Lodní navigace se sextantem
Již od 15. století byli navigátoři vybaveni mechanickými pomůckami, které jim umožňovaly změřit úhlovou vzdálenost dvou objektů (např. hvězd, Slunce a horizontu nebo význačných bodů na vzdálené pevnině). Z takových pomůcek zde zmíníme např. Jakubovu hůl, astroláb nebo námořní sextant.1 Jako zajímavost poznamenejme, že i přes své stáří má konkrétně sextant stále své místo jako záloha při náhlém výpadku signálu GPS a dokonce se testuje i jeho potenciální nouzová využitelnost ve vesmíru.
Obrázek 1: Námořní sextant (foto autora)
Více informací o historii navigace mohou zájemci najít např. v článku [1].
1
Zadání (úloha 1)
Na mapě jsou vyznačeny polohy tří majáků blízko města Bonifacio na Korsice (obr. 2). Kapitán lodi na moři změřil dvě úhlové vzdálenosti2 9 dvojice majáků následovně:
• 0((D,®) =52°
• 0(®,(D) =35°
Sestrojte na mapě (viz pracovní list) bod označující polohu lodi v čase měření. Předpokládejme, že měření proběhla rychle za sebou, tzn. poloha lodi se prakticky nezměnila.
Obrázek 2: Zadání úlohy 1
Řešení (úloha 1)
Jestliže úhlová vzdálenost mezi majáky (2) a (3) činí 52°, nachází se loď někde na ekvigonále úsečky s koncovými body (2) a (3) příslušné řečenému úhlu. Podobně se také nachází na ekvigonále úsečky s koncovými body (D a (D příslušné úhlu 35°, tedy se loď musí nacházet v průsečíku dvou ekvigonál (obr. 3).
2Úhlovou vzdáleností 6 dvou objektů A a B (vzhledem k pozorovateli P) rozumíme velikost konvexního úhlu APB.
2
Obrázek 3: Vyřešená úloha 1
Zadání (úloha 2)
Na mapě úžiny mezi ostrovy Mallorca a Menorca jsou vyznačeny dva výrazné body (T) a (2) na pevnině a poloha lodi L. Kromě toho se také na moři nachází dvě oblasti nebezpečných vod, ve kterých se nachází podvodní překážky (obr. 4 a pracovní list).
Obrázek 4: Zadání úlohy 2
Najděte způsob, jak proplout lodí nebezpečnými vodami do přístavu Cala Agulla. Využijte toho, že kapitán lodi umí v libovolném okamžiku změřit úhlovou vzdálenost dvou řečených bodů.
3
Řešení (úloha 2)
Sestrojme větší oblouky kružnic k\ a k2, které prochází body (T) a (2) (tedy mají střed na ose úsečky CEXD) a které mají následující další vlastnost: oblouk kružnice k\ těsně uzavírá přístavu bližší nebezpečnou oblast a oblouk kružnice k2 se dotýká vzdálenější oblasti. Každý z těchto oblouků je přitom podmnožinou nějaké ekvigonály úsečky CDd). Změřme nyní obvodové úhly příslušné těmto obloukům - u našeho zadání je to přibližně 33° pro oblouk kružnice k\ a 20° pro oblouk kružnice k2 (obr. 5).
Obrázek 5: Vyřešená úloha 2
Jestliže je oblouková vzdálenost bodů (I) a (2) vzhledem k lodi menší než 33°, můžeme říci, že se loď nachází s jistotou mimo nebezpečnou oblast bližší přístavu. Naopak, jestliže bude řečená oblouková vzdálenost větší než 20°, loď se nachází mimo nebezpečnou oblast vzdálenější přístavu.
Formulujme nyní strategii proplutí: Kapitán lodi zamíří přímou cestou např. k bodu (2) a během plavby měří obloukovou vzdálenost bodů (T) a (2). Až bude tato vzdálenost větší než 20° (ale stále menší než 33°), stočí loď vlevo ve směru plavby a obepluje nebezpečné místo tak, že úhlovou vzdálenost obou bodů vzhledem k lodi udržuje mezi 20° a 33°. Tak je zajištěno, že loď zůstane v bezpečné oblasti mezi oběma oblouky.
Poznámka. Využitím obdobně zadaných úloh ve výuce matematiky na jedné základní škole v Athénách se daleko podrobněji zabývali Vroutsis, Psycharis a Triantafillou (2022).
Zdroje
[1] Vondrák J. (2013). Historie navigace - od kvadrantu k GNSS. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 58 (1). Str. 11-20.
4
[2] Gaskill M. (2018). Deep Space Navigation: Tool Tested as Emergency Navigation Device. NASA, https://www.nasa.gov/mission_pages/station/research/news/ Sextant.ISS
[3] Vroutsis, N., Psycharis, G., Triantafillou, C. (2022). Crossing the boundaries between school mathematics and marine navigation through authentic tasks. For the Learning of Mathematics, 42(3). Str. 2-9.
5