4. domácí úloha z MIN401, jaro 2024
Příklad 1. Dokažte, že množina IR x IRx (kde IRX =IR\{0}) společně s operací definovanou předpisem (a, s) ■ (b, t) = (a + sb, st) tvoří grupu. Je tato grupa komutativní?
Příklad 2. Uvažujme grupu Sn všech permutací množiny {1,..., n} a dále grupu S'm všech permutací množiny {n + 1,... ,n + m}. Definujme zobrazení
U: Sn x S'm -> ,Sn+m,    o- U r« = ^   \( -
I     j   2 > n + 1
(tedy o" U r provádí permutaci a na prvních n prvcích a permutaci r na posledních m prvcích). Dokažte, že se jedná o injektivní homomorfismus, ale nikoliv o isomorfismus (s výjimkou případů, kdy n = 0 nebo m = 0; doporučuji spočítat prvky na obou stranách). BONUS: Uvažujte podmnožinu
Shnjm = {n G Sn+m | 7r(l) < • • • < n(n), n(n + 1) < • • • < n(n + m)}
tzv. (n, m)-shufflů. Dokažte, že Shnm obsahuje právě jeden prvek z každé třídy rozkladu Sn+m/{Sn x S'm), kde chápeme Sn x jako podgrupu Sn+m skrze homomorfismus U, takže lze psát Sn+m/(Sn x S'm) = Shnm. Jaké jsou počty prvků množin na obou stranách?
Příklad 3. Nechť G je grupa. Pak každý prvek g E G zadává automorfismus cg: G —?■ G grupy G předpisem
cg(x) = gxg'1.
Ukažte, že se vskutku jedná o automorfismus grupy G. Dále ukažte, že zobrazení
G —ř Aut(G),   g ^ cg
je homomorfismus grup (zde Aut(G) je grupa vzhledem ke skládání, jedničkou je tak id). Jaké je jeho jádro?
BONUS: Ukažte, že obraz tohoto homomorfismu je normální podgrupa - konkrétně pro libovolný automorfismus (p: G —> G ukažte, že (pcgtp^1 = ch pro nějaký prvek h E G určený prvkem g a automorfismem tp.
i