Fyzikální praktikum 1 Úloha č. 5: Měření modulu pružnosti pevných látek jarní semestr 2025 1 Teoretický úvod Deformace v tahu Normálové napětí je definováno vztahem σn = dFn dS , kde dFn je velikost průmětu síly působící na zvolenou (elementární) plošku dS do normály k plošce. Pro sílu rovnoměrně rozloženou na (makroskopickou) plochu S pak platí σn = Fn S . (1) Relativní prodloužení ε je určeno podílem změny délky zvoleného elementu pevné látky k jeho délce ε = ∆l l . (2) Není-li síla příliš velká, je deformace elastická (pružná) a pomine-li silové namáhání, obnoví se původní rozměry tělesa. Za těchto podmínek platí Hookův zákon – vztah lineární závislosti mezi normálovým napětím σn a poměrným prodloužením ε σn = ε · E, (3) kde E je modul pružnosti v tahu (Youngův modul). Je to materiálová konstanta, která určuje schopnost látky odolávat deformaci při působení vnější síly. Čím je tato konstanta větší, tím méně se těleso pod vlivem působících sil deformuje. Deformace ve smyku K deformaci ve smyku dochází při působení tečné síly, jednotlivé vrstvy materiálu se vůči sobě posouvají (viz obrázek 1). Smykové tečné napětí je definováno vztahem σt = dFt dS , kde dFt je velikost průmětu síly působící na zvolenou (elementární) plošku dS do roviny plošky. Relativní deformace je dána vztahem γ = ∆ a , Fyzikální praktikum 2 l dl dS dFn a Δ θ dS dFt Obrázek 1: Deformace v tahu a deformace ve smyku kde ∆ je posunutí okrajových částí vrstvy tloušťky a vlivem tečné síly dFt působící na plošku dS. Hookův zákon pro deformaci ve smyku má potom tvar σt = γ · G. (4) Veličina G se nazývá modul pružnosti ve smyku. Deformace ve zkrutu l dFt ρΔ r dρ φ Obrázek 2: Deformace ve zkrutu V případě kroucení (torze) vlákna kruhového průřezu má deformace ve vlákně charakter prostého smyku (viz obrázek 2), přitom v ose vlákna je deformace nulová a s rostoucí vzdáleností od osy vlákna ρ deformace narůstá. Zkroutíme-li vlákno na volném konci o úhel ϕ, je relativní deformace ve smyku tenkého meziválcí o rozměrech l × dρ × 2πρ γ = ∆ l = ρ l ϕ. Z Hookova zákova pro deformaci ve smyku obdržíme smykové napětí σt = ρ G l ϕ, které působí na plošku podstavy meziválcí (dS = 2πρ dρ). Pro tečnou sílu dostaneme dFt = σt dS = 2πρ2 G l ϕ dρ a pro její krouticí moment vůči ose drátu dM = ρ · dFt = 2πρ3 G l ϕ dρ. Fyzikální praktikum 3 Po integraci přes celý průřez drátu pro výsledný moment dostaneme M = r 0 2πρ3 G l ϕ dρ = πr4 G 2l ϕ. Vidíme, že moment síly M zkrucující drát je přímo úměrný úhlu zkroucení ϕ. Koeficient úměrnosti, závisející pouze na rozměrech vlákna a jeho modulu pružnosti ve smyku G, D = πr4 G 2l (5) nazýváme direkčním momentem. 2 Měření modulu pružnosti v tahu přímou metodou z prodloužení drátu l zátěž úchylkoměr 0020 Obrázek 3: Přímá metoda Po dosazení definičních vztahů (1), (2) do Hookova zákona (3) dostaneme pro prodloužení drátu o průměru d při namáhání v tahu silou F vztah ∆l = 4l πd2E F. (6) Sílu F realizujeme jednoduše tíhovou silou závaží o hmotnosti m. Prodloužení tedy závisí na hmotnosti závaží vztahem ∆l = 4gl πd2E k m.1 (7) Vztah (7) sice umožňuje přímý výpočet modulu pružnosti E z jediného měření m a ∆l, vypočtený modul pružnosti by však byl zatížen značnou chybou a neměli bychom jistotu, že se pohybujeme v oblasti, kde platí Hookův zákon. Výhodnější je stanovit modul pružnosti měřením závislosti ∆l(m). Modul pružnosti E pak stanovíme ze směrnice k prokladu lineární závislosti měřenými daty. Podle (7) je k = 4gl πd2E . (8) Vztah (8) využijeme nejen ke stanovení hodnoty modulu pružnosti, ale i jeho nejistoty měření. Postup měření • Stanovíme hmotnosti zatěžovacích závaží na digitálních vahách. Rozhodneme, jestli je nutné počítat s individuální hmotností každého závaží, nebo jestli vzhledem k chybám měření stačí počítat s průměrnou hmotností. • Průměr drátu změříme v různých místech mikrometrem. Měříme 10×. • Počáteční délka drátu byla změřena laserovým dálkoměrem a má hodnotu 1567 mm. • Polohu dolního konce drátu měříme digitálním úchylkoměrem, jehož hrot zapadá do malé jamky na spodní straně závaží. Nejprve úchylkoměr vynulujeme (∆l = 0). Postupně přidáváme jednotlivá závaží a naměřené hodnoty m, ∆l zapisujeme do tabulky. Hrot úchylkoměru udržujeme v jamce. Poté závaží zase postupně odebíráme. 1 Ve skutečnosti je změna polohy dolního konce drátu ∆l dána nejen prodloužením drátu, ale i pružnou deformací horního závěsu drátu; také tato deformace je úměrná hmotnosti zátěže a koeficient úměrnosti je 37,6 kg/mm. Fyzikální praktikum 4 • Naměřené hodnoty vyneseme do grafu závislosti ∆l(m). Grafem proložíme přímku a určíme její směrnici k ± U(k). Modul pružnosti drátu E pak vypočteme ze vztahu (8). Stanovíme nejistotu modulu pružnosti E. • Výslednou hodnotu modulu pružnosti E porovnáme s údajem z tabulek. 3 Měření modulu pružnosti v tahu z průhybu plného obdélníkového nosníku Uvažujme nosník, který má obdélníkový průřez; uprostřed mezi podporami, jejichž vzdálenost je l, je zatížen silou F, realizovanou tíhou záváží o hmotnosti m. Vztah mezi průhybem daného nosníku y a zatížením F je y = Fl3 4Ea3b , (9) kde E je Youngův modul pružnosti, b je šířka nosníku a a tloušťka (rozměr ve směru síly F). F 0020 y l a b Obrázek 4: Průhyb nosníku Stejně jako v předešlém případě i zde postupným zvyšováním zátěže dostaneme závislost y(m), kterou vyhodnotíme obdobným způsobem. Postup měření • Geometrické rozměry nosníku změříme obvyklými měřidly. Vybereme si taková měřidla, aby příspěvek k celkové nejistotě od každé měřené veličiny byl přibližně stejný a měl takovou velikost, aby celková nejistota odpovídala požadované přesnosti měření. Každý rozměr měříme 10×. • Nosník s navlečeným třmenem položíme na břity stojanu. Třmen umístíme doprostřed do kontaktu s digitálním úchylkoměrem. (Pozor, musíme zajistit, aby pracovní bod digitálního úchylkoměru umožnil proměření průhybu v celém rozsahu povolených zátěží.) • Třmen zatěžujeme postupným přidáváním závaží a odečítáme velikost prohnutí nosníku. Váznutí mechanizmu uvolňujeme velmi lehkým poklepem na stojan. • Měříme průhyb, jak při postupném zatěžování, tak i při postupném odlehčování. • Dvojice naměřených hodnot závislosti y(m) vyneseme do grafu a proložíme lineární závislostí. Posoudíme, zda je směrnice rozdílná při zatěžování a odlehčování. Srovnáním směrnice s teoretickou hodnotou získanou úpravou rovnice (9) do tvaru y = k · m stanovíme Youngův modul pružnosti. 4 Měření modulu pružnosti ve smyku dynamickou metodou Na homogenní drát délky l o průměru d je zavěšena homogenní koule o průměru D a hmotnosti m mnohem větší, než je hmotnost drátu (viz obr. 5). Když kouli pootočíme kolem svislé osy, Fyzikální praktikum 5 l, d m, D Obrázek 5: Torzní oscilátor vykonává torzní kmity. Pokud zkroucení drátu odpovídá pružné torzní deformaci, při níž platí Hookův zákon (4), pak závislost úhlové výchylky ϕ na čase je popsána diferenciální rovnicí ¨ϕ + 2β ˙ϕ + D J ϕ = 0. Přitom β je koeficient útlumu, J je moment setrvačnosti koule, J = 2/5 m(D/2)2, D je direkční moment daný vztahem (5). Zanedbáme-li tlumení, systém kmitá harmonicky ϕ(t) = ϕ0 sin(ωt + ψ), kde ϕ0 je amplituda kmitů, ψ počáteční fáze a ω je úhlová frekvence daná vztahem ω = D J . Pro periodu torzních kmitů koule tak máme vztah T = 2π ω = 2π J D , ze kterého lze, změříme-li periodu kmitů T a při znalosti momentu setrvačnosti oscilátoru J, stanovit direkční moment D a z (5) při znalosti d a l i modul pružnosti v torzi G = 64πmD2l 5d4T2 . (10) Postup měření • Geometrické rozměry drátu a koule změříme vhodnými mechanickými měřidly (výběr se řídí pravidly jako u průhybu). Každý rozměr měříme 10×. Délku závěsu změříme katetometrem. Kouli nenadzvedáváme! Pokud by se utrhla, mohla by způsobit vážné zranění. • Hmotnost koule je 5884 g. • Kouli natočíme kolem svislé osy a uvolníme. Úhlovou výchylku koule z rovnovážné polohy je třeba omezit na úhly, které odpovídají pružné torzní deformaci. Doporučená počáteční výchylka je 45◦ až 90◦. • Po uvolnění koule koná torzní kmity. Opakovaně (10×) změříme dobu např. 10 kmitů, tj. 10 T. • Z rovnice (10) stanovíme modul pružnosti v torzi G. Fyzikální praktikum 6 Úkoly 1. Změřte modul pružnosti v tahu přímou metodou pro ocelový drát zavěšený při stěně. 2. Změřte modul pružnosti v tahu z průhybu nosníku. Porovnejte měřením (student vybírá po dohodě s učitelem jen jeden úkol) (a) nosníky ze stejného materiálu, stejné tloušťky a, ale různé šířky b. K dispozici je série nosníků z duralu a mědi. Ověřte charakter závislosti směrnice dy dm na b. (b) nosníky ze stejného materiálu, stejné šířky b, ale různé tloušťky a. K dispozici je série nosníků z duralu. Ověřte charakter závislosti směrnice dy dm na a. (c) nosníky z různých materiálů (dural, mosaz, měď). 3. Změřte modul pružnosti ve smyku pro ocelový drát dynamickou metodou z torzních kmitů. Otázky 1. Digitální úchylkoměr působí na měřený objekt silou, která při zatlačování tyčinky úchylkoměru roste lineárně, přibližně o 25 mN na 1 mm. U kterého měření to může způsobit velkou chybu? Existuje nějaké jednoduché opatření, kterým můžeme vliv síly úchylkoměru výrazně omezit? 2. Je vhodnější odečítat uplynutí periody torzních kmitů v poloze maximální výchylky, nebo v rovnovážné poloze? 3. Jaká je největší přípustná amplituda torzních kmitů koule a proč? 4. Jaký je vliv součinitele útlumu β na periodu a v jakém poměru je chyba způsobená jeho zanedbáním k ostatním chybám měření? (Viz Úloha č. 4: Měření gravitační konstanty a tíhového zrychlení) A Užití v praxi Měření modulu pružnosti v tahu z průhybu plného obdélníkového nosníku je běžně využíváno ve stavebním průmyslu. Zajímavým příkladem konkrétní aplikace je zkoušení radiálních vývrtů. Radiální vývrty se využívají pro zjištění fyzikálních, mechanických a pevnostních charakteristik dřeva – např. vzorků stavebního materiálu nebo vzorků odebraných z dřevěných konstrukcí. Pro vlastní zkoušku dřevěných radiálních vývrtů se používají čelisti s vyfrézovanými drážkami, které umožňují zatěžovaní kolmo na osu vývrtu a ve směru vláken dřeva. Měření modulu pružnosti je pak obdobou úlohy praktika. Jedná se o semidestruktivní analýzu; ze zkoumaného materiálu nebo konstrukce je odebrán vzorek způsobem, který nijak podstatně materiál nebo konstrukci nepoškodí.