnosti je tedy dána hodnota konvoluce funkcí / a g. Fourierův obraz konvoluce funkcí /, g je oo / oo Hf*s)(0= / f * 9(x)e-^dx = -oo \—oo f(y)g(x - y)e lx(ídy j dx = f(y)g(x - y)e-lxidxdy. 200 V tomto dvojném integrálu budeme transformovat proměnné tak, že položíme x = z + y, y = y. Jacobián tohoto zobrazení je 1 1 0 1 = 1. Dále e-ia;« = e-^«e-iz«, tedy Hf*ff)(0= // f(y)9(z)e-^e-^dzdy = I / f(y)e-^dy I I / g^e^ůz I =1(09(0- To znamená, že 7^9 = fa, (B-3) Fourierova transformace převádí konvoluci funkcí na jejich součin. B.2 Laplaceova transformace Buď M množina reálných funkcí definovaných na intervalu (0, oo) takových, že nevlastní integrál oo f f(t)e~ptdt konverguje a lim f(t)e~pt = 0 pro všechna p > 0. Laplaceova transformace £ převádí reálnou funkci / G M na reálnou funkci £{/}, nebo stručněji Cf, definovanou na intervalu (0, oo) vztahem oo £f(p) = í f(t)e-ptdt. o Z uvedeného definičního vztahu plyne, že Laplaceův obraz funkce / G M je funkcí ohraničenou a že Laplaceova transformace je lineární, tj. + c2/2)(P) = Ci£/i(p) + c2£/2(p). Obrazy některých funkcí v Laplaceově transformaci jsou uvedeny v tabulce B.l. Vypočítáme Laplaceův obraz derivace funkce: oo oo C(f')(p) = J f'(t)e-ptdt = [f(t)e-pt\Z0+P J f(t)e-ptdt = - lhn+ f(t) + pCf(p). o o Při označení /(0+) = lim f(ť) tedy platí C(f')(p) = p£f(p)-f(0+). (BA) Stejně jako v případě Fourierovy transformace lze ukázat, že Laplaceova transformace převádí konvoluci na součin funkcí, £{f * g}(p) = £f(p) Cg(p). Cvičení 1. Najděte Fourierův obraz (spektrum) funkce f(x) = e cx , kde c je kladná konstanta. 2. Vypočítejte konvoluci funkcí f(x) = e~ax , g(x) = e~bx , kde a, b jsou kladné konstanty. Výsledky: „2 /ty ( x2\ d - £ - - exp [-— I; návod: ukažte, že -~jf(0 = ty ( ab 2 a + b \ a + b exp I---x 201 f(t) £f(p) = J f(t)e-^dt _o_ /(*) £f(p) = I /(í)e-ptdí o_ 2o;p tn, n =1,2,. ta, a > -1 eat teat tneat, n =1,2, ťeat, v > -1 sin ujt cos ujt -,-a/t a > 0 nn+l p" r(a + i) a+1 p — a 1 (p - a)™+1 i> + i) (p - a),y+1 p2 + a;2 V p2 + a;2 ^ _-2v/äp t sin wŕ ŕ cos ujt eat sin wŕ eat cos ujt sin2 wŕ sinh at cosh ar ŕ sinh at tcosh ar Jv{ať), v > — 1 (p2 + a;2)2 pz — ur (p2 + a;2)2 uj (p — a)2 + uj2 p — a (p — a)2 + uj2 2uř p(p2 + 4a;2) p2 + 2uj2 p(p2 + 4a;2) p2 — a2 p2 — a2 2ap (p2 — a2)2 p2 + a2 (p2 — a2)2 (Vp2 + a2 -p") y\/p2 + a2 Tabulka B.l: „Operátorový slovník" pro Laplaceovu transformaci 202 Příloha C Okrajové úlohy pro obyčejné lineární rovnice druhého řádu Cl Formulace úloh Označme Ck(a, (3) množinu funkcí fc-krát diferencovatelných na intervalu (a,/3). O interval (a,/3) předpokládáme, že je nedegenerovaný, tj. a < fi. Interval (a,/3) může být omezený nebo neomezený, tedy a e M U {-oo}, /3 g R U {oo}. Diferenciální operátor Buďte a, Ď, c g C°(a,j3) a a(x) 7^ 0 pro x g (a,j3). Lineárni diferenciální operátor druhého řádu L = L(a,b,c) : C2(a,(3) —>• C°(a,/3) definujeme předpisem Ly(x) = a(x)y"(x) + b(x)y'(x) + c(x)y(x), x g {a, (í). Rovnice Ly = g, kde g g C°(a,j3) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu; v případě g = 0 homogenní, v opačném nehomogenní. Buďte p g C1(qí,/3), q g C°(a,/3). Pak operátor L(—p, —p', q) daný vztahem L(-p,-p',q)y(x) = -p(x)y"(x) -p'(x)y'(x) + q(x)y(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) nazveme samoadjungovaný. Každý lineární diferenciální operátor druhého řádu L (a, b, c), pro jehož koeficienty a, b platí b (x) = a'(x), x g (ot,/3) je samoadjungovaný. Rovnice -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = f (x) , x g (a, j3) se nazývá samoadjungovaná nebo Sturmova-Liouvilleova rovnice. Tvrzení 7. Každou lineární diferenciální rovnici s koeficientem a g C1 (a, /3) lze vyjádřit v samo-adjungovaném tvaru. Důkaz: Buď /• b(x) - a'(s) h(a;) = / -j-^-dx, glx) = e w. J a(x) 203 Pak (g(x)a(x))' = (eh^a(x)y = eh^h'(x)a(x) + eh^a'(x) = = g(x) ^ ^ ^ ^ a(x) + g(x)a!'(x) = g(x)b(x), a(xj tedy g(x)a(x)y" (x) + g(x)b(x)y'(x) + g(x)c(x)y(x) = g{x)g(x) je samoadjungovaná rovnice, p = —ga, q = gc, f = gg. □ Okrajové podmínky Budeme hledat řešení rovnice Ly = f, na intervalu (a,/3), které splňuje některé z následujících podmínek. • Dirichletovy podmínky: y(a)=Vo, v(P)=Vi, pokud —oo < a < P < oo, lim y(x) = y0, lim y(x) = yx x—>a+ x^>p — obecně. • Neumannovy podmínky: y'{a)=Y0, y'(P)=Y1, pokud —oo < a < P < oo, lim y'{x) = Yq, lim y'(x) = Y\ x—>a+ x—>/} — obecně. • Robinovy (Newtonovy) podmínky: aoy(a) + Poy'{a) = tj0, aiy(/3) + Piy'(P) = yi, pokud —oo < a < P < oo, lim (a0y(x) +/30y'(x)) = tj0, lim (a1y(x) + Piy'(x)) = r/i x^ra+ x^rfí — obecně; přitom platí a\ + (32 ^ 0 7^ a\ + P\. • Podmínky omezenosti: limsup |y(x)| < 00, limsup |y(x)| < 00. X—>a+ x^r(í — • Podmínky periodičnosti (periodické podmínky): y(a)=y(a), y'{p)=y'{p), pokud —00 < a < P < 00, y{x) = y(x + l), pro každé iel, x > a, pokud P = 00; přitom l > 0. 204 Dirichletovy podmínky jsou zvláštním případem podmínek Robinových pro ag = ol\ = 1, /3q = fii = 0; Neumannovy podmínky jsou zvláštním případem Robinových podmínek pro ag = ol\ = 0, A, = pí = 1. Podmínky různého typu lze kombinovat; můžeme například požadovat splnění Neumanovy podmínky v levém krajním bodě a podmínky omezenosti v pravém krajním bodě. Jakékoliv okrajové podmínky nazveme homogenní, jestliže s libovolnými dvěma funkcemi yi, y2, které této podmínce vyhovují, vyhovuje téže podmínce i jejich libovolná lineární kombinace kiyi + k2y2- Robinovy podmínky s yo = y\ = 0, podmínky periodičnosti i podmínky omezenosti s y\ = 0 nebo yo = 0 jsou homogenní. Okrajová úloha, v níž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní se nazývá homogenní okrajová úloha, v opačném případě nehomogenní okrajová úloha. Symetrický diferenciální operátor Řekneme, že operátor L je symetricky na množině M c C2(a,j3), jestliže pro všechny u,v g M platí Lu(x)v(x)dx = j u(x)Lv(x)dx . a Buď L = L(—p, —p', q) samoadjungovaný operátor. Pak platí (při výpočtu využíváme integraci „per partes", pokud je některá z integračních mezí nevlastní, při výpočtu uvažujeme příslušnou jednostrannou limitu) /3 /3 Lu(x)v(x)dx — I u(x)Lv(x)dx = (p(x)u'(x)Y + q(x)u(x) j v(x) — u(x) ( — (p(x)v'(x))' + q(x)v(x) dx (p(x)v'(x)Yu(x) — (p(x)u'(x)Yv(x)j dx = [p(x)v'(x)u(x)]a — j p(x)v'(x)u (x)dx — [p(x)u (x)v(x)]a + j p(x)u'(x)v'(x)dx = a a = p(P)v'(P)u(P) - p(a)v'(a)u(a) - p(fi)u'(P)v(fi) + p(a)u'(a)v(a) = = p(P)(v'(P)u(P) -u'(P)v(P)) -p(a)(v'(a)u(a) -u'(a)v(a)). Z tohoto výpočtu plyne: • Samoadjungovaný operátor L = L(—p, —p', q) je symetrický na množině funkcí, které splňují homogenní Robinovy podmínky. Důkaz: Je-li (5$ ^ 0, pak u'(0) = ——u(0),v'(a) = ——v(a), takže Po Po v'{a)u{a) — u'{a)v{a) = 0. A) Po Je-li ag =/= 0, pak u{a) =--u'{a), v (a) =--v'(a), takže opět v '(a)u(a) — u'(a)v (a) = 0. Analogicky ověříme, že v'((3)u((3) — u'((3)v((3) =0. □ • Pokud funkce p je Z-periodická, přičemž l = — a, pak samoadjungovaný operátor L = L(—p, —p', q) je symetrický na množině Z-periodických funkcí. 205 C.2 Homogenní okrajová úloha s parametrem Nechť A G M. Uvažujme homogenní okrajovou úlohu pro rovnici Lv{x) = Xv(x). Tato úloha má vždy triviální řešení v = 0. Pokud existuje netriviální řešení v = v (x), nazveme ho vlastní funkcí okrajové úlohy a parametr A nazveme vlastním číslem operátoru L. Je-li A vlastní číslo operátoru L a v = v (x) je příslušná vlastní funkce uvažované okrajové úlohy, pak také funkce cv je pro libovolnou konstantu c G M vlastní funkcí. Jestliže vlastnímu číslu A odpovídá k lineárně nezávislých vlastních funkcí, řekneme, že A je k-násobné vlastní číslo. Příklady: Uvažujme samoadjungovaný operátor L = L{—a2, 0, 0), kde a je nějaká nenulová konstanta. Rovnici -a2y"(x) = Xy(x) můžeme přepsat na tvar y"(x) + ±y(x) = 0. (Cl) Řešení této homogenní lineární rovnice druhého řádu závisí na znaménku parametru A. Obecné řešení rovnice je dáno vztahem y(x) = < A exp ( —|—+ B exp V M / Ax + B, A COS -r—rX + B Sin -r—rX, -A i], A < 0, A = 0, A > 0, kde A, B jsou nějaké konstanty. 1) Hledáme řešení rovnice (Cl) na intervalu (0, ľ), které splňuje Dirichletovy homogenní okrajové podmínky 2/(0) = 0 = 2/(0- Je-li A = 0, pak má platit 2/(0) =0 = 73, y(l) = 0 = Al + B, takže B = 0 a v důsledku toho také A = 0 a rovnice má pouze triviální řešení. Je-li A < 0, pak má platit y(0)=0 = A + B, tj.B = -A, y(l) = 0 = Ae^T1 - Ae~^1 = 2Asmh^^-l\ a pro —A > 0 je však sinh —:—— l > 0 a z toho plyne, že A = 0. Rovnice (Cl) má opět pouze triviální \a\ řešení. Je-li A > 0, pak má platit y(0) = 0 = A, y (l) = 0 = B sin^-Z Vx Odtud plyne, že —-l = kir pro k e Z, k ^ 0, tedy A = ( —— ) pro k = 1, 2, 3,..., neboť A > 0 kira 206 Vlastní čísla operátoru L{—a2, 0,0) s homogenními Dirichletovými podmínkami na intervalu (0,1) a příslušné vlastní funkce jsou /kira\ 2 . kir Afe=l——J , vk(x) = sm— x, k = 1,2, 3,.... 2) Nyní hledáme řešení rovnice (Cl) na R, které splňuje podmínky periodičnosti y(x) = y(x + l). Je-li A < 0, pak je řešení y(x) je monotónní; konkrétně rostoucí pro A > 0 nebo A = 0, B < 0, klesající pro A < 0 nebo A = 0, B > 0 a konstantní nulové pro A = B = 0. Úloha má tedy pouze triviální řešení. Pro A = 0 má rovnice řešení y(x) = Ax + B, které je periodické a netriviální pouze pro A = 0, B =/= 0. První vlastní číslo tedy je Ao = 0 a příslušná vlastní funkce vq je nenulová konstanta. Pro A > 0 má rovnice řešení y(x) = A cos -—-x + B sin -—-x které má splňovat podmínku \a\ \a\ ACOS -r—rX + Bsm -r—rX = A COS -r—r(X + l) + B Sin -r—r(X + l) = \a\ \a\ \a\ \a\ ,( V\ y/X . y/X • VÄ,VR/.VÄ y/X y/X . y/X \ = A COS -r—rX COS ——l — Sin -y—rX Sin -r—rl + B \ Sin -r-rX COS —-l + COS -pTa; Sm TT' = V M M M M j \ M M M M j l A ^/^R-^A ^ A ■ R VÄ,\ . VÄ = A cos —-l + iísin —-í cos -r-rx + -Asm —-l + iícos —/ sm -r—r x. \ M M j M V. H H / H Poněvadž funkce cos^—'-x a sin^—'-x jsou nezávislé, plyne odtud \a\ \a\ Acos^-^-Z + B sin*^-Z = A, — As'm^^-l + B cos*^-Z = B, \a\ \a\ \a\ \a\ neboli {^l-1)A+{^l)B = °' {-^f\l)A+{COStl-í)B = °- Tato homogenní soustava lineárních algebraických rovnic pro neznámé A, B má nenulové řešení právě tehdy, když determinant její matice je nulový, tj. právě tehdy, když (,~w,-i)a+K'í=o- Tato rovnost je splněna právě tehdy, když cos^-—-Z = 1 a sin^-—-Z = 0, což znamená, že^—-Z = 2/j7T, \a\ \a\ \a\ k e Z. Celkem tedy vlastní čísla operátoru L(—a2, 0, 0) s podmínkami periodičnosti a příslušné vlastní funkce jsou Ao = 0, vq(x) = const ^ 0, (2kira\2 2kir _ . 2kir Afe = I —-— I , vk(x) = cos—— x, vk(x) = sm—— x, k = 1,2,3,.... 207 Kladná vlastní čísla jsou tedy dvojnásobná. 3) Nakonec najdeme řešení rovnice (Cl) na (0, oo), které splňuje podmínky omezenosti y(x) je omezená pro x —> 0 + a pro x —> oo . Je-li A < 0, pak lim \y(x) \ = oo, A t^O, 0, A = 0. V tomto případě tedy všechna záporná čísla A_ jsou vlastními čísly a příslušné vlastní funkce jsou v-(x) = e h x. Podobně pro A = 0 je lim |y(a;)| = < ' ^ ' *->°olín n |s, A = 0. Číslo Ao = 0 je vlastním číslem a příslušná vlastní funkce je vq(x) = const =/= 0. Pro A > 0 jsou všechna řešení omezená, takže jakékoliv kladné číslo A+ je vlastním číslem a příslušné vlastní funkce jsou v+{x) = cos ———x, v+{x) = sm ———x. a a Tvrzení 8. Označme ML C C2(a,/3) množinu funkcí splňujících nějaké homogenní okrajové podmínky. Je-li operátor L symetrický na množině Ml a 0 7^ Ai 7^ A2 jsou jeho dvě vlastní čísla, pak odpovídající vlastní funkce jsou orthogonální v prostoru L2{a, j3). Důkaz: 13/3 13 1 f 1 f Vi(x)v2(x)dx = — I Aifi(x)v2(x)dx = — I Lv\{x)v2{x)dx = Ai J Ai J a a /3 /3 = — Jvi(x)Lv2(x)dx = y Jvi(x)v2(x)dx. A \ (Í 1 - -r- ) / f 1 (x)v2 (x)dx = 0 Odtud ^ ~ Ai a poněvadž Ai 7^ A2, musí platit Jfi(x)f2(a;)da; = 0. □ 1 Prostor C2(a,/3): 13 2 Množina funkcí definovaných na intervalu (a, /3) takových, že J (/(x)) dx < 00, tvoří vektorový prostor. Skalární a součin funkcí /, g v tomto prostoru definujeme vztahem ( / | 9) = / f(x)g(x)dx a normu funkce / vztahem ||/|| = I-i- 9 2 \ (/ I /)• Funkce f a g v tomto prostoru považujeme za ekvivalentní, pokud ||/ — g\\ = j {f (x) — g (x)) dx = 0. a Pokud ekvivalentní funkce ztotožníme, dostaneme prostor C2 (a, 0). 208 Sturmova-Liouvilleova úloha Jedná se o samoadjungovanou rovnici na konečném intervalu s homogenními Robinovými okrajovými podmínkami -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = \y(x), x G (0,1), (c ^ a0y(0) + r30y'(0) = 0 = a1y(l)+Piy'(l)- 1 '' Věta 3. Platí následující tvrzení: • Sturmova-Liouvilleova úloha má nekonečně mnoho vlastních čísel Ai, A2,.. ., pro která platí min{íj(aľ) : i€ [0,1]} < Ai < A2 < ••• ; lim A„ = oo . n—>oo • Každému vlastnímu číslu Sturmovy-Liouvilleovy úlohy přísluší právě jedna normovaná vlastní funkce. • Vlastní funkce vn = vn(x) odpovídající vlastnímu číslu \n má v intervalu (0,1) právě n — 1 nulových bodů. Mezi každými dvěma sousedními nulovými body vlastní funkce vn leží právě jeden nulový bod vlastní funkce tVi+i- Zejména vlastní funkce v\ nemění znaménko na intervalu (0,l). • Posloupnost {t>n}^°=i normovaných vlastních funkcí Sturmovy-Liouvilleovy úlohy tvoří úplnou orthonormální posloupnost na [0,1]. Tj. je-li funkce f G L2(0,ľ), pak Fourierova řada funkce f vzhledem k orthonormální posloupnosti {vn}^=1 konverguje k funkci f podle středu (konvergence v prostoru L2(0, l)). Je-li funkce f navíc spojitá a splňuje homogenní okrajové podmínky, je tato konvergence stejnoměrná. Důkaz: Viz J. KALAS, M. RÁB: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, str. 158-163. Důkaz je tam proveden pro případ p = 1. □ Tvrzení věty jsou ilustrována třemi příklady na str. 206-208: Dirichletova úloha -a2y" = Xy 0 < x < l, 2/(0) = 0 = 2/(0 má vlastní čísla nira \ 2 K = ( —— j , n =1,2,3, která evidentně tvoří rostoucí posloupnost s nevlastní limitou oo, ke každému vlastnímu číslu přísluší právě jedna normovaná vlastní funkce 2 mr vn(x) = - sin — x. Přitom nulové body vlastní funkce vn uvnitř intervalu (0,1) a nulové body vlastní funkce vn+\ uvnitř intervalu (0,1) a jsou kl kI x]~ = , k = 1,2,3,... ,n 1, a xK = ; —, k = 1,2,3,..., n n n + 1 a pro tyto hodnoty platí (q - 1)1 ql ql < ——r < —, i = L2, n n + 1 n Poslední tvrzení věty plyne z teorie trigonometrických Fourierových řad. 209 Periodická úloha -a2y" = \y x e R, y (x) = y(x + 1) x e R má vlastní čísla / 2mra\ \n = [—j-) , n = 0,í,2,..., která opět tvoří rostoucí posloupnost s nevlastní limitou oo. Ovšem ke každému z vlastních čísel \n, n = 1,2,... existují dvě nezávislé vlastní funkce nu . nu cos ~j~x a sm ~j~X' Předpoklad věty, že homogenní okrajová podmínka je Robinova, tedy nelze zeslabit tak, že by okrajová podmínka mohla být i periodická. Libovolné reálné číslo je vlasním číslem okrajové úloha s podmínkami ohraničenosti —a2y" = \y x e (0, oo), limsup |y(x)| < oo. x—>oo Tato vlastní čísla netvoří posloupnost; říkáme, že spektrum operátoru je spojité (není diskrétní). Vlastní čísla a vlastní funkce některých speciálních (ale důležitých) Sturmových-Liouvilleových úloh tvaru -a2y" = Xy, 0 < x < l, R nazveme Greenovou funkcí homogenní okrajové úlohy Ly(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = 0, x e (0,1), «oy(0) 4- M(0) = 0 = alV(l) + M(l). kde p(x) > 0 pro x g [0, l], jestliže (i) G je spojitá pro x g [0, l] x [0, l], (ii) G je symetrická, tj. G(x,£) = G(£,x), (iii) pro každé £ g [0, l] má funkce G(-, £) spojité derivace druhého řádu, (iv) pro každé £ g [0, Z] je funkce G(-, £) řešením uvažované okrajové úlohy, 213 (v) lim Gx(x,£)- lim Gx(x,£) =---— pro £ G (0, l). Věta 4. Má-li uvažovaná homogenní okrajová úloha jen triviální řešení y — 0 a jsou-li funkce p G C1(0, Z), q G C2(0, Z), existuje právě jedna její Greenova funkce. Nehomogenní okrajová úloha Ly(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = f(x), x e (0,1), a0y(0) + /W(0) = 0 = aiz/(/) + pV(0- má pak jediné řešení tvaru i y(x) = J f(Z)G(x,OdZ. o Důkaz: Viz I. KlGURADZE: Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních rovnic. MU, Brno 1997, str. 82. Důkaz je proveden pro mnohem obecnější situaci. □ C.4 Úloha s nehomogenními okrajovými podmínkami Ly(x) = -(p(x)y'(x))' + q(x)y(x) = f(x), x e (0,1), a0y(0) + pV(0) = r/o, a Po(a±l + 2/3i)Ý 0, Po(a\l + 2/3i)í Po aoVi - aiVo 2 , Vo --x J-- ao(a\l + 2/3i)i ag ' Po = 0 ^ ail + 2/3i ,,(r) - J Qi??o - apyi , /3i?/o + Pom , -;-2ľH--, QíqQíIÍ Cíl a±l + 2Pi = 0 = ctoPi + aíPo Vi Vo cti cto a.\l + 2p\ = 0 = aoPi + aip\), ao^i = 0. 214 Cvičení Řešte okrajové úlohy 2 1) -y"--y' = 0, x G (0,1); y(í) = y0, y je omezená pro x ->• 0+. x 2) - (x2y')' = 0, x G (l,oo); y(l) = y0, lim = 0. x—>oo 3) — (xyf) = 0, x G (1, oo); y(l) = í/q? V Je omezená pro re —> oo. 4) -xy" - y' = 0, x G (1, 2); y(l) = y1; y(2) = 0. 5) —x2y" — xy' + A;2y = 0, x G (0, Z); y(Z) = 1, y je omezená pro x —> 0+; k je parametr. 6) -xy" - y' = -x, x G (0, Z); y(0) = y(l) = 0. 7) -y" = sinx, x G (0, 2tt); y'(0) = y'(27r) = 0. Najděte vlastní funkce okrajových úloh a vlastní čísla příslušných operátorů 8) -v" = Xv, x G (0, Z); v'(0) = v'(l) = 0. 9) -v" = Xv, x G M; w(x) = w(x + 2tt). 10) —1>" + íjf = Af, x G (0, Z); f'(0) = 0, v(l) = 0; g je parametr. Řešte okrajové úlohy 11) ~y" - u2y = f(x), x G (0, Z); y(0) = y(l) = 0; uj je parametr. 12) -y"-3y=^y^, i£(0,f); y(0) = y(tt) = 0. 13) Najděte Greenovu funkci úlohy —y" + y = 0, y(0) = y(l) = 0. 14) Ověřte výsledky uvedené v tabulce Cl. Výsledky: I) y(x) = y0 2) y(x) = f 3) y(x) = y0 4) y(x) = yi1^^ 5) y(x) = (f )|fe| 6) nemá řešení 7) y(x) = sin x — x + C, C je libovolná konstanta 8) Xn = (2f)2, vn(x) = cos ífx, n = 0,1, 2,... 9) Xn = n2, tVi(x) = C„ cosnx+Dn sinnx, Cn, Dn jsou libovolné konstanty, Co 7^ 0, n = 0,1, 2, 10) A„ = g+(i2^)^t;4x) = cosí2-^: II) y(x) = Ssin !fx + ± / /(£) sin íf - x)d£ pro f = k G N a / /(£) sin ^f£d£ = 0, o o B je libovolná konstanta; x l x oo . k7v c . k7v VÍ*) = hl /(O sin c(£ - x)d^ - ^ / /(O sin c(C - x)d^ = 2Z / /(O E "IZ^J*^ o 00 fe=i pro f £ N OO 12) y(x) = £ = f (cosVŠx - cotgVŠTT sinV^x) + ±(x - tt) -x. 13) G(x,0 = sinh(l— x) sinh £ r\ ^ ŕ ^ ^- 1 ——~, 0<£ 1 Hn+1(x) = (-1) : dn+1 dxn+1' o r]n (-1)™+V— i-2xe y ' dxn K 2 dn 2(-í)nex —[xe x ' dxn K = 2(-l)nea fe=0 dfe ď n —k k! dxk dxn~k n\ dn 0 / dxn dn 2x(-í)nex —e-x -2n(-l) n—l fx An-1 1J dx"-1' d™"1 2 dx™-1 2xHn{x) — 2nHn-i(x). tedy Hn+i(x) - 2xHn(x) + 2nHn-1(x) = 0 . (D.l) Této rovnice lze využít k postupnému výpočtu Čebyševových-Hermiteových polynomů pomocí prvních dvou. Dále platí KW = dx (-l)nex —e-y ' dxn = 2x(-l)nex -—e" v ; dxn 2 r]n+1 - (-l)n+1ex -—rre^' dxn+1 2xHn(x) - Hn+i(x). 217 Odtud s využitím (D.l) dostaneme H'n{x) = 2nHn-1(x), (D.2) tj. vyjádření derivace polynomu Hn pomocí polynomu nižšího stupně. D.l.3 Diferenciální rovnice pro Cebyševovy-Hermiteovy polynomy S využitím vztahů (D.2) a (D.l) dostaneme HZ(x) = (2nHn-1(x))' = (2xHn{x) - Hn+1{x))' = 2Hn(x) + 2xH'n(x) - H'n+1(x) = = 2Hn{x) + 2xH'n{x) -2(n+í)Hn(x) = 2xH'n(x) - 2nHn{x). Pro každé n G NU {0} je tedy Cebyševův-Hermiteův polynom Hn{x) řešením diferenciální rovnice y"(x) - 2xy'(x) + 2ny(x) = 0 , (D.3) nebo v samoadjungovaném tvaru (e^Y)' + 2ne-x2y = 0. Poznamenejme ještě, že Cebyševův-Hermiteův polynom je řešením rovnice (D.3) s okrajovými podmínkami lim e~x y(x) = lim e~x y{x) = 0. x—> — oo Věta 5 (Orthogonalita Čebyševových-Hermiteových polynomů). Pro Cebyševovy-Hermiteovy polynomy platí OO / 2nn\\/ŤŤ', n = m J Hm(x)Hn(x)e x2dx = 0, n^ra — oo v Důkaz: Pro určitost budeme předpokládat, že m < n. Označme oo J = J Hm(x)Hn(x)e-x2dx = (-1)" J Hm(x)-^e-x2dx. — oo —oo Pro výpočet tohoto integrálu použijeme m krát metodu per partes; přitom využijeme (D.2) a skutečnost, že pro libovolný polynom P platí lim e~x2p(x) = lim e'10* P(x) = 0. x—y — oo J = (-1)" ( HMe-*^^- J H'm(x)-^e-x*dx — oo oo oo A™-1 , ľ dn~2 {-\)n-'2m j ířm_1(a;)__re-a: dx = (-1)"-J2m2(m - 1) / iř^^)-—-^-* dx (-l)"-m2mm! / -e~xdx. 218 Je-li m < n, pak je-li m = n, pak J = {-\)n-m2mm\ dxn = 0; J = 2nn\ / e-x dx = 2nn\J^. □ Důsledek 3. Funkce e-x2/2 Í>n = -J====Hn(x). n\\pK n = 0,í,2,. tvoří ortonormální posloupnost v prostoru L2{—oo, oo). Z věty plyne, že f D. 1.4 Rekurentní vztahy pro koeficienty Cebyševových-Hermiteových polynomů oo Hledáme řešení rovnice (D.3) ve tvaru mocninné řady y(x) = ^ ank%k-Platí OO 2ny(x) = Znankxk , fc=0 oo oo 2xy'(x) = 2x^2kankxk~1 = 2kankxk, fe=0 fe=0 fe=0 "(x) = J2k(k-Í)ankxk-2 = J2k(k-Í)ankxk-2 = J2(k + 2)(k+í)an(k y k=0 k=2 Po dosazení do rovnice (D.3) dostaneme (fe+2)" fe=0 fe=0 a tedy ^2 [{k + 2){k + ľ)an{k+2) - 2kank + 2nank] xk = 0. 2(n - k) i(fe+2) (k + 2)(k + l) ank , n = 0,1,2, .. . , n - 2 D.2 Besselovy funkce Definice 1. Obyčejná lineární homogenní rovnice druhého řádu x2y"(x) + xy'(x) + (x2 - v2)y(x) = 0, kde x G (0, oo) se nazývá Besselova rovnice řádu v. Rovnici (D.4) lze ekvivalentně zapsat x(xy'(x))' + (x2 - v2)y(x) = 0. 219 (D.4) D.2.1 Řešení rovnice (D.4) Frobeniovou metodou Hledáme nějaké řešení rovnice (D.4). Budeme předpokládat, že je tvaru oo y(x) = aQXa + aixa+1 + a2xa+2 + ■■■ = ^ akxa+k , (D.5) fe=0 kde a G R je tzv. charakteristický součinitel, jehož hodnotu určíme později. Pak je x*y" = a0a((T - í)xa + ai(er + l)crx°"+1 + ak(a + k)(a + k - í)xa+k — uqu yu — ljju -\- LL\yv -\- l)v ju -\- k=2 oo xy'(x) = a0o-xa + ax(a + ľ)xa+1 + ak(a + k)xa+k k=2 oo x2y(x) = E ak-2xa+k , k=2 oo -v2y(x) = -v2a0xa - v2a1xCT+1 + (-v2ak)xa+k . k=2 Tedy x°+k a0(o-2 - v2)xa + ai(cr2 + 2cr + 1 - v2)xa+1 + ^ (afe(cr2 + 2ak + k2 - v2) + afe_2) k=2 takže (D.5) je formálním řešením Besselovy rovnice (D.4) pokud platí rovnosti a0(cr2 -v2) = 0 ai(cr2 + 2cr + l-z/2) = 0 ak(a2 + 2ak + k2 - v2) + afe_2 = 0, k = 2,3,... První z těchto rovností je splněna, pokud a a v vyhovují tzv. charakteristické rovnici a2 - v2 = 0, tj. cr = ±v. (D.6) Položíme a = v a dosadíme do zbývajících rovností. Dostaneme ai(2í/+l) = 0 (D.7) ak{2v + k)k = ak-2, k = 2,3,.... (D.8) Rovnost (D.7) a rovnosti (D.8) s lichými indexy fc, tj. k = 2m + 1 pro vhodné to G N, jsou zřejmě splněny, pokud a2m+i = 0, to = 0,1, 2, .. .. Najdeme podmínky, za jakých jsou splněny rovnosti (D.8) se sudými indexy k. Pokud 2v+k =/= 0 pro k = 2, 4, 6,..., 2m, pak a2(m-2) _ »2(771-1) _ 22(to - 1)(to - 1 + v) _ «2(t71-2) »2m 22to(to + žv) 22to(to + i/) 24to(to — 1)(to + i/)(m — 1 + v) = _(-l)mao_ = 22mm(m - 1) • • • 1 • (to + z/)(to - 1 + v) ■ ■ ■ (1 + v) =_(-l)ma0r(l + ^)_ = 22mm!(m + v)(m - 1 + v) ■ ■ ■ (1 + v)T(l + z/) (-l)ma0r(l + i/) 22mr(TO+ í)T(m + v+ 1)' Tento výpočet naznačuje, že lze volit 1 (-l)m a0 — 77777T7-ttt' tt2m — 2T(y+l)' 22m+T(TO + l)T(m + z/ + 1)' 220 Pokud 2v + k = 0 pro nějaké k = 2m\, pak 2v + k je celé záporné číslo pro všechna k = 2, 4, 6,..., 2(m1 — \) a, 2v + k > {) pro všechna /c = 2(toi + 1), 2(m1 + 2),.... Tedy 1 + v, 2 + z^,. .., mi + nejsou v definičním oboru funkce T a ui\ + u + 1, ui\ + v + 2,. .. v něm jsou. V takovém případě lze volit ao = a2 = -- = a2(mi_1) = 0) a2m = 22m+„r(m + Prom>^ Snadno ověříme, že při uvedené volbě budou rovnosti (D.8) splněny pro každý sudý index k. Formální řešení rovnice (D.4) je tedy tvaru °° 1 / t \ 2/c+ľ = EM)fcr(fc+1)r(fc+.+1)y < (°-9) k—/co kde 'o, i/£ (-00,0] n z, &0 = -z/, i/ e (—oo, 0] n', Abychom ověřili, že se jedná o řešení, je potřeba ukázat, že tato řada konverguje pro každé x > 0. Pro poloměr konvergence r mocninné řady S(x) = £(-l)fe 1 x2k k_o 22kT(k + í)T(k + v + 1) podle Cauchyovy-Hadamardovy věty a s využitím vlastností funkce T platí i = lim sud "/ 1 r fe^oo V 22fcr(/c + i)r(fc + ^ +1) — lim 2, 2 fe^oo V 2tt(/C + l)fe+1/2(/J + + l)fe+^+l/2e-2fe+I,-l takže tato řada konverguje absolutně a stejnoměrně pro každé ieR. Rada (D.9) tedy konverguje absolutně a stejnoměrně pro každé x > 0. (Pro x = 0 nemusí být y(x) = x^S^x) vůbec definována.) Definice 2. Funkce se nazývá Besselova funkce prvního druhu řádu v. Je-li pro nějaké k G N U {0} číslo k + v + 1 celé nekladné (tj. /c + v + 1 DomT), klademe /c-tý člen uvažované řady roven 0. Označme °° 1 / x \2^ fc=0 -J u„(:r). Poznámka 3. «,(0) = r(l/ + 1) ■ = °- 221 Důkaz: První vzorec plyne z toho, že T(l) = 1. = Z/-1) 2T(k + í)T(k + v + 1) V2J fe=0 °° /j\2í:-l 1 /x\2k- ' T(k + í)T(k + ľ+í) (2/ = J; ^ (Poslední rovnost plyne z faktu, že r(fc + 1) = fcr(/c).) D.2.2 Vlastnosti Besselovy funkce prvního druhu 1. Funkce Jv{x) je spojitá na (0,oo). Důkaz: Plyne z toho, že uv(x) jakožto součet mocninné řady je funkce spojitá. [1, ^ = 0 2. lim JJx) = < 0 , v > 0 nebo v e Z \ {0} . [oo(-l)M, í/£(-oo,0)\Z Důkaz: Plyne bezprostředně z 3. 3. Pro n e N platí J-„(aľ) = (—l)™J„(rc) pro všechna x e (0,oo). 00 (— l)fe / t* \ 2fc— Důkaz: J-n(x) = fefnr(*; + l)r(fc-n+l) V2, 00 /.j;\2fc+n = £0 r(jfe + n + i)r(jfc + i) V2J = í"1)""7-^ 4. (ar^^a;))' = -x-"Jv+1(x), (xvJv{x))' = xvJv-X{x) Důkaz: Platí: {x-"Jv{x))' ? ^*r(* + i)r(fc + i/ + i) (2) ) fe 2fc /£\2fe-l 2T(k + í)T(k + v + 1) V27 2~" £(-!)» fe=0 2fe-l fe=l r(fc + i)r(fc + v +1) v 2 XY(-Dk_*_f-ľ(fc_1) ^ tY/Vityí-+ 7/+ n 19/ 2 ^ T(k)T(k + v + 1) \2/ 00 1 2/c 2-"£ Vr-nfe+1_i_(-1 2^ ; T(A: + l)r(jfc + i/ + 2) V2^ -2-"5](-l)* = —a: fc=0 oc T(k + í)T(k + v + 2) V2 , _i_(x) 2j ^ r(& + i)r(& +1/+ 2) \2J 1 /2;\2fe+ly+1 * ^kT(k + í)T(k+(iy+í) + í) (2) Druhý vztah lze dokázat analogicky. 222 5. Ju+i{x) = ^ Jv(x) - Ju-i{x), J'v(x) = - Ju+i{x)). První formule (rekurentní vzorec) umožňuje vypočítat Ju+\(x) ze znalosti Ju(x) a J„_i(aľ); druhá formule je vzorec pro derivaci Besselovy funkce prvního druhu. Důkaz: První formuli z 4. vynásobíme xv, druhou x~v a rozepíšeme derivaci součinu. Tím dostaneme J'v(x) - -Ju(x) = -Jv+1(x), J'v(x) + -Jv(x) = J„_i(x). X X Odečtením těchto rovnic dostaneme první formuli, sečtením druhou. □ 6. Platí ~ p,2fc_-(_i)fc 2fc ^r(fc + i)r(fc +1) \2) £-oo a posloupnost {xnu}^^ nemá hromadné body. Funkce Jn, n = 1, 2,.. . má navíc n-násobný nulový bod xno = 0. Důkaz: Viz např. G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922, kap. XV. □ 223 Věta 7 (Orthogonalita Besselových funkcí celočíselného řádu). Besselovy funkce prvního druhu Jn, n = 0,1, 2,.. . splňují pro každé a > 0 a všechna k, l G N rovnost ÍJn[—í]Jn{ — í)ái 0, k^l -a2(jn+1(xnk)) , k = 1 . 2 kde xnk (resp. xni) je k-tý (resp. l-tý) jednoduchý nulový bod funkce Jn. Důkaz: Položme /(£) = Jn (^—^^j, g(0 = Jn (——^j ■ Pak d/(g) = Xnk , (XnkA d2/(^) = (Xnk\2 „ /X»fc d^ a n V a V ' d^2 V a / " 1 / Poněvadž Jn je řešením Besselovy rovnice (D.4), platí d2f(0 (XnlA2 (Xnk í První rovnost vynásobíme £g, druhou vynásobíme e/ a odečteme je í{gf"-fg") + {gf'-fg') + Ug[{—) - (—) ) = o. Po úpravě č <:.'//" + g'f g'f f g") + {g f f g') + ^-Aí(gf'-fg')) = xll~fnkUg- de a2 Integrací poslední rovnosti v mezích od 0 do a dostaneme a a(g(a)f'(a) - f(a)g'(a)) = ^ ~/"fc / U^MO^ ■ Poněvadž f (a) = Jn (——a) = 0 a g (a) = Jn (—^-a \ = 0, platí o = Xnl *nk /e^f—eW—e)de, takže pro k =/= l je dokazovaná rovnost splněna. Poněvadž Jn splňuje Besselovu rovnici (D.4), platí pro každé x > 0 rovnost x2Jn(x) = n2Jn(x) — xJ'n{x) — x2J^(x). 224 Integrací per partes s využitím této rovnosti dostaneme x(jn(x)) dx = -x2(jn(x)) - j x2Jn(x)J'n(x)dx = ^x2(jn(x))2 = \x2(jn{x))2 - 2Jn{x)j'n{x) - X(j'n{x)) - x24'(x)4(x) dx n T „2 dx = = \x2(jn(x)f \(Jn(x))2 + X-(J'n(x))2 = X- ((Jn(x))2 + (J'n(x))2) \(Jn(x))2. Podle D.2.2.5 je (j„(x))2 + (j^(x))2 = (j„(x))2 + (Jn-i(x) — Jn+i(x))2 a tento výraz je podle f + (J'n{x))2 = (Jn(x))2 D.2.2.2 pro x z pravého okolí nuly ohraničený. To znamená, že „2 lim — a;^0+ 2 (Jn{x))2 + (j'n{x))2 Dále podle D.2.2.2 je také Platí tedy lim -(nJn(x)) = 0. r->o+ 2 v 7 Jn[— í a d£ = -j- / x [J„(x)]2 dx = 0 a ^2~ 2 (Jn(xnk))2 + (Jn(xnk))2^j ~ y (^«(^nfc))" = y(4(^fe))' Podle D.2.2.4 je -x""J„+i(x) = (x~nJn(x))' takže J'n{xnk) = -Jn+1(xnk). Celkem tedy „n+l Jn(x)+x nJ'n{x), j i Xnk£ •J n \ t, a 2 a2 2 d£ = y(J„+i(x„fe)) , což je dokazovaná rovnost pro k = l. □ Věta 8. Necht v G Z a i> je řešením Besselovy rovnice (D.4) lineárně nezávislé na J„. Pafc lim v(x) Důkaz: Označme W = W(x) = W{x;Ju,v) Jv{x) v(x) Jl(x) v'(x) Jv(x)v'(x) - J'v(x)v(x) wronskián funkcí J„, v. S využitím faktu, že J„ a v jsou řešením rovnice (D.4) dostaneme écw = ^vV' ~ J'vV) = J'vV'+JvV" ~ J"v ~ J'vV'= JvV" ~ J"v = {v2 - x2)v - xv' {v2 - x2) Ju - xJ'v 1 , , 1 0 libovolná konstanta. Integrací poslední rovnosti v mezích od x do a dostaneme vw=D-car áíí , 2 M*) J e(J,(0) v(cy) kde D = —-r— je konstanta. Odtud plyne, že pro každé x G (0, a) platí Jy(a) d£ Č(J,(0)2 í;(x) = J„(:r) ( D -C a tedy lim f(xl = D lim J,,(x) — C lim J,,(x) I lim í;(x) = D lim J„(:r) - c lim J„(:r) / -——* . (D.10) a;^0+ a;^0+ a;^0+ ' " ' - ' 'N N 2 Buď e > 0 libovolné. Položme í? = < ^0 ^ ^ ' ^ . Pak í? > 0 a podle D.2.2.2 k němu \e2, f£Z\{0} existuje ô > 0 takové, že pro všechna £ e (0,5) je (Jjy(£))2 < ??■ Odtud plyne, že pro x e (0,5) platí d£ / d£ f d£ 1 /" d£ /" d£ 1 n 5 /" d£ > - / -r + / ——:i—ň = - ln - tedy lim /--—^ > /--—7t H— lim ln — = oo. Odtud vzhledem k D.2.2.2 a (D.10) dále plyne, že pro v = 0 je lim v{x) = (—sgnC)oo X —>o+ a pro \ {0} podle de 1'Hópitalova pravidla a podle D.2.2.5 je r d£ lim ,(,) = -C7 hm ^(,) f-C lim * x-o+ J £(j„(£))2 *^o+ l Jv{x) 1 x(jv{xS) 1 -C* lim -VTľ y = -C* lim - = -C lim x^>0+ J'v(x) x^>0+ XJ'v a:->0+ x(j„_i(x) - J„+i(x)) 2 226 Podle D.2.2.2 je funkce x i—> J„_!(:r) — J„+i v pravém okolí nuly ohraničená a tedy lim v(x) c->0+ □ Věta 9. Je-Zi 1/ g" Z, jsom Besselovy funkce prvního druhu J„ a J_„ řešením rovnice (D.4) a jsou lineárně nezávislé. Důkaz: Funkce J„, J_„ byly vD.2.1 nalezeny jako řešení rovnice (D.4). Stačí tedy ověřit tvrzení o nezávislosti. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že v > 0. Wronskián funkcí J„, J_„ je J' (x) J' (x) ~ Ju{x)J_u(x) J-u(x)Ju(x) xx" u, u, 2 x\u 2, x\~v 2 , ^, -»M((f)"«.W) ("5 (I)"""'"-<*'+ (f) """'-<*>)- / 1 / / T \ f— 1 / T* \ f \ 4M = u„(aľ)í/ (z) - u-u{x)u' (x) - —uu{x)u-u{x) . x Podle 3 pro v g" Z platí lim W^x, J„, J_„) = oo, což znamená, že pro nějaké x > 0 je W(x, J„, J_„) ^ 0 a tedy podle známé věty z teorie lineárních homogenních obyčejných diferenciálních rovnic funkce J„, J_„ tvoří fundamentální systém řešení rovnice (D.4). □ Pro v (jL Z tedy Besselovy funkce prvního druhu J„ a J-nu tvoří fundamentální systém řešení rovnice (D.4). V případě c€Z máme pouze jedno bázové řešení (sr. D.2.2.3). Definice 3. Funkce Yv definovaná pro každé v e R a, každé x e (0, oo) vztahem J f (x) cos TTV — J_e (x) Yu(x) = hm —2--- i^rv sin7r£ se nazývá Besselova funkce druhého druhu řádu v. (Někdy také Neumannova funkce.) Pokud v (jL Z, je jmenovatel zlomku za limitou nenulový a tedy pro v (jL Z lze psát Jv {x) cos ixv J —v {x) Yu(x) = -:-. Je-li v = n G Z, jsou čitatel i jmenovatel zlomku za limitou nulové a limitu lze tedy vypočítat podle de 1'Hospitalova pravidla: Yn(x) = 1 d_ dv Jy(x) ("If d_ dv J-V{x) Věta 10. Funkce Yv je řešením rovnice (D.4) pro libovolné veK. Pro wronskián funkcí J„ a Yv 2 platíW(x, Jr„ ,YU) = —. (Funkce J„ a Yv tedy tvoří fundamentální systém řešení rovnice (D.4)) TTX Důkaz: Viz např. G.N.Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922, str. 58-76. □ 227 Poznámka 4. Besselovy funkce druhého druhu splňují stejné vztahy, jako funkce prvního druhu: (x-vYv(x)Y = -x-"Yv+1(x) , {x»Yv(x))' = xvYv^{x), X Yl(x) = -2{Yv^{x)-Y,+1{x)) 228