UNIVERZITA OBRANY Fakulta vojenských technologií Základy matematické kartografie (Skripta) Verze 2016 Autor: plukovník doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. BRNO 2007 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Oponenti: prof. Ing. Bohuslav VEVERKA, DrSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Ing. Petr BUCHAR, CSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Skripta byla schválena na zasedání katedry dne 12. října 2007 ISBN: 978-80-7231-297-9 2 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obsah 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy..........................................................................................8 1.1 Referenční plochy................................................................................................................................8 1.1.1 Referenční elipsoid.....................................................................................................................8 1.1.2 Referenční koule........................................................................................................................9 1.1.3 Referenční rovina.....................................................................................................................10 1.2 Souřadnicové soustavy......................................................................................................................10 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu......................................................................11 1.2.1. a Vypočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku...................................................................12 1.2.1 .b Izometrické souřadnice.......................................................................................................................14 1.2.2 Souřadnicové soustavy na kouli................................................................................................15 1.2.2. a Určení polohy kartografického pólu...................................................................................................18 1.2.3 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině.............................................................................20 2. Dělení a klasifikace zobrazení..............................................................................................................22 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy..................22 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení.......................................................................................23 2.3 Základní vlastnosti nepravých zobrazení............................................................................................25 2.4 Základní charakteristiky obecných zobrazení.....................................................................................26 2.5 Klasifikace zobrazení podle zkreslení.................................................................................................26 3. Zákony zkreslení..................................................................................................................................28 3.1 Délkové zkreslení..............................................................................................................................28 3.1.1 Délkové zkreslení na referenční kouli.......................................................................................30 3.1.2 Extrémní déIkové zkreslení.......................................................................................................31 3.1.3 Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli.........................................................................33 3.2 Uhlové zkreslení................................................................................................................................33 3.2.1 Uhlové zkreslení na referenční kouli.........................................................................................36 3.2.2 Extrémn í úhlové zkreslen í.........................................................................................................36 3.3 Plošné zkreslení................................................................................................................................38 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic...................................................................39 3.5 Vizualizace průběhu zkresleni............................................................................................................41 4. Teorie zobrazení..................................................................................................................................44 4.1 Ekvidistantní zobrazení.....................................................................................................................44 4.2 Ekvivalentní zobrazení......................................................................................................................45 4.3 Konformní zobrazení.........................................................................................................................46 4.4 Konformní zobrazení geodetické čáry................................................................................................47 4.4.1 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení...............................................48 4.4.2 Směrová korekce geodetické čáry.............................................................................................49 4.4.1 Délková korekce geodetické čáry..............................................................................................56 5. Zobrazení referenčního elipsoidu na kouli..........................................................................................58 5.1 Základní vztahy a vzorce...................................................................................................................58 5.2 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi.......................................................................59 5.3 Konformní zobrazení elipsoidu na kouli.............................................................................................60 6. Jednoduchá válcová zobrazení............................................................................................................63 6.1 Základní vztahy a vzorce...................................................................................................................63 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení.........................................................................................................64 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení..........................................................................................................66 6.4 Konformní válcové zobrazení............................................................................................................67 6.4.1 Konformní válcové zobrazení ve webových mapových službách.................................................69 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení....................................................................................................70 7. Jednoduchá kuželová zobrazení..........................................................................................................71 7.1 Základní vztahy a vzorce...................................................................................................................71 7.2 Ekvidistantní kuželově zobrazení.......................................................................................................73 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou........................................74 7.2.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami....................................77 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení.........................................................................................................80 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.........................................81 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.....................................82 7.4 Konformní kuželově zobrazení...........................................................................................................83 7.4.1 Konformní kuželově zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou...........................................84 3 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.4.2 Konformní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.......................................85 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení...................................................................................................86 8. Jednoduchá azimutální zobrazení.......................................................................................................87 8.1 Základní vztahy a vzorce...................................................................................................................87 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení....................................................................................................88 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení......................................................................................................91 8.4 Konformní azimutální zobrazení........................................................................................................93 8.5 Azimutální projekce...........................................................................................................................95 8.5.1 Gnomonická projekce...............................................................................................................96 8.5.2 Stereografická projekce............................................................................................................97 8.5.3 Ortografická projekce..............................................................................................................98 9. Nepravá zobrazení...............................................................................................................................98 9.1 Nepravá válcová zobrazení................................................................................................................99 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidální zobrazení.................................................................................100 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení.................................................................................100 9.1.1. b Eckertovo sinusoidální zobrazení......................................................................................................102 9.1.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení.......................................................................................104 9.1.2. a Mollweidovo zobrazení....................................................................................................................104 9.2 Nepravá kuželová zobrazení............................................................................................................105 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení....................................................................................107 9.3 Nepravá azimutální zobrazení.........................................................................................................108 9.3.1 Werner-Stabovo nepravé azimutální zobrazení.......................................................................109 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení...........................................................................................................110 9.3.3 A lodifikovaná azimutální zobrazení.................................... ....................................................111 9.3.3. a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení.............................................................................................111 9.3.3.b Hammerovo zobrazení......................................................................................................................112 9.3.3.c Wagnerovo zobrazení.......................................................................................................................113 9.4 Polykónická zobrazení.....................................................................................................................114 10. Gaussovo zobrazení...........................................................................................................................117 10.1 Základní charakteristiky zobrazení..............................................................................................118 10.2 Zobrazovací rovnice...................................................................................................................121 10.2.1 Zobrazovací rovnice UTM.................................................................................................124 10.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím....................................................................................124 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM..................................................................127 10.4 Meridiánová konvergence...........................................................................................................128 10.4.1 Meridiánová konvergence v UTM......................................................................................131 10.5 Zákony zkreslení.........................................................................................................................131 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM....................................................................................................134 10.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry................................................................................135 10.6.1 Směrová korekce v zobrazení UTM....................................................................................138 10.7 Délková korekce geodetické čáry................................................................................................138 10.8 Mezipásmové transformace.........................................................................................................139 11. Křovákovo zobrazení.........................................................................................................................140 11.1 Základní charakteristiky zobrazení..............................................................................................140 11.2 Zobrazovací rovnice...................................................................................................................140 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli.........................................................140 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice......141 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny..................................................................................143 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé..........................................................143 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím....................................................................................144 11.4 Meridiánová konvergence...........................................................................................................145 11.5 Zákony zkreslení.........................................................................................................................146 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO............................................................147 12.1 Zobrazení UTM..........................................................................................................................147 12.2 Zobrazení UPS...........................................................................................................................147 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS...................................................................................148 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím...........................................................................149 12.3 Lambertovo konformní kuželové zobrazení..................................................................................150 13. Transformace zobrazení....................................................................................................................153 13.1 Prostorové transformace.............................................................................................................154 13.1.1 Prostorové pravoúhlé souřadnice.......................................................................................154 4 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.2 Tříprvkováprostorová transformace..................................................................................156 13.1.3 Sedmiprvková prostorová transformace.............................................................................157 13.1.4 Moloděnského transformace..............................................................................................158 13.1.5 Zjednodušená Moloděnského transformace........................................................................158 13.2 Rovinné transformace.................................................................................................................158 13.2.1 Shodnostni transformace...................................................................................................159 13.2.2 Podobnostní transformace.................................................................................................159 13.2.3 Afinní transformace...........................................................................................................159 13.2.4 Interpolační metody...........................................................................................................160 14. Aplikace zobrazení v nástrojích GIS.................................................................................................162 14.1 Volba geodetického referenčního systému...................................................................................162 14.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy...............................................................163 14.3 Volba zobrazení..........................................................................................................................164 14.4 Vizualizace matematických prvků................................................................................................165 5 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Úvod Základním úkolem geoinformatiky je vytváření a správa modelů krajinné sféry, jejích objektů a jevů. Zabývá se vztahem skutečnosti a jejím modelem ve všech aspektech, které s touto činností souvisí a je zároveň chápána jako vědní obor i praktická činnost. Geoinformatika je široký obor, který vychází z řady vědních oborů a má na ně silné vazby. Z hlediska klasické kartografie se geoinformatiky zabývá: • naukou o mapách, která zahrnuje historii kartografie, tříděním a dokumentací map a atlasů, jejich povšechným studiem; • kartografickou vizualizací, která řeší otázky kartografického jazyka a generalizace obsahu; • kartografickou tvorbou - vlastním zpracováváním obsahu map; • kartografickou polygrafií a reprografií, tedy způsoby rozmnožování map; • kartometrií a kartografickým výzkumem - způsoby analýzy obsahu map a syntézy zjištěných výsledků. Digitální geoinformatika vychází z obecné informatiky a zabývá se zejména: • definováním objektů a jevů a jejich vztahů v geografické realitě; • aplikacemi databázových přístupů k tvorbě digitálních geodatabází; • datovou analýzou; • prezentací dat a způsoby j ej ich zobrazování; Klasická i digitální geoinformatika se zabývá i řízením celého procesu modelováním včetně zjišťování a objektivizací uživatelských potřeb na vytvářené modely. Všechny modelované objekty a jevy je nutné mít lokalizovány na povrchu Země či v jejím blízkém okolí. Základní lokalizace je především otázkou topografického nebo tematického mapování zpravidla ve výchozím referenčním rámci, který je dán zvolených geodetickým referenčním systémem. Při jejich vizualizaci (zpravidla grafické trvalé nebo virtuální) je však nutné zvolit jeho rovinné zobrazení. Metodami zobrazování geodetických systémů do roviny se zabývá matematická kartografie. Matematická kartografie je tedy částí kartografie a obecně geoinformatiky zabývající se matematickými a geometrickými základy kartografických děl v obecném slova smyslu. Matematická kartografie studuje proces transformace prostorových souřadnic objektů a jevů na referenčních plochách do roviny. Zkoumá jeho zákonitosti, zkreslení, která při transformacích vznikají, jejich prostorové závislosti a poskytuje i metodiku výběru vhodných transformací pro modelovaná území. Matematická kartografie se zabývá i speciálními úkoly, jako je rovinné zobrazování bodů, čar a ploch, které se uplatňují například při zobrazování stran trigonometrických sítí, drah letadel, raket a kosmických těles, drah šíření elektromagnetických signálů radiotechnických prostředků apod. Výsledkem matematické kartografie jsou kartografická zobrazení (krátce zobrazení) jako matematický aparát pro výše uvedené transformace. Součástí kartografických zobrazení jsou i charakteristiky zkreslení, které při transformaci prostorových souřadnic do roviny vznikají. Tyto studijní texty jsou určeny ke studiu základů matematické kartografie studované v rámci předmětu kartografie v bakalářském studijním programu vojenské technologie v oboru vojenská geografie a meteorologie. Mohou být však využity i pro jiné obory, které se zabývají teorií a praxí kartografických zobrazení. 6 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Texty jsou členěny do 14 kapitol včetně úvodní kapitoly. Ve první kapitole jsou souhrnně definovány používané referenční plochy a jsou zde definovány základní souřadnicové soustavy na těchto referenčních plochách a v zobrazovacích rovinách. Druhá kapitola je věnována základních vlastnostem jednotlivých zobrazení a klasifikaci těchto zobrazení. Tato kapitola je zde zařazena i z terminologických důvodů, protože v cizojazyčné literatuře se lze setkat i s jinými názvy uváděných zobrazení a projekcí. Stěžejní kapitolou pro pochopení celé matematické kartografie je třetí kapitola, věnovaná zákonům zkreslení. Jsou zde vysvětleny příčiny zkreslení daných transformacemi prostorových těles (elipsoidu, koule) do roviny. Na tuto kapitolu navazuje kapitola vysvětlující princip odvozování zobrazovacích rovnic jednotlivých druhů a typů zobrazení. V páté až deváté kapitole jsou uvedeny jednotlivé druhy zobrazení, které jsou používány především v praxi při tvorbě map menších měřítek, zpravidla nástěnných a atlasových, kdy se jako výchozí referenční plocha většinou používá koule. Desátá a jedenáctá kapitola jsou věnovány zobrazením používaným při tvorbě státního mapového díla v České republice, závazných geoinformačích systémů (GIS) a v geodetické praxi. Jsou uváděny jak celosvětový systém WGS84 a jeho zobrazení UTM, tak i systém S-JTSK a Křovákovo zobrazení. Tyto kapitoly navazují na předmět geodézie. Dvanáctá kapitola je věnována používaným zobrazením v Armádě České republiky a v NATO. Předposlední kapitola je zaměřena na transformaci zobrazení mezi sebou. Poslední kapitola se zabývá některými aplikace matematické kartografie v programových prostředcích geografických informačních systémech se zaměřením na systém ArcGIS® firmy ESRI. Ve studijních textech nejsou vzhledem k jejich zaměření uvedeny podrobnější informace týkající se zejména zobrazování křivek a čar v konformních zobrazeních s aplikací na Gaussovo zobarzení a zobrazení UTM. Stejně tak řada použitých vzorců není plně odvozena. K jejich bližšímu studiu je možné využít některé materiály uvedené v seznamu literatury. V textu jsou některé vybrané termíny uváděny i v anglické verzi (kurzívou v závorce za českým termínem). Důvodem bylo jak obecná znalost anglické terminologie z oblasti matematické kartografie, tak i jejich používání v programových nástrojích GIS. plk. doc. Ing. Václav Talhofer, CSc. 7 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy Fyzický povrch zemského tělesa je velice složitý a členitý a v modelech krajinné sféry je těžko zobrazitelný. Proto je pro vytváření těchto modelů nahrazován topografickou plochou, která je spojitou plochou vyhlazující mikrostrukturu a ty terénní tvary, které jsou z hlediska rozlišovací úrovně modelu bezvýznamné. Topografická plocha je však stále poměrně složitá pro přímé zobrazování do map nebo pro definování digitálních modelů. Pro účely mapování a tvorby modelů terénu se tato plocha nahrazuje referenčními plochami, které jsou jednodušší a jsou matematicky nebo fyzikálně přesně definované. Tyto referenční plochy jsou potom součástí definovaného geodetického referenčního systému (Datum, Geographic Coordinate System). 1.1 Referenční plochy Referenční plochou pro výšková měření je geoid. Geoid je definován jako plocha, na které všechny body mají stejný geopotenciál a která nejlépe odpovídá nerušené střední hladině světových moří, protažené i pod kontinenty. Tato plocha je ve všech bodech kolmá na směr tíže. Protože geoid je definován jako fyzikální těleso, jeho matematické vyjádření je značně složité. Pro potřeby praktické geodézie, mapování, kartografie i celé geoinformatiky je proto nahrazován referenčním elipsoidem (spheroid), referenční koulí (sphere) nebo i referenční rovinou. Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem jsou znázorněny na následujícím obrázku (Obr. 1-1). geoid, resp. Iwazigeofcŕ---^^^ H/\ > ťžrioe\\ \\ fyzický povrch Země Obr. 1-1 Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem 1.1.1 Referenční elipsoid Výchozí referenční plochou v matematické kartografii je rotační elipsoid. Parametry rotačního elipsoidu jsou voleny tak, aby v maximální míře nahrazoval geoid v zájmové části Země nebo aby nahrazoval celý geoid. Elipsoid je plně definován dvěma parametry, kterými mohou být: • a, b - velikost hlavní a vedlejší poloosy (semimajor axis, semiminor axis), • a, e - velikost hlavní poloosy a numerická výstřednost (excentricita, eccentricity), • a, e' - velikost hlavní poloosy a druhá excentricita, • a, f- velikost hlavní poloosy a zploštění (flattening). Mezi jednotlivými parametry platí vztahy ( 1-1 ): 8 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie e f a a-b (i-i) a Referenční elipsoidy jsou jako výchozí referenční plocha používány zejména tehdy, pokud je nutné definovat zobrazení s minimálními hodnotami zkreslení rovinného obrazu. Tento způsob se volí u kartografických zobrazení používaných při definici státních souřadnicových systémů nebo mezinárodních systémů. Současně se používá i při tvorbě státních mapových děl. Do současné doby byla odvozena řada referenčních elipsoidů. Na území České republiky se používá pro civilní státní mapová díla Besselův elipsoid, pro bývalé vojenské topografické mapy v souřadnicovém systému S-1942/83 (používané do roku 2005) elipsoid Krasovského a pro současné vojenské mapové dílo a pro celosvětový systém WGS84 elipsoid WGS84.. Parametry uvedených elipsoidů jsou uvedeny v následující tabulce (Tabulka 1-1): Tabulka 1-1 Parametry referenčních elipsoidů používaných na území České republiky Elipsoid Besselův Krasovského WGS84 (GRS80) Velká poloosa a [m] 6 377 397,1550 6 378 245 6 378 137 Malá poloosa b [m] 6 356 078,9629 6 356 863,0188 6 356 752,3142 Druhá mocnina excentricity -e2 0,006 674 372 2 0,006 693 421 6 0,006 694 380 Druhá mocnina druhé excentricity - e'2 0,006 719 218 8 0,006 738 525 4 0,006 739 496 7 Reciproká hodnota zploštění V f 299,152 812 853 298,300 003 2 298,257 223 6 Poznámka: Elipsoid GRS80 je součástí geodetického referenčního systému ETRS-89, který se též používá v rezortu Českého úřadu zeměměřického a katastrálního. Jeho parametry jsou v rámci v tabulce uváděné přesnosti prakticky shodné s elipsoidem WGS84. 1.1.2 Referenční koule Není-li vyžadována vysoká přesnost prostorové lokalizace modelovaných objektů a jevů, je často používána jako referenční plocha koule. Uplatňuje se zejména při tvorbě map malých měřítek, při vizualizaci digitálních dat s menšími nároky na minimalizaci zkreslení a při řešení jednodušších navigačních úloh. Zvláštním případem je použití referenční koule při tzv. dvojitém zobrazení, kdy je referenční elipsoid nejprve zobrazen na kouli, která se poté zobrazuje do roviny. Tento postup je používán zejména při obecné poloze konstrukční osy zobrazení. Poloměr referenční koule je možné volit na základě různých hledisek. Je-li zobrazované území rozloženo podél rovnoběžky o zeměpisné šířce (po, je vhodné zvolit poloměr koule rovný příčnému poloměru křivosti elipsoidu (1-2 ): R=Nn ( l-2 > 9 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Při tomto řešení zůstává zachována původní délka rovnoběžky <^ona elipsoidu (Obr. 1-2). Pro území kruhového tvaru se volí poloměr koule rovný střednímu poloměru křivosti rovnoběžky (po procházející jeho těžištěm ( 1-3 ): R=4AWo (1"3) Obě tělesa se poté v okolí těžiště velmi těsně ve všech směrech přimykají (Obr. 1-3). F R> R) y^^" / \lR=N> \\ \\ /\ \ x \ x \ \ /[ \ ' 1 \ ' \ \ i \ \ i \ i \ \ \ \ \ \ \. \ \ ----1 \\ ra/rík \\ - \ l \ 1 i / 1 / i / i / i / / ^y i 1—* t / \RMVbM) / , často jsou tyto hodnoty označovány i jako jižní zeměpisná šířka (pro hodnoty <-90°, 0°>) a severní zeměpisná šířka (pro hodnoty <0°, 90°>). Zeměpisná délka používaná v běžném životě nabývá hodnot <0°, 360°> s počátkem na základním poledníku s přírůstkem ve směru východním. Cáry s konstantní hodnotou A, resp. tp jsou nazývány zeměpisné poledníky (meridian), resp. zeměpisné rovnoběžky (parallel). Zeměpisné poledníky a rovnoběžky vytvářejí na povrchu referenčním elipsoidu zeměpisnou síť (graticule), která je při klasické tvorbě map důležitým konstrukčním prvkem při zobrazování povrchu elipsoidu do roviny. Zeměpisná síť umožňuje základní orientaci v obsahu map. Zvláštní význam mají rovník (equator), tedy rovnoběžka s maximálním průměrem, a základní (Greenwichský, nultý) poledník procházející observatoří v Greenwich v Londýně. V některých státech je v praktické geodézii používán jako základní poledník i poledník Ferra (např. v ČR, SR, Německu a Rakousku). Zeměpisná délka tohoto poledníku je 17°40' západně Greenwiche. Při konstrukci map má specifický význam i základní konstrukční poledník, kterým zpravidla bývá poledník procházející těžištěm zobrazovaného nebo modelovaného území. Obr. 1-4 Zeměpisné souřadnice na elipsoidu Elementy poledníku dsp a rovnoběžky dsr se podle Obr. 1-5 a Obr. 1-6 vypočítají podle vztahů (l-4)a(l-5 ): dSp =Mdp d$ =NcoqilA (1-4) (1-5 ) M a N jsou meridiánový a příčný poloměr křivosti počítané pro zeměpisnou šířku tp podle vztahů ( 1-6 ) a ( 1-7 ): M-- cil-e2) N= (l-^siríV)372 a (1-6) (1-7) (1-e2 sirř (p) 1/2 11 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1.2.1.a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku V některých aplikacích matematické kartografie je nutné znát délku poledníkového oblouku (například v Gaussovo zobrazení), případně i délku oblouku rovnoběžky. Podle obrázku (Obr. 1-5) a s uvážením rovnice ( 1-4 ) lze délku poledníkového oblouku sp do bodu P o zeměpisné šířce tp vypočítat z rovnice: o kterou lze upravit: sp ^l-é^Ja-^siif (pT^ckp (i-8) Výraz na pravé straně rovnice ( 1-8 ) je možné rozvinout v řadu podle binomické věty: (l-^siif pyl2 =l+^siif )cosp sirf cp-é1 co š , někdy i v rozsahu <-180°; 180°>, tedy obdobně jako u zeměpisných délek. Poloha počátku V může být pevná nebo se může měnit v závislost na hodnotě zeměpisné šířky. 20 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pokud se v některých zobrazeních ztotožňují počátky obou soustav (Obr. 1-16), potom je výhodnější měřit polární úhel s od kladného směru osy X. Pro transformaci mezi soustavami poté platí vtahy ( 1-29 ) x=pcos y=psins ( 1-29) , x , x X, Yp i l X° y i > Yp P- l 0 Obr. 1-15 Polární souřadnicová soustava s různým Obr. 1-16 Polární souřadnicová soustava s totožným počátkem než pravoúhlá soustava počátkem jako pravoúhlá soustava Počátek rovinných souřadnicových soustav se zpravidla volí uprostřed zobrazovaného území. Z hlediska konstrukce map, jejich používání nebo používání prostorových geoinformací je však výhodné, aby celé území leželo pouze v 1. kvadrantu. Proto se často k vypočteným souřadnicím přičítají vhodné konstanty Ax (falše northing) a Ay (falše easting) (Obr. 1-17). W f ) i w Y ofY ■ -^ AX Wó ■ y o/ 00 (Of AY Obr. 1-17 Posun počátku pravoúhlé souřadnicové soustavy mimo zobrazované území Poznámka: Orientace os X, Y nemusí být vždy stejná jako na předchozích obrázcích. Některé systémy, používané zejména pro státní mapy, mohou mít orientaci otočenou například o 180° (v ČR). 21 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2. Dělení a klasifikace zobrazení Kartografické zobrazení (map projection, projection) je dáno matematickým vyjádřením závislostí mezi zeměpisnými souřadnicemi na referenční ploše a souřadnicemi v zobrazovací rovině. Při definici uvedené závislosti je možné využít několika způsobů. 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy Obr. 2-1 ukazuje možné způsoby transformace zeměpisných souřadnic na referenčních plochách do rovinných souřadnic. Výchozími souřadnicemi jsou zpravidla zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu q>, A, v některých případech, zejména u maloměřítkových map, i zeměpisné souřadnice na referenční kouli U, V. Konečné souřadnice jsou vždy rovinné pravoúhlé souřadnice x, y. REFERENČNÍ ZOBRAZOVACÍ PLOCHA ROVINA Obr. 2-1 Způsoby transformace souřadnic mezi referenčními plochami a zobrazovací rovinou V praxi se lze setkat se všemi kombinacemi transformace. Například zobrazení vojenských topografických map je přímou transformací mezi zeměpisnými souřadnicemi q>, A na rovinnými pravoúhlými souřadnicemi x, y (resp. N, E). Zobrazení základních map České republiky je naopak postupnou transformací od zeměpisných souřadnic na referenčním elipsoidu, přes zeměpisné souřadnice na referenční kouli, kartografické souřadnice, polární souřadnice k výsledným rovinným pravoúhlým souřadnicím. Výchozí referenční plochou při kartografickém zobrazování je referenční elipsoid nebo referenční koule. Referenční elipsoid je zpravidla používán tehdy, pokud je požadavek na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu. Využívá se zejména při zobrazení státních mapových děl, vizualizaci objektů a jevů databází státních informačních systémů apod. Referenční koule se využívá jako výchozí plocha zejména při tvorbě map menších měřítek (v atlasech, nástěnných map apod.) či při vizualizaci digitálních dat s menší rozlišovací úrovní. Referenční koule se používá též při řešení jednodušších navigačních úloh. Je ji však možné využívat při zobrazení státních mapových děl s vysokými požadavky na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu, potom ovšem ve variantě dvojitého zobrazení (například u Křovákova zobrazení, které je popsáno v kapitole 11). Kartografické zobrazení může být definováno geometrickou nebo matematickou cestou. 22 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zobrazení definovaná geometrickou cestou se odvozují z matematického popisu perspektivní projekce referenčních těles (v podstatě však výhradně koule) na plochy rozvinutelné do roviny. Tato zobrazení jsou označována jako projekce a jsou v současné době používány poměrně zřídka. V podstatě všechna dnes používaná zobrazení jsou definována matematickou cestou. Poznámka: V anglické terminologii jsou však pod pojmem projekce (projection) uvažovány jak projekce ve významu uvedeném v předchozím textu, tak i všechna ostatní zobrazení. Zobrazení se třídí podle různých hledisek, z nichž nej významnější jsou vlastnosti zkreslení obrazu a tvar zeměpisné sítě v rovině. Dalšími hledisky je i tvar zobrazovacích rovnic, poloha konstrukční osy, počet na sebe navazujících částí, na které je povrch zobrazován apod. 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení Významnou třídou jsou zobrazení jednoduchá. Jejich charakter je možné přibližně vyjádřit pomocí geometrické představy promítání referenční plochy na plochy rozvinutelné do roviny, což se používá při rámcovém popisu zobrazení. Poznámka: Projekce i jednoduchá zobrazení mají totožné obecné tvary zobrazovacích rovnic, proto jsou projekce často zahrnovány do třídy jednoduchých zobrazení. Pod pojmem plochy rozvinutelné do roviny se rozumí plášť válce, kužele nebo rovina sama. Jednoduchá zobrazení se podle druhu zobrazovací roviny dělí na válcová (cylindrical), kuželová (conic) a azimutální (planar, azimuthal). Charakter zobrazení je výrazně ovlivněn vzájemnou polohou referenční plochou a konstrukční osou zobrazovací plochy. Konstrukční osa je u válcových zobrazení osou válce, u kuželových zobrazení osou kužele a u azimutálních zobrazení normálou k tečné rovině v tečném bodě (nebo ve středu zobrazovaného území). Je-li konstrukční osa totožná s osou rotace Země, je zobrazení označováno jako pólové (normální, polar), leží-li konstrukční osa v rovině rovníku, potom je zobrazení nazýváno příčné (rovníkové, transverzální, transversal), při obecné poloze konstrukční osy se zobrazení nazývá obecné (šikmé, oblique). Obrazem zeměpisné sítě jednoduchých válcových zobrazení v pólové poloze soustava vzájemně ortogonálních přímek (Obr. 2-2). Souřadnice bodů na referenční ploše se přímo transformují na rovinné pravoúhlé souřadnice. Obecné rovnice pro toto zobrazení lze vyjádřit pro referenční elipsoid vztahy (2-1 ), pro referenční kouli potom vztahy ( 2-2 ): X=f(--^- d(p+^ dA d(p dA (3-3) (3-4) Hodnotu dS lze potom vyjádřit: \atp dA ) \ap ca J (3-5) a po uprave dx I í dy dqř + ^dxck + dydy^ \ckpdA dqjĎA_ 7d(pdA+ \dA) \dAj dA (3-6) Součty kvadrátů a součinů parciálních derivací se mohou označit Gaussovými koeficienty: E= — \ +[ ^ 7 dqdA dqjdA (3-7) (3-8) (3-9) a rovnice ( 3-6 ) získá tvar: d$ =Edp2 +2FdpH+Gde (3"10) Po dosazení výrazů ( 3-2 ) a ( 3-10 ) do rovnice ( 3-1 ) bude délkové zkreslení dáno vztahem: rii_Edp2+7FdfiR+G(É Ardqř+rřcošgdA2 (3-11) Na referenčním elipsoidu podle obrázku (Obr. 3-1) platí: 29 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie a lze tedy vyjádřit: coS$0-A) = Afc»^ AS ^ M (3-12) dA-^-T-as Ncoqp S uvážením vztahů goniometrických funkcí: 2sinAcos4=sinZ4 cošA+sirf A=l (3-13) dosazením vztahů ( 3-12 ) do výrazu ( 3-11 ) se po úpravě získá výsledný vztah pro výpočet délkového zkreslení: ~F W C rrř=^-f7colA+^-n-z—siň2A+A7? 2 sir? A o-i4) Rovnice ( 3-14 ) je obecnou rovnicí pro výpočet délkového zkreslení jakéhokoliv zobrazení. Z rovnice plyne, že délkové zkreslení je závislé na poloze bodu, pro které se zkreslení počítá, a dále na azimutu délkového elementu. Bude-li tento azimut A roven 0° nebo 180°(poledník), potom délkové zkreslení ve směru poledníku bude rovno: VE "?>=M Pro azimut A rovný 90°, resp. 270°(rovnoběžka) bude délkové zkreslení: VG 11% =^7- yvcosp S využitím výrazů ( 3-15 ) a ( 3-16 ) lze rovnici ( 3-14 ) psát i ve tvaru: ni =^co§ A+^k siií2A+wf sirf A 0-17) (3-15) (3-16) 3.1.1 Délkové zkreslení na referenční kouli Délkové zkreslení na referenční kouli je obdobné jako na referenčním elipsoidu. Při výchozích zobrazovacích rovnicích ( 2-10 ) nabudou rovnice ( 3-7 ), ( 3-8 ) a ( 3-9 ) tvaru: E= + WJ \dUj dxdx. dfiy 'Wěv Wdv (3-18) (3-19) 30 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (3-20) Potom je možno vyjádřit rovnice zkreslení v polednících, rovnoběžkách a v obecném azimutu: *h=^ (3"21) m - (3.22) 17 ni=n^,coi A+-^—j-sirQA+nf sirf A (3"23) /v CO SL/ 3.7.2 Extrémní délkové zkreslení Při konstantní poloze bodu P bude mít rovnice ( 3-17 ) pouze jednu proměnnou - azimut délkového elementu A. Derivací této funkce a jejím položením rovné nule se zjistí extrémy délkového zkreslení, které budou v azimutech označených symboly Aa a Ať. ^ =2m^=^2sin4 cosi +M|^2cosli +/^2sin4 cosi =0 Odtud se s využitím vztahů ( 3-13 ) získá vztah: ( 3-24) tg2Atl (^-J|tfAcosp Tangenta úhlu je v intervalu 360° dvojznačná (v I. a III. kvadrantu kladná a ve II. a IV. kvadrantu záporná). Proto rovnice ( 3-24 ) určuje dva azimuty: • 2Aa, • 2Ab = 180° - 2Aa tedy: • Aa, • Ab = 90° -Aa Azimuty Aa, A b jsou měřeny na referenčním elipsoidu. Po jejich zobrazení do zobrazovací roviny budou označeny A 'a, A 'b, přitom obecně platí: Aa ť2- A a , A b A b Dosadí-li se hodnoty Aa, A b do rovnice ( 3-14 ), získají se dvě rovnice pro extrémní délková zkreslení ma a rtib, která jsou ve vzájemně kolmých směrech: ni =n% cošA +M^Q^siri24 +nf sirf A <3"25 > ni =m\ coH+M^0 siií24 +nf sirf A S uvážením, že Ab = 90° - Aa může mít druhá rovnice i tvar: 31 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie F rri =rr% siif \ +MAČQ^sin24 M co H (3-26) Směry a, ve kterých jsou extrémní délková zkreslení, se nazývají hlavní paprsky zkreslení. Hlavní paprsky zkreslení jako jediné ortogonální směry na referenční ploše zůstávají vzájemně kolmé i po zobrazení do roviny. Na obrázku (Obr. 3-3) je kružnice na referenčním elipsoidu o poloměru ds. Po jejím zobrazení do rovina se kružnice změní na elipsu, jejíž poloosy leží ve směrech hlavních paprsků zkreslení (Obr. 3-4). Velikosti jejich poloos budou a = ma ds a b = nib ds. Tato elipsa se nazývá elipsa zkreslení, též Tissotova elipsa, Tissotova indikatrix. Tvar elipsy a orientace jejích os umožňuje posuzovat hodnoty zkreslení a orientaci jeho extrémů v různých částech zobrazovaného území. a i i T T a i i ! i i i i Obr. 3-3 Diferenciální kružnice na referenčním Obr. 3-4 Obraz diferenciální kružnice v zobrazovací elipsoidu rovině Uvažuje-li se elipsa zkreslení, lze obecný vzorec pro výpočet délkového zkreslení definovat i pomocí hodnot extrémů zkreslení a souřadnic definovaných v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení (Obr. 3-4): dS -n%da +n%dB kde podle (Obr. 3-3) je: dc^dszoyu db=dss,inju Po dosazení do ( 3-1) se získá jednodušší vzorec pro výpočet délkového zkreslení: nr =n% co l jU+ni sirf jli a-ii) kde //je směrník uvažovaný od hlavního paprsku zkreslení a počítaný podle vztahu: 32 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 3.1.3 Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli Pokud se jako referenční těleso uvažuje referenční koule o poloměru R, potom rovnice ( 3-24 ), ( 3-25 ) a ( 3-26 ) budou mít tvar: coll (3-28) (3-29) (3-30) ml =mj1coiAtl +i^což/si"24 +rf sirf 4 n$ =mj sirf 4 +^2C0Ž/siIl24 +Jftco § 4 3.2 Úhlové zkreslení Uhlové zkreslení Aa> je definováno vztahem ( 3-31 ): Mf=čÓ-CD (3-31) kde co je úhel na referenční ploše mezi dvěma směry PQ\ a PQ2, co 'je odpovídající úhel po zobrazení do zobrazovací roviny. Uhel co lze však vyjádřit i jako rozdíl dvou azimutu jak na referenční ploše {co =Ai - Ai), tak i v zobrazovací rovině ('=A 2 - A 1), jak je ukázáno na obrázcích (Obr. 3-5 a Obr. 3-6). \ Obr. 3-5 Úhel jako rozdíl dvou azimutu na referenční Obr. 3-6 Úhel jako rozdíl dvou azimutu v zobrazovací ploše rovině Zkreslení úhlu je potom možné vyjádřit jako: A^=(A'2-4)-(4 -A)=(A'2-4)-(AV4) =^4 -M kde AA je zkreslení azimutu vyjádřené obecným vzorcem: M=Ä-A (3-32) Zkreslení azimutu je možné odvodit z obrázku (Obr. 3-7) zobrazující rovinný obraz zeměpisného poledník A a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A ' a na němž diferenciálně blízku od výchozího bodu P Těží bod Q. Podle obrázku platí: 33 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 3-7 Azimut obecného směru v zobrazovací rovině Lze psát: Podle vzorce pro tangentu rozdílu dvou úhlů lze předchozí vzorec upravit: tgďp-tgď _ tgď-tgďp 1+tgďJgď 1+tgďJgď (3-33) Pro určení azimutu A 'je tedy nutné stanovit tangenty směrníků směru s a poledníku A. Podle obrázku (Obr. 3-7) lze směrník ď vyjádřit jako kde dx a dy je možné vyjádřit vztahy ( 3-3 ) a ( 3-4 ). Potom bude: tíXŕ-d

) \dq>. 7 P_ dxdx + d$y dc/0A dc/dA a zavede-li se čtvrtý Gaussův koeficient H II čkdy_čk dy ckpdA dAdcp potom lze výraz ( 3-37 ) psát ve tvaru: (3-38) tgA=- H (3-39) Pomocí rovnice ( 3-39 ) je tedy možné vypočítat k azimutu A obecného směru s na referenční ploše azimut A' obrazu tohoto směru v zobrazovací rovině a tím lze vypočítat i zkreslení azimutu AA. Ze znalosti zkreslení azimutu lze vypočítat i zkreslení obecného úhlu Aa>. Zkreslení azimutu je možné vypočítat i z extrémních hodnot délkového zkreslení. Protože podle obrázků Obr. 3-3 a Obr. 3-4 platí: tgJU= db da tgj r_ rrydb rtyda potom lze psát: t2LÍ=—tm (3-40) Pokud je /j = A - Aa, lze tedy z něho vypočítat /u' = A' - A 'a a tím i zkreslení směrníku /j i azimutu A podle vztahů (3-41 ) a ( 3-42 ): (3-41) 35 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie M=Ä-A=fyl+Ä-Aa (3-42) 3.2.1 Úhlové zkreslení na referenční kouli Rovnice ( 3-38 ) a ( 3-39 ) budou mít na referenční kouli tvar: tt_ dx dý _dx dý (3-43) ~ww ww TT tgj^z___ (3-44) 0 EcoUcogA-F Ostatní odvozené vztahy jsou beze změny. 3.2.2 Extrémní úhlové zkreslení Z hlediska tvarů rovnic ( 3-39 ) a ( 3-40 ) v elipse zkreslení existují symetrické směry, ve kterých úhlové zkreslení dosahuje extrémů. Označí-li se tyto symetrické směry symbolem s, potom jejich směrníky v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení budou jUe & /J'e a jim odpovídající azimuty Ae a A 'e. Velikost extrémního zkreslení směrníku bude AjUe =jU,e-jUe a velikost extrémního zkreslení azimutu AA =A 's- As.. Podle pravidla pro hledání extrémů funkce platí: d(jLÍ-jLt)-0 z toho dfJĹ-djJL Diferencováním rovnice ( 3-40 ) se získá: 1 _}% 1 coš/4 rri coš/4 Protože obecně platí, že =l+tg1X coéx lze rovnici ( 3-45 ) upravit na tvar: (3-45) "fa a po dosazení za tg2fj'z rovnice ( 3-40 ) pro hodnotu /j'e se obdrží: 1+1^/4=1(1^/4) a odtud Ľk-i -1 36 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Lze tedy vypočítat: tgUs= p± (3-47) Pokud by se do výrazu ( 3-46 ) dosadila hodnota z výrazu ( 3-40 ) tg/u, potom se získá obdobný výraz jako ( 3-47 ): tgLl = (K (3-48) V "l Vzorce ( 3-47 ) a ( 3-48 ) určují jak na referenčním elipsoidu, tak i v zobrazovací rovině čtyři symetrické směry s dané dvojznačností tangenty v intervalu 0°- 360° a kladnou a zápornou hodnotou výrazu mjwib, resp. m,b/ma po odmocnění. V těchto směrech dosahuje úhlové zkreslení svých extrémů. Ze známých hodnot jUe & /J'e se vypočítá na základě vzorce ( 3-41 ) velikost extrémního zkreslení směrníku ZV4 =JUS'-JUS Uvedený vzorec je možné dále upravovat a po dosazení za tgjue a tg/j'e ze vzorců ( 3-47 ) a ( 3-48 ) se získá tvar: tg^=-?^řJIk (3-49) který je ještě možné upravit podle obecného vztahu 4\+t£x na tvar SilW/ =/?*~/?k (3-50) Ze znalosti hodnoty Ajue je možné vypočítat hodnotu extrémního zkreslení azimutu podle vztahu ( 3-42 ): Pomocí vyjádření extrémního zkreslení směrníku uvažovaného v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení je možné odvodit vzorec pro výpočet extrémního zkreslení obecného úhlu. K jeho odvození se využije elipsa zkreslení (Obr. 3-8), na níž jsou vyznačeny jak směry s vymezené v zobrazovací rovině směrníky //'s, tak i odpovídající směry na referenčním elipsoidu (zde označené vymezené s), které mají směrníky jue.. Všechny čtyři dvojice svírají stejný úhel AjUe. Z obrázku je patrné, že právě úhly sevřené jednotlivými směry s budou nejvíce zkreslené a platí pro ně vztah: a>e'=a>e±2fyie 37 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie a lze tedy vypočítat extrémní úhlové zkreslení /Vy. = oi. '-ca, = dSzy^ (3-52) a 83, 62 Obr. 3-8 Směry extrémů úhlového zkreslení Při vyhodnocování extrémního úhlového zkreslení jeho znaménko nemá praktický význam a proto se většinou uvádí v absolutní hodnotě. Dosadí-li se výraz ( 3-52 ) do výrazu ( 3-50 ), získá se po úpravě nejvíce používaný vztah pro výpočet extrémního zkreslení: Poznámka: Při rozborech kartografických zobrazení se úhlové zkreslení vyhodnocuje pouze výjimečně a často se uvažují pouze jeho extrémní hodnoty. Proto se zpravidla vynechává znak extrému s a symbolem Aa> se rozumí přímo extrémní úhlové zkreslení. 3.3 Plošné zkreslení Plošné zkreslení je definováno výrazem: kde dp je diferenciální plocha na referenční ploše, dP je odpovídající diferenciální plocha v zobrazovací rovině. Diferenciální plochu lze na referenční ploše vymezit diferenciálně blízkými poledníky a rovnoběžkami jako čtyřúhelník (Obr. 3-9). Tato plocha bude mít velikost: Po zobrazení uvedené diferenciální plochy do roviny bude mít obecně tvar rovnoběžníka, ve kterém bude úhel rovnoběžky a poledníku A 'r. Z obrázku (Obr. 3-10) plyne Dosadí-li se výše uvedené hodnoty do výrazu ( 3-54 ), obdrží se vzorec pro výpočet plošného zkreslení: (3-53) dp=MNzo$pd[iR dP=mpmrMřéo $pd(pdÁs\viA,,' 38 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (3-55) Obr. 3-9 Diferenciální plocha na referenčním elipsoidu Obr. 3-10 Obraz diferenciální plochy v zobrazovací rovině Plošné zkreslení lze vypočítat i z poměru plochy diferenciální kružnice na referenční ploše a jejího obrazu v zobrazovací rovině - elipsy zkreslení. Plocha kruhu na obrázku (Obr. 3-3) je dp=7zli Plocha elipsy na obrázku (Obr. 3-4) potom je dP=7imadsngd!i Po dosazení uvedených výrazů do vzorce ( 3-54 ) lze vypočítat plošné zkreslení i ze známých hodnot extrémů délkového zkreslení (3-56) 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic Ke zobrazení referenční plochy do roviny a k vyjádření zákonů zkreslení se v případě kuželových a azimutálních zobrazení využívají polární rovinné souřadnice p, s, do nichž jsou transformovány výchozí zeměpisné souřadnice cp, A. Polární rovinné souřadnice jsou teprve následně transformovány do pravoúhlé souřadnicové soustavy - do souřadnic x, y. Mezi jednotlivými souřadnicemi platí vztahy (viz odstavec 2.4 , vztahy ( 2-11 ) a odstavec 1.2.3 , vztahy ( 1-28 )): P=fM (3.57) £=f( xv —> cp p ->

Ä —> s —> cp -> Ä • y —» p —» (p -> Ä —» s —> cp -> Ä Schéma je možné využít jako pomůcku pro parciální derivace rovnic ( 3-58 ): dx _dxc\ +dxdp+dxds dep c\ dep dpdep dsd(p dx _dx dp+ dx ds dA dpdA dsdA ty = tydp+dyds dep dpdep dsdep ty = tyty+dyds dA dpdA dsdA Diferencováním rovnic ( 3-58 ) se získá: dx _| dx, (3-59) -COS& dx _ dp dx dy ■ dp fy (3-60) (3-61) Dosazením vztahů ( 3-60 ) do rovnic ( 3-59 ) se obdrží: dep dep dep dep dA dA dA dy ■ dp, ds dep dep dep oA dA dA Výrazy ( 3-70 ) se dosadí do obecných vztahů pro výpočet Gaussových symbolů (viz. ( 3-7 ), ( 3-8 ), ( 3-9 ) a ( 3-43 )) a získají se rovnice pro vyjádření těchto symbolů v polárních souřadnicích: /a, V í E= e% + ds \dep) '[f^^dep 'dep)"'dep \d(p) '^[depj dp .V í ds .V (3-62) 40 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie F= psine^-co^- OA V dÄjckp ckpdÄ dcpdÄ ,dp_ de]c\ {dpds_dpds SW£dl^^0^dX)ckp \dXdcp dcpdX^ P (3-63) (3-64) (3-65) V u/i u/iyuip \u/imp utpu/ij Parciální derivace zobrazovacích rovnice vyjádřených v polárních souřadnicích: c\ dp dp ds ds se odvodí z konkrétních zobrazovacích rovnic použitého zobrazení. Pokud jsou známy Gaussovy symboly, je možné vypočítat všechna zkreslení podle příslušných vztahů uvedených v předcházejících kapitolách. Pro zobrazovací rovnice z referenční koule vztahy pro výpočet Gaussových symbolů budou mít tvar: E= r^\2 í 3*v \dU) ds + psire-^-coař V ou dUjoU \cuj \duj F= K^xmdv co^dv)du dudv r dudv H= jdp 'dV sms^+pcove ds\^_J dpds _dpds^ oVJoU [oVW WWj (3-66) (3-67) (3-68) (3-69) 3.5 Vizualizace průběhu zkreslení Představu o rozložení a charakteru průběhu zkreslení je možné vyjádřit pomocí čar stejných hodnot zkreslení, tzv. ekvideformát. Ekvideformáty mohou být konstruovány pro průběh všech druhů zkreslení. Vzhledem ke skutečnosti, že plošné a úhlové zkreslení je možné vyjádřit i pomocí délkového zkreslení, jsou nejčastěji zobrazovány ekvideformáty délkových zkreslení (nazývané též jako izometrickě čáry). Délkové zkreslení je, jak bylo uvedeno v předcházejícím textu, závislé nejen na poloze bodu, ale i na směru délkového elementu. Proto se zpravidla pro délkové ekvideformáty volí směry poledníků nebo rovnoběžek (zeměpisných či kartografických). Ekvideformáty jsou popisovány příslušnými hodnotami zkreslení. Často je však volen popis poměrovými formami. Například délkové zkreslení je vyjádřeno ve formě: vm=m-l (3-70) což po dosazení za m lze také psát ve tvaru: 41 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie _dS-ds m cJT Hodnota ds se často volí 1 km, což je dostatečně malá hodnota vzhledem k rozměrům Země, a rozdíl dS - ds se uvádí v metrech s příslušným znaménkem. Například pro hodnotu m = 0,9996 bude: _Q999él čili vm = 0,4 mim"1. Poměrová forma plošného zkreslení bude mít procentuální vyjádření ve tvaru: Za předpokladu, že pro zobrazení ekvideformát je volen konstantní interval přírůstku zkreslení, změna zkreslení je ilustrována změnou jejich hustoty (stejně jako u jiných izočar, například vrstevnic, izobar apod.). Zkreslení se nejvíce mění v kolmém směru na směr ekvideformát. Ekvideformáty lze konstruovat různými způsoby s využitím zobrazovacích rovnic daného zobrazení a rovnic jeho zkreslení. U jednoduchých zobrazení jsou ekvideformáty totožné s obrazem rovnoběžek (zeměpisných nebo kartografických - pro rovníkovou nebo šikmou polohu). Jednoduchá válcová zobrazení budou mít tedy ekvideformáty ve tvaru rovnoběžek s obrazem rovníku, kuželová a azimutální zobrazení potom soustředné kružnice se středem v počátku polární souřadnicové soustavy v rovině. Ve všech případech sestrojení ekvideformát je tudíž poměrně snadné. U nepravých a obecných zobrazení je tvar ekvideformát zpravidla složitější. V některých případech ekvideformáty mohou tvořit v zobrazované oblasti i uzavřené křivky. Postup jejich konstrukce je proto někdy obtížnější. V zásadě lze využít následující dvě cesty: • nejprve se určí hodnoty zkreslení, které se bude zobrazovat. Z rovnic zkreslení se potom vypočítají příslušné hodnoty zeměpisných souřadnic a z nich se vypočítají rovinné souřadnice bodů o požadovaném zkreslení. Z těchto bodů se potom interpolují jednotlivé ekvideformáty. Variantou je využití grafu příslušného zkreslení, ze kterého se souřadnice požadovaných bodů odečtou; • na více, zpravidla pravidelně rozmístěných bodech, se vypočítají hodnoty příslušného zkreslení a z nich se v rovině vyinterpolují příslušné ekvideformáty. Tuto variantu lze řešit i s využitím výpočetních prostředků a programového vybavení pro práci s počítačovou grafickou nebo přímo s geoinformačním systémem. Body s vypočteným zkreslením mohou definovat hladkou plochu, na které je možné pomocí interpolační ch funkcí interpolovat izolinie s daným krokem. Ukázka tohoto postupuje na následujícím obrázku (Obr. 3-11). 42 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 40- -30- -20- -10- 0- 10- 20- 30- _1 (4-3) RdU Obdobně lze definovat obecné vztahy pro ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách z podmínky: rty =1 Pro referenční elipsoid lze potom psát: d$ NcoydA =1 (4-4) 44 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie a pro referenční kouli: d$ RcolIdV = 1 (4-5) Vzorce ( 4-2 ) až ( 4-5 ) lze s výhodou použít při odvozování zobrazovacích rovnic ekvidistantního zobrazení nebo při jeho rozpoznávání v případě, že je možné jednoduše vyjádřit v rovině v pravoúhlých nebo polárních souřadnicích délkové elementy poledníku, resp. rovnoběžky. Tohoto postupu se využívá zejména u jednoduchých zobrazení, částečně i u zobrazení nepravých. Ekvidistantní zobrazení lze definovat i s využitím vztahů využívající Gaussovy koeficienty. Pomocí nich lze podmínku ( 4-1 ) psát v případě ekvidistantního zobrazení v polednících pro referenční elipsoid: J£=l=>E=Ar (4"6) M Pro referenční kouli vztah ( 4-6 ) platí obdobně: yfĚ R Ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách pro referenční elipsoid bude mít následující obecnou podmínku: ^ =l^G=/V2coi^ (4-8) Ncosp Pro referenční kouli vztah ( 4-8 ) platí obdobně VG RcoU =1^jG=RcoW (4-9) Hodnoty Gaussových koeficientů E, G budou mít tvary dané parametry konkrétní referenční plochy a konkrétními zobrazovacími rovnicemi použitého zobrazení. 4.2 Ekvivalentní zobrazení Základní vlastností ekvivalentního zobrazení je, že se při jeho použití nezkreslují plochy zobrazovaných objektů a jevů, případně jsou tyto plochy konstantně zkreslené v celém zobrazovaném území. Tato varianta je však pouze modifikací (měřítkovou změnou) základního ekvivalentního zobrazení a proto ji není nutno uvažovat jako zvláštní případ. Podmínku zachování velikosti ploch je možné vyjádřit z obecné rovnice plošného zkreslení (viz ( 3-55 )): ^=1 (4-10) kterou lze psát ve tvaru: /7y7|sin/ľ;=1 (4-n) Vzorec ( 4-11 ) se výhodně používá i pro rozpoznávání ekvivalentních zobrazení, a to zejména pro jednoduchá. U těchto zobrazení platí A V = 90°; výše uvedený vzorec potom nabývá tvaru: 45 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mpn\ =1 (4-12) Jiné vyjádření podmínky ekvivalentního zobrazení vychází ze vztahů pro plošné zkreslení využívající Gaussovy koeficienty. Pro ekvivalentní zobrazení z referenčního elipsoidu lze psát: JI =l^>H=Mřéo$p (4-i3) MAcosp Pro ekvivalentní zobrazení z referenční koule bude mít podmínka tvar: H =i=>»=iřcoi/ (4-14) fi2COÍ/ Hodnota koeficientu H]q vyjádřena podle druhu referenční plochy a typu zobrazení. Uvedená podmínka se využívá zejména u nepravých nebo obecných zobrazení. 4.3 Konformní zobrazení Vlastností konformního zobrazení je, že nezkresluje úhly. Tuto vlastnost je možné vyjádřit vztahem: M>=0 (4-15) Uhlové zkreslení je obecně dáno vzorcem (( 3-53 ), viz. odstavec 3.2 ): • /Súi. 11% -171, sm_e-_b-ft (4-16) 2 rri+ni Vzhledem ke vzorci ( 3-53 ) bude podmínka ( 4-15 ) splněna pouze za předpokladu, že: ma=n% (4-i7) Hodnoty ma a m& jsou extremními hodnotami délkového zkreslení. Pokud se mají tyto dvě hodnoty rovnat, potom je délkové zkreslení konstantní a nezávislé na směru azimutu délkového elementu. Elipsa zkreslení se tudíž zobrazuje jako kružnice. Z obecné rovnice délkového zkreslení dané vztahem ( 3-23 ) (viz odstavec 3.1 ): rrř =rr^coiA+j^^sirí2A+rr^: sirŕ A je zřejmé, že konstantní délkové zkreslení bude pouze v případě platnosti podmínek: 1. mp = mr 2. F= 0 První podmínku lze vyjádřit i pomocí Gaussových symbolů. Pro referenční elipsoid lze psát: 4Ě_ 4G Ar (4.18) M Ncoy? G JSFcoícp Pro referenční kouli lze psát obdobně: 46 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 4Ě_ VG ^E_ 1 (4-i9) ~Ř~lŽěoíJ G~~čôíU Hodnoty Gaussových koeficientů budou vyjádřeny opět podle druhu a charakteru daného zobrazení. Konformní zobrazení lze definovat i pomocí izometrických souřadnic. V kapitole Referenční plochy a souřadnicové soustavy byly odvozeny vztahy pro výpočet izometrické šířky na referenčním elipsoidu a na referenční kouli. Vyjde-li se z obecné rovnice délkového zkreslení ve tvaru: dS ni a dosadí-li se za diferenciály délek jejich tvary vyjádřené v diferenciálech izometrických souřadnic (viz kapitola 1), lze psát: ni = ISFcoigidcj+dA2) V konformním zobrazení nesmí být zkreslení délkového elementu závislé na jeho azimutu. Bude uváženo, kdy bude rovnice ( 4-20 ) vyhovovat této podmínce. Azimut délkového elementu na referenční ploše lze vyjádřit: 6 Mdp neboli: Směrník v zobrazovací rovině se vyjádří vztahem: Je tedy zřejmé, že závislost délkového zkreslení na směru délkového elementu vyjadřují poměry diferenciálů zeměpisných (izometrických) a rovinných souřadnic. Aby zobrazení bylo konformní, nesmí se ve výrazu ( 4-20 ) uvedené diferenciály vyskytovat. To bude splněné pouze za předpokladu využití obecných zobrazovacích rovnic ve tvaru: x+iy=f(q+iA) (4-2i) X-iy=f{cl-ify (4-22) Přitom pro praktické použití stačí uvažovat pouze jednu z uvedených funkcí. 4.4 Konformní zobrazení geodetické čáry Většina úloh praktické geodézie je řešena v rovině konformního zobrazení. Při jejich řešení je nutné znát průběh rovinného obrazu geodetických čar, kterými jsou poledníky, rovník a všechny ostatní nejkratší spojnice dvou bodů na referenčním elipsoidu, tedy i strany trigonometrických sítí. Změny průběhu uvedených geodetických čar, které jsou výsledkem 47 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie jejich zobrazení do roviny konformního zobrazení, se projevují v tzv. korekcích ze zobrazení, tedy jako směrová a délková korekce geodetické čáry [14]. 4.4.1 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Podle [22] lze prostorové čáře definovat geodetickou křivost y jako křivost pravoúhlého průmětu této čáry do tečné roviny v daném bodě, pro který je křivost počítána. Dále lze definovat geodetickou čáru (geodetickou křivku) jako čáru, jejíž geodetická křivost y je v každém jejím bodě rovna 0. Protože konformní zobrazení není ortogonální, geodetické čáry se v rovině tohoto zobrazení obecně zobrazují jako křivky, jejichž křivost se v každém bodě mění. Definici změny křivosti je nutné vyjít ze situace ilustrované na obrázku (viz Obr. 4-1) dS- _6' \ ■ i i i i i i | Obr. 4-lPrůběh geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Mějme na referenčním elipsoidu diferenciální pravoúhlý čtyřúhelník PQBA omezený stranami ds a dt, které jsou částí geodetických čar. Po jeho zobrazení do roviny konformního zobrazení se sice zachovají pravé úhly u vrcholů čtyřúhelníka, avšak každá strana bude jinak zakřivena a bude délkově zkreslena. Po zobrazení budou tyto strany označeny dS, dS', dT a dT. Na základě obrázku (Obr. 4-1) lze zkoumat křivost Y elementu dS v bodě P'. Z obrázku je zřejmé, že: dS=^da. (4-23) Pokud se zanedbá minimální rozdíl mezi délkami křivek A B' a A 'C, potom lze psát: dS=dSukďl. ^ Po dosazení za daz ( 4-23) do ( 4-24) se získá vztah: dS=d$l+rdl). (4-25) Pokud se vydělí obě strany rovnice ( 4-33 ) hodnotou ds, potom bude: dS=dS{\+YdJ) (4-26) ds dsy '' 48 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Výraz dS/ds je výrazem pro délkové zkreslení m v bodě P' a výraz dSVds vyjadřuje délkové zkreslení v bodě A', jehož hodnota je proti hodnotě délkového zkreslení v bodě P' změněna o dm. Tuto změnu je možné vyjádřit jako: dS_ ds -m+dn (4-27) mvdrmnQ+Tďt) (4-28) Po dosazení výrazů pro délkové zkreslení a jeho změnu do ( 4-26) se získá výraz a z něho po úpravě: 1 dm r= m d T (4-29) kde m je tedy délkové zkreslení a dm/dT je změna zkreslení ve směru kolmém ke geodetické čáře. Poznámky: 1. 2. Délkové zkreslení m je počítáno pro délková element ds mezi body P a Q, který má azimut A. Změnu tohoto zkreslení ve směru kolmém na element ds lze vypočítat pomocí stejného výrazu, pokud se změní hodnota azimutu a 90° v příslušném směru. Je-li geodetická čára vedena kolmo k ekvideformátám, potom dm/dT = 0 a proto její obraz bude přímka. Pokud je geodetická čára ve směru ekvideformát, potom změna zkreslení v kolmém směru bude maximální a tedy bude i její obraz maximálně zakřiven (viz obrázek Obr. 4-2). Obr. 4-2 Průběh geodetické čáry vzhledem k ekvideformátám Délkové zkreslení se mění v závislosti na poloze konkrétního bodu na dané geodetické čáře. Pro výpočty zejména v geodetické praxi je ale nutné znát především tvar geodetické čáry na jejím počátečním a koncovém bodě a délku jejího obrazu. Tyto vlastnosti lze určit pomocí výpočtů tzv. směrové a délkové korekce geodetické čáry. 4.4.2 Směrová korekce geodetické čáry Strany trojúhelníků trigonometrických sítí jsou geodetickými čarami. Na kouli jsou tyto čáry součástí hlavních kružnic, na referenčním elipsoidu jsou částmi zmíněných geodetických čar. K pochopení principu výpočtu směrové korekce v jakémkoliv zobrazení (tedy nejen v konformním) je možné využít jeden sférický trojúhelník ABC na kouli, jehož vrcholové úhly jsou a, /?, y (Obr. 4-3) (podle [15]). Při zobrazení tohoto trojúhelníka do roviny některou ze zobrazovacích metod, budou všechny úhly zkresleny a nabydou hodnot a', /?', y' (Obr. 4-4). Zkreslení těchto úhluje možné vyjádřit rovnicemi: 49 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie /Sa=d-a. ISP=P-P, ty=/-y (4-3o) S výjimkou gnómonické projekce se části oblouků hlavních kružnic zobrazí jako křivky. Obr. 4-3 Sférický trojúhelník ABC na kouli Obr. 4-4 Obraz sférického trojúhelníka^ 'B'C v zobrazovací rovině Ve sférickém trojúhelníku platí pro součet jeho vrcholových úhlů vztah: kde e je sférický exces. Pokud se řeší vztahy v trojúhelníku v rovině, což je typické pro všechny úlohy praktické geodézie, nepočítá se s křivkami, ale s přímými spojnicemi vrcholů A'B', A 'C, B'C Součet vrcholových úhlů, které jsou mezi uvedenými přímými spojnicemi, potom bude: =180 Přímé spojnice vrcholů trojúhelníka A'B'C svírají s tečnami ke křivkám (obrazům hlavních kružnic) v bodech A', B', C malé úhly ô, které se nazývají směrové korekce. Aby bylo možné trojúhelník řešit v rovině, je nutné směrníky příslušných trigonometrických stran opravit o příslušnou směrovou korekci, pomocí které se převede křivka na přímku. Podle obrázku (viz Obr. 4-4) budou využity následující směrové korekce: • v bodě A': ôa'b; Sa'c, • v bodě B': Sba; Sbv; • v bodě C: ô c a; Scb: Potom lze vypočítat vrcholové úhly v rovinném trojúhelníku A B'C pomocí následujících vztahů: (%=cc±8AB±ôAC fi=P^±ôBıôBC Y0=f±ôCA±ôCE (4-31) Vztahy ( 4-31 ) jsou platné pro všechny zobrazení s výjimkou gnómonické projekce. U konformních zobrazení se úhly nezkreslují, proto všechny rozdíly úhlů počítané podle ( 4-30 ) jsou nulové a potom lze tedy psát: a0=a±SAB-±S/ 'KC (4-32) 50 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Vrcholové úhly se počítají z naměřených hodnot úhlů v terénu, s nichž se získávají směrníky geodetických čar cr Příslušný vrcholový úhel je tedy získán z rozdílů směrníků jednotlivých stran daného trojúhelníku. V další části je tedy uvedený pouze postup odvození výpočtu směrové korekce jedné strany trojúhelníka. Vzhledem k obvyklé délce stran trojúhelníků v trigonometrické síti nebo velikosti měřených délek je možné použít výše uvedené závěry i pro plochu referenčního elipsoidu. Výchozí situace je na obrázku (viz Obr. 4-5), Obr. 4-5 Směrová korekce geodetické čáry kde: ôxi, Ô21 jsou směrové korekce geodetické čáry, (7i2, (7i2 jsou směrníky geodetické čáry na referenční ploše, které se při konformním zobrazení nezkreslují. Směrníky je zpravidla vypočítány z měření úhlů v terénu na orientační směry; cr'12, cr'12 jsou směrníky přímé spojnice koncových bodů geodetické čáry v zobrazovací rovině; Dn je délka přímé spojnice; S12 je délka geodetické čáry v zobrazovací rovině. Podle obrázku ( 4-3 ) lze obecně psát: Ô=d-G (4-33) K výpočtu je nutné znát směrník cr, resp. křivost geodetické čáry Y v obecném bodě této čáry o souřadnicích (x, y). Všechny potřebné parametry lze vyvodit z pomocí obrázku (viz Obr. 4-6), na kterém je rovinný obraz geodetické čáry s počátkem v bodě P±, jehož rovinné souřadnice jsou x\ aji, a procházející obecným bodem i5'. Délka obrazu této geodetické čáry je S a její směrník je 01. 51 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie y Obr. 4-6 Rovinný obraz geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Praktický postup výpočtu odvodil Laborde, který aplikoval konformní válcové zobrazení pro území Madagaskaru1. Aby bylo možné snadněji odvodit průběh této čáry, je definována pomocná soustava pravoúhlých souřadnic £ rj. Počátek této souřadnicové soustavy je v bodě Pt, osa 77 je ve směru tečny k obrazu geodetické čáry a osa č, je na ni kolmá. V pomocném souřadnicovém systému lze vyjádřit směrovou korekci geodetické čáry v bodě Pt: (4-34) S využitím obrázku (viz Obr. 4-1) lze studovat změny souřadnic £77 na dalších částech obrazu geodetické čáry (Obr. 4-7). (X) I © 1 Laborde byl kapitán delostrelectva Francouzské armády a uvedený postup publikoval v roce 1928 v práci „La nuvelle projection du service geographique de Madagascar" 52 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 4-7 Detail průběhu obrazu geodetické čáry Podle tohoto obrázku platí: -dE=siri<7-a)dS, ^ ^ r (4-35) d^cojer-crJt/S. Obě goniometrické funkce je možné rozvést v řadu. Vzhledem k velmi malé hodnotě rozdílů směrníků (cr- 01) je možné uvažovat rozvoj pouze do druhé mocniny. Lze tedy psát: (0;=-{(T-o[)dS, \-±{p-o\f dS. drj Z rovnice ( 4-23) lze určit dcr=TdS. («7) Křivost obrazu geodetické čáry Y se mění se změnou polohy bodu na této čáře, pro který je křivost počítána. Lze tedy říci, že je funkcí délky oblouku S. Tuto funkci je možné vyjádřit MacLaurinovou řadou jako: r=/©=/(o)+/(o)s+/'(o)f +• • • (4-38} S využitím rovnice ( 4-29 ) a se zanedbáním členů s druhou a vyšší mocninou, což nemá vliv na požadovanou přesnost výpočtů, je možné vypočítat křivost obrazu geodetické čáry v libovolném bodě jako funkci křivost této čáry v počátečním bodě Pt. Bude tedy: r=r1+r15. (4-39) Pokud se dosadí výraz ( 4-39 ) do ( 4-37), potom je možné psát: ckr^+V.SjdS. (4-40) Výraz ( 4-40 ) je možné integrovat: ]ár=]fc+r1S}iS (4-4D o[ 0 a tím získat vztah: Tímto vztahem je možno vypočítat směrník obrazu geodetické čáry v libovolném bodě této čáry. Jeho souřadnice v souřadnicovém systému ^,t] se vypočítají z rovnic ( 4-36 ). Se zanedbáním vyšší mocniny ne 3. lze psát: (cj-oi} ^s2+r]r1s3 (4-43) a po dosazení se získají diferenciály souřadnic: <%= -IiS-rí4r dS (4-44) V ZJ 53 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie S2 dr/= í-i^-r^rw dS v Rovnice lze řešit integrací: }dri=]{l-^^-Yr£\iS. (4-45 ) J jejímž výsledkem jsou souřadnice obecného bodu geodetické čáry ve vzdálenosti S od jejího počátku v bodě Pt. c3 C4 77 = 5-1?^-^. (4-46) Z těchto pomocných souřadnic je možné shodnostní transformací vypočítat souřadnice obecného bodu v souřadnicovém systému daného konformního zobrazení podle vztahu ( 4-47 ), ve kterém je úhel e = ox — ti/2: (4-47) Aby bylo možné určit hodnotu směrové korekce podle vztahu ( 4-34 ), je nutné vypočítat délku přímé spojnice počátečního a obecného bodu: X _ + cos? -sire sire COSř II. (4-48) a dosadit do vztahu proměnné získané z rovnic ( 4-46 ). vzhledem k tomu, že reálné hodnoty členů na pravé straně rovnic ( 4-46 ) mají výrazně klesající tendenci, je možné po jejich umocnění zanedbat členy s vyšší mocninou S než pátou. Potom bude: 6' tf=s2-if^-rf^ (4-49) Výrazy ( 4-48 ) se dosadí do ( 4-49 ) a po úpravách (odmocnění, ponechání členů s mocninou S maximálně do čtvrté), je možné počítat délku přímé spojnice rovnicí: D=5-r?T4-r'r4 (4-50) Rovnicí ( 4-50 ) se získá hodnota jmenovatele pro výpočet směrové korekce podle vzorce ( 4-34 ). Uvedenou rovnici je však možné využít i pro výpočet rozdílů délek mezi přímou spojnicí a koncových bodů a délkou obrazu geodetické čáry. Tento výraz bude mít tvar: 54 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie s-d^J^s5 +r1r1s4). (4-51) V některých případech je snazší výpočet křivosti obrazu geodetické čáry v jejím počátečním a koncovém bodě. Pokud jsou tyto hodnoty známy, je možné použít pro výpočet délky přímé spojnice jiný vzorec. Podle ( 4-39 ) platí i pro koncový bod čáry vztah: r2=ií+r1(s (4-52) Pokud výraz se ( 4-52 ) umocní a zanedbá se člen s S2, potom se získá vztah: 1^=1?+2^5 a odtud: 1 2TpS ' Po dosazení do ( 4-51) se získá vztah: S-D=±p+I$)? («3) Protože křivost obrazu geodetické čáry není zpravidla nijak veliká, je možné ve všech uvedených výrazech nahradit délku S dálkou přímé spojnice D. Výsledek se prakticky nezmění. Z rovnic ( 4-51 ) nebo ( 4-53 ) se vypočítá délka D a z první rovnice ( 4-49 ) hodnota souřadnice £ Z těchto hodnot je již možné počítat vlastní směrovou korekci podle vztahu ( 4-34 ). Po úpravě podílu dvou mnohočlenů se zanedbání mocnin vyšších řádů ne 2 se získá dostatečně přesný vztah: sii^=r^|+r;|. Protože směrová korekce nabývá reálně hodnot ve vteřinách nebo desítkách vteřin, lze psát: sirk5( =ô[, z čehož poté plyne obecný vztah pro její výpočet: 4=^+17-^. (4-54) Výraz lze ještě upravovat podle toho, v jakých bodech jsou křivosti obrazu geodetické čáry známé. Obvyklými úpravami jsou vzorce pro výpočet směrové korekce ze znalosti křivosti v koncovém bodě geodetické čáry, resp. v její jedné třetině. Uvedené výrazy jsou uvedené dále. V případě situace zobrazené na obrázku (viz Obr. 4-5), je možno směrovou korekci v bodě P\ vypočítat následovně: 4=^+1^ (4-55) 4=(2T1+r2)4 (4-56) 55 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ä -V ^2 A2"V3 2 (4-57) kde: T\ je křivost obrazu geodetické čáry na počátečním bodě, Y2 je křivost obrazu geodetické čáry na koncovém bodě, Tin je křivost obrazu geodetické čáry v její první třetině. Všechny tři vzorce plně svojí přesností vyhovují požadavkům na výpočet směrové korekce pro běžné geodetické práce. 4.4.1 Délková korekce geodetické čáry Délková korekce geodetické čáry 8S v rovině konformního zobrazení je rozdíl mezi délkou jejího obrazu v zobrazovací rovině S a její délkou na referenčním elipsoidu s ( 4-58 ). SS=S-S (4-58) Hodnota délkové korekce geodetické čáry je funkcí délkového zkreslení, které se mění v každém jejím bodě. Pro její určení je možné využít například postupy pro přibližnou integraci. Podle obecného vzorce pro délkové zkreslení lze psát: , dS as-— m (4-59) a současně vyjádřit závislost délkového zkreslení na poloze bodu na obrazu geodetické čáry ve tvaru: m v/ (4-60) Výraz ( 4-59 ) je potom možné psát jako diferenciální rovnici a poté jako určitý integrál: ]ds=]f(S)iS (4-61) o o Integrál na pravé straně rovnice se řeší numerickou integrací podle Simpsonova pravidla (viz např. [22]), kdy se hodnota funkce nahrazuje parabolickou funkcí a interval funkce se rozdělí na dvě části. Podle uvedeného pravidla obecně platí: ]f(x)dx= Xj—Xi /W+4/to +/(x2) což aplikováno pro integrál ( 4-61 ) bude: s=6 /(0)+4/(f)+/(S) (4-62) kde hodnota funkce / je počítána pro počáteční, střední a koncový bod obrazu geodetické čáry. Její konkrétní hodnoty jsou potom dány reciprokými hodnotami délkového zkreslení označené: 56 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie J v; n\ f 'S\ 1 m Dosadí-li se uvedené tvary do výrazu ( 4-62 ), potom se získá konečný obecný vzorec pro výpočet délkové korekce v konformním zobrazení: / \ S=- 1 1 (4-63) V 72 Pokud by se výraz ( 4-59 ) napsal ve tvaru dS=md obdobným způsobem by se došlo k jinému výrazu pro výpočet délkové korekce S (4-64) Oba výrazy jsou obecně platné pro jakékoliv konformní zobrazení. V praxi se používá výraz, který je z hlediska používaných dat výhodnější. Stejně tak je možné místo délky obrazu geodetické čáry použít délku přímé spojnice jejích koncových bodů D a hodnotu délkového zkreslení počítat pro střed této přímé spojnice (Obr. 4-8). m/2 S/2 ^ m m___ Pí D/2 Ph D2 Pí Obr. 4-8 Délková korekce geodetické čáry 57 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 5. Zobrazení referenčního elipsoidu na kouli Jak bylo již uvedeno v kapitole 1, je volba referenčního tělesa závislá na požadované přesnosti prostorové lokalizace modelovaných objektů a jevů. Pokud není vyžadována vysoká přesnost lokalizace, zejména v oblasti geografické kartografie, je možné referenční elipsoid nahradit koulí. Referenční koule je však někdy používána i tehdy, pokud je nutná vysoká přesnost polohové lokalizace, ale pro zobrazení do roviny je vybrána šikmá poloha (např. pro státní mapy České republiky, Slovenska a Švýcarska). Existuje řada různých zobrazení referenčního elipsoidu na kouli. V kartografické praxi nebo při volbě referenčního tělesa v rámci volby geodetického systému v GIS se často při malých nárocích na přesnost lokalizace volí jako referenční plocha přímo koule. I v tomto případě je však vhodné znát charakteristiky zkreslení, jaká lze očekávat při této volbě (blíže viz odstavec 5.2). 5.1 Základní vztahy a vzorce Při zobrazení referenčního elipsoidu na kouli se výhradně používají jednoduchá zobrazení. Každá zeměpisná souřadnice na kouli je tedy funkcí pouze jedné souřadnice na elipsoidu a platí vztahy: u=M (5-1} V=f(A) (5-2) Protože při tomto zobrazení je vždy požadavek, aby konstantnímu intervalu zeměpisné délky na elipsoidu A odpovídal i konstantní interval zeměpisné délky na kouli V, lze rovnici ( 5-2 ) psát ve tvaru: V=a/ (5-3) a hodnotu konstanty a určovat podle dalších požadavků na zobrazení. Pokud bude a = 1, potom síť poledníků celou kouli rovnoměrně pokryje. V případě, že a < 1, zůstane část povrchu koule prázdná, a pokud a > 1, bude se síť poledníků na kouli překrývat. Obecné vztahy pro zkreslení délek ve směrech poledníků a rovnoběžek jsou dány poměry elementů délek na referenční kouli a příslušných délek na referenční ploše. V shodě se vztahy ( 3-1 ) z kapitoly 3 bude: RdL ,* a\ ^ = Mďp (5"4) _RcoUdV_aRcoU (55) S využitím vztahů ( 3-23 ), ( 3-53 )a ( 3-56 ) z kapitoly 3 je možné počítat všechna ostatní zkreslení. Nejprve je však nutné vypočítat hodnotu koeficient F. Vzhledem ke tvaru funkcí ( 5-1 ) a ( 5-2 ) je nutné nejprve upravit výraz ( 3-19 ) z kapitoly 3. Po úpravě bude: dqdA dcédA Ze zobrazovacích rovnic (5-1 ) a ( 5-2 ) vyplývá, že: 58 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dU n dV n -^ť- =U a =U a potom koeficient F = 0. Výraz ( 3-23 ) bude mít v tomto případě tvar: ni =JiTf} co š A+trf. si rf A (5_7) Pokud se do vzorce ( 3-24 ) dosadí za F = 0, potom budou hodnoty Aa = 0° a = 90°, z čehož plyne, že zeměpisné poledníky a rovnoběžky jsou současně i hlavními paprsky zkreslení a, b a i na referenční kouli se protínají pod pravým úhlem. Lze tedy psát výrazy pro ostatní zkreslení ve tvaru: mpi=nynr (5-8) si[^=EtlĽÍ (5-9, 2 ni+rrip Poznámka: Uvedené rovnice ( 5-7 ), ( 5-8 ) a ( 5-9 ) platí pro všechna jednoduchá zobrazení, která budou popsána v následujících kapitolách. 5.2 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi V praxi se poměrně často požívá zobrazení referenčního elipsoidu na kouli se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi. Je to v podstatě stejné, jako když se pro zobrazení do roviny volí přímo referenční koule jako výchozí referenční plocha geodetického referenčního systému. Základní zobrazovací rovnice jsou ve tvaru: U=q> (5-10) V=A (5-n) a z nich vyplývá: dU-dcp dV=dX a=\ Rovnice zkreslení ( 5-4 ), ( 5-5 ), ( 5-8 ), ( 5-9 ) potom budou ve tvarech: = R_ R I R2 MN (5-12) (5-13) (5-14) 2 M+N Na následujících obrázcích jsou grafy jednotlivých zkreslení pro zobrazení elipsoidu WGS84 na kouli o poloměru 6 371 km. 59 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zobrazení elipsoidu na kouli délková zkresleni 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Ag) Zobrazeni elipsoidu na kouli úhlové zkresleni 0,4500 0,4000 0,3500 0,3000 0,2500 0,2000 0,1500 0,1000 0,0500 0,0000 ■ Ara 20 30 60 70 80 90 Obr. 5-1 Délkové zkreslení zobrazení elipsoidu WGS84 Obr. 5-2 Maximální úhlové zkreslení zobrazení na kouli o R = 6371 km elipsoidu WGS84 na kouli o R = 6371 km Zobrazení elipsoidu na kouli plošné zkreslení 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Obr. 5-3 Plošné zkreslení zobrazení elipsoidu WGS84 na kouli o R = 6371 km 5.3 Konformní zobrazení elipsoidu na kouli Konformní zobrazení je definováno podmínkami: mp = mr F= 0 Druhá podmínka je u jednoduchých zobrazení vždy splněna, proto postačí vyjít pouze z první podmínky, kterou lze psát s využitím vztahů ( 5-4 ) a ( 5-5 ): RdU RcolJ -—Oí- (5-16) Mdp Ncosp Výraz ( 5-16 ) se po úpravě integruje jako neurčitý integrál: r d u r Mdp i mil Uy což/ J Nco$) čímž se získá zobrazovací rovníce: Q=oq+\nk kde k je integrační konstanta zavedená ve vhodné funkci. Po dosazení za Q a q z rovnic ( 1-23 ) a (1-19) z kapitoly 1 a po odlogaritmování bude zobrazovací rovnice ve tvaru: 60 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie tA%+Así\-eúaP (5-17) Druhá zobrazovací rovnice je dána výrazem ( 5-3 ). Zkreslení je potom dáno rovnicemi: m=,^=^=«__ (5-18, nipi—nt1 (5-i9) Mf=0 (5-20) Pro výpočet souřadnic na kouli a zkreslení je nutné ještě určit konstanty a, k a R. K tomu se definují doplňující podmínky, které specifikují charakter zobrazení. Pokud je požadováno souvislé zobrazení celého povrchu koule, potom podle vztahu ( 5-3 ) bude a = 1. V případě, že se rovník na elipsoidu zobrazuje jako rovník na kouli, potom z rovnice ( 5-17 ) po dosazení za cp = 0° za U = 0° plyne, že k = 1. V tomto případě bude délkové zkreslení na rovníku rovno jedná a od něho na sever i na jih bude narůstat. Častěji se zobrazení používá pro vybranou část povrchu elipsoidu (například při Křovákově zobrazení nebo při zobrazení státních map Švýcarska), kdy se nepožaduje ani ztotožnění obrazů rovníků obou těles ani souvislé pokrytí zeměpisnou sítí celého povrchu referenční koule. Protože toto řešení je zpravidla používáno při definici zobrazení pro státní mapová díla, jsou zde zvýšené nároky na minimalizaci zkreslení v okolí základní rovnoběžky tpo, které sama se délkově nezkresluje. Dále je uvedeno řešení, které odvodil Gauss. Pokud je daná podmínka, aby území mezi dvěma rovnoběžkami tpj a cps bylo zobrazena na referenční kouli s minimalizací zkreslení, zvolí se mezi nimi základní rovnoběžka tpo. Ta bude zobrazena na kouli jako rovnoběžka Uo bude nezkreslená. Na ní platí: m)=a-TJ-^=1 (5-2i) Vztáhne-li se potom obecná zeměpisná šířka k základní rovnoběžce, lze psát: Délkové zkreslení, které je funkcí cp lze potom vyjádřit i obecným vztahem: m=f{(p)=f{%+&p) který je možné za předpokladu malého rozsahu Acp rozvinout v Taylorovu řadu k zeměpisné šířce (po: První člen rozvoje je dán výrazem ( 5-21 ). Pro to, aby délkové zkreslení v celém zobrazovaném území bylo minimální, stanovil Gauss podmínku, že délková zkreslení počítaná podle vztahu ( 5-22 ) byla závislá pouze na derivacích 3. a vyšších řádů. Z toho plyne, že: 61 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie /%)=0 a/%,)=() Společným řešením uvedených tří rovnic pro délkové zkreslení se získají konečné vztahy požadované tři konstanty:" \-(T k=- R= f % |/|5|l-gsm#) chll-e1 oe J l-^sirf % V rámci tohoto postupu se získá i rovnice pro výpočet hodnoty Uo ve tvaru: Lí)=arcsifeí^ X a ) (5-23) (5-24) (5-25) (5-26) Poznámka: Podrobný postup odvození konstant je uveden například v [9]. 62 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6. Jednoduchá válcová zobrazení Jednoduchá válcová zobrazení jsou charakteristická tím, že obrazy poledníků a rovnoběžek tvoří vzájemně ortogonální soustavu rovnoběžných přímek, ve kterých leží směry hlavních paprsků zkreslení. Pokud je zobrazení v pólové poloze, uvedená vlastnost je platná pro zeměpisnou síť, v případě příčné nebo obecné polohy je platná pro kartografické poledníky a rovnoběžky. Všechny dále odvozené vztahy budou platné pro pólovou polohu při zobrazení referenční plochy koule do roviny. Při použití rovníkové nebo šikmé polohy se ve všech vzorcích zeměpisné souřadnice nahradí souřadnicemi kartografickými. (6-1) 6.1 Základní vztahy a vzorce Základní obecné rovnice jednoduchého válcového zobrazení jsou definovány vztahy ( 2-2 ): x=f(P) y=f(V) Druhá rovnice vyjadřuje vzdálenost mezi obrazy poledníků. Ta by měla být při konstantním AV konstantní. Rovnici lze potom psát ve tvaru: y=nV (6-2) kde n je zatím blíže neurčená konstanta. Při výpočtu válcového zobrazení se zpravidla osa X rovinné pravoúhlé soustavy ztotožňuje s obrazem některého poledníku, většinou středního zobrazovaného území. Tento poledník se označuje jako základní a pro zobrazované území je považován za nultý poledník Vo. Osa F je vkládána zpravidla do obrazu rovníku. Při této volbě souřadnicových os je zeměpisná (kartografická) síť symetrická podle obou souřadnicových os (Obr. 6-1). Obr. 6-1 Poloha souřadnicových os a tvar zeměpisné (kartografické) sítě jednoduchého válcového zobrazení Poznámka: Výše definovaný základní poledník je používán pouze pro výpočet souřadnic potřebných bodů válcového zobrazení. Při konečné prezentaci daného území ve formě trvalé nebo virtuální mapy se uvádí zeměpisné délky většinou vztažené k poloze Greenwichského poledníku. 63 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obecné vztahy pro zkreslení délek ve směrech poledníků a rovnoběžek jsou dány poměry elementů délek v zobrazovací rovině a příslušných délek na referenční ploše. V shodě se vztahy ( 3-1 ) bude: dx m = aX (6-3 ) b Rdi m=_dy (6_4) Vztah ( 6-4 ) lze upravit vzhledem ke tvaru rovnice ( 6-2 ): n ni RcoiI (6-5) Poněvadž se opět jedná o jednoduché zobrazení, vychází i zde hodnota Gaussova koeficientu F=0. Proto hlavní paprsky zkreslení budou opět ležet ve směrech obrazů poledníků a rovnoběžek. Pro výpočet plošného a úhlového zkreslení je možné opět použít vzorce ...: =mpn% (6-6) Rovnice zkreslení jsou funkcemi pouze zeměpisné šířky, resp. souřadnice x. Proto všechny ekvideformáty budou přímky rovnoběžné s osou Y. Zkreslení se bude měnit stejnoměrně na obě strany od rovníku. Z rovnic zkreslení je též patrné, že charakter válcového zobrazení na hodnotě konstanty n a tvaru funkce x=f(U). Velikost konstanty n má vliv na rozestup obrazů poledníků a zpravidla se určuje z podmínky, která rovnoběžka se nemá zkreslovat. Za předpokladu, že se nemá zkreslovat rovnoběžka Uo (zpravidla střední rovnoběžka zobrazovaného území), potom lze rovnici ( 6-5 ) psát: a tedy lze odvodit: n=RcošJ0 (6-8) Pokud se požaduje nezkreslený rovník, potom hodnota Uo bude rovna nule a hodnota konstanty n bude vzhledem k rovnici ( 6-8 ): n=R (6-9) Tvar funkce x=f(U) se odvodí podle požadavků na zkreslení rovinného obrazu. 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení Vzhledem ke tvaru obecných rovnic zkreslení může být jednoduché válcové zobrazení ekvidistantní pouze v polednících. Poledníky budou nezkreslené, pokud bude platit: _ dx i ^ ~ŘcTU 64 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie odtud lze psát: dx=Rdl Pokud osa Y bude totožná s obrazem rovníku, potom je možné předchozí výraz bude integrován v mezích: o o z něhož se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: x=RL (6-10) Druhá zobrazovací rovnice se pouze připojí ve tvaru ( 6-2 ), tedy: y=n\ Zákony zkreslení budou mít tvar: rr^=l n (6_11) si^=«-ficoí/ 2 n+RcolJ Ve druhé zobrazovací rovnici i v rovnicích zkreslení bude konstanta n dosazena podle doplňujících podmínek ze vztahu ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Síť rovnoběžek a poledníků je v tomto zobrazení čtvercová (pro n = R) nebo obdélníková (pro n = RcosUo). Zobrazení se čtvercovou sítí se v literatuře nazývá zpravidla jako zobrazení Marinovo. Jeho ukázka pro území Afriky je na následujícím obrázku (Obr. 6-2), doplněném grafem zkreslení v rovnoběžkách. Obrázek (Obr. 6-3) je příkladem zobrazení stejného území se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Uo = ± 20°. Ekvidistantní válcové zobrazení se v současné době používá velice zřídka. Bývá v něm například zpracováván klad mapových listů topografických map. Obr. 6-2 Ukázka Marinova zobrazení pro území Afriky doplněné grafem délkového zkreslení 65 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 6-3 Ukázka ekvidistantního válcového zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Ua= +20° pro území Afriky doplněné grafem délkového zkreslení 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení Při ekvivalentním válcovém zobrazení se nezkreslují plochy. Proto platí vztah: Po dosazení za délková zkreslení vzorců ( 6-3 ) a ( 6-5 ) se obdrží vztah: dx n — 1 (6-12) RdLRcošJ Při ztotožnění obrazu rovníku s osou F lze výraz ( 6-12 ) integrovat: ]dx=—]coUdl o n o a po integraci se obdrží první zobrazovací rovnice: x=—siir/ (6-13) n Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y=n\ Zkreslení v poledníku a rovnoběžce mají vzájemně reciprokou hodnotu (viz vztah ( 6-12 )). Všechna zkreslení jsou tedy dány výrazy: 1 _ifcož/ P Wlr ľl (6-14) 66 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Konstanta n je volena na základě požadavků na nezkreslený rovník nebo dvě symetrické rovnoběžky s využitím vztahů ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Zobrazení se používá buďto s nezkresleným rovníkem (zobrazení Lambertovo podle Johanna Heinricha Lamberta, 1728 - 1777) nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami (zobrazení Behrmannovo, Walter Emmerich Behrmann, 1882 -1955). Zobrazení se používá u map velmi malých měřítek v případě, že je nutné zachovat velikosti ploch (velikosti území států, tematických areálů apod.). Na následujících obrázcích (Obr. 6-4 , Obr. 6-5) jsou ukázky zobrazení Afriky v Lambertově izocylidrickém a Behramnnově zobrazení. Obr. 6-4 Ukázka Lambertova izocylindrického zobrazení pro území Afriky doplněné grafem délkových zkreslení Ekvivalentní válcové zobrazení Behrmannovo, U0 = 20° v - ... y 0.6 -1—1—1—1—1—1—1—1—1— - ■]-- —1« Obr. 6-5 Ukázka ekvivalentního válcového zobrazení Behrmannova se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Uo= +20° pro území Afriky doplněné grafy délkovýcho zkreslení 6.4 Konformní válcové zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky konformity (viz odstavec 4.3 ): mp =11% 67 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ve které se za mp a mr dosadí výrazy ( 6-3 ) a ( 6-5 ). Tím se obdrží základní rovnice: dx _ n RďlTBčôU Pokud se ztotožní obraz rovníku s osou Y, výraz se integruje v mezích: \dx=m-^/-r o J0coi/ Po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve dvou formálních variantách: x=nQ=rúnt^+4S (6-15 ) Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y=n\ Rovnice zkreslení v případě uvážení vztahu mp = mr = m nabydou tvaru: _ n m~fcoíJ (6.16) rry=rrr to>=0 Konstanta n se opět volí na základě doplňujících podmínek ve tvaru ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Konformní válcové zobrazení je typické zvětšováním vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům. Na mapách v tomto zobrazení není možné póly zobrazit, neboť leží v nekonečnu vzhledem k rovníku. Proto se zobrazení používá nejčastěji pro území s polohou v blízkosti rovníku. Příklad použití uvedeného zobrazení pro území Afriky je na obrázku (Obr. 6-6), kde je připojen i graf délkového zkreslení. Opět jako v předešlých případech byla volena varianta se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Uo = ± 20°. Popsané zobrazení se nazývá podle holandského kartografa Mercatorovo (Gerardus Mercator, vlastním jménem Kraemer, 1512 -1594). Mercator zobrazení již odvodil pomocí matematického aparátu ze zákonů zkreslení. Poznámka: Jednoduché konformní válcové zobrazení celé Země v pólové poloze bylo často používáno zejména pro tvorbu námořních navigačních map, protože se v něm čáry stejných hodnot azimutu (loxodromy) zobrazovaly jako přímky. To mělo své výhody, pokud se k navigaci používaly zejména magnetické přístroje (kompasy, ...). S přechodem na moderní metody navigace a začátkem plavby podél ortodrom, frekvence využití tohoto zobrazení se výrazně snížila. 68 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6.4.1 Konformní válcové zobrazení ve webových mapových službách Jednoduché konformní válcové zobrazení v pólové poloze s nezkresleným rovníkem zpravidla z referenčního elipsoidu WGS84 je často používáno jako základní zobrazení pro publikaci komerčních nebo volně šiřitelných geografických dat včetně jejich publikování pomocí webových mapových služeb například v aplikacích Microsoft® Bing™ Maps, Google Maps™, ESRI® ArcGISSM Online [26]. Toto zobrazení se často nazývá jako Web Mercator, WGS 84 Web Mercator, WGS 1984 Web Mercator (Auxiliary Sphere) apod. Vzhledem k tomu, že se při používání různých dat je nutná přesná znalost jejich polohových základů, je nutné přesně rozlišovat jednotlivé varianty uvedeného zobrazení. Základní zobrazovací rovnice jsou takřka totožné s rovnicemi ( 6-9 ) a ( 6-15 ) a mají tvar: y=aÁ, (6-17) (6-18) kde a je velikost hlavní poloosy referenčního použitého elipsoidu. Poznámka: Vprostřed! webových mapových služeb je zpravidla používán kartézský souřadnicový systém s označením a orientací os x, y stejně jako v matematice. V tomto případě jsou v rovnicích ( 6-17 ) a ( 6-18 ) souřadnice označeny opačně. Lze se však setkat i jednoduchým konformním válcovým zobrazením (Mercatorovým) z elipsoidu často označovaném jako Ellipsoid Mercator Projection. V tomto případě budou zobrazovací rovnice mít jiný tvar: =atgň(pirv$-aetgi(esir¥p) (6-i9) y=aÁ, (6-20) kde a je velikost hlavní poloosy referenčního použitého elipsoidu a 69 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie e je jeho první excentricita. Délkové zkreslení lze zde vyjádřit vztahem: m=VE?M<£ (6-21) I přes jistou podobnost není možné tato dvě zobrazení vzájemně zaměňovat, i když je pro ně použit stejné referenční elipsoid. Následující tabulka ukazuje rozdíly v souřadnici x pro jeden poledník. Tabulka 6-1 Rozdíly souřadnic x Web Mercator a Mercatorova zobrazení. Pro obě zobrazení byl použit elipsoid WGS 84 XwEB Merc [m] Xwgs84 [m] Rozdíly souřadnic [m] -60 -8399737,89 -8362698,55 -37039,34 -50 -6446275,84 -6413524,59 -32751,25 -40 -4865942,28 -4838471,40 -27470,88 -30 -3503549,84 -3482189,09 -21360,76 -20 -2273030,93 -2258423,65 -14607,28 -10 -1118889,97 -1111475,10 -7414,87 0 0 0,00 0,00 10 1118889,97 1111475,10 7414,87 20 2273030,93 2258423,65 14607,28 30 3503549,84 3482189,09 21360,76 40 4865942,28 4838471,40 27470,88 50 6446275,84 6413524,59 32751,25 60 8399737,89 8362698,55 37039,34 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení Všechna válcová zobrazení značně zkreslují oblasti kolem pólů. Jsou proto vhodná zpravidla pro zobrazení pouze pro úzkých pásů podél zeměpisného nebo kartografického rovníku (hlavní kružnici na kouli). V případě použití válcového zobrazení území rozloženého podél kartografického rovníku (rovníková nebo šikmá poloha), je nutné ve všech vzorcích zaměnit souřadnice U a y souřadnicemi kartografickými Š a. D. Vztah mezi kartografickými a zeměpisnými souřadnicemi je dán vzorci (viz vzorce ( 1-24 ) a ( 1-25 )). K jejich určení je však nutné znát polohu kartografického pólu Uk a Vk, kterou je možné vypočítat ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku (tedy zpravidla na podélné ose zobrazovaného území). Pro určení zeměpisných souřadnic je vhodné využít mapu, na které je již území jednou zobrazené. Body definující polohu kartografického rovníku se vybírají co nejdále od sebe. Jejich zeměpisné souřadnice budou P\ (U\, Vi) a P2 (U2, V2). K výpočtu polohy kartografického pólu se potom využijí vztahy odvozené v téže kapitole. 70 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7. Jednoduchá kuželová zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení mají poledníky zobrazené jako osnovu přímek vycházející z jednoho bodu - počátku polárního souřadnicového systému. Rovnoběžky jsou částí soustředných kružnic opět se středem v počátku rovinného polárního souřadnicového systému. Zeměpisný (nebo kartografický) pól se zobrazuje jako bod totožný se středem obrazů rovnoběžek nebo jako část kružnice. Poledníky a rovnoběžky jsou navzájem ortogonální a současně v jejich směrech leží hlavní paprsky zkreslení. Všechny dále odvozené vztahy budou platné pro pólovou polohu při zobrazení referenční plochy koule do roviny. Při použití rovníkové nebo šikmé polohy se ve všech vzorcích zeměpisné souřadnice nahradí souřadnicemi kartografickými. 7.1 Základní vztahy a vzorce Při použití kuželových zobrazení se zpravidla střední poledník (tvořící osu zobrazovaného území) volí jako základní poledník Vo tohoto zobrazení. Do jeho obrazu se vkládá osa X a současně je mu přisouzena nulová hodnota zeměpisné délky. Kuželová zobrazení jsou vhodná pro zobrazování území rozložená podél zeměpisných (nebo kartografických) rovnoběžek. Rovník od těchto území bývá často značně vzdálen bez možnosti jeho zobrazení, proto se počátek rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy volí v průsečíku základního poledníku a základní rovnoběžky, která přibližně prochází středem zobrazovaného území (viz Obr. 7-1) Obr. 7-1 Volba počátku rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy u kuželových zobrazení U kuželových zobrazení se zobrazovací rovnice i zákony zkreslení vyjadřují v rovinných polárních souřadnicích pas, které se transformují do rovinných pravoúhlých souřadnic pomocí vztahů ( 7-1 ), tedy X=XV— /XOSľ (7-1) y=ps'\w Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele), který má konstantní hodnotu souřadnice x označenou xv. 71 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obecné rovnice kuželového zobrazení jsou ve tvaru ( 7-2 ), tedy První zobrazovací rovnici je možné vyjádřit s ohledem na základní rovnoběžku ve tvaru: P=fib+Jp-Uo) (7"3) kde poje průvodič základní rovnoběžky, který současně určuje její vzdálenost od počátku rovinného polárního souřadnicového systému. S ohledem na obrázek (Obr. 7-1) platí A=^ (7"4) U kuželových zobrazení se dále požaduje, aby úhlová vzdálenost obrazů poledníků byla při konstantním přírůstku A V též konstantní. Druhou obecnou zobrazovací rovnici je potom možné uvést ve tvaru: s=nV (7-5) kde V je zeměpisná délka počítaná od základního poledníku pro dané území Vb a n je konstanta nabývající hodnot (0;1) v závislosti na doplňujících podmínkách pro vybraný typ zobrazení. Vzhledem k tomu, že se opět jedná o jednoduché zobrazení, budou hlavní paprsky délkového zkreslení ležet ve směrech poledníků a rovnoběžek. Hodnoty tohoto zkreslení je možné vyjádřit poměrem délkových elementů v zobrazovací rovině a na referenční kouli ve tvarech (Obr. 7-2): m =_(ĚL_ (7-7) f RcoUctt Záporné znaménko u proměnné dp ve vzorci ( 7-6 ) je formálním vyjádřením vzájemné protichůdnosti růstu hodnot U a p. Rovnici ( 7-7 ) je možné upravit vzhledem ke tvaru rovnice ( 7-5 ), jejíž derivace bude: d£-nd\ dV Rovnici ( 7-7 ) je potom možné psát ve tvaru — nP (7-8) RcoU 72 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie X y Obr. 7-2 Délkové elementy poledníku a rovnoběžky u kuželových zobrazení Uhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: (7-9) mp^nyrrip (7-10) Všechna zkreslení jsou funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty stejných hodnot zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v počátku polárního systému V. U kuželových zobrazení je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu (rovnoběžku), s minimální hodnotou zkreslení, která může být případně rovna jedné. Od této rovnoběžky zkreslení roste na v obou směrech zeměpisné šířky, avšak nesymetricky. Obrazem pólu může být bod nebo část kružnice. Kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. Zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto tyto varianty je možné si geometricky představit jako tečný, resp. sečný kužel. 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení je možné jako ekvidistantní řešit pouze jako ekvidistantní v polednících. Pro ně lze napsat podmínku: mp=l Řešení rovnice (7-11 ) vztažené k základní rovnoběžce Uo je možné napsat ve tvaru: ze kterého se získá tvar zobrazovací rovnice pro p: 73 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Význam jednotlivých veličin rovnice ( 7-12 ) je zřejmý z obrázku (Obr. 7-3). Na obrázku je též patrný rozdíl v použití uvedené rovnice pro zeměpisné šířky větší, resp. menší než je Uo. Zobrazovací rovnice pro „má tvar ( 7-5 ), tedy: s=nV Vztahy pro zákony zkreslení vyplývají z rovnic ( 7-11 ), ( 7-8 ), .... Pro tuto variantu zobrazení budou ve tvarech: mp=\ ^=^=^a (7"13) ■ tsLů np-RcoU in— - 2 np+RcoU ' A '/ A / M u A / r \ \ \ \ \ \p \ 'N u - \ N / V / si. » i —i_ ô- \y >y Obr. 7-3 Význam průvodiče p u ekvidistantního kuželového zobrazení Pro vlastní použití je nutné určit hodnoty konstant n a. po. K tomuto určení se stanovují doplňující podmínky v různých variantách. V dalším textu jsou uvedeny tři nejběžnější varianty: a) je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena; b) je stanovena podmínka dvou předem daných nezkreslených rovnoběžek o zeměpisných šířkách UiaUr, c) je stanovena podmínka totožného zkreslení nej severnější a nejjižnější rovnoběžky. 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Pokud je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena, je nutné nejprve odvodit konstantu po. Konstanta se odvodí z podmínky extrémní hodnoty funkce ( 7-8 ) pro zeměpisnou šířku základní rovnoběžky Uo: 74 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie { m dn\ _\rcoUqj in ďcr~ =0 tedy: nďirCOtJ° m dU -p &coW0 Z rovnice (7-11 ) plyne výraz: dp -R dU který lze dosadit do výše uvedené rovnice. Po derivacích se obdrží vztah: -tiR co U0 +npbRsirU0 _^ R2coW0 a odtud lze vypočítat: A=^COgí/0 (7-14) Cpľľl. Protože druhá derivace 1Tl je kladná (jak se lze snadno přesvědčit), dochází na rovnoběžce dli Uo při splnění podmínky ( 7-14 ) k minimu délkového zkreslení. Je-li dále požadováno, aby hodnota tohoto minima byla optimální, tedy rovna jedné, musí podle ( 7-13 ) platit: =i RcoUq odkud se po dosazení za po z výrazu ( 7-14 ) vypočítá «=SÍIÍ/0 (7"15) Hodnotu po je možné si graficky představit na základě obrázku (Obr. 7-4) jako tečný kužel dotýkající se referenční koule podél rovnoběžky Uo. Analogicky pro referenční elipsoid platí: A=AÍ>cog0b (7-i6) H = SÍíYpú (7-17) Základní rovnoběžky Uo může být předem volena. Její volba však musí respektovat nesymetrický průběh délkového zkreslení, které od ní roste rychleji na sever než na jih, jak dokumentuje obrázek (Obr. 7-5). Proto je nutné polohu základní rovnoběžky volit poněkud severněji, než je střed zobrazované oblasti. Polohu základní rovnoběžky je možné vypočítat z podmínky totožného zkreslení severní a jižní rovnoběžky území, jejichž zeměpisné šířky jsou Us a Uj. 75 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie v /f >^ / / / u\ rxMik \ Pl Obr. 7-4 Volba konstanty po u ekvidistantního kuželového zobrazení Uvedenou podmínku lze vyjádřit rovnicí: Po dosazení odpovídajících proměnných z rovnice ( 7-13 ) se získá vztah: m _ m RcoUs RcoUj kde se výrazy ps a pj se dosadí podle vztahu ( 7-12 ): Ps=A)-%Us-Uo) Pj=P-F^Jj-U0) Použije-li se pro výpočet po vztah ( 7-14 ), potom bude: cog^lcožT, -což^ )={fJscoíIj -Uj coUs )-U0{^oíIj -cošJs) Odtud bude po úpravě: _ řZC0Í/--ř/-C0ÍZ TT COtěž= W-coíZ ^ (7-18 ) Rovnici (7-18 ) je nutné řešit aproximací v několika krocích. Jako počáteční hodnotu je možné volit 0—T~ Ukázka tohoto typu zobrazení, které odvodil Ptolemaios (Claudius Ptolemaeus, 83 - 161) je na obrázku (Obr. 7-5), v němž byla volena základní rovnoběžka Uo = 50°. Na obrázku jsou též vykreslené ekvideformáty délkového a plošného zkreslení. 76 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 7-5 Ukázka Ptolemaiova zobrazení pro Us=70° a Uj =30° a graf průběhu délkového zkreslení 7.2.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Ekvidistantní kuželové zobrazení je možné řešit tak, aby dvě předem dané rovnoběžky Ui a Lh byly délkově nezkreslené. V tomto případě platí: Dosadí-li se za p\ a.pi výrazy ( 7-12 ), po úpravě bude: fáoU^rfa-HUi-UoJi Pokud se druhá rovnice odečte od první, potom bude: Hco Ux -co U2)=nB(J2 -Ux) odkud se vypočítá první konstanta n: „=CQŽj-COŽ/2 (7.,9) U2 Uy Hodnota po se poté vypočítá dosazením za vypočítané n do jedné z obou výchozích rovnic. Bude tedy: RcoU^^lrt-m-Uo)] Odtud se po úpravě získá vztah pro výpočet druhé konstanty: 77 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie A _I{(U2 -U.jcoU^U -í/0)coi/2] (7-20 ) Poloha rovnoběžky Uo se zpravidla volí uprostřed mezi rovnoběžkami Ui a U2. Ekvidistantní kuželové zobrazení o dvou nezkreslených rovnoběžkách odvodil de Visle, který při svém řešení volil konstantní úhlové vzdálenosti mezi jednotlivými konstrukčními rovnoběžkami. V tomto případě tedy platí: 2 Uj+Uq 2 Us+U0 Jeho použití na území Evropy a průběh délkového zkreslení tohoto zobrazení vypočítaného za stejných vstupních podmínek jako na obrázku (Obr. 7-5) je uveden na obrázku (Obr. 7-6). Ě0. 5S.6S. 50. 46. 40. 70. 30. 25. 20. 1S. 10. s. 0. s. 60- ■.u- /X J*/ /^Ĺ_ .leť. J / J / *C> / / pEhfiJ »■ w ,/ / /\/ / / ? 55- C// y^f^J / /'i / ^^^1 lil ľ—~T~&^ ^^-Z / •/ 25- 30- ií- 10- 5- 5- i0- ií- 30- 25" De 1'lsleovo zobrazeni délkové zkreslení - it *n *e en ee an ac 7r 0ž>r. 7-6 Ukázka použití de l 'Isleova zobrazení pro Us=70° a Uj =30° a graf délkového zkreslení Ekvidistantní kuželové zobrazení o dvou nezkreslených rovnoběžkách lze řešit i ve variantě totožného zkreslení nej severnější a nej jižnější rovnoběžky zobrazovaného území. Poloha nezkreslených rovnoběžek v tomto případě není předem dána, ale vyplyne z výše uvedené podmínky. Tuto variantu rozpracoval Vitkovskij, který připojil další podmínku, aby základní rovnoběžka měla v absolutní hodnotě stejné zkreslení jako rovnoběžky krajní. Polohu základní rovnoběžky přitom zvolil uprostřed území, tedy: u0--2— Z této podmínky se odvodí hodnota po postupem stejným jako při odvozování předchozí varianty zobrazení. Podmínku totožného zkreslení lze vyjádřit: 78 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie n\s =171,. tedy: npj RcoUe RcoU; a odtud se po dosazení za ps a pj z ( 7-12 ) obdrží výsledný vztah: _IIUS -Upjcoilj -{Uj -U0)coUs\ co£/;-coiZ (7-21 ) Podmínku shodné absolutní hodnoty zkreslení na základní rovnoběžce Uo a krajních rovnoběžkách lze vyjádřit podle obrázku (Obr. 7-7): IThFTO -j Vrtkovského zobrazení délkové zkreslení — rrp 30 35 40 45 50 55 60 65 70 U Obr. 7-7 Graf délkového zkreslení Vitkovského zobrazení pro Us=10° a Uj =30° kde vm je délkové zkreslení vyjádřené v poměrové formě jako vm = m -1. Sečtením obou rovnic se získá vztah: nis +nio =2 tedy: a odtud: m -i t t ^ RcoUs RcoUq n- 2RcoUscoíJ0 ' pscoU0+a>coUs (7-22) 79 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pokud je nutné znát polohu nezkreslených rovnoběžek, například pro jejich zadání do parametrů zobrazení při vizualizaci digitálních dat v používaném programovém prostředí, jejich zeměpisné šířky lze vypočítat na základě zákonů zkreslení: % RcoíJ, Dosazením za p\ a pi z rovnice ( 7-12 ) se po úpravě získají vztahy: coí>í=^-(jí+L& coU2=J^-U2+U0 (7-23 ) Hodnoty Ui a U2 se určí opět některou z metod postupné aproximace. Při prvním přiblížení je možné do pravých stran rovnic dosadit: Ul--7T Na následujícím obrázku (Obr. 7-8) je ukázka použití Vitkovského zobrazení pro Us = 70° a Uj = 30°, ve kterém mají nezkreslené rovnoběžky hodnoty U\ = 36°55' a Ui = 66°02\ SO" 55- S5- 45" 40" 35" 70" 20" 15" 10" 0> 0 E.0- /Ní / //^-h-i / T Nc //r-ĹJ i w Z 25- 20- 1S-30- 10- =■ 0 =■ 10- 30-15- 20- 25- Obr. 7-8 Ukázka Vitkovského zobrazení pro Us=70° a 17/ =30° 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení Ekvivalentní kuželové zobrazení je definováno základním vztahem vycházející z podmínky: mpi =mpn\ =1 80 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie která po dosazení za délková zkreslení z ( 7-6 ) a ( 7-7 ) získá tvar: -dp np _| RdLRcošJ~ a po úpravě tvar vhodný pro integraci: Po integraci výrazu se získá první zobrazovací rovnice: ^=tf-f(sa/-*ú£í) Druhá zobrazovací rovnice bude ve tvaru ( 7-5 ), tedy: s=nV Zákony zkreslení mají tvar: 1 np (7-25 ) ny RcoU ™pl =1 ckJxD_rtf?-IČcoW Pro úplnou definici zobrazení je nutno určit konstanty n a po pomocí doplňujících podmínek, které zpřesňují jeho parametry. Obdobně jako u ekvidistantního kuželového zobrazení se volí podmínky, že jedna nebo dvě rovnoběžky jsou nezkreslené. 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Podmínku nezkreslené základní rovnoběžky Uo je nutné doplnit podmínkou, aby se pól zobrazil jako bod totožný s počátkem rovinného polárního souřadnicového systému. Uvedenou podmínku lze vyjádřit z rovnice ( 7-24 ) dosazením za U = 90° a p = 0. Z toho: /7_2^(l-sinV0) Ŕ Podmínku nezkreslené základní rovnoběžky je možné vyjádřit rovnicí: m -i RcoUq Společným řešením obou rovnic pro dvě neznámé se obdrží rovnice pro jejich vypočet ve tvaru: (7-26) 81 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (7-27) Základní rovnoběžka se zpravidla opět volí uprostřed mezi severní a jižní rovnoběžkou zobrazovaného území. Tato varianta je zajímavá tím, že platí: což si lze geometricky představit tak, že se kužel referenční koule vůbec nedotýká. Tato varianta zobrazení se nazývá Lambertovo kuželové ekvivalentní zobrazení. Průběh jeho délkového zkreslení v rovnoběžkách a polednících je na obrázku (Obr. 7-9). Lambertovo ekvavalentní kuželové zobrazení délková zkreslení 1,1 1,08 1,06 1,04 1,02 1 0,98 0,96 0,94 0,92 0,9 -mp 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Obr. 7-9 Graf délkového zkreslení Lambertova ekvivalentního kuželového zobrazení pro Us=70° a Uj =30° 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Podobně jako u ekvidistantního kuželového zobrazení i v této variantě je možné předem zvolit dvě rovnoběžky (U\ a Ui), které se nebudou délkově zkreslovat. Platí zde tedy opět rovnice: __npL_ _ np2 ^"TfcolJ které po umocnění a po dosazení za pi2 a pi z ( 7-24 ) nabudou tvar: 2R2 rř rř >qg—^-(sinLÍ-sirf/o) ^-^(siiŕ/2-siiŕ/0) =iČcoš^ =I?cošU2 Rovnice se od sebe odečtou a z jejich rozdílu se odvodí první konstanta n: cqžEj-cožEj, _ 1 / irí7 iríy \ (7-28) 82 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Druhá konstanta po se získá po dosazení výrazu ( 7-28 ) do jedné z předcházejících rovnic. Jeho dosazením například do první z rovnic se tato konstanta vypočítá podle výrazu: (7-29) Základní rovnoběžka Uo se zpravidla volí uprostřed mezi nezkreslenými rovnoběžkami U\ a U2. Zobrazení se často nazývá Albersovo. Ukázka tohoto zobrazení pro území Evropy a graf průběhu délkových zkreslení v polednících a rovnoběžkách je na následujícím obrázku (Obr. 7-10). \ í 1 J \ V J[í v, \ Ú M f Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkresleni 30 35 40 45 50 55 50 55 70 Obr. 7-10 Ukázka Albersova ekvivalentního kuželového zobrazení pro Us=60° a Uj =40° a graf délkového zkreslení 7.4 Konformní kuželové zobrazení Konformní kuželové zobrazení je definováno podmínkami: mp=mr F=0 Druhá podmínka je opět u jednoduchých zobrazení vždy splněna, proto postačí vyjít pouze z první podmínky, která po dosazení za délková zkreslení z ( 7-6 ) a ( 7-12 ) bude mít tvar: -dp _ np RdlTRcoU Výraz ( 7-30 ) se integruje: fb • dU což/ a po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: \np-\npb =-r\ lnř^ +45j-lnř^-^ +45^ (7-30) který lze po odlogaritmování vyjádřit také ve tvaru: 83 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (7-31) Při použití vyjádření izometrické šířky podle ( 1-23 ) lze rovnici ( 7-31 ) napsat ve tvaru: p=fb^Q>-<ž) (7-32) kde e = 2,718281... je základ přirozených logaritmů. Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 7-5 ), tedy: s=nV Zákony zkreslení jsou vzhledem k výchozí podmínce konformního zobrazení ve tvaru: m Rcoll Ax>=0 (7-33) U kuželových konformních zobrazení se vždy počátek rovinné polární souřadnicové soustavy ztotožňuje s pólem, protože rovnice ( 7-31 ) nabývá pro U = 90° hodnotu p = 0. Konstanty po a n se určují opět podle doplňujících podmínek, kterými se zpřesňují typy zobrazení. Mezi základní varianty opět patří zobrazení s jednou nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. 7.4.1 Konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou První varianta uvažuje zobrazení s jednou nezkreslenou základní rovnoběžkou obdobně, jak bylo uvedeno v odstavci 7.2.1 . V tomto případě se však zpravidla základní rovnoběžka dodatečně zkresluje a rovnice ( 7-14 ) tak získává tvar: A=^Ot^0 (7-34) kde mo je délkové zkreslení základní rovnoběžky, které je vždy menší než 1. Tím vzniká zobrazení se dvěmi nezkresleným rovnoběžkami. Jejich zeměpisnou šířku U\ a Ui je možné opět vypočítat ze vztahů: fl RcoáJ, kde za p\ a pi se dosadí výraz ( 7-31 ). Výpočet konstanty n je stejný jako v odstavci 7.2.1 , tedy 7Z=SÍlí/0 84 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Uvedený typ zobrazení je použit například při zobrazení základních map České republiky (Křovákovo zobrazení), ovšem v šikmé poloze (viz kapitola 11). 7.4.2 Konformní kuželové zobrazeni se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Budou-li požadovány dvě, předem dané rovnoběžky Ui a U2, které nebudou délkově zkreslené, potom budou platit podmínky: h RcoU, Z těchto podmínek se odvodí výrazy: Rcoí^ P Pl- ti RcošJ2 n které se vzájemně podělí. Po jejich dělení se získá vztah: pj _CO&7| p2~coU2 Dosazením vztahu ( 7-31) a po úpravě se obdrží: Odtud lze vypočítat konstantu n: lncoi^-lncoi^ n- Q-Q (7-35) Druhá konstanta se vypočítá z rovnice ( 7-31 ) dosazením za p\ nebo pi\ Pb _Rcoi/l n \2 J RcoíÁ n U V1 2 J 1 J (7-36) Rovnici ( 7-36 ) je možné vyjádřit formálně i pomocí základu přirozených logaritmů e: 85 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie _RcoáJl giQ-Q) _RcoáJ2 giQ-Q,) (7.37) n n Základní rovnoběžka Uo se opět zpravidla volí uprostřed mezi nezkreslenými rovnoběžkami Ui a U2. Zobrazení se nazývá Lambertovo a je často požíváno pro letecké navigační mapy standardizované podle norem ICAO {International Civil Aviation Organization) nebo NATO (viz. kapitola 12). Zobrazení je použito též při tvorbě státních mapových děl například v Belgii. Na obrázku {Obr. 7-11) je ukázka zobrazení pro střední Evropu a graf průběhu délkových zkreslení. Obr. 7-11 Ukázka Lambertova konformního kuželového zobrazení pro Ui =40° a U2=60°agrafjeho délkového zkreslení 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení Kuželové zobrazení je zpravidla vhodné pro území protáhlého tvaru ve směru rovnoběžky. Pokud má území protáhlý tvar, avšak jeho osa není ve směru zeměpisné rovnoběžku, je možné tuto osu nahradit rovnoběžkou kartografickou a pro jeho zobrazení použít šikmou polohu tak, jak je uvedeno v odstavci 1.2.2.a . 86 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8. Jednoduchá azimutální zobrazení Azimutální zobrazení je možné chápat jako mezní případ kuželových zobrazení, kdy konstanta n = 1 a počátek polární rovinné souřadnicové soustavy (vrchol kužele) splyne se zeměpisným nebo kartografickým pólem. V tomto typu zobrazení je obrazem sítě poledníků soustavou polopřímek vycházejících z pólu a obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v pólu. Tyto soustavy jsou navzájem ortogonální a ve směrech poledníků a rovnoběžek taktéž leží hlavní paprsky zkreslení. Jednoduchá azimutální zobrazení se nejčastěji používají pro zobrazení z referenční koule, a takto budou i odvozována v následujících odstavcích. Odvozované rovnice budou platné pro pólovou polohu, i když v tomto případě bývají velice často používány rovníková nebo obecná poloha. Zobrazení se však používají i pro zobrazení referenčního elipsoidu (například zobrazení UPS - Universal Polar Stereo graphič) 8.1 Základní vztahy a vzorce U azimutálního zobrazení se ztotožňuje počátek rovinné pravoúhlé sítě s obrazem pólu (středem zobrazení). Při pólové poloze je tento střed v obrazu zeměpisného pólu, v rovníkové nebo šikmé poloze potom v obraze kartografického pólu. Jeden z poledníků se zvolí jako základní, od něhož se odečítají zeměpisné (kartografické) délky. Do obrazu tohoto poledníku se vkládá osa X. Jako základní poledník se zpravidla volí střední poledník zobrazovaného území, který je i kolmý na severní a jižní rám budoucí mapy (viz Obr. 8-1). X Y Obr. 8-1 Volba polohy souřadnicových os azimutálního zobrazení Pokud je azimutální zobrazení voleno v rovníkové nebo šikmé poloze, obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou zpravidla složitými křivkami. Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem a tedy i s osou X, je zobrazen jako přímka (viz Obr. 8-3, poledník V=20°). Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení se vyjadřují pomocí polárních rovinných souřadnic p, s jejichž převod do pravoúhlé soustavy je dán rovnicemi: x=pco& y=púv£ 87 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (8-3) (8-4) kde s je pravotočivý úhel odečítaný od kladné větve osy X. Azimutální zobrazení se zejména využívá ke zobrazování oblastí rozložených v blízkosti pólu (zeměpisného nebo kartografického). Z tohoto důvodu je výhodné nahradit zeměpisnou (nebo kartografickou) šířku zenitovým úhlem počítaným podle vztahu: Z=9G-U U azimutálního zobrazení je nutné vždy zobrazovat celé území kolem pólu zobrazení (celý kruh). Obecné zobrazovací rovnice lze potom psát ve tvaru: P=f(Z) (8-D £=V (8-2) Zákony zkreslení se vyjádří obdobně jako u kuželového zobrazení s tím rozdílem, že zde v zobrazovacích rovnicích nevystupuje žádná konstanta: dp _ p Úhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: rripj =npiíp (8-6) Všechna zkreslení jsou opět funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty všech zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení. V dalších odstavcích jsou odvozené nejběžnější typy azimutálních zobrazení. 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení Nejčastější ekvidistantní azimutální zobrazení je zobrazení Postelovo, které je ekvidistantní v polednících. Jeho zobrazovací rovnice vycházejí ze vztahu: ^ RdZ Uvedená diferenciální rovnic se bude integrovat v mezích od 0 do Z, resp. p, protože pól bude vždy zobrazen jako bod: jclp=RJdZ První zobrazovací rovnice bude potom ve tvaru: P=R2 (8 7) Druhá zobrazovací rovnice bude ve tvaru ( 8-2 ), tedy: £=V 88 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-3 ), ( 8-4 ), ( 7-9 ) a ( 7-10 ) budou ve tvarech: mp=l (8-8) Sil^ = g-Síng (810) 2 Z+sinZ Význam zobrazení spočívá v zachování skutečné vzdálenosti od pólu zobrazení k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru. Proto se toto zobrazení často používá tam, kde je nutné rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa, a to jak ve vojenských, tak i v civilních aplikacích (např. displeje radiolokátorů, apod.). Stejně tak se toto zobrazení velmi často požívá pro mapy polárních oblastí. Příklad takovéto mapy pro oblast severního pólu je uveden na obrázku (Obr. 8-2). Obr. 8-2 Ekvidistantní azimutální zobrazení pro oblast severního pólu a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Zobrazení se často používá i v obecné poloze, v níž se zobrazují kartografické poledníky jako polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu a kartografické rovnoběžky jakou soustředné kružnice. Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou však složité křivky (Obr. 8-3). 89 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 40-0'0"N 60'0'0"N 100"0'0T« 180"0'0"E 60°0'0"N 40D0'0"N 30"0'0"W 10'0'0-W 0"0'0"E 10"0'0"E 30"0'0"E 50'0'0"E 60-0'0"E 70-0'0"E Obr. 8-3 Ekvidistantní azimutální zobrazení kartografickým pólem v Brně (14 = 49° 12', Vt =16°36') Variantou zobrazení je doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Zo. V tomto případě je nutné stanovit podmínku nezkreslené rovnoběžky aplikací rovnice ( 8-9 ) zavedením redukční konstanty c: pro Odtud: m,oc=\ sin^, _sinZo (8-11) Zobrazovací rovnice pro p ( 8-7 ) potom bude ve tvaru: p=cR2 (8-i2) Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-8 ), ( 8-9 ) a ( 8-10 ) budou ve tvarech: mp -c m. cZ sinZ sinZ sin Az>_Z-sinZ 2 Z+sinZ (8-13) (8-14) (8-15) (8-16) Vzhledem k rovnici ( 8-13 ) je zřejmé, že se v tomto případě jedná o zobrazení s konstantně zkreslenými poledníky. 90 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení Základní rovnice ekvivalentního azimutálního zobrazené se odvodí ze vztahu: nyn^=l, odtud dp P -\ RdZRsinZ Uvedená rovnice se opět integruje ve stejných mezích jako ekvidistantní zobrazení: ^pdp=I^úvZd2 o o Po integraci se vypočte: S uvážením obecného vztahu: ^=#(l-co£) l-cosľ=2sirf-^ se první zobrazovací rovnice může vyjádřit i vztahem: /?=2flsin? (8-i7) Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: £=V Délkové zkreslení v rovnoběžkách se vyjádří vztahem ( 8-4 ). Pokud se za p dosadí výraz ( 8-17 ), potom lze psát: 7 ^ mp RsivZ S uvážením obecného vztahu: sina=2sin^co^ lze po úpravách psát: _ 1 _ 1 ~m "Z (8-18) T> COfc Plošné a úhlové zkreslení budou potom ve tvarech: ^=1 (8-19) 91 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie sin ^=l-co§! 2 1+cošŽ (8-20) Příklad zobrazení pro pól na rovníku je na obrázku (Obr. 8-4) Ekvivalentní azimutálni zobrazeni 0 20 30 40 50 60 70 Obr. 8-4 Ekvivalentní azimutálni zobrazení (Uo=0°, Vo=0°) a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Z charakteru zobrazení je zřejmé, že hlavní délkové měřítko, které je uváděné na mapě používající toto zobrazení, platí pouze ve středu zobrazení. Proto se někdy volí varianta zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Zo. V tomto případě potom vzniká zobrazení s konstantním zkreslením ploch. Původní délkové zkreslení na této rovnoběžce je: 1 COŠJ Aby bylo rovno jedné, je nutné zavést konstantu c. Potom: m,c=\ a odtud C=COSJ (8-21) Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-17 ) až ( 8-20 ) budou potom mít tvar: n% c co ~Z Z ( 8-22) (8-23) ( 8-24) (8-25) 92 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1-cošZ (8"26) S1IW=-y 2 l+co§| Ekvivalentní azimutální zobrazení, nazývané též Lambertovo, je často používáno při zobrazování velkých územních celků na jedné mapě. Známé je například jeho použití při zobrazení zemských polokoulí ve školních zeměpisných atlasech (viz Obr. 8-4) s cílem zachovat poměry ploch jednotlivých kontinentů. 8.4 Konformní azimutální zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky: nip =ni. kdy po dosazení rovnic zkreslení bude: dp _ p RdZRsirZ Vzhledem k tomu, že p a Z nabývají i nulových hodnot, výraz se integruje neurčitým integrálem: dZ tdpj J n J < ( 8-27) p J sinZ Po integraci se obdrží: 7 Xvip-Xvíg-^ +lnc Po odlogaritmování se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: £=V Zákony zkreslení budou potom mít tvar: _ c m~~ 77 (8-28) 2ftcoš| ľUp^nr (8-29) Ai>=0 (8-30) Hodnota parametru c se určí z doplňujícího požadavku na délkové zkreslení. Obecně lze stanovit, že rovnoběžka Zo se nebude délkově zkreslovat. Pro ni platí: 111=1 tedy 93 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie RsítíZq Pokud se dosadí za po výraz ( 8-27 ), a opět využije se obecný vztah sina=2sir&oš? potom lze psát: Odtud: ct4 =1 c=2ftcoš^| Rovnice ( 8-27 ) a ( 8-28 ) potom budou mít tvar: coš C05 5 2 (8-31) (8-32) (8-33) V případě požadavku na nezkreslený pól (Zo=0°), rovnice ( 8-31 ), ( 8-32 ) a ( 8-33 ) budou ve tvaru: c=2R m- 1 COÍ ~Z (8-34) (8-35) (8-36) Poznámka: Místo stanovení hodnoty nezkreslené rovnoběžky se někdy používá přímo hodnota délkového zkreslení na pólu, často nazývaná měřítkový faktor. Tento postup je například použit při definování zobrazení UPS (Universal Polar Stereographic). Blíže viz. odstavec 12.2 Ukázka konformního azimutálního zobrazení je na obrázku (Obr. 8-5). 94 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 8-5 Konformní azimutální zobrazení ({/o=50°, Vo=15°) a graf zkreslení v rovnoběžkách 8.5 Azimutální projekce Ve skupině azimutálních zobrazení jsou někdy využívány i postupy odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů - projekcí. Tyto postupy nejsou v současné době využívány u válcových a kuželových zobrazení, proto v příslušných kapitolách nebyly uváděny. Princip azimutálních projekcí vychází z matematického vyjádření projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu. Střed promítání leží na normále k zobrazovací rovině procházející středem koule (viz Obr. 8-6)._ Obr. 8-6 Princip azimutální projekce Obr. 8-7 Gnomonická projekce Podle tohoto obrázku platí: p _ C+R ifeinZ C+Rco& 95 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ze vztahu se odvodí první zobrazovací rovnice: {C+R)RsmZ (8.37) ^ C+RcoZ Druhá zobrazovací rovnice bude stejná, jako u všech azimutálních zobrazení, tedy ve tvaru ( 8-2): £=V Stejně tak budou stejné i zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-3 ) až ( 7-10 ). Jednotlivé typy azimutálních zobrazení se liší volbou konstanty C. 8.5.1 Gnomonická projekce Gnomonická (centrální) projekce vzniká při promítání ze středu koule. V tomto případě je konstanta C rovna nule (Obr. 8-7). Dosadí-li se tato hodnota do obecných zobrazovacích rovnic a zákonů zkreslení, potom bude: P=Rtgí (8-38) S=V (8-39) 1 coáT 1 cošZ (8-40) (8-41) ( 8-42) Aa> . ,Z (8-43) Sin-T=^2 Gnomonická projekce je charakteristická tím, že všechny ortodromy se zobrazují jako přímky. Ortodromy jsou na kouli hlavními kružnicemi vzniklými jako řezy rovin jdoucích středem koule. Z toho důvodu je zřejmé, že průsečnice dvou rovin (roviny ortodromy a průmětny) může být pouze přímka. Ukázka gnomonické projekce je na obrázku (Obr. 8-8) 96 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 8-8 Ukázka gnomonické projekce, poloha pólu: U = 40°s.š., V = 75°z.d. 8.5.2 Stereografická projekce Stereografická projekce vznikne, umístí-li se projekční centrum do protilehlého bodu referenční koule (viz Obr. 8-9). Konstanta C potom bude rovna poloměru koule R. Pokud hodnota konstanty C bude dosazena do zobrazovacích rovnic a rovnic zkreslení, potom se získají následující vztahy: S=V (8-45) 2 _ 1 ^-^-l+co^-—^ (8-46) cos2 1 % 7Z (8-47) coá2 M>=0 (8-48) Srovnají-li se vztahy ( 8-44 ) až ( 8-48 ) se vztahy pro konformní azimutální zobrazení v odstavci, potom je patrné, že rovnice jsou stejné. Stereografická projekce je tedy zároveň i konformním zobrazením a toto zobrazení lze tudíž odvozovat jak matematickou, tak i geometrickou cestou. 97 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8.5.3 Ortografická projekce Ortografická projekce vzniká promítáním z nekonečna, parametr C je tedy co. Princip projekce je zřejmý z obrázku (Obr. 8-10), ze kterého je možné psát ihned zobrazovací rovnice: P=RsÍl)Z (8-49) £=V Zákony zkreslení nabývají po úpravách tvarů: mp =mpi= co Z (8-50) m\=\ (8-5D šinuté2! ^ Z rovnic zkreslení je zřejmé, že ortografická projekce je současně ekvidistantním azimutálním zobrazením v rovnoběžkách, jehož zobrazovací rovnice lze odvodit i matematickou cestou. P" P Ps 71 P p 71 \ / PX R /\ x / \ / \ RcosZ \ / \ 1 ^ C ra/rík j í 1 O rcMÍk l 1 \ x \ \ \ \ \ \ \ X \ C / C=ao y \^ \ S i Obr. 8-9 Stereografická projekce Obr. 8-10 Ortografická projekce 9. Nepravá zobrazení Nepravá zobrazení jsou charakteristická tím, že zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. Jiné jejich charakteristiky však mění a tyto změny se potom odrážejí do tvarů zeměpisných poledníků. Nepravá zobrazení mají jednu zobrazovací rovnici funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Proto nelze jejich zobrazovací rovnice odvozovat obdobně jako u jednoduchých zobrazení. Stejně tak hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek a úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. Vznik nepravého zobrazení si není možné představit prostorovým promítáním koule na plášť válce či kužele nebo přímo do roviny. Nepravá zobrazení se vždy odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebo, a to poměrně často, jsou definována konstrukčním návodem. 98 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Poznámka: Název nepravá zobrazení je používán pro tuto třídu zobrazení poměrně často, přesto se lze setkat i s jinými názvy, například pseudozobrazení, pazobrazení apod. Při užití zobrazení je navíc vhodné a praktické znát název zobrazení. Zejména při použití programových nástrojů obsažených v různých projektech bez znalosti názvu zobrazení se někdy pouze obtížně vybírá odpovídající typ zobrazení. Nepravá zobrazení se často využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listě, takzvané planisféry. Z tohoto důvodu se většina zobrazení používá v pólové poloze s referenční koulí jako náhradní plochou. Výjimečně jsou tato zobrazení používána v rovníkové nebo šikmé poloze. V tomto případě je nutné v zobrazovacích rovnicích nahradit zeměpisné souřadnice souřadnicemi kartografickými. 9.1 Nepravá válcová zobrazení Nepravá válcová zobrazení jsou definována zobrazovacími rovnicemi ( 9-1 ) (viz. kapitola y=f(u,V) Vzhledem ke tvaru obecných zobrazovacích rovnic je zřejmé, že se rovnoběžky zobrazují jako soustava rovnoběžných přímek s obrazem rovníku, zatímco tvar poledníků budou křivky symetrické k obrazu základního poledníku. Základní poledník je volen jako střední poledník zobrazovaného prostoru a jsou od něho odečítány hodnoty zeměpisné délky. Osa X se ztotožňuje s obrazem tohoto poledníku. Osa F se ztotožňuje s obrazem rovníku. Podle tvaru obrazů poledníků se zpravidla rozlišují zobrazení sinusoidální, eliptická, kruhová, přímková atd. Rovnice zkreslení lze odvodit z obecných rovnic uvedených v kapitole 3. Jejich aplikací se pro zobrazovací rovnice ( 9-1 ) nejprve vyjádří Gaussovy koeficienty: (9-2) dUdV a s jejich pomocí potom i vlastní obecné rovnice zkreslení: 4Ě m, R 4G Rcoíl H (9-3) (9-4) (9-5) 99 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie tSĹO_ 1 8 2 2\ (9-6) 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidální zobrazení V těchto zobrazeních se poledníky zobrazují jako části sinusoid. Zeměpisné póly se zpravidla zobrazují jako úsečky s výjimkou Mercator - Šansonová zobrazení, v němž se zeměpisné póly zobrazují jako bod. Nejznámější jsou zobrazení Mercator - Sansonovo a Eckertovo. Další zobrazení odvozoval zejména Kavrajskij a Urmajev. Popis těchto zobrazení zde není uveden, je však možné je nalézt například v ([15] nebo [9]). 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení Mercator-Sansonovo zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem a současně jako ekvivalentní. Toto zobrazení odvodil Mercator, prvně použil Francouz Nicalus Šanson (1600 - 1667) a později jej aplikoval i Flasteed (John Flamsteed, 1646 - 1719), kterému je někdy připisováno i spoluautorství. První podmínku je možné vyjádřit rovnicí: z čehož plyne výraz: RcoU ^-=RcoU (9-7) ov který se pro konstantní U po úpravě integruje: \dy^Rco$j\d\ o o Po integraci se obdrží zobrazovací rovnice ( 9-8 ): y=R\bo& (9-8) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslení ploch s využitím výrazu ( 9-5 ). Platí: H=F?co& tedy dx dy --IČCOŠJ (9-9) dUdV Dosadí-li se do výrazu ( 9-9 ) výraz ( 9-7 ), potom se po úpravě obdrží: 100 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ^--=R (9-10) dU Integrací výrazu ( 9-10 ) se získá první zobrazovací rovnice (9-11 ): y=RVcoíJ Z tvaru zobrazovacích rovnic vyplývá, že obrazem pólů jsou body a že vzdálenost obrazů rovnoběžek je konstantní (Obr. 9-1). Současně je z první rovnice zřejmé, že základní poledník zůstává délkově nezkreslen a je tudíž splněna i třetí podmínka. Z tvaru zobrazovacích rovnic je možné odvodit i všechny rovnice zkreslení: ^=VT+šnfW =1 (9-12 ) Na grafech (Obr. 9-2, Obr. 9-3) je průběh délkového zkreslení v polednících a úhlového zkreslení. Oba grafy zobrazují pouze jeden kvadrát celé planisféry. Zbylé tři kvadráty mají zkreslení symetrická podle základního poledníku a rovnoběžky. Tatáž vlastnost je i ostatních nepravých válcových zobrazení. Obr. 9-1 Mercator-Sansonovo zobrazení, základní poledník 0° 101 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-2 Graf délkového zkreslení v polednících Mercator-Šansonová zobrazení IVbrrator-SansorxMJzobrazert 0 10 203040 50 6070 80 90 U ■10° 20° 30° 40° 50° ■60° ■70° ■80° ■90° 100' 110 120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 Obr. 9-3 Graf hodnot maximálního úhlového zkreslení Mercator-Šansonová zobrazení 9.1.1.b Eckertovo sinusoidální zobrazení U Mercator-Sansonova zobrazení dochází ke značným úhlovým zkreslením zejména ve vyšších hodnotách zeměpisné šířky (viz Obr. 9-3). Tuto nevýhodu se snažil odstranit německý kartograf Max Eckert (1868 - 1938). Navrhl zobrazení, v němž jsou póly zobrazeny úsečkami stejné délky jako základní poledník a současně poloviční délky obrazu rovníku. Přitom zobrazení navrhl jako ekvivalentní tak, že plošný obsah celého obrazu Země je stejný jako plocha zobrazované referenční koule o poloměru R. Odvození zobrazovacích rovnic je poměrně složité, a proto jsou dále uvedeny pouze jejich konečné vztahy. Celé odvození je uvedeno například v [15]. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: 2R X = IV Y = 2R U' —==VcosÁ — V^T2 2 (9-13) 102 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie n+ 2 sinU' + U' =-sinU n Upravenou zeměpisnou šířku ve vztahu ( 9-13 ) je nutné řešit postupnou aproximací. Někdy je však vhodné výraz pro výpočet U' nahradit Newton-Raphsonovou iterací ve tvaru: LT+sid/- f tt) údJ 1 V (9-14) 1+coi/ Rovnice zkreslení potom nabývají tvaru: VŤT+2COŽ/ ľľlp ZCOS^COSf 2coí m,. ' 2 (9-15) VŤŤ+2COŽ/ Ukázka Eckertova sinusoidálního zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-4). Poznámka: Max Eckert kromě zde uvedeného zobrazení, označováno jako Eckert VI, navrhl ještě dalších pět nepravých válcových zobrazení pro mapu celého světa zobrazeného na jednom mapovém listě označených Eckert I (přímkové zobrazení), Eckert II (přímkové ekvivalentní zobrazení), Eckert III (eliptické zobrazení), Eckert IV (eliptické ekvivalentní zobrazení), Eckert V (sinusoidami zobrazení). Při jejich aplikaci, zejména v prostředí nástrojů GIS, je nezbytné věnovat pozornost jejich charakteru a matematickému vyjádření. Obr. 9-4 Eckertovo pseudoválcové sinusoidami ekvivalentní zobrazení, Vo=0° 103 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 9.1.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení U nepravých válcových eliptických zobrazení se obrazy poledníků zobrazují jako části elips, případně i kružnic. Nejznámějším zobrazením je Mollweidovo, v literatuře je možné nalézt i další, například Ecertovo, Kavrqjského, Apianovo nebo Loritzovo. 9.1.2.a Mollweidovo zobrazení Německý matematik Karl Brandan Mollweide (1774 - 1825) odvodil zobrazení, které je pseudocylindrické ekvivalentní s poledníky ve tvaru elips. Celá Země je zobrazena do elipsy s poloosami v poměru a : b =1:2, poledníky V = ±90° zobrazí jako kružnice o poloměru p=b=Rj2. Vlastní zobrazovací rovnice vycházejí z parametrických rovnic elipsy, jimiž jsou vyjádřeny poledníky: 2/?W2 _ r 9-17 71 kde a je počítána postupnou aproximací podle tvaru ( 9-18 ) neboje vyhledávána v tabulkách. 2a-^\vQa=7is\vU (9-is) Rovnice ( 9-18 ) může v některých případech konvergovat pomalu, proto s výjimkou pólových oblastí je možné opět využít Newton-Raphsonovu iteraci, zde ve tvaru: -(a+sim-7rsiiU) (9.19) 1+cos/ a výsledný úhel a se potom vypočítá jako a=aíl (9-20) Zákony zkreslení nabývají tvaru: 71 rrlp =—-j=COl/SQWCSQ(T, kde r=—tm 7t m. =^?sed7cosŔľ (9_21) 71 Aú) 1 tg-7r=7yJn$+ni-2 2 2y Ukázka Mollweidova zobrazení se základním poledníkem 0° je na obrázku (Obr. 9-5). 104 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie j vfrlílU\\\\í 11*1. - 'v . " " ////. f \\W ■ ■ ■ i i' I.UII 'ílllh ^^^^ jeli , 1 i rni l i i i li ijj li; -• : ,i: 1 1 l": ■ »>% \' \ \ \ \\ \ 1 ''l' '■■ 1 1 'i i i 1 1 'i ■ lil lil!! w ---H?—H i n tľ-ii.';i.i.!! -h4 TT+-1-', \ \ \ -má -*-W-f-f- ; wmmm: MIS Obr. 9-5 Mollweidovo zobrazení se základním poledníkem 0° V Mollweidově zobrazení se pól zobrazí jako bod. Ve velkých zeměpisných šířkách a v blízkosti krajních poledníků dochází ke značnému zkreslení. Tuto nevýhodu se pokusil řešit americký kartograf John Paul Goode, který uvedené zobrazení použil pro konstrukci mapy celé Země tak, že jím zobrazil pouze ucelené části povrchu, jednotlivé kontinenty nebo oceány. Jednotlivé části jsou spojené na rovníku (Obr. 9-6). Uvedenou úpravou jsou vyloučené části sítě s velkým zkreslením, avšak nezíská se souvislý obraz Země. Goodovu upravuje možné aplikovat i na jiná nepravá válcová zobrazení. Obr. 9-6 Mollweidovo zobrazení v Goodově úpravě pro zobrazení kontinentů Poznámka: Obdobnou úpravu je možné provést i pro jiná nepravá válcová zobrazení, poměrně často jsou takto řešena různá Eckertova zobrazení. 9.2 Nepravá kuželová zobrazení Základní rovnice nepravých kuželových zobrazení v pólové poloze jsou vyjádřeny vztahy ( 9-22): 105 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P=f(U) (9.22) s=f(U,V) Vzhledem kjejich tvaru je zřejmé, že obrazem rovnoběžek budou obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení části kružnice se společným, pevným, středem. Poledníky však budou křivky různého druhu. Zákony zkreslení se odvodí aplikací rovnic pro výpočet Gaussových symbolů při užití polárních souřadnic uvedených v kapitole Zákony zkreslení. Vzhledem k zobrazovacím rovnicím( 9-22 ) budou mít rovnice pro výpočet těchto symbolů následující tvary: \dU) (9-23) H=_^pds ^WdV Jednotlivá zkreslení je možné počítat stejnými rovnicemi jako u nepravých válcových zobrazení, tedy rovnicemi ( 9-3 ), ( 9-4 ), ( 9-5 ) a ( 9-6 ). Po dosazení tvarů uvedených Gaussových symbolů rovnice zkreslení budou: .i \2 R (ds AdVj RcoU dp ds m _ PWW v tfcošJ tg 2 2 (9-24) (9-25) (9-26) (9-27) Obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení se i zde volí jako základní konstrukční poledník poledník procházející středem zobrazovaného území, do jehož obrazu se vkládá osa X a od něhož jsou potom odečítány zeměpisné délky V. Počátek rovinného pravoúhlého systému souřadnic se volí v průsečíku tohoto poledníku a základní rovnoběžky procházející rovněž středem zobrazovaného území (Obr. 9-7). Transformace z polárních souřadnic na rovinné je opět stejná jako u jednoduchých kuželových zobrazení: x=xl,-pco& y=psir)£ (9-28) 106 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie kde X V Ub Y Obr. 9-7 Princip nepravého kuželového zobrazení 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení Z nepravých kuželových zobrazení se v dřívější praxi uplatnilo zejména Bonneovo zobrazení (Rigobert Bonne, 1727' - 1795), kdy se používalo zejména pro mapy světadílů nebo větších států a případně i pro topografické mapy (například Francie, Švýcarsko apod.). Zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem Vo. Vzhledem k tvaru rovnice pro p, která je stejná jako u jednoduchého ekvidistatntního kuželového zobrazení, bude první zobrazovací rovnice: Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslených rovnoběžek. Pro konstantní hodnotu U bude tedy platit: P=a-F(u-u0) (9-29) p ds RcoUdV =1 tedy: ds= RcoU P Rovnice se integruje i P h a řešením integrálu se obdrží druhá zobrazovací rovnice ve tvaru: o_RcoUy p Derivací rovnic ( 7-12 ) a ( 9-30 ) podle U a V se získají výrazy: (9-30 ) 107 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dU ds ÔU í sirŕ/^ Rcoll \ p ŕ j dsRcoil ÔV~ p Po dosazení do ( 9-24 ), ( 9-26 ) a ( 9-27 ) bude: =1 2 2 (9-31) (9-32) (9-33) Z rovnice ( 9-32 ) je zřejmé, že Bonneovo zobrazení je současně zobrazením ekvivalentním. Ukázka zobrazení celého světa se základním poledníkem Vb=0° je na obrázku (Obr. 9-8). Obr. 9-8 Ukázka Bonneova zobrazení, základní rovnoběžka l/o = 60°, základní poledník V0=0o Mezním případem Bonneova zobrazení pro Uo=90° a po = 0 je zobrazení Werner-Stabovo (viz 9.3.1 ). 9.3 Nepravá azimutální zobrazení Mezi nepravá azimutální zobrazení se řadí zobrazení odvozená matematickou cestou, zobrazení vzniklá afinním promítání jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze nebo zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními. 108 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U nepravých azimutálních zobrazení v pólové poloze se kromě základního poledníku přímkově zobrazuje i poledník odkloněný od něho o 90°. V obrazech těchto poledníků se zpravidla umisťují osy X a F rovinné pravoúhlé sítě. Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení (viz 9.2 ). Zobrazovací rovnice ( 9-22 ) musí být vždy formulovány tak, aby při libovolných hodnotách U zeměpisné délce V = ±180° odpovídal úhel e = ±180°. Pro transformaci polárních souřadnic p a s na pravoúhlé se použijí vztahy (viz též kapitola Referenční plochy a souřadnicové soustavy): ^ . (9-34) Obrazy rovnoběžek jsou i zde soustředné kružnice se společným středem, poledníky se zobrazují jako různé křivky, proto i zde nemohou tato zobrazení být definována jako konformní. Dále jsou uvedeny příklady nepravých azimutálních zobrazení. 9.3.1 Werner-Stabovo nepravé azimutální zobrazení Johannes Werner (1468 - 1522) roku 1514 odvodil nepravé azimutální zobrazení, které lze uvažovat jako mezní případ Bonneova zobrazení, v němž se obraz zemského pólu ztotožňuje se středem rovnoběžkových kružnic (viz Obr. 9-9). V tomto případě pro Uo = 90° bude po = 0 a rovnice: bude mít tvar: p=fb-I{U-U0) P=RZ (9-35) kde Z = 90°- U. Dosazením uvedené rovnice do vztahu ( 9-30 ) se získá druhá zobrazovací rovnice: _ COŽ/t z ■ V (9-36) Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazení s tím, že místo U bude uvažován zenitový úhel Z. Po dosazení za p výrazu ( 9-35 ) budou mít tedy rovnice zkreslení tvar: mp= l+V2 sinZ (9-37) V Z j rfy=mpi=\ (9-38) tg^=\fifÄ (9-39) Zobrazení je rovněž ekvivalentní a současně ekvidistantní v rovnoběžkách. Werner-Stabovo zobrazení prvně použil v roce 1517 Johan Stab, proto se jeho jméno objevuje v názvu zobrazení. Hojně se v 16. a 17 století používalo pro mapy kontinentů. Ukázka zobrazení celé planisféry je na obrázku (Obr. 9-9). 109 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-9 Werner - Stabeovo zobrazení celého světa Poznámka: Toto zobrazení bylo odvozeno dříve, než Bonneovo, kterým bylo později zpravidla nahrazeno. 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení Dalším typem nepravého azimutálního zobrazení je zobrazení s oválnými ekvideformátami nazývané Ginzbugovo podle sovětského kartografa G.A.Ginzburga, nazývané také někdy zobrazení CNIIGAiK (Centralnyj naučnoisledovatelskij institut geodézii, aerofotosjomky i kartografii) podle instituce, kde Ginzburg pracoval. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: p=3/fein? (9-40) s=V-C í z v sin2V kde: Zmax je nej větší hodnota Z v zobrazovaném území, C, q jsou parametry, jejichž volbou je ovlivňováno zakřivení obrazů poledníků. Zákony zkreslení mají potom následující rovnice: Z ny =cos^secr tgr-- ^rnax ~' Z í Z ^ m,. =3sii%coscZl-2C^^cos2V 3 V Zen, mpl=mpmrco$' . tsCÚ 1 tg (9-41) 2 2^ ml+m; ™pl 110 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ukázka zobrazení části povrchu Země je na obrázku (Obr. 9-10). Vzhledem k obecné poloze zobrazení musely být nejdříve zeměpisné souřadnice převedeny na kartografické a teprve poté byly použity zobrazovací rovnice ( 9-40 ). i Mil 1.9/5 O.950 0.952 0,90» M'S. 1 ■1 ■ 1 • ... 0" 10" 20" 30" 40" 50" ÍO" Í0° 80° lis. 10" 20" 30* 40" 50° 60" Í0" ■ '•H ■ - 0" 10" 20" 30" 40" 50" 60" 70" li Obr. 9-10 Ukázka Ginzburgova zobrazení (převzato z [23]) 9.3.3 Modifikovaná azimutální zobrazení Od druhé poloviny 19. století vznikla řada zobrazení, které mají původ v jednoduchých zobrazení v příčné poloze. U těchto zobrazení se základní poledních a rovník zobrazují jako přímky, ostatní poledníky a rovnoběžky jako křivky. Póly se zobrazují jako body nebo křivky. Zobrazení jsou navrhována tak, aby byla vhodná pro zobrazení celého světa na jedné mapě -tzv. planisféry. Zobrazení vzhledem ke svému charakteru nikdy nemohou být konformní, často jsou však ekvivalentní. 9.3.3.a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení Ruský kartograf David A. Aitov (též Aitoff, 1889) sestrojil afinní průmět ekvidistantního azimutálního zobrazení v příčné poloze (Postelovo zobrazení) na rovinu z odkloněnou o 150° od roviny rovníku (o 60°od průmětny tt) (viz Obr. 9-11). Rovník se v tomto zobrazení nezkresluje a obrysová kružnice (pro poledníky AV = ±90°) se zobrazí jako obrysová elipsa celé Země (pro poledníky AV = ±180°). Základní poledník se zobrazí v poloviční délce. Číslování poledníků se nemění. Rovinné pravoúhlé souřadnice Postelová zobrazení se upraví tak, že se souřadnice y vynásobí dvěma a současně se dvěma dělí zeměpisné délky. Zobrazovací rovnice potom získají tvar: AV x=parccí >so Uco u _ V 2- J y=2/?arcc(psoí/coš^ V 2 j COS& sire (9-42) 111 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zobrazení tímto postupem ztrácí ekvidistantnost, na okrajích mapy však zmenšuje zkreslení. Ukázka zobrazení je na obrázku (Obr. 9-12). Ps Obr. 9-11 Princip Aitovova zobrazení -//rrrffi / JlŤitrjP 4TI im fiflfiilll PIS 'ffftí iW ' TT n W i H ' Hl \ i*V^%\ V' ŤTtTT y 1 '^řt muT T Obr. 9-12 Aitovovo zobrazení světa 9.3.3. b Hammerovo zobrazení Prof. Ernest H.H. Hammer užil téhož postupu jako Aitov pro zobrazení Lambertova jednoduchého ekvivalentního azimutálního zobrazení v rovníkové poloze. Zobrazení se po jeho autorovi nazývá Hammerovo nebo i Hammer-Aitovovo. Obrysová kružnice Lambertova zobrazení se transformuje do obrysové elipsy s poloosami: a=2Rj2 b=Rj2 Poměr poloos a:b je možné označit písmenem h. Tento poměr lze měnit a tím lze upravovat průběh zkreslení. Pokud je tento poměr 2:1, potom i Hammerovo zobrazení je ekvivalentní. Obecné rovnice zobrazení jsou: 112 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie X- IRúrtJ V7ž^l+coí/co&^ y-- l+co£/co& (9-43) Ukázka zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-13) Obr. 9-13 Hammer - Aitovovo zobrazení světa 9.3.3. c Wagnerovo zobrazení Zobrazení vznikají transformací jednoduchého azimutálního ekvivalentního zobrazení v rovníkové poloze a vhodným přečíslováním nejen poledníků, ale i rovnoběžek. Tento postup uplatnil například Wagner. Z původního zobrazení vyňal určitou část a formálně ji přečísloval tak, aby vyjadřovala povrch celé Země. Vyňatou část poté zvětšil tak, aby měla stejnou plochu jako referenční koule. Dále ji afinně transformoval vynásobením všech souřadnic y a dělením všech souřadnic x vhodnou konstantou. Wagner vytvořil celou řadu variant tohoto zobrazení. Na následujícím obrázku (Obr. 9-14) je postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení pro vyňaté území omezené poledníky V = ±60° a rovnoběžky U = ±65°. Obr. 9-14 Postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení (převzato z [23]) Obrázek (Obr. 9-15) potom představuje zobrazení celé Země. 113 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-15 Ukázka Wagnerova zobrazení pro mapu celé Země (převzato z [23]) 9.4 Polykónická zobrazení Polykónické zobrazení si lze představit jako zobrazování na nekonečný počet kuželů. Každá rovnoběžka je zobrazována na samostatný kužel, jenž je k referenční ploše v této rovnoběžce tečný. Podobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení jsou i zde obrazy rovnoběžek kružnice. Každá kružnice má však samostatný střed ležící na obraze základního poledníku. Základní poledník se zobrazuje jako přímka, ve které je vložena osa x. Jako základní rovnoběžka se zpravidla volí rovnoběžka procházející středem zobrazovaného území, případně i jeho nejjižnější rovnoběžka (Obr. 9-16). X Vo1 Ví v. Ví -- ? záMactí pdecHk Y Obr. 9-16 Princip polykónických zobrazení Obecný tvar zobrazovacích rovnic odpovídá obecnému tvaru zobrazovacích rovnic nepravého kuželového zobrazení, tedy: P=f(U) s=mv) Pro převod polárních souřadnic do rovinných pravoúhlých se použijí vztahy ( 9-44 ) - viz i kapitola 1. 114 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie y=ps'\w (9-44) V uvedených rovnicích nebude veličina xv konstantní, ale bude funkcí zeměpisné šířky zobrazované rovnoběžky. Lze tedy psát: (9-45) a tato rovnice je v podstatě třetí zobrazovací rovnicí. Pro definování jednotlivých druhů zkreslení je vhodné použít Gaussovy symboly ve tvaru pro polární souřadnicové systémy (viz odstavec 3.1 ). V tomto případě symboly po úparavách nabudou tvaru: E= í + v ds PdvlôU00® ÔVj Jednotlivá zkreslení potom budou mít tvar: (9-46) (9-47) (9-48) (9-49) (fy {ôuC0{£ W +{dU m. R ds RcoU (9-50) ds( fy _Pdv{dU' COS&- dp dU. IČcoU tg- 2 2 Příkladem polykónického zobrazení je ekvidistantní polykónické zobrazení, v němž se nezkreslují rovnoběžky a současně není zkreslený základní poledník. Podle jeho autora, amerického kartografa Ferdinanda Rudolpha Hasslera (1770- 1843), který jej navrhl v roce 1820, je toto zobrazení známé i jako Hasslerovo nebo jednoduché americké, i když se samozřejmě o jednoduché zobrazení nejedná. Protože každá rovnoběžka není délkově zkreslená, první zobrazovací rovnice bude mít tvar (viz odstavec 1.2.1. kapitoly Jednoduchá kuželová zobrazení): 115 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P=RC0%U (9-51) Druhá zobrazovací rovnice bude odpovídat Bonneovu zobrazení, tady rovnici ( 9-30 ). _ RcoU, P V A po dosazení za p z rovnice ( 9-51 ) lze psát: s=VúrU (9-52 ) Třetí zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkresleného základního poledníku (viz. Obr. 9-16). Pro hodnotu Ui platí: XVi=f[+R{Ul-U0) Pro rovnoběžku U lze potom obecně psát: Xv=p+R{U-U0) (9-53) Zákony zkreslení se odvodí z rovnic ( 9-46 ) až ( 9-50 ). Derivací zobrazovacích rovnic se obdrží: de dU ds dV~ dp -VcoU R Po dosazení do vztahů ( 9-50 ) nabudou zákony zkreslení tvary: ny =|^l+2cog2ř/sirř 2 T-arct% secr, kde \ f-sine V 2 ° j m\ = 1 nipi =l+2cog2t/sirř ^ (9-54) 8 2 ~2\ ™pi Ukázky polykónického zobrazení jsou na následujících obrázcích. 116 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-17 Polykónické zobrazení celého světa se základním poledníkem 15° Obr. 9-18 Polykónické zobrazení části Země, základní poledník 15°, základní rovnoběžka 50° 10. Gaussovo zobrazení Pro velkou část státních mapových děl států světa, včetně děl určených pro ozbrojené síly, je použito Gaussovo konformní válcové zobrazení nebo jeho varianty. Zobrazení je též často používáno pro vizualizaci digitálních informací o terénu stejně jako jsou v jeho souřadnicích prováděna měření v terénu nebo následné výpočty. Obecnou teorii konformního zobrazení referenčního plochy do roviny v příčné poloze odvodil na počátku 19. století Gauss (Carl Fridrich Gauss, 1775 - 1855) s cílem použít ji pro mapování Hannoverská (1820 - 1830). Teorii tohoto zobrazení však neuverejnil. Po jeho smrti ji podle zmínek v korespondenci uveřejnil v roce 1866 Schreiber v díle Teorie der Projektionsmethode der Hannoverschen Landesvermessung. Na počátku 20. století tuto teorii doplnil a upravil pro praktické použití pro zobrazení z referenčního elipsoidu Krüger (L. 117 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Krüger, 1857 - 1923) v díle Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, které doplnil i tabulkami a dalšími pomůckami pro praktické použití. Vzhledem k tomu je možné nalézt i označení tohoto zobrazení jako Gaus s-Krüger ovo nebo Gaussovo Krüger ovo. Mírně upravené zobrazení pomocí konstantního zkreslení, tzv. měřítkového faktoru (scale factor) se nazývá zobrazení UTM (Universal Transverse Mercator). Ve Velké Británii a Severním Irsku se pro toto zobrazení používá název Transverse Mercator Projection. Poznámka: Je nutné přesně rozlišovat mezi jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení a mezi Gaussovým zobrazením. Tato zobrazení nelze vzájemně zaměňovat. Zejména při používání vestavěných programových nástrojů GIS k tomu však může dojít poměrně snadno, neboť nabízená zobrazení jsou zde často označována podle svých autorů nebo podle vžitých názvů. Gaussovo zobrazení bylo zavedeno jako zobrazení státního mapového díla v Německu od roku 1922 (v úpravě podle Krůgera). Před druhou světovou válkou a v období po ní bylo toto zobrazení velice často použito jak pro státní mapová díla včetně děl určených pro potřeby ozbrojených sil (bývalý Sovětský svaz, Rakousko, státy pod vlivem bývalého Sovětského svazu, jako například Vietnam, apod.). V České republice se Gaussovo zobrazení začalo poprvé používat též po druhé světové válce při tvorbě prozatímních vojenských topografických map v systému S-1946, ve kterém byl použit Besselův elipsoid. V padesátých letech 20. století se zobrazení používalo jak pro potřeby armády, tak pro potřeby národního hospodářství. Pro armádní účely bylo použito v šestistupňových pásech, pro civilní účely v pásech třístupňových. V obou případech byl použit geodetický referenční systém S-1952 s Krasovského elipsoidem. Od sedmdesátých let se zobrazení používalo opět pouze pro potřeby armády a to v geodetickém referenčním systému S-1942, resp. S-1942/83, elipsoid byl opět Krasovského. Od počátku roku 2006 je původní Gaussovo zobrazení i pro potřeby obrany státu opuštěno a nahrazeno zobrazením UTM v geodetickém referenčním systému WGS84 s elipsoidem WGS84. Z hlediska praktického využití je předností Gaussovo zobrazení jeho koncepční jednotnost pro jakoukoliv část zemského povrchu a malé rovinné zkreslení. 10.1 Základní charakteristiky zobrazení Gaussovo zobrazení je matematicky definovaným konformním zobrazením referenčního elipsoidu přímo do roviny. K jeho pochopení je možné vyjít z přibližné geometrické představy postupného zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze. Pokud je zobrazení použito pro mapy středních měřítek (zpravidla topografické mapy měřítek 1:25 000 až 1:1 000 000, potom se nejčastěji používá se šestistupňovými poledníkovými pásy, jimiž je povrch elipsoidu rozdělen na šedesát dílů. V případě, že je nebo bylo použito pro mapy větších měřítek, potom se zpravidla používají třístupňové poledníkové pásy. Poznámka: Pásy jsou často číslovány arabskými číslicemi počínaje od Greenwichského poledníku směrem na východ, případně od poledníku 180° opět východním směrem. Čísla pásů se potom používají i k identifikaci objektů jako součást jedné ze souřadnic (souřadnice y v S-1942) nebo jako součást lokalizačního kódu ve hlásném systému (MGRS). Každý poledníkový pás je samostatně zobrazen do roviny. Celá Země je tedy v případě šestistupňových pásů zobrazena na 60 pásech. Pásy mají rozsah zeměpisné šířky od 90° jižní zeměpisné šířky po 90°severní zeměpisné šířky. V některých modifikacích je tento rozsah upraven. Například v UTM se pásy zobrazují od 80° jižní zeměpisné šířky po 84° severní zeměpisné šířky. V zobrazení se osový poledník (střední poledník pásu) a rovník zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky se zobrazují jako křivky. Poledníky se 118 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie zobrazují jako části sinusoid konkávne zakřivených a symetrických k osovému poledníku. Zakřivení poledníků je velice malé a lze jej stanovit podle přibližného vzorce ( 10-1): 8 (10-1) kde: Ap je největší výška oblouku nad tětivou, Acp je rozdíl zeměpisných šířek koncových bodů oblouku, A je redukovaná zeměpisná délka vztažená k osovému poledníku, <£>je zeměpisná šířka středu oblouku (viz Obr. 10-1). i ji J&

zde bude nahrazena šířkou izometrickou q. Obecné zobrazovací rovnice potom budou mít tvar: X=fM (10-4) y=f(q,Á) Jelikož zobrazení je konformní, je možné je definovat pomocí obecných rovnic konformního zobrazení odvozených v kapitole Teorie zobrazení: x+iy=f(q+iÁ) (io-5) X-iy=f{g-M) (10-6) Vzhledem k tomu, že poledníkový pás je velice úzký, je hodnota A vzhledem ke q diferenciálně malá, je možné pravou stranu rovnice ( 10-5 ) rozvést v Taylorovu řadu: x+iy=f(q)+f{qn+r(^+r(d§-+ř> {q)^r+f> (<Ďl^f+ 121 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Rovnice ( 10-6 ) by se upravila stejně. Pro odvození zobrazovacích rovnic však stačí uvažovat pouze první z nich. Uváží-li se mocniny imaginárního čísla i (i2 = -1, i3 = -i, atd.) a oddělí-li se reálná a imaginární část, potom lze psát obecné rovnice: x=f{q)-f(q)^ +f> {q)^-f> (q$-l$2+r+l4f-58ft2) (10-18) f (^)=-yYsin^coi^61-582+/4+27^2-33^2j (10"19) v nichž jsou použity symboly rj = e 'costp a t = tgtp. V rovnicích ( 10-18 ) a ( 10-19 ) jsou zanedbány členy s tf a rf, protože jejich hodnoty jsou již zanedbatelné. Po dosazení derivací funkce f(q) do obecných zobrazovacích rovnic ( 10-7 ) a ( 10-8 ) se získají základní tvary zobrazovacích rovnic Gaussovo zobrazení: Ä2 ( \% x=Sp ^-Nco^púvcp-^ +NúvĹpcol(p$-t2 +9rf ^^f}^ (10.20) +/Vsmpco^61-5 82 +r +27^-33^)^ y=Nco spA+Nco l(fa-t2 W)^ +/Vco§^5-l 82 +r +14f -5 v nichž hodnoty zeměpisné délky jsou v obloukové míře (v radiánech). Poznámky: 1. Čtvrtý člen v zobrazovací rovnici ( 10-20 ) s Á6 je již velmi malý, jeho vynecháním se největší chyba v souřadnici x pohybuje v intervalu +2 mm až -1 mm, na území ČR je do 0,5 mm. Tento člen se používá pouze při vysokých požadavcích na přesnost výpočtů. ( 10-21) 123 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2. K praktickým výpočtům byly zpracovány různé tabulky, grafy, nomogramy, případně byly zobrazovací rovnice převáděny do jiných forem tak, aby bylo možné snadněji sestavovat výše uvedené pomůcky (viz například Storkán, F.: Tabulky pro nové mapy, SNTL Praha 1956, Kolektiv autorů: Tabulky k výpočtům v Gaussovo zobrazení, elipsoid Krasovského, USGK Praha 1965, Geodetické tabulky , MNO Praha 1979 ...). V současné době jsou rovnice zpravidla naprogramovány v různých programových systémech (geodetického nebo geoinformačního charakteru) nebo samostatně. 3. Uvedené vzorce plně vyhovují i nejvyšší požadované přesnosti výpočtů na území ČR v rozsahu jednoho poledníkového pásu. V případě vysoce přesných výpočtů zejména v oblastech blízkých rovníku a případně i ve větších úhlových vzdálenostech od osového poledníku, než +3°, je nutné uvážit i další členy zobrazovacích rovnic (viz. např. [5]). 10.2.1 Zobrazovací rovnice UTM Zobrazení UTM se začalo používat v USA zejména pro potřeby armády v roce 1947. Postupně se rozšířilo jako jedno ze standardizovaných zobrazení pro topografické mapy a pro lokalizaci dat GIS v rámci NATO. Zobrazení se používá pro celou Zemi od 84° severní zeměpisné šířky po 80° jižní zeměpisné šířky, opět ve variantě 6° poledníkových pásů. Osy se zpravidla označují N a E (standardní označení v rámci NATO, přičemž se souřadnice zpravidla uvádějí v pořadí E, N), někdy se mohou označovat stejně jako u Gaussova zobrazení X, Y. UTM se používalo s různými elipsoidy. Například pro Severní Ameriku to byl původně Clarkův elipsoid 1866, pro Afriku Clarkův elipsoid 1880, pro Evropu a systém ED50 Hayfordův elipsoid. V současné době je nejčastěji používán elipsoid WGS84. Zobrazení se liší od původního Gaussova zobrazení použitím měřítkového faktoru m0 = 0,9996, jímž jsou vynásobeny obě zobrazovací rovnice ( 10-20 ) a ( 10-21 ). V podstatě se jedná o totéž zobrazení s konstantně zkresleným osovým poledníkem. Zobrazovací rovnice tedy mají tvar: N=TT^ Sp +Nd cospsinp^- +Nel sinpcolqfp-t2 +9rf +4rf)j^ +Nel sin^oi ^61-5 82 +r +27 -3 3 ^2]^|0 NelcospA+Nelco ( 10-22) +Nelcoh(fe-l S2 +r +14f -5 %fř^jQ ( 10-23 ) kde Nei je příčný poloměr křivosti elipsoidu, aby nedošlo k jeho záměně se souřadnicí N. Poznámka: viz poznámku 3. k zobrazovacím rovnicím Gaussova zobrazení. 10.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím Poměrně často je nutné vypočítat zeměpisné souřadnice z rovinných pravoúhlých. Hledání inverzních tvarů rovnic ( 10-20 ) a ( 10-21 ) se řeší postupným přibližováním. Nejprve se řeší rovnice pro výpočet X. V prvním přiblížení se z rovnice ( 10-21 ) použije pouze 1. člen, z něhož se vypočítá: Ncosp a dále se vypočítá třetí mocnina X: 124 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie f hřcohp která se dosadí do druhého členu rovnice ( 10-21). Po úpravě se získá rovnice: y=AAco^L+^(l-ř2+/f) ze které se vypočítá hodnota A ve druhém přiblížení: ^=Tf^—-^—^-r+rř) Nco%) 6/Vxospv ' a znovu se vypočte A3 a l5. V uvedených mocninách stačí uvažovat hodnoty y pouze do páté mocniny. Tyto mocniny budou mít tvar: řřcolcp 2JSřcolqr 1' _ ý Hodnoty se opět dosadí do ( 10-21 ) a vypočte se hodnota A ve třetím, posledním přiblížení, přičemž se u páté mocniny y zanedbávají členy s tf a tf, jejichž hodnoty jsou zanedbatelné: X=_=L__ŕ_(i-ŕ +rr)+_f._Í5-1ŕ9ŕ) (10-24) /Vco$? Wco^A /; 120^00^ 7 K tomu, aby bylo možné hodnotu A vypočítat, je nutné znát hodnotu zeměpisné šířky (p. Ta se vypočítá pomocí pomocné hodnoty q)f (viz Obr. 10-6). Z bodu P' se spustí kolmice k ose X, která tuto osu protne v bodě P'f. Protože se osový poledník délkově nezkresluje, je možné k hodnotě souřadnice x hned vypočítat (nebo nalézt v tabulkách) hodnotu zeměpisné šířky cpf (viz kapitola 1). Poznámka: Pro výpočet hodnoty cpf se využije rovnice (1-13), která je ve tvaru: sp =Kq?-tl> úxQíp+C úxúcp-Ú siiť^?+£* siirfy>-... Souřadnice x bodu P'/ potom bude: x=Äe/?f -B úxQŕPf +C sirňpf -D úv6cpf +£* siifi^ -... (10-25) Zeměpisnou šířku <$je nutné řešit postupnou iterací, kde v prvním priblížení bude 0f=-g. (10-26) Dosazením (f^ do ( 10-25 ) se vypočítá změna souřadnice x a s využitím vztahu ( 10-26 ) i změna hodnoty Aq>f. O tuto hodnotu se opraví (ftf a získá se nová hodnota (f9j-. Uvedený postup se opakuje do té doby, než A^bude menší, než požadovaná přesnost výpočtu. 125 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 10-6 Význam rovnoběžky q>f v inverzních funkcích k zobrazovacím rovnicím Gaussova zobrazení Rozdíl mezi hodnotami tp a tp/ je možné vypočítat podle přibližného vzorce: x Sn (pf-(p=-p ( 10-27 ) Z rovnice ( 10-20 ), do které se dosadí hodnoty A2 a A4 z rovnice ( 10-24 ) se obdrží výraz: *-^=4'+^<(l+3rW) "°-28» '7N 24V který se dosadí do ( 10-27 ). Po dosazení se obdrží vztah: Hodnotu cpf- cp lze určit postupným přibližováním. V prvním kroku se vypočítá: ( 10-29 ) což lze dosadit do původního výrazu ( 10-29 ) a po úpravách se vypočítá druhé přiblížení (Pf- (P- V-V=4fíl+2WÍ^+3r+5'f-'*1>T) ( 10-30) Rovnice ( 10-24 ) a ( 10-30 ) umožňují již výpočet cp a A, avšak pouze za předpokladu, že je znám argument cp, který se právě hledá. Jeho hodnotu je možné určit ze vztahu: (p=(pf-\(pf-q)) (io-3i) Výraz ( 10-31 ) je možné dosadit do rovnic ( 10-24 ) a ( 10-30 ), předtím je však vhodné upravit. Úpravy se týkají goniometrických funkcí (sin, cos a tg), ve kterých se cp vyskytuje. Například výraz sinaje psát: 126 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie sinp=sir[cpf-{cpf-(p)\ Hodnota (cpf - tp) je obecně ve srovnání s hodnotou tp/ diferenciálně malá, proto je možné pravou stranu rovnice rozvinout v Taylorovu řadu, přičemž se vzhledem k jejich velikosti uváží pouze první dva členy této řady: sinp=sinpf -coqpf\(pf -cp) Pokud se za (cpf - cp) dosadí výraz ( 10-30 ) a opět vzhledem k velikosti jeho členů se uváží pouze první dva, obdrží se: úvcp=úvcpf-co^y^tf ( 10-32) kde: Obdobně se upraví i zbylé goniometrické funkce. Po úpravě bude: cow=cowf+sinpfy^tf ( 10-33 ) t=tf -(l-ti)—^—L (10-34) f v fnMfŇff Dosadí-li se výrazy ( 10-32 ), ( 10-33 ) a ( 10-34 ) do ( 10-30 ) a ( 10-24 ), získají se po úpravách konečné vztahy: J J J J ( 10-35 ) ^=iv7-^— sJ--(l+2ř? +$)+ Nfcowf 6M comx 1 ,}> J ~rj J ~rj ( 10-36) Poslední člen v rovnici ( 10-35 ) se používá pouze v případě vysokých nároků na přesnost výpočtů, kdy je požadována hodnota s přesností 0,0001". 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM Inverzní funkce v zobrazení UTM musí uvažovat měřítkový faktor mo. Jejich tvar bude obdobný jako u výrazů ( 10-35 ) a ( 10-36 ): 127 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P^//(6 W) \) +45? +10^ -16$$ -45^) rrkNeljcospf ó^A^co^/ f lf) £6 ( 10-37) 1 r(5+282+244+677/+8^) ( 10-38) kde Nei je opět příčný poloměr křivosti použitého elipsoidt 70.4 Meridiánová konvergence Vzhledem k tomu, že většina souřadnicových výpočtů v Gaussově zobrazení používá rovinné pravoúhlé souřadnice, je poměrně často je nutné znát pro daný bod i hodnotu meridiánové konvergence y. Meridiánová konvergence je úhel mezi rovnoběžnou s osou X (N) a obrazem místního zeměpisného poledníku (viz Obr. 10-7). Obr. 10-7 Princip meridiánové konvergence Její znalost je nutná při převodu směrníku na zeměpisný azimut a naopak. Podle obrázku (Obr. 10-8) platí: = 50° umožní přesnost výpočtu zkreslení na setiny milimetru. Pro tuto hodnotu zeměpisné šířky člen s A4 dosahuje hodnoty 4.10"8, tedy 0,04 mm.km"1. Proto pokud není požadována taková přesnost výpočtu, je možné tento člen zanedbat. Stejně tak, pokud se pro tuto zeměpisnou šířku zanedbá hodnota výrazu (1 + tf), vzniklá chyba nepřesáhne hodnotu 15.10"7 (tedy 1,5 mm.km"1). Proto se často v praxi používá pouze zjednodušený vzorec: 12 ( 10-50) 131 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Délkové zkreslení je možné vypočítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic. V tomto případě se volí jednodušší cesta, při níž se referenční elipsoid v daném bodě nahradí koulí o poloměru R=4MŇ a místo Gaussova zobrazení se uvažuje jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné poloze (Mercatorovo) (viz Obr. 10-10). Obr. 10-10 Náhrada referenčního elipsoidu koulí pro výpočet délkového zkreslení Gaussova zobrazení S ohledem na tvar rovnice délkového zkreslení je možné psát: 1 m- coá> a tento vzorec upravit rozvojem kosinu v řadu: 1 m- 1-^-2 24 ( 10-51) V rámci šestistupňového pásu není příliš velký rozdíl v délce zobrazené části oblouku původní rovnoběžky, části oblouku kartografického poledníku a souřadnice y (viz Obr. 10-11). Obr. 10-11 Ilustrace výpočtu délkového zkreslení Gaussova zobrazení Proto lze psát: y=RŠ a tento výraz se dosadí do ( 10-51 ), přičemž stačí uvažovat pouze do mocniny yA. Výsledný vzorec bude: 132 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie m- 2# 24? ( 10-52) Jelikož výraz Ý W 24? dosahuje velmi malých hodnot, lze vzorec dále upravit: m _1 Ý Ý ( 10-53 ) Pokud se opět v rámci jednoho šestistupňového pásu zanedbá ve vzorci ( 10-53 ) třetí člen (s y4), maximální rozdíl na území ČR dosáhne hodnoty 5.10"8 (tedy 0,05 mm.km"1). Proto se v praxi často používá pouze zjednodušený výraz: m= 1 - Ý 2R2 ( 10-54) Průběh délkového zkreslení v rámci jednoho šestistupňového pásu je zřejmý z obrázku (viz. Obr. 10-12). Graf na následujícím obrázku (viz Obr. 10-13) znázorňuje závislost délkového zkreslení na zeměpisné šířce a hodnotě A. Další obrázek (viz Obr. 10-14) ilustruje průběh ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení na území střední Evropy. Na území ČR dosahuje délkové zkreslení maximálních hodnot na okrajích 3. poledníkového pásu kolem 0,58 mim"1. Délkové zkreslení Gaussova zobrazení 0 10 20 30 40 50 60 70 80 84 G\2 1 ■st +^2 ~%2 ř7'l2>°Í2 G'\272 + )§) ( 10-70) kde hodnotu R lze počítat ke středu čáry a zaokrouhlovat ji na celé kilometry. Výsledná rovnice pro výpočet délkové korekce potom získá tvar: 412 =^2-^12=^ (>f+>7l>72+>i) ( 10-71 ) Pokud se v zobrazení UTM použije obdobný postup, potom se vypočítá délka obrazu geodetické čáry podle upraveného vztahu ( 10-70 ) a z takto určené hodnoty délky obrazu geodetické čáry se vypočítá výsledná délková korekce. 4 =— Sl2 n 1- 6/f ( 10-72) Uvedené vztahy pro výpočet délkové korekce jsou použitelné pro běžné geodetické výpočty do vzdálenosti 20 km. Pro delší vzdálenosti nebo k dosažení vyšší přesnosti výpočtu je nutné použít přesnější vzorce uvedené například v [16] a [23]. Hodnotu délkové korekce vypočítanou podle vztahů ( 10-71 ) nebo ( 10-72 ) lze vypočítat i bez znalosti délky geodetické čáry na referenčním elipsoidu 512. Pro běžnou geodetickou a geoinformační praxi lze nahradit tuto délku buďto délkou rovinného obrazu geodetické čáry S12 nebo i přímou vzdáleností koncových bodů obrazu geodetické čáry Dn. 10.8 Mezipásmové transformace Protože v Gaussově zobrazení (i v jeho variantě UTM) má každý pás svoji souřadnicovou soustavu, je nutné v praxi poměrně často řešit transformaci souřadnic bodů ze souřadnicové soustavy jednoho pásu do souřadnicové soustavy druhého pásu. Tuto transformaci je možné řešit několika způsoby. V dřívějším období se nejčastěji používaly různé varianty rovinné transformace (viz například kapitola Transformace zobrazení v [9] a [23]). Pro tyto transformace byly zpracovány i výpočetní tabulky. K rovinným transformacím lze počítat i grafickou transformaci použitou na vojenských topografických mapách, kde v rámu těchto map (v tzv. překrytovém pásmu) jsou vykresleny rysky kilometrových čar sousedního poledníkového pásu. Jejich spojením se na mapu vykreslí celá kilometrová síť a pomocí ní je potom možné odečítat souřadnice i v souřadnicovém systému tohoto pásu. V současné době je nejběžnější univerzální metoda transformace podle schématu: J*7,/ —»JC°,ýI, resp. N1,E1 -->(p,X^Nn\EU Pro jednotlivé kroky se použijí vztahy ( 10-20 ), ( 10-21 ) a ( 10-35 ), ( 10-36 ) pro Gaussovo zobrazení a pro zobrazení UTM potom vztahy ( 10-23 ), ( 10-22 ) a ( 10-37 ), ( 10-38 ). Poznámka: Při transformaci jednoho bodu do souřadnicového systému jiného pásu je nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích. 139 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 11. Křovákovo zobrazení Po vzniku Československé republiky v roce 1918 byly budovány i nové geodetické a kartografické základy nového státního mapového díla, které se měly použít i pro katastrální účely. V roce 1922 navrhl Křovák (Josef Křovák 1884 až 1951) konformní kuželové zobrazení v obecné poloze jako součást geodetického referenčního systému jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Toto zobrazení se využívalo do roku 1938 a bylo znovu zavedeno po druhé světové válce. S výjimkou padesátých a šedesátých let 20. století se používá dodnes. Zobrazení bylo definováno s ohledem na protáhlý a mírně vůči zeměpisným rovnoběžkám stočený tvar území bývalé Československé republiky (včetně tzv. Zakarpatské Ukrajiny) tak, aby minimalizovalo na tomto území délkové zkreslení. Dnes je používáno pouze v České a Slovenské republice. V současné době jsou v tomto zobrazení vydávána státní mapová díla určená pro státní správu a samosprávu (viz Nařízení vlády ČR č.430/2006 - [17]). Jedná se zejména o Státní mapu v měřítku 1 : 5 000, Základní mapy ČR v měřítkách 1:10 000, 1 : 50 000, 1 : 100 000 nebo 1 : 200 000 a Mapu ČR v měřítku 1 : 500 000. V tomto zobrazení jsou také poskytována digitální data z databáze ZABAGED. 11.1 Základní charakteristiky zobrazení V dále uvedených vzorcích jsou použité původní symboly, které zavedl Křovák. Zejména pro rovinné polární souřadnice se používají symboly R, D' namísto p, s a pro poloměr referenční koule r namísto původního R. Křovákovo zobrazení je dvojité zobrazení, které je možné vyjádřit schématickým zápisem: q>, Ä -> U, V -> Š, D ->R, D' -> x, y Výchozí referenční plochou je Besselův elipsoid, který je nejprve konformně zobrazen na referenční kouli. Na ní jsou definovány kartografické souřadnice, pomocí kterých je povrch koule transformován do zobrazovací roviny konformním kuželovým zobrazením. Poslední fází je transformace z polárních rovinných souřadnic na pravoúhlé. V následujících odstavcích jsou popsány jednotlivé fáze. 11.2 Zobrazovací rovnice 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli V první fázi je Besselův elipsoid konformně zobrazen na referenční kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou (po = 49°30', která probíhá přibližně středem území původní Československé republiky. Poloměr referenční kouleje K transformaci souřadnic jsou použity rovnice odvozené v kapitole 5: OB 140 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie V=a/ Konstanty zobrazení jsou: r = 6 380 703,6105 m k= 1,00341 91640 a= 1,00059 7498372 Po transformaci odpovídá původní hodnotě (po nezkreslené rovnoběžky hodnota na referenční kouli Uo = 49°27'35",84625. 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice Na referenční kouli je definována souřadnicová soustava kartografických souřadnic Š, D. Tato soustava vyhovuje protáhlému a mírně stočenému tvaru původní republiky. Osu území tvoří základní kartografická rovnoběžka So, z jejíhož tvaru byla vypočítána poloha kartografického pólu K podle postupu uvedeném v odstavci 1.2.2.a . Na této kartografické rovnoběžce byl za nej východnějším cípem republiky, který tvořil okraj tehdejší speciální mapy 1:75 000, zvolen bod A, jehož zeměpisné souřadnice jsou: tg ^+45 -XI_„ \z J (H-3) D=nL kde: (11-4) (H-5) (11-6) Rq =WfcřCOt|) rc=sinSo Hodnota R0 = 1 298 039,0046 m a n = 0,97992 47046. Poznámka: Použitím měřítkového se zobrazení mění v zobrazení se dvěmi nezkreslenými kartografickými rovnoběžkami o hodnotách Št = 79°18'03" a Š2 = 77°40'50". 7 7.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé Polární souřadnice R, D' jsou transformovány na rovinné pravoúhlé x, y v souřadné soustavě, kde osa X je umístěna v obraze poledníku Ak a její počátek je v obraze kartografického pólu K. Kladný směr osy je na jih. Osa F je na ní kolmá a její kladná orientace je na západ. Polární souřadnice jsou transformovány podle vzorců: x=Rco£> (ii7) y=RsinD (n-s) Celé území republiky potom leží v prvním kvadrantu (viz Obr. 11-3). 143 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 11-3 Poloha rovinného pravoúhlého systému v Křovákově zobrazení Obrazem kartografických poledníků jsou polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu, obrazem kartografických rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem opět v obraze kartografického pólu. Obrazem zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složité křivky, které však na zobrazovaném území České a Slovenské republiky mohou být na mapách středních měřítek nahrazeny přímkami (poledníky) nebo soustřednými kružnicemi (rovnoběžky), jejichž zakřivení je téměř totožné se zakřivením obrazu rovnoběžek u Gaussova zobrazení. 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím se řeší postupně podle schématu (Kratochvíl: Polohové geodetické sítě, 2000): x,y -> R, D' -> Š, D -> U, V -> q>, Ä Nejprve se ze vztahů ( 11-7 ) a ( 11-8 ) vypočítají polární souřadnice: R=^Ý (U"9) n +y (11-10} Poté se s využitím vztahů ( 7-31 ) a ( 7-5 ) vypočítají kartografické souřadnice na referenční kouli: S=2 (6 W' arctíuřg ^°-+45 ypg \2 PR -45} D (íi-ii) (11-12) sin% Transformaci kartografických souřadnic na zeměpisné lze řešit pomocí vztahů ze sférické trigonometrie (viz. Obr. 11-2): 144 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U=arcsi(io s/sinŠ-simco Šco £>) V=Vk -arcsirť^^sinDj (11-13) (11-14) Výpočet zeměpisné šířky je nutné provést v několika iteracích, protože argument cp)Q na obou stranách rovnice. Jeden z možných postupuje následující: 4°) =2 -,i 41 arctaa-l t aiji-^+4 5J A oe a l-eúrU, -45 <ß=2 oe arct4(ta^+4^1±^ÖF -45 k kde i = 1, 2. a (11-15) (11-16) Zpravidla po třetí iteraci ve vzorci ( 11-15 ) se získá dostatečně přesná hodnota zeměpisné šířky. Vypočítaná hodnota zeměpisné délky A je opět vztažena k poledníku Ferra. 11.4 Meridiánová konvergence Podle obrázku (Obr. 11-4) lze odvodit přesný vzorec pro výpočet meridiánové konveregence y ve tvaru: (11-17) Za Z)'je možné dosadit z rovnice ( 11-10 ). Úhel v je možné vypočítat ze sférického trojúhelníku Ps, K, P (viz Obr. 11-2). Tento úhel se vzhledem k tomu, že se jedná o konformní zobrazení, nezkresluje. Potom: (11-18) S čoI7S ^S11^ ' coá> Vzhledem k tomu, že sklon obrazu zeměpisných poledníků vůči základnímu poledníku Křovákova zobrazení se příliš neliší od sklonu obrazu poledníků vůči osovému poledníku šestistupňového pásu Gaussova zobrazení, je možné pro výpočet, kdy není nutná vysoká přesnost, použít i první dva členy ze vzorce ( 10-44 ) z kapitoly 10: y=smpA (n-19) ovšem s tím, že A je odečítána od poledníku Ak = 42°30' východně Ferra. Konvergenci je možné vypočítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic pomocí empirického vzorce: 145 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie r=Q0082^3-236^ JC ( 11-20) Souřadnice se dosazují v kilometrech a jeho přesnost je 2'. Na celém území bývalého Československa konvergence má pouze záporné znaménko. Protože tato skutečnost je obecně známá, hodnota se konvergence často uvádí bez znaménka. Na území ČR konvergence dosahuje hodnot od -4°33' na východě území do - 9°35'na jeho západě. Obr. 11-4 Meridiánová konvergence Křovákova zobrazení 11.5 Zákony zkreslení V Křovákově zobrazení opět stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošné zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlové zkreslení je zde nulové. Délkové zkreslení vzniká jednak při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli, jednak při zobrazení referenční koule do roviny. Zkreslení při zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli v rozsahu území bývalého Československa je v podstatě zanedbatelné a činí maximálně 0,07 mm.km"1 v absolutní hodnotě. V běžných výpočtech se neuvažuje. Při zobrazení referenční koule do zobrazovací roviny kuželového zobrazení má v případě Křovákova zobrazení tvar: nR rsiró Při odvozování Křovákova zobrazení byl požadavek takový, aby na celém území bývalého Československa dosahovalo délkové zkreslení v absolutní hodnotě maximálně 10 cm na 1 km. Tento požadavek se nepodařilo úplně splnit. Na základní kartografické rovnoběžce je zkreslení -10 cmlm'1, na severních a jižních výběžcích republiky je dosaženo hodnot 14 cmlm"1. Nezkreslené rovnoběžky jsou vzdálené od základní rovnoběžky 89 km na sever a 91 km na jih. Ekvideformáty jsou soustředné kružnice se středem v obraze kartografického pólu. Křovákovo zobrazení je vhodné pro území bývalého Československa, případně pro území ležící v úzkém pásu kolem základní kartografické rovnoběžky. Ve větší vzdálenosti od této 146 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie rovnoběžky zkreslení velmi rychle narůstá (viz teorie kuželového zobrazení) a již ve vzdálenosti 20 km dosahuje jeho hodnota 0,5 m.km"1. Proto je toto zobrazení pro jiná území nevhodné. 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO Následující text pojednává o standardních zobrazeních používaných v Armádě České republiky (ACR) a v armádách Organizace atlantické smlouvy (NATO). Výchozí referenční plochou pro všechna zobrazení je elipsoid WGS84. Zobrazení většiny map středních měřítek je buďto UTM nebo UPS. Pro přehledné a letecké mapy je v souladu se standardy mezinárodní organizace pro civilní letectví (International Civil Aviation Organization - ICAO) používáno Lambertovo konformní kuželové zobrazení (Lambert Conformal Conic Projection - LCC) o dvou nezkreslených rovnoběžkách. Teoretické principy všech zobrazení byly uvedeny v příslušných předchozích kapitolách. V následujících odstavcích jsou proto pouze tato zobrazení upřesněna. 72.7 Zobrazení UTM Základní zobrazení používané v ACR je zobrazení UTM v geodetickém referenčním systému WGS84. Jeho podrobný popis je uveden v kapitole 10. Zobrazení UTM je používáno pro všechny topografické mapy, dále pro speciální (tematické) mapy, které mají podklad topografickou mapu, a pro většinu grafických výstupů z digitálních modelů území, které jsou v ACR používány. V tomto zobrazení (a v celém geodetickém referenčním systému) pracuje i většina systémů velení a řízení, pokud používají lokalizační data. Toto zobrazení je jedním ze standardních zobrazení používaných v rámci NATO. Je používáno pro stejné účely tak, jak je popsáno v předchozím textu. Zobrazení UTM se používá od 84° severní zeměpisné šířky (od 84°30' z důvodů překrytu se zobrazením UPS na severní polokouli) po 80° jižní zeměpisné šířky (po 80°30' opět z důvodů překrytu se zobrazením UPS na jižní polokouli). 72.2 Zobrazení UPS Pro polární oblasti kolem severního a jižního zeměpisného poluje standardizované zobrazení konformní azimutální zobrazení s konstantním zkreslením na pólu. Toto zobrazení se nazývá Universal Polar Stereographic (UPS) a je používáno od 84° (od 83°30') do 90° severní zeměpisné šířky a od 80° (od 79°30') do 90° jižní zeměpisné šířky. Zobrazení se používá z elipsoidu WGS84. Zobrazovací rovnice vycházejí z teorie konformního azimutálního zobrazení popsaného v odstavci 8.4 modifikovaného ovšem na zobrazení z elipsoidu. Při jeho definici se použila verze konstantního délkového zkreslení na pólech v hodnotě mo = 0,994, což odpovídá variantě jedné nezkreslené rovnoběžky s hodnotou tpo = 81° 06' 52.3" severní nebo jižní zeměpisné šířky. Poznámka: Na severní polokouli tím dochází k situaci, že nezkreslená rovnoběžka je mimo zobrazované území [12]. Počátek rovinné souřadnicové soustavy je položen do obrazu severního (jižního) pólu a souřadnicové osy leží v obrazech poledníků 0° a 180° - osa ./V a 90°a 270° osa E, přičemž poloha osy N je na severní a jižní polokouli vzájemně otočená. K rovinným pravoúhlým 147 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie souřadnicím jsou připočítávány konstanty o velikosti 2000 km tak, aby celé zobrazované území leželo v 1. kvadrantu. Tyto konstanty jsou označeny FN (False Northing) a FE (False Easting) (viz. Obr. 12-1 a Obr. 12-2). fE=2D00km 2=180° ^ = 81° 03 523" 1=270= fE=2000km A=0 2=270' =- ( 12-3 ) kde konstanta Co je počítána podle vztahu: Konstanty a, e v rovnicích ( 12-1 )( 12-3 ) jsou parametry elipsoidu. Transformace do rovinných pravoúhlých souřadnic je již stejná jako u všech azimutálních zobrazení. S použitím výše uvedených označení souřadnic bude mít tvar: pro severní polokouli N=FNhf)COS, pro jižní polokouli (12-4) E=FEr/Jm\S, pro obě polokoule 148 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ( 12-5 ) Poledníková konvergence y je velikostí rovna zeměpisné délce. Na severní polokouli má i stejné znaménko, na jižní má znaménko opačné. y=A, pro severní polokouli y=—Ä, pro jižní polokouli Délkové zkreslení je počítáno podle vztahu: m- (12-6) kde Nei je příčný poloměr křivosti elipsoidu. Na následujícím obrázku (Obr. 12-3) je jeho graf. Graf délkového zkreslení zobrazení UPS 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 Obr. 12-3 Graf délkového zkreslení zobrazení UPS 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím V případě výpočtu zeměpisných souřadnic y A z rovinných pravoúhlých E, N se postupuje následujícím způsobem: Vypočítají se rovinné pravoúhlé souřadnice vztažené k pólům: W=N-FN AE=E-FE ( 12-7) a z nich je možné vypočítat přímo zeměpisnou délku A. Přitom je však nutné uvážit, zda se počítá na severní nebo na jižní polokouli a zda počítaný bod neleží na poledníku 90° východní nebo západní délky. Pokud je počítaný bod současně zeměpisným pólem, potom zeměpisnou délku není pochopitelně možné vypočítat. Z tohoto vyplývá následující postup: • pokud A/V = 0 a AE ^ 0, potom A = 90° v.d. nebo A = 90° z.d. podle znaménka AE (viz. Obr. 12-1 nebo Obr. 12-2); • pokud A/V = 0 a AE = 0, potom A není definovaná; • pokud A/V ^ 0, potom: /SE A=Circtg AAT pro severní polokouli (12-8) X=arctg, AE pro jižní polokouli ( 12-9) 149 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg s jedním argumentem (do výpočtu vstupuje přímo podíl), výsledkem je úhel A', jenž je v rozsahu <-7tl2, 7tl2>. Zeměpisná délka se potom určí podle schématu: A=A', pokud jmenovatel ve zlomku je (12-10) kladný (12-11) (12-12) A-7T+X, pokud AE > 0 a A' < 0 A=—7T+A', pokud AE <0 a A' > 0 V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg se dvěma argumenty (čitatel i jmenovatel vstupují do výpočtu samostatně), potom A je přímo rovna A' v rozsahu <-7T, 7t>. Zeměpisná šířka cp se počítá postupně s výjimkou hodnoty A/V = 0, kdy cp = 90°. Nejprve se vypočítá p podle jednoho za vztahů: p- m siivl jestliže A/V = 0 jestliže AE = 0 ve všech ostatních případech ( 12-13 ) ( 12-14) ( 12-15 ) Dále se vypočítá hodnota z a izometrické šířky q: z-- n Výsledná zeměpisná šířka se potom vypočítá podle vztahu: (p= q+\ úxQq+B^ úxúq+Q sir6q+L\ sin&:/ ( 12-16) ( 12-17) ( 12-18) kde hodnoty Ai, Bi, d a D\ včetně konstanty Co platné pro elipsoid WGS84 jsou uvedeny v následující tabulce: Tabulka 12-1 Konstanty zobrazení UPS pro elipsoid WGS84 Co 12 713 600,099 m Ai 3,356 551 469.1003 Bi 6,571 872 711.1006 Ci 1,764 564 339.1008 Di 5,328 478 445.10"11 72.3 Lambertovo konformní kuželové zobrazení Třetím standardizovaným zobrazením pro mapy v ACR a NATO je Lambertovo konformní kuželové zobrazení o dvou nezkreslených rovnoběžkách. Zobrazení je vždy v pólové poloze, přičemž v zásadě se používají dvě varianty pro rovnoběžkové vrstvy široké 4°a 8°. Každá vrstva je samostatně zobrazena se dvěma předem danými nezkreslenými rovnoběžkami 150 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie vzdálenými 1°20' od okrajů vrstvy. Základní rovnoběžka je střední rovnoběžka příslušné vrstvy. V některých případech je požíváno i zobrazení s jinak definovanými vrstvami a nezkreslenými rovnoběžkami tak, aby celé zobrazované území státu leželo v jednom mapovém listě. To je i případ letecké orientační mapy 1:500 000 (LOM500) (viz. Tabulka 12-2). Princip zobrazení z referenční koule je uveden v odstavci 7.4.2 . Pokud se použije referenční elipsoid, budou zobrazovací rovnice ( 7-32 ) a ( 7-5 ) ve tvaru: (12-19) s=nA ( 12-20) kde q je izometrická šířka na referenčním elipsoidu. Konstanty zobrazení se v tomto případě počítají podle výrazů: =0 Na následujících obrázcích jsou grafy délkového zkreslení pro varianty zobrazení z předcházející tabulky (Tabulka 12-2). 151 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Lambertovo konformní kuželové zobrazení ve WGS84 - 8° vrstva (46°- 54°) délkové zkreslení 1,0020 1,0015 1,0010 1,0005 1 1,0000 0,9995 0,9990 0,9985 t L 49 50 51 52 53 54 55 56 Obr. 12-4 Graf zkreslení Lambertova konformního kuželového zobrazení pro 8° vrstvu z prostoru ČR Lambertovo konformní kuželové zobrazení ve WGS84 -4° vrstva (48°- 52°) délkové zkreslení Obr. 12-5 Graf zkreslení Lambertova konformního kuželového zobrazení pro 4° vrstvu z prostoru ČR Lambertovo konformní kuželové zobrazení ve WGS84 - LOM500 vrstva (48°- 52°) délkové zkreslení 1,0004 n / \ / \ 1,0000 / V / C\ QQQS . \ / > —^ 0,9996 Obr. 12-6 Graf zkreslení Lambertova konformního kuželového zobrazení pro LOM500 z prostoru ČR Novela STANAG 2211 a AGeoP-21 (2017): Jsou-li Lambertovo konformní kuželové zobrazení a stereografické zobrazení v pólové poloze společná pro jednu sérii, bude platit následující: a. Měřítkové koeficienty musí být shodné podél jejich společné zeměpisné šířky. b. Vzdálenost nezkreslených rovnoběžek od severního a jižního okraje každého pásu musí být 1°20' pro 8° pásy, 40' pro 4° pásy a 20' pro 2° pásy. Tam, kde jsou 2° série vytvářeny ze 4° sérií, původní 40' mezera smí být zachována, a tam, kde jsou 4° série vytvářeny z 8°, původní 1°20' smí být zachován 152 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Toto zobrazení je používáno u přehledných map jako například mapy World série 1404 1:500 000. 13. Transformace zobrazení V kartografické praxi (obecně v zeměměřické nebo geografické praxi) může nastat situace, kdy je nutné na stejném území použít různé geodetické referenční systémy a různá zobrazení. Pro převod souřadnic z jednoho geodetického referenčního systému a jednoho zobrazení do jiného geodetického referenčního systému a jiného zobrazení se používají postupy obecně nazývané transformace souřadnic. Podstata transformace souřadnic spočívá ve změně souřadnic bodů, aniž by došlo ke změně jejich polohy na zemské povrchu. Transformovat lze jak souřadnice reálných objektů a jevů tak i souřadnice fiktivních bodů, například rohů mapových listů, uzlových bodů zeměpisné sítě apod. Z hlediska matematické kartografie je potřeba transformace souřadnic způsobena zejména následujícími příčinami: 1. Změna referenčního tělesa (zpravidla referenčního elipsoidu) v novém souřadnicovém systému při zachování použitého zobrazení. V důsledku toho se mění jak zeměpisné, tak i rovinné souřadnice. 2. Změna zobrazení polohy bodů do roviny při použití stejného referenčního tělesa v původním i novém souřadnicovém systému. V tomto případě se nemění zeměpisné souřadnice, mění se však rovinné souřadnice. 3. Změna zobrazení polohy bodů do roviny při současné změně i referenčního tělesa v původním i novém souřadnicovém systému. V tomto případě se mění jak zeměpisné, tak i rovinné souřadnice. Poznámka: V geodetické praxi lze najít i další příčiny transformace souřadnic, které jsou uvedeny například v [14]. Podle charakteru změn a podle požadované přesnosti výstupních souřadnic lze v zásadě použít dvou metod transformací: • prostorové transformace, • rovinné transformace. Vstupem a výstupem prostorových transformací jsou buďto geocentrické souřadnice nebo zeměpisné souřadnice. V obou případech je možné v těchto transformacích uvažovat i výšky bodů - nadmořské nebo elipsoidické - nebo uvažovat polohu bodů pouze na povrchu referenčních elipsoidů, resp. referenčních koulí. Do tohoto typu transformací se zařazují: • tříprvková transformace • sedmiprvková transformace, • Moloděnského transformace, • zjednodušená Moloděnského transformace. Vlastní prostorová transformace souřadnic zpravidla probíhá podle následujícího schématu: 1. Výpočet zeměpisných souřadnic z rovinných pravoúhlých v původním zobrazení a v původním referenčním systému. 2. Výpočet zeměpisných souřadnic v novém referenčním systému při použití vhodného typu prostorové transformace. Použijí-li se tříprvková nebo sedmiprvková transformace, je nutné počítat i prostorové pravoúhlé souřadnice v původním a novém referenčním systému. 153 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 3. Transformace zeměpisných souřadnic do nového zobrazení v novém referenčním systému. U rovinných transformací jsou vstupem i výstupem rovinné pravoúhlé souřadnice. Z hlediska použití v matematické kartografii lze do tohoto typu transformací zařadit: • shodnostní transformaci, • podobnostní transformaci, • afinní transformaci. K rovinným transformacím je možné zařadit i interpolační metody v pravidelných mřížkách, v jejichž uzlových bodech jsou předem vypočítány rozdíly mezi oběma systémy. U všech transformací je nejprve nutné vypočítat jejich parametry - konstanty v transformačních rovnicích, tzv. transformačních klíčích. Parametry transformačních klíčů se počítají z dostatečného množství identických bodů, u nichž jsou známé souřadnice v obou systémech. Minimální počet identických bodů a znalost jejich souřadnic jejich jsou závislé na počtu proměnných v transformačních klíčích. Například pro tříprvkovou transformaci prostorových pravoúhlých souřadnic, kde jsou tři neznámé, je nutná znalost minimálně tří identických souřadnic. Teoreticky by stačilo mít pouze jeden identický bod se známými souřadnicemi X, Y a. Z v obou systémech. Protože je však nutná kontrola správnosti výpočtu transformačního klíče, používají se vždy nadbytečné počty identický bodů, zpravidla vhodně rozmístěných po celém transformovaném území. Vypočtené parametry transformačního klíče se potom vyrovnávají vhodnou metodou, nejčastěji metodou nejmenších čtverců (MNC). 13.1 Prostorové transformace 13.1.1 Prostorové pravoúhlé souřadnice V kapitole Referenční plochy a souřadnicové soustavy byly uvedeny základní souřadnicové soustavy v prostoru, v nichž se poloha bodu může vyjádřit v zeměpisných souřadnicích. Polohu bodu v prostoru lze však určit i v prostorových pravoúhlých souřadnicích x, y, z. Reálně však určované body leží na zemském povrchu (někdy i nad ním či pod ním). Pokud se pracuje s reálnými body v terénu (se získanou polohou například z měření pomocí přijímače GPS), je nutné uvážit jejich výšky. V praxi se nejčastěji pracuje s nadmořskými výškami H, tedy s výškami vztaženými k základní hladinové ploše daného výškového systému (například Baltského, Jaderského apod.). Tyto výšky si lze zjednodušeně představit jako vzdálenost od střední hladiny daného moře definovaného systému, která se nazývá geoid nebo kvazigeoid (viz Obr. 1-1). Geoid ani kvazigeoid však nejsou jednoduše matematicky definovatelné plochy, neboť jejich tvar je dán fyzikálními zákony (rotací Země, gravitačními silami Země a okolního terénu). Proto se geoid nebo kvazigeoid nahrazují referenčním elipsoidem. Vzdálenost těchto dvou ploch pro daný bod se nazývá výška geoidu (kvazigeoidu) nad elipsoidem Q. Vzdálenost bodu P od povrchu elipsoidu se potom nazývá elipsoidická výška Hei a lze ji počítat jako: Hel=H+C (13-D Pro transformaci zeměpisných souřadnic na prostorové pravoúhlé je někdy nutné tyto výšky zahrnout do výpočtů. Prostorové pravoúhlé souřadnice jsou definovány pro daný referenční elipsoid (nebo i referenční kouli). Počátek souřadnicového systému je ve středu elipsoidu, osa X leží v rovině rovníku a její kladná větev prochází průsečíkem rovníku a Greenwichského poledníku, osa Y 154 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie leží též v rovině rovníku a je kolmá na osu X , její kladná větev prochází průsečíkem rovníku a poledníku 90° východní délky, osa Z prochází osou rotace elipsoidu a její kladná větev směřuje k severními pólu (Obr. 13-1). Pokud se budou transformovat zeměpisné souřadnice q>, A a výška Hei bodu P na souřadnice prostorové pravoúhlé, bude platit podle [14]: x={N+Hel )co ^co sřL y=\N+He^o$m\xú z= l^-ďp-Hefeintp (13-2) Zpětný převod lze provést podle vzorců ( 13-3 ), kde se hodnoty tp, Hei a ./V počítají iteracemi: A=arcÁ xj í % =arctg- 1 v 4x2+ý 1-e2 (13-3) y a j_j__x eh co^cosl -Nn=- y co^siivl Hodnoty cp, Hei a. N se dále počítají pro i-tou iteraci následovně: Vz-1 +Ve/*-l (P, =arctg a (13-4) ^/l-^sirf^ co^cosl A^-i co^sirul -A^-i Při prvním výpočtu zeměpisné šířky tpo je možné zanedbat elipsoidickou výšku bodu P. Pomocí (po se vypočítají první aproximace No a Heio. Jejich dosazením do rovnic ( 13-4 ) se získají zpřesněné hodnoty cpu N a Heu- Iterační výpočet se ukončí, pokud je rozdíl mezi předcházející a počítanou hodnotou menší než požadovaná přesnost výpočtu. 155 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 13-1 Prosotorové pravoúhlé souřadnice Obdobné vztahy jako ( 13-2 ) a ( 13-3 ) platí i pro transformaci zeměpisných souřadnic U, V a výšky H na referenční kouli o poloměru R na prostorové pravoúhlé souřadnice. Výšku H je možné uvažovat pouze jako nadmořskou, protože tato transformace se používá především pro méně přesné úlohy. Pokud se uvažuje stejná poloha a orientace souřadnicových os jako v případě referenčního elipsoidu, lze transformaci vyjádřit vzorci: x=(R+H)coíJco& y=[R+H)coíJsirV W) z=(R+H)sirU Zpětný převod je potom možný podle vztahů: V=arct(g¥ W U=arct% z (13-6) J 13.1.2 Tříprvková prostorová transformace Nejjednodušší transformací mezi referenčními systémy je tříprvková prostorová transformace. Rozdíl mezi původním a novým referenčním systémem geocentrických souřadnic je pouze v lineárním posunu počátků obou systémů. Počátek nového souřadnicového systému je pouze vzhledem k původnímu systému posunut o hodnoty dx, dy a dz. Vlastní transformaci lze vyjádřit vztahem ( 13-7 ): X yn dy + y dz z (13-7) Graficky lze podstatu transformace vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-2): 156 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Z A RlmocH srxrächccwý systém Z) Ch Ncwý saŕariiccwý systém -* Yn dz /,..................V dx dy * Y Obr. 13-2 Tříprvková prostorová transformace Hodnoty souřadnic i lineárních posunů se vyjadřují v metrech. 73.7.3 Sedmiprvková prostorová transformace Přesnější a komplexnější transformace využívající prostorové pravoúhlé souřadnice je sedmiprvková prostorová transformace, někdy nazývaná i jako prostorová podobnostní transformace. Vedle lineárních posunuje zde uvažováno i se třemi rotacemi kolem původních os (rx, ry a rz) a se změnou měřítka - měřítkovým faktorem m= l+ju. Transformaci je možné vyjádřit následující rovnicí ( 13-8 ): dx m 0 0" 1 rz —ľ y x yn — dy + 0 m 0 -rz 1 rx y (13-8) dz 0 0 m r _ y 1 z Graficky lze podstatu transformace opět vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-3): Obr. 13-3 Sedmiprvková prostorová transformace 157 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Hodnoty souřadnic a lineárních posunů se opět uvádějí v metrech, hodnoty rotací v desetinách vteřin a měřítkový faktor bývá v řádech 10"6 až 10"5. V anglické literatuře bývá uváděn v jednotkách ppm (parts per milion). Hodnoty rotací jsou definovány dvojím způsobem. Pokud se díváme směrem k původním osám X, Y, Z, je rotace jsou buďto ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Přitom je možné přiřadit kladné nebo záporné znaménko oběma směrům. Například v Austrálii byla pro rotace při definici referenčního souřadnicového systému použita kladná znaménka pro směry otáčení hodinových ručiček, v Evropě tomu bylo naopak [10]. Před použitím popsané transformace je nutné zjistit, jaký systém rotací byl použit. Pokud by byl použit nesprávný, výsledné transformované hodnoty jsou chybné. 13.1.4 Moloděnského transformace Moloděnského transformace umožňuje přímou transformaci zeměpisných souřadnic definovaných v souřadnicových systémech, aniž je nutný jejich převod do prostorových pravoúhlých souřadnic. K této transformaci je nutná znalost parametrů původního elipsoidu (velikost poloos a, b), lineárních posunů dx, dy a dz a rozdílů parametrů použitých referenčních elipsoidů (původního a nového) - velké poloosy Aa a zploštění Af. Transformace je dána vztahy ( 13-9 ): /A(p= (l-^sirr<£>J M=(-sin^k/x+cosííi^/(A^+//e/)co^ ^=co^o^x+co^in^k/}^sirif^/z-(l-e2 sir? ^f2ba /(M+//eZ) (13-9) 13.1.5 Zjednodušená Moloděnského transformace Pro méně přesné práce, například pro navigační účely, je možné použít zjednodušenou Moloděnského transformaci, jejíž rovnice je možné vyjádřit následovně ( 13-10 ): Np= I—siřilo sWx-sin^sinA/yf co $dz+{aftf +fto)2sÍĽ(pco $p\l M /Sk=\^únMx+co$dýl Ncosp (13"10) 13.2 Rovinné transformace Rovinné transformace umožňují přímo transformovat rovinné pravoúhlé souřadnice z jednoho zobrazení do druhého. Použití rovinných transformací je však limitováno územním rozsahem. V těchto transformacích není možné zahrnout vlivy všech druhů zkreslení a proto jej jejich použití pro větší rozsah území nevhodné. S výhodou se dají použít zejména pro transformace na malých územích, případně pro transformace v rámci sítí identických bodů, pokud tato síť je dostatečně hustá. 158 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.2.1 Shodnostní transformace Shodností transformace je základním typem rovinných transformací. Výchozí souřadnicová soustava (0, X, Y) se transformuje do nové soustavy (0n, Xn, Yn) podle následujících rovnic (Obr. 13-4) yn_ dx dy_ + cos? -sire sire co s& (13-11) Obr. 13-4 Princip shodnostní transformace Hodnoty dx, dy jsou lineární posuny původního počátku vyjádřené v nové soustavě, e je úhel mezi kladnými osami X»aX měřeno ve směru chodu hodinových ručiček od nové k původní soustavě. V soustavě rovnic ( 4-47 ) vystupují tři neznámé transformační parametry - lineární posuny dx a dy a rotace e. Pro výpočet neznámých parametrů shodnostní transformace je tedy nutná znalost tří společných veličin, například souřadnice jednoho identického bodu v obou soustavách a jednu společnou souřadnici nebo hodnotu směrníku rotace e. 13.2.2 Podobnostní transformace Pokud se do rovnic shodnostní transformace zavede změna měřítka pomocí měřítkového faktoru m definovaného stejně jako u sedmiprvkové prostorové transformace, získají se rovnice podobnostní transformace ( 13-12 ): dx dy_ + m 0 0 m cos sire -sire cos Jy_ x ( 13-12) K výpočtu parametrů podobnostní transformace je nutná znalost nejméně čtyř společných veličin, je nutná tedy znalost minimálně u dvou identický bodů souřadnic v obou souřadnicových systémech. 13.2.3 Afinní transformace Poměrně často používanou transformací je afinní transformace. Afinní transformace zachovává přímky a rovnoběžky, mění však úhly (není konformní). Její základní rovnici lze vyjádřit vzorcem ( 13-13 ): 159 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie _ _ _ a b c d e n Koeficienty a, b, c, d, e, f se opět vypočítají ze souřadnic identických bodů. K jejich výpočtu je nutná znalost šesti společných hodnot, tedy je třeba mít minimálně tři identické body se známými souřadnicemi v obou systémech. 13.2.4 Interpolační metody Pro použití interpolační metody se transformované území rozdělí do pravidelné sítě s konstantním přírůstkem buďto v zeměpisných nebo v rovinných pravoúhlých souřadnicích. V uzlových bodech sítě se vypočítají některou z předchozích metod (zpravidla prostorových transformací) diference mezi oběma systémy (viz Obr. 13-5, kde jsou uvedeny pouze diference pro souřadnici x). Například pomocí bilineární interpolace se pro požadovaný bod vypočítají příslušné diference pomocí vzorců ( 13-14 ): + dx dy , kde 1 dx aw _dy_ K V \yn ( 13-14) Xn ______ Xe Xrt Xe Xe X? Obr. 13-5 Princip plošné interpolační metody Pro výpočet osmi neznámých v této transformaci je nutná znalost souřadnic v obou systémech nejméně u čtyř identických bodů. Transformace je použitelná i pro výpočet zeměpisných souřadnic, pokud se v rovnicích ( 13-14 ) pravoúhlá souřadnice nahradí zeměpisnými. Je však samozřejmě nutné koeficienty transformace vypočítat pro zeměpisné souřadnice. Bilineární interpolace je zjednodušená obecná transformace, při níž se uvažují pouze lineární členy. Popis celé obecné transformace je uveden například v [14]. 160 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Přesnost interpolační metody závisí jednak na přesnosti výpočtu diferencí v uzlových bodech, jednak na hustotě uzlových bodů, tedy velikosti souřadnicového přírůstku pravidelné sítě. 161 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 14. Aplikace zobrazení v nástrojích GIS Metody soudobé kartografie jsou zpravidla založeny na využívání informačních technologií, jejichž součástí jsou i programové nástroje GIS. Jednou ze sad těchto nástrojů jsou i nástroje používané pro tvorbu matematického základu trvalých nebo virtuálních vizualizovaných modelů terénu. Tyto nástroje využívají teorii matematické kartografie a spolu s nástroji pro práci s geodetickými referenčními systémy umožňují řešit v podstatě všechny úlohy, které jsou uvedeny v předchozím textu nebo které jsou využívány v při kartografické interpretaci dat a informací uložených v GIS. Využívání programových nástrojů je poměrně snadné a zpravidla je doplňováno poměrně podrobnými návody ve formě průvodců (wizard, guide) a návodů (Help). Avšak ani průvodci, ani návody většinou neobsahují podrobnou teorii nebo rozbor jednotlivých zobrazení, stejně tak zpravidla neumožňují zobrazit například hodnoty zkreslení použitého zobrazení pro dané území. Z tohoto důvodu je proto vhodné teorii zobrazení znát. Nástroje GIS zpravidla obsahují: • volbu geodetického referenčního systému z vestavěné nabídky nebo s možností tvorby vlastního, • transformační postupy mezi geodetickými referenčními systémy, • volbu zobrazení zpravidla z vestavěné nabídky s možností volby jeho parametrů, • tvorbu a vizualizaci matematických prvků mapy - souřadnicová síť rovinných pravoúhlých nebo/a zeměpisných souřadnic, měřítko mapy, rám mapy. Poznámka: Vizualizace matematických prvků mapy je již součástí kartografie, avšak vzhledem k tomu, že přímo souvisí s používanými nástroji, je stručně uvedena i v těchto studijních textech. V dalších odstavcích jsou stručně popsány uvedené postupy tak, jak jsou aplikovány v nástrojích programového systému ArcGIS® [1]. 14.1 Volba geodetického referenčního systému Volba geodetického referenčního systému je dána geografickou polohou zobrazovaného území nebo je předem dána požadavky daného projektu. Z vestavěné nabídky je možné vybrat vhodný systém nebo vytvořit nový. Uložené systémy mají zadány všechny potřebné parametry (elipsoid, základní poledník, úhlové jednotky). Pokud by bylo nutné definovat vlastní systém, všechny tyto parametry je nutné zadat ručně (viz. Obr. 14-1). 162 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Map Cache | Annotation Groups | Extent Rectangles | Size and Position General | Data Frame | Frame Coordinate System | Illumination | Grids Current coordinate syste ITRF 1993 ■■@ ITRF 1994 ■® ITRF 1996 ■® ITRF 1997 ■® ITRF 2090 ■® NSWC 9Z-2 ■® WGS196G ■® WGS 1972 TBE ■® WGS 1972 J Add To Favorites Remove From Favorites Geographic Coordinate System Property N am e: Spheroid Name: SerriirriajorAxis: |E37B137 SemiminorAxis: |E3EE752,31424E1 793 T Inverse Flattening Angular Unit- Name: |d Radians per unit: 0.01745329251 9943299 Prime Meridian- Name: (Greenwich 1 Jíl*] 3 3 ~3 Obr. 14-1 Ukázky volby geodetického referenčního systému v programu ArcGIS z vestavěné nabídky 74.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy Rovněž k transformaci mezi různými geodetickými referenčními systémy je možné využít vestavěné nabídky, kde jsou již pro jednotlivé případy zvoleny vhodné transformace (viz. Obr. 14-2). V případě, že je nutné vlastní transformaci řídit, je možné volit vlastní postup volbou typu transformace a zadání jejích parametrů (viz. Obr. 14-3) . a*} nd Position Geographic Coordinate System Transformations Map Cache | Annotation Groups | Extent Rectangles | General | Data Frame | Frame Coordinate System | Illumination | Grids Current coordinate systei Europe\S-JTSK Using: |s_JTSK_To_WGS_19B4J Method. Position Vector- dx=570,800000 dy=85,700000 d2M62,800000 rx=4,938000 ry=1.587000 rz=5.261000 s=3,560000 Obr. 14-2 Ukázka výběru přednastavené transformace (zde sedmiprvková podobnostní transformace) mezi různými geodetickými systémy v programu ArcGIS 163 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Hew Geographic Transformation Name: ^BNewGeographic Transformation Source GCS: |GCS_WGS_19 Target GCS: |Europe\pLilkovo 1 942 Adj 1983 - Method -Name: Position Vector - Geocentric Translation Molodensky Abridged Molodensky_ Position Vector Coordinate Frame NAD CO N HARN Longitude Rotation Hew Geographic Transformation |New GeographicTranslormation Source GCS' GCS_WGS_1 Target GCS: Method — Name: |Europe\Pulkovo 1942 Adj 1983 [Position Vector Name Value Z Axis Translation (meters) X Axis Rotation (seconds) IH M YAxis Rotation (seconds)