Dělení a klasifikace
zobrazení
Matematická kartografie
Osnova
1. Základní transformace mezi referenčními plochami a
zobrazovacími souřadnicovými systémy
2. Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
3. Základní vlastnosti nepravých zobrazení
4. Základní vlastnosti obecných zobrazení
5. Klasifikace zobrazení podle zkreslení
2
Projekce a zobrazení
• „projekce“ není „projection“
• projekce = geometrická cesta - funguje jako projektor
• musím znát vzdálenost, ohnisko, vlastnosti zobrazovací plochy
3
• zobrazení = matematická cesta
• máme prostor φ, λ a druhý prostor x, y (nebo ρ, ε)
• zkoumáme, jaké je matematické pravidlo pro převod z prostoru do
prostoru
• je to jednodušší než projekce
• mohu si nastavit předběžné podmínky
• projekce se někdy zahrnují pod jednoduchá zobrazení
Základní transformace mezi referenčními plochami a
zobrazovacími souřadnicovými systémy
• start: výchozí referenční
plocha – zpravidla elipsoid
• cíl: pravoúhlé souřadnice v
rovině
• zobrazení – definice
matematickou cestou nebo
geometrickou cestou
(projekce)
4
Je možnost rovnou převést zem. šířku a délku na X a Y. Např. UTM.
Je možnost složitější cesty přes kouli a kartografické souřadnice.
Např. Křovák.
Jaké souřadnice ve schématu chybí?
Izometrické. Kde by se ve schématu měly objevit q a Q?
• Podle:
– tvaru zobrazovacích rovnic (např. jednoduché)
– vlastnosti zkreslení obrazu (např. úhlojevné)
– polohy konstrukční osy (např. šikmé)
– plochy rozvinutelné do roviny (např. kuželové)
– tvaru zeměpisné sítě v rovině (např. eliptické)
– počtu na sebe navazujících částí, na které je
povrch zobrazován (např. polyedrické – UTM,
polykónické, kompozitní…)
– apod.
5
Klasifikace zobrazení
Klasifikace podle polohy konstrukční osy a
podle plochy rozvinutelné do roviny
• konstrukční osa zobrazovací plochy (válec, kužel – osa, rovina –
normála v tečném bodě) a její poloha vůči referenční ploše:
– pólová poloha (normální, polar)
– příčná poloha (rovníkové, transverzální, transversal)
– obecná poloha (šikmé, oblique)
6
• Děláme si geometrickou představu pomocí názvu (kužel nasazený na
kouli), ale ta může být matoucí.
• U jednoduchých zobrazení funguje, ale nepravé či obecné kuželové
zobrazení může být kuželové zobrazení jen z hlediska vzorce.
• plocha rozvinutelná do roviny:
– plášť válce - válcová (cylindrical)
– plášť kužele - kuželová (conic)
– rovina sama - azimutální (planar, azimuthal)
Klasifikace zobrazení podle tvaru
zobrazovacích rovnic
• jednoduchá
7
• Zobrazovací rovnice pro výpočet souřadnic v rovině jsou
funkcí souřadnic na referenční ploše.
• Rozlišuje se, která rovnice je funkcí kolika souřadnic.
),(
)(
VUfy
Ufx
=
=
)(
)(
Vfy
Ufx
=
=
),(
),(
VUfy
VUfx
=
=
• nepravá
• obecná
• Všechna jednoduchá zobrazení – úhel mezi
rovnoběžkou a poledníkem je vždy 90°.
• Obrazy poledníků a rovnoběžek tvoří vzájemně
ortogonální soustavu rovnoběžných přímek, ve kterých
leží směry hlavních paprsků zkreslení.
• Platí to pro zeměpisnou síť (pólová poloha) nebo
kartografické poledníky a rovnoběžky (příčná či obecná
poloha).
• Poledníky se zobrazují jako svazek přímek nebo osnova
rovnoběžných přímek.
• Rovnoběžky se zobrazují jako soustava soustředných
kružnic nebo osnova rovnoběžných přímek.
8
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Jednoduchá válcová zobrazení
9
)(
)(


fy
fx
=
=
)(
)(
Vfy
Ufx
=
=
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Jednoduchá kuželová zobrazení
10
)(
)(


f
f
=
=
)(
)(
Vf
Uf
=
=


X
V
Xv P´
Y
XP
YP
0
 
Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení
Jednoduchá azimutální zobrazení
11
0
X
P´
Y
Yp
Xp

)(
)(


f
f
=
=
)(
)(
Vf
Uf
=
=


Základní vlastnosti nepravých zobrazení
• nepravá zobrazení (pseudozobrazení – "pseudo" projections)
• jedna ze zobrazovacích rovnic je funkcí obou souřadnic na referenční ploše
• poledníky a rovnoběžky nejsou vzájemně ortogonální
• základní referenční plocha – zpravidla referenční koule
• převážně pro mapy malých měřítek
• zpravidla pouze pólová poloha
12
),(
)(
VUfy
Ufx
=
=
),(
)(
VUf
Uf
=
=


• základní zobrazovací rovnice:
• nepravá válcová (pseudoválcová) zobrazení
• nepravá kuželové, resp. azimutální
(pseudokónická, resp. pseudoazimutální)
zobrazení
Jak budou vypadat rovnoběžky a poledníky?
Základní vlastnosti nepravých zobrazení
13
Mercator-Sansonovo
Bonneovo
Aitovovo
Základní vlastnosti obecných zobrazení
• obě zobrazovací rovnice jsou
funkcí obou souřadnic na
referenční ploše
• zpravidla v pólové poloze
• některé konformní, většina z nich
je vyrovnávací – zkreslují vše
• tvary zobrazovacích rovnic:
– referenční elipsoid
– referenční koule
14
),(
),(


fy
fx
=
=
),(
),(
VUfy
VUfx
=
=
),(
),(


f
f
=
=
),(
),(
VUf
VUf
=
=


referenční elipsoid:
referenční koule:
V praxi se používají pouze některá – vhodná pro definování
zobrazení v referenčních souřadnicových systémech.
Základní vlastnosti obecných zobrazení
15
Peirceovo zobrazení
Guyouovo zobrazení (Guyou
projection)
Augustovo zobrazení
Pozor na pojmy
16
• Pozor na záměnu:
zobrazení v obecné poloze x obecné zobrazení.
• Pozor na názvy zobrazení:
• někdy se píše „Albers projection“,
• někdy „equal-area conic projection“.
Klasifikace zobrazení podle zkreslení
• rovinný obraz referenční plochy je vždy zkreslen
• obecně jsou deformovány jak vzájemné polohy bodů, tak
tvary (křivosti) čar
• zkreslení (distortion) roste se zvětšujícím se rozsahem
území, pokud je zobrazováno do roviny jako celek
• při odvozování jednotlivých zobrazení se uvažují
požadavky na průběh a celkový charakter zkreslení
rovinného obrazu
17
• zobrazení potom mohou být koncipována jako:
– ekvidistantní (stejnodélná, equidistant)
– ekvivalentní (stejnoplochá, equivalent)
– konformní (stejnoúhlá, conformal)
– kompenzační (vyrovnávací)