Autonomní systémy v rovině Definice, trajektorie, nulkliny, stacionární body Petr Liška Masarykova univerzita 13.02.2023 Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 1 / 11 Autonomní systém v rovině Definice Vektorová diferenciální rovnice x′ = f(x), (1) kde x = (x1(t), x2(t))T a f(x) = (f1(x1, x2), f2(x1, x2))T je definovaná na oblasti Ω ⊆ R2, se nazývá autonomní systém v rovině. Oblast Ω se nazývá fázový prostor, proměnná t se nazývá čas. Úmluva Pokud nebude řečeno jinak, tak f1 i f2 jsou spojité funkce a počáteční problém (1), x(t0) = x0 je jednoznačný pro libovolné [t0, x0] ∈ R × Ω. Řešením se rozumí úplné řešení. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 2 / 11 Trajektorie a základní vlastnost Řešení x = φ(t) systému (1) můžeme interpretovat jako 1. graf funkce x = φ(t) v prostoru R × Ω; 2. křivku v prostoru Ω danou parametricky x = φ(t). V druhém případě se tato křivka nazývá trajektorie. Jedná se vlastně o kolmý průmět grafu funkce x = φ(t) z R × Ω do Ω. Uzavřená trajektorie se nazývá cyklus. Lemma Je-li x = φ(t) řešení rovnice (1), pak i x = φ(t + c) je řešení rovnice (1). Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 3 / 11 Tři základní otázky 1. Existují rovnovážné hodnoty x⋆ = (x⋆ 1, x⋆ 2)T takové, že x(t) ≡ x⋆ je řešením (1)? 2. Nechť φ(t) je řešení (1). Předpokládejme, že ψ(t) je druhé řešení (1) takové, že ψ(0) je velmi blízko φ(0). Zůstane ψ(t) blízko φ(t) i v budoucnu nebo se ψ(t) odchýlí od φ(t) pro t → ∞? 3. Co se stane s řešením x(t) pro t → ∞? Bude se blížit nějakému rovnovážnému stavu? Nebo alespoň třeba nějakému periodickému řešení? Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 4 / 11 První otázka = stacionární bod Definice Bod x⋆ takový, že f(x⋆) = o, se nazývá stacionární bod (kritický, singulární, rovnovážný). Příslušné řešení x(t) = x⋆ se pak nazývá stacionární řešení (rovnovážné). Stacionární bod je tedy řešením soustavy rovnic f1(x1, x2) = 0 f2(x1, x2) = 0 Množina řešení každé libovolné rovnice fk(x1, x2) = 0 se nazývá k-tá nulklina. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 5 / 11 Druhá otázka = stabilita Definice Řešení x0 rovnice (1) se nazývá stabilní, když ke každému ε > 0 existuje δ = δ(ε) > 0 tak, že každé řešení x rovnice (1) vyhovující pod- mínce |x(0) − x0(0)| < δ splňuje |x(t) − x0(t)| < ε . Není-li řešení x0 stabilní, řekneme, že je nestabilní. Plně vyřešeno pro x′ = Ax, (2) kde A je konstantní matice. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 6 / 11 Věta a) Každé řešení rovnice (2) je stabilní, když všechna vlastní čísla matice A mají zápornou reálnou část. b) Předpokládedejme, že všechna vlastní čísla matice A mají nezápornou reálnou část a λ1 = iσ1, . . . , λl = iσl, jsou kořeny s nulovou reálnou částí, přičemž kořen λj má násobnost kj. Potom každé řešení rovnice (2) je stabilní, když matice A má kj lineárné nezávislých vlastních vektorů pro každé vlastní číslo λj. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 7 / 11 Třetí otázka = vlastnosti trajektorií a charakteristika stacionárních bodů Věta Nechť φ, ψ jsou řešení rovnice (1). Pak jejich trajektorie buď splývají, nebo nemají ani jeden bod společný. Věta Nechť x = φ(t) je řešení (1). Jestliže φ(t0 + T) = φ(t0) pro nějaké t0 a T > 0, potom φ(t + T) ≡ φ(t). Autonomní systém (1) tedy může mít trajektorie trojího typu: 1. Singulární body (odpovídají konstantním řešením). 2. Cykly (odpovídají nekonstantním periodickým řešením). 3. Trajektorie, které samy sebe neprotínají. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 8 / 11 Typy singulárních bodů Singulární bod x0 rovnice (1) se nazývá střed, když existuje ryzí okolí U bodu x0 takové, že každým a ∈ U prochází jediná uzavřená trajektorie, která obsahuje x0 ve svém vnitřku; ohnisko, když existuje ryzí okolí U bodu x0 takové, že bod x(t) trajektorie x vycházející z libovolného bodu a ∈ U má tu vlastnost, že konverguje pro t → ∞ nebo t → −∞ k x0, a to tak, že velikost orientovaného úhlu vektoru −−−−→ x0x(t) od nějakého pevného vektoru −−→x0x1 má nevlastní limitu; Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 9 / 11 uzel, když existuje ryzí okolí U bodu x0 takové, že pro bod x(t) trajektorie x vycházející z libovolného bodu a ∈ U platí lim t→∞ x(t) = x0 nebo lim t→−∞ x(t) = x0 a velikost orientovaného úhlu vektoru −−−−→ x0x(t) od nějakého pevného vektoru −−→x0x1 má vlastní limitu; sedlo, když existuje jen konečný počet trajektorií x(t) takových, že lim t→∞ x(t) = x0 nebo lim t→−∞ x(t) = x0 bod rotace, jestliže v libovolném okolí bodu x0 existuje alespoň jeden cykl, obsahující ve svém vnitřku bod x0. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 10 / 11 Lineární autonomní systém Uvažujme lineární autonomní systém, tj. x′ = Ax, kde x = x y , A = a b c d . (3) Věta Nechť A je regulární matice systému (3) a nechť λ1, λ2 jsou vlastní čísla matice A. Stacionární bod [0, 0] je • nestabilní uzel, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 ≥ λ2 > 0; • stabilní uzel, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 ≤ λ2 < 0; • sedlo, jsou-li λ1, λ2 ∈ R a λ1 < 0 < λ2; • nestabilní ohnisko, jsou-li λ1,2 = α ± βi a α > 0; • stabilní ohnisko, jsou-li λ1,2 = α ± βi a α < 0; • střed, jsou-li λ1,2 = ±βi. Petr Liška (Masarykova univerzita) Autonomní systémy v rovině 13.02.2023 11 / 11