2. domácí úloha z MIN201, jaro 2024
Zadáno: 25. 3. 2024 Odevzdejte do: 4. 4. 2024
Příklad 1 (Vztah mezi logaritmy různých základů). Dokažte, že pro libovolné a, b ∈ R+
platí
loga x =
logb x
logb a
.
Příklad 2 (Derivace). Spočítejte derivaci funkce
f(x) = x · ln x +
√
1 + x2 −
√
1 + x2,
upravte ji do co nejjednoduššího tvaru a ukažte, že je funkce f(x) rostoucí pro x > 0 a klesající
pro x < 0.
Bonusový příklad (Rovnice s logaritmy). Nalezněte všechna řešení rovnice
15log5 3
· x1+log5 9x
= 1.
[Nápověda: Obě strany zlogaritmujte log5( ), upravte rovnici a pomocí substituce vyřešte.]
Příklad 3 (l’Hôpital). Pomocí l’Hôpitalova pravidla spočítejte limity:
i) lim
x→0
ln(1 + 4x)
3x − 1
ii) lim
x→0+
ln x + e
1
x
iii) lim
x→1
x
1
1−x2
iv) lim
x→1+
ln x ln(1 − x)
Příklad 4 (K větám o střední hodnotě). S využitím elementárních funkcí dejte příklad funkce f
definované po částech na intervalu [−1, 1] ⊆ R, kde f(−1) = f(1), a je diferencovatelná na
celém intervalu [−1, −1] kromě jednoho bodu a splňuje:
i) nabývá všech hodnot na R, její derivace nabývá uvnitř intervalu všech hodnot kromě hodnoty
zaručené Rolleovou větou o střední hodnotě, tedy
H(f) = R, f ((−1, 1)) = R {0}
[Nápověda: Zamyslete se nad grafem funkce 1
x2−1
, „rozstřihněte jej na dvě vhodné části a
vhodnou úpravou předpisu posuňte/obraťte jednotlivé části a definujte z nich jednu funkci.]
ii) f je spojitá na [−1, 1] (tudíž nemůže nabývat všech hodnot) a f ((−1, 1)) = R {0}
[Nápověda: Pohrajte si s předpisem funkce pro graf půlkružnice.]
Bonusový příklad (Vylepšená věta o střední hodnotě). Uvažme funkci f splňující na intervalu
[a, b] podmínku pro Lagrangeovu větu o střední hodnotě. Dokažtě (nebo vyvraťte?), že můžeme
najít takový bod ¯c ∈ (a, b) ze znění této věty, pro který navíc platí, že tečna ke grafu funkce v
tomto bodě je nad nebo pod grafem této funkce na celém intervalu [a, b].
Jinak řečeno, pro všechna x ∈ [a, b] existuje ¯c ∈ (a, b), že platí
f(x) ≤ f(¯c) + (b − a)(x − ¯c) nebo f(x) ≥ f(¯c) + (b − a)(x − ¯c).
1