Zkouška 1. termín - MIN401 - jaro 2021 - 17. 6. 2021
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (4 body) Rozložte polynom
p(x) = x4 + 2x3 + 2x + 2
na ireducibilní faktory nad Z3.
2. (8 bodů) Uvažme grupy (Z, +), (Zn, +), (Z x Z, +) a grupy permutací (Sn, o), n > 2. (a) Uvažme podmnožinu
M = {a e S5|o-(2) = 2 nebo tr(2) = 5} C §5.
Rozhodněte, zda je M podgrupa v §5. (bl) Určete nejmenší podgrupu H\ v Zig obsahující prvky 6 a 9. (b2) Najděte nějakou netriviální podgrupu H2 v Zig neobsahující prvek 6. (b3) Existuje v Zig netriviální podgrupa, která neobsahuje ani jeden z prvků 6 a 9? (cl) Uvažme zobrazení ip : 1*$ —y §6 takové, že
y?(0)=id   a   ip{k) = (l,2,...,k + 1)
kde k G {1,... 5}. Rozhodněte, zda 99 je homomorpfismus grup. (c2) Uvažme homomorpfismus grup ip : Z —y §g určený podmínkou
^(1) = (1,4,2,6)(2,5,7).
Určete jádro ker^. Dále určete ip(23). (c3) Uvažme homomorpfismus grup ip' : Z x Z —y §10 určený podmínkami
^(1,0) = (3,5)(2,4)   a   ^(0,1) = (1, 7)(6,10, 8, 9).
Určete jádro ker^'. Dále určete ^'(ÍO, 10).
3. (8 bodů) Mějme lineární (6, 3)-kód nad Z2 zadaný maticí
/l   1 0\
1  0 1
o 1 1
10 0'
o 1 o \o o 1/
Tedy délka zprávy před zakódováním je 3 a po zakódování 6. Byla přijata zpráva
(a) 100001,
(b) 110011,
(c) 111001.
Ve všech těchto případech určete syndrom a zprávu dekódujte (tj. určete odeslanou zprávu) za předpokladu, že při přenosu došlo k nejmenšímu možnému počtu chyb. Je dekodódování za tohoto předpokladu vždy možné jednoznačně? Jestliže nikoliv, určete všechny možnosti s minimem chyb.