Greenova věta
1 Představme si, že chceme integrovat po malém obdélníčku o velikosti
d𝑥 × d𝑦. Začínáme v levém dolním bodě se souřadnicemi [𝑥; 𝑦] a obejdeme
obdélníček jednou proti směru hodin, tak, jak je to vyznačeno na
obrázku.
1. Zapište ∮(𝛲(𝑥, 𝑦) d𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) d𝑦) jako součet čtyř integrálů po jednotlivých stranách obdélníčku.
2. Dejte k sobě vždy dva a dva integrály po rovnoběžných stranách.
3. Jelikož je obdélníček velmi malý, můžeme aproximovat 𝛲 i 𝑄 diferenciálem. Proveďte to a integrály
dopočítejte (mělo by to vyjít fakt jednoduše).
4. Doplňte: ∮(𝛲 d𝑥 + 𝑄 d𝑦) = ( ) d𝑥 d𝑦.
2 V následujícím obrázku je nějaká oblast, kterou jsem rozdělil na hromadu malých čtverečků.
Řekněme, že po každém takovém malinkém čtverečku vyčíslíme ∮(𝛲 d𝑥 + 𝑄 d𝑦) zcela stejně jako
v předchozí úloze.
1. Všechny čtverečky se obíhají proti směru hodin. Vyznačte v obrázku dovnitř každého čtverečku šipky,
které vyznačí, jak se ten čtvereček obíhá. Nemusíte to dělat pro všechny čtverečky, ale chtělo by jich to
relativně hodně.
2. Na základě Vašich šipeček vysvětlete, co se stane s vnitřními stranami všech čtverečků (tedy s těmi,
které přiléhají k jinému čtverečku).
3. Co se stane s těmi stranami čtverečků, které jsou na hranici vyznačené oblasti (a tudíž nepřiléhají
k jinému čtverečku)?
4. Sečteme-li příspěvky od všech čtverečků, dostaneme na jednu stranu ∬
Ω
[ ∮
obdélníček
𝛲 d𝑥 + 𝑄 d𝑦].
Z úvah v předchozím bodě vysvětlete, jak to lze napsat jiným způsobem (kde Vám v obrázku zůstanou
šipky, které se nezruší?) Dosaďte za ∮ ⋯ vyčíslení z první úlohy. Měli byste obdržet Greenovu větu.
Gaussova věta
3 Představme si, že chceme integrovat po malém kvádříku o velikosti d𝑥 × d𝑦 × d𝑧. Řekněme,
že vlevo vpředu dole je bod [𝑥; 𝑦; 𝑧]. Budeme počítat tok vektorového pole 𝑭 tímto kvádříkem:
1. Zapište ∯ 𝑭 ⋅ d𝑺 jako součet šesti integrálů po jednotlivých stěnách (a dejte si pozor na znamení).
2. Dejte k sobě vždy dva a dva a dva integrály po rovnoběžných stěnách.
3. Jelikož je kvádřík velmi malý, můžeme aproximovat 𝑭 diferenciálem. Proveďte to a integrály dopočítejte
(mělo by to vyjít fakt jednoduše). Poznáváte ve výsledku nějaký diferenciální operátor?
4. Doplňte: ∯ 𝑭 ⋅ d𝑺 = ( ) d𝑥 d𝑦 d𝑧.
4 V následujícím obrázku je několik krychliček, které k sobě
přiléhají. Řekněme, že přes každou z nich budeme chtít spočítat
∯ 𝑭 ⋅ d𝑺 jako v předchozí úloze.
1. U stěn, kterými se krychličky stýkají, nakreslete vnější normály
k oběma krychličkám. Jaký je jejich vztah?
2. Podle nakreslených normál vysvětlete, co se stane s toky skrz sdílené
stěny, když posčítáme ∯ 𝑭 ⋅ d𝑺 přes všechny krychličky.
3. Co se stane s těmi stěnami, které nesousedí s jinou krychličkou?
4. Sečteme-li příspěvky od všech krychliček, dostaneme ∭
𝑉
[ ∯
kvádřík
𝑭 ⋅ d𝑺]. Z úvah v předchozím
bodě vysvětlete, jak to lze napsat jiným způsobem (kde Vám v obrázku zůstanou toky, které se nezruší?)
Dosaďte za ∯ ⋯ vyčíslení z první úlohy. Měli byste obdržet Gaussovu větu.